 Wysłany: Czw 8:52, 04 Cze 2020 Temat postu: |
|
| jak się komuś nie podoba, nie świeci mu się to WYPAD stąd!
NIE POTRZEBUJEMY takich. Muszą coś mieć źle z głową. https://www.youtube.com/watch?v=_LGI5qAwKP8 |
|
| Wysłany: Czw 8:46, 04 Cze 2020 Temat postu: |
|
| Rafał3006 musi udowodnić TAK żeby żarówka się świeciła, i gówno mnie obchodzi jak.
https://www.youtube.com/watch?v=leVTvKMqsl0&feature=emb_title |
|
| Wysłany: Czw 8:42, 04 Cze 2020 Temat postu: |
|||||||
https://www.youtube.com/watch?v=leVTvKMqsl0&feature=emb_title |
|||||||
| Wysłany: Czw 7:41, 04 Cze 2020 Temat postu: |
|||||
Wyrzuciłeś go, zasrańcu, mimo że był na temat. Co prawda było w nim dużo pierdolenia nie na temat, ale sam dajesz przykład, masowo zasrywając własne forum takimi postami. Masz go przywrócić w całości. Masz tu coś z własnego ogródka - uwielbiasz to pierdolenie w objętości 100x większej o tym samym, co KRZ umieszcza w paru linijkach: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego 2020-05-10 Część III Kubusiowa teoria zbiorów Jak czytać algebrę Kubusia? Każda z siedmiu części zakłada prawie zerowy stan wiedzy początkowej. Można wystartować z czytaniem od dowolnej części znając minimalnie algebrę Boole’a. Szczególnie polecam część IV - to wystarczy by zrozumieć kompletną algebrę Kubusia. Części: AK1 Algebra Boole’a AK2 Elementarz algebry Kubusia AK3 Kubusiowa teoria zbiorów AK4 Kubusiowa teoria zdarzeń AK5 Obietnice i groźby AK6 Teoria transformacji AK7 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń AK8 Algebra Kubusia w dyskusji Autor: Kubuś ze 100-milowego lasu Rozszyfrowali: Rafal3006 i przyjaciele Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia: Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni. Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia): 1. Rafał3006 2. Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej. 3. Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć 4. Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić. Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera? Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia: Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020 Algebra Kubusia w pdf AK1 pdf Algebra Boole’a https://www.dropbox.com/s/m67gosolk3lj64f/AK1P%20Algebra%20Boole%27a.pdf?dl=0 AK2 pdf Elementarz algebry Kubusia https://www.dropbox.com/s/a7s1swhki89oxam/AK2P%20Elementarz%20algebry%20Kubusia.pdf?dl=0 AK3 pdf Kubusiowa teoria zbiorów https://www.dropbox.com/s/hpq1r8uou3lw5c0/AK3P_Kubusiowa%20teoria%20zbior%C3%B3w.pdf?dl=0 AK4 pdf Kubusiowa teoria zdarzeń https://www.dropbox.com/s/zqpkzg4h7agndlc/AK4P%20Kubusiowa%20teoria%20zdarze%C5%84.pdf?dl=0 AK5 pdf Obietnice i groźby https://www.dropbox.com/s/z8g2buuezyo13wr/AK5P%20Obietnice%20i%20gro%C5%BAby.pdf?dl=0 AK6 pdf Prawo transformacji https://www.dropbox.com/s/3l10swobckyruwy/AK6P%20Teoria%20transformacji.pdf?dl=0 AK7 pdf Teoria zbiorów i zdarzeń https://www.dropbox.com/s/w0k435gep6jwhsw/AK7P%20Teoria%20rachunku%20zbior%C3%B3w%20i%20zdarze%C5%84.pdf?dl=0 AK8 pdf Algebra Kubusia w dyskusji https://www.dropbox.com/s/5y72aa8qmjk7q7a/AK8P%20Algebra%20Kubusia%20w%20dyskusji.pdf?dl=0 Spis treści 1.0 Algebra Kubusia w definicjach podstawowych 3 1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 3 1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4 1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 4 1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 4 1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 5 1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 5 1.3 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6 2.0 Kubusiowa teoria zbiorów 7 2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 8 2.2 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów 8 3.0 Zbiór wszystkich zbiorów 9 3.1 Nazwa własna zbioru 10 4.0 Dziedzina 10 4.1 Zaprzeczenie zbioru 10 4.2 Dziedzina minimalna 11 4.3 Definicja znaczka różne # 12 5.0 Dziedzina matematyczna i fizyczna, zdjęcie układu 12 5.1 Badanie dziedziny fizycznej w przykładach 13 5.1.1 Dziedzina fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q 13 5.1.2 Dziedzina fizyczna w implikacji prostej p|=>q 16 5.1.3 Dziedzina fizyczna w równoważności p<=>q 19 6.0 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna 25 Wstęp: Kubusiowa teoria zbiorów to teoria zbiorów potrzebna i wystarczająca w logice matematycznej. Logika matematyczna nie zajmuje się zbiorami w sensie matematyki klasycznej czyli przede wszystkim nie zajmuje się jakimkolwiek liczeniem elementów w zbiorze, ciągami, porządkowaniem etc bowiem z definicji nie da się tego zrobić przy pomocy spójnika „i”(*), czy też spójnika „lub”(+). 1.0 Algebra Kubusia w definicjach podstawowych Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego, które za chwilę poznamy. 1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów: Jeśli p to q p~~>q =p*q =1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny Inaczej: p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~> Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>. Dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q. W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy tu kompletnego zbioru p*q. Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy: p~~>q=p*q =1 co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>: p=>~q =0 (i odwrotnie) Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne. Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach: Jeśli p to q p=>q =1 Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q Inaczej: p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona Matematycznie zachodzi tożsamość: Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego: p=>q = ~p+q Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach: Jeśli p to q p=>q =1 Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q Inaczej: p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona Matematycznie zachodzi tożsamość: Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego: p~>q = p+~q 1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach Definicja kontrprzykładu w zbiorach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) 1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów Prawo Kobry dla zbiorów: Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>. Innymi słowy: Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi) 1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q Definicja zdarzenia możliwego ~~>: Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q p~~>q =p*q =1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q. Inaczej: p~~>q=p*q =[] =0 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach: Jeśli zajdzie p to zajdzie q p=>q =1 Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q Inaczej: p=>q =0 Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego: p=>q = ~p+q Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach: Jeśli zajdzie p to zajdzie q p~>q =1 Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q Inaczej: p~>q =0 Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego: p~>q = p+~q 1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) 1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń Prawo Kobry dla zdarzeń: Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>. Innymi słowy: Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi) 1.3 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego: A1: p=>q = ~p+q ## Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego: B1: p~>q = p+~q Gdzie: ## - różne na mocy definicji Definicja tożsamości matematycznej: Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie. p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1 Inaczej: p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ## Definicja znaczka różne na mocy definicji ## Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame. Matematycznie zachodzi: (A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##: (A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q) Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy: Kod: Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q Gdzie: ## - różne na mocy definicji p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Na mocy powyższego zapisujemy: 1. Prawa Kubusia: A1: p=>q = A2: ~p~>q ## B1: p~>q = B2: ~p=>~q Ogólne prawo Kubusia: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne 2. Prawa Tygryska: A1: p=>q = A3: q~>p ## B1: p~>q = B3: q=>p Ogólne prawo Tygryska: Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne 3. Prawa kontrapozycji: A1: p=>q = A4: ~q=>~p ## B1: p~>q = B4: ~q~>~p Ogólne prawo kontrapozycji: Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego Gdzie: ## - różne na mocy definicji 2.0 Kubusiowa teoria zbiorów Definicja pojęcia: Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka Przykłady pojęć zrozumiałych: Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ... Przykłady pojęć niezrozumiałych: agstd, sdked, skdjatxz … Definicja Uniwersum: Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka. Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum. Zauważmy, że zaledwie 50 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na ziemi. Definicja elementu zbioru: Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze Definicja zbioru: Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór. Definicja zbioru pustego []: Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek. Zbiory mają wartość logiczną: 1 = prawda 0 = fałsz [x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka [] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka. 2.1 Podstawowe operacje na zbiorach I. Suma logiczna (+) zbiorów: Y=p+q Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń Przykład: p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty Y=p+q=[1,2]+[2,3]=[1,2,3] =1 - bo zbiór niepusty II. Iloczyn logiczny (*) zbiorów: Y = p*q Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q Y =p*q=[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych p i q Przykład: p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty r=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty Y=p*q=[1,2]*[2,3]=[2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty Y=p*r=[1,2]*[3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty III. Różnica (-) zbiorów: Y=p-q Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty q=[2] =1 - bo zbiór niepusty Y=p-q = [1,2]-[2] =[1] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty Y=q-p =[2]-[1,2]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty 2.2 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów Definicja: Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka, będący matematycznie sumą logiczną pojęć lub zbiorów (+). Matematycznie zachodzi tożsamość: „przecinek”(,) = „lub”(+) Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach: I. Suma logiczna [1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze p=p+p stąd: 1+1=1 II. Iloczyn logiczny [1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość Identycznie jak w matematyce klasycznej mnożymy każdy element z każdym po czym korzystamy w praw rachunku zbiorów (rachunku zero-jedynkowego): p=p*p stąd: 1*1=1 Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd: 1*3=[] III. Różnica logiczna [1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1 [2+3]-[1+2+3] = 2+3-1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = ([]-1) +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[] W różnicy logicznej jeśli przed nawiasem jest znak minus (-) to zapisujemy ten znak przed każdym elementem zbioru widniejącym w nawiasie. W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty []. Wyjaśnienie: []-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy nieistniejący element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty. Alternatywnie: Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór pusty []. [2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[] 3.0 Zbiór wszystkich zbiorów Zbiór wszystkich zbiorów: Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum. Definicja Uniwersum: Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka. Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym. ~U= [] =0 Dowód: Przyjmijmy dziedzinę: D = U Na mocy definicji: Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny Stąd: ~U=[D-U]=[U-U]=[] =0 Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne 3.1 Nazwa własna zbioru Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę: - zbiory mające nazwę własną - zbiory nie mające nazwy własnej Definicja nazwy własnej zbioru: Nazwa własna zbioru to to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi Przykład zbioru mającego nazwę własną: ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej: p = [ZWZ, miłość, samolot] 4.0 Dziedzina Definicja dziedziny: Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji. Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum. 4.1 Zaprzeczenie zbioru Definicja zaprzeczenia (~) zbioru: Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D Matematycznie zachodzi tożsamość: Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~) Uwaga: Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p Definicja dziedziny: p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym [] Przykład: p=[1] - definiujemy zbiór p D=[1,2] - definiujemy dziedzinę Stąd: ~p=[D-p] =[2] 4.2 Dziedzina minimalna Definicja dziedziny minimalnej: Dziedzina minimalna to minimalny zbiór na którym operujemy. Wszystko co jest poza dziedziną minimalną jest zbiorem pustym z definicji Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne: P=[pies] A. Dla dziedziny: ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt Otrzymamy zbiór ~P: ~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies] B. Dla dziedziny: ZWS - zbiór wszystkich ssaków: otrzymamy zbiór ~P: ~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies] C. Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P: ~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies] Wnioski: 1. Nie ma sensu mówienie o zaprzeczeniu zbioru ~p dopóki nie wybierzemy dziedziny w której ten zbiór zaprzeczamy. 2. Dziedzina minimalna dla zbiorów A,B,C mających nazwy własne to zbiór A (ZWZ). Przykład: Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C): C=[M, K] C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi) Elementy zbioru: M - mężczyzna K - kobieta Dziedzina: C = człowiek Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D: 1. ~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K Zachodzi tożsamość zbiorów: ~M=K Znaczenie: Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1) ~M=>K =1 2. ~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M Zachodzi tożsamość zbiorów: ~K=M Znaczenie: Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1) ~K=>M =1 Kluczowy wniosek: Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór: C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi) Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie mężczyzna byłoby dla nas nierozpoznawalne. Dowód: M - mężczyzna D=M - przyjęta dziedzina ~M=[D-M]=[M-M]=[] cnd 4.3 Definicja znaczka różne # Nawiązując do przykładu wyżej matematycznie zachodzi też: M=~K # K=~M Definicja znaczka różne #: Dwa pojęcia (zbiory) są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony. Sprawdzamy” M =~(K) = ~(~M) =M cnd 5.0 Dziedzina matematyczna i fizyczna, zdjęcie układu Definicja dziedziny matematycznej: Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych. D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q Uwaga: W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>. Właściwości dziedziny matematycznej: 1 Zdarzenia ABCD są rozłączne: Dowód: A*B = (p*q)*(p*~q) =[] =0 A*C =(p*q)*(~p*~q) =[] =0 A*D=(p*q)*(~p*q) =[] =0 itd. 2. W dziedzinie matematycznej wszystkie cztery zdarzenia są rozłączne i uzupełniają się do dziedziny. Dowód: D = p*q+p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1 cnd Definicja „zdjęcia układu”: „Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>. Definicja dziedziny fizycznej: Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1 5.1 Badanie dziedziny fizycznej w przykładach Rozważymy badanie dziedziny fizycznej w trzech przykładach: - implikacji odwrotnej CH~>S - implikacji prostej S|=>CH - równoważności A<=>S 5.1.1 Dziedzina fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q Definicja zdarzenia możliwego ~~>: Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q p~~>q =p*q =1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q. Inaczej: p~~>q=p*q =[] =0 Przykład: Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania A. Jeśli są chmury to może ~~> padać śnieg CH~~>S = CH*S =? Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „chmurką” i „śniegiem” Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia Innymi słowy: Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje „chmurki” i „śniegu” korzystając z historii meteorologii na naszej planecie. Definicja dziedziny matematycznej: Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych. D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q Uwaga: W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>. Definicja „zdjęcia układu”: „Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>. Definicja dziedziny fizycznej: Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1 Rozwiązanie: 1. W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w obrębie „chmurki” i „śniegu” Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „chmurką” i „śniegiem” Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia Kod: T1. Zdjęcie chmurki vs śnieg A: CH~~> S = CH* S =1 - Jeśli są chmury to może ~~> padać śnieg B: CH~~>~S = CH*~S =1 - Jeśli są chmury to może ~~> nie padać śnieg C:~CH~~>~S =~CH*~S =1 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> nie padać śnieg D:~CH~~> S =~CH* S =0 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> padać śnieg (fałsz) Nigdy w historii nie zanotowano takiego przypadku Dziedzina matematyczna dla pojęć „chmurka” i „śnieg” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania: DM=A: CH*S + B: CH*~S + C: ~CH*~S + D: ~CH*S = CH*(S+~S) + ~CH*(~S+S) = CH+~CH =1 Definicja dziedziny fizycznej: Dziedzina fizyczna to fragment „Zdjęcia układu” z wartościowaniem 1 Stąd mamy odpowiedź odnośnie dziedziny fizycznej dla pojęć „chmurka” i „śnieg” DF=A: CH*S + B: CH*~S + C: ~CH*~S Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1 1. Fałszywość kontrprzykładu D: ~CH~~>S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego: C: ~CH=>~S=1 2. Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>: C: ~CH=>~S = A: CH~>S =1 Zauważmy, że warunek wystarczający => C wymusza nam warunek konieczny ~> A i odwrotnie. Stąd mamy końcową tabelę T2. Kod: T2. A: CH~> S =1 - Jeśli są chmury to może ~> padać śnieg Chmury są konieczne ~> do tego by padał śnieg LUB B: CH~~>~S =1 - Jeśli są chmury to może ~~> nie padać śnieg … a jeśli nie ma chmur? Prawo Kubusia: A: CH~>S = C:~CH=>~A stąd: C:~CH=>~S =1 - Jeśli nie ma chmur to na 100% => nie będzie padał śnieg Brak chmur jest wystarczający => by nie padało D:~CH~~> S =0 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> padać śnieg (fałsz) Analiza tożsama do tabeli T2 dokładniej rozpisana to seria czterech zdań ABCD z opisem matematycznym. Definicja implikacji odwrotnej CH|~>S: Implikacja odwrotna CH|~>S to seria czterech zdań ABCD dających odpowiedź na dwa pytania: 1. Co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (zdania A i B)? 2. Co może się wydarzyć jeśli nie będzie pochmurno (zdania C i D)? 1. Co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno? A. Jeśli będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać śnieg (S=1) CH~>S =1 Istnienie chmur jest warunkiem koniecznym ~> aby padał śnieg lub B. Jeśli będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać śnieg (~S=1) CH~~>~S=CH*~S =1 Możliwe jest zdarzenie: są chmury i nie pada śnieg 2. Co może się wydarzyć jeśli nie będzie pochmurno? … a jeśli nie będzie pochmurno? Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => bez zamiany CH i S: A: CH~>S = C: ~CH=>~S C. Jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padał śnieg (~S=1) ~CH=>~S =1 Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie padał śnieg (~S=1) Prawdziwość warunku wystarczającego C:~CH=>~S=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu D:~CH~~>S=1 (i odwrotnie) stąd: D. Jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać śnieg (S=1) ~CH~~>S = ~CH*S =0 Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: „nie ma chmur (~CH=1)” i „pada śnieg (S=1)” Cechy charakterystyczne implikacji odwrotnej CH|~>S: 1. Po stronie chmur mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem moneta” w sensie „na dwoje babka wróżyła”: Jeśli są chmury to może ~> padać śnieg (zdanie A) albo może ~~> nie padać śnieg (zdanie B) - trzeciej możliwości nie ma. Mamy tu ewidentne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” 2. Po stronie braku chmur mamy do czynienia z gwarancją matematyczną => Zdanie C daje nam gwarancje matematyczną =>, że jeśli nie ma chmur to na 100% => nie będzie padał śnieg. Matematycznie zachodzi tożsamość: Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający => Definicja implikacji odwrotnej CH|~>S w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>: Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: CH=>S =0 B1: CH~>S =1 Stąd mamy definicje implikacji odwrotnej CH|~>S w równaniu logicznym: CH|~>S = ~(A1: CH=>S)*(B1: CH~>S) = ~(0)*1 = 1*1 =1 Kod: Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p Gdzie: ## - różne na mocy definicji p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Podstawmy nasz przykład do powyższej tabeli: Kod: Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>: A: 1: CH=>S = 2:~CH~>~S [=] 3: S~>CH = 4:~S=>~CH =0 ## B: 1: CH~>S = 2:~CH=>~S [=] 3: S=>CH = 4:~S~>~CH =1 Gdzie: ## - różne na mocy definicji Łatwo udowodnić, że seria zdań Bx jest prawdziwa, zaś seria zdań Ax jest fałszywa. Dygresja: Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>: C: ~CH=>~S = A: CH~>S =1 W dyskusji na sfinii mój wymarzony tester algebry Kubusia, który za wszelką cenę szukał wewnętrznej sprzeczności AK „obalił” prawo Kubusia przywołując Egipt w lipcu, gdzie wedle niego śnieg nie ma prawa padać zatem w Egipcie fałszywe musi być poniższe zdanie: A. Jeśli są chmury to może ~> padać śnieg CH~>S =0 Wedle testera tu musi być 0 (fałsz) bo przecież w Egipcie w lipcu śnieg nie ma prawa padać. Oczywiście nie o to chodzi w poprawnej logice matematycznej! W poprawnej logice matematycznej wystarczy jeśli w historycznych obserwacjach meteorologicznych zaobserwowano jedno pewne zdarzenie, że były chmury i padał śnieg i już w zdaniu A musimy postawić jeden (prawda). Miejsce gdzie takie zdarzenie na naszej planecie zaobserwowano nie ma znaczenia. 5.1.2 Dziedzina fizyczna w implikacji prostej p|=>q Przykład: Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania A. Jeśli pada śnieg to może ~~> być pochmurno S~~>CH = S*CH =1 Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „śniegiem” i „chmurką” Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia Innymi słowy: Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje „chmurki” i „śniegu” korzystając z historii meteorologii na naszej planecie. Definicja dziedziny matematycznej: Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych. D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q Uwaga: W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>. Definicja „zdjęcia układu”: „Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>. Definicja dziedziny fizycznej: Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1 Rozwiązanie: 1. W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w obrębie „śniegu” i „chmurki” Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „śniegiem” i „chmurką” Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia Kod: T1. A: S~~> CH = S* CH =1 - Jeśli pada śnieg to może ~~> być pochmurno B: S~~>~CH = S*~CH =0 - Jeśli pada śnieg to może ~~> nie być pochmurno Nigdy w historii nie zanotowano takiego przypadku C:~S~~>~CH =~S*~CH =1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~~> nie być pochurno D:~S~~> CH =~S* CH =1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~~> być pochmurno Dziedzina matematyczna dla pojęć „śnieg” i „chmurka” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania: DM=A: S*CH + B: S*~CH + C: ~S*~CH + D: ~S*CH = S*(CH+~CH) + ~S*(~CH+CH) = S+~S =1 cnd Definicja dziedziny fizycznej: Dziedzina fizyczna to fragment „Zdjęcia układu” z wartościowaniem 1 Stąd mamy odpowiedź odnośnie dziedziny fizycznej dla pojęć „śnieg” i „chmurka” DF=A: S*CH + C: ~S*~CH + D: ~S*CH Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1 1. Fałszywość kontrprzykładu B: S~~>~CH=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego: A: S=>CH =1 2. Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>: A: S=>CH = C: ~S~>~CH =1 Zauważmy, że warunek wystarczający => A wymusza nam warunek konieczny ~> C i odwrotnie. Stąd mamy końcową tabelę T2. Kod: T2. A: S=> CH = S* CH=1 - Jeśli pada śnieg to na 100% => jest pochmrno Padanie śniegu wystarcza => by było pochmurno B: S~~>~CH= S*~CH=0 - Jeśli pada śnieg to może ~~> nie być pochmurno Kontrprzykład dla A musi być fałszem .. a jeśli nie pada śnieg? Prawo Kubusia: A: S=>CH = C:~S~>~CH C:~S~>~CH =~S*~CH=1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~> nie być pochmurno Brak padania jest konieczny ~> by nie było pochmurno lub D:~S~~> CH=~S* CH=1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~~> być pochmurno Możliwe jest zdarzenie: nie pada śnieg i są chmury Analiza tożsama do tabeli T2 dokładniej rozpisana to seria czterech zdań ABCD z opisem matematycznym. Definicja implikacji prostej S|=>CH: Implikacja prosta S|=>CH to seria czterech zdań ABCD dających odpowiedź na dwa pytania: 1. Co może się wydarzyć jeśli będzie padał śnieg (zdania A i B)? 2. Co może się wydarzyć jeśli nie będzie padał śnieg (zdania C i D)? 1. Co może się wydarzyć jeśli będzie padał śnieg? A. Jeśli będzie padał śnieg (S=1) to na 100% będzie pochmurno (CH=1) S=>CH =1 Padanie śniegu jest warunkiem wystarczającym => do tego, by było pochmurno Prawdziwość warunku wystarczającego A: S=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B: S~~>~CH=0 (i odwrotnie) B. Jeśli będzie padał śnieg (S=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1) S~~>~CH =S*~CH =0 Nigdy w historii meteorologii nie zanotowano takiego przypadku 2. Co może się wydarzyć jeśli nie będzie padał śnieg? .. a jeśli śnieg nie będzie padał? Prawo Kubusia: A: S=>CH = C: ~S~>~CH C. Jeśli nie będzie padał śnieg (~S=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1) ~S~>~CH =1 Brak opadu śniegu jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak będzie padał śnieg to na 100% => będzie pochmurno Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło: C: ~S~>~CH = A: S=>CH lub D. Jeśli nie będzie padał śnieg (~S=1) to może ~> być pochmurno (CH=1) ~S~~>CH = ~S*CH =1 Możliwe jest zdarzenie: nie pada śnieg i jest pochmurno Cechy charakterystyczne implikacji prostej S|=>CH: 1. Po stronie padającego śniegu mamy do czynienia z gwarancją matematyczną => Zdanie A daje nam gwarancje matematyczną =>, że jeśli pada śnieg to na 100% => jest pochmurno Matematycznie zachodzi tożsamość: Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający => 2. Po stronie nie padającego śniegu mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem moneta” w sensie „na dwoje babka wróżyła”: Jeśli nie pada śnieg może ~> nie być pochmurno (zdanie C) albo może ~~> być pochmurno (zdanie D) - trzeciej możliwości nie ma. Mamy tu ewidentne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” Definicja implikacji prostej S|=>CH w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>: Implikacja prosta S|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: S=>CH =1 B1: S~>CH =0 Stąd mamy definicje implikacji prostej S|=>CH w równaniu logicznym: S|=>CH = (A1: S=>CH)*~(B1: S~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1 Kod: Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p Gdzie: ## - różne na mocy definicji p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Podstawmy nasz przykład do powyższej tabeli: Kod: Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>: A: 1: S=>CH = 2:~S~>~CH [=] 3: CH~>S = 4:~CH=>~S =1 ## B: 1: S~>CH = 2:~S=>~CH [=] 3: CH=>S = 4:~CH~>~S =0 Gdzie: ## - różne na mocy definicji Łatwo widać, że seria zdań Ax jest prawdziwa, zaś seria zdań Bx jest fałszywa. 5.1.3 Dziedzina fizyczna w równoważności p<=>q Definicja zdarzenia możliwego ~~>: Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q p~~>q =p*q =1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q. Inaczej: p~~>q=p*q =[] =0 Przykład: Dany jest najprostszy obwód elektryczny sterowania żarówką: Kod: S3 Schemat 3 S A ------------- ______ -----| Żarówka |-------o o----- | ------------- | | | ______ | ___ U (źródło napięcia) | | | | | ------------------------------------ Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania A. Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~~> się świecić A~~>S = A*S =? Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „przycisk A” vs „żarówka S” Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: schemat elektryczny S3 Innymi słowy: Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje „przycisk A” vs „żarówka S” na podstawie schematu S3. Definicja dziedziny matematycznej: Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych. D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q Uwaga: W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>. Definicja „zdjęcia układu”: „Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>. Definicja dziedziny fizycznej: Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1 Rozwiązanie: 1. W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w obrębie „przycisk A” i „żarówka S” Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „przycisk A” vs „żarówka S” Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: schemat elektryczny S3 Kod: T1. A: A~~> S= A* S=1 - Jeśli wciśnięty A to żarówka może ~~> się świecić B: A~~>~S= A*~S=0 - Jeśli wciśnięty A to żarówka może ~~> nie świecić C:~A~~>~S=~A*~S=1 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka może ~~> nie świecić D:~A~~> S=~A* S=0 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka może ~~> świecić Dziedzina matematyczna dla pojęć „przycisk A” i „żarówka S” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania: DM=A: A*S + B: A*~S + C:~A*~S+ D: ~A*S = A*(S+~S) + ~A*(~S+S) = A+~A =1 cnd Definicja dziedziny fizycznej: Dziedzina fizyczna to fragment „Zdjęcia układu” z wartościowaniem 1 Stąd: Dziedzina fizyczna to: DF=A: A*S + C:~A*~S Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1 1. Fałszywość kontrprzykładu B: A~~>~S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego: A: A=>S =1 2. Fałszywość kontrprzykładu D: ~A~~>S=0=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego: C: ~A=>~S =1 W punktach A i C spełnione są tez odpowiednie warunki konieczne ~> na mocy prawa Kubusia: A: A=>S = C: ~A~>~S =1 C: ~A=>~S = A: A~>S =1 Jednak w logice matematycznej człowieka domyślne są warunku wystarczające =>, dlatego tylko te bierzemy tu pod uwagę, bo przecież chcemy opisywać język potoczny. Stąd mamy końcową tabelę T2. Kod: T2. A: A=> S =1 - Jeśli wciśnięty A to żarówka na 100% => świeci Wciśniecie A jest wystarczające dla świecenia S B: A~~>~S=0 - Jeśli wciśnięty A to żarówka może ~~> nie świecić Kontrprzykład B dla zdania A musi być fałszem C:~A=>~S =1 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka na 100% => nie świeci Nie wciśniecie A jest wystarczające => dla nie świecenia S D:~A~~>S =0 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka może ~~> świecić Kontrprzykład D dla zdania C musi być fałszem Definicja podstawowa równoważności p<=>q: Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1) ## B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1) Gdzie: ## - różne na mocy definicji Stąd mamy: Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q Kod: Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 I II III IV Gdzie: ## - różne na mocy definicji p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx Definicja operatora równoważności p|<=>q (dla I i II): Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q na dwa pytania: 1 Kiedy zajdzie p? p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q I. p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć): p=q 2. Kiedy zajdzie ~p? ~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q II. ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q) =1*1 =1 Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć): ~p=~q Znaczenie tożsamości logicznej: p<=>q = ~p<=>~q Prawdziwość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza fałszywość drugiej strony Kod: Równoważność: | Równoważność: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p*~q) Tożsamość zdarzeń: | Tożsamość zdarzeń: p=q # ~p=~q Gdzie: [=] - tożsamość logiczna # - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej | - komentarz p # ~p ~(~p)=p ~(p)=~p Prawo podwójnego przeczenia: Nie jest prawdą (~) że zajdzie zdarzenie ~p = prawdą jest że zajdzie zdarzenie p ~(~p)=p Prawo negacji p: Nie jest prawdą (~) że zajdzie p = prawdą jest że zajdzie ~p ~(p)=~p Uwagi: 1. Matematycznie zachodzi: Operator równoważności p|<=>q ## Spójnik równoważności p<=>q Gdzie: ## - różne na mocy definicji 2. Spójnik równoważności <=> w formie skróconej nazywamy równoważnością <=> 3. Zauważmy, że udowodnienie prawdziwości jednego zdania serii Ax i jednego zdania serii Bx jest potrzebne i wystarczające dla prawdziwości wszystkich możliwych spójników równoważności. 4. Równoważność jest przemienna, zatem dokładnie to samo możemy zapisać dla kwarty III i IV. 5. Zauważmy, że operatora równoważności p|<=>q nie da się wymówić w języku mówionym bowiem jest to układ równań spójnika równoważności <=> w logice dodatniej (bo q) p<=>q i w logice ujemnej (bo ~q) ~p<=>~q: 1. p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) 2. ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q) Kod: S3 Schemat 3 S A ------------- ______ -----| Żarówka |-------o o----- | ------------- | | | ______ | ___ U (źródło napięcia) | | | | | ------------------------------------ Dowód iż schemat S3 jest fizyczną realizacją równoważności. Definicja podstawowa równoważności: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) Dowodzimy prawdziwości zdania A1. A1. Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1) A=>S =1 Wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się Dowodzimy prawdziwości zdania B1. B1. Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1) A~>S =1 Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się, bo w układzie nie ma alternatywnego przycisku, który mógłby zaświecić żarówkę cnd Definicja podstawowa równoważności A<=>S: Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1) ## B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1) Gdzie: ## - różne na mocy definicji Stąd mamy: Definicja podstawowa równoważności: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1 Kod: A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1 ## B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1 I II III IV Gdzie: ## - różne na mocy definicji Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni. Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>: 1. Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)? I. Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1): Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1) A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1 Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów): A=S Zdarzenie „wciśnięty klawisz A” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S świeci” Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+): A<=>S = A*S+~A*~S 1. Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)? II. Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1): Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1) ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1 Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów): ~A=~S Zdarzenie „klawisz A nie wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S nie świeci” Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+): A<=>S = A*S+~A*~S Operator równoważności S|<=>A to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>: 1. Kiedy żarówka świeci się (S=1)? III. Równoważność dla świecącej się żarówki (S=1): Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1) S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1 Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów): S=A Zdarzenie „żarówka S świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A wciśnięty” Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+): A<=>S = A*S+~A*~S 2. Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)? IV. Równoważność dla nie świecącej się żarówki (~S=1): Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) ~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1 Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów): ~S=~A Zdarzenie „żarówka S nie świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A nie wciśnięty” Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+): A<=>S = A*S+~A*~S Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna układów: I = II = III = IV 6.0 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna Definicja miękkiej prawdy w logice matematycznej: Miękka prawda to prawda która może zajść ale nie musi. Istnienie miękkiej prawdy pociąga za sobą istnienie miękkiego fałszu Przykład: A. Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu LUB B. Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać CH~~>~P=CH*~P =1 - możliwy jest przypadek „są chmury” i „nie pada” Chwilą czasową jest w powyższym przypadku cały jutrzejszy dzień. Zauważmy, że: W dniu dzisiejszym w czasie przyszłym obie jedynki są miękkimi jedynkami pociągającymi za sobą miękkie zera. Dopóki jesteśmy dzisiaj i nie znamy przyszłości w przypadku zdań A i B możemy mówić o miękkich prawdach pociągających za sobą miękkie fałsze. Czyli: A: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie A: CH*P =1 to zdarzenie B będzie fałszem B: CH*~P=0 i odwrotnie: B: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie B: CH*~P=1 to zdarzenie A będzie fałszem A: CH*P =0 Definicja twardej prawdy: Twarda prawda to prawda niezależna od funkcji czasu obowiązująca od minus do plus nieskończoności. Przykład: Kontynuujemy dalsze możliwe przypadki związane ze zdaniami A i B (miękkie jedynki) .. a jeśli jutro nie będzie pochmurno? Prawo Kubusia: A: CH~>P = C: ~CH=>~P stąd mamy: C. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało ~CH=>~P =1 - twarda jedynka To jest twarda prawda niezależna od funkcji czasu, to zdarzenie jest zawsze prawdziwe w naszym Wszechświecie od minus do plus nieskończoności. Prawdziwy warunek wystarczający C:~CH=>~P =1 wymusza fałszywy kontrprzykład D D. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać ~CH~~>P =~CH*P =0 - twarde zero Zdarzenie wykluczone od minus do plus nieskończoności, nie ma najmniejszych szans aby zdarzenie D kiedykolwiek zaszło na planecie Ziemia w przedziale czasowym od minus do plus nieskończoności. Prawo Kobry dla zdarzeń: Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>. Innymi słowy: Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi) Na mocy prawa Kobry powyższą analizę możemy rozpisać w zdarzeniach możliwych ~~>. Definicja zdarzenia możliwego ~~>: p~~>q = p*q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q inaczej: p~~>q = p*q =0 Stąd mamy tabelę zdarzeń możliwych które mogą zajść jutro: Kod: A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada” B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada” C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada” D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada” Zauważmy, że: 1. Na planecie Ziemia zdarzenie D nie jest możliwe, nigdy nie zaszło i nigdy nie zajdzie. 2. Zdarzenia ABC są wzajemnie rozłączne zarówno fizycznie jak i matematycznie. Dowód matematycznej rozłączności zdarzeń ABC: A*B = (CH*P)*(CH*~P) =[] =0 A*C = (CH*P)*(~CH*~P)=[] =0 B*C=(CH*~P)*(~CH*~P)=[] =0 3. Z powyższego wynika, że jeśli jutro zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych ABC (prawda absolutna) to pozostałe dwa zdarzenia będą fałszem absolutnym … i w tym momencie logika matematyczna kończy swoją działalność, bo znamy rozstrzygnięcie i nie jesteśmy w stanie zmienić zaistniałego faktu na gruncie logiki matematycznej. Przykładowo: Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło znane nam zdarzenie w Warszawie: CH*~P =1 - wczoraj było pochmurno i nie padało W tym przypadku wyłącznie linia B będzie prawdą absolutną, pozostałe linie będą fałszem absolutnym. Dowód: Z założenia wiemy że: CH~~>~P = CH*~P =1 - wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało Na mocy tego założenia nasza tabela prawdy dla znanej i zdeterminowanej przeszłości wygląda tak: Kod: A: CH~~> P= CH* P=0 - wczoraj były chmury i padało B: CH~~>~P= CH*~P=1 - wczoraj były chmury i nie padało C:~CH~~>~P=~CH*~P=0 - wczoraj nie było chmur i nie padało D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada” Zdarzenie B miało miejsce w Warszawie. Zauważmy, że nie wszyscy muszą wiedzieć jaka pogoda w dniu wczorajszym w Warszawie, bo w Szczecinie mogła być inna. Tylko i wyłącznie dla mieszkańców Szczecina, którzy nie znają prawdy absolutnej o pogodzie w Warszawie logika matematyczna działa dalej i sensowna. Innymi słowy, jeśli nie znamy rozstrzygnięcia to logika wznawia swoją działalność identyczną serią zdań jak wyżej, tylko zapisaną w czasie przeszłym. Definicja prawdy absolutnej: Prawda absolutna to znany „fakt” który nie ma szans przejścia w fałsz. Przykład: Nasze zdarzenie w Warszawie: B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, w Warszawie było pochmurno i nie padało Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” nie da się zmienić. Definicja fałszu absolutnego: Fałsz absolutny to znany „fakt” który nie ma szans stać się prawdą W momencie zaistnienia powyższej prawdy absolutnej na terenie Warszawy wszystkie pozostałe, możliwe zdarzenia tj. A i C stają się fałszami absolutnymi. Znanych faktów nie jesteśmy w stanie zmienić bo czasu nie da się cofnąć. |
|||||