 Wysłany: Sob 15:45, 19 Cze 2021 Temat postu: |
|||
Ленинград — Сиськи |
|||
| Wysłany: Sob 15:41, 19 Cze 2021 Temat postu: |
|
| gdyby była normalna, a nie jest, to by przyszła do mnie, zdjęła ten półkoszulek i powiedziała:
- Masz. Pocyckaj sobie wiem że chcesz. |
|
| Wysłany: Sob 15:37, 19 Cze 2021 Temat postu: |
|
| wyniosła jeszcze jedną poduchę ale mniejszą. Położyła w rogu barierki, klepnęła po brzuszku i popatrzyła na mnie.
Nie wiem czy miała biustonosz pod półkoszulkiem białym a powinny prześwitywać sutki. Musi mieć bladoróżowe sutki i rozlazłe. Nie ma sterczących sutków. Jej sutki są ospałe. No ale popatrzyła na mnie. Może powinienem pójść tam, bo mają telewizor że popatrzę na mecz Polska-Hiszpania. No ale ona nie usiądzie przy mnie na kanapie, żebym ręką sprawdził jakie ma sutki. |
|
| Wysłany: Sob 15:06, 19 Cze 2021 Temat postu: |
|||||
DUCH DUCH ! Poducha! Nie! Wszystko źle. Edyta wywiesiła poduchę. I wisi ta poducha jak wielki cyc starej baby. A w środku pierze. Ja w to nie mogę wejść. Dopiero co uwolniłem się od wieszania prania żony i miałbym znów wpaść w to wieczne pranie, wieszanie na balkonie, rozciąganie prześcieradeł i poduchy pełne pierza. Do dziś nie używam pierzyny co mi dała żona. Śpię pod kocami wojskowymi, na kocach wojskowych i nie znoszę prześcieradeł ani poduch. Wypierdole zaraz ostatnią poduche i zroluję sobie koc. Pozostaje mi do rozpatrzenia kwestia młodej gęsi. |
|||||
| Wysłany: Sob 13:58, 19 Cze 2021 Temat postu: |
|||
A co to jest pokusa? Po rosyjsku to wiem, wkuszać coś i po tym ma być pokusa. Najpierw trzeba wejść z tan wkuszania aby potem w stan pokuszenia. Po polsku powinno się wkęsać, czyli wgryzać, nawet przegryźć coś. Pokusa jest to potrawa. Z młodej gęsi. Leningrad(Ленинград) - Svoboda(свобода) w filmie Bumer 2 (Бумер 2).mp4 |
|||
| Wysłany: Sob 13:44, 19 Cze 2021 Temat postu: |
|||
Edytka nie ma ochoty. Bo kupiłem jej majtki, to znaczy takie spodenki sexi sportowe i do tego jeszcze dres, ze wstawkami odblaskowymi, żeby Edytki nikt nie przejechał jak idzie wieczorem po piwo. I ona, od 6-ciu już lat nie wyszła na balkon w tych sexi spodenkach, ani nawet w dresie po piwo. Przestała pić piwo. A ja dzisiaj kupiłem dwa piwa, na wszelki wypadek jak by przyszła wieczorem. Szanse są nikłe. Od 6-ciu lat czekam aby zmarła jej stara matka. Wtedy Edytka musi coś zrobić. Nie da rady inaczej. Ale stara nie chce umrzeć. Ona najbardziej mnie lubi. Co robić? |
|||
| Wysłany: Sob 13:16, 19 Cze 2021 Temat postu: |
|
| niestety, zapomniałem napisać co to jest ochota | |
| Wysłany: Sob 12:59, 19 Cze 2021 Temat postu: |
|||||
Często się zastanawiałem dlaczego myśliwy to jest myśliwy. Myślicielem nie jest, ale przecież myśliciel też nie jest ot tak myślicielem, bo o czym by miał myśleć, o cielęciu? Może jednak o cielęciu. Po rosyjsku myśliwy to jest ochotnik, który udaje się do lasu na polowanie, Z tym że do lasu się udaje a powinien na pole. Do wojska można iść na ochotnika i strzelać do przeciwnika. Grecy byli myślicielami. Jak to widzę to starsi panowie siedzą za stołem, siedzą w szlafrokach wykąpani, ucztują a obsługują ich młodzi chłopcy, eunuchy i pedały. |
|||||
| Wysłany: Pią 23:59, 18 Cze 2021 Temat postu: |
|||||
С. Шнуров "НИКОГО НЕ ЖАЛКО" |
|||||
| Wysłany: Nie 19:57, 30 Maj 2021 Temat postu: |
|||
Kołtun |
|||
| Wysłany: Nie 11:52, 30 Maj 2021 Temat postu: |
|
| W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1. Warunek wystarczający =>: p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q Inaczej: p=>q =0 2. Warunek konieczny ~>: p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Inaczej: p~>q =0 3. Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach: p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q Inaczej: p~~>q=p*q =0 Definicja elementu wspólnego zbiorów ``>: p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny Inaczej: p~~>q = p*q=0 W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>: A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q ## ## ## ## ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>q | B1: p~>q = B4:~q~>~p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia 4.1. Definicja implikacji prostej p|=>q IP. Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q: Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1 Lewą stronę czytamy: p|=>q - implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q) Prawą stronę czytamy: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q i nigdy nie zdarzy się ~(..), że zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>: Kod: T1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q: A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q ## ## ## ## ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx. Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1. Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>. Definicja kontrprzykładu w zbiorach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>. Kod: IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q Kolumna A1B1 to punkt odniesienia: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1 A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0 ## ## | ## ## B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0 B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 Równanie operatora implikacji prostej p||=>q: A1B1: A2B2: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych: A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q): Kolumna A1B1: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1 Definicja warunku wystarczającego =>: p=>q = ~p+q Definicja warunku koniecznego ~>: p~>q = p+~q stąd: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q p|=>q = ~p*q Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego: Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika. Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona. Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q): Kolumna A2B2: Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q Stąd: A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1 Definicja warunku wystarczającego =>: p=>q = ~p+q Definicja warunku koniecznego ~>: p~>q = p+~q Stąd: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q ~p|~>~q = ~p*q Zachodzi tożsamość logiczna: A1B1: p|=>q =~p*q [=] A2B2: ~p|~>~q = ~p*q Definicja tożsamości logicznej [=]: Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q: Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p Równanie operatora implikacji prostej p||=>q: Kod: T2: Równanie operatora implikacji prostej p||=>q: A1B1: A2B2 p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q bo prawa Kubusia: A1: p=>q = A2: ~p~>~q B1: p~>q = B2: ~p=>~q Dlaczego to jest równanie operatora implikacji prostej p||=>q? A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p stąd mamy: Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych: A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p? A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p? Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą: Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych: A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p? A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p? Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną: A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q Definicja tożsamości logicznej: Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony Wnioski: 1. Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie. Na mocy definicji operatorów logicznych p||=>q i ~p||~>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2: 2. p||=>q = ~p||~>q cnd Innymi słowy: Wystarczy udowodnić, iż dany układ spełnia kolumnę A1B1: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1 aby mieć pewność absolutną prawdziwości wszystkich pozostałych członów w tabeli T2 Warto zapamiętać różnicę: Definicja warunku wystarczającego p=>q: A1: p=>q = ~p+q ## Definicja implikacji prostej p|=>q: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q ## Definicja warunku koniecznego p~>q: B1: p~>q = p+~q Gdzie: ## - różne na mocy definicji funkcji logicznych Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych: Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej Weźmy nasze funkcje logiczne A1, A1B1 i B1: Kod: TA1B1: A1: Y= (p=>q)=~p+q ## A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q ## B1: Y=(p~>q) =p+~q # # # A1N: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## A1B1N:~Y=~(p|=>q)=p+~q ## B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q Gdzie: # - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony ## - różne na mocy definicji funkcji logicznych p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem. 4.1.1 Katastrofalny błąd ziemskich matematyków w rachunku zero-jedynkowym Ziemscy matematycy nie znają poprawnego rachunku zero-jedynkowego, ponieważ nigdy w tym rachunku nie uwzględniają funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y). Tabela prawdy TA!B1 bez funkcji logicznych Y i ~Y przybierze postać: Kod: TA1B1’: A1: ~p+q ## A1B1: ~p*q ## B1: p+~q # # # A1N: p*~q ## A1B1N: p+~q ## B1N: ~p*q Gdzie: # - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony ## - różne na mocy definicji funkcji logicznych p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych: Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej Doskonale widać, że w tabeli TA1B1’ definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## legła w gruzach, bo ewidentnie zachodzą tożsamości logiczne [=] A1B1: ~p*q [=] B1N: ~p*q oraz B1: p+~q [=] A1B1N: p+~q cnd Wniosek: Miejsce ziemskiego rachunku zero-jedynkowego, który w kolumnach wynikowych nie uwzględnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest w piekle, na wiecznych piekielnych mękach. Innymi słowy: Ziemski rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny - dowód wyżej. 4.1.2 Operator implikacji prostej p||=>q W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> IP. Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q: Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1 Kod: IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q Kolumna A1B1 to punkt odniesienia: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1 A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0 ## ## | ## ## B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0 B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 Równanie operatora implikacji prostej p||=>q: A1B1: A2B2: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych: A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych: A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p? A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p? Innymi słowy: Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p: A1B1. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p? Stąd: Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1 Kolumna A1B1: A1. Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1) p=>q =1 Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q Zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie) A1’. Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1) p~~>~q = p*~q=0 Zdarzenia: Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q Zbiory: Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q A2B2. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2: A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p? Stąd: Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’ Kolumna A2B2: A2. Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1) ~p~>~q =1 Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło: A2: ~p~>~q = A1: p=>q LUB Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie: B2’. Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1) ~p~~>q = ~p*q =1 Zdarzenia: Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q Zbiory: Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q Podsumowanie: Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) . Zauważmy że: a) Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1. b) Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia. 4.1.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej: Kod: T1: Analiza symboliczna |Co w logice operatora implikacji prostej p||=>q |jedynek oznacza Kolumna A1B1: A1: p=>q =1 B1: p~>q =0 A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p A1: p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q |( p=1)=> ( q=1)=1 A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 Kolumna A2B2: A2:~p~>~q =1 B2: ~p=>~q =0 A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q |(~p=1)~> (~q=1)=1 B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 a b c d e f Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2 Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1: A1: p=>q =1 Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to: (~x=1)=(x=0) bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x). Kod: T2: Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q w logice dodatniej (bo q) Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa symboliczna |jedynek oznacza |A1: p=>q =1 |definicja => | | | p q A1: p=>q A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1 =1 A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0 =0 A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0 =1 B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1 =1 a b c d e f g h i 1 2 3 |Prawa Prosiaczka | |(~p=1)=( p=0) | |(~q=1)=( q=0) | Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego. Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego. Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2. Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>: A2:~p~>~q =1 Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to: (x=1)=(~x=0) bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x). Kod: T3: Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q w logice ujemnej (bo ~q) Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa symboliczna |jedynek oznacza |A2:~p~>~q =1 |definicja ~> | | |~p ~q A2:~p~>~q A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0 =1 A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1 =0 A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1 =1 B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0 =1 a b c d e f g h i 1 2 3 |Prawa Prosiaczka | |( p=1)=(~p=0) | |( q=1)=(~q=0) | Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego. Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego. Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia. Prawo Kubusia: T2: p=>q = T3: ~p~>~q Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123). Oto on: Kod: Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => p q p=>q A: 1=>1 =1 B: 1=>0 =0 C: 0=>0 =1 D: 0=>1 =1 Kod: Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> p q p~>q A: 1~>1 =1 B: 1~>0 =1 C: 0~>0 =1 D: 0~>1 =0 Stąd mamy: Kod: T4 Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym: p=>q = ~p~>~q p q p=>q ~p ~q ~p~>~q A1: 1=>1 =1 0~>0 =1 A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0 A2: 0=>0 =1 1~>1 =1 B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1 1 2 3 4 5 6 Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia. Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Uwaga: Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q. Matematycznie wiersze 456 można dowolnie przestawiać względem wierszy 123, ale wtedy wnioskowanie o zachodzącym prawie Kubusia będzie dużo trudniejsze - udowodnił to Makaron Czterojajeczny w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia. Problem można tu porównać do tabliczki mnożenia do 100. Porządna tablica spotykana w literaturze jest zawsze ładnie uporządkowana. Dowcipny uczeń może jednak zapisać poprawną tabliczkę mnożenia do 100 w sposób losowy, byleby zawierała wszystkie przypadki. Pani matematyczka, od strony czysto matematycznej nie ma prawa zarzucić uczniowi iż nie zna się na matematyce, wręcz przeciwnie, doskonale wie o co tu chodzi a dowodem tego jest jego bałaganiarski dowcip. Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+): p=>q = ~p+q Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+): p~>q = p+~q Stąd mamy: ~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q cnd Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”: p=>q = ~p~>~q Definicja tożsamości logicznej „=”: Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=> Wniosek: Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji: Kod: Zero-jedynkowa definicja równoważności <=> p q p<=>q A: 1<=>1 =1 B: 1<=>0 =0 C: 0<=>0 =1 D: 0<=>1 =0 Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób. Kod: Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q p q p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q) A1: 1=>1 =1 0~>0 =1 =1 A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0 =1 A2: 0=>0 =1 1~>1 =1 =1 B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1 =1 1 2 3 4 5 6 7 Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q 4.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi: Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach: Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne. A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji) B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji) p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1 1. Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q? Dla zbiorów tożsamych p=q mielibyśmy: A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego B1: p~>q =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego Otrzymana sprzeczność z definicją implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest dowodem, iż zbiory p i q nie mogą być tożsame. Stąd mamy pierwszą część definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach: Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji) B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji) 2. Dlaczego przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q? Przyjmijmy za dziedzinę sumę logiczną zbiorów p+q D = p+q =q - bo na mocy punktu 1 zbiór p jest podzbiorem zbioru q Wtedy mamy: ~q=[D-q] = [q-q] =[] =0 Oznacza to że pojęcie ~q jest dla nas zbiorem pustym. Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia: Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka [] =[asegft, uaytfds…] Oczywistym jest, że nie możemy operować na pojęciach dla nas niezrozumiałych, stąd zastrzeżenie w definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach: Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne. Stąd mamy: IP. Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach: Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne. A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji) B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji) p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1 Kod: IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q Kolumna A1B1 to punkt odniesienia: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1 A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0 ## ## | ## ## B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0 B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 Równanie operatora implikacji prostej p||=>q: A1B1: A2B2: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych: A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Kod: D1 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach: ---------------------------------------------------------------------- | p | ~p | |---------------------------|----------------------------------------| | q | ~q | |--------------------------------------------|-----------------------| | |~p~~>q = ~p*q | p~~>~q = p*~q =[] | ---------------------------------------------------------------------- | Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) | |--------------------------------------------------------------------| Diagram implikacji prostej p|=>q ---------------------------------------------------------------------- I. Przed zamianą p i q: A1B1: A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1 A2B2: A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1 II. Po zamianie p i q: A3B3: A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1 A4B4: A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2: A1B1: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1: A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1 Z diagramu D1 odczytujemy: A1. Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1) p=>q =1 Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q Doskonale to widać na diagramie D1 Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem A1’. Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1) p~~>~q = p*~q = [] =0 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne, co również widać na diagramie D1 A2B2: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2: A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania A2 i B2’ Z diagramu D1 odczytujemy: A2. Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1) ~p~>~q =1 Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q Wyśmienicie to widać na diagramie D1 LUB Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=0 musi być prawdą. B2’. Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1) ~p~~>q = ~p*q =1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~p i q jest spełniona, co doskonale widać na diagramie D1. 4.2.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~> Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach p|=>q wyżej zapisany. Kod: D1 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach ---------------------------------------------------------------------- | p | ~p | |---------------------------|----------------------------------------| | q | ~q | |--------------------------------------------|-----------------------| | |~p~~>q = ~p*q | p~~>~q = p*~q =[] | ---------------------------------------------------------------------- | Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) | |--------------------------------------------------------------------| | | |Operator implikacji prostej p||=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) | ---------------------------------------------------------------------- | Ya=p~~>q=p*q | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q | ---------------------------------------------------------------------- | ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!) | ---------------------------------------------------------------------- Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q. Wniosek: W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>. Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów: Jeśli p to q p~~>q =p*q =1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny Inaczej: p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~> Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q. W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q. Stąd mamy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>: Kod: T0. Operator p||=>q | w spójnikach |Co w logice elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza Y ~Y | Y Z diagramu D1 odczytujemy: A: p~~>q = p* q =1 0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q B: p~~>~q= p*~q =0 1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q C:~p~~>~q=~p*~q =1 0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q D:~p~~> q=~p* q =1 0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($). Dowód: Definicja spójnika „albo”($) p$q =p*~q + ~p*q Podstawmy: p=Y q=~Y stąd: Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1 Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem. Dowód: Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+): p<=>q = p*q + ~p*~q Podstawmy: p=Y q=~Y stąd: Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0 cnd Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia. Kod: T1. Operator implikacji prostej p||=>q definiowany elementem wspólnym zbiorów ~~> Y Analiza dla punktu odniesienia Y A1: p~~>q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q A2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T1 do tabeli tożsamej T2 opisującej operator implikacji prostej p||=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>. Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia: A1: p=>q = A2: ~p~>~q ## B1: p~>q = B2: ~p=>~q Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> Definicja tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia: A1: p=>q = A2: ~p~>~q Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony. Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1: A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q nie musimy udowadniać prawdziwości warunku koniecznego ~> A2: A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego: A1: p=>q = A2: ~p~>~q W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> Definicja kontrprzykładu w zbiorach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) Analiza tabeli prawdy T1 - część I 1. Fałszywość kontrprzykładu A1’: A1’: p~~>~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie): A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q 2. Prawo Kubusia: A1: p=>q = A2:~p~>~q Stąd: Prawdziwość warunku wystarczającego A1: A1: p=>q =1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie): A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2. Kod: T2. Operator implikacji prostej p||=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> Y Analiza dla punktu odniesienia Y A1: p=> q =1 - zbiór p jest podzbiorem => q A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~p i q Analiza tabeli prawdy T1 - część II 3. Prawdziwość kontrprzykładu B2’: B2’: ~p~~>q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie): B2: ~p=>~q =0 4. Prawo Kubusia: B2: ~p=>~q = B1: p~>q stąd: Fałszywość warunku wystarczającego B2: B2: ~p=>~q =0 wymusza fałszywość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie): B1: p~>q =0 Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2 Kod: T3. Operator implikacji prostej p||=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> A1: p=> q =1 | B1: p~>q=0 A1’: p~~>~q =0 A2: ~p~>~q =1 | B2:~p=>~q=0 B2’:~p~~> q =1 Stąd mamy: Linia A1B1: Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach: Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q Stąd: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1 Zdefiniowawszy implikację prostą p|=>q w zbiorach jako: A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q możemy ją podstawić do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q. Kod: IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q Kolumna A1B1 to punkt odniesienia: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1 A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0 ## ## | ## ## B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0 B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 Równanie operatora implikacji prostej p||=>q: A1B1: A2B2: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych: A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Stąd mamy to, co już doskonale znamy. Definicja operatora implikacji prostej p||=>q: Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2: Szczegółową analizę operatora implikacji prostej p||=>q znajdziemy w punkcie 4.1.2 4.2.2 Najmniejsza możliwa liczba elementów w operatorze p||=>q Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach: Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne. A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji) B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji) p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1 Z definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach wynika, że najmniejsza liczba elementów potrzebnych do zbudowania operatora implikacji prostej p||=>q to trzy elementy. Zdefiniujmy trzy, różne na mocy definicji elementy których będziemy używać. K - Kubuś T - Tygrysek P - Prosiaczek Zbudujmy zbiory p i q spełniające definicję implikacji prostej w zbiorach: p=[K] q=[K+T] Dziedzina: D=[K+T+P] stąd mamy niepuste przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D: ~p=[D-p]=[K+T+P-K]=[T+P] ~q=[D-q]=[K+T+P-[K+T]=[P] Podsumujmy: p=[K], ~p=[T+P] q=[K+T], ~q=[P] Zapiszmy diagram operatora implikacji p||=>q dla powyższych elementów. Kod: D2 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach ----------------------------------------------------------------------- | p=[K], ~p=[T+P] | | q=[K+T], ~q=[P] | ----------------------------------------------------------------------- | p=[K] | ~p=[T+P] | |---------------------------|-----------------------------------------| | q=[K+T] -| ~q=[P] | |---------------------------------------------|-----------------------| | |~p~~>q=~p*q=[T] | p~~>~q = p*~q =[] | ----------------------------------------------------------------------- | Dziedzina fizyczna: DF =p*q+~p*~q+~p*q (suma zbiorów niepustych) | ----------------------------------------------------------------------- Doskonale widać, że w diagramie D2 spełniona jest definicji implikacji prostej p|=>q, a tym samym definicja operatora implikacji prostej p||=>q. Zapiszmy pełny diagram implikacji prostej p|=>q: Kod: IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q Kolumna A1B1 to punkt odniesienia: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1 A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0 ## ## | ## ## B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0 B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1 Równanie operatora implikacji prostej p||=>q: A1B1: A2B2: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych: A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Nasze zbiory na których operujemy to: p=[K], ~p=[T+P] q=[K+T], ~q=[P] Definicja operatora implikacji prostej p||=>q: Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2: A1B1: Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q, bo p jest podzbiorem => q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q, bo p nie jest nadzbiorem ~> q A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p? Stąd: Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1 A1. Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1) p=>q =1 Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q Sprawdzamy: p=[K] => q=[K+T] Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+T} cnd Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie) A1’ Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1) p~~>~q = p*~q =0 Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q Sprawdzamy: p=[K] ~~> ~q=[P] = [K]*[P] =[] =0 Zbiory jednoelementowe Kubuś (K) i Prosiaczek (P) są rozłączne cnd A2B2: Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2: A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p? Stąd: Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’ A2. Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1) ~p~>~q =1 Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q Sprawdzenie: ~p=[T+P] ~> ~q=[P] =1 Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona bo zbiór ~p=[T+P] jest nadzbiorem ~> zbioru ~q=[P] LUB Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ i odwrotnie: B2’. Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1) ~p~~>q = ~p*q =1 Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q Sprawdzenie: ~p=[T+P]~~>q=[K+T] = [T+K]*[K+T] =[T] =1 Istnieje element wspólny zbiorów ~p=[T+P] i q=[K+T] - to Tygrysek (T) Doskonale tu widać, że w zdaniu B2’ nie jest spełniony ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~>. Dowód: ~p=[T+P] => q=[K+T] =0 - bo zbiór ~p=[T+P] nie jest (=0) podzbiorem => q=[K+T] ~p=[T+P} ~> q=[K+T] =0 - bo zbiór ~p=[T+P] nie jest (=0) nadzbiorem ~> q=[K+T] p|=;q można zacząć w przedszkolu dysponując trzema pluszowJak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy, a zabawę z implikacją prostą ymi zabawkami: K - Kubuś T - Tygrysek P - Prosiaczek |
|