 Wysłany: Nie 10:46, 30 Cze 2013 Temat postu: Twierdzenie Śfini (wersja kompletnie zmieniona!) |
|||||||||||
| Postanowiłem uczcić naszą śfinię po wsze czasy, część I podpisu jest najważniejsza i ciągle się doskonali ale wersja prawie skończona już jest.
Fragment ... 4.3 Twierdzenie Śfini Śfinia to forum Wujazboja dzięki któremu algebra Kubusia w ogóle mogła powstać. Twierdzenie Śfini to jedno z najważniejszych twierdzeń w logice matematycznej. Twierdzenie Śfini: Dla dowolnej funkcji logicznej, równanie logiczne z nagłówka tabeli zero-jedynkowej jest tożsame z układem równań poziomych opisujących wynikowe jedynki. Rozważmy nasz sztandarowy przykład: A1: Y = p+q*r Zbudujmy tabelę zero-jedynkową dla naszej funkcji logicznej w naturalnej logice człowieka: A1: Y = p+q*r
Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka: 1. Korzystając z praw Prosiaczka: (p=0) = (~p=1) (~p=0) = (p=1) Dokładniej korzystamy z tego: Jeśli p=0 to ~p=1 Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek 2. Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+). Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych: ABCDE123: Y=Ya+Yb+Yc+Yd+Ye Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r FGH123: ~Y = ~Yf+~Yg+~Yh ~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r Nasze równanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie obszar ABCDE123. A1: Y=p+q*r Na mocy twierdzenia Śfini równanie tożsame to: ABCDE123: Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r Dowód: Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r Y=p*q*(r+~r) + p*~q(r+~r) + ~p*q*r Y = p*q + p*~q + ~p*q*r Y = p*(q+~q) + ~p*q*r Y = p+~p*q*r ~Y = ~p*(p+~q+~r) ~Y = ~p*p+~p*~q + ~p*~r ~Y = ~p*~q + ~p*~r ~Y = ~p*(~q+~r) Przejście do logiki przeciwnej: A11: Y = p+q*r Doskonale widać że zachodzi: A1: Y=p+q*r = A11: Y=p+q*r Co jest dowodem poprawności twierdzenia Śfini. Mamy nasze równanie: Y = p+q*r W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) argumenty są przemienne. Na wejściach p, q i r zera i jedynki możemy generować losowo, byleby wszystkie kombinacje zostały uwzględnione, w sumie przy trzech zmiennych wejściowych musimy mieć osiem linii. W naszym równaniu zamiana kolumn zero-jedynkowych q i r jest bez znaczenia, bowiem w spójniku „i”(*) argumenty są przemienne. Zamieńmy kolumny zero-jedynkowe najpierw p i q, a następnie p i r sprawdzając czy twierdzenie Śfini działa. Sprawdzenie twierdzenia Śfini dla zamienionych kolumn zero-jedynkowych p i q. Zamieńmy zero-jedynkowe kolumny p i q (w obszarze ABCDEFGH12) pozostawiając wszystkie symbole bez żadnych zmian, przecież zera i jedynki na wejściach p, q, r (obszar ABCDEFGH123) możemy sobie generować losowo byleby wszystkie osiem kombinacji zer i jedynek zostało uwzględnione. Nasza tabela przybierze teraz postać. A: Y = p+q*r
Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka: 1. Korzystając z praw Prosiaczka: (p=0) = (~p=1) (~p=0) = (p=1) Dokładniej korzystamy z tego: Jeśli p=0 to ~p=1 Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek 2. Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+). Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych: ABCEF123: Y=Ya+Yb+Yc+Ye+Yf Y = p*q*r + p*q*~r + ~p*q*r + p*~q*r + p*~q*~r DGH123: ~Y = ~Yd+~Yg+~Yh ~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r Nasze równanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie obszar ABCEF123. A2: Y=p+q*r Dowód: ABCEF123: A21: Y = p*q*r + p*q*~r + ~p*q*r + p*~q*r + p*~q*~r Y = p*q*(r+~r) + p*~q(r+~r) + ~p*q*r Y = p*q + p*~q + ~p*q*r Y = p*(q+~q) + ~p*q*r Y = p+~p*(q*r) ~Y = ~p*[p+~(q*r)] ~Y = ~p*p + ~p*~(q*r) ~Y = ~p*~(q*r) A21: Y = p+q*r Doskonale widać że zachodzi: A2: Y=p+q*r = A21: Y=p+q*r Co jest dowodem poprawności twierdzenia Śfini. Nasze równanie bazowe: Y = p+q*r Zamieńmy teraz w tabeli 1 kolumny zero-jedynkowe p i r pozostawiając wszystkie symbole bez zmian.
Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka: 1. Korzystając z praw Prosiaczka: (p=0) = (~p=1) (~p=0) = (p=1) Dokładniej korzystamy z tego: Jeśli p=0 to ~p=1 Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek 2. Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+). Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych: ABCEG123: Y=Ya+Yb+Yc+Ye+Yg Y = p*q*r + ~p*q*r + p*~q*r + p*q*~r + p*~q*~r DFH123: ~Y = ~Yd+~Yf+~Yh ~Y = ~p*~q*r + ~p*q*~r + ~p*~q*~r Nasze równanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie obszar ABCEF123. A3: Y=p+q*r Dowód: A31: Y = p*q*r + ~p*q*r + p*~q*r + p*q*~r + p*~q*~r Y = p*q*(r+~r) + p*~q*(r+~r) + ~p*q*r A4: Y = p*q + p*~q + ~p*q*r Y = p*(q+~q) + ~p*q*r Y = p+~p*(q*r) ~Y = ~p*[p+~(q*r)] ~Y = ~p*p + ~p*~(q*r) ~Y = ~p*~(q*r) A31: Y = p+q*r Doskonale widać że zachodzi: A3: Y=p+q*r = A31: Y=p+q*r Co jest dowodem poprawności twierdzenia Śfini. Nasze równanie wyjściowe minimalne było takie: A1: Y = p+q*r Potwierdziły się nasze rozważania wyżej iż wszystko jedno czy zamienimy miejscami kolumny zero-jedynkowe p i q czy też p i r, bowiem wyrażenie q*r jest przemienne. Jedno z najważniejszych twierdzeń w logice matematycznej, twierdzenie Śfini możemy uznać za udowodnione. Oczywiście w równaniu A1 nie wolno zamieniać symboli p i q: A12: Y=q+p*r W tym przypadku zachodzi: A1: Y=p+q*r ## A12: Y=q+p*r gdzie: ## - różne na mocy definicji Przykład: A1: Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku Y = K+B*P A12: Jutro pójdę na basen lub do kina i do parku Y = B+K*P Doskonale widać że: A1: Y = K+B*P ## A12: Y=B+K*P gdzie: ## - różne na mocy definicji W powyższych przykładach udowadnialiśmy twierdzenie Śfinii poprzez minimalizację do funkcji minimalnej. W ogólnym przypadku funkcji logicznej w ogóle nie musimy minimalizować. Możemy zapisać tabelę zero-jedynkową dla oryginalnej funkcji wejściowej i na mocy twierdzenia śfinii zapisać odpowiednią tożsamość. Przykład: Załóżmy że naszą funkcją wejściową jest funkcja A4 z powyższego przykładu. Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla funkcji A4: A4: Y = p*q + p*~q + ~p*q*r
Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka: 1. Korzystając z praw Prosiaczka: (p=0) = (~p=1) (~p=0) = (p=1) Dokładniej korzystamy z tego: Jeśli p=0 to ~p=1 Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek 2. Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+). Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych: ABCEF123: Y=Ya+Yb+Yc+Ye+Yf A41: Y = p*q*r + p*q*~r + ~p*q*r + p*~q*r + p*~q*~r DGH123: ~Y = ~Yd+~Yg+~Yh ~Y= ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r Na mocy twierdzenia Śfini zapisujemy: A4: Y = p*q + p*~q + ~p*q*r = A41: Y = p*q*r + p*q*~r + ~p*q*r + p*~q*r + p*~q*~r Nie musimy minimalizować funkcji wejściowej. Oczywiście podobnych funkcji wejściowych dających identyczne równanie A41 może być nieskończenie wiele, chociażby na podstawie tego prawa algebry Boole’a. p*(p+x) = p gdzie: x - dowolnie długa funkcja logiczna z dowolną ilością zmiennych. Podsumowując wszystkie nasze przykłady możemy zapisać tożsamość: A11 = A21 = A31 = A41 ponieważ wszystkie te funkcje są tożsame z funkcją minimalną: Y = p+q*r Na deser wypowiedzmy sobie takie zdanie: A. Jutro pójdę do kina i nie pójdę do parku lub pójdę na basen i do parku ale nie pójdę do kina Y = K*~P + B*P*~K co matematycznie oznacza: Y=1<=>(K*~P)=1 lub (B*P*~K)=1 Wystarczy że którykolwiek człon po prawej strony zostanie ustawiony na 1 i już dotrzymałem słowa, drugiego członu nie muszę sprawdzać. W przełożeniu na język formalny mamy: p = kino q = basen r = park A. Y = p*~r + q*r*~p co matematycznie oznacza: Y=1<=>(p*~r)=1 lub (q*r*~p)=1 Tworzymy tabelę zero-jedynkową dla równania: A5: Y = p*~r + q*r*~p
Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka: 1. Korzystając z praw Prosiaczka: (p=0) = (~p=1) (~p=0) = (p=1) Dokładniej korzystamy z tego: Jeśli p=0 to ~p=1 Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek 2. Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+). Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych: BDE123: Y=Yb+Yd+Ye A51: Y = p*q*~r + p*~q*~r + ~p*q*r ACFGH123: ~Y = ~Ya+~Yc+~Yf+~Yg+~Yh ~Y = p*q*r + p*~q*r + ~p*q*r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r Nasze równanie bazowe opisuje obszar z jedynkami w wyniku (BDE123): A5: Y = p*~r + q*r*~p Dokładnie ten sam obszar opisuje równanie wynikłe z tabeli zero-jedynkowej ABCDEFGH123: A51: Y = p*q*~r + p*~q*~r + ~p*q*r Minimalizujemy: Y = p*~r*(q+~q) +~p*q*r A51: Y = p*~r + q*r*~p Doskonale widać zachodzącą tożsamość: Y = A5: p*~r + q*r*~p = A51: p*~r + q*r*~p Twierdzenie Śfini działa więc doskonale. |
|||||||||||
