ŚFiNiA

krowa

Błędy w logice matematycznej ziemskich matematyków!
Definicja kontrprzykładu w logice „matematycznej” ziemskich matematyków to twardy dowód jak potwornie można spieprzyć matematykę!
Definicja kwantyfikatora dużego ziemskich matematyków to potworny błąd czysto matematyczny!

Absolutnie banalna definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia:

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Błędy w logice matematycznej ziemskich matematyków!
(kluczowy fragment niniejszego postu)

7a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
Ten dowód znany jest ziemskim matematykom, mimo że nie znają poprawnej, matematycznej definicji kontrprzykładu.

Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Kontrprzykład to zdanie falsyfikujące, z którego wynika negacja pewnego zdania ogólnego. Kontrprzykład jest koniunkcją dwóch zdań elementarnych (tzn. takich, że jest to zdanie atomowe lub negacja zdania atomowego).
Jeżeli uda nam się znaleźć kontrprzykład to wyrażenie nie jest tautologią, ponieważ istnieje takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat jest fałszywy.
Kontrprzykładu używa się najczęściej do obalania fałszywych twierdzeń zawierających kwantyfikator ogólny ("dla każdego").

Definicja kontrprzykładu w logice „matematycznej” ziemskich matematyków to twardy dowód jak potwornie można spieprzyć matematykę!
Zauważmy, że definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka, oczywiście na przykładach stosownych do jego wieku … a który uczeń I klasy LO, czy nawet inżynier zrozumie jakieś brednie o zdaniu atomowym czy też o negacji zdania atomowego etc.
Zauważmy poza tym, że w algebrze Kubusia nie ma kolejnego gówna ziemskich matematyków zwanego kwantyfikatorem.
Definicja kwantyfikatora dużego /\ ziemskich matematyków to potworny błąd czysto matematyczny!
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy tak:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie byłoby wszystko w porządku, gdyby matematycy kwantyfikator duży rozumieli identycznie jak w algebrze Kubusia:
Dla każdego x, jeśli liczba x należy do zbioru P8(x) to na 100% => należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x) => P2(x)
Przy takim rozumieniu kwantyfikatora dużego mamy tu gwarancję matematyczną => iż jeśli dowolna liczba należy do zbioru P8=[8,16,24..] to na 100% => należy do zbioru P2=[2,4,6,8…]
Sęk w tym, że poprawne rozumienie kwantyfikatora dużego jak w algebrze Kubusia wymusza relację podzbioru => w zdaniu warunkowym A1 co jest Armagedonem zarówno dla ziemskiego gówna zwanego „implikacją materialną” jak i absolutnie wszystkich ziemskich logik formalnych, gdzie w zdaniu warunkowych „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593993

Algebra Kubusia
4.6 Analiza operatora implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Spis treści
4.6 Algorytm analizy zdań warunkowych w implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 1
4.6.1 Zdanie bazowe P8~~>P2 3
4.6.2 Zdanie bazowe P8~~>~P2 8
4.6.3 Zdanie bazowe ~P8~~>~P2 10
4.6.4 Zdanie bazowe ~P8~~>P2 12
4.7 Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 14
4.7.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 15

4.6 Algorytm analizy zdań warunkowych w implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q

Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q | B1: p~>q = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Algorytm analizy zdań warunkowych “Jeśli p to q” w operatorze implikacji prostej p||=>q w zbiorach:
(Algorytm ogólny - patrz punkt 2.5)

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN

Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5

Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?

Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q

Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q:
Kod:

A1B1:
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~> q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’

4.6.1 Zdanie bazowe P8~~>P2

Zadanie 461
Dane jest zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?

Poprzednik p mówi tu o zbiorze liczb podzielnych przez 8, natomiast następnik q o zbiorze liczb podzielnych przez 2.

Na potrzeby analizy musimy obliczyć wszystkie możliwe przeczenia zbiorów.
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór liczb parzystych)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
Matematycznie zachodzi definicja wspólnej dziedziny LN zarówno dla P8 jak i dla P2.
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 = LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P8~~>P2 =1 - bo istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..24..] np.24
2: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Niezbędny komentarz:
Fałszywość punktu 2 musimy udowodnić
Najprostszy dowód to:
Dowolny zbiór liczb parzystych (tu P8) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych (tu ~P2)
Nie zawsze w tak prosty sposób daje się udowodnić rozłączność zbiorów nieskończonych.
Co robić gdy nie jest tak prosto?
Prawami logiki matematycznej należy poszukać najprostszego warunku wystarczającego => bo taki warunek zawsze dowodzi się najprościej.
a)
Na początek zakładamy fałszywość kontrprzykładu 2 z czego wynika prawdziwość warunku wystarczającego który musimy udowodnić tu:
2a: P8=>P2 =?
2a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Definicja podzbioru P8=>P2 jest tu spełniona (=1), dlatego spełniona jest definicja warunku wystarczającego =>.
cnd
Twierdzenie matematyczne 2a każdy matematyk klasyczny bez problemu udowodni, ja nie muszę bo nie jestem matematykiem klasycznym.
Moja matematyka, algebra Kubusia, to fundamentalnie co innego niż matematyka klasyczna.
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy spójniki logiczne z języka potocznego „i”(*) oraz „lub”(+).
Znaczki „*” i „+” są tu identyczne jak w matematyce klasycznej ale znaczą fundamentalnie co innego, o czym mam nadzieję, każdy matematyk wie.
Zauważmy przykładowo, że nie da się wykonać operacji mnożenia 2*3=6 znaczkiem „i”(*) z logiki matematycznej.
Ta sama operacja w znaczku „i”(*) będzie znaczyła zupełnie co innego:
[2]*[3] =[] =0 - bo zbiory jednoelementowe [2] i [3] są rozłączne.
cnd

Udowodniona prawdziwość warunku wystarczającego:
2a: P8=>P2 =1
wymusza fałszywość kontrprzykładu 2a’:
2a’: P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
cnd

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2, bo liczba może nie być podzielna przez 8 (np. 2) a mimo to być podzielna przez 2.

Matematycznie warunek wystarczający => dowodzi się prościej, dlatego prawami logiki matematycznej można przejść do najprostszego warunku wystarczającego
7: P8~>P2 = 7a: P2=>P8 - prawo Tygryska w zapisie aktualnym
7: p~>q = 7a: q=>p - prawo Tygryska w zapisie formalnym
Zauważmy, że fałszywość zdania 7a dowodzi się prościej:
7a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
Ten dowód znany jest ziemskim matematykom, mimo że nie znają poprawnej, matematycznej definicji kontrprzykładu.

Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Kontrprzykład to zdanie falsyfikujące, z którego wynika negacja pewnego zdania ogólnego. Kontrprzykład jest koniunkcją dwóch zdań elementarnych (tzn. takich, że jest to zdanie atomowe lub negacja zdania atomowego).
Jeżeli uda nam się znaleźć kontrprzykład to wyrażenie nie jest tautologią, ponieważ istnieje takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat jest fałszywy.
Kontrprzykładu używa się najczęściej do obalania fałszywych twierdzeń zawierających kwantyfikator ogólny ("dla każdego").

Powyższy cytat to twardy dowód jak potwornie można spieprzyć matematykę!
Zauważmy, że definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka, oczywiście na przykładach stosownych do jego wieku … a który uczeń I klasy LO, czy nawet inżynier zrozumie jakieś brednie o zdaniu atomowym czy też o negacji zdania atomowego etc.
Zauważmy poza tym, że w algebrze Kubusia nie ma kolejnego gówna ziemskich matematyków zwanego kwantyfikatorem.
Definicja kwantyfikatora ziemskich matematyków to potworny błąd czysto matematyczny!
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy tak:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie byłoby wszystko w porządku, gdyby matematycy kwantyfikator duży rozumieli identycznie jak w algebrze Kubusia:
Dla każdego x, jeśli liczba x należy do zbioru P8(x) to na 100% => należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x) => P2(x)
Przy takim rozumieniu kwantyfikatora dużego mamy tu gwarancję matematyczną => iż jeśli dowolna liczba należy do zbioru P8=[8,16,24..] to na 100% => należy do zbioru P2=[2,4,6,8…]
Sęk w tym, że poprawne rozumienie kwantyfikatora dużego jak wyżej wymusza relację podzbioru => w zdaniu warunkowym A1 co jest Armagedonem zarówno dla ziemskiego gówna zwanego „implikacją materialną” jak i absolutnie wszystkich ziemskich logik formalnych, gdzie w zdaniu warunkowych „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.

Zauważmy na koniec iż zdania 6 i 7 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różna na mocy definicji ##.
Porównajmy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
##
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Stąd mamy tabelę T1.
Kod:

T1
Y= (p=>q)=~p+q ## Y= (p~>q)= p+~q
# #
~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Doskonale widać, że w tabeli T1 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Dowodem są tu nasze zdania 6 i 7 które rozróżniamy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] ma element wspólny ~~> ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]

W punkcie 4.7.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1 będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego A1: P8=>P2 będącego częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
cnd

4.6.2 Zdanie bazowe P8~~>~P2

Zadanie 462
Dane jest zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.

W punkcie 4.7.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1’ będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
cnd

4.6.3 Zdanie bazowe ~P8~~>~P2

Zadanie 463
Dane jest zdanie:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P8~~>~P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] mają element wspólny np. 1
2: ~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
3: P8~~>P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24 ..] i P2=[2,4,6,8..24..] mają element wspólny np. 24
4: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] mają element wspólny

W punkcie 4.7.1 zlokalizowane zdanie W1 jako A2 będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
cnd

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 będącego częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
cnd

4.6.4 Zdanie bazowe ~P8~~>P2

Zadanie 464
Dane jest zdanie:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
2: P8~~>P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24 ..] i P2=[2,4,6,8..24..] mają element wspólny np. 24
3: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2

W punkcie 4.7.1 zlokalizowane zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2
cnd

4.7 Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2

Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P8=>P2 =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8 =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P8~~>~P2=0 = [=] = 4:~P2~~>P8 =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P8~>P2 =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8 =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

4.7.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Operator implikacji prostej P8||=>q w logice dodatniej (bo P8) to układ równań logicznych:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - jeśli wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to ..
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 to ..

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?

Kolumna A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - zapis aktualny

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?

Kolumna A2B2:
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - zapis aktualny

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.

LUB

Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P8||=>P2 jest gwarancja matematyczna => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.