ŚFiNiA

Gość

IroB

[img]https://www.youtube.com/watch?v=Mqfwbf3X8SA[/img]

:gitara:

Gość

Algebra Kubusia dla 5-latków

3.3 Definicje podstawowe - równoważność <=>

Spis treści
3.3 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 1
3.3.1 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 5
3.3.2 Diagram równoważności w zbiorach 7
3.3.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q 8
3.3.4 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK 11
3.3.5 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK 15
3.3.6 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK i ~TP<=>~SK 17

3.3 Definicja podstawowa równoważności p<=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q

Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q | B1: p~>q = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

TR.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zadzie q

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło q

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Definicja podstawowa równoważności p<=>q jest w praktyce doskonale znana każdemu człowiekowi.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 500
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9890

Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.

Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.

Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
Kod:

T2.
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Dlaczego to jest równanie operatora równoważności p|<=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Na mocy definicji operatorów logicznych p|<=>q i ~p|<=>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p|<=>q = ~p|<=>~>q
cnd

3.3.1 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć

TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja dowolnego ziemskiego twierdzenia matematycznego TM:
Dowolne ziemskie twierdzenie matematyczne TM jest tożsame z warunkiem wystarczającym p=>q.

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, czyli zbiór p jest podzbiorem => q
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, czyli zbiór q jest podzbiorem => p
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.

A1B3:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q

Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q zdefiniowaną kolumną A1B1.

A1B1: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Stąd dla kolumny A2B2 mamy.
A2B2: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q

3.3.2 Diagram równoważności w zbiorach

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Znaczenie powyższej tożsamości logicznej w przełożeniu na zbiory.
Tożsamość zbiorów p=q definiowana przez:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q definiowaną przez:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
(i odwrotnie)

Na tej podstawie łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
Kod:

DR:
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
-------------------------------------------------------------------------
| D - wspólna dziedzina dla p i q |
| p+~p =D =1 | q+~q =D =1 |
| p*~p =[]=0 | q*~q =[]=0 |
-------------------------------------------------------------------------
| Zbiór: p=q # Zbiór: ~p=~q
| A1B1: Równoważność dla p: | A2B2: Równoważność dla ~p |
| p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
| Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Z diagramu widzimy że:
~p=~(p) - zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~q=~(q) - zbiór ~q jest zaprzeczeniem zbioru q
Prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p) - zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p (prawo podwójnego przeczenia)
q = ~(~q) - zbiór q jest zaprzeczeniem zbioru ~q (prawo podwójnego przeczenia)
Dziedzina D dla zbiorów p i q musi być wspólna, bowiem wtedy i tylko wtedy między zbiorami p i q mogą zachodzić podstawowe relacje (=>, ~> i ~~>) w zbiorach.

Relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
inaczej:
p=>q =0

Relacja nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0

Relacja elementu wspólnego ~~>:
p~~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają element wspólny
Inaczej:
p~~>q =0

Definicja wspólnej dziedziny D dla p:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Stąd mamy:
~p=[D-p] = [p+~p -p] = ~p
~q=[D-q] = [q+~q -q] = ~q

3.3.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q

TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p :
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q (albo odwrotnie)

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=q (albo odwrotnie)

A2B2:
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=~q # p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.3.4 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q

Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q | B1: p~>q = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Weźmy twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK=1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Ten dowód oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1)
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia:
p=TP
q=SK
stąd zdanie A1 w zapisie formalnym {p, q}
A1: p=>q =1

W tym momencie twierdzenie proste Pitagorasa może być już tylko częścią implikacji prostej TP|=>SK albo częścią równoważności TP<=>SK. Aby to rozstrzygnąć musimy zbadać warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP~>SK =?
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =?

Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne jest tożsame z warunkiem wystarczającym =>.

W zdaniu B1 nie mamy warunku wystarczającego => ale to nie problem, bo możemy skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
A1: TP~>SK = B3: SK=>TP

Wniosek:
Aby udowodnić prawdziwość warunku koniecznego ~> w zdaniu B1: TP~>SK potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić twierdzenie odwrotne Pitagorasa: B3: SK=>TP

Twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Ten dowód oznacza, że zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP.

Oba twierdzenia łącznie (A1 i B3) definiują znaną każdemu matematykowi tożsamości zbiorów.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q

Nasz przykład:
Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (twierdzenie proste) i zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

Dla B3 korzystamy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q - prawo Tygryska w zapisie formalnym {p, q}
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK - prawo Tygryska w zapisie aktualnym {p=TP, q=SK}

Stąd mamy tożsamą definicje tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK.
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK

Stąd mamy dowód iż twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK jest częścią równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP.

Równoważność Pitagorasa TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:
Równoważność TP<=>SK to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
[code]
A1B1: A2B2:
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)[=](A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=~TP<=>~SK
bo prawa Kubusia:
A1: TP=>SK = A2:~TP=>~SK
B1: TP~>SK = B2:~TP=>~SK
[code]

Stąd mamy udowodnioną tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
Kolumna A2B2:
Zbiory ~TP i ~SK są tożsame ~TP=~SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK i jednocześnie zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK
~TP=~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~S) = ~TP<=>~SK

Z powyższego wynika, że po udowodnieniu równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiującej tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
nie musimy dowodzić równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych definiującej tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
~TP=~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~S) = ~TP<=>~SK
bowiem gwarantuje nam to prawo rachunku zero-jedynkowego:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd

Podstawmy naszą równoważność TP<=>SK do tabeli prawdy równoważności TR.
[code]
TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Aktualny punkt odniesienia na mocy prawa śfinii:
p=TP
q=SK
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 = [=] = 4:~SK~~>TP =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[/code]
Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.

3.3.5 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK

Operator równoważności TP|<=>SK to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o TP i ~TP:
A1B1: TP<=>SK =(A1: TP=>SK)* (B1: TP~>SK) - co się stanie jeśli zajdzie TP
A2B2:~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) - co się stanie jeśli zajdzie ~TP

Innymi słowy:
Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Kolumna A1B1:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokąty (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i ~SK nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów TP=SK która wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~SK
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =~TP<=>~SK
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~TP=~SK # TP=SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Kolumna A2B2:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK=~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~TP i SK nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~TP=~SK która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności TP|<=>SK jest gwarancja matematyczna => po stronie TP (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.3.6 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK i ~TP<=>~SK

Graficznie równoważności Pitagorasa możemy przedstawić tak
[code]
T1:
Zbiór trójkątów prostokątnych: |Zbiór trójkątów nieprostokątnych:
TP=SK |~TP=~SK
Równoważność Pitagorasa | Równoważność Pitagorasa
dla trójkątów prostokątnych (TP) | dla trójkątów nieprostokątnych (~TP)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK # ~TP=~SK
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
[/code]
Przyjmijmy dziedzinę minimalną dla równoważności Pitagorasa:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla TP:
TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla SK:
SK+~SK =D =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru SK
SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[D-TP] = [TP+~TP -TP] =~TP
~SK=[D-SK] = [SK+~SK -SK] =~SK
Zachodzi również:
TP = ~(~TP) - zbiór TP jest zaprzeczeniem zbioru ~TP (prawo podwójnego przeczenia)
SK = ~(~SK) - zbiór SK jest zaprzeczeniem zbioru ~SK (prawo podwójnego przeczenia)
oraz:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP jest zaprzeczeniem zbioru TP
~SK=~(SK) - zbiór ~SK jest zaprzeczeniem zbioru SK

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Nasz przykład:
Udowodnienie równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B1: TP<=>SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
jest tożsame z udowodnieniem równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
A2B2: ~TP<=>~SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK

Wniosek z zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: TP<=>SK = A2B2:~TP<=>~SK
Udowodnienie tożsamości zbiorów TP=SK jest tożsame z udowodnieniem tożsamości zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)

Objaśnienia:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
stąd tożsama równoważność Pitagorasa znana każdemu matematykowi:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Gdzie:
A1: TP=>SK - twierdzenie proste Pitagorasa
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste Pitagorasa w zapisie formalnym
B3: SK=>TP - twierdzenie odwrotne Pitagorasa
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa w zapisie formalnym
_________________
Czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?