ŚFiNiA

Anastasia@cycki · Gość

Algebra Boole’a - nieznane oblicze napisał:

4.9 Definicja operatora implikacji p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p wymusza => zajście q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Zawsze gdy pada, są chmury

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q:

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q:
p q Y=(p=>q)
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 1
D: 0 0 1

Prawo Lwa:
Dowolny sygnał cyfrowy w logice dodatniej (bo p) wymusza istnienie sygnału w logice ujemnej (bo ~p) i odwrotnie.

Na mocy prawa Lwa pełna tabela zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => jest następująca:

Kod:

Pełna, zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
T2
p q ~p ~q Y=? ~Y=?
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 1
C: 0 1 1 0 1 0
D: 0 0 1 1 1 0

Prawo Pumy:
Dowolną tabelę zero-jedynkową możemy jednoznacznie zakodować wyłącznie w logice jedynek albo wyłącznie w logice zer.
Tych dwóch równoważnych logik lepiej nie mieszać bowiem robi się wówczas groch z kapustą.

Kodowanie w logice jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka.
Kodowanie w logice zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których żaden człowiek nie rozumie.

Kod:

T3
Tabela prawdy warunku wystarczającego => w logice jedynek
W logice jedynek bierzemy pod uwagę wyłącznie jedynki
W poziomach stosujemy spójnik „i”(*) zaś w pionach spójnik „lub”(+)
Pełna tabela |Co w logice jedynek |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa |oznacza |w logice jedynek
p q ~p ~q Y=? ~Y=? | |
A: 1 1 0 0 1 0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q =1
B: 1 0 0 1 0 1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q =1
C: 0 1 1 0 1 0 | Yc=1<=>~p=1 i q=1 | Yc=~p* q =1
D: 0 0 1 1 1 0 | Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yd=~p*~q =1
1 2 3 4 5 6 a b c d e f g

Logika jedynek:

Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=Ya+Yc=Yd
po rozwinięciu mamy:
Y = p*q + ~p*q + ~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y = p*q + ~p*q + ~p*~q
Y = p*q+~p*(q+~q)
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p+p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’.
Y = ~p+q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Widać to doskonale w tabeli zero-jedynkowej ABCD125.

Zachodzi tu logiczna tożsamość [=]:
1=1’
Y = p*q+~p*q+~p*~q [=] ~p+q =1

2.
Z tabeli równań cząstkowych mamy:
~Y=~Yb - bo jest tylko jedna jedynka w kolumnie 6
po rozwinięciu mamy:
~Y = p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Kod:

T4
Tabela prawdy warunku wystarczającego => w logice zer
W logice zer bierzemy pod uwagę wyłącznie zera
W poziomach stosujemy spójnik „lub”(+) zaś w pionach spójnik „i”(*)
Pełna tabela |Co w logice zer |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa |oznacza |w logice zer
p q ~p ~q Y=? ~Y=? | |
A: 1 1 0 0 1 0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q =0
B: 1 0 0 1 0 1 | Yb=0<=>~p=0 lub q=0 | Yb=~p+ q =0
C: 0 1 1 0 1 0 |~Yc=0<=> p=0 lub ~q=0 |~Yc= p+~q =0
D: 0 0 1 1 1 0 |~Yd=0<=> p=0 lub q=0 |~Yd= p+ q =0
1 2 3 4 5 6 a b c d e f g

Logika zer:

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=Yb - bo jest tylko jedno zero w kolumnie 5
po rozwinięciu mamy:
Y = ~p+q =0
2.
~Y=~Ya*~Yc*~Yd
po rozwinięciu mamy:
~Y=(~p+~q)*(p+~q)*(p+q) =0

4.9.1 Schemat ideowy implikacji prostej p|=>q

Zauważmy, że jedyną różnicą w operatorze implikacji prostej p|=>q w porównaniu z operatorem chaosu p|~~>q omówionym wyżej jest rozkład zer i jedynek w kolumnie Y wymuszający rozkład zer i jedynek w kolumnie ~Y (albo odwrotnie)
Dokładnie z tego powodu bramki wejściowe ABCD w operatorze implikacji prostej p|=>q będą identyczne jak w operatorze chaosu p|~~>q, zmieni się tylko i wyłącznie przypisanie symboli Y i ~Y tym bramkom.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Dokładnie z tego powodu operator chaosu p|~~>q możemy nazwać matką wszystkich operatorów logicznych, bowiem na schemacie ideowym zmieniać się będzie tylko i wyłącznie kolumna wynikowa Y, pociągająca za sobą zmiany w kolumnie ~Y.

Zbudujmy połączoną tabelę prawdy warunku wystarczającego => w logice jedynek (T3) oraz w logice zer (T4)

Kod:

T5
Tabela prawdy spójnika „lub”(+)
kodowanego w logice jedynek i w logice zer
Pełna tabela |Równania cząstkowe |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa |w logice jedynek |w logice zer
p q ~p ~q Y=? ~Y=? | |
A: 1 1 0 0 1 0 | Ya= p* q =1 |~Ya=~p+~q =0
B: 1 0 0 1 0 1 |~Yb= p*~q =1 | Yb=~p+ q =0
C: 0 1 1 0 1 0 | Yc=~p* q =1 |~Yc= p+~q =0
D: 0 0 1 1 1 0 | Yd=~p*~q =1 |~Yd= p+ q =0
1 2 3 4 5 6 h i j k l m

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Z tabeli T5 odczytujemy.

Logika jedynek:
1.
Y=Ya+Yc+Yd
Y = p*q + ~p*q + ~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
2.
~Y=~Yb
~Y = p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Logika zer:
1.
Y=Yb
Y = ~p+q =0
2.
~Y=~Ya*~Yc*~Yd
~Y=(~p+~q)*(p+~q)*(p+q) =0

W tabeli T5 doskonale widać prawo przejścia do logiki przeciwnej w poszczególnych liniach:
A.
Ya=p*q =1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Ya=~p+~q =0
i odwrotnie.
B.
~Yb=p*~q =1
Yb=~p+q =0
C.
Yc=~p*q =1
~Yc=p+~q=0
D.
Yd=~p*~q =1
~Yd=p+q =0

Ze schematu odczytujemy.

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w logice jedynek:
1.
ACD1:
Y=Ya+Yc+Yd
Y = p*q + ~p*q + ~p*~q =1
2.
B1:
~Y= p*~q =1

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w logice zer:
3.
B0:
Y = ~p+q =0
4.
ACD0:
~Y=~Ya*~Yc*~Yd
~Y=(~p+~q)*(p+~q)*(p+q) =0

4.9.2 Wykres czasowy operatora implikacji prostej p|=>q

Kluczową sprawą dla zrozumienia istoty działania operatora implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest wykres czasowy będący odpowiednikiem układu kartezjańskiego w matematyce klasycznej. W logice matematycznej bez wykresów czasowych jesteśmy ślepi, nie wiadomo o co tu w istocie chodzi.

Tworzenie wykresu czasowego:

Matematycznym fundamentem tworzenia wykresów czasowych, niezależnym od logiki dodatniej (bo Y) czy ujemnej (bo ~Y) są definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) z rachunku zero-jedynkowego.

Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
p q p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0

ACD1:
Y=Ya+Yc+Yd =(p*q)+(~p*q)+(~p*~q) =1
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya, Yc i Yd co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartkach A, C i D funkcji logicznej Y

ACD0:
Tworzenie wykresu czasowego funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
Przejście z ACD1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników:
~Y=~Ya*~Yc*~Yd = (~p+~q)*(p+~q)*(p+q) =0
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest iloczynem logicznym funkcji cząstkowych ~Ya, ~Yc i ~Yd co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartkach A, C i D funkcji logicznej ~Y.

W identyczny sposób tworzymy wykresy czasowe funkcji:
B1:
~Y=~Yb = p*~q =1
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest tożsame z wyjściem ~Yb co widać na schemacie ideowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartce B funkcji logicznej ~Y

Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B0:
Y = Yb =~p+q =0
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest tożsame z wyjściem Yb co widać na schemacie ideowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartce B funkcji logicznej Y

Nowością są tu ostatnie funkcje na wykresie czasowym ACD1’ i ACD0’
Funkcja ACD1’ wynika z minimalizacji funkcji ACD1:
Dowód:
ACD1:
Y = p*q + ~p*q + ~p*~q
Y = p*q+~p*(q+~q)
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p+p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q =1

Mamy funkcję logiczną:
ACD1’.
Y = ~p+q =1
Potwierdzeniem poprawności przekształceń matematycznych jest fakt, że suma logiczna zmiennych ~p i q daje nam dokładnie wykres ACD1.
cnd
Przejście z funkcją logiczną ACD1’ to logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
ACD0’:
~Y = p*~q =0
Tu również przebieg czasowy jest tożsamy z przebiegiem ACD0, zatem matematycznie jest wszystko w porządku.

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w logice jedynek:
1.
ACD1:
Y=Ya+Yc+Yd
Y = p*q+~p*q+~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
2.
B1:
~Y= ~Yb
~Y = p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.

Alternatywną definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) pokazano w wykresach czasowych ACD1’ i ACD0’ na dole wykresu.
1.
ACD1’:
Y=~p+q =1
Wykres ten otrzymujemy jako sumę logiczną sygnałów ~p i q
Dwustronne negacja powyższego sygnału to:
2.
ACD0’:
~Y = p*~q =0
Wykres ten otrzymujemy jako iloczyn logiczny sygnałów p i ~q

Definicja matematycznie tożsama.
Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w logice zer:
1.
B0:
Y=Yb
Y=~p+q=0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
2.
ACD0:
~Y=~Ya*~Yc*~Yd
~Y= (~p+~q)*(p+~q)*(p+q)=0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
W tym przypadku należy narysować wykres czasowy ADC0 będący iloczynem logicznym funkcji ~Ya, ~Yc i ~Yd

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Tożsamość logiczna [=] to identyczność wykresów czasowych funkcji logicznych

Z wykresu czasowego operatora implikacji prostej p|=>q odczytujemy następujące tożsamości logiczne [=]:
1.
ACD1: Y = p*q+~p*q+~p*~q =1 [=] ACD1’: Y=~p+q =1 [=] B0: Y=~p+q=0
2.
B1: ~Y = p*~q =1 [=] ACD0: ~Y= (~p+~q)*(p+~q)*(p+q)=0 [=] ACD0’: ~Y = p*~q =0

Definicja logiki matematycznej człowieka w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
Logiką matematyczną człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest wyłącznie logika jedynek i związane z tą logiką równania alternatywno-koniunkcyjne.

Na mocy powyższej definicji usuwamy z powyższego układu równań funkcje logiczne mające wartość logiczną zero, jako sprzecznie z definicją logiki matematycznej człowieka.

Stąd mamy.
Końcowy układ równań logicznych Y i ~Y opisujących implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
ACD1: Y =(p=>q) = p*q+~p*q+~p*~q =1 [=] ACD1’: Y=(p=>q)=~p+q =1
2.
B1: ~Y=~(p=>q) = p*~q =1

4.9.3 Przykład użycia warunku wystarczającego =>

Tata do syna:
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem => wystarczającym aby syn dostał komputer

Warunek wystarczający => wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub(+) pozwala odpowiedzieć na pytanie kiedy ojciec jutro dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1)

Końcowy układ równań logicznych Y i ~Y opisujących implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
ACD1: Y=(p=>q) = A: p*q+ C: ~p*q+ D: ~p*~q =1 [=] ACD1’: Y=(p=>q)=~p+q =1
2.
B1: ~Y =~(p=>q) = B: p*~q =1

Nasz przykład:
ACD1:
Y = (E=>K) = A: E*K + C: ~E*K + D: ~E*~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i K=1 lub D: ~E=1 i ~K=1
Czytamy:
Tata dotrzyma słowa (Y=1) (nie skłamie) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: E*K=1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
lub
C: ~E*K =1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
To jest piękny akt miłości, czyli prawo do wręczenia komputera mimo iż syn nie zdał egzaminu
lub
D: ~E*~K =1*1=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)

… a kiedy ojciec skłamie?
B1:
~Y=B: E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Czytamy:
Tata skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: E*~K=1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)

Mamy doskonałe i zrozumiałe dla każdego 5-cio latka odpowiedzi na pytania
Kiedy tata dotrzyma słowa (Y=1) (=nie skłamie)
oraz
Kiedy tata skłamie (~Y=1)
Nic więcej z logiki matematycznej nie da się tu wycisnąć.

Uważaj Irbisolu:
W ostatnim przykładzie widać, że algebra Boole’a w której legalne jest 5 znaczków:
{0,1}, (~), (*), (+)
poprawnie obsługuje warunek wystarczający ale nie jest mowa potoczna człowieka.
Obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to zupełnie inny poziom logiki matematycznej, gdzie konieczne jest dodatnie trzech znaczków do klasycznej algebry Boole’a:
Algebra Boole’a akceptuje 5 znaczków:
{0,1}, (~), (*), (+)
znaczki dodatkowe, konieczne do obsługi zdań warunkowych to:
p=>q - warunek wystarczający =>
p~>q - warunek konieczny ~>
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>

Dopiero po dodaniu tych trzech znaczków obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” staje się językiem potocznym człowieka w przełożeniu 1:1.
_________________

Gość

Gość

Gość

rafal3006

Dwa ostatnie posty, to kara za nazwanie Kubusia - idiotą.

Apolonia

Rower mam dla ciebie Krowo.

Apolonia

I może jeszcze dodam, że mogę u ciebie pisać Kubusiu.
Naukowo oczywiście.

krowa

Rower ładny, brązowy. Ale ja się zmieniam. Myślę o nadfiolecie i podczerwieni, a raczej na odwrót, czyli o podfiolecie i nadczerwieni.
Albo nadbrązie.
Bo ja mam oczy nadbrązowe...

Apolonia

Tak się akurat składa, że mam nadczerwony rower w zakładkach przeglądarki.
Znalazłam kiedyś to zdjęcie, spodobał mi się rower i został ze mną.
Niestety moje oczy nie są nadbrązowe.

Czy mogę ciebie prosić Krowo o zmniejszenie tych przeogromnych postów,
powiem prawdę, nie mieszczą się w moim monitorze, uciekają z niego.

krowa

mówie ci niech tak zostanie jak jest
tam nic nie ma
dobranoc

Apolonia

To niech zostanie.
Dobranoc.

Adriatyk

Apolonia

Ojciec sprał :cry:

mnie

na kwaśne jabłko. :cry:

Za co?

za niewinność, kurwa mnie sprał :cry:

Apolonia

Ćwierć metra przeszedłszy glista,
Mówi o sobie – ja turysta.

Jan Sztaudynger

Apolonia

Mistyk
Wystygł.
Wynik:
Cynik.

Jan Sztaudynger

Apolonia

Najkrótsze nóżki
U kłamstwa i kaczuszki.

Jan Sztaudynger

Apolonia

Największa krzywda, jaką znają dzieje,
Gdy krzywdy chcącej krzywda się nie dzieje.

Jan Sztaudynger

Apolonia

Powiedziało gówno śliwie:
– Spadnij, ja cię uszczęśliwię.

Jan Sztaudynger

krowa

[quote="Apolonia"]Największa krzywda, jaką znają dzieje,
Gdy krzywdy chcącej krzywda się nie dzieje.

To można sobie przygryźć język, albo wargi lepiej. Bo język więcej boli.
Ja sobie robię krzywdę jakoś tak mimowolnie i napawa mnie to śmiechem. Uderze się siekierkom i zaraz śmieje.

Co prawda, wyrzucam sobie czasem, tylko czasem, że nie dotkłam Nadzi w czułe miejsce.

Apolonia

- Miecz. Na plecach. Dlaczego masz na plecach miecz?
- Bo wiosło mi ukradli.

Andrzej Sapkowski – Krew elfów