 Wysłany: Pią 11:35, 28 Maj 2021 Temat postu: |
|
| Algebra Kubusia dla 5-latków
3.3 Definicje podstawowe - równoważność <=> Spis treści 3.3 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 1 3.3.1 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 5 3.3.2 Diagram równoważności w zbiorach 7 3.3.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q 8 3.3.4 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK 11 3.3.5 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK 15 3.3.6 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK i ~TP<=>~SK 17 3.3 Definicja podstawowa równoważności p<=>q W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>: A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q ## ## ## ## ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>q | B1: p~>q = B4:~q~>~p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia TR. Definicja podstawowa równoważności p<=>q: Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q stąd: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1 Lewą stronę czytamy: Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zadzie q Prawą stronę czytamy: Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło q Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>: Kod: T1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q ## ## ## ## ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>. Definicja kontrprzykładu w zbiorach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>. Kod: TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q Kolumna A1B1 to punkt odniesienia: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1 A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1 A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0 ## ## | ## ## B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1 B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 Równanie operatora równoważności p|<=>q: A1B1: A2B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych: A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx. Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q): Kolumna A1B1: Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q stąd: A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1 Lewą stronę czytamy: Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1 Innymi słowy: Prawą stronę czytamy: Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q jest w praktyce doskonale znana każdemu człowiekowi. Dowód: Klikamy na googlach: „konieczne i wystarczające” Wyników: 14 500 „koniecznym i wystarczającym” Wyników: 12 500 „potrzeba i wystarcza” Wyników: 9890 Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego: Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika. Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona. Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q): Kolumna A2B2: Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q Stąd: A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1 Lewą stronę czytamy: Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1 Innymi słowy: Prawą stronę czytamy: Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1 Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q: Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p Równanie operatora równoważności p|<=>q: Kod: T2. Równanie operatora równoważności p|<=>q: A1B1: A2B2 p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q bo prawa Kubusia: A1: p=>q = A2: ~p~>~q B1: p~>q = B2: ~p=>~q cnd Dlaczego to jest równanie operatora równoważności p|<=>q? A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p Stąd mamy: Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p: A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p? A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p? Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych: A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną: A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q Definicja tożsamości logicznej: Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony Innymi słowy 1. Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie. Na mocy definicji operatorów logicznych p|<=>q i ~p|<=>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2: 2. p|<=>q = ~p|<=>~>q cnd 3.3.1 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć TR Definicja równoważności p<=>q: Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. Kolumna A1B1: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) Kod: TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q Kolumna A1B1 to punkt odniesienia: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1 A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1 A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0 ## ## | ## ## B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1 B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 Równanie operatora równoważności p|<=>q: A1B1: A2B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych: A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> Definicja dowolnego ziemskiego twierdzenia matematycznego TM: Dowolne ziemskie twierdzenie matematyczne TM jest tożsame z warunkiem wystarczającym p=>q. Matematyczna definicja równoważności p<=>q: Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony. A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, czyli zbiór p jest podzbiorem => q B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, czyli zbiór q jest podzbiorem => p Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1 Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną każdemu ziemskiemu matematykowi. A1B3: Definicja tożsamości zbiorów p=q: Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska: B3: q=>p = B1: p~>q Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q zdefiniowaną kolumną A1B1. A1B1: Zbiory Definicja tożsamości zbiorów p=q: Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q Prawo rachunku zero-jedynkowego: A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q Definicja tożsamości logicznej „=”: A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony Innymi słowy: Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie. Stąd dla kolumny A2B2 mamy. A2B2: Zbiory Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q: Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q 3.3.2 Diagram równoważności w zbiorach Prawo rachunku zero-jedynkowego: A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q Znaczenie powyższej tożsamości logicznej w przełożeniu na zbiory. Tożsamość zbiorów p=q definiowana przez: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q definiowaną przez: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q (i odwrotnie) Na tej podstawie łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach: Kod: DR: Diagram równoważności p<=>q w zbiorach ------------------------------------------------------------------------- | D - wspólna dziedzina dla p i q | | p+~p =D =1 | q+~q =D =1 | | p*~p =[]=0 | q*~q =[]=0 | ------------------------------------------------------------------------- | Zbiór: p=q # Zbiór: ~p=~q | A1B1: Równoważność dla p: | A2B2: Równoważność dla ~p | | p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) | | Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów: | | p=q # ~p=~q | ------------------------------------------------------------------------- Gdzie: # - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony [=] - tożsamość logiczna Z diagramu widzimy że: ~p=~(p) - zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p ~q=~(q) - zbiór ~q jest zaprzeczeniem zbioru q Prawa podwójnego przeczenia: p = ~(~p) - zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p (prawo podwójnego przeczenia) q = ~(~q) - zbiór q jest zaprzeczeniem zbioru ~q (prawo podwójnego przeczenia) Dziedzina D dla zbiorów p i q musi być wspólna, bowiem wtedy i tylko wtedy między zbiorami p i q mogą zachodzić podstawowe relacje (=>, ~> i ~~>) w zbiorach. Relacja podzbioru =>: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q inaczej: p=>q =0 Relacja nadzbioru ~>: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q Inaczej: p~>q =0 Relacja elementu wspólnego ~~>: p~~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają element wspólny Inaczej: p~~>q =0 Definicja wspólnej dziedziny D dla p: p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne Definicja wspólnej dziedziny D dla q: q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne Stąd mamy: ~p=[D-p] = [p+~p -p] = ~p ~q=[D-q] = [q+~q -q] = ~q 3.3.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q TR Definicja równoważności p<=>q: Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. Kolumna A1B1: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) Kod: TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q Kolumna A1B1 to punkt odniesienia: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1 A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1 A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0 ## ## | ## ## B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1 B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0 Równanie operatora równoważności p|<=>q: A1B1: A2B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych: A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p : A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p Kolumna A1B1: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1: A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1 Stąd: Lewą stronę czytamy: Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1 Prawą stronę czytamy: Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1) A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1 Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć: Zbiory: Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q Zdarzenia: Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q (albo odwrotnie) Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>: Kolumna A1B1: A1. Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1) p=>q =1 Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q Zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie: A1’. Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1) p~~>~q = p*~q =0 Zbiory: Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie) Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to: p=q # ~p=~q Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony Zdarzenia: Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q Kolumna A2B2: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2: A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 stąd: Lewą stronę czytamy: Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 Prawą stronę czytamy: Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1 Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć: Zbiory: Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q ~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q Zdarzenia: Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q ~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=q (albo odwrotnie) A2B2: Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>: B2. Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1) ~p=>~q =1 Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q Zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie: B2’. Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1) ~p~~>q = ~p*q =0 Zbiory: Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie) Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to: ~p=~q # p=q Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony Zdarzenia: Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q Podsumowanie: Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2). Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q. Zauważmy że: a) Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1. b) Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia. 3.3.4 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>: A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q ## ## ## ## ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>q | B1: p~>q = B4:~q~>~p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Prawo śfinii: Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń. Weźmy twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych: A1. Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1) TP=>SK=1 Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu. Ten dowód oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) Na mocy prawa śfinii zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia: p=TP q=SK stąd zdanie A1 w zapisie formalnym {p, q} A1: p=>q =1 W tym momencie twierdzenie proste Pitagorasa może być już tylko częścią implikacji prostej TP|=>SK albo częścią równoważności TP<=>SK. Aby to rozstrzygnąć musimy zbadać warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. B1. Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1) TP~>SK =? to samo w zapisie formalnym: p~>q =? Definicja twierdzenia matematycznego: Dowolne twierdzenie matematyczne jest tożsame z warunkiem wystarczającym =>. W zdaniu B1 nie mamy warunku wystarczającego => ale to nie problem, bo możemy skorzystać z prawa Tygryska. Prawo Tygryska w zapisie formalnym: B1: p~>q = B3: q=>p Nasz przykład: A1: TP~>SK = B3: SK=>TP Wniosek: Aby udowodnić prawdziwość warunku koniecznego ~> w zdaniu B1: TP~>SK potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić twierdzenie odwrotne Pitagorasa: B3: SK=>TP Twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych: B3. Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1) SK=>TP =1 Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu. Ten dowód oznacza, że zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP. Oba twierdzenia łącznie (A1 i B3) definiują znaną każdemu matematykowi tożsamości zbiorów. Definicja tożsamości zbiorów p=q: Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem zbioru p p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q Nasz przykład: Definicja tożsamości zbiorów TP=SK: Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (twierdzenie proste) i zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne) TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK Dla B3 korzystamy z prawa Tygryska: B3: q=>p = B1: p~>q - prawo Tygryska w zapisie formalnym {p, q} B3: SK=>TP = B1: TP~>SK - prawo Tygryska w zapisie aktualnym {p=TP, q=SK} Stąd mamy tożsamą definicje tożsamości zbiorów TP=SK: Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK. TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK Stąd mamy dowód iż twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK jest częścią równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP. Równoważność Pitagorasa TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych: Równoważność TP<=>SK to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. Kolumna A1B1: A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 Prawo rachunku zero-jedynkowego: [code] A1B1: A2B2: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)[=](A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=~TP<=>~SK bo prawa Kubusia: A1: TP=>SK = A2:~TP=>~SK B1: TP~>SK = B2:~TP=>~SK [code] Stąd mamy udowodnioną tożsamość zbiorów ~TP=~SK: Kolumna A2B2: Zbiory ~TP i ~SK są tożsame ~TP=~SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK i jednocześnie zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK ~TP=~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~S) = ~TP<=>~SK Z powyższego wynika, że po udowodnieniu równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiującej tożsamość zbiorów TP=SK: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1 nie musimy dowodzić równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych definiującej tożsamość zbiorów ~TP=~SK: ~TP=~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~S) = ~TP<=>~SK bowiem gwarantuje nam to prawo rachunku zero-jedynkowego: TP<=>SK = ~TP<=>~SK To samo w zapisie formalnym: p<=>q = ~p<=>~q cnd Podstawmy naszą równoważność TP<=>SK do tabeli prawdy równoważności TR. [code] TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1 Aktualny punkt odniesienia na mocy prawa śfinii: p=TP q=SK Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym: A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1 A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP =1 A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0 A’: 1: TP~~>~SK=0 = [=] = 4:~SK~~>TP =0 ## ## | ## ## B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1 B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP =1 = 4:~SK~>~TP =1 B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0 B’: = 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0 Równanie operatora równoważności p|<=>q: A1B1: A2B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych: A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia [/code] Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q. 3.3.5 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK Operator równoważności TP|<=>SK to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o TP i ~TP: A1B1: TP<=>SK =(A1: TP=>SK)* (B1: TP~>SK) - co się stanie jeśli zajdzie TP A2B2:~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) - co się stanie jeśli zajdzie ~TP Innymi słowy: Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2: A1B1: Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1: A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 Prawą stronę czytamy: Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1 Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie) Zachodzi relacja matematyczna: TP=SK # ~TP=~SK Gdzie: # - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Kolumna A1B1: W rozpisce na warunek wystarczający => mamy: A1. Jeśli trójkąt jest prostokąty (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1) TP=>SK =1 Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1) Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1) Zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie. A1’. Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1) TP~~>~SK = TP*~SK =0 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i ~SK nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne. Wynika to z tożsamości zbiorów TP=SK która wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie) Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to: TP=SK # ~TP=~SK Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony A2B2: Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2: A2: ~TP~>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~SK B2: ~TP=>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~SK A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1 Prawą stronę czytamy: Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1) ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1 Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów: ~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =~TP<=>~SK Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie) Zachodzi relacja matematyczna: ~TP=~SK # TP=SK Gdzie: # - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Kolumna A2B2: W rozpisce na warunek wystarczający => mamy: B2. Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1) ~TP=>~SK =1 Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1) Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1) Zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie. B2’. Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim w nim suma kwadratów (~SK=1) ~TP~~>~SK=~TP*SK =0 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~TP i SK nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne. Wynika to z tożsamości zbiorów ~TP=~SK która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie) Podsumowanie: Jak widzimy, istotą operatora równoważności TP|<=>SK jest gwarancja matematyczna => po stronie TP (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP (zdanie B2). Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q. Zauważmy że: a) Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych: A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1. b) Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia. 3.3.6 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK i ~TP<=>~SK Graficznie równoważności Pitagorasa możemy przedstawić tak [code] T1: Zbiór trójkątów prostokątnych: |Zbiór trójkątów nieprostokątnych: TP=SK |~TP=~SK Równoważność Pitagorasa | Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP) | dla trójkątów nieprostokątnych (~TP) TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów: TP=SK # ~TP=~SK # - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony [=] - tożsamość logiczna [/code] Przyjmijmy dziedzinę minimalną dla równoważności Pitagorasa: ZWT - zbiór wszystkich trójkątów Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla TP: TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla SK: SK+~SK =D =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru SK SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne Stąd mamy: ~TP=[D-TP] = [TP+~TP -TP] =~TP ~SK=[D-SK] = [SK+~SK -SK] =~SK Zachodzi również: TP = ~(~TP) - zbiór TP jest zaprzeczeniem zbioru ~TP (prawo podwójnego przeczenia) SK = ~(~SK) - zbiór SK jest zaprzeczeniem zbioru ~SK (prawo podwójnego przeczenia) oraz: ~TP=~(TP) - zbiór ~TP jest zaprzeczeniem zbioru TP ~SK=~(SK) - zbiór ~SK jest zaprzeczeniem zbioru SK Definicja tożsamości logicznej „=”: A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony Innymi słowy: Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy: Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie. Nasz przykład: Udowodnienie równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych: A1B1: TP<=>SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów TP=SK jest tożsame z udowodnieniem równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych: A2B2: ~TP<=>~SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK Wniosek z zachodzącej tożsamości logicznej: A1B1: TP<=>SK = A2B2:~TP<=>~SK Udowodnienie tożsamości zbiorów TP=SK jest tożsame z udowodnieniem tożsamości zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie) Objaśnienia: Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1): A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1 Prawo Tygryska: B1: TP~>SK = B3: SK=>TP stąd tożsama równoważność Pitagorasa znana każdemu matematykowi: A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1 Gdzie: A1: TP=>SK - twierdzenie proste Pitagorasa A1: p=>q =1 - twierdzenie proste Pitagorasa w zapisie formalnym B3: SK=>TP - twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa w zapisie formalnym _________________ Czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? |
|
| Wysłany: Śro 18:53, 26 Maj 2021 Temat postu: |
|
[img]https://www.youtube.com/watch?v=Mqfwbf3X8SA[/img]
 |
|
| Wysłany: Śro 13:55, 26 Maj 2021 Temat postu: |
|
 |
|