ŚFiNiA

[Zbanowany Uczy]

[Zbanowany Uczy]

O Goedlu zgodnie z obietnicą:

Wspomniany fragment z „Handbooku” Burkhardta i Smitha w tłumaczeniu Uczy.

(…) Goedel zarysował teorię pozytywności formalnie rozwiniętą w towarzyszących [oryginałowi] notatkach Dany Scotta [to facet! – U]. Oba ostatnio zostały opublikowane [ w 1988 – U]. Goedel przedstawia drugiego rzędu teorię własności z dwoma rodzajami modalności – konieczne, że (L) i możliwe, że (M), które stosują się do formuł, i ontologiczną – być pozytywnym (P), która stosuje się do własności. P(p) znaczy: p jest własnością pozytywną. Aby utworzyć własności z formuł stosujemy operator abstrakcji [ ]. Np. – p = [x: – p(x)]. Operator ten jest scharakteryzowany przez zasadę abstrakcji: [ x: p ](y) wtw p(y). Teorię zaksjomatyzowano przez wzięcie modalnej normalnej logiki kwantyfikatorów QK5 plus aksjomaty charakteryzujące pozytywność oraz pojęcia: Boga, istoty i koniecznego istnienia.
CZYSTA TEORIA POZYTYWNOŚCI. Definiujemy
p < q = LA x (p(x) then q(x)).
[własność p pociąga własność q wtw konieczne, że wszystko, co ma p, ma też q – U].
Jako aksjomaty bierzemy:
A0 P([x: x = x])
Własność bycia identycznym ze sobą jest logiczna, stąd pozytywna.
A1 – P(p) wtw P(–p).
albo własność jest pozytywna, albo jej negacja, ale nie oba.
A2 p < q then (P(p) then P(q)).
Każda własność pociągana przez własność pozytywną jest pozytywna, lub: własność jest pozytywna, jeśli koniecznie zawiera własność pozytywną [via komutacja – U].
A3 (P(p) and P(q)) then P(p and q).
Koniunkcja własności pozytywnych jest także pozytywna [i to jest słaby punkt dowodu wg komentatora – zob. dalej – U].
A4 P(p) then LP(p).
Bycie własnością pozytywną jest konieczne. (…) Aksjomat A4 wyraża ideę, że bycie własnością pozytywną jest sprawą czysto ontologiczną, stąd konieczną. Stosując jedynie A0, A1 i A2 możemy dowieść prawdziwie Leibnizowe twierdzenie:
1. P(p) then ME x p(x).
Każda własność pozytywna jest możliwe egzemplifikowana, stąd możliwa, a przeto niesprzeczna.
TEORIA BOGA I ISTOTY. Bóg jest zdefiniowany jako podmiot wszystkich własności pozytywnych, innymi słowy jako byt maksymalnie pozytywny [zwróćcie na to uwagę, a na końcu przemyślcie cały dowód interpretując ‘P(p)’ nie jako ‘p jest własnością pozytywną’, ale ‘p jest doskonałością’ – U]:
G(x) = A p (P(p) then p(x)).
Esencjalna (lub jądrowa) własność bytu jest zdefiniowana przez:
pEssx = p(x) and A p (q(x) then p < q).
p jest istotą x-a wtw x ma p i własność ta (…) pociąga każdą własność x-a (…). W końcu, konieczne istnienie jest zdefiniowane za pomocą własności istotnych:
NE(x) = A p (p Essx then LE y p(y)).
x koniecznie istnieje wtw jego istota jest koniecznie zrealizowana. Pozytywność powyższych własności gwarantują ostatnie dwa aksjomaty teorii:
A5 P(G).
A6 P(NE).
Zauważmy, że zakładając obecność któregoś z tych dwóch aksjomatów, aksjomat A0 jest zbędny. Aksjomat A5 nie znajduje się w odręcznych notatkach Goedla, ale w pracy Scotta. Można go wyprowadzić z A3 za pomocą stosownej zasady finitystyczności. Scott motywuje A5 tak: bycie pozytywnym jest własnością logiczną, a G jest zdefiniowany logicznie jako przekrój własności pozytywnych, zaś każdy przekrój własności pozytywnych powinien być także pozytywny [i tu jest podobny problem, jak z A3 – zob. dalej – U]. Teraz można udowodnić dalsze Leibnizowe tezy:
2. ME x G(x).
[Możliwe, że Bóg istnieje – U].
3. G(x) then GEssx.
Własność G jest jądrowa dla Boga.
4. (pEssx and qEssx) then LA y (p(y) wtw q(y)).
[Jeśli p i q są istotami x-a, to nieczne, że wszystko, co ma p, ma też q i vice versa – U]
5. pEssx then LA y (p(y) then x = y).
[Jeśli p jest istotą x-a, to konieczne, że każdy obiekt posiadający p jest identyczny z x-em – U]. [Krótko mówiąc,] korelacja pomiędzy własnością jądrową i jej obiektem jest, modulo równoważność logiczna – jeden-do-jednego [tj. jeden obiekt – jedna własność jądrowa vel istota – U.].
W końcu otrzymujemy twierdzenie ontologiczne:
6. LE x G(x).
Konieczne jest, że Bóg istnieje.
Faktycznie możemy dowieść jeszcze silniejszych tez (Sobel 1988):
7. P(p) then LE x p(x).
Każda własność pozytywna jest koniecznie egzemplifikowana.
8. E p pEssx then NE(x).
Każdy obiekt z własnością jądrową koniecznie istnieje. [Wg mnie pokazuje to, że Goedel użył chyba za silnych aksjomatów]. (…) Zauważmy, że A3, a tym bardziej A6, są odpowiednikami podstawowej tezy Leibniza dotyczącej kompatybilności doskonałości, a to – jak pamiętamy – było najważniejszym i najdelikatniejszym momentem w jego dowodzie. Tak więc, co Leibniz chciał udowodnić, przyjęto aksjomatycznie. (…)

WNIOSEK UCZY: Dowód Goedla, choć poprawny formalnie, nie jest najlepszy!

[Zbanowany Uczy]

Acha: w Wikipedii jest błąd: w Aksj. 1 zbędna jest klamra.
Aksj. 1 u niej to u mnie A2
Aksj. 2 u niej to u mnie A1
Aksj. 3 u niej to u mnie A5 (i widać z tego, co napisałem wyżej, że to NIE jest oryginany dowód Goedla, ale wersja Scotta)
Aksj. 5 u niej to u mnie A6
Twierdz. 4 u niej to u mnie 6.

[konrado5]

[miki]

[wujzboj]

Panowie, prawa autorskie to prawa autorskie. Zbanie, czy kiedy dowód ten zostanie opublikowany w jakimś czasopiśmie, przedstawisz nam go? Ale na razie wróćmy do Goedela.

Wypisales założenia i wnioski. A czy mógłbyś teraz przedstawić przebieg dowodu? W miarę możliwości nadal podając obok każdego wzoru wytłumaczenie jego znaczenia w języku potocznym.

Ale może zanim do tego przejdziemy: wydaje mi się, ze samo pojecie pozytywności jest określone dość niejasno. Mógłbyś nam je przybliżyć, najlepiej ilustrując definicje przykładami?

[Zbanowany Uczy]

[miki]

[konrado5]

Pomyślcie co by było, gdyby wielcy naukowcy zachowali dla siebie swoje wielkie odkrycia. Zban: pogadaj jeszcze z tym kolegą o to, żeby chociaż on sam opublikował ten dowód na tym forum, skoro nie pozwoli tobie tego zrobić.

[Zbanowany Uczy]

Kto nie wie, co to są teorie drugiego rzędu, dla tego posty w tym wątku są i muszą być czarną magią. Jedyna praca, jaką po długich poszukiwaniach znalazłem w Bibliotece, rozczarowała mnie: jest to 14 rozdział „Handbook of Philosophical Logic. Vol. I: Elements of Classsical Logic, Ed. by D. Gabbay i F. Guenthner. D. Reidel Publishing Company. Dordrecht/Boston/Lancaster”, pt. “Higher-order logic”, napisany przez Johana van Benthema i Keesa Doetsa. A rozczarował dlatego, że podaje tylko własności metalogiczne wysokiego lotu systemów II rzędu (i jeszcze wyższych; np. niepełność [Leon Henkin udowodnił, że logika II rzędu jest pełna – ale za cenę ograniczenia klasy jej modeli], niezwartość, niespełnienie twierdzenia Lindstroema i Loewenheima-Skolema) plus parę przykładów jako ilustracje. Nie ma standardowego przedstawienia jak logiki I rzędu (na ten temat podręczników jest mnóstwo): język, wybrane formuły (logika II rzędu jest nieaksjomatyzowalna) charakteryzacja semantyczna, przykłady dowodów itp. Panowie van Benthem i Doets!!! Litości!!!
O wiele łatwiejsza sprawa ze wspomnianym dowodem kolegi – jest oparty na bardzo prostej teorii I rzędu.

Acha, aby przetestować mikiego, mały teścik: udowodnij mi mistrzu, że formuła –p then (p then q) nie jest D2- tautologią (że jest KRZ-tautologią to i ślepy zobaczy; a że JEST [tu napisałem 'nie jest', za co przepraszam - chwilowe zaćmienie! gdyby INT nie tolerowała prawa przepełniania, to by była parakonsystentna!] INT-tautologią, można udowodnić, ale wybrałem prostszy system na początek). Ściąga jest tu, mój post 5 od góry:
http://www.sfinia.fora.pl/viewtopic.php?t=382&start=0

[miki]

[Zbanowany Uczy]

[mikon]

Noworoczne Serdecznosci!

Nieuczony jestem w logikach modalnych... A podrzucicilibyscie link do tego dowodu, ktory trzeba zrozumiec?

Dowodzic czegokolwiek potrafie tylko w systemach, ktore maja duzo regul a malo aksjomatow, np. naturalna dedukcja, gentzenowski, a np. juz z systemami w rodzaju Hilberta sobie nie daje rady. A semantycznie to juz w ogole nie lubie dowodzic, bo trzeba sobie pobrudzic lapki (i nie mozna poprosic komputera o pomoc). Ten dowod formuly D2 powyzej jest czesciowo semantyczny (szukamy S5-modelu falsyfikującego), czesciowo syntaktyczny (wykonujemy transformatę Jaśkowskiego) --- to juz zupelna partyzantka, ale jak widac skuteczna.

Czy gdzies jest podany system dowodzenia (rozumiem, ze niepelny, ale to nie musi szkodzic) dla tej "drugiego rzędu teorii własności" w ktorej dowod zostal przeprowadzony? Tylko w tym wypadku moze byc ze mnie pozytek...

[miki]

Zbanowany Uczy, niestety nadal nawet nie potrafię odczytać tego co napisałeś, a zważywszy na fakt, że musiąłbym ciebie pytać np. czy „-” oznacza negację, a nie mówiąc już o tym, co to takiego „transformata Jaśkowskiego” i niechcąc zamulać tematu muszę się poddać – pozostając jednak przy swoim przekonaniu „zrozumiem teorię, każdego rzędu” – nie chwaląc się .

Dziękuje za wyjaśnienia.

[wujzboj]

Mikonie, mowa jest o dowodzie Goedla na istnienie Boga. Christopher Small ma na swojej stronie dosc [link widoczny dla zalogowanych], poprzedzone [link widoczny dla zalogowanych]; na dodatek mozna sobie przeczytac jego komentarze na temat roznych wersji.

Miki, spokojnie

Transformata Jaśkowskiego pokazuje, w jaki sposób tłumaczyć wyrażenia ze "zwykłego" języka klasycznej logiki na obowiązujące w języku modalnym (w meta-języku). Zwykły język używa symboli logicznych ~, ∧, ∨, => i <=>. W języku modalnym dodane do tego sa symbole M (możliwe - czyli zachodzące w jakichś "możliwych światach", a w innych "możliwych światach" niezachodzące) i L (konieczne - czyli zachodzące we wszystkich możliwych światach); prawdziwość p oznacza, ze p zachodzi w "aktualnym swiecie" (p jest faktem). Transformata Jaśkowskiego wyglada tak (prymowanie oznacza transformatę):

p':= p,
(~p)' := ~p',
(p ∨ q)' := p' ∨ q'
(p ∧ q)' := p' ∧ Mq'
(p => q)' := Mp' => q'.

Aha, jeszcze jedno: logika zerowego rzędu to rachunek zdań, logika pierwszego rzędu to rachunek predykatorow (czyli w praktyce dodanie kwantyfikatorów ), zas logika drugiego rzędu pozwala na dodatek mówić o zbiorach. Wszystko to jest w praktyce sposobem na formalna analizę wyrażeń z języka potocznego - czyli rzeczywiście to, co da sie sensownie powiedzieć za pomocą zapisu logiki któregoś tam rzędu, musi dać się sensownie powiedzieć za pomocą potocznego języka. Tyle, ze zapis formalny pozwala (w bardziej skomplikowanych przypadkach) na przeprowadzenie analiz, które mogą być mało przejrzyste (i dlatego łatwe do poplątania), gdy się je prowadzi w języku potocznym.

Rzecz jasna, wszystko ma swoje granice: nie każde wyrażenie z języka potocznego da się przełożyć na język formalny bez zgubienia jakiejś treści, i nie każda formalna analiza jest łatwiejsza od zwykłego rozumowania. Jednak jeśli już zapis się uda i formalny dowód da się przeprowadzić, wtedy ma się pewność, ze wszystko jest w porządku. W granicach zastosowanej teorii, ma sie rozumieć.

[konrado5]

Czy moglibyście łopatologicznie wytłumaczyć dowód Goedla bez użycia tych kwantyfikatorów itp.?

[wujzboj]

Do tego sie wlasnie przymierzamy.

[Zbanowany Uczy]

Ale z tego, co wyczytałem, i co już zaznaczyłem w [ ], dowód ten ma pewne braki. Jednak jak chcecie, mi nie przeszkadza, ale powtarzam, że nie należę do grona tych nielicznych, co pracują w logice II rzędu.

[wujzboj]

Przede wszystkim, jest to po prostu formalne rozpisanie rozumowania Leibnitza, co pozwala zobaczyc, w ktorym miejscu pojawiaja sie zalozenia i jakie to zalozenia sa. Goedel nie opublikowal tego dowodu, zdaje sie wlasnie dlatego, zeby nie traktowano tego jako jakies absolutne uzasadnienie istnienia Boga. Zamiast tego, przedstawial go znajomym. Opublikowano go po smierci Goedla na podstawie jego notatek.

To jak, pokusimy sie o wspolne zaznajomienie sie z podstawami logiki modalnej na przykladzie dowodu Goedla? Moze sprobujesz na poczatek napisac krotkie wyjasnienie, na czym w ogole polega logika modalna i do czego jest ona w ogole przydatna?

[hieronimvs]

PTWqwerty opisal swoj dowod na istnienie Boga. Brawo - wlasnie udowodniles istnienie... Sziwy (mozna tu wstawic dowolnego z dziesiatek tysiecy bostw znanych czlowiekowi jak i cokolwiek innego). I co z tego teraz wynika?

A tak na serio: jesli odbywa sie jakakolwiek dyskusja na temat "boga" to trzeba po pierwsze zdefiniowac dobrze co rozumiemy pod pojeciem "boga". Np. taki "dowod" a'la PTWqwerty, dowod oparty na gruncie logiki jakiegokolwiek rzedu itp. brzmialby moze i dobrze, gdyby pod pojeciem boga rozumiec nature, prawa fizyki etc. Ale juz nieco gorzej wyglada sprawa, gdybysmy chcieli udowodnic w ten sposob istnienie boga wyznawanego przez czlonkow kosciola rzymsko-katolickiego czy jakiejkolwiek innej wspolnoty religijnej.

Problem w dyskusjach "teologicznych", takich jak te prowadzone na tym forum polega na tym, ze ludzie zwykle nie potrafia wyjsc ze swoja argumentacja na meta poziom dyskusji, to znaczy spojrzec na swoje i oponenta argumenty i poglady "z gory", z oddali, okiem, rzec by mozna, bardziej obiektywnym. Ludzie zwykli przeprowadzac wszelkie argumentacje na gruncie WLASNYCH POGLADOW I PRZEKONAN, co z gory skazuje wszelka merytoryczna dyskusje na niepowodzenie.

Mowiac "meta poziom" nie mam nawet na mysli epistemologicznego znaczenia tego pojecia, ale raczej cos mniej formalnego. Podam znany i klasyczny przyklad: wyjsciem na meta poziom w dyskusji o istnieniu/nieistnieniu boga (uprzednio juz dobrze zdefiniowanego, np. jako boga chrzescijanskiego) jest zastanowienie sie nad nastepujaca kwestia: na swiecie istnieje wiele religii, w kazdej wyznaje sie innego boga/bogow. Jasne jest, ze ich rownoczesne istnienie jest niemozliwe, gdyz prowadzi do sprzecznosci na gruncie teologii poszczegolnych religii. Ponadto istnieje wysoka korelacja wyznawanej religii z polozeniem geograficznym.

Wnioskami w takim rozumowaniu moze byc np. to, ze religia ma silny zwiazek z kregiem kulturowym, a to - posrednio - moze byc argumentem przeciwko istnieniu Boga. Pisze "moze" i "posrednio", gdyz nalezaloby przeprowadzic nieco dluzszy i staranniejszy wywod, na co nie ma tu miejsca.

Wniosek jest taki: jest malo prawdopodobne, by czlowiek tzw. wierzacy potrafil wejsc na ten meta poziom w dyskusji. Zwiazane to jest glownie, tak sobie mysle, z kwestia psychologiczna (w skrocie: czlowiekowi od dziecka wpajane jest, ze bog (np. chrzescijanski) istnieje, ze nalezy w niego wierzyc, straszy sie dziecko pieklem, a pozniej przez to dorosly juz czlowiek ma problemy z samodzielnym i odwaznym mysleniem, brak mu odwagi do tego by porzucic religie nawet, jesli jasno widzi, ze jest w niej mnostwo sprzecznosci, a zwykle jest tak zmanipulowany, ze nie potrafi myslec inaczej niz przez pryzmat SWOJEJ religii, przez co dyskusja jest utrudniona).

[wujzboj]

[bol999]

Dowód na istnienie Boga jest prosty.
Wystarczy uwierzyć w nieomylność Papieża Wojtyły, a że też Polak to rodaków nie kłamie.
Mówił On, że Jezus zasiada po prawicy Boga.
Jeśli Bóg ma prawą stronę, to i lewą,- mniej doskonałą i coś pomiędzy.
Nie dość że już mamy dowód na istnienie Boga, to jeszcze MATERIALNEGO, bo duchowy Bóg, nie może mieć ani prawej ani lewej strony i nic pośrodku.
Podobnie Jezus.
Jeśli zasiada po prawicy, to ma na czym siedzieć czyli ma choć dupę materialną. Czy resztę też tego nie wiem.

[wujzboj]

No patrz, jakie proste są te wszystkie dowody.

W kwestii Boga wystarczy uwierzyć papieżowi, w kwestii kosmitów z Dziesiątej Planety - Sitchinowi, w kwestii spisku powszechnego kosmicznych gadów w ludzkiej skórze - Ickowi, w kwestii dupy materialnej - Bolesławowi zwanemu Bol999.

Odnoszę jednak niejasne wrażenie, że powyższym postem chciałeś wyrazić jakąś myśl, i że ta myśl miała stanowić jakiś zarzut wobec tych, co uważają, że Bóg nie jest materialny. Proszę potwierdź albo zaprzecz, bo bez tego nie wiem, czy twój powyższy komentarz jet głosem w dyskusji, czy kawałem o kwadratowych zającach.

[bol999]

Odpowiadam jak Ty. Na co mi sie podoba.

[Jeremiasz Szary]

No wiec kiedy dalszy ciag dyskusji na temat dowodow rzedu II (a wlasciwie I). Bol999 powinien zamknac sie i czytac (nic wiecej).