ŚFiNiA

[Zbanowany Uczy]

Idea Boga sprzeczna?? Wypadałoby uzasadnić ten pogląd, danbog (sorry, może gdzieś to zrobiłeś; nie mam siły szukać wszystkich postów).

A poza tym - jestem ciekaw, czy mikon miał na zajęciach o logice parainkonsystentnej. Mam bowiem marne pojęcie o tym, jakie systemy omawia się na studiach matematycznych, a jestem tego bardzo ciekawy.

Tak, logika parainkonsystentna to fajna rzecz - np. w D2 nie obowiązuje prawo: (A andp not A) thenp B ('p', dla odróznienia, przypominam, od klasycznych spójników prawdziwościowych!)

[SumienieMikołaja]

[SumienieMikołaja]

[SumienieMikołaja]

Trochę dziwna ta logika J2. Dziwi mnie już fakt, że transformacja d nie jest zdefiniowana kompozycjonalnie, tzn. może być A<=>B, ale nie być d(A)<=>d(B). W szczególności "andp" to jest dość dziwaczna koniunkcja, bo niesymetryczna. Z tego, co widzę, to powiedzieć "p andp ~p" znaczy tylko tyle: w moim świecie zachodzi p, ale istnieją światy, w których p nie zachodzi. Nic dziwnego, że z tego nie wynika każde zdanie, skoro tego rodzaju stwierdzenie nie jest żadną sprzecznością, nawet lokalną. Tak więc wydaje mi się nadużyciem mówienie tutaj o koniunkcji oraz o sprzeczności, z której nie wynika wszystko, bo na tej zasadzie to można sobie alternatywę nazwać koniunkcją i odkryć, że ex falso quodlibet przestało działać. Chyba że jest jakieś dobre uzasadnienie, żeby te konstrukcje za koniunkcję i sprzeczność uznać.

[Zbanowany Uczy]

Przed chwilą poprawiłem! Roztrzepanie dziwne u logika... ;P

A S5 nie jest parainkonsystentna, ale służy (jak widać z mojej charakteryzacji) za metajęzyk parainkonsystentnej logiki D2.

Jeśli chcesz wprost poznać D2, nie przez objazd semantyczny, oto aksjomatyka (jedna z wielu - autorstwo: da Costa, Dubikajtis 1977):

Ao1 P then Q (then P)
Ao2 (P then (Q then R)) then ((P then Q) then (P then R))
Ao3 ((P then Q) then P) then P
Ao4 (P and Q) then P
Ao5 (P and Q) then Q
Ao6 P then (Q then (P and Q))
A07 P then (P or Q)
Ao8 Q then (P or Q)
Ao9 (P then R) then ((Q then R) then (P or Q) then R))

Jest to tzw. pozytywny fragment D2. Jak widać, aksjomaty są klasyczne, ale nie ma aksjomatów dla negacji! (Stąd m.in, widisz, że p-(vel D2)koniunkcja jest najzupełnej symetryczna). Jest to więc fragment (osłabienie) logiki klasycznej (jak na razie). A teraz negatywna (by tak rzec) część aksjomatyki D2:

A1 P then not not P
A2 not not P then P
A3 not (not P or P) then Q
A4 not (P or Q) then not (Q or P)
A5 not (P or Q) then (not P and not Q)
A6 not (not not P or Q) then not (P or Q)
A7 (not (P or Q) then R) then ((not P then Q) or R)
A8 not ((P or Q) or R) then not (P or (Q or R))
A9 not (( P then Q) or R) then (P and not (Q or R))
A10 not ((P and Q) or R) then (P then not (Q or R))
A11 not (not (P or Q) or R) then (not (not P or R) or not (not Q or R))
A12 not (not (P then Q) or R) then (P then not (not Q or R))
A13 not (not (P and Q) or R) then (P and not (not Q or R))

Plus reguła modus ponens.

Aksjomaty dla negacji są tezami KRZ (klasycznego rachunku zdań), ale, znowu, można dowieść, że D2 to fragment KRZ (podobnie jak I [intuicjonistyczny]RZ to fragment KRZ). Można np. dowieść, że w D2 nie jest tezą prawo Dunsa Szkota, tj.

P then (not P then Q)

Ani w wersji

(P and not P) then Q

Dlatego zaliczamy D2 do logik parainkonsystentnych.


HEJ! Pisząc to nie wiedziałem nic o Twoich postach od g. 13.35 w górę. Chyba teraz już rozjasniłem pewne rzeczy.

[mikon]

[Zbanowany Uczy]

To wina forum (w sensie software), że nie mogę stosować standardowej symboliki: "karo" (wzgl. "diamentów"), "boxów", "strzałek" itp.

'LP' gdzie 'P' jest dowolną formułą czyta się często 'konieczne, że P' - mówiąc Ajdukiewiczem, 'L' to funktor zdaniotwórczy od jednego (stąd 'unarny!') argumentu zdaniowego. 'MP' zaś czyta się często jako 'możliwe, że P'. No i przyjmuje się definicję: konieczne, że P : = nieprawda, że możliwe, że nieprawda, że P (alternatywnie, z przestawioną koniecznością i możliwością). Proste? :wink: Podobnie jak negację, L i M można oczywiście iterować.

A co do 'M' jako możliwości i 'M' jako modelu; to drugie 'M' pisze się (jeśli ktoś nie lubi karo/diamentu, którym oznacza się możliwość) gotykiem. Ale na taką czcionkę tu nie mogę liczyć, więc przepraszam za utrudnienia i proszę o uważne śledzenie kontekstu, w jakim pojawiają się stosowne symbole.

[mikon]

To chyba pozostaja nam tylko nawiasy. Rozumiem, ze powinno sie to czytac tak: LA iff not M(not A)?

[Zbanowany Uczy]

Jak chcesz, mi są nawiasy niepotrzebne (może dlatego, że mam już tak "zlogizowane" oko). :wink:

[mikon]

OK. Wszystko strawilem, choc nie dalbym rady, gdybym od poczatku nie podejrzewal, ze L i M maja cos wspolnego z mozliwoscia i koniecznoscia. Moze warto na poczatku napisac?

Wyglada to wszystko fajnie, choc podejrzane, ze te, rzekomo symetryczne wzgledem and, aksjomaty maja byc rownowazne niesymetrycznej prezentacji przy pomocy S5.

Ale te aksjomaty nie sa symetryczne, np:

Ao6 P then (Q then (P and Q))

Nie widze skad wynika wersja:

Ao6 P then (Q then (Q and P))

Czy w tej logice jest prawda, ze (P and Q) zachodzi w modelu wtw gdy (Q and P) w nim zachodzi? Jesli nie, jesli and nie jest nawet symetryczne, to moje Sumienie slusznie mi podpowiada, ze taka sprzecznosc jest lipna.

[Zbanowany Uczy]

(p and q) iff (q and p) nalezy do D2 (z definicji ) wtw
M(((M(p and Mq) then (q and Mp)) and M((q and Mp) then (p and Mq))) należy do S5.
(Ta interpretacja w S5 przydaje się m.in. po to, by uprościć liczenie. Ale i tak formuła ta jest makabrycznie długa! ).
Istotnie, jeśli się nie pomyliłem, formuła ta nie jest tautologią D2. Oto model, w którym nie zachodzi:

({w1, w2}, f(p) = w1, f(q) = w2).

Nie wynika z tego "lipność" sprzeczności. Pamiętaj, że nie jest to klasyczna logika!

Jednak jest pewien szkopuł. (p and q) then (q and p) da się łatwo wykazaś z Ao4 i Ao5 i przy pomocy

(p then q) then ((p then r) then (p then (q and r)))

Ale tego własnie nie ma w aksjomatyce! Żeby jednak było śmieszniej, istnieje czysto derywacyjna wersja D2 skonstruowana przez Kotasa i da Costę w 1979; zawiera ona reguły:

p and q / p
p and q/ q
p, q/p and q

A przeto widać gołym okiem, że (p and q) then (q and p) jest tu tezą. Coś więc nie gra. Ale co??

Uf, sorry, ale idę lulu. Jutro mam cięzki dzień na uczelni.

[danbog]

Hehehe...

Widze że od przedszkola szybko przeskakujecie do Opola.

Wyobraźcie sobie że jest to dział do którego zagląda nastolatek , który wczoraj w szkole poznał nowe słowo : " LOGIKA ".
Nie dokońca zrozumiał co nauczyciel mówi , bo akurat musiał przepisywać zadanie z plastyki.
Zanim więc zaczniecie dywagować nad symetrią aksjomatów , funktorami zdaniotorczymi itp. to wyjaśnijcie co znaczą te określenia. :wink:

[mikon]

[Zbanowany Uczy]

Terminologię, nad którą zastanawia się mikon, wprowadził chyba Kazimierz Ajdukiewicz w pracy "O spójności syntaktycznej". Przedstawił w niej podstawy tzw. gramatyki kategorialnej. W najprostszej wersji dyktuje ona podział wyrażeń zadanego języka na wyrażenia samodzielne (zwykle nazwy) i funktory. Funktory (mówi się też czasem: operatory) mogą być:
1) zdaniotwórcze, jeśli zastosowanie funktora do danego wyrażenia daje zdanie
2) nazwotwórcze, jeśli ...(bla-bla) daje nazwę
3) funktorotwórcze, jeśli...(bla-bla) daje funktor

Przykład. 'Nieprawda, że' jest funktorem zdaniotwórczym, bo zastosowane do 'Zbanowany jest lekko szurnięty' daje zdanie (wg mnie, fałszywe :wink: ): 'Nieprawda, że Zbanowany jest lekko szurnięty'.
'Syn' zastosowany do wyrażenia 'Zbója' jest funktorem nazwotwórczym, bo w wyniku jego zastosowania mamy nazwę: 'Syn Zbója'.
'Bardzo' w zastosowaniu do 'ładne' jest funktorem funktorotwórczym, bo ...itd dostajemy funktor: 'bardzo ładne' (tak, jest to funktor - w zastosowaniu do nazwy 'dziewczynki' - nazwotwórczy: 'bardzo ładne dziewczynki').

Funktory mogą być, jak widać, od argumentu: zdaniowego (przykład pierwszy), nazwowego (drugi) bądź funktorowego (przykład trzeci).

I, wreszcie, argumentów może być kilka (w powyższych przykładach był tylko jeden); więcej: mogą być one różnych kategorii.
Np.: 'i' funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych. Ajdukiewicz skrótowo zapisywał to 'z/zz' (symbol ten zwiemy indeksem kategorialnym danego wyrażenia, tu - 'i'). Przykładów "mieszanych" chwilowo nie mam pod ręką.
Dal ćwiczeń: indeks kategorialny funktorów z przykładów: z/z, n/n, f/f. Proste? (Ba, są też funktory tak złożone, że aż głowa boli; jest nawet ponoć algorytm skracania indeksów, ale to już wyższa szkoła jazdy).

Wracając do (nie) symetryczności and: w czasopiśmie, o kórym wspomniałem w wątku o i-logice, znalazłem wzmiankę o modyfikacji D2, w którym transformata Jaśkowskiego od p and q daje Mp and Mq. Jak widać, koniunkcja będzie tu z pewnością symetryczna (niestety, autor nie podaje aksjomatyki:( ).

[mikon]

Te functory zdaniotworcze sa znacznie mniej glupie, niz myslalem. Ja bym to robil algebrami wielorodzajowymi z operacjami wyzszego rzedu, ale to tez nie jest specjalnie standardowy ani prosty mechanizm. Natomiast smieszy mnie nazewnictwo, bo funktory sa pojeciem teorii kategorii, a analogia z tym tutaj wydaje sie bardzo naiwna.

A to f/f jest mocno uproszczone, plus nie wierze, zeby indeksy wolno bylo skracac. ;>

[Zbanowany Uczy]

Polecam pracę z serii "Logika i jej zastosowania" (tzw. seria z kostką Rubika) Wojciecha Buszkowskiego pt. "Podstawy gramatyk kategorialnych Ajdukiewicza-Lambeka".
Oczywiście, że się skraca, tyle że niekoniecznie tak, jak ułamki . JAK to się robi i kiedy - na szczęście (podkreślam to słowo) nie zajmuję się tymi gramatykami, więc nie wiem!