ŚFiNiA

rafal3006

Logika dodatnia, logika ujemna, ogólne prawo de’Morgana

W artykule będzie mowa o związkach logiki dodatniej z logiką ujemną na poziomie dowolnie złożonych równań w algebrze Boole’a.

We wszelkich źródłach w Internecie na temat logiki ujemnej można znaleźć lakoniczną wzmiankę jak niżej.

Wikipedia:

Jeśli do napięć wysokich zostanie przyporządkowana logiczna jedynka, a do niskich logiczne zero, wówczas mówi się, że układ pracuje w logice dodatniej (inaczej zwaną pozytywną), w przeciwnym razie mamy do czynienia z logiką ujemną (inaczej zwaną negatywną).

Specjaliści od układów cyfrowych (ci najlepsi) wiedzą dodatkowo, że układ który realizuje w logice dodatniej sumę logiczną w logice ujemnej realizuje iloczyn logiczny i odwrotnie. Można to bardzo łatwo pokazać na wykresach czasowych lub obejrzeć na oscyloskopie. Na tym wiedza człowieka na temat logiki ujemnej się kończy !

Notacja występująca w tym artykule:

* - operator AND (iloczyn logiczny)
+ - operator OR (suma logiczna)
~ - symbol negacji (inwertera)
Y - binarna zmienna wyjściowa
A,B,C,D … - binarne zmienne wejściowe

Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.

Prawa de’Morgana dla dwóch zmiennych

~(A+B) = ~A*~B - prawo zamiany sumy logicznej na iloczyn logiczny
~(A*B) = ~A + ~B - prawo zamiany iloczynu logicznego na sumę logiczną

Prawa de’Morgana dla dowolnej ilości zmiennych.

~(A1+A2+… +An) = ~A1* ~A2* …* ~An - prawo zamiany sumy logicznej na iloczyn logiczny
~(A1*A2*….*An) = ~A1 + ~A2 + … +~An - prawo zamiany iloczynu logicznego na sumę logiczną

Zacznijmy od końca

Załóżmy, że stan Y=1 na wyjściu układu logicznego zbudowanego wyłącznie na bramkach AND (*), OR (+) i inwertera (~ ) opisuje wzór:

Y = A(B+C(D+E(G+H))) + I - założona kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND, OR.

Załóżmy, że mamy zbudowany układ fizyczny który realizuje powyższe równanie. Prawa strona równania może przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych wejściowych.

Logika dodatnia:

Y=1

Y = A(B+C(D+E(G+H))) + I - założona kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND, OR.

Y=1 <=> A(B+C(D+E(G+H))) + I = 1

Logika ujemna:

~Y=0

Zanegujmy dwustronnie powyższe równanie:

~Y = ~ [A(B+C(D+E(G+H))) + I]

czyli:

~Y=0 <=> ~ [A(B+C(D+E(G+H))) + I] = 0

Oczywiście zachodzi:

Y = ~ (~Y)

Fizyczną realizację układu pracującego w logice ujemnej można zrealizować na dwa sposoby.

1.
Użyć inwertera (~) na wyjściu układu pracującego w logice dodatniej

2.
Zanegować wszystkie sygnały wejściowe układu pracującego w logice dodatniej. Ten sposób jest podawany we wszelkich źródłach w Internecie, tyle że na poziomie pojedynczego sygnału wejściowego (co widać we wstępie) z zerową dawką teorii o związku logiki dodatniej z logiką ujemną.

Pierwszy sposób jest trywialny.

Bardzo ciekawy od strony matematycznej jest drugi sposób bowiem zmieni się wówczas zasadniczo całe wyrażenie w algebrze Boole’a.

~Y = ~ [A(B+C(D+E(G+H))) + I]

Z przeczeniem całego wyrażenia trzeba zejść do poziomu sygnałów wejściowych. Oczywiście trzeba skorzystać z praw de’Morgana, jednak to horror co zostanie pokazane później.

Bardzo prosto można zejść do poziomu sygnałów wejściowych znając ogólne prawo de’Morgana.

Ogólne prawo de’Morgana.

Bardzo ważne twierdzenie dotyczące kolejności wykonywania działań analogiczne do algebry dziesiętnej:

Jeśli w logice dodatniej przyjmiemy kolejność wykonywania działań AND, OR to w logice ujemnej musimy przyjąć kolejność odwrotną OR, AND. Można i odwrotnie. Oczywiście można używać nawiasów podobnie jak w algebrze dziesiętnej.

Logika dodatnia:

Y=1

Y = A1 @ A2 @ A3 .... @ An

gdzie:

@ - oznacza dowolny spójnik logiczny AND albo OR (* albo +)

Logika ujemna:

~Y=0

~Y = ~A1 # ~A2 # ~A3 ... # ~An

gdzie:

# - oznacza spójnik komplementarny do @ czyli:

@=OR => # = AND
@=AND => # = OR

n = 1 do nieskończoności

Oczywistym jest że zachodzi:

Y = ~(~Y) = ~(~A1 # ~A2 # ~A3 ... # ~An) = A1 @ A2 @ A3 .... @ An

Ten zapis ogólny załatwia wszystko.

Zauważmy, że znane wszystkim prawa de’Morgana pozwalają na przejście z czystej sumy logicznej na iloczyn logiczny i odwrotnie. Ogólne prawo de’Morgana pozwala na takie samo przejście ale z dowolną mieszanką operatorów OR (+) i AND (*) bez użycia nawiasów !!! Jest wiec pojęciem znacznie szerszym od znanych praw de’Morgana.

Zauważmy, że zapis matematyczny ogólnego prawa de’Morgana zawiera w sobie znane wszystkim prawa de”Morgana - przypadek gdy wszystkie symbole @ są identyczne OR(+) albo AND (*).

Wyprowadźmy dla przykładu prawo zamiany sumy logicznej na iloczyn logiczny z ogólnego prawa de’Morgana.

W ogólnym prawie de’Morgana ustawiamy wszędzie @=OR (+) czyli:

Logika dodatnia:

Y=1

I.
Y = A1+A2+… +An

Logika ujemna:

~Y=0

II.
~Y = ~A1* ~A2* …* ~An - na podstawie ogólnego prawa de’Morgana

Podstawiając I do II mamy:

~( A1+A2+… +An) = ~A1* ~A2* …* ~An - prawo zamiany sumy logicznej na iloczyn logiczny

W identyczny sposób można wyprowadzić prawo zamiany iloczynu logicznego na sumę logiczną ustawiając wszędzie @=AND (*)

Jak widać, prawa de’Morgana mówią o związku logiki dodatniej z logika ujemną o czym chyba w dniu dzisiejszym żaden człowiek na świecie nie ma pojęcia.

Wróćmy do naszego przykładu

Logika dodatnia:

Y=1

Y = A(B+C(D+E(G+H))) + I - założona kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND, OR

Aby zejść do poziomu sygnałów wejściowych skorzystajmy z ogólnego prawa de’Morgana.

Logika ujemna:

~Y=0

A.
~Y = ~A+(~B*~C+(~D*~E+(~G*~H))) *~I

Na podstawie ogólnego prawa de'Morgana negujemy totalnie wszystkie zmienne oraz zmieniamy operatory na przeciwne tzn. AND na OR oraz OR na AND.

Kolejność wykonywania działań:

1. nawiasy
2. OR
3 . AND - bo w logice dodatniej było AND, OR

Jak widać, to trywialny problem z którym poradzi sobie każda „małpa” po jednominutowym przeszkoleniu.

Zróbmy teraz to samo bez użycia ogólnego prawa de’Morgana … brr !!!

Z doświadczenia wiem, że to będzie niezły horror dlatego ułatwię sobie zadanie, by z góry wiedzieć do czego muszę dojść.

Wzór wyprowadzony wyżej sprowadzony do postaci gdy nie wiem nic o kolejności wykonywania działań wygląda następująco.

~Y = ~A+(~B*~C+(~D*~E+(~G*~H))) *~I = (~A+(~B*(~C+(~D*(~E+(~G*~H))))))*~I

Teraz wypada się pomodlić i przystąpić do przekształceń korzystając ze znanych wszystkim praw de’Morgana.

B.
~Y = ~ [A(B+C(D+E(G+H))) + I] = ~( A(B+C(D+E(G+H))))*~I = (~A+~(B+C(D+E(G+H))))*~I = (~A + (~B*~( C(D+E(G+H)))))*~I = (~A + (~B*(~C+ ~((D+E(G+H))))))*~I = (~A + (~B*(~C+ (~D*~(E(G+H))))))*~I = (~A + (~B*(~C+ (~D*(~E+~(G+H))))))*~I = (~A + (~B*(~C+ (~D*(~E+(~G*~H))))))*~I

Poszło po Japońsku „jakotako”, ale wyłącznie dzięki temu, że miałem bezcenną podpowiedź i wiedziałem do czego muszę dojść. Jak komu mało to niech rozbuduje powyższy schemat do 20 zmiennych.

Porównajmy trudność wyprowadzeń identycznych wzorów A i B. Wyższość ogólnego prawa de’Morgana nie podlega dyskusji.

Matematyczne wyprowadzenie ogólnego prawa de’Morgana.

Logika dodatnia:

Y=1

Y = A(B+C)

Y=1 <=> A(B+C) = 1

Logika ujemna:

~Y=0

Zanegujmy równanie w logice dodatniej stronami.

~Y = ~(A(B+C)) = ~A+ ~(B+C) = ~A + (~B*~C)

~Y=0 <=> ~A + (~B*~C) = 0

Czyli:
Y = A(B+C) = A* B+ C - logika dodatnia po usunięciu nawiasów
~Y = ~A + (~B*~C) = ~A+ ~B *~C - logika ujemna po usunięciu nawiasów

Powyższe to dowód twierdzenia:

Jeśli w logice dodatniej przyjmiemy kolejność wykonywania działań OR, AND to w logice ujemnej musimy przyjąć kolejność wykonywania działań AND, OR. Dzięki temu ze znanych wszystkim praw de’Morgana możemy usunąć wszelkie nawiasy grupujące AND i OR i operować na dowolnej mieszance tych spójników.

W identyczny sposób można wykazać że:

Jeśli w logice dodatniej przyjmiemy kolejność wykonywania działań AND, OR to w logice ujemnej musimy przyjąć kolejność wykonywania działań OR, AND

Czyli dochodzimy do kluczowego i arcyważnego twierdzenia:

Jeśli w logice dodatniej przyjmiemy kolejność wykonywania działań AND, OR to w logice ujemnej musimy przyjąć kolejność odwrotną OR, AND. Można i odwrotnie. Oczywiście można używać nawiasów podobnie jak w algebrze dziesiętnej.

rafal3006

Zbóju, mógłbyś przeczytać powyższy artykuł. Moim zdaniem nadaje się do pubikacji, to kryształowo czysta algebra Boole'a. Oczywiście można to jeszcze dopieścić. Jak masz uwagi to pisz.

Moim zdaniem to jedyna szansa na zaistnienie ~>. Może po czymś takim co niektórzy zrozumieją że Kubuś to nie idiota ?

Pewne jest że z ~> jest identycznie jak z wprowadzenim zera przez Rzymian. Wiedzieli że arabowie mają zero, ale bronili się przed tym kilkaset lat :grin:

Jak ten artykuł nie wypali to ja urządzam uroczysty pogrzeb symbolowi ~> i przestaję się tym zajmować.

wujzboj

Rafale...

"Kolejnosc dzialan" znaczy wlasnie NAWIASY! Kto zmieniajac operatory zmienia przy tym ulozenie nawiasow, ten popelnia powazny blad.

Zapis Z = A + B*C jest skrotowym zapisem Z = A + (B*C). Prawidlowe zastosowanie prawa de Morgana do tego wyrazenia to:

(1) ~Z = ~(A + (B*C) ) = ~A * ~(B*C) = ~A*(~B + ~C)

natomiast W TRYWIALNY SPOSOB BLEDNE jest

(2) ~Z = ~(A + B*C) =? ~A*~B + C = (~A*~B) + ~C.

W (2) zostaly PRZESTAWIONE nawiasy, co prowadzi do blednego wyniku.

Nie, zapomnij o "uogolnionym prawie de Morgana". To nie tylko trywial, ale wrecz odkrywanie Ameryki, i to z poziomu szkolnego. Wysylajac to gdziekolwiek, narazisz sie tylko na kpiny recenzenta. A jesli NIE DAJ BOZE recenzent to przepusci (bo mu sie nie bedzie chcialo czytac, a bedzie mial dobre serce), to bedziesz sie potem tej publikacji wstydzil, albo moze ci ona zaszkodzic, gdy bedziesz chcial zmienic prace a osoba odpowiedzialna za decyzje o przyjmowaniu pracownikow ja przypadkiem zobaczy.

Natomiast kiedy bedziesz pisal o operatorze ~>, odnoszac sie przy tym do problemow edukacyjnych, mozesz przy okazji zwrocic uwage na trudnosci, jakie niektorzy maja z prawidlowym zastosowaniem prawa de Morgana. Mozesz wtedy napisac, ze bierze sie to z niezrozumienia samego sensu tego prawa i ze mozna ulatwic uczniom to zrozumienie, wprowadzajac zapis w ktorym nie wystepuja symbole iloczynu i sumy logicznej. Taki zapis nie sugeruje uczniowi, by po zastosowaniu prawa de Morgana zmienil kolejnosc operacji, i w efekcie nawiasy pozostana tam, gdzie powinny byc, nawet jesli w przeksztalcanym zdaniu niektore z nawiasow byly usuniete ze wzgledu na umowe o kolejnosci dzialan.

W ten sposob ani nie zmarnujesz swojego pomyslu, ani nikt sie z ciebie nie bedzie nasmiewal.

rafal3006

Zbój nie ma racji. Jest ogólne prawo de'Morgana dotyczące przejścia z logiki dodatniej na ujemną i z powrotem. O tych logikach de"Morgan nie miał oczywiście pojęcia. Podsumowanie za kilkanaście postów tu:

http://www.sfinia.fora.pl/post38826.html#38826

wujzboj

W twoim artykule nie ma bledow. Twoj artykul jest trywialny.

Przeczytaj moj komentarz jeszcze raz.

rafal3006

Zbóju, jesteś teoretykim a ja praktykiem i ... ciężko jest :grin:

W moim przykładzie wyżej było tak:

Przykład I

To jest rozwiązane w artykule.

Logika dodatnia:

Y=1

Y = A(B+C(D+E(G+H))) + I - założona kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND, OR.

Przykład II.

Analogiczny przykład z założoną kolejością wykonywania działań OR, AND byłby taki:

Y = A+(B*C+(D*C+(D*E+(G*H)))*I - założona kolejność wykonywania działań OR,AND

Zbóju masz o tyle rację, że przykład II to wywrócenie do góry nogami przyzwyczajeń człowieka który ma zakodowane domyślnie że zawsze musi być taka kolejność AND, OR ... ale przecież w Anglii jeżdżą lewą stroną zaś wszystkie wektory napięć w Niemczech są przeciwne niz w Polsce (mieszkasz tam to wiesz) itd.

Zbóju, ty krytykujesz przyzwyczajenia człowieka twierdząc, że zawsze musi być:

Y=A+B*C = A+ (B*C)

a nigdy nie może być:

Y = A+B*C = (A+B)*C

zgoda, żyjemy w Polsce a nie w Anglii i jeździmy prawą stroną, OK (co oczywiście nie oznacza, że masz matematyczną rację - tym razem to Kubusiowa matematyka jest bardziej ogólna :grin:

)

Rzeczywiście trzeba minimalnie zmienić artykuł aby był zgodny z naszymi przyzwyczajeniami AND, OR - wtedy nie trzeba stosować żadnego opisu do logiki dodatniej. Do ujemnej też ...

Zbóju, jeśli cały ten artykuł dla ciebie tak trywialny to zapomnij o nim i zrób poniższy przykład.

Przykład dla Zbója

Logika dodatnia:

Y=A*(B+C(D+E(F+G(H+I(J+K)))))+L - notacja Polska AND, OR (na wszelki wypadek)

~Y = ~[A*(B+C(D+E(F+G(H+I(J+K)))))+L] = ??????

Fizyczna realizacja takiego równania przy pomocy bramek logicznych jest przeraźliwie prosta, to kaskada dwuwejściowych bramek OR i AND. Dokładnie potrzeba na to 6 dwuwejściowych bramek OR (7432) i 5 dwuwejściowych bramek AND (7408). W każdym z wymienionych układów są po cztery bramki zatem potrzeba łącznie 4 układy za łączną cenę ok. 1,2 zł ... i można się bawić w sprawdzanie teorii !!! :grin:

To proste Zbóju, proszę o rozwiązanie.

wujzboj

Rafale drogi... Prosze po prostu PRZECZYTAJ, co napisalem.

Nie krytykuje zadnych przyzwyczajen. Wyjasniam ci, dlaczego twoj artykul jest trywialny. Za jego pomoca korygujesz po prostu swoj wlasny blad, bioracy sie z twoich niematematycznych przyzwyczajen wlasnie. Zaden matematyk takiego bledu nie popelni, sprawa jest ABSOLUTNIE TRYWIALNA, na poziomie zdecydowanie PRZEDmatematycznym. Nie uogolniasz zadnego prawa de Morgana, odkrywasz Ameryke pokazujac swoja nieznajomosc geografii.

Z = ~[A*(B+C(D+E(F+G(H+I(J+K)))))+L] =
= ~[(A*(B+C*(D+E*(F+G*(H+I*(J+K))))))+L] = // uzupelnilismy brakujace (umowne) operatory
= ~[(A*(B+(C*(D+(E*(F+(G*(H+(I*(J+K))))))))))+L] = // uzupelnilismy brakujace (umowne) nawiasy
= (~A+(~B*(~C+(~D*(~E+(~F*(~G+(~H*(~I+(~J*~K))))))))))*L //zastosowalismy SZKOLNE prawo de Morgana

rafal3006

Zbóju, moje rozwiązanie:

Y=A*(B+C(D+E(F+G(H+I(J+K)))))+L

~Y=~A+(~B*~C+(~D*~E+(~F*~G+(~H*~I+(~J*~K)))))*~L - kolejność działań OR,AND

~Y = (~A+(~B*(~C+(~D*(~E+(~F*(~G+(~H*(~I+(~J*~K))))))))))*~L - uzupełnienie nawiasów

Zbóju, musisz przyznać że w ogólnym prawie de'Morgana nie ma błędów oraz że przekształcenie do ~Y potrafi zrobić małpa. Dalej trzeba uzupełnić nawiasy co już małpa nie zrobi o ile nie lubi się notacji odwrotnej OR, AND.

W sumie mamy dwie równoważne metody dojścia do tego samego wyniku. W obliczeniach obwodów elektrycznych też jest kilka równoważnych metod np. prawa Kirchhoffa, metoda superpozycji itp

Która lepsza, rzecz gustu.

Nistety, to nie było odkrywanie Ameryki ale znalezienie innej metody dojścia do tego samego.

Metoda Zbója:

Y=A(B+C*D+E(F+G))

~Y = ~[A*(B+(C*D)+(E*(F+G)))] = // uzupełnienie nawiasów
~Y = ~A + (~B*(~C+~D)*(~E+(~F*~G)))

Metoda Kubusia:

Y=A(B+C*D+E(F+G))

~Y = ~A + (~B*~C+~D*~E+(~F*~G)) - kolejność OR, AND
~Y = ~A + (~B*(~C+~D)*(~E+(~F*~G))) - // uzupełnienie nawiasów

Zbóju, obie metody dojścia do końcowego wyniku sa dobre i poprawne. Ty uzupełniasz nawiasy przed a ja po - to jedyna różnica.

Oczywiście gdybym w równaniu wyjściowym miał wszystkie nawiasy to nie musiałbym niczego zmieniać - ty też.

OK ? :pidu:

P.S.

Zbóju, od strony formalnej do tego się przyczepię:

Z = ~[A*(B+C(D+E(F+G(H+I(J+K)))))+L]

Jak zapiszesz tą funkcję w logice dodatniej ...

wujzboj

Rafale, posluchaj wreszcie!

Piszesz teraz TRYWIAŁY. Nie błędy, lecz T_R_Y_W_I_A_Ł_Y. Twoje wzory są trywialnie poprawne. Są poprawne, ale ich poprawność jest TRYWIALNA, bez najmniejszego matematycznego znaczenia.

Nie ma zadnego nowego "ogolnego prawa de Morgana". Nie ma zadnego "twojego rozwiazania", jest oczywiste zastosowanie prawa de Morgana, znanego kazdemu, kto w szkole uwazal na lekcji. Prawidlowy wynik uzyskuje KAZDY, kto nie gubi nawiasow. A jesli ktos gubi nawiasy, to jego wina.

Napisalem ci, w jaki sposob mozesz sprobowac sprzedac twoje oznaczenia. Jest to JEDYNY sposob, w jaki da sie to wykorzystac: w celach edukacyjnych wlasnie. Dla nauczenia, ze trzeba uwazac na nawiasy i na konwencje. Dla nauczenia, co wlasciwie znacza nawiasy i konwencje. KAZDY zapis matematyczny to konwencja, i kiedy sie zapisu uzywa, trzeba te konwencje znac.

Nie, nie zmarnowales czasu wyprowadzajac swoje "uogolnione prawo", bo czegos sie przy tym nauczyles. Ale z tego, ze TY sie czegos nauczyles, nie wynika, ze inni tego od dawien dawna nie wiedzieli. Z tego, ze cos SAM zauwazyles, nie wynika, ze zrobiles epokowe odkrycie - lub jakiekolwiek odkrycie. Rafale, tak jest zazwyczaj. Jak czlowiek cos wymysli, to zwykle okazuje sie, ze juz inni przed nim to wymyslili. O tym pisze nawet Goethe w Fauscie

. Nie ma sie wiec czym przejmowac, tylko trzeba sie cieszyc z tego, ze SAM doszedles do czegos, czego inni uczua sie od nauczycieli.

OK?

rafal3006

rafal3006

rafal3006

Zbóju, coś absolutnie fantastycznego !

Ogólne prawo de'Morgana = prawo Kubusia

Ogólne prawo de'Morgana działa fantastycznie w logice dodatniej i ujemnej !

Prawo Kubusia:
Przy przejściu z logiki dodatniej na ujemną (lub odwrotnie) negujemy totalnie wszystkie zmienne i zmieniamy operatory na przeciwne tzn. AND(*) na OR(+) oraz OR(+) na AND(*)

Absolutnie nic wiecej nie musimy robić, bo w logice dodatniej domyślna kolejność wykonywania działań to AND, OR zaś w logice ujemnej domyślna kolejność to OR, AND !!!!

Przykład Kubusia:

Y = AB+C(D+E)+A

Przejście z logiki dodatniej na ujemną:

~Y = ~A+~B*~C+(~D*~E)*~A

Powrót do logiki dodatniej:

Y = ~(~Y) = A*B+C*(D+E)+A = AB+C(D+E)+A

To co wyżej potrafi każda małpa !

Oryginalne prawo de'Morgana

To samo po Zbójowemu:

III.
Y = AB+C(D+E)+A

Przejście z logiki dodatniej do ujemnej:

Z=(~A+~B)*(~C+(~D*~E))*~A - dodanie brakujących nawiasów :shock:

Przejście powrotne z logiki ujemnej do dodatniej:

Tu kochany Zbóju widać twój błąd który poprawiam (wyżej powinno być ~Z bo to logika ujemna w stosunku do oryginału, oczywiście Y=Z) :grin:

Z = ~(~Z) = (A*B)+(C*(D+E))+A

Usunięcie zbędnych nawiasów :shock:

Z= AB+C(D+E)+A

Jak widać przy pomocy oryginalnego prawa de'Morgana musimy przy przejściu z logiki dodatniej na ujemną dokładać brakujące nawiasy a przy przejściu powrotnym usuwać zbędne nawiasy. To zadanie wcale nie jest trywialne i zdecydowanie wykracza poza możliwości małpy operujacej przy pomocy prawa Kubusia = ogólne prawo de'Morgana :grin:

wujzboj

Kochany Rafale, cieszę się, że zauważyłeś nadmierną prostotę "ogólnego prawa". Co do pozostałych twoich uwag, to nie jestem informatykiem, ale są dwie możliwości:

(1) Każdy informatyk zna i stosuje umowę, że w logice ujemnej OR jest wykonywane przed AND. W tym przypadku cale "ogolne prawo de Morgana" jest zupelnie o niczym, niezaleznie od jego postaci.

(2) W informatyce jak i w reszcie świata obowiązuje tradycyjna umowa, że AND jest wykonywane zawsze przed OR. W tym przypadku pomysł wprowadzania osobnej umowy dla logiki ujemnej prowadzi do chaosu.

NORMALNE stosowanie reguł, na takiej zasadzie, na jakiej przekształciłem twoje zdanie, jest TRYWIALNE i może je stosować nie tylko małpa, ale i bezmyślny automat. Zobacz: wystarczy kazac mu zrobic trzy trywialne operacje:

1. Uzupelnic brakujace operatory (tu moze byc troche zabawy, ale ten krok trzeba zrobic w kazdej metodzie);

2. Uzupełnic brakujace nawiasy (to jest nieco trudniejsze, bo trzeba liczyc nawiasy, ale naprawde nie przekracza możliwości intelektualnych małpy, o prościutkim programie nawet nie wspominając);

3. Zamienic symbole i dopisac negacje (to moze kazdy edytor tekstu, nawet tak tępy, jak Word).

Łatwiej nauczyć małpę (albo ucznia) uzupełniać nawiasy, niż nauczyć ją pamiętać dwie różne konwencje kolejności operacji. Poza tym jest jeszcze kwestia prawdopodobieństwa zrobienia błędu. W pierwszym przypadku małpa nabierze większego szacunku dla nawiasu (a bywa, że miewa taki sobie) i będzie robiła mniej błędów przy przekształceniach. W drugim przypadku małpie wszystko pokręci się w głowie i będzie wykonywała operacje w kolejności mniej więcej przypadkowej :cry:

rafal3006

wujzboj

rafal3006

No to niech będzie "Ogólne prawo de'Morgana" nie mam nic przeciwko.

Ogólne (czyli Kubusia) różni się tylko dopiskiem iż domyślnie w logice dodatniej jest AND,OR zaś w logice ujemnej OR,AND.

Czy to przekracza możliwości zapamiętania u małpy ?

Tu nie chodzi o to czy coś zauważyłeś czy nie zauważyłeś ale o to czy jeśli poproszę cie abyś zapisał w logice ujemnej równanie:

Y=A+B

to musisz zapisać

~Y=~A*~B

powrót do logiki dodatniej:

Y = ~(~Y) = A + B

inaczej absolutnie ci nie wolno !!!!!... bo to błąd przed przedszkolny.

Zgadzasz się z tym ?

wujzboj

Rafale, zmiana kolejnosci wykonywania operacji to KOMPLIKACJA, a nie uproszczenie. Nie dodawaj regul bez potrzeby.

Ja twojego rownania nie zapisywalem w logice ujemnej, tylko zastosowalem do niego prawo de Morgana, zeby ci pokazac, w jaki trywialny sposob dokonuje sie na nim prawidlowego przeksztalcenia, jesli tylko uwaza sie na nawiasy. Nazwalem Z zdanie po zaprzeczeniu; nazywac moge sobie, jak mi sie żywnie podoba. Gdybym najpierw wypisał twoje zdanie bez zaprzeczenia, to zapewne nazwałbym je Z, a zdanie zaprzeczone stałoby się wtedy ~Z. Byłoby to dla ciebie pewno bardziej zrozumiałe. Co nie zmienia faktu, że błędu NIE MA, Rafale. Byłby, gdybym napisał:

Z = A+B,
Z = ~(A+B)=~A*~B,

bo w ten sposób napisałbym, że Z = ~Z. Niczego takiego nie zrobiłem, Rafale, więc nie mam się do czego przyznawać

. Nawet dla twojej przyjemności nie mogę się przyznać do niepopełnionego błędu.

rafal3006

wujzboj

Rafale, ja nie pisałem o logice ujemnej, lecz o prawie de Morgana

.

Tu nie ma czego rozumieć lub nie rozumieć. NIE PISAŁEM O BRAMKACH LOGICZNYCH, LECZ O PRZEKSZTAŁCENIACH NA MOCY PRAWA DE MORGANA. To wszystko. Proszę nie wciskaj mi po raz kolejny nieistniejącego błędu. Przeczytaj to, co napisałem wielkimi literami i nie dodawaj do mojego postu czegoś, czego w nim nie było.

Wracając do merituum: Czy zgadzasz się, że pomysł zmiany odwiecznej konwencji dla wątpliwego ułatwienia trywialnej operacji nie jest dobrym pomysłem?

rafal3006

rafal3006

rafal3006

Logika dodatnia i logika ujemna w algebrze Boole'a

Wikipedia:

Jeśli do napięć wysokich zostanie przyporządkowana logiczna jedynka, a do niskich logiczne zero, wówczas mówi się, że układ pracuje w logice dodatniej (inaczej zwaną pozytywną), w przeciwnym razie mamy do czynienia z logiką ujemną (inaczej zwaną negatywną).

Specjaliści od układów logicznych (ci najlepsi) wiedzą jeszcze że OR w logice ujemnej jest odpowiednikiem AND w logice dodatniej .... to wszystko co na temat logiki ujemnej wie dzisiejszy człowiek.

Zbóju, wspomniełem o bramkach wyłacznie dlatego że pojęcia logika dodatnia i logika ujemna nie istnieją w dzisiejszej algebrze Boole'a !

Jak zwykle praktyka wyprzedziła teorię, to była reguła w czasie błyskawicznego wprowadzenia układów cyfrowych: bramki, układy średniej skali integracji, mikroprocesory.

Układy średniej skali integracji wyszły prawie równocześnie z bramkami i to one zadały pierwszy cios bramkom a mikrorocesory dopełnił reszty. W sumie najlepsi praktycy na całym świecie zajmowali się teorią układów logicznych (algebra Boole'a) może rok lub dwa i koniec ! Poza tym zauważ, że równoważne przejście do logiki ujemnej można uzyskać negując wyjście dowolnego układu logicznego inwerterem i tak praktycy to robią, czyli w praktyce nie muszę schodzić do poziomu sygnałów wejściowych - musiałbym wtedy zmieniać istniejący, fizyczny układ logiczny ! .... dlatego logika ujemna w algebrze Boole'a nie została do tej pory odkryta !

Przekładając logikę dodatnią i ujemną na algebrę Boole'a mamy tak:

Y = A+B(C+D) - równanie w logice dodatniej
~Y = ~(A+B(C+D) - równanie w logice ujemnej (z tego korzystają wszyscy praktycy - wystarczy zanegować wyjście)
~Y=~A*~B+(~C*~D) - równanie w logice ujemnej (równoważne przejście do logiki ujemnej - tu trzeba zmienić cały fizyczny układ logiczny !)

Oczywiście zachodzi:

Y=~(~Y) = A+B(C+D)

Wszyscy wiedzą, że pojedyńcza zmienna A=~(~A). To co wyżej to to samo prawo, tyle że dla dowolnego wyrażenia algebraicznego, nawet nieskończenie długiego (ciekawe jak byś w takim wyrażeniu uzupełniał nawiasy :grin:

- to byłoby bez sensu :grin:

)!

Zauważ, że to dokładny odpowiednik tego co pisze Wikipedia. Zmieniamy wszystkie zmienne binarne (sygnały wejściowe) na przeciwne !

Znak ~ przed Y determinuje fakt, iż to równanie zapisane jest w logice ujemnej czyli obowiązuje kolejnośc OR, AND.

Koniec i kropka, cała filozofia ! To jest piękne, bo niesamowicie proste !

rafal3006

Zapis praw de'Morgana pozwalający odkryć logikę ujemną

Klasyczny zapis:

~(A+B) = ~A*~B
~(A*B) = ~A+~B

Zapis zmodyfikowany:

Y=A+B - logika dodatnia
~Y=~A*~B - logika ujemna

Wniosek:
Suma logiczna w logice dodatniej odpowiada iloczynowi logicznemu w logice ujemnej

Y=A*B - logika dodatnia
~Y=~A+~B - logika ujemna

Oczywiście zawsze zachodzi:

Y=~(~Y)

Wniosek:
Iloczyn logiczny w logice dodatniej odpowiada sumie logicznej w logice ujemnej

Wniosek ogólny:
W logice dodatniej domyślna kolejność wykonywania działań to AND, OR
W logice ujemnej domyślna kolejność wykonywania działań to OR, AND bo OR w logice ujemnej odpowiada AND w logice dodatniej.

Zauważmy, że prawa de'Morgana dowodzimy w oparciu ich zmodyfikowany zapis !

Zapis zmodyfikowany:

Y=A+B - logika dodatnia (tą tabelę zero-jedynkową wypełniamy)
~Y=~A*~B - logika ujemna

czyli:
Y = ~(~Y) = ~(~A*~B) - powrót do logiki dodatniej (tą tabelę zero-jedynkową wypełniamy !!!)

Zgodność kolumn wynikowych Y świadczy o poprawności tego prawa de'Morgana !

Algebra Boole'a dla dowolnie długich wyrażeń algebraicznych

X,Y - dowolnie długie wyrażenia w algebrze Boole'a np.

Y= A+B(C+D) ....

X,Y mogą przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 zatem obowiązują identyczne prawa jak dla jednej zmiennej.

Y=~(~Y) - dowód wyżej !

Y*1=Y
Y+1=1
Y*0=0
Y+0=Y

Y*Y=Y
Y+Y=Y

X(X+Y) = XX+XY=X+XY ....

Prawo de'Morgana

~(X+Y) = ~X*~Y

P.S.
Jakie to może mieć zastosowanie w praktyce czy innych teoriach np. języku mówionym. Trudno przewidzieć, może duże ? ... mam już jeden pomysł ale na razie to tajemnica, gdyż muszę to dopracować w 100% aby o tym opowiedzieć.

rafal3006

Ogólne prawo de’Morgana. Logika dodatnia, logika ujemna.

motto:
Pytanie po co ludziom logika ujemna, jest pytaniem po co ludziom liczby ujemne w algebrze dziesiętnej.

Logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole’a

Czy ktokolwiek wie co to jest ?

To piękna algebra Boole’a w nieznanej jeszcze ludziom interpretacji.

Wspólnie ze Zbójem, dochodziliśmy do poniższego trywiału dwa lata.

Teoria logiki dodatniej i ujemnej.

Logika dodatnia.

Aktywnym sygnałem wyjściowym (np. wartość zdania) jest jedynka.
Y=A + B(C+D)

Logika ujemna w stosunku do logiki dodatniej wyżej.

Aktywnym sygnałem wyjściowym (np. wartość zdania) jest zero.

Sposoby przejścia z logiki dodatniej na ujemną.

Sposób I

Najprościej zanegować obie strony równania.
~Y = ~(A + B(C+D))

Technika stosowana w układach cyfrowych, gdyż tu wystarczy dołożyć prościutki negator negujący wyjście Y.

Sposób II

Zejście do poziomu sygnałów wejściowych.
~Y= ~A*~B+(~C*~D)

Tu widać istotę logiki ujemnej. Wszystkie sygnały, zarówno wejściowe A,B,C,D jak i wyjście Y są negacją sygnałów z logiki dodatniej.

Zauważmy, że ta technika wymaga wymiany całego układu logicznego ponieważ wszędzie w miejsce bramek AND należy wstawić bramki OR i odwrotnie.

Funkcje logiczne zapisane wyżej w logice dodatniej albo ujemnej są absolutnie równoważne.

Y=A + B(C+D) – funkcja logiczna zapisana w logice dodatniej.

~Y= ~A*~B+(~C*~D) – ta sama funkcja logiczna zapisana w logice ujemnej

Dowód równoważności:

Y = ~(~Y)= ~(~A*~B+(~C*~D)) = A + B(C+D)
cnd.

Niezbędna teoria umożliwiająca zrozumienie powyższego dowodu.

Ogólne prawo de’Morgana

Ogólne prawo de’Morgana mówi o związkach między logiką dodatnią a ujemną. Znane ludziom prawa de’Morgana nie wychodzą poza obszar logiki dodatniej.

Zapis praw de’Morgana pozwalający odkryć logikę dodatnią i ujemną.

Prawo zamiany logiki dodatniej na ujemną dla iloczynu logicznego.

Y=A*B
~Y=~(A*B)=~A+~B

Iloczyn w logice dodatniej odpowiada sumie logicznej w logice ujemnej.

Prawo zamiany logiki dodatniej na ujemną dla sumy logicznej.

Y=A+B
~Y=~(A+B)=~A*~B

Suma logiczna w logice dodatniej odpowiada iloczynowi logicznemu w logice ujemnej.

Przejście z logiki dodatniej na ujemną lub odwrotnie, z logiki ujemnej do dodatniej. uzyskujemy poprzez zmianę wszystkich sygnałów i spójników na przeciwne, co wynika z przedstawionych wyżej praw de’Morgana.

Prawo Kubusia:
Jeśli w logice dodatniej obowiązuje kolejność wykonywania działań jak wyżej AND,OR, to w logice ujemnej obowiązującą, domyślną kolejnością wykonywania działań będzie OR, AND.

Dowód prawa Kubusia:

Y=A + B(C+D)

W logice dodatniej mamy domyślną kolejność wykonywania działań AND,OR (oczywiście ważne są użyte w oryginale nawiasy)

Uzupełniamy brakujące nawiasy i funktory ( kapitalny pomysł Zbója ! )

Y=A+(B*(C+D))

Przechodzimy na logikę ujemną negując wszystkie zmienne i funktory

~Y=~A*(~B+(~C*~D)

Przejście powrotne do logiki dodatniej.

Y=~(~Y) = ~(~A*(~B+(~C*~D)) = A+(B*(C+D))

Aby powrócić do oryginału, usuwamy zbędne nawiasy w logice dodatniej gdzie obowiązuje domyślna kolejność wykonywania działań AND,OR.

Y=A + B(C+D)

Zauważmy, że przy przejściu z logiki dodatniej na ujemną musieliśmy uzupełniać brakujące nawiasy, zaś przy przejściu powrotnym usuwać zbędne nawiasy.

Prawo WujaZbója:
Poprawne przejście z logiki dodatniej na ujemną uzyskamy uzupełniając brakujące w logice dodatniej domyślne nawiasy i operatory. Po tej operacji wystarczy zanegować totalnie wszelkie zmienne i operatory. W tej metodzie przejście powrotne wymaga usunięcia zbędnych nawiasów (aby dojść do oryginału) – niepotrzebna, syzyfowa praca.

Zapamiętanie trywialnego prawa uzupełniającego prawa de’Morgana pozwala uniknąć głupiego dodawania i usuwania nawiasów.

Prawo Kubusia:
Jeśli w logice dodatniej obowiązuje domyślna kolejność wykonywania działań AND,OR to w logice ujemnej obowiązuje domyślna kolejność wykonywania działań OR,AND (można i odwrotnie)

Analogie z życia.
W Anglii jeździmy lewą stroną w Polsce prawą, Niemcy znaczą kierunek wektora napięcia na źródle odwrotnie niż Polacy itp. - jedni są w logice ujemnej drudzy w dodatniej. Tych logik nie wolno mieszać bo wyjdzie chaos.

Człowiek przyzwyczaił się do domyślnej kolejności wykonywania działań w logice dodatniej AND, OR ... i niech tak zostanie. W logice ujemnej oczywistą domyślną kolejnością wykonywania działań będzie w tym przypadku OR, AND.

Zobaczmy jak proste jest przejście z logiki dodatniej na ujemną i z powrotem, przy pomocy ogólnego prawa de’Morgana.

Przykład:

Zapis funkcji w logice dodatniej.

Y = A+B(C+D) + E*F – obowiązuje kolejność: nawiasy, AND,OR

Przejście do logiki ujemnej.

Zamieniamy totalnie wszelkie zmienne i operatory na przeciwne:

~Y = ~A*~B+(~C*~D)*~E+~F – obowiązuje kolejność: nawiasy, OR,AND

Przejście powrotne z logiki ujemnej na dodatnią.

Ponownie zamieniamy totalnie wszelkie zmienne i operatory na przeciwne:

Y = A+B(C+D) + E*F – obowiązuje kolejność: nawiasy, AND, OR

Implikacja człowieka

motto:
Odróżnianie obietnicy od groźby to warunek przetrwania wszystkiego co żyje i te pojęcia muszą być rozłączne w obszarze dowolnego mózgu. W implikacji związanej z człowiekiem matematyka musi uwzględniać ten fakt oraz wolną wolę człowieka, jeśli nie chce wyjść na idiotkę.

Definicja:
Implikacja człowieka, to implikacja zależna od człowieka w której wypowiadającemu implikację można zarzucić kłamstwo albo stwierdzić jego prawdomówność. W implikacji człowieka poprzednik z następnikiem musi być powiązany obietnicą albo groźbą.

Więcej informacji:

Definicje implikacji-obietnicy i implikacji-groźby

Prawa wiążące implikację-obietnicę z implikacją-groźbą:

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany obietnicy na groźbę
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany groźby na obietnicę

W zdefiniowanej wyżej implikacji człowieka obowiązują definicje implikacji-obietnicy oraz implikacji-groźby zdefiniowane jak niżej.

Definicja implikacji-obietnicy

Matematyczna definicja implikacji-obietnicy

p=>q = ~(~p*q)

p q p=>q
1 1 1
0 0 1
0 1 1
1 0 0

Definicja implikacji-obietnicy w języku potocznym

Jeśli warunek (W) to nagroda (N)
W=>N – zapis matematyczny obietnicy

Implikacyjny warunek otrzymania nagrody w obietnicy:

N=W+U

gdzie:
N=1 – jest nagroda
N=0 – nie ma nagrody

W=1 – matematyczny warunek 100% otrzymania nagrody spełniony
W=0 – matematyczny warunek 100% otrzymania nagrody nie spełniony

Wprowadzamy zmienną uznaniową U dzięki której wypowiadający obietnicę może podarować nagrodę nawet wówczas, gdy warunek nagrody nie został spełniony.

U – zmienna uznaniowa, ustawiana przez wypowiadającego implikację-obietnicę
U=1 – dam nagrodę mimo nie spełnienia warunku W (W=0) bo obdarowywany moim zdaniem mimo wszystko zasługuje na nagrodę.
U=0 – nie dam nagrody gdyż nie znajduję usprawiedliwienia dla nie spełnienia przez obdarowywanego warunku W (W=0).

Zauważmy, że jeśli W=1 to zmienna U jest bez znaczenia bo:

N=W+U=1+U=1 – matematycznie mam nagrodę bez względu na widzi mi się wypowiadającego implikację.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer

Implikacja:
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer (K=1) bo cię kocham (U=1)

N=W+U = 0+1 = 1 – dostaję nagrodę (komputer) dzięki uznaniowości wypowiadającego obietnicę.

Jeśli zdam egzamin (W=1) to mam matematyczną 100% pewność otrzymania komputera.

Jeśli W=0 to implikacyjne otrzymanie nagrody zależy od uznaniowości U bo:

N=W+U=0+U=U – wszystko w rękach darczyńcy

Zauważmy, że zabronione jest uzasadnienie zależne:

Nie spełniłeś warunku otrzymania nagrody (W=0), dostajesz nagrodę (N) bo nie spełniłeś warunku otrzymania nagrody U=W=0

Warunek otrzymania nagrody:

N = W+U = 0+0 = 0 – zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka !

Definicja implikacji-groźby

Matematyczna definicja implikacji-groźby

p~>q = ~(p*~q)

p q p~>q
1 1 1
0 0 1
0 1 0
1 0 1

Definicja implikacji-groźby w języku potocznym

Jeśli warunek (W) to kara (K)
W~>K – zapis matematyczny groźby

Implikacyjny warunek poniesienia kary w groźbie:

K=W*U

gdzie:
K=1 – jest kara
K=0 – nie ma kary

W=1 – matematyczny warunek 100% ukarania spełniony
W=0 – matematyczny warunek 100% ukarania nie spełniony

Wprowadzamy zmienną uznaniową U dzięki której wypowiadający groźbę może darować karę nawet wówczas, gdy warunek kary został spełniony.

U – zmienna uznaniowa, ustawiana przez wypowiadającego implikację-groźbę
U=1 – kara zostaje wykonana bo spełniony został warunek ukarania W (W=1) zaś delikwent zdaniem wypowiadającego groźbę nie zasługuje na darowanie kary
U=0 – kara nie zostanie wykonana mimo iż spełniony został warunek ukarania W (W=1) bo delikwent zdaniem wypowiadającego groźbę zasługuje na darowanie kary

Zauważmy, że jeśli W=0 to zmienna U jest bez znaczenia bo:

K=W*U=0*U=0 – matematycznie nie mogę zostać ukarany, wypowiadający groźbę może sobie ustawiać swoja zmienną uznaniową U na jeden długo i namiętnie, to bez znaczenia.

Jeśli nie spełnię warunku kary (W=0) to mam matematyczną 100% pewność uniknięcia wypowiedzianej kary.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

Implikacja:
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie zostaniesz ukarany, bo cię kocham (U=0)

K=W*U=1*0=0 – uniknięcie kary dzięki uznaniowości wypowiadającego groźbę

Jeśli przyjdę w czystych spodniach (W=0) to nie mam prawa dostać lania z powodu czystych spodni !

Jeśli W=1 to implikacyjne wykonanie kary zależy od uznaniowości U bo:

K=W*U=1*U=U – wszystko w rękach wypowiadającego groźbę

Zauważmy, że zabronione jest uzasadnienie zależne:

Spełniłeś warunek kary (W=1), nie zostaniesz ukarany (K=0) bo spełniłeś warunek kary U=W=1

Warunek ukarania:

K = W*U = 1*1 = 1 – wymuszenie wykonania kary w uzasadnieniu zależnym.

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka !

rafal3006

Ogólne prawo de'Morgana, logika dodatnia i ujemna w praktyce !

Niezbędna teoria wymagana dla zrozumienia niniejszego artykułu:

Ogólne prawo de'Morgana. Logika dodatnia, logika ujemna.

Obietnica

Logika dodatnia - nagroda

Przykład I-P

Kubusiu, jeśli posprzątasz pokój (P) lub będziesz grzeczny (G) i nie będziesz bił siostry (~B) dostaniesz czekoladę (C).

Zapis powyższego zdania w logice dodatniej to trywialne pisanie, jak czytamy tak piszemy:

Oznaczenia:
~ - symbol negacji (przeczenia)
P=posprzątasz pokój
~P=nie posprzatasz pokoju
G=będziesz grzeczny
~G=nie będziesz grzeczny
B = będziesz bił siostrę
~B = nie będziesz bił siostry
C=dostaniesz czekoladę
~C=nie dostaniesz czekolady

Warunek 100% matematycznego otrzymania czekolady jest następujący.

C=P+G*~B

Brak przeczenia C sygnalizuje logikę dodatnią z domyślną kolejnością wykonywania działań AND,OR. Jeśli taką kolejność mieliśmy na myśli wypowiadając zdanie to nie musimy nic robić bo:

C=P+G*~B = P+(G*~B) – na mocy domyślnego wykonywania działań w logice dodatniej.

Dostaniesz czekoladę (C) gdy posprzątasz pokój (P) lub (będziesz grzeczny (G) i nie będziesz bił siostry (~B)).

Zauważmy jednak, że wypowiadając zdanie równie dobrze możemy mieć na myśli co innego:

Przykład II-P

C=(P+G)*~B

Dostaniesz czekoladę gdy (posprzątasz pokój lub będziesz grzeczny) i nie będziesz bił siostry.

W tym przypadku w logice dodatniej musimy użyć nawiasów.

Logika ujemna - kara

Powyższe implikacje w logice dodatniej I-P i II-P możemy zapisać w równoważnej logice ujemnej I-N i II-N.

I-P:
C=P+G*~B – logika dodatnia, kolejność wykonywania działań AND,OR

Matematyczne przejście do równoważnej logiki ujemnej - zamieniamy wszystkie zmienne i operatory na przeciwne.

Przykład I-N

~C= ~P*~G+B – logika ujemna, kolejność wykonywania działań OR,AND

Odczytujemy zapisane zdanie:

Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) i (nie będziesz grzeczny (~G) lub będziesz bił siostrę (B) to nie dostaniesz czekolady (~C)).

Dowód, że implikacje I-P i I-N są równoważne:

C = ~(~C) = ~( ~P*~G+B) = P+G*~B cnd.

Identycznie możemy postąpić z przykładem II-P.

II-P

C=(P+G)*~B – logika dodatnia, kolejność wykonywania działań AND,OR

Matematyczne przejście do równoważnej logiki ujemnej - zamieniamy wszystkie zmienne i operatory na przeciwne.

Przykład II-N

~C= (~P*~G) + B – logika ujemna, kolejność wykonywania działań OR,AND

Odczytujemy zapisane zdanie:

Jeśli (nie posprzątasz pokoju (~P) i nie będziesz grzeczny (~G)) lub będziesz bił siostrę (B) to nie dostaniesz czekolady (~C).

Dowód, że implikacje II-P i II-N są równoważne:

C = ~(~C) = ~(( ~P*~G)+B) = (P+G)*~B cnd.

Implikacja człowieka

Wypowiedziana implikacja podlega pod definicję implikacji człowieka.

Logika dodatnia - nagroda

Rozważmy przykład I-P.

Kubusiu, jeśli posprzątasz pokój (P) lub będziesz grzeczny (G) i nie będziesz bił siostry (~B) dostaniesz czekoladę (C).

C=P+G*~B – zapis matematyczny wypowiedzianego zdania, kolejność działań AND,OR.

Dla przypadku I-P warunek 100% otrzymania czekolady (logika dodatnia ! ) jest następujący:

W= P+G*~B

Wprowadzamy zmienną uznaniową U dzięki której matka może podarować Kubusiowi czekoladę nawet wówczas gdy nie spełnił on warunku nagrody.

U=1 – Kubuś mimo wszystko zasłużył na czekoladę
U=0 – Zdaniem mamy Kubuś nie zasługuje na czekoladę

W logice dodatniej matematyczny zapis otrzymania przez Kubusia czekolady jest taki:

C = W + U

Zauważmy, że jeśli Kubuś zasłużył na czekoladę w 100% czyli W=1 to mama nie ma matematycznego wyboru, musi dać czekoladę, bo:

C = W+U = 1+U = 1 – Kubuś ma czekoladę niezależnie od zmiennej U

Jeśli natomiast Kubuś nie spełnił warunku nagrody czyli W=0 to wszystko zależy od uznania mamy.

Załóżmy że:

W=0 – Kubuś nie spełnił warunku nagrody

Warunek otrzymania czekolady:

C = W = 0 + U = U – wszystko w rękach mamy !!!

Zauważmy, że matematycznie zabronione jest uzasadnienie zależne czyli:

Nie spełniłeś warunku otrzymania czekolady (W=0), dostajesz czekoladę bo nie spełniłeś warunku otrzymania czekolady (U=W=0)

Warunek otrzymania czekolady (logika dodatnia) jest taki:

C=W+U = 0+0 = 0 – matematyczny zakaz dawania czekolady z uzasadnieniem zależnym

Matematyka nie pozwala na robienie z człowieka idioty !!!

Logika ujemna - kara

Rozważmy przykład I-N

~C= ~P*~G+B – logika ujemna, kolejność wykonywania działań OR,AND

Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) i (nie będziesz grzeczny (~G) lub będziesz bił siostrę (B) to nie dostaniesz czekolady (~C)).

Jeśli mamy zdanie wypowiedziane w logice ujemnej (groźba W~>K) jak wyżej czyli:

~C = ~P*~G+B – zapis matematyczny powyższego zdania

to w trywialny sposób możemy przejść do logiki dodatniej:

C=P+G*~B – równoważny zapis matematyczny powyższego zdania w logice dodatniej (obietnica W=>N)

i analizować to zdanie w logice dodatniej jak wyżej bo:

Prawa wiążące implikację-obietnicę z implikacją-groźbą:

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany obietnicy na groźbę
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany groźby na obietnicę

Bardziej ambitne zadanie to analiza matematyczna tej groźby (groźba = nie dostaniesz czekolady ~C) w oryginale, bez przechodzenia na logiką dodatnią.

Definicja implikacji-groźby:

Jeśli warunek (W) to kara (K)
W~>K – zapis matematyczny implikacji-grożby

Dla przykładu I-N warunek 100% nie otrzymania czekolady (logika ujemna ! ) jest następujący:

~C = ~P*~G+B

K = ~C=1 – Kara = Kubuś nie ma czekolady (~C=1 czyli: C=0 )
K = ~C=0 – Brak Kary = Kubuś ma czekoladę (~C=0 czyli: C=1)

W = ~P*~G+B = 1 – warunek kary spełniony
W = ~P*~G+B = 0 – warunek kary nie spełniony

Wprowadzamy zmienną uznaniową U dzięki której matka może darować Kubusiowi karę nawet wówczas gdy spełnił on warunek kary (W=1)

U=1 – Zdaniem mamy Kubuś zasługuje na karę
U=0 – Zdaniem mamy Kubuś nie zasługuje na karę

W logice ujemnej matematyczny zapis kary którą poniesie Kubuś jest następujący:

K = W * U

jeśli Kubuś nie spełnił warunku kary W=0 to zamienna uznaniowa nie ma znaczenia, Kubuś nie może ponieść kary bo:

K = W*U = 0*U = 0 – Kubuś nie może ponieść kary, zmienna uznaniowa nie ma znaczenia !!!

K=~C = 0 czyli: C=1 – Kubuś ma czekoladę

Załóżmy teraz, że Kubuś spełnił warunek kary W=1 czyli:

K = W*U = 1*U =U – wszystko zależy od uznaniowości matki (implikacja ! )

Spełniłeś warunek kary (W=1), nie zostaniesz ukarany bo cię kocham (U=0 – brak kary pod byle pretekstem niezależnym)

U=1 Zdaniem matki Kubuś zasługuje na karę czyli: K=~C=U=1 czyli: C=0 Kubuś nie ma czekolady
U=0 Zdaniem matki Kubuś nie zasługuje na karę czyli: K=~C=U=0 czyli: C=1 Kubuś ma czekoladę

Zauważmy, że tu również matematyka nie pozwala na uzasadnienie zależne:

Spełniłeś warunek kary (W=1), nie zostaniesz ukarany, bo spełniłeś warunek kary (U=W=1) czyli:

K=W*U = 1*1 = 1

Kara musi być wymierzona, nie wolno matematyce robić z człowieka idioty !!!

Groźba

Logika dodatnia - kara

Kubusiu, jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) i będziesz niegrzeczny (~G) lub będziesz bił siostrę (B) dostaniesz lanie.

Zapis powyższego zdania w logice dodatniej to trywialne pisanie, jak czytamy tak piszemy:

Oznaczenia:
~ - symbol negacji (przeczenia)
P=posprzątasz pokój
~P=nie posprzatasz pokoju
G=będziesz grzeczny
~G=będziesz niegrzeczny
B = będziesz bił siostrę
~B = nie będziesz bił siostry
L=dostaniesz lanie
~L=nie dostaniesz lania

Warunek 100% matematycznego lania jest następujący.

Przykład A-P.

L=~P*~G+B

Brak przeczenia L sygnalizuje logikę dodatnią z domyślną kolejnością wykonywania działań AND,OR. Jeśli taką kolejność mieliśmy na myśli wypowiadając zdanie to nie musimy nic robić bo:

L=~P*~G+B = (~P*~G)+B – na mocy domyślnego wykonywania działań w logice dodatniej.

Dostaniesz lanie (L) gdy (nie posprzątasz pokoju (~P) i będziesz niegrzeczny (~G)) lub będziesz bił siostrę (B).

Zauważmy jednak, że wypowiadając groźbę równie dobrze możemy mieć na myśli co innego:

Przykład B-P

L=~P*(~G+B)

Dostaniesz lanie gdy nie posprzątasz pokój i (będziesz niegrzeczny (~G) lub będziesz bił siostrę (B))

W tym przypadku w logice dodatniej musimy użyć nawiasów.

Logika ujemna - nagroda

Powyższe implikacje w logice dodatniej A-P i B-P możemy zapisać w równoważnej logice ujemnej A-N i B-N.

A-P:
L=~P*~G+B – logika dodatnia, kolejność wykonywania działań AND,OR

Matematyczne przejście do równoważnej logiki ujemnej - zamieniamy wszystkie zmienne i operatory na przeciwne.

Przykład A-N

~L= P+G*~B – logika ujemna, kolejność wykonywania działań OR,AND

Odczytujemy zapisane zdanie:

Jeśli (posprzątasz pokój (P) lub będziesz grzeczny (G)) i nie będziesz bił siostry (~B) to nie dostaniesz lania (~L).

Dowód, że implikacje A-P i A-N są równoważne:

L = ~(~L) = ~( P+G*~B) = ~P*~G+B cnd.

Identycznie możemy postąpić z przykładem B-P.

B-P

L=~P*(~G+B) – logika dodatnia, kolejność wykonywania działań AND,OR

Matematyczne przejście do równoważnej logiki ujemnej - zamieniamy wszystkie zmienne i operatory na przeciwne.

Przykład B-N

~L= P+(G*~B) – logika ujemna, kolejność wykonywania działań OR,AND

Odczytujemy zapisane zdanie:

Jeśli posprzątasz pokój (P) lub (będziesz grzeczny (G) i nie będziesz bił siostry (~B)) to nie dostaniesz lania (~L).

Dowód, że implikacje B-P i B-N są równoważne:

L = ~(~L) = ~( P+(G*~B)) = ~P*(~G+B) cnd.

Implikacja człowieka

Wypowiedziana implikacja podlega pod definicję implikacji człowieka.

Logika dodatnia - kara

Rozważmy przykład A-P.

L=~P*~G+B – zapis matematyczny wypowiedzianego zdania, kolejność działań AND,OR.

Dostaniesz lanie (L) gdy (nie posprzątasz pokoju (~P) i będziesz niegrzeczny (~G)) lub będziesz bił siostrę (B).

Definicja implikacji-groźby:

Jeśli warunek (W) to kara (K)
W~>K – zapis matematyczny implikacji-groźby

Dla przypadku A-P warunek 100% lania (logika dodatnia ! ) jest następujący:

W= ~P*~G+B

W = ~P*~G+B = 1 – warunek kary spełniony
W = ~P*~G+B = 0 – warunek kary nie spełniony

Wprowadzamy zmienną uznaniową U dzięki której matka może darować Kubusiowi karę nawet wówczas gdy spełnił on warunek kary (W=1)

U=1 – Zdaniem mamy Kubuś zasługuje na karę
U=0 – Zdaniem mamy Kubuś nie zasługuje na karę

W implikacji-groźbie matematyczny zapis kary którą poniesie Kubuś jest następujący:

L = W * U

jeśli Kubuś nie spełnił warunku kary W=0 to zamienna uznaniowa nie ma znaczenia, Kubuś nie może ponieść kary bo:

L = W*U = 0*U = 0 – Kubuś nie może dostać lania, zmienna uznaniowa nie ma znaczenia !!!

Załóżmy teraz, że Kubuś spełnił warunek kary W=1 czyli:

K = W*U = 1*U =U – wszystko zależy od uznaniowości matki (implikacja ! )

Spełniłeś warunek kary (W=1), nie dostaniesz lania bo cię kocham (U=0 – brak kary pod byle pretekstem niezależnym)

U=1 Zdaniem matki Kubuś zasługuje na lanie
U=0 Zdaniem matki Kubuś nie zasługuje na lanie

Zauważmy, że matematyka nie pozwala na uzasadnienie zależne:

Spełniłeś warunek kary (W=1), nie dostaniesz lania (L=0), bo spełniłeś warunek kary (U=W=1) czyli:

L=W*U = 1*1 = 1

Kara musi być wymierzona, nie wolno matematyce robić z człowieka idioty !!!

Logika ujemna - nagroda

Jeśli mamy zdanie wypowiedziane w logice ujemnej (obietnica W=>N) jak wyżej A-N czyli:

~L= P+G*~B – logika ujemna, kolejność wykonywania działań OR,AND

to w trywialny sposób możemy przejść do logiki dodatniej:

L=~P*~G+B (groźba W~>K)

i analizować to zdanie w logice dodatniej jak wyżej bo:

Prawa wiążące implikację-obietnicę z implikacją-groźbą:

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany obietnicy na groźbę
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany groźby na obietnicę

Bardziej ambitne zadanie to analiza matematyczna tej obietnicy (obietnica = nie dostaniesz lania ~L) w oryginale, bez przechodzenia na logiką dodatnią.

Analiza obietnicy w oryginale.

~L=P+G*~B – logika ujemna, kolejność wykonywania działań OR,AND

Definicja implikacji-obietnicy w języku potocznym

Jeśli warunek (W) to nagroda (N)
W=>N – zapis matematyczny obietnicy

Implikacyjny warunek otrzymania nagrody w obietnicy:

N=W+U

gdzie:
N=1 – jest nagroda, N=~L=1 czyli: L=0 – brak lania
N=0 – nie ma nagrody, N=~L=0 czyli: L=1 – jest lanie

W=1 – matematyczny warunek 100% otrzymania nagrody spełniony
W=0 – matematyczny warunek 100% otrzymania nagrody nie spełniony

Wprowadzamy zmienną uznaniową U dzięki której wypowiadający obietnicę może podarować nagrodę nawet wówczas, gdy warunek nagrody nie został spełniony.

U – zmienna uznaniowa, ustawiana przez wypowiadającego implikację-obietnicę
U=1 – dam nagrodę mimo nie spełnienia warunku W (W=0) bo obdarowywany moim zdaniem mimo wszystko zasługuje na nagrodę.
U=0 – nie dam nagrody gdyż nie znajduję usprawiedliwienia dla nie spełnienia przez obdarowywanego warunku W (W=0).

Zauważmy, że jeśli W=1 to zmienna U jest bez znaczenia bo:

N=W+U=1+U=1 – matematycznie mam nagrodę bez względu na widzi mi się wypowiadającego implikację.

N=~L=1 czyli: L=0 – nagrodą jest brak lania

Jeśli W=0 to implikacyjne otrzymanie nagrody zależy od uznaniowości U bo:

N=W+U=0+U=U – wszystko w rękach darczyńcy

Zauważmy, że zabronione jest uzasadnienie zależne:

Nie spełniłeś warunku otrzymania nagrody (W=0), dostajesz nagrodę (N) bo nie spełniłeś warunku otrzymania nagrody U=W=0

Warunek otrzymania nagrody:

N = W+U = 0+0 = 0 – zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka !