ŚFiNiA ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.    FAQ   Szukaj   Użytkownicy   Grupy   Galerie   Rejestracja   Profil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości   Zaloguj  Nowa Teoria Implikacji - wersja przedostatnia Idź do strony 1, 2  Następny          Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 4:34, 01 Cze 2010    Temat postu: Nowa Teoria Implikacji - wersja przedostatnia Credo NTI Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>). Algebra Kubusia Matematyka języka mówionego Części: Część I NTI - Operatory AND i OR Część II Nowa teoria implikacji Część II Nowa Teoria Implikacji Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś Naszym dzieciom dedykuję W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele: Emde (sfinia), EasternFriend (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni Wielkie dzięki, Kubuś ! Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję oraz Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji NTI. Kim jest Kubuś ? Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji. Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu, rzeczywiści autorzy wymienieni są wyżej. Spis treści: 0.0 Notacja 0.1 Definicja algebry Kubusia 0.2 Lista legalnych operatorów logicznych 1.0 Algebra Kubusia w telegraficznym skrócie 1.1 Operatory OR i AND 1.2 Operatory implikacji 1.3 Operator równoważności 1.4 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w algebrze Kubusia 1.5 Fundamenty algebry bramek logicznych 1.6 Fundamentalny błąd współczesnej matematyki 1.7 Punk odniesienia 1.8 NTI w praktyce 1.9 Ogórki, mleko i alkohol 2.0 Operatory AND i OR w naturalnej logice człowieka 2.1 Operator OR w naturalnej logice człowieka 2.2 Operator AND w naturalnej logice człowieka 2.3 Analogie między OR i AND a implikacją prostą => i odwrotną ~> 2.4 Spójniki „lub” i „albo” 3.0 Implikacja w naturalnej logice człowieka 3.1 Fundamentalne definicje implikacji 3.2 Implikacja odwrotna w naturalnej logice człowieka 3.3 Implikacja prosta w naturalnej logice człowieka 4.0 Definicje 4.1 Dziewicze definicje operatorów logicznych 4.2 Prawa Kubusia 4.3 Zero-jedynkowe definicje warunków wystarczających i koniecznych 4.4 Operatorowa i symboliczna definicja warunku koniecznego 4.5 Operatorowa definicja warunku wystarczającego 4.6 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata 4.7 Operatorowa definicja implikacji prostej 4.8 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej 4.9 Operatorowa definicja równoważności 5.0 Równanie ogólne implikacji 5.1 Wyprowadzenie równania ogólnego implikacji 5.2 Interpretacja równania ogólnego implikacji 5.3 O konieczności wprowadzenia symbolu ~> w logice 5.4 Dowód braku wewnętrznej sprzeczności NTI 5.5 Kwadrat logiczny implikacji 5.6 Algorytmy rozpoznawania implikacji i równoważności 5.7 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice 5.8 Operatory AND i OR w implikacji 6.0 Nowa teoria implikacji w bramkach logicznych 6.1 Bramkowa definicja implikacji prostej 6.2 Bramkowa definicja implikacji odwrotnej 6.3 Układ zastępczy bramki implikacji prostej 6.4 Układ zastępczy bramki implikacji odwrotnej 6.5 Implikacja prosta w bramkach logicznych 6.6 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych 6.7 Równoważność w bramkach logicznych 6.8 Operatory OR i AND w technice bramek logicznych 7.0 Układy zastępcze bramek logicznych 7.1 Definicja bloku logicznego 7.2 Układy zastępcze praw de’Morgana 7.3 Blok logiczny równoważności 7.4 Fałszywe układy zastępcze bramek 8.0 Implikacja vs równoważność na zbiorach 8.1 Genialna matematyka 5-cio Latków 9.0 Obietnice i groźby 9.1 Obietnica 9.2 Rodzaje obietnic 9.3 Groźba 10.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych 10.1 Obietnica w równaniach matematycznych 10.2 Groźba w równaniach matematycznych Wstęp: Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie. To już historia bo: Nowa Teoria Implikacji to naturalna logika człowieka, czyli znana jest już matematyczna wersja implikacji której człowiek używa w języku mówionym. Kubuś to przybysz ze świata techniki gdzie operatory implikacji są kompletnie nieprzydatne z powodu „rzucania monetą” zakodowanego w każdej połówce definicji, zarówno implikacji prostej => jak odwrotnej ~>. Operatory logiczne AND i OR to fundamentalnie co innego niż operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> na mocy definicji zero-jedynkowych. Operatory AND i OR są związane matematycznie prawami de’Morgana, natomiast operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> są związane ze sobą prawami Kubusia. W logice konieczne i niezbędne operatory to te które człowiek używa w naturalnym języku mówionym. W sposób bezpośredni człowiek używa operatorów AND, OR, implikacja prostej =>, implikacji odwrotnej ~>, równoważności <=> i XOR (albo). Pośrednio używa operatorów w logice ujemnej NAND i NOR w odpowiedzi na pytanie „Kiedy skłamię (wystąpi fałsz)?”. W naturalnym języku mówionym człowiek non-stop posługuje się operatorami implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus prawami Kubusia i praktycznie nigdy nie przechodzi do implikacji wyrażonej w AND i OR, bowiem implikacja wyrażana w operatorach AND i OR odcina nas od istoty implikacji, fenomenalnych praw Kubusia. Najbardziej zaskakujący jest fakt, że operatory AND i OR są ze sobą wzajemnie splecione (jeden nie może istnieć bez drugiego), w identyczny sposób są ze sobą splecione operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Rzeczywiste definicje operatorów AND, OR, implikacji prostej => i odwrotnej ~> to zawsze złożenie dwóch operatorów cząstkowych, jednego w logice dodatniej, drugiego w ujemnej. Fundamentem NTI w obszarze implikacji są warunki wystarczające i konieczne mogące występować w logice dodatniej albo ujemnej. Operatory logiczne implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz równoważności <=> to złożenie odpowiednich warunków wystarczających i koniecznych, zawsze jeden w logice dodatniej a drugi w logice ujemnej. W naturalnym języku mówionym wypowiadając zdanie „Jeśli…to…” nie wypowiadamy ani implikacji prostej p=>q, ani implikacji odwrotnej p~>q. Jeśli zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją (wcale nie musi być !) to zawsze wypowiadamy warunki wystarczające => albo konieczne ~>. Warunki wystarczające i konieczne definiowane są zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej co jest twardym dowodem, że w implikacji oraz równoważności człowiek nigdy nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a. 0.0 Notacja 1 = prawda 0 = fałsz # - różne * - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i' + - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub" ~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE" ~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..." <=> - symbol równoważności Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>) Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>) Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~> Operatorowa definicja implikacji prostej z podkładem zero-jedynkowym Kod:  p   q p=>q  p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 1 =1  p=>~q =0 1 0 =0 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo kubusia: p=>q = ~p~>~q ~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) 0 0 =1 ~p~~>q =1 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Twierdzenie Tygryska: Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają: 1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek. 0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek. Definicja słowna: p=>q Jeśli zajdzie p to musi => zajść q p musi być wystarczające dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q - praw zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~> Zauważmy, że prawo Kubusia działa w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~>. Gdzie: => - symbol dwuznaczny, może oznaczać: 1. p=>q - tylko warunek wystarczający, p jest wystarczające dla q, definiowany dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej , nie jest to operator logiczny. 2. p=>q - operator logiczny implikacji prostej, będący złożeniem warunku wystarczającego => w logice dodatniej p=>q i warunku koniecznego ~> w logice ujemnej ~p~>~q, czyli musi być spełnione prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Operatorowa definicja implikacji odwrotnej z podkładem zero-jedynkowym: Kod:  p    q p~>q  p~>  q =1    /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) 1 1 =1  p~~>~q =1 1 0 =1 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q ~p=> ~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 0 =1 ~p=>  q =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Twierdzenie Tygryska: Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają: 1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek. 0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek. Definicja słowna: p~>q Jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być konieczne dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej na implikację prostą Zauważmy, że prawo Kubusia działa w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja odwrotna ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej =>. Gdzie: ~> - symbol dwuznaczny, może oznaczać: 1. p~>q - tylko warunek konieczny, p jest konieczne dla q, definiowany dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej, nie jest to operator logiczny 2. p~>q - operator logiczny implikacji odwrotnej, będący złożeniem warunku koniecznego ~> w logice dodatniej p~>q i warunku wystarczającego => w logice ujemnej ~p=>~q, czyli musi być spełnione prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi, zatem nie jest to implikacja odwrotna Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą => Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Logika dodatnia i ujemna dla operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>: Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (patrz prawa Kubusia). Operatorowa definicja równoważności z podkładem zero-jedynkowym: Kod:  p   q p<=>q  p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 1 =1  p=>~q =0 1 0 =0 ~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 0 =1 ~p=> q =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=1 Twierdzenie Tygryska: Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają: 1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek. 0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek. Definicje operatorowe równoważności: A. p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności: ~p=>~q = q=>p stąd odprysk definicji równoważności: B. p<=>q = (p=>q)*(q=>p) 0.1 Definicja algebry Kubusia Definicja algebry Boole’a według Kubusia: Dwuelementowa algebra Boole’a (wyłącznie cyfry 0 i 1) to algebra bramek logicznych Poprawna algebra Boole’a musi być zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, wtedy: Algebra Boole’a = Algebra Kubusia Definicja algebry Kubusia: Algebra Kubusia to matematyka naturalnego języka mówionego 0.2 Lista legalnych operatorów logicznych Zero-jedynkowo wszystkie operatory logiczne znane są człowiekowi od około 150 lat, jednak nie wszystkie zostały poprawnie zinterpretowane. To już historia ! Pełna lista dwuargumentowych operatorów logicznych. Kod: p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  FILL NOP  P NP  Q NQ 0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0   0 1   0 1 0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0   0 1   1 0 1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0   1 0   0 1 1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0   1 0   1 0 Wszystkie 5-cio latki doskonale posługują się powyższymi operatorami w praktyce tzn. od początku powyższej tabeli do operatora FILL. Na pierwsze 10 operatorów można podać banalne przykłady z języka mówionego 5-cio latka. Operatorów FILL i NOP używają ludzie dwa metry pod ziemią - zero logiki. Ostatnie cztery operatory to de facto operatory jednoargumentowe, definicje negacji. Kod: Logika dodatnia    Logika ujemna OR                 NOR AND                NAND <=>                XOR =>                 N(=>) ~>                 N(~>) FILL               NOP P                  NP Q                  NQ Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym. Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli. Operator dodatni to zanegowany operator ujemny. Kod: Definicje operatorów ujemnych: pNORq       =     ~(p+q) pNANDq      =     ~(p*q) pXORq       =     ~(p<=>q) pN(=>)q     =     ~(p=>q) pN(~>)q     =     ~(p~>q)    pNOPq       =     ~(pFILLq) pNPq        =     ~(pPq) pNQq        =     ~(pQq) W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli. 1.0 Algebra Kubusia w telegraficznym skrócie Ten punkt zawiera wszystko co najważniejsze w algebrze Kubusia, to streszczenie całości, zatem przy pierwszym czytaniu na pewno nie wszystko będzie tu zrozumiałe. 1.1 Operatory OR i AND Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR: Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz). gdzie: Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia) ~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie) Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie: Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia W operatorach OR i AND mamy zdania ze spójnikiem „lub” i „i” w logice dodatniej i ujemnej. Operator OR to złożenie zdania twierdzącego ze spójnikiem „lub” w logice dodatniej i zdania ze spójnikiem „i” w logice ujemnej. Operator AND to złożenie zdania twierdzącego ze spójnikiem „i” w logice dodatniej i zdania ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej. Operator OR(+): Zdanie ze spójnikiem „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) Y=p+q Zdanie ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) ~Y=~p*~q Oczywisty związek logik: Y=~(~Y) Stąd mamy prawo de’Morgana: p+q = ~(~p*~q) Operator AND(*): Zdanie ze spójnikiem „i” w logice dodatniej (bo Y) Y=p*q Zdanie ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej (bo ~Y) ~Y=~p+~q Oczywisty związek logik: Y=~(~Y) stąd prawo de’Morgana: p*q = ~(~p+~q) Zero-jedynkowa definicja operatora OR: Kod: p q  Y=p+q Dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y) Y=p+q= p*q+p*~q+~p*q 1 1 =1    /Y=p*q 1 0 =1    /Y=p*~q 0 1 =1    /Y=~p*q Skłamię (logika ujemna bo ~Y) 0 0 =0    /~Y=~p*~q Algorytm tworzenia zapisu operatorowego po znak „/” jest banalny: 1. Jeśli w tabeli jest jedynka to przepisujemy nagłówek: 1->p 2. Jeśli w tabeli jest zero to przepisujemy zanegowany nagłówek: 0->~p Podstawa matematyczna: Jeśli p=0 to ~p=1 (dwustronna negacja) Uwaga: W ten oto sposób w przyszłości będziemy operować zmiennymi binarnymi a nie idiotycznymi zerami i jedynkami. Tylko i wyłącznie dla tabeli operatorowej jak po znaku „/” możemy korzystać z praw matematycznych w postaci symbolicznej np. przejście do logiki przeciwnej, prawa de’Morgana, prawa Kubusia itd. 3. Dane wejściowe p i q łączymy spójnikiem „i”(*). 4. Wyjścia o identycznej polaryzacji możemy zapisać w postaci sumy logicznej poszczególnych wierszy: Y=p*q+p*~q+~p*q 5. Z ostatniej linii mamy: ~Y=~p*~q Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów: Y=p+q … i to jest najprostsza definicja sumy logicznej z nagłówka definicji: Y=1 <=> p=1 lub q=1 Oczywiście zachodzi tożsamość: Y=p+q= p*q+p*~q+~p*q Na podstawie definicji zapisujemy: Y=p+q oraz: ~Y=~p*~q Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej: Y=~(~Y) stąd otrzymujemy prawo de’Morgana dla sumy logicznej: p+q = ~(~p*~q) Zero-jedynkowa definicja operatora AND: Kod: p q  Y=p*q Dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y) 1 1 =1    /y=p*q Skłamię (logika ujemna bo ~Y) ~Y = ~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q 0 0 =0    /~Y=~p*~q 0 1 =0    /~Y=~p*q 1 0 =0    /~Y=p*~q Na podstawie definicji zapisujemy: Y=p*q oraz: ~Y=~p+~q Związek logiki dodatniej i ujemnej: Y=~(~Y) stąd mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego: p+q = ~(~p+~q) Po znaku „/” zapisano definicje operatorów OR i AND w wersji operatorowej, używanej w naturalnym języku mówionym. Prawo przedszkolaka: W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne. Przykładowa funkcja logiczna: A. Y=A+(B*~C) Przejście do logiki przeciwnej: B. ~Y=~A*(~B+C) Oczywiście: C. Y=~(~Y) Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana: A+(B*~C) = ~A*(~B+C) Prawa de’Morgana: p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+) p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*) Operatorowa definicja OR: Kod: p q Y=p+q Dotrzymam słowa (Y=1 - wystąpi prawda): Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q - spójnik LUB(+) w logice dodatniej bo (Y)! p*q =Y 1 1 =1 lub p*~q=Y 1 0 =1 lub ~p*q=Y 0 1 =1 … a kiedy skłamię (~Y=1 - wystąpi fałsz) ? ~p*~q=~Y - spójnik AND(*) w logice ujemnej (bo ~Y) ! 0 0 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową operatora OR dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Y=1, ~Y=0 Twierdzenie Tygryska: Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają: 1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek. 0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek. Przykład: Y=1 - dotrzymam słowa Y=0 - skłamię ~Y=1 - skłamię ~Y=0 - dotrzymam słowa Oczywiście: Y#~Y Zatem mamy tu dwa różne zdania Y i ~Y w jednej tabeli zero-jedynkowej ! Z powyższego wynika, że operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej oraz spójnika „i” w logice ujemnej, zatem operator OR to fundamentalnie co innego niż spójnik „lub” (OR). Spójnik „lub” to tylko i wyłącznie trzy pierwsze linie z powyższej tabeli. Na podstawie powyższej tabeli mamy: Y=p+q oraz: ~Y=~p*~q Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej: Y#~Y Stąd otrzymujemy prawo de’Morgana: p+q = ~(~p*~q) Zauważmy, że prawo de’Morgana obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, zatem operator OR (+) nie może istnieć bez operatora AND (*). Przykład: Jutro pójdę do kina lub do teatru Y=K+T czyli: Y=1 <=> K=1 lub T=1 Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna zostanie ustawiona na jeden (K=1 lub T=1) … a kiedy skłamię ? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne. Mamy: Y=K+T stąd: ~Y=~K*~T Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy obie zmienne zostaną ustawione na 1. Innymi słowy: Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy ~K=1 i ~T=1 Twierdzenie: Zdanie jest operatorem OR wtedy i tylko wtedy gdy spełnia operatorową definicję tego operatora. Wszystkie bezwarunkowe obietnice jak wyżej spełniają powyższe twierdzenie obligatoryjnie. W świecie zdeterminowanym, o z góry znanych wartościach logicznych człowiek nie używa spójnika „lub” . Kwadrat ma wszystkie boki równe lub kąty równe. KW<=>BR+KR = 0 ! Kwadrat ma wszystkie boki równe i kąty równe KW<=>BR*KR =1 ! Pies ma cztery łapy lub miauczy P=4L+M P=1 <=> 4L=1 lub M=0 Oczywiście nikt tak nie powie, bo po prawej stronie mamy tu mieszanie prawdy z fałszem, poza tym jeśli składniki są zdeterminowane to właściwym spójnikiem jest „i” Pies ma cztery łapy i nie miauczy P=4L*~M P=1 <=> 4L=1 i ~M=1 Wszystkie zmienne sprowadzone zostały do 1, zatem musimy użyć spójnika „i”, to jest warunek, abyśmy mogli stosować prawa algebry Boole’a np. prawa de’Morgana. … a kiedy zdanie będzie fałszem ? Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów: Mamy: P=4L*~M stąd: ~P=~4L+M czyli: ~P<=> ~4L=1 lub M=1 Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) lub miauczy (M=1) to na pewno nie jest psem (~P=1). ~4L+M=~P Operatorowa definicja AND: Kod: p q Y=p*q Dotrzymam słowa (Y=1 - wystąpi prawda): p*q =Y - spójnik „i” w logice dodatniej (bo Y) 1 1 =1 … a kiedy skłamię (~Y=1 - wystąpi fałsz)? ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q - spójnik „lub” w logice ujemnej (bo ~Y) Skłamię, wtedy i tylko wtedy gdy: ~p*~q =~Y 0 0 =0 ~p*q =~Y 0 1 =0 p*~q =~Y 1 0 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową operatora AND dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Y=1, ~Y=0 Twierdzenie Tygryska: Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają: 1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek. 0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek. Z powyższego wynika, że operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej oraz spójnika „lub” w logice ujemnej, zatem operator AND to fundamentalnie co innego niż spójnik „i”. Spójnik „i” to tylko i wyłącznie pierwsza linia w powyższej tabeli. Na podstawie powyższej tabeli mamy: Y=p*q oraz: ~Y=~p+~q Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej: Y#~Y Stąd otrzymujemy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego: p*q = ~(~p+~q) Zauważmy, że prawo de’Morgana obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, zatem operator AND(*) nie może istnieć bez operatora OR(+). Przykład: Jutro pójdę do kina i do teatru Y=K*T czyli: Y=1 <=> K=1 i T=1 Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy obie zmienne zostaną ustawione na jeden (K=1 i T=1) … a kiedy skłamię ? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne. Mamy: Y=K*T stąd: ~Y=~K+~T Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek ze zmiennych zostanie ustawiona na 1 (~K=1 i ~T=1). Innymi słowy: Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy, gdy ~K=1 lub ~T=1 Twierdzenie: Zdanie jest operatorem AND wtedy i tylko wtedy gdy spełnia operatorową definicję tego operatora. Wszystkie bezwarunkowe obietnice jak wyżej spełniają powyższe twierdzenie obligatoryjnie. W świecie zdeterminowanym, o z góry znanych wartościach logicznych człowiek używa spójnika „i” sprowadzając wszystkie stałe do prawdy. Pies ma cztery łapy i miauczy P=4L*M P=1 <=> 4L=1 i M=0 czyli: P=1 <=> 4L*M =0 Oczywiście takie zdanie jest fałszywe na mocy definicji operatora AND, poprawne jest niżej. Pies ma cztery łapy i nie miauczy P=4L*~M P=1 <=> 4L=1 i ~M=1 P=1<=>4L*~M=1 Wszystkie zmienne sprowadzone zostały do 1 zatem musimy użyć spójnika „i”, to jest warunek, abyśmy mogli stosować prawa algebry Boole’a. … a kiedy zdanie będzie fałszem ? Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów: Mamy: P=4L*~M stąd: ~P=~4L+M czyli: ~P<=> ~4L=1 lub M=1 Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) lub miauczy (M=1) to na pewno nie jest psem (~P=1). ~4L+M=~P 1.2 Operatory implikacji Fundamentem implikacji i równoważności są warunki wystarczające i konieczne mogące występować w logice dodatniej albo ujemnej. Operatory logiczne implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz równoważności <=> to złożenie odpowiednich warunków wystarczających => i koniecznych ~>, zawsze jeden w logice dodatniej a drugi w logice ujemnej. Implikacja prosta =>: Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) p=>q Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) ~p~>~q Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Implikacja odwrotna ~>: Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) p~>q Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) ~p=>~q Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Równoważność <=>: Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) p=>q Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) ~p=>~q Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Warunki wystarczające i konieczne definiowane są zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej co jest twardym dowodem, że w implikacji oraz równoważności człowiek nigdy nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a ! Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej =>: Kod: p q  Y=p=>q 1 1 =1   /p=>q   =1 - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 0 =0   /p=>~q  =0 … a jeśli nie zajdzie p ? Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q 0 0 =1   /~p~>~q =1 - warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) 0 1 =1   /~p~~>q =1 Definicja słowna implikacji prostej =>: p=>q Jeśli zajdzie p to musi => zajść q Dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q … bowiem identyczny warunek wystarczający p=>q występuje w równoważności. Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej ~>: Kod: p q  Y=p~>q 1 1 =1   /p~>q   =1 - warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) 1 0 =1   /p~~>~q =1 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q 0 0 =1   /~p=>~q =1 - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 1 =0   /~p=>q  =0 Definicja słowna implikacji odwrotnej: Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q p~>q p musi być konieczne dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Po znaku „/” zapisano operatorowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~>, którymi każdy 5-cio latek biegle się posługuje. Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą => Logika dodatnia i ujemna dla operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>: Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (patrz prawa Kubusia). Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej. Warunki wystarczający i konieczny należy rozumieć w sposób naturalny, dokładnie tak jak to rozumieją dzieci w przedszkolu. W naturalnym języku mówionym wypowiadając zdanie „Jeśli…to…” człowiek rozstrzyga tylko i wyłącznie czy użyć spójnika „musi” czy też „może”, nie ma więc tu wyjścia poza dwuelementową algebrę Boole’a. Zdanie „Jeśli…to…” może mieć tylko i wyłącznie pięć różnych znaczeń o których na końcu tego rozdziału. Operatorowa definicja implikacji prostej z podkładem zero-jedynkowym Kod:  p   q p=>q  p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 1 =1  p=>~q =0 1 0 =0 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo kubusia: p=>q = ~p~>~q ~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) 0 0 =1 ~p~~>q =1 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Twierdzenie Tygryska: Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają: 1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek. 0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek. Jak widzimy implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (q) i warunku koniecznego w logice ujemnej (~q). Oczywiście zdanie wypowiedziane musi spełniać definicję implikacji prostej. p=>q Jeśli zajdzie p to musi zajść q p musi być wystarczające dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q bowiem identyczny warunek wystarczający p=>q jest w równoważności, to jest nie do odróżnienia bez analizy zdania przez definicję zero-jedynkową jak wyżej. Oczywiście zakładamy że wypowiedziane zdanie jest implikacją prostą p=>q. Przykład 1.2.1: A. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy GWA P=>4L =1 - bo pies. Gwarancja matematyczna 1 1 =1 Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy. Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna jak wyżej, poza nią wszystko może się zdarzyć, czyli jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap, albo mieć cztery łapy (rzucanie monetą). stąd: B. Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łapy P=>~4L=0 1 0 =0 … a jeśli zwierzę nie jest psem ? Prawo Kubusia: P=>4L = ~P~>~4L C. jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap ~P~>~4L =1 bo kura 0 0 =1 LUB D. Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy ~P~~>4L =1 bo słoń 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej => dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P=1, ~P=0 4L=1, ~4L=0 Zdanie D nie jest implikacją odwrotną ~>. Dowód nie wprost. Zakładamy że zdanie D jest implikacja odwrotną i stosujemy prawo Kubusia: D: ~P~>4L = B: P=>4L =0 Prawa strona tożsamości Kubusia to oczywisty fałsz (zdanie B), zatem zdanie D nie może być implikacja odwrotną prawdziwą, zatem warunek konieczny tu nie zachodzi. CND Prawdziwość zdania D opisuje równanie: (~P~>4L)+(~P~~>4L) = 0+1 =1 Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego „może” ~~>, wystarczy jedna prawda np. słoń Operatorowa definicja implikacji odwrotnej z podkładem zero-jedynkowym: Kod:  p    q p~>q  p~>  q =1    /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) 1 1 =1  p~~>~q =1 1 0 =1 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q ~p=> ~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 0 =1 ~p=>  q =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Twierdzenie Tygryska: Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają: 1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek. 0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek. W tabeli widać, że implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego w logice dodatniej (q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (~q). Oczywiście zdanie wypowiedziane musi spełniać warunek konieczny. p~>q Jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q W przypadku implikacji odwrotnej udowodnienie warunku koniecznego p~>q gwarantuje implikację odwrotna prawdziwą. Dlaczego ? Jeśli p jest konieczne dla q, to zajście ~p gwarantuje zajście ~q W sposób naturalny odkryliśmy tu wyrocznię implikacji, prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q które jest tu obligatoryjnie spełnione. Przykład 1.2.2: A. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem 4L~>P =1 bo pies 1 1 =1 Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa LUB B. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem 4L~~>~P =1 bo słoń 1 0 =1 … a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ? Prawo Kubusia: 4L~>P = ~4L=>~P czyli: C. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem GWB ~4L=>~P =1 np. kura. Gwarancja matematyczna Poza powyższą gwarancja wszystko może się zdarzyć, czyli jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem albo nie być psem (rzucanie monetą). W implikacji odwrotnej p~>q gwarancja matematyczna wynika z prawa Kubusia jak wyżej. stąd: D. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem ~4L=>P =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1=1 czyli: 4L=1, ~4L=0 P=1, ~P=0 Zdanie B nie jest implikacją odwrotną. Dowód nie wprost. Załóżmy że zdanie B to implikacja odwrotna i zastosujmy prawo Kubusia: B: 4L~>~P = D: ~4L=>P =0 Zdanie D to oczywisty fałsz, zatem B nie może być implikacją odwrotną, warunek konieczny tu nie zachodzi. Prawdziwość zdania B opisuje równanie: (4L~>~P)+(4L~~>~P) = 0+1=1 Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego może ~~>, wystarczy jedna prawda np. kura. CND Z przykładów 1.2.1 i 1.2.2 wynika że implikacja to zawsze operacje na trzech rozłącznych zbiorach (stanach): 1. Zbiór wszystkich psów A. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy GWA P=>4L =1 - bo pies. Gwarancja matematyczna 1 1 =1 Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy. Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna jak wyżej, poza nią wszystko może się zdarzyć, czyli jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap, albo mieć cztery łapy (rzucanie monetą). 2. Zbiór zwierząt nie mających czterech łap Prawo Kubusia: 4L~>P = ~4L=>~P czyli: C. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem GWB ~4L=>~P =1 np. kura. Gwarancja matematyczna Poza powyższą gwarancja wszystko może się zdarzyć, czyli jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem albo nie być psem (rzucanie monetą). 3. Zbiór pozostałych zwierząt D. Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy ~P~~>4L =1 bo słoń, koń… B. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem 4L~~>~P =1 bo słoń, koń … Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, wszystko inne jest bez znaczenia. Z powyższego wynika że: P=>4L = ~P~>~4L # 4L~>P = ~4L=>~P czyli: GWA: P=>4L # GWB: ~4L=>~P bowiem poza powyższymi gwarancjami jest trzeci zbiór (słoń, koń..). Tożsamość zachodziłaby tu wtedy i tylko wtedy gdyby zbiór GWA był dopełnieniem zbioru GWB jak to ma miejsce w równoważności, co zobaczymy za chwilę. Jeśli za sztywny punkt odniesienia przyjmiemy zdanie: P=>4L czyli: p=P, q=4L to otrzymamy: p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p czyli: p=>q # ~q=>~p To co wyżej to jest jedyne poprawne prawo kontrapozycji w logice, o czym będzie dalej. 1.3 Operator równoważności Operatorowa definicja równoważności z podkładem zero-jedynkowym: Kod:  p   q p<=>q  p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 1 =1  p=>~q =0 1 0 =0 ~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 0 =1 ~p=> q =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=1 Twierdzenie Tygryska: Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają: 1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek. 0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek. Definicje operatorowe równoważności: A. p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności: ~p=>~q = q=>p stąd odprysk definicji równoważności: B. p<=>q = (p=>q)*(q=>p) Zauważmy, że w powyższej tabeli zero-jedynkowej nie ma śladu ani warunku koniecznego ~> ani praw Kubusia. Równoważność to złożenie dwóch warunków wystarczających, jednego w logice dodatniej (q) i drugiego w logice ujemnej (~q) co widać w powyższej tabeli. Wniosek: Równoważność i implikacja to dwa rozdzielne świat matematyczne. Jeśli cokolwiek jest równoważnością to nie może być implikacją i odwrotnie. Definicje równoważności A i B są tożsame matematycznie, czyli udowodnienie jednej pociąga za sobą udowodnienie drugiej i odwrotnie. Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) Z prawej strony mamy do czynienia tylko i wyłącznie z warunkami wystarczającymi w kierunku p=>q, ~p=>~q i q=>p, to nie są implikacje bo nie spełniają definicji implikacji, co widać w definicji zero-jedynkowej wyżej. Przykład: Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe TR=>KR=1 - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR) 1 1 =0 stąd: Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno =. nie ma kątów równych TR=>~KR=0 1 0 =0 … a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ? Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych ~TR=>~KR =1 - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~Y) 0 0 =1 stąd: Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe ~TR=>KR =0 0 1 =0 Doskonale widać tabele zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: TR=1, ~TR=0 KR=1, ~KR=0 Z powyższego mamy definicję równoważności: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) Oczywiście po prawej stronie zdania TR=>KR i ~TR=>~KR to tylko i wyłącznie warunki wystarczające definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej. To nie są implikacje proste bo nie ma tu szans na zaistnienia prawa Kubusia. Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Z tabeli zero-jedynkowej wynika jeszcze jedna równoważna definicja równoważności, podstawiamy zanegowane parametry formalne p i q i otrzymujemy: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q) Z powyższego wynika że równoważność to zawsze operacje na dwóch zbiorach p i ~p w ramach określonej dziedziny. Dla naszego przykładu mamy: TR - zbiór trójkątów równobocznych ~TR - zbiór pozostałych trójkątów Dziedzina: zbiór wszystkich trójkątów Oczywiście zbiór ~TR jest dopełnieniem zbioru TR. Dlatego zachodzi: p<=>q = ~p<=>~q 1.4 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w algebrze Kubusia Człowiek używa zdań „Jeśli…to…” tylko i wyłącznie w pięciu różnych znaczeniach. Poprawna matematyka która rości sobie prawo do opisu matematycznego naturalnego języka mówionego musi umieć rozpoznawać wszystkie takie zdania. Jedyną znaną człowiekowi logiką która to robi jest Nowa Teoria Implikacji. 1. Implikacja prosta: p=>q Jeśli zajdzie p to musi zajść q p musi być wystarczające dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q 2. Tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności p=>q Jeśli zajdzie p to musi zajść q Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Warunek wystarczający w równoważności p=>q jest identyczny jak w implikacji prostej wyżej p=>q, to jest nie do rozpoznania. Prawa strona definicji równoważności to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, nie są to implikacje proste bo nie spełniają definicji zero-jedynkowej implikacji prostej =>. Przykład: Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe TR=>KR To jest tylko i wyłącznie warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) 3. Implikacja odwrotna: p~>q jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q Warunek konieczny wymusza implikację odwrotną bo: Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q W sposób naturalny odkryliśmy prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q 4. Zdaniem prawdziwym na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi. Przykład: Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8 P3~~>P8 =1 bo 24 P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, zatem implikacja odwrotna P3~>P8 jest fałszywa 5. Zdaniem fałszywym, nie spełniającym któregokolwiek z powyższych przypadków. 1.5 Fundamenty algebry bramek logicznych Definicja bloku logicznego Blok logiczny to układ o dwóch wejściach i jednym wyjściu dający jednoznaczną odpowiedź na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach, czyli dla operatorów dwuargumentowych mamy cztery różne przypadki. Kod: 1 1 =? 1 0 =? 0 0 =? 0 1 =? W środku takiego bloku może być dowolnie skomplikowany układ logiczny. Kod: Rysunek 3   p   q   |   |  -------  |     |  |BLOK |  |     |  -------     |     Y W takim bloku może znajdować się układ zastępczy praw de’Morgana, układ zastępczy praw Kubusia lub cokolwiek innego. Definicja poprawnego układu zastępczego: 1. Układ zastępczy wewnątrz bloku logicznego musi być nierozpoznawalny dla obserwatora z zewnątrz 2. Likwidacja poprawnego układu zastępczego musi się polegać tylko i wyłącznie na wepchnięciu zewnętrznych negatorów do środka bramki i zmianie symbolu bramki na przeciwny. Jeśli zewnętrznych negatorów nie ma to układ jest fałszywym układem zastępczym na mocy definicji fałszywego układu zastępczego niżej. Narodziny poprawnego układu zastępczego bramki implikacji prostej => Definicja: Układ zastępczy bramki logicznej w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~> to możliwość zastąpienia bramki => bramką ~> albo odwrotnie. Operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> Definicja implikacji prostej: p=>q Jeśli zajdzie p to musi => zajść q p musi być wystarczające dla q plus musi zachodzić wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Definicja implikacji prostej w bramce logicznej: p=>q = ~p+q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym (czytamy zgodnie ze strzałką) Kółko „O” oznacza wbudowaną w środku bramki OR negację „~” na linii p. Kod:   p    q   P8   P2   |    |  ---------  |O =>   |  | musi  |  |  OR   |  ---------      |     p=>q    P8=>P2 Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy niezanegowaną linię q. Definicja implikacji odwrotnej: p~>q Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q p musi być konieczne dla q plus musi zachodzić wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Definicja implikacji odwrotnej w bramce logicznej: p~>q = p+~q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym (czytamy zgodnie ze strzałką) Kółko „O” oznacza wbudowaną w środku bramki OR negację „~” na linii q. Kod:   p    q   P2   P8   |    |  ---------  |  ~> O |  | może  |  |  OR   |  ---------      |     p~>q    P2~>P8 Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy zanegowaną linię q. Zacznijmy od …. Definicja fałszywego układu zastępczego: Fałszywe układy zastępcze to powielenie tego samego operatora połączonego w sposób równoległy. Kod: Fałszywy układ zastępczy =>  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x-------|------x       |  |       |      |       |  |       |      |       | -----------    ----------- |O  =>    |    |O  =>    | |         |    |         | |    A    |    |    B    | |    OR   |    |    OR   | -----------    -----------      |              |      |              |      x--------------x      |      Y = p=>q W linie wejściowe układu B wprowadzamy po dwie negacje. Oczywiście taki układ nie ulegnie zmianie na mocy prawa podwójnego przeczenia: p= ~(~p) Kod: Fałszywy układ zastępczy bramki =>  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x-------|------x       |  |       |      O       O  |       |      |~p     |~q  |       |      O       O  |       |      |p      |q -----------    ----------- |O  =>    |    |O  =>    | |         |    |         | |    A    |    |    B    | |    OR   |    |    OR   | -----------    -----------      |              |      |              |      x--------------x      |      Y =p=>q Na mocy prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q Wpychamy po jednej negacji w bramce B do środka układu i zmieniamy symbol na przeciwny ~>. Uzasadnienie inne: Wepchnięcie po jednej negacji do środka bramki B spowoduje „przeskok” kółka w środku bramki (negacji) na linię q. Na mocy definicji bramka => przechodzi wówczas w bramkę ~> … oczywiście wszystko obserwujemy z punktu odniesienia, czyli linii p ! Kod: Poprawny układ zastępczy bramki =>  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x-------|------x       |  |       |      O       O  |       |      |~p     |~q -----------    ----------- |O  =>    |    |   ~>   O| |         |    |         | |    A    |    |    B    | |    OR   |    |    OR   | -----------    -----------      |              |      |              | Y=~p~>~q      x--------------x      |      Y =p=>q = ~p~>~q Końcowy efekt. Kod: Poprawny układ zastępczy bramki =>  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x-------|------x       |  |       |      |       |  |       |      O       O -----------    ----------- |O  =>    |    |   ~>   O| |         |    |         | |    A    |    |    B    | |    OR   |    |    OR   | -----------    -----------      |              |      |              |      x--------------x      |      Y =p=>q = ~p~>~q Oczywiście bez problemu w układzie B możemy wepchnąć negatory do środka bramki ~> i zmienić jej symbol na =>, co jest zgodne z definicją poprawnego układu zastępczego bramki logicznej. CND 1.6 Fundamentalny błąd współczesnej matematyki Definicja fałszywego układu zastępczego: Fałszywe układy zastępcze to powielenie tego samego operatora połączonego w sposób równoległy. Kod: Fałszywy układ zastępczy =>  p       q                         p       q  |       |                         |       |  |       x--------------x          |       |  |       |              |          |       |  x-------|------x       |          |       |  |       |      |       |          |       |  |       |      |       |          |       | -----------    -----------        ----------- |O  p=>q  |    |O  p=>q  |        |O p=>q   | |   p<~q  |    |   p<~q  |        |  p<~q   | |         |    |         |        |         | |         |    |         |    =   |         | |    A    |    |    B    |        |   A     | |    OR   |    |    OR   |        |   OR    | -----------    -----------        -----------      |              |                  |      |              |                  |      x--------------x                  |      |                                 |      Y = p=>q                         Y=p=>q   # p<~q                                         P8=>P2 # P8<~P2 Jak widać na powyższym schemacie kółko „O” połączono z kółkiem „O”, brak kółka z brakiem kółka, oraz wyjście Y z wyjściem Y. Jest to zatem wyłącznie równoległe powielenie tej samej bramki. Funkcja logiczna jaką ten układ realizuje jest totalnie nieistotna, to jest fałszywy układ zastępczy bramki. Fizycznie to co wyżej to nie są dwie różne bramki, ale jedna i ta sama bramka czyli bramka OR z zanegowaną w środku jedną linia wejściową. Jak staniemy na przewodzie p to będziemy widzieć warunek wystarczający: p=>q Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 P8 wystarcza dla P2 Jak staniemy na przewodzie q to będziemy widzieć warunek konieczny: q~>p Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 P2 jest konieczne dla P8 Oczywiście ponieważ jedna i ta sama bramka realizuje dwie fundamentalnie różne funkcje logiczne na mocy definicji: p=>q # p~>q zatem musi zachodzić: p=>q # q~>p - dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu p=>q P8=>P2 # P2~>P8 - dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu P8=>P2 oraz: p=>q # p~>q P8=>P2 # P2~>P8 Dla punktu odniesienia ustawionego zawsze na wypowiedzianym zdaniu, czyli po „Jeśli…” mamy zawsze p, zaś po „to…” mamy zawsze q co jest zgodne z definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~> w NTI. Punkt odniesienia w logice to niesłychanie ważna rzecz bowiem: Świat wygląda różnie z różnych punktów odniesienia 1.7 Punk odniesienia Definicja implikacji prostej: p=>q Jeśli zajdzie p to musi => zajść q p musi być wystarczające dla q plus musi zachodzić wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Definicja implikacji prostej w bramce logicznej: p=>q = ~p+q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym (czytamy zgodnie ze strzałką) Kółko „O” oznacza wbudowaną w środku bramki OR negację „~” na linii p. Kod:   p    q   P8   P2   |    |  ---------  |O =>   |  | musi  |  |  OR   |  |-------|  |    <~ |  | może  |  ---------      |     p=>q    P8=>P2 Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy niezanegowaną linię q. Ze schematu widzimy że: p=>q = p<~q wtedy i tylko wtedy gdy symbol <~ będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „musi” => z warunkiem wystarczającym. Jeśli oba wektory będziemy czytać zgodnie ze strzałką to zachodzi: p=>q # q~>p Lewa strona nierówności to obserwacja rzeczywistości z punktu odniesienia p (na tym przewodzie stoimy), natomiast prawa strona to obserwacja rzeczywistości z punktu odniesienia q (na tym przewodzie stoimy). Definicja implikacji odwrotnej: p~>q Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q p musi być konieczne dla q plus musi zachodzić wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Definicja implikacji odwrotnej w bramce logicznej: p~>q = p+~q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym (czytamy zgodnie ze strzałką) Kółko „O” oznacza wbudowaną w środku bramki OR negację „~” na linii q. Kod:   p    q   P2   P8   |    |  ---------  |  ~> O |  | może  |  |  OR   |  |-------|  |    <= |  | musi  |  ---------      |     p~>q    P2~>P8 Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy zanegowaną linię q. Ze schematu widzimy że: p~>q = p<=q wtedy i tylko wtedy gdy symbol <= będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” ~> z warunkiem koniecznym. Jeśli oba wektory będziemy czytać zgodnie ze strzałką to zachodzi: p~>q # q=>p Lewa strona nierówności to obserwacja rzeczywistości z punktu odniesienia p (na tym przewodzie stoimy), natomiast prawa strona to obserwacja rzeczywistości z punktu odniesienia q (na tym przewodzie stoimy). Zauważmy, że teoretycznie jeden z symboli => albo ~> jest zbędny, jednak prowadzi to do niejednoznaczności. Załóżmy, że usuwamy „zbędny” symbol ~>. Wtedy wektor => czytany zgodnie ze strzałką oznacza co innego niż wektor <= czytany przeciwnie do strzałki. Operatory p=>q i p~>q to na mocy definicji fundamentalnie co innego i muszą mieć inne symbole, w tym przypadku oba symbole czytamy zgodnie ze strzałką. Oczywiście matematycznie zachodzi: p=>q = q<=p p~>q = q<~p bo zdania czytamy zawsze zgodnie ze strzałką. Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą => Zdania przykładowe: 1. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2 P8=>P2 p=>q - na mocy definicji implikacji prostej ! P8 wystarcza dla P2, implikacja prosta prawdziwa bowiem dodatkowo spełnione jest tu prawo Kubusia: P8=>P2 = ~P8~>~P2 co wyklucza równoważność. 2. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8 P2~>P8 p~>q - na mocy definicji implikacji odwrotnej ! P2 jest konieczne dla P8, implikacja odwrotna prawdziwa, tu prawo Kubusia jest spełnione obligatoryjnie bowiem jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q czyli w sposób naturalny odkryliśmy prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Oczywiście matematycznie zachodzi równanie ogólne implikacji: p=>q =~p~>~q # p~>q=~p=>~q P8=>P2=~P8~>~P2 # P2~>P8=~P2=>~P8 Po obu stronach mamy dwa niezależny układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne, co widać w zapisie ogólnym dla punktu odniesienia ustawionym zawsze na wypowiedzianym zdaniu czyli po „Jeśli…” mamy zawsze p, zaś po „to…” mamy zawsze q. O co chodzi z tym punktem odniesienia ? Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej. Kod: Tabela A         |Punkt             |Punkt         |odniesienia       |odniesienia         | p=>q             | p~>q         |                  |    p  q | p=>q     q=>p    |   p~>q     q~>p    1  1 | =1       =1      |   =1       =1    1  0 | =0       =1      |   =1       =0    0  0 | =1       =1      |   =1       =1    0  1 | =1       =0      |   =0       =1 A. P8 P2 P8=>P2=1 P2=>P8=0 | P2~>P8=1 P8~>P2=0 - punkt odniesienia „Jeśli..to..” B. P8 P2 P8=>P2=1 P2=>P8=0 | P8~>P2=0 P2~>P8=1 - punkt odniesienia p=>q C. P8 P2 P2=>P8=0 P8=>P2=1 | P2~>P8=1 P8~>P2=0 - punkt odniesienia p~>q W zapisie formalnym odczytujemy że dla tych samych operatorów zachodzi: p=>q # q=>p - punkt odniesienie p=>q p~>q # q~>p - punkt odniesienia p~>q Co oznacza że argumenty w implikacji nie są przemienne, implikacja jest wektorem kierunkowym. A. p=>q # p~>q - na mocy definicji Punkt odniesienia ustawiony zawsze na wypowiedzianym zdaniu czyli po „Jeśli” mamy zawsze p, zaś po „to…” mamy zawsze q p=>q=1, p~>q=1 - oba zdania prawdziwe, ale nie równoważne bo w przeciwnych logikach P8=>P2=1, P2~>P8=1 q=>p=0, q~>p=0 - fałszywe P2=>P8=0, P8~>P2=0 Wniosek: Implikacja odwrotna jest w logice niezbędna, inaczej nie zakodujemy zdania p~>q B. p=>q # q~>p Punkt odniesienia p=>q p=>q=1, q~>p=1 - oba zdania prawdziwe, ale nie równoważne bo w przeciwnych logikach P8=>P2=1, P2~>P8=1 q=>p=0, p~>q=0 - fałszywe P2=>P8=0, P8~>P2=0 Wniosek: Implikacja odwrotna ~> jest w logice niezbędna inaczej nie zakodujemy zdania q~>p C. p~>q # q=>p Punkt odniesienia p~>q p~>q=1, q=>p=1 - oba zdania prawdziwe, ale nie równoważne bo w przeciwnych logikach P2~>P1, P8=>P2=1 q~>p=0, p=>q=0 - fałszywe P8~>P2=0, P2=>P8=0 Wniosek: Implikacja prosta jest w logice niezbędna inaczej nie zakodujemy zdania q=>p Wniosek: Obie implikacje prosta => i odwrotna ~> są w logice niezbędne Oczywiście w praktyce widząc zapisy ogólne nie będziemy mieli żadnych problemów z ustaleniem punktu odniesienia. p=>q # q~>p - oczywisty punkt odniesienia p=>q p~>q # q=>p - oczywisty punkt odniesienia p~>q p=>q # p~>q - oczywisty punkt odniesienia ustawiony na wypowiedzianym zdaniu „Jeśli…to…” Jeśli dowolne z powyższych zdań jest prawdziwe to drugie też musi być prawdziwe, ale matematycznie nie równoważne, bo wypowiedziane w przeciwnych logikach. Ciąg dalszy na kolejnej stronie … Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 9:30, 22 Gru 2010, w całości zmieniany 41 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 4:35, 01 Cze 2010    Temat postu: 1.8 NTI w praktyce Dzisiejsza algebra Boole’a jest poprawna w technice komputerowej i fatalna w obsłudze naturalnej logiki człowieka. W komputerach jest wszystko dobrze bo nie ma tu najmniejszego śladu implikacji. Implikacja zarówno prosta => jak i odwrotna ~> to w jednej połówce zawsze "rzucanie monetą" czyli matematyczna „wolna wola”. Z tego powodu implikacja w świecie techniki jest bezsensem i nigdy nie znajdzie tu zastosowania. W technice cyfrowej znana jest logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole'a ! Odwrócenie logiki można uzyskać na dwa sposoby. Załóżmy że mamy układ cyfrowy realizujący równanie: A. Y=A*(B+~C) Sposób I Negujemy dwustronnie: ~Y = ~[A*(B+~C)] Ten sposób wymaga użycia tylko jednego negatora i nie ingeruje w układ fizyczny. Z tego powodu jest powszechnie wykorzystywany w technice cyfrowej. Sposób II Przechodzimy z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne: ~Y = ~A+(~B*C) Ten sposób wymaga ingerencji w budowę całego układu, praktycznie wszystko trzeba budować od nowa dlatego w technice cyfrowej jest to bez sensu. Mózg człowieka działa w tym zakresie fundamentalnie inaczej, tu podstawą wszystkiego jest sposób II. Przykłady: 1. Przejście z logiki dodatniej do ujemnej w zdaniach twierdzących. 2. Prawa Kubusia w implikacji 3. Kompletne nie korzystanie z praw de'Morgana w naturalnym języku mówionym. Prawa de’Morgana są powszechnie wykorzystywane w technice cyfrowej np. do minimalizacji układu. Przykład 1. Przejście z logiki dodatniej do ujemnej w zdaniach twierdzących. Jutro pójdę do kina lub do teatru. Y=K+T - logika dodania bo Y (niezanegowane) Y=1 <=> K=1 lub T=1 … a kiedy skłamię ? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne: ~Y=~K*~T Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru ~Y=~K*~T - logika ujemna bo ~Y (zanegowane) ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1 Przykład 2. Prawa Kubusia w implikacji Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać CH~>P - logika dodatnia bo P (następnik niezanegowany) Chmury sa warunkiem koniecznym dla deszczu, implikacja odwrotna prawdziwa. … a jeśli jutro nie będzie pochmurno ? Prawo Kubusia: CH~>P = ~CH=>~P Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać ~CH=>~P - logika ujemne bo ~P (następnik zanegowany) Przykład 3. Kompletne nie korzystanie z praw de'Morgana w naturalnym języku mówionym. A. Jutro pójdę do kina lub do teatru. Y=K+T … a kiedy skłamię ? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne: ~Y=~K*~T B. Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru ~Y=~K*~T Związek logiki dodatniej i ujemnej: Y=~(~Y) Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana: K+T = ~(~K*~T) czyli: C. Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T) Y=~(~K*~T) Oczywistym jest, że każdy człowiek mając do wyboru dwa równoważne matematycznie zdania A lub C wybierze A bo to jest zdecydowanie prostsze, co nie znaczy że będzie miał jakiekolwiek kłopoty ze zrozumieniem C. Cytat z: [link widoczny dla zalogowanych] Słupek napisał: Jeśli ktoś jest kobietą albo pochodzi ze Szkocji to nosi spódniczki. To jest przykład zdania na którym dzisiejsza logika łamie sobie zęby … bo nie akceptuje równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz nie ma pojęcia jak używać praw Kubusia poprawnych w KRZ (sic !). Zauważmy, że KRZ nigdy nie uzna praw Kubusia bo prawa te mówią o możliwości zamiany implikacji prostej => równoważną matematycznie implikacja odwrotną ~>. p=>q = ~p~>~q p~>q = ~p=>~q Uznanie równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> to oczywiste samobójstwo KRZ i jej IDIOTYCZNEGO fundamentu w postaci implikacji materialnej. Tu nie ma możliwości jakiegokolwiek kompromisu, miejsce wszelkich dzisiejszych logik opartych na implikacji materialnej jest w koszu na śmieci … czyli koniec świata gwarantowany. Pewne jest że wcześniej czy później człowiek musi zaakceptować nowe definicje implikacji z NTI i prawa Kubusia, gwarantują to kosmiczne Misie których wysłannikiem jest Kubuś ! W algebrze Kubusia tego typu zdania to matematyczne banały ! Trzeba tu rozróżnić trzy przypadki: Przypadek 1 Wszystko zależy od człowieka czyli typowa, bezwarunkowa obietnica lub groźba Przykład: A. Jutro pójdę do kina lub do teatru Y=K+T B. Juro pójdę do kina albo do teatru T=K ALBO T W przypadku B jeśli pójdziemy do kina i do teatru to kłamiemy. Zdanie A zawiera w sobie zdanie B i jest bezpieczniejsze bo możemy wszystko, także iść do kina i do teatru. W mowie potocznej spójnik LUB jest prawie zawsze używany w znaczeniu ALBO, bo gdybyśmy chcieli iść do kina i do teatru to użyjemy zupełnie innego spójnika „i” (AND) Jutro pójdę do kina i do teatru Y=K*T Przypadek 2 To obietnice na styku przyroda martwa-człowiek. Przykład: Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę P=>O Padanie jest warunkiem wystarczającym, abym otworzył parasolkę. Piękna implikacja prosta, ale …. Prawo kontrapozycji: p=>q # ~q=>~p czyli: Jeśli nie otworzę parasolki to nie będzie padało ~O=>~P =0 W czasie przyszłym ta implikacja jest fałszywa, prawdziwa jest w czasie przeszłym: Jeśli nie otworzyłem parasoli to na pewno nie padało ~O=>~P =1 Oczywiście: przyszłość # przeszłość (tu wszystko jest zdeterminowane) Dlatego w NTI obowiązuje jedynie prawdziwe prawo kontrapozycji: p=>q # ~q=>~p Matematycznie te zdania nie są równoważne bo wypowiedziane w przeciwnych logikach. Prawdziwość zdania po lewej stronie wymusza prawdziwość zdania po prawej stronie z tym, że w implikacjach czasowych (jak wyżej) zdanie po prawej stronie będzie prawdziwe i sensowne w czasie przeszłym. … poza tym w NTI obowiązuje jeszcze inne prawo kontrapozycji o którym KRZ nie ma pojęcia: p~>q # ~q~>~p Przykład: Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L Groźba, zatem na mocy definicji groźby z NTI implikacja odwrotna ~>. Prawo kontrapozycji w czasie przyszłym jest tu bez sensu: B~>L # ~L~>~B Jeśli nie dostaniesz lania to może ~> nie ubrudzisz spodni ~L~>~B=0 … ale w czasie przeszłym jest OK. Jeśli nie dostałeś lania to mogłeś ~> nie ubrudzić spodni ~L~>~B =1 Przypadek 3 To świat fizyczny istniejący niezależnie od człowieka. Przykład: Jeśli ktoś jest kobietą albo pochodzi ze Szkocji to nosi spódniczki. Oczywiście, cokolwiek byśmy nie powiedzieli to nie zmusimy Szkotów do zaprzestania noszenia swoich spódniczek. Całe zdanie jest w języku potocznym poprawne, choć mało precyzyjne. Sformułowanie „pochodzi ze Szkocji” oznacza tu zarówno Szkota jak i Szkotkę, nie są to więc stany „rozłączne” i spójnik „albo” nie jest tu matematycznie precyzyjny bo: Kobieta i mężczyzna pochodzący ze Szkocji mogą nosić spódniczki Y=K*SZ =1 - oboje mogą nosić spódniczki Poza tym to jest implikacja odwrotna „może” ~> a nie prosta „musi”=> (ten spójnik jest domyślny i nie musi być używany). To też jest bez znaczenia bo kręgosłup logiki człowieka jest w tym przypadku taki. Jeśli ktoś jest kobietą lub pochodzi ze Szkocji to może ~> nosić spódniczkę K+SZ~>S Bycie kobietą lub bycie Szkotem jest warunkiem koniecznym dla noszenia spodniczki, zatem implikacja odwrotna prawdziwa. Właśnie dzięki temu że człowiek podlega pod banalnie prostą algebrę Kubusia a nie ją tworzy, możemy mówić mało precyzyjnie np. źle używać spójniki jak w powyższym przypadku, opowiadać kawały i dowcipy, mówić z niedomówieniami itp. Analiza: A. Jeśli ktoś jest kobietą lub pochodzi ze Szkocji to może ~> nosić spódniczkę (K+SZ)~>S =1 bo kobieta lub Szkot mogą nosić spódniczki 1 1 =1 LUB B. Jeśli ktoś jest kobietą lub pochodzi ze Szkocji to może ~~> nie nosić spódniczki (K+SZ)~~>~S =1 - ani kobiety, ani mężczyźni nie muszą nosić spódniczek 1 0 =1 … a jeśli nie jest kobietą i nie pochodzi ze Szkocji ? Prawo Kubusia: (K+SZ)~>S = ~(K+SZ)=>~S stąd na podstawie prawa de’Morgana: (K+SZ)~>S = (~K*~SZ)~>~S stąd: C. Jeśli ktoś nie jest kobietą i nie jest Szkotem to na pewno nie nosi spódniczki (~K*~SZ)=>~S=1 0 0 =1 stąd: D. Jeśli ktoś nie jest kobietą i nie jest Szkotem to na pewno nosi spódniczki (~K*~SZ)=>S =0 bo Polak 0 1 =0 Doskonale widać tabelę implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: (K+SZ) =`1, ~(K+SZ)= ~K*~SZ =0 S=1, ~S=0 CND 1.9 Ogórki, mleko i alkohol Cytat z: http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/nowa-teoria-implikacji,5086.html#117375 Zdanie do analizy: Jeśli nie zjem ogórka i nie napiję się mleka i nie popiję wódką to na pewno się nie porzygam Analiza: A. Jeśli nie zjem ogórka i nie napiję się mleka i nie popiję wódką to na pewno się nie porzygam ~O*~M*~W=>~R =1 1 1 =1 czyli: Jeśli ~O=1 i ~M=1 i ~W=1 => ~R=1 … z powodu że zaszedł poprzednik, czyli: ~O*~M*~W=1 ! Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>. stąd: B. Jeśli nie zjem ogórka i nie napiję się mleka i nie popije wódką to na pewno się porzygam ~O*~M*~W=>R =0 1 0 =0 … a jeśli nie zajdzie poprzednik ? Prawo Kubusia: ~O*~M*~W=>~R = O+M+W ~>R - poprzednik zapisano na podstawie prawa de’Morgana Zauważmy, że to samo otrzymamy łatwiej przechodząc z równaniem A do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne. Mamy A: ~O*~M*~W=>~R stąd po przejściu do logiki przeciwnej: O+M+W ~>R czyli: C. Jeśli zjem ogórek lub napije się mleka lub napiję się wódki to mogę ~> się porzygać O+M+W ~>R =1 0 0 =1 czyli: Jeśli O=1 lub M=1 lub W=1 ~> R=1 LUB D. Jeśli zjem ogórek lub napije się mleka lub napiję się wódki to mogę ~~> się nie porzygać O+M+W ~~>~R =1 0 1 =1 czyli: Jeśli O=1 lub M=1 lub W=1 ~~>~R Doskonale widać definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~O*~M*~W=1, ~(~O*~M*~W)=O+M+W=0 ~R=1, R=0 Jak działają równania C i D ? wystąpiło: O=1 - zjadłem ogórek, nie rzygam (prawdziwe D) plus M=1 - popiłem mlekiem, nie rzygam (prawdziwe D) plus W=1 - popiłem wódką, nie rzygam (prawdziwe D) Oczywiście w dowolnym momencie powyższego łańcucha mogę rzygnąć, wtedy prawdziwe będzie zdanie C - koniec analizy ! Przykładowo jeśli po zjedzeniu ogórka: O=1 już rzygnąłem to prawdziwe jest zdanie C - dalsze picie mleka czy wódki jest już bez znaczenia, zdanie D nie może być prawdziwe bowiem już zaszło rzyganie ! Dlaczego zatem w zdaniu D jest tu jedynka ? Bo po nieskończonej ilości prób na pewno zdarzy się że prawdziwe będzie zdanie C albo D (rzucanie monetą). Oczywiście wykluczony jest przypadek, że dla dowolnego losowania prawdziwe będą zdania C i D jednocześnie, to fizycznie niemożliwe (algebra Boole'a leży wówczas w gruzach) EasternFriend napisał: To juz jest (prawie!) przykład stwierdzenia matematycznego. (Jednak indukcyjnego, bo mogą istnieć nieuwzględnione czynniki - cos nie zostało wzięte pod rachubę). Nie ma powodów do rzygania => sie nie porzygam. Żeby indukcja była pełna należy dodać, ze nic nie zjem oprócz tego. Nic nie będę jadł ani pil => żołądek będzie pusty => nie będzie czym rzygać. Dedukcja! To jest 100% matematyka ścisła, NTI, pod którą człowiek podlega a nie którą tworzy. Nie rozumiesz jak działa operator implikacji prostej =>. Przykład akceptowany przez wszystkich: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E=>K Czy jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć ! Analogicznie masz w naszym zdaniu: Jeśli nie zjem ogórka i nie napiję się mleka i nie popije wódką to na pewno się nie porzygam ~O*~M*~W=>~R czyli jeśli nie zjem tych trzech rzeczy wymienionych w poprzedniku jednocześnie to na pewno => się nie porzygam z powodu że nie zjadłem tych trzech rzeczy na raz, poza tym wszystko może się zdarzyć To wytłuszczone masz identyczne jak wyżej, to gwarancja matematyczna w operatorze =>. Możesz zatem zjeść wszystkie te rzeczy na raz i wcale nie musisz rzygać, co masz w analizie tego zdania wyżej. Możesz zjeść dowolne rzeczy poza wymienionymi w zdaniu i wcale nie musisz rzygać. Nie jest zatem prawdą że nie wolno ci nic jeść abyś miał gwarancję „nie rzygania”, możesz żreć co ci się podoba i możesz rzygać albo nie. Zdanie wypowiedziane daje ci tylko i wyłącznie gwarancję, że jak nie zjesz tych trzech rzeczy na raz, to na pewno nie będziesz rzygał z powodu że nie zjadłeś tych trzech rzeczy na raz. 2.0 Operatory AND i OR w naturalnej logice człowieka Cała algebra Kubusia to problem na poziomie 5-cio letniego dziecka, naturalnego eksperta NTI. Dzieciaki nie tylko znają w praktyce prawa Kubusia, ale są też ekspertami w logice dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a posługując się tymi pojęciami milion razy na dobę. Definicja iloczynu logicznego (logika dodatnia): Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden. Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1 Definicja równoważna (logika ujemna): Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru. Y=1*1*1*0*1 =0 Definicja sumy logicznej (logika ujemna): Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0 Definicja równoważna (logika dodania): Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden. Y=1+1+1+0+1 =1 W naturalnej logice człowieka wszystkie zmienne binarne sprowadzamy do jedynek, stąd w powyższych definicjach pojęcie logiki dodatniej i ujemnej. Zmienna binarna: Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1. Funkcja logiczna: Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+). Przykład: Y = A+(B*C) …. Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR: Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz). gdzie: Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia) ~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie) Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie: Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia Prawo przedszkolaka: W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne. Przykładowa funkcja logiczna: A. Y=A+(B*~C) Przejście do logiki przeciwnej: B. ~Y=~A*(~B+C) Oczywiście: C. Y=~(~Y) Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana: A+(B*~C) = ~A*(~B+C) Prawa de’Morgana: p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+) p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*) Prawo Prosiaczka: Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych. Przykład: Definicja implikacji prostej =>. Kod: p q  Y=p=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Najprostsze równanie uzyskamy z linii drugiej bowiem w wyniku mamy tu samotne zero. Z tabeli widzimy że: A. Y=0 <=> p=1 i q=0 Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera. Sposób I Sprowadzamy wszystkie zmienne w równaniu A do jedynki: B. Y=0 czyli ~Y=1 p=1 q=0 czyli ~q=1 Definicja iloczynu logicznego: Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden. Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy: ~Y = p*~q Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka: Y=~p+q czyli: p=>q = ~p+q Sposób II A. Y=0 <=> p=1 i q=0 Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej. Definicja sumy logicznej: Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru Na podstawie równania A mamy: C. Y=0 p=1 czyli ~p=0 q=0 Korzystając z A i C na podstawie definicji sumy logicznej mamy: Y=~p+q czyli: p=>q = ~p+q Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla drugiej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież. Inne sposoby opisu tabeli zero-jedynkowej: Powyższą tabelę jednoznacznie opisuje też równanie równoważne utworzone dla jedynek w wyniku: p=>q = ~p+q = (p*q)+(~p*~q)+(~p*q) Oczywiście możemy skorzystać z prawa de’Morgana otrzymując kolejne równania równoważne: p=>q = ~(p*~q) = ~[(~p+~q)*(p+q)*(p+~q)] W ostatnim przekształceniu skorzystaliśmy z prawa przedszkolaka. Oczywiście nie wszystkie tego typu równania będą zrozumiałe dla człowieka. W przypadku implikacji jedynym sensownym równaniem bez problemu zrozumiałym dla 5-cio latka jest: p=>q = ~(p*~q) Przykład: Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę G=>C = ~(G*~C) Zdanie równoważne matematycznie: Nie może się zdarzyć ~(…), że będziesz grzeczny (G) i nie dostaniesz czekolady (~C) ~(G*~C) 2.1 Operator OR w naturalnej logice człowieka Kubuś do Juniora (lat 5): A. Jutro pójdziemy do kina lub do teatru Y=K+T Junior: Tata a kiedy skłamiesz ? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów: ~Y=~K*~T czyli: D. Skłamię, jeśli jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru ~Y=~K*~T Koniec, to jest cała genialna matematyka 5-cio latka w obszarze operatora OR. Matematycznie: A. Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1) Y=K+T czyli: Y=1 <=> (K=1) lub (T=1) Dotrzymam słowa jeśli którakolwiek ze zmiennych K lub T zostanie ustawiona na 1 … tata, a kiedy skłamiesz ? D. Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1) ~Y=~K*~T czyli: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1 Skłamię jeśli obie zmienne ~K i ~T zostaną ustawione na 1 Punkt odniesienia, zdanie A A. Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1) Y=1 <=> K=1 lub T=1 czyli: Dotrzymam słowa gdy którakolwiek ze zmiennych K lub T zostanie ustawiona na 1. Rozpiszmy w naturalnej logice człowieka wszystkie możliwe przypadki: A. Dotrzymam słowa (Y=1) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1) Y=K*T czyli: Y=1 <=> K=1 i T=1 LUB B. Dotrzymam słowa (Y=1) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1) Y=K*~T czyli: Y=1 <=> K=1 i ~T=1 LUB C. Dotrzymam słowa (Y=1) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1) Y=~K*T czyli: Y=1 <=> ~K=1 i T=1 Zauważmy że na podstawie powyższego przypadek kiedy dotrzymam słowa można opisać równaniem algebry Boole’a: Y=K*T + K*~T + ~K*T czyli wzięte żywcem z powyższych zdań: Y=1 <=> (K=1)*(T=1) + (K=1)*(~T=1) + (~K=1)*(T=1) Jeśli dowolny z powyższych składników sumy logicznej zostanie ustawiony na 1 to dotrzymam słowa (Y=1) Zapiszmy zdania z naturalnej logiki człowieka w formie tabeli: Kod: Tabela A     K     T       Y=K+T A: (K=1)*(T=1)  = (Y=1) B: (K=1)*(~T=1) = (Y=1) C: (~K=1)*(T=1) = (Y=1) Zauważmy, że w całej tabeli mamy w wyniku 1 (prawda), zatem możemy pominąć te jedynki nic nie tracąc na jednoznaczności. Zyskujemy tu coś bezcennego, znaleźliśmy się w symbolicznej algebrze Boole’a, czyli odpowiedniku języka asemblera ze świata mikroprocesorów. Operujemy na zmiennych binarnych które są łatwe w obróbce matematycznej (np. przejście do logiki przeciwnej, prawa de’Morgana) i co najważniejsze, mamy 100% zgodność z naturalnym językiem mówionym. Kod: Tabela B     K  T =Y=K+T A:  K* T =Y   /Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T B:  K*~T =Y C: ~K* T =Y Zauważmy, że cześć zmiennych zakodowana jest w logice przeciwnej do zdania wypowiedzianego A (zmienne zanegowane w stosunku do A). Dzięki temu iż wszystkie pozycje w tabeli sprowadzone są do 1 (prawda) sensowne jest poniższe równanie algebry Boole’a. Y = K+T = K*T+K*~T+~K*T Znaczenie zmiennych w logice zgodnej ze zdaniem wypowiedzianym A i logice przeciwnej jest następujące. A. Logika zgodna ze zdaniem wypowiedzianym A To jest punkt odniesienia do którego odnoszą się zdania B i C. K=1 - pójdę do kina K=0 - nie pójdę do kina T=1 - pójdę do teatru T=0 - nie pójdę do teatru B. Logika przeciwna do zdania wypowiedzianego A ~K=1 - nie pójdę do kina ~K=0 - pójdę do kina ~T=1 - nie pójdę do teatru ~T=0 - pójdę do teatru Oczywiście matematycznie zachodzi: K#~K T #~T Aby wygenerować poprawną tabelę zero-jedynkową musimy ustawić punkt odniesienia na zdaniu wypowiedzianym A, to jest nasza baza do której odnosi się cała powyższa analiza. Zauważmy że: Jeśli ~T=1 (B) to T=0 (A) - czyli w miejscu gdzie w tabeli widnieje ~T musimy wpisać 0 Jeśli ~K=1 (C) to K=0 (A) - czyli w miejscu gdzie w tabeli widnieje ~K musimy wpisać 0 Sposób równoważny i zdecydowanie prostszy jest następujący. Dla zdania A (punkt odniesienia) mamy: K=1, ~K=0 T=1, ~T=0 Zera i jedynki w całej tabeli zapisujemy dokładnie według wzoru wyżej. Tabela symboliczna z podkładem zero-jedynkowym dla zdania A. A. Jutro pójdziemy do kina lub do teatru Y=K+T Kod: Tabela C     K  T =Y=K+T A:  K* T =Y   /Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T     1  1 =1 B:  K*~T =Y     1  0 =1 C: ~K* T =Y     0  1 =1 Oczywiście nie jest to tabela zero-jedynkowa operatora OR bo brakuje jednej linii. Na podstawie powyższego możemy przyjąć taką zasadę tworzenia tabel zero-jedynkowych z naturalnego języka mówionego:. Zasada Tygryska: 1. Ustalamy punkt odniesienia na zdaniu wypowiedzianym. 2. Jeśli w kolejnym zdaniu na dowolnej pozycji mamy tą samą logikę to zapisujemy 1, jeśli przeciwną to zapisujemy 0. Twierdzenie Tygryska: Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> oznaczają: 1 = prawda w stosunku do zdania wypowiedzianego, czyli zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym. 0 = fałsz w stosunku do zdania wypowiedzianego, czyli niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym. Punkt odniesienia, zdanie D D. Skłamię, jeśli jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru ~Y=~K*~T czyli: Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1) ~Y=~K*~T czyli: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1 Skłamię jeśli obie zmienne ~K i ~T zostaną ustawione na 1 Tabela zero-jedynkowa dla tego zdania jest banalna: Kod: Tabela D ~K*~T ~Y=~K*~T  1  1  1 Punkt odniesienia, zdanie A - operator logiczny Jak widzimy wyżej mózg człowieka traktuje zdania A i D jako dwa niezależne zdania. Zapiszmy analizy tych zdań jedna pod drugą. A. Jutro pójdziemy do kina lub do teatru Y=K+T Kod: Tabela C     K  T =Y=K+T A:  K* T =Y   /Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T     1  1 =1 B:  K*~T =Y     1  0 =1 C: ~K* T =Y     0  1 =1 … a kiedy skłamię ? D. Skłamię, jeśli jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru ~Y=~K*~T Kod: Tabela D D: ~K*~T ~Y=~K*~T     1  1  1 W tabeli C mamy odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y), natomiast w tabeli D mamy odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y). Zauważmy, że zmienne w zdaniu D są w przeciwnej logice niż zmienne w zdaniu A. Jeśli zakodujemy powyższe tabele w odniesieniu do zdania A to otrzymamy tabelę zero-jedynkową sumy logicznej. Powyższe tabele kodujemy w odniesieniu do zdania A w którym mamy takie zmienne bazowe: K=1, ~K=0 T=1, ~T=0 Y=1, ~Y=0 Jak widzimy w miejsce konkretnej zmiennej należy wstawić 1 albo 0 według powyższego kryterium. Definicja zero-jedynkowa sumy logicznej: Kod: Tabela C     K  T =Y=K+T A:  K* T =Y   /Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T     1  1 =1 B:  K*~T =Y     1  0 =1 C: ~K* T =Y     0  1 =1 Tabela D D: ~K ~T ~Y=~K*~T     0  0  0 Wniosek: Definicja sumy logicznej to złożenie operatora OR w logice dodatniej (Y) i operatora AND w logice ujemnej (~Y). Oczywisty związek między logiką dodatnią (Y) i ujemną (~Y): Y=~(~Y) stąd podstawiając A i D mamy: K+T = ~(~K*~T) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej Doskonale widać, że operator OR nie może istnieć bez operatora AND bowiem prawo de’Morgana zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej. Stąd zero-jedynkowa definicja sumy logicznej w postaci ogólnej: Kod: p q Y=p+q 1 1 =1   /Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q 1 0 =1 0 1 =1 0 0 =0   /~Y=~p*~q 2.2 Operator AND w naturalnej logice człowieka Postępujemy analogicznie jak wyżej. Kubuś do Juniora (lat 5). A Jutro pójdziemy do kina i do teatru Y=K*T Junior: Tata a kiedy skłamiesz ? Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów. ~Y=~K+~T B. Skłamię jeśli jutro nie pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru ~Y=~K+~T Koniec, to jest cała genialna matematyka 5-cio latka w obszarze operatorów AND. Matematycznie oznacza to. Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu A. A. Dotrzymam słowa (Y=1)) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1) Y=K*T czyli: (Y=1) <=> (K=1)*(T=1) Dotrzymam słowa gdy obie zmienne zostaną ustawione na 1 … tata, a kiedy skłamiesz ? B. Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1) ~Y=~K+~T czyli: (~Y=1) <=> (~K=1)+(~T=1) Skłamię, gdy którakolwiek ze zmiennych zostanie ustawiona na 1 Tabela prawdy dla zdania A zgodna z naturalnym językiem mówionym: Kod: A: (K=1)*(T=1) =(Y=1) Wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynki zatem możemy operować tylko na symbolach, poddających się łatwej obróbce matematycznej np. przejście do logiki przeciwnej. Kod: Tabela A K*T Y=K*T 1 1 =1 Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu B B. Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1) ~Y=~K+~T czyli: (~Y=1) <=> (~K=1)+(~T=1) Skłamię, gdy którakolwiek ze zmiennych zostanie ustawiona na 1 Rozpiszmy w naturalnej logice człowieka wszystkie możliwe przypadki: B. Skłamię (~Y=1) gdy nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1) ~Y= ~K*~T czyli: (~Y=1)<=> (~K=1)*(~T=1) LUB C. Skłamię (~Y=1) gdy nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1) ~Y=~K*T czyli: (~Y=1) <=> (~K=1)*(T=1) LUB D. Skłamię (~Y=1) gdy pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1) ~Y=K*~T czyli: (~Y=1) <=> (K=1)*(~T=1) Zauważmy że na podstawie powyższego przypadek kiedy skłamię można opisać równaniem algebry Boole’a: ~Y=~K*~T + ~K*T + K*~T czyli: ~Y=1 <=> (~K=1)*(~T=1) + (~K=1)*(T=1) + (K=1)*(~T=1) Jeśli dowolny z powyższych składników sumy logicznej zostanie ustawiony na 1 to skłamałem (~Y=1) Kod: Tabela B    ~K     ~T       ~Y=~K+~T B: (~K=1)*(~T=1)= (~Y=1) C: (~K=1)*(T=1) = (~Y=1) D: (K=1)*(~T=1) = (~Y=1) W powyższej tabeli mamy wszędzie 1 (prawdę), dzięki czemu możemy z nich zrezygnować i przejść na zmienne algebry Boole’a w czystej postaci tzn. żadna z nich nie jest zdeterminowana. Symboliczna tabela sumy logicznej: Kod: Tabela C    ~K ~T   ~Y=~K+~T B: ~K*~T = ~Y    /~Y = ~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T C: ~K* T = ~Y D:  K*~T = ~Y Jak zakodować powyższa tabelę w postaci zero-jedynkowej ? Zasada Tygryska: 1. Ustalamy punkt odniesienia na zdaniu wypowiedzianym. 2. Jeśli w kolejnym zdaniu na dowolnej pozycji mamy tą samą logikę to zapisujemy 1, jeśli przeciwną to zapisujemy 0. Wygenerujmy tabelę zero-jedynkową dla powyższej tabeli korzystając z zasady Tygryska. Kod: Tabela B    ~K ~T   ~Y=~K+~T B: ~K*~T = ~Y    /~Y = ~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T     1  1    1 C: ~K* T = ~Y     1  0    1 D:  K*~T = ~Y     0  1    1 Łatwo widać, że zasada Tygryska jest równoważna kodowaniu zmiennych w odniesieniu do zdania wypowiedzianego B czyli: ~K=1, K=0 ~Y=1, T=0 Twierdzenie Tygryska: Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> oznaczają: 1 = prawda w stosunku do zdania wypowiedzianego, czyli zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym. 0 = fałsz w stosunku do zdania wypowiedzianego, czyli niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym. … co doskonale widać w powyższej tabeli. Zauważmy teraz, że tabele A i D nie są definicjami operatorów logicznych bo nie opisują wszystkich czterech możliwych przypadków. Jak uzyskać definicję operatora AND ? Przepiszmy tabele A i B jedna pod drugą. A. Jutro pójdziemy do kina i do teatru Y=K*T Kod: Tabela A     K* T  Y=K*T A:  1  1 =1 B. Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T) ~Y=~K+~T Kod: Tabela B    ~K ~T   ~Y=~K+~T B: ~K ~T = ~Y    /~Y = ~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T     1  1    1 C: ~K  T = ~Y     1  0    1 D:  K ~T = ~Y     0  1    1 Zauważmy, że w tabeli A punktem odniesienia jest zdanie A, natomiast w tabeli B punktem odniesienia jest zdanie B. Poprawną tabelę zero-jedynkową dla operatora AND (zdanie A) możemy wygenerować trzema sposobami. 1. W nagłówku tabeli B wszystkie zmienne (K,T,Y) występują w logice przeciwnej do zdania A. Negujemy zatem wszystkie zera i jedynki w tabeli B. 2. Ustalamy punkt odniesienia na zdaniu A zapisując. Dla zdania A mamy: K=1, ~K=0 T=1, ~T=0 Y=1, ~Y=0 i kodujemy zmienne w zdaniach B,C,D według powyższego kryterium 3. Korzystamy z zasady Tygryska która jest równoważna do 2. Połączmy powyższe tabele w odniesieniu do zdania A według algorytmu 3. A. Jutro pójdziemy do kina i do teatru Y=K*T Kod: Tabela A … dotrzymam słowa     K* T  Y=K*T A:  1  1 =1 … a kiedy skłamię ? Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T) ~Y=~K+~T Tabela B    ~K ~T   ~Y=~K+~T B: ~K ~T = ~Y    /~Y = ~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T     0  0    0 C: ~K  T = ~Y     0  1    0 D:  K ~T = ~Y     1  0    0 Doskonale widać, że definicja iloczynu logicznego to złożenie iloczynu logicznego w logice dodatniej (Y=K*T) i sumy logicznej w logice ujemnej (~Y=~K+~T). Oczywisty związek między logiką dodatnią (Y) i ujemną (~Y): Y=~(~Y) stąd podstawiając A i B mamy: K*T = ~(~K+~T) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego Możemy tu stwierdzić, że operator iloczynu logicznego nie może istnieć bez operatora sumy logicznej, bowiem prawo de’Morgana zachodzi w obrębie tej samej definicji zero-jedynkowej. Stąd definicja zero-jedynkowa iloczynu logicznego w zapisie ogólnym: Kod: p q Y=p*q 1 1 =1   /Y= p*q 0 0 =0   /~Y= ~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q 0 1 =0 1 0 =0 Wniosek: W naturalnej logice człowiek korzysta wyłącznie z cząstkowych operatorów sumy logicznej i iloczynu logicznego zero-jedynkowo zawsze w logice dodatniej o definicjach w kolejnym punkcie. 2.3 Analogie między OR i AND a implikacją prostą => i odwrotną ~> W tym punkcie wyprzedzimy trochę czas bowiem na razie nie wiemy nic o implikacji, ale myślę, że mimo wszystko czytelnik będzie w stanie to zrozumieć bowiem całość to matematyka na poziomie I klasy LO. Definicja iloczynu logicznego (logika dodatnia): Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden. Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1 Definicja równoważna (logika ujemna): Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru. Y=1*1*1*0*1 =0 Definicja sumy logicznej (logika ujemna): Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0 Definicja równoważna (logika dodania): Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden. Y=1+1+1+0+1 =1 W naturalnej logice człowieka wszystkie zmienne binarne sprowadzamy do jedynek, stąd w powyższych definicjach pojęcie logiki dodatniej i ujemnej. Zmienna binarna: Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1. Funkcja logiczna: Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+). Przykład: Y = A+(B*C) …. Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR: Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz). gdzie: Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia) ~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie) Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie: Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia W naturalnej logice człowiek korzysta wyłącznie z cząstkowych operatorów sumy logicznej i iloczynu logicznego zero-jedynkowo zawsze w logice dodatniej o następujących definicjach. Cząstkowy operator sumy logicznej w logice dodatniej (Y): Kod: p q Y=p+q 1 1 =1 1 0 =1 0 1 =1 Co jest zgodne z definicja ogólną sumy logicznej OR: Suma logiczna zmiennych binarnych ma wartość 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1. Ten sam operator logice ujemnej (~Y), czyli negujemy zmienne i odwracamy wszystkie zera i jedynki. Kod: ~p ~q ~Y=~p+~q  0  0  0  0  1  0  1  0  0 Zauważmy, że powyższe tabele to dwa rozłączne światy matematyczne, oczywiście zachodzi tu równanie: Y#~(~Y) p+q # ~(~p+~q) Cząstkowy operator iloczynu logicznego w logice dodatniej (Y): Kod: p q Y=p*q 1 1 =1 Co jest zgodne z definicją ogólną iloczynu logicznego AND: Iloczyn logiczny zmiennych binarnych ma wartość 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne mają wartość 1. Ten sam operator logice ujemnej (~Y), czyli negujemy zmienne i odwracamy wszystkie zera i jedynki. Kod: ~p ~q ~Y=~p*~q  0  0  0 Tu również powyższe tabele to dwa rozłączne światy matematyczne, gdzie zachodzi: Y # ~(~Y) p*q # ~(~p*~q) Operatory OR I AND Definicja operatora OR OR - złożenie cząstkowego OR w logice dodatniej i cząstkowego AND w logice ujemnej Kod: Dotrzymam słowa (prawda): Y=p+q    p q Y=p+q A: 1 1 =1   /Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q B: 1 0 =1 C: 0 1 =1 Skłamię (fałsz): ~Y=~p*~q D: 0 0 =0   /~Y=~p*~q Oczywiście matematycznie zachodzi: Y (logika dodatnia) # ~Y (logika ujemna) Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej: Y=~(~Y) Stąd po podstawieniu A i D otrzymujemy prawo de’Morgana dla sumy logicznej: p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*) Definicja operatora AND AND - złożenie cząstkowego AND w logice dodatniej i cząstkowego OR w logice ujemnej Kod: Dotrzymam słowa (prawda): Y=p*q    p q Y=p*q A: 1 1 =1   /Y= p*q Skłamię (fałsz): ~Y=~p+~q B: 0 0 =0   /~Y= ~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q C: 0 1 =0 D: 1 0 =0 Oczywiście matematycznie zachodzi: Y(logika dodatnia) # ~Y (logika ujemna) Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej: Y = ~(~Y) Podstawiając A i B otrzymujemy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego: p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+) Oczywiście na mocy definicji operator OR to fundamentalnie co innego niż operator AND. P*q # p+q Z powyższego otrzymujemy równanie ogólne dla operatorów OR i AND: p*q = ~(~p+~q) # p+q = ~(~p*~q) Po obu stronach nierówności mamy dwa niezależne układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Po rozbiciu na logikę dodatnią i ujemną mamy: Kod:  Y=p*q   #  Y=p+q ~Y=~p+~q # ~Y=~p*~q Zauważmy, że związki między logikami (prawa de’Morgana): Y=~(~Y) zachodzą wyłącznie w pionach i nie zachodzą ani po przekątnych, ani w poziomach. Co więcej ! Z lewej strony mamy zero-jedynkową definicję operatora AND, natomiast z prawej strony mamy zero-jedynkową definicję operatora OR Kod: 11=1  Y=p*q    #  11=1  Y=p+q 00=0 ~Y=~p+~q  #  10=1 01=0           #  01=1 10=0           #  00=0 ~Y=~p*~q Wniosek: Z powyższego wynika, że operator AND nie może istnieć bez operatora OR i odwrotnie, bowiem prawa de’Morgana zachodzą w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej ! Doskonale widać, że jeśli zanegujemy wszystkie zmienne i odwrócimy zera i jedynki to lewy pion przejdzie w prawy i odwrotnie. Oznacza to że operator OR jest logiką ujemną w stosunku do AND albo odwrotnie, zależnie od punktu odniesienia. Dlaczego wraz z negacją zmiennych odwracamy zera i jedynki ? W technice bramek logicznych wciągnięcie negacji do nazwy sygnału powoduje odwrócenie zer i jedynek dochodzących do tego układu (pkt.6.0). Operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> Definicja implikacji prostej: p=>q Jeśli zajdzie p to musi => zajść q p musi być wystarczające dla q plus musi zachodzić wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Definicja implikacji odwrotnej: p~>q Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q p musi być konieczne dla q plus musi zachodzić wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Identyczne równanie ogólne jak w OR i AND mamy w implikacji na podstawie praw Kubusia. Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą => Logika dodatnia i ujemna dla operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~> Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (patrz prawa Kubusia). Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej. Oczywiście matematycznie na podstawie definicji zachodzi: p=>q # p~>q Stąd równanie ogólne implikacji: A: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q Po obu stronach nierówności mamy dwa niezależne układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Równanie ogólne w kwadracie logicznym implikacji: Kod:  p=>q  #  p~>q ~p~>~q # ~p=>~q W pionach mamy wyżej tożsamości matematyczne, prawa Kubusia. Między pionami ani w poziomie, ani po przekątnych nie zachodzą żadne prawa matematyczne (identycznie jak w AND i OR). W pionach mamy tu najzwyklejsze definicje zero-jedynkowe implikacji prostej => z lewej strony i implikacji odwrotnej ~> z prawej strony. Kod: pq p=>q        pq p~>q 11=1 p=>q   #  11=1 p~>q 10=0 p=>~q  #  10=1 p~~>~q 00=1 ~p~>~q #  00=1 ~p=>~q 01=1 ~p~~>q #  01=0 ~p=>q Wniosek: Z powyższego wynika, że operator implikacji prostej => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie bo prawa Kubusia zachodzą w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej ! Doskonale widać, że jeśli zanegujemy wszystkie zmienne i odwrócimy zera i jedynki to lewy pion przejdzie w prawy i odwrotnie. Zróbmy to dla lewej strony w powyższej tabeli. Kod: pq p=>q 11=1 p=>q   #  00=1 ~p=>~q 10=0 p=>~q  #  01=0 ~p=>q 00=1 ~p~>~q #  11=1  p~>q 01=1 ~p~~>q #  10=1  p~~>~q Oczywiście wiersze po prawej stronie możemy dowolnie przestawiać. W implikacji kolumny wynikowej nie ruszamy, wynika to z praw Kubusia które zachodzą wyłącznie w pionach powyższych tabel. Powyższe oznacza, że operator implikacji prostej => jest logiką ujemną w stosunku do implikacji odwrotnej ~> albo odwrotnie, zależnie od punktu odniesienia. Dlaczego wraz z negacją zmiennych odwracamy zera i jedynki ? W technice bramek logicznych wciągnięcie negacji do nazwy sygnału powoduje odwrócenie zer i jedynek dochodzących do tego układu (pkt.6.0). Powyższe równanie ogólne implikacji zapisane jest dla punktu odniesienia ustawionego zawsze na wypowiedzianym zdaniu, czyli po „Jeśli…” mamy zawsze poprzednik p, zaś po „to…” mamy zawsze następnik q. Jeśli zależy nam uwypukleniu faktu zamiany argumentów to na powyższe równanie można spojrzeć ze sztywnego punktu odniesienia ustawionego na zdaniu p=>q, wtedy przybierze ono postać: B: p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p Równie dobrze sztywny punkt odniesienia możemy ustawić na zdaniu p~>q, wtedy równanie przybierze postać: C: p~>q = ~p=>~q # q=>p = ~q~>~p Oczywiście równania A, B i C są matematycznie równoważne o czym można się przekonać podstawiając dowolną implikację prostą => prawdziwą, która po zamianie argumentów przechodzi w implikacje odwrotną ~> prawdziwą, ale matematycznie nie równoważną, na mocy powyższego równania. Przykład: Implikacja prosta: 1. Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno P=>CH Padanie deszczu wystarcza aby istniały chmury, zatem implikacja prosta prawdziwa 2. Implikacja odwrotna: Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać CH~>P Chmury są konieczne dla deszczu, zatem implikacja odwrotna prawdziwa A. Równanie ogólne implikacji dla punktu odniesienia ustawionego zawsze na zdaniu wypowiedzianym czyli po „Jeśli…” mamy zawsze poprzednik p zaś po „to…” mamy zawsze następnik q. Zauważmy, że ten punkt odniesienia jest zgodny z definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~> ! 1. Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno P=>CH p=P, q=CH 2. Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać CH~>P p=CH, q=P stąd: A: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q Nasz przykład: A: P=>CH = ~P~>~CH # CH~>P = ~CH=>~P B. Równanie ogólne implikacji dla sztywnego punktu odniesienia p=>q Mamy: 1. Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno P=>CH p=P q=CH stąd: B: p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p Nasz przykład: B: P=>CH = ~P~>~CH # CH~>P = ~CH=>~P C. Równanie ogólne implikacji dla sztywnego punktu odniesienia p~>q Mamy: 2. Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać CH~>P p=CH q=P C: p~>q = ~p=>~q # q=>p = ~q~>~p Nasz przykład: C: CH~>P = ~CH=>~P # P=>CH = ~P~>~CH Doskonale widać, że dla konkretnego przykładu równanie ogólne implikacji jest identyczne i niezależne od punktu odniesienia z którego na nie patrzymy. CND Jakiś matematyk ze 150 lat temu, kompletnie nie rozumiejąc kluczowego w implikacji punktu odniesienia błędnie postawił w równaniu B znak tożsamości: B: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p Fałszywe równanie ogólne implikacji wyżej to przyczyna wariatkowa w całej dzisiejszej logice, z powyższego powodu wewnętrznie sprzecznej, i matematycznie niejednoznacznej. Dowód: B: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p Powyższe równie zapisano przyjmując za punkt odniesienia zdanie B: p=>q. Dla naszego przykładu równanie to przybierze postać: B: P=>CH = ~P~>~CH = CH~>P = ~CH=>~P Oczywiście w poprawnej matematyce nie może być świętych krów, zatem równie dobrze możemy przyjąć za punkt odniesienia zdanie C: p~>q C: p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p Nasz przykład: C: CH~>P = ~CH=>~P = P=>CH = ~P~>~CH Na mocy definicji implikacji mamy: B: p=>q # C: p~>q Rozwijamy prawą i lewą stronę w oparciu o równania B i C: B: P=>CH = ~P~>~CH = CH~>P = ~CH=>~P # C: CH~>P = ~CH=>~P = P=>CH = ~P~>~CH W tożsamości równania możemy przestawiać, zamieńmy prawą stronę dookoła czerwonego znaku „=” B: P=>CH = ~P~>~CH = CH~>P = ~CH=>~P # P=>CH = ~P~>~CH = C: CH~>P = ~CH=>~P Doskonale widać, że po obu stronach nierówności mamy identyczne równania zatem: A # A algebra Boole’a leży w gruzach! Zauważmy, że powyższa nierówność to absolutny idiotyzm w dowolnej algebrze, w dowolnym rozumowaniu logicznym ! Wnioski: 1. Dowolna logika formalna, która nie respektuje równania ogólnego implikacji: A: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q jest wewnętrznie sprzeczna (bo A#A). CND 2. Jedyną znaną człowiekowi logiką pozbawioną wewnętrznej sprzeczności jest Nowa Teoria Implikacji. 3. Najbardziej spektakularny i bezdyskusyjny dowód fałszywości fundamentu dzisiejszej logiki jakoby implikacja odwrotna ~> była matematycznie zbędna na mocy tego równania: p=>q = q~>p pokazano w punkcie 7.4. W rzeczywistości mamy bezdyskusyjnie: p=>q # q~>p zatem implikacja odwrotna ~> jest w logice absolutnie niezbędna. Uznanie równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia to koniec wariatkowa w dzisiejszej „logice”, to koniec analizowania na serio matematycznych śmieci w rodzaju: A. Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze PR=>KS=1 p=>q Implikacja prawdziwa w dzisiejszej „logice” B. 2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy wszyscy murzyni są czarni 2+2=4 <=> WMC =1 p<=>q Autentyczna równoważność „prawdziwa” z matematyki.pl W NTI oba powyższe zdania są fałszywe bowiem w A poprzednik p nie jest warunkiem wystarczającym dla następnika q, natomiast w B między p i q muszą zachodzić warunki wystarczające w obie strony co oczywiście nie ma miejsca. 2.4 Spójniki „lub” i „albo” Definicja operatora OR: Kod: p q  Y=p+q 1 1 =1   /Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q (dotrzymam słowa bo Y) 1 0 =1 0 1 =1 0 0 =0   /~Y=~p*~q (skłamię bo ~Y) Definicja spójnika LUB to tylko i wyłącznie trzy pierwsze linie operatora OR: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q - dotrzymam słowa Ostatnia linia to świat z innej bajki, to operator AND w logice ujemnej będący odpowiedzią na pytanie „kiedy skłamię (~Y)”. Przy okazji widzimy banalny sposób tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej. Wszystkie zera sprowadzamy do jedynek w następujący sposób: p=0 to ~p=1 po czym wywalamy wszystkie jedynki otrzymując równanie algebry Boole’a. W poziomie stosujemy operator AND, natomiast w pionie OR Wynika z tego że równanie: Y=p*q+p*~q+~p*q należy czytać tak: Y=1 <=> p=1*q=1 lub p=1*~q=1lub ~p=1*q=1 Przykład: A. Jutro pójdę do kina lub do teatru Y=K+T czyli: Y=1 <=> K=1 lub T=1 Dotrzymam słowa (Y=1) gdy którakolwiek zmienna zostanie ustawiona na 1 Y=K*T+K*~T+~K*T - pierwsze trzy linie z powyższej tabeli … a kiedy skłamię ? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne. Mamy: Y=K+T stąd: ~Y=~K*~T czyli: ~Y=1 <=> ~K=1 * ~T=1 B. Skłamię (~Y) gdy obie zmienne zostaną ustawione na 1 ~Y = ~K*~T - ostatnia linia z powyższej tabeli Związek logiki dodatniej i ujemnej: Y=~(~Y) Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana: K+T = ~(~K*~T) Wynika z tego że prawo de’Morgana zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej. Operator OR to złożenie spójnika LUB (OR) w logice dodatniej i spójnika „i” (AND) w logice ujemnej. Wracając do tematu … W operatorze OR mamy tak: OR = p+q = p*q + p*~q + ~p*q ALBO = p ALBO q = p*~q + ~p*q Jak widzimy spójnik OR jest pojęciem szerszym i zawiera w sobie ALBO A. Jutro pójdę do kina lub do teatru Y=K+T B. Jutro pójdę do kina albo do teatru Y = K ALBO T Zdanie A zawiera w sobie zdanie B co widać ... oczywiście ignorujemy tu ALBO w stylu. Jutro punktualnie o 11.00 będę w kinie lub w teatrze superprecyzyjnie powinno być: Jutro punktualnie o 11.00 będę w kinie ALBO w teatrze ... bo równocześnie w kinie i teatrze nie możemy być Jak widzimy wyżej, spójnik ALBO to spójnik OR z eliminacją tych członów w definicji których zajście jest niemożliwe. Pani w przedszkolu: Co to za zwierzę, które ma cztery łapy ? Jaś: To może być pies lub koń lub hipopotam Y=P+K+H … a kiedy zdanie będzie fałszywe ? Przejście do logiki ujemnej. ~Y=~P*~K*~H czyli: Zwierzę może nie mieć czterech (~Y=1) łap jeśli nie będzie psem (~P=1) i nie będzie koniem (~K=1) i nie będzie hipopotamem (~H=1) Zuzia: To może być pies albo koń albo hipopotam Y=P albo K albo H .. a kiedy zdanie będzie fałszywe ? Tu Zuzia ma problem, bez tabeli zero-jedynkowej się nie obejdzie. Matematycznie oba spójniki są tu dobre, Zuzia jest tu superprecyzyjna a Jaś nie. Oczywiście nikt nie użyje tu spójnika „i” … a nawet jak użyje to matematycznie kodujemy tu LUB albo ALBO. Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej. Kod:        J Z P K H  Y Y 1 1 1  1 0 1 1 0  1 0 1 0 1  1 0 1 0 0  1 1 0 1 1  1 0 0 1 0  1 1 0 0 1  1 1 0 0 0  0 0 Jak widzimy Zuzia odpluskwia przypadki niemożliwe już na etapie wypowiedzianego zdania czyli jeśli dowolne dwie jedynki to wynik jest zerem bo niemożliwe jest aby zwierzę było jednocześnie np. psem i koniem. Jaś natomiast zupełnie się tym nie przejmuje i używa spójnika LUB który jest częścią operatora OR zostawiając szczegółowe odpluskwianie „na potem”, czyli jeśli ktoś zapyta „czy możliwe” jest aby zwierzę było psem i jednocześnie koniem odpowie: NIE ! Oczywiście logika działa poprawnie na obu tych przypadkach, choć w przypadku Jasia jest nieporównywalnie prostsza. Na mocy powyższego mamy … Definicje spójnika ALBO ALBO jest podzbiorem OR gdzie zerowane są przypadki niemożliwe już na etapie wypowiedzianego zdania, co widać w tabeli wyżej. Zobaczmy, że oba systemy działają doskonale na przykładzie implikacji prostej i odwrotnej. Implikacja prosta A. Jeśli zwierzę jest psem LUB słoniem to na pewno ma cztery łapy (P+S) => 4L Prawo Kubusia: (P+S) => 4L = ~(P+S) ~>~4L Czyli na podstawie prawa de’Morgana: (P+S) => 4L = (~P*~S)~>~4L B. Jeśli zwierzę jest psem ALBO słoniem to na pewno ma cztery łapy (P ALBO S) =>4L Prawo Kubusia: (P ALBO S) =>4L = ~(P ALBO S)~>~4L Zobaczmy w tabelach zero-jedynkowych że w obu systemach prawo Kubusia działa doskonale. Tabela A Kod: (a+b)=>q = (~a*~b)~>~q             1                       2 a b  q a+b a+b=>q ~a ~b  ~q ~a*~b ~a*~b~>~q 1 1  1  1   1      0  0   0   0     1    1 1  0  1   0      0  0   1   0     0 1 0  1  1   1      0  1   0   0     1 1 0  0  1   0      0  1   1   0     0 0 1  1  1   1      1  0   0   0     1 0 1  0  1   0      1  0   1   0     0 0 0  1  0   1      1  1   0   1     1      0 0  0  0   1      1  1   1   1     1 Równość kolumn 1 i 2 jest dowodem poprawności prawa Kubusia. Tabela B Kod: (a ALBO b)=>q = ~(a ALBO b)~>~q                 1                       2                a b  q aALBOb aALBOb=>q ~(aALBOb) ~q ~(aALBOb)~>~q 1 1  1   x=0    1         1        0    1    1 1  0   0      1         1        1    1 a b  q  a+b   (a+b)=>q ~(a+b)     ~q  ~(a+b)~>~q 1 0  1   1      1         0        0    1 1 0  0   1      0         0        1    0 0 1  1   1      1         0        0    1 0 1  0   1      0         0        1    0 0 0  1   0      1         1        0    1          0 0  0   0      1         1        1    1 W obu tabelach kolumny 1 i 2 są równe co dowodzi poprawności prawa Kubusia. Zauważmy, że różnica między tabelami 1 i 2 dotyczy tylko linii gdzie po stronie parametrów wejściowych (tu tylko p i q) są co najmniej dwie jedynki. Łatwo zauważyć, że w tabeli 2 w miejscu x=0 nastąpiła decyzja o fałszywości zdania na etapie wypowiedzianego zdania bo zwierzę nie może być jednocześnie psem i słoniem, co nie ma wpływu na prawo Kubusia. Przykład A A. Jeśli zwierzę jest psem lub słoniem to na pewno ma cztery łapy (P+S) => 4L =1 1 1 =1 Bycie psem lub słoniem wystarcza aby mieć cztery łapy, implikacja prosta prawdziwa. stąd: B. Jeśli zwierzę jest psem lub słoniem to na pewno nie ma czterech łap (P+S) => ~4L =0 1 0 =0 … a jeśli zwierzę nie jest psem lub słoniem ? Przechodzimy z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne: Mamy: (P+S) => 4L stąd: (~P*~S) ~> ~4L Zauważmy że mamy tu bezkonkurencyjne prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q ~p~>~q = ~(P+S) ~>~4L = (~P*~S)~>~4L - na podstawie prawa de'Morgana (P+S) => 4L = (~P*~S) ~> ~4L czyli: C. Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest słoniem to może nie mieć czterech łap (~P*~S) ~> ~4L =1 bo kura 0 0 =1 LUB: D. (~P*~S)~~>4L =1 bo kot 0 1 =1 Zauważmy, że mamy piękną tabelę implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P+S=1, ~(P+S)=0 4L=1, ~4L=1 Przykład B A1. Jeśli zwierzę jest psem albo słoniem to na pewno ma cztery łapy (P ALBO S) =>4L =1 1 1 =1 stąd: B1. Jeśli zwierzę jest psem albo słoniem to na pewno nie ma czterech łap (P ALBO S) =>~4L =0 1 0 =0 Prawo Kubusia: (P ALBO S) =>4L = ~(P ALBO S) ~> ~4L Kod: P S (P ALBO S) ~(P ALBO S) 1 1     0           1 1 0     1           0 0 1     1           0 0 0     0           1 Zauważmy że: ~(P ALBO S) = P*S + ~P*~S czyli: ~(P ALBO S)=1 <=> P*S=1 + ~P*~S=1 ale zdanie czerwone jest fałszywe bo nie ma zwierzaka które jest jednocześnie psem i słoniem, zatem ten człon możemy pominąć czyli: ~(P ALBO S) = ~P*~S Stąd dalsza analiza jest identyczna jak w przykładzie A. czyli: C. Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest słoniem to może nie mieć czterech łap (~P*~S) ~> ~4L =1 bo kura 0 0 =1 LUB: D. (~P*~S)~~>4L =1 bo kot 0 1 =1 Zauważmy, że mamy piękną tabelę implikacji prostej. Wniosek: Z powyższego wynika że bez znaczenia jest czy w analizie zdania używamy precyzyjnego ALBO czy też mniej precyzyjnego OR. W obu przypadkach logika działa doskonale i analiza tego zdania przy pomocy mało tu precyzyjnego OR dokonana wyżej jest również poprawna bo na szyi mamy mózg a nie komputer. Dla naszego mózgu oczywistym jest że zwierzę nie może być równocześnie psem i słoniem. Implementacja tego faktu w technice komputerowej to banał absolutny ! 3.0 Implikacja w naturalnej logice człowieka Analogia do operatorów AND i OR omówionych wyżej jest tu 100%. Definicja warunku wystarczającego Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego => w logice dodatniej: Kod: p q  Y=p=>q 1 1 =1 1 0 =0 Definicja operatorowa warunku wystarczającego w logice dodatniej: Kod: Warunek wystarczający, logika dodatnia p=>q =1  /q - logika dodatnia 1 1 =1 p=>~q=0 1 0 =0 p=>q Jeśli zajdzie p to musi => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q Definicja operatorowa warunku wystarczającego w logice ujemnej, czyli negujemy wszystkie zmienne oraz odwracamy zera i jedynki im odpowiadające. Kod: Warunek wystarczający, logika ujemna ~p=>~q =1  /~q - logika ujemne 0 0 =1 ~p=>q=0 0 1 =0 Powyższe tabele to dwa odrębne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne: p=>q # ~p=>~q Definicja warunku koniecznego Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego ~> w logice dodatniej: Kod: p q  Y=p~>q 1 1 =1 1 0 =1 Definicja operatorowa warunku koniecznego ~> w logice dodatniej: Kod: Warunek konieczny, logika dodatnia p~>q  =1  /q - logika dodatnia 1 1 =1 p~~>~q=1 1 0 =1 p~>q Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q Definicja operatorowa warunku koniecznego w logice ujemnej, czyli negujemy wszystkie zmienne oraz odwracamy zera i jedynki im odpowiadające. Kod: Warunek konieczny, logika ujemna ~p~>~q =1  /~q - logika ujemne 0 0 =1 ~p~~>q =1 0 1 =1 Powyższe tabele to dwa odrębne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne: p~>q # ~p~>~q Definicje: 1. Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej i koniecznego ~> w logice ujemnej 2. Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej i wystarczającego w logice ujemnej 3. Równoważność to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej i warunku wystarczającego w logice ujemnej Koniec ! To co wyżej to banalna logika na poziomie 5-cio letniego dziecka, naturalnego eksperta implikacji, matematycznie to poziom I klasy LO. Ciąg dalszy na kolejnej stronie … Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 0:58, 24 Lip 2010, w całości zmieniany 8 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 4:36, 01 Cze 2010    Temat postu: 3.1 Fundamentalne definicje implikacji Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej: Kod: p q  Y = p=>q 1 1 =1   /p=>q - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 0 =0 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q 0 0 =1   /~p~>~q - warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) 0 1 =1 Definicja słowna: p=>q Jeśli zajdzie p to musi => zajść q p musi być wystarczające dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q - praw zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~> Zauważmy, że prawo Kubusia działa w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~>. Gdzie: => - symbol dwuznaczny, może oznaczać: 1. p=>q - tylko warunek wystarczający, p jest wystarczające dla q, definiowany dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej, nie jest to zatem operator logiczny. 2. p=>q - operator logiczny implikacji prostej, będący złożeniem warunku wystarczającego => w logice dodatniej p=>q i warunku koniecznego ~> w logice ujemnej ~p~>~q, czyli musi być spełnione prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej: Kod: p q  Y = p~>q 1 1 =1   /p~>q - warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) 1 0 =1 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q 0 0 =1   /~p=>~q - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 1 =0 Definicja słowna: p~>q Jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być konieczne dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej na implikację prostą Zauważmy, że prawo Kubusia działa w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja odwrotna ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej =>. Gdzie: ~> - symbol dwuznaczny, może oznaczać: 1. p~>q - tylko warunek konieczny, p jest konieczne dla q, definiowany dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej (pkt.2.4), nie jest to operator logiczny 2. p~>q - operator logiczny implikacji odwrotnej, będący złożeniem warunku koniecznego ~> w logice dodatniej p~>q i warunku wystarczającego => w logice ujemnej ~p=>~q, czyli musi być spełnione prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi, zatem nie jest to implikacja odwrotna Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą => Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Logika dodatnia i ujemna dla operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>: Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (patrz prawa Kubusia). Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej. 3.2 Implikacja odwrotna w naturalnej logice człowieka Pewnego razu Kubuś, odpoczywając na polance w 100-milowym doznał olśnienia. Najłatwiej poznać algorytm działania mózgu człowieka w przedszkolu ! Przecież jeśli mózg człowieka podlega pod jakąkolwiek matematykę to musi ona działać wśród 5-cio letnich dzieci w najczystszej postaci. W tym momencie Kubuś aż zakrzyknął z radości i pędem pobiegł do najbliższego przedszkola. Kubuś w przedszkolu: Drogie dzieci, posłuchajcie co wam powiem. A. Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać CH~>P =1 Czy to zdanie jest prawdziwe czy fałszywe ? Prawdziwe, zgodnym chórem zakrzyknęły dzieci. B. Jeśli juro będzie pochmurno to może nie padać CH~~>~P =1 Też prawdziwe ! Kubuś: … a czy chmury są konieczne aby jutro padało ? Jaś (lat 5) Tak Kubusiu, chmury są konieczne aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno nie będzie padać. CH~>P = ~CH=>~P Skąd Jaś zna prawo Kubusia ! C. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać ~CH=>~P =1 Prawda ! Tu też dzieci nie miały wątpliwości. D. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać ~ĆH=>P =0 Fałsz, nikt nie miał wątpliwości. Wspaniale, pomyślał Kubuś, trzeba wracać do domu i to wszystko rozszyfrować. Jeśli istnieje matematyka pod która człowiek podlega to musi być ona w 100% zgodna z naturalnym językiem człowieka. To bardzo dobry trop, pomyślał Kubuś. Credo NTI Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>). Prawo Kubusia: CH~>P = ~CH=>~P ogólnie: p~>q = ~p=>~q czyli: Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wymusza zajście ~q Mamy wyżej tożsamość matematyczną, zatem nie ma znaczenia które zdanie wypowiemy jako pierwsze. Z lewą stroną związane są zdania A i B, natomiast z prawą zdania C i D. Wniosek: Prawą i lewą stronę tożsamości Kubusia można traktować jako dwa niezależne zdania. Zajmijmy się zatem lewa stroną. A. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może padać (P=1) CH~>P =1 1 1 =1 Chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu, zatem warunek konieczny spełniony B. Jeśli juro będzie pochmurno (CH=1) to może nie padać (~P=1) CH~~>~P =1 1 0 =1 Zapiszmy te zdania zgodnie z naturalną logiką człowieka. Kod: A: (CH=1) ~> ( P=1) =1 B: (CH=1) ~~>(~P=1) =1 Jak widać wszystkie pozycje mamy sprowadzone do 1 (prawda), zatem jedynki możemy pominąć i operować na zmiennych. Kod: A: CH ~> P  =1 B: CH ~~>~P =1 Jak to zakodować zero-jedynkowo ? Zauważmy że z lewej strony nie mamy żadnych problemów bo w obu liniach mamy identyczną zmienną CH o znaczeniu: A,B: CH=1 - jutro będzie pochmurno CH=0 - jutro nie będzie pochmurno Natomiast z prawej strony mamy przeciwne logiki: A. P=1 - jutro będzie padać (logika zgodna ze zdaniem wypowiedzianym A) P=0 - jutro nie będzie padać B. ~P=1 - jutro nie będzie padać (logika przeciwna do zdania wypowiedzianego A) ~P=0 - jutro będzie padać Oczywiście matematycznie zachodzi: P# ~P Jak sobie z tym poradzić ? Zdanie wypowiedziane A wchodzi w skład prawa Kubusia, to punkt odniesienia dla kodowania pozostałych zdań. Tu mamy zaledwie jedno zdanie B i problem ze zmienną ~P. Sprowadzenie zmiennej ~P do zgodności ze zdaniem A: Jeśli ~P=1 (B) to P=0 (A) Stąd tabela zero-jedynkowa: Kod: Tabela A A: CH ~> P  =1 A: 1 1 =1 B: CH ~~>~P =1 B: 1 0 =1 Wniosek: Aby utworzyć tabelę zero-jedynkową w odniesieniu do zdania bazowego (1 1 =1) kodujemy wszystkie pozycje zgodnie z tym zdaniem czyli: CH=1, ~CH=0 P=1, ~P=0 To samo co wyżej w sposób uproszczony. Zasada Tygryska: 1. Ustalamy punkt odniesienia na zdaniu występującym w prawie Kubusia (1 1 =1). 2. Jeśli w kolejnym zdaniu (tu mamy tylko jedno zdanie B) mamy tą samą logikę to zapisujemy 1, jeśli przeciwną to zapisujemy 0. Twierdzenie Tygryska: Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> oznaczają: 1 = prawda w stosunku do zdania wypowiedzianego, czyli zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym. 0 = fałsz w stosunku do zdania wypowiedzianego, czyli niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym. Zajmijmy się teraz prawą stroną prawa Kubusia. CH~>P = ~CH=>~P Oczywiście z powodu tożsamości prawą stronę możemy potraktować jako niezależne zdanie wypowiedziane. C. Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na pewno nie będzie padać (~P=1) ~CH=>~P =1 1 1 =1 Brak chmur jest warunkiem wystarczającym dla nie padania, warunek wystarczający spełniony D. Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na pewno będzie padać (P=1) ~ĆH=>P =0 1 0 =0 Zapiszmy tabelę operatorową zgodną z naturalną logiką człowieka jak wyżej: Kod: C: (~CH=1) => (~P=1) =1 D: (~CH=1) =>  (P=1) =0 To samo co wyżej na zmiennych binarnych: Kod: C: ~CH => ~P =1 D: ~CH =>  P =0 Punktem odniesienia jest tu zdanie C, z lewej strony mamy zmienną w tej samej logice: ~CH=1 - jutro nie będzie pochmurno ~CH=0 - jutro będzie pochmurno Z prawej strony mamy zmienne w przeciwnych logikach: C. ~P=1 - jutro nie będzie padać ~P=0 - jutro będzie padać D. P=1 - jutro będzie padać P=0 - jutro nie będzie padać Oczywiście matematycznie zachodzi: ~P # P Sprowadzenie zmiennej P ze zdania D do logiki zgodnej ze zdaniem C: Jeśli P=1 (D) to ~P=0 (C) - jutro będzie padać Stąd: Tabelę zero-jedynkową zgodną z zasadą Tygryska mamy tu taką: Kod: Tabela B C: ~CH => ~P =1 C:  1  1  =1 D: ~CH =>  P =0 D:  1  0  =0 Hmm, cicho jęknął Tygrysek. … ale gdzie tu jest tabela zero-jedynkowa jakiejkolwiek implikacji ? Kubuś: Spokojnie Tygrysku, połączmy tabele A i B razem. Kod: Tabela A Jeśli będzie pochmurno to może padać A: CH ~> P  =1 A: 1 1 =1 B: CH ~~>~P =1 B: 1 0 =1 … a jeśli nie będzie pochmurno ? Prawo Kubusia: CH~>P = ~CH=>~P Kod: Tabela B Jeśli nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać C: ~CH => ~P =1 C:  1  1  =1 D: ~CH =>  P =0 D:  1  0  =0 Doskonale widać, że aby obserwować otaczającą nas rzeczywistość ze stałego punktu odniesienia musimy doprowadzić do zgodności logik w odniesieniu do zdania A (implikacja odwrotna ~>), albo w odniesieniu do zdania C (Implikacja prosta =>). Przyjmijmy za punkt odniesienia zdanie A czyli: CH=1, ~CH=0 P=1, ~P=0 Stąd połączone tabele A i B przybiorą postać: Kod: Tabela A Jeśli będzie pochmurno to może padać A: CH ~> P  =1 A: 1 1 =1 B: CH ~~>~P =1 B: 1 0 =1 … a jeśli nie będzie pochmurno ? Prawo Kubusia: CH~>P = ~CH=>~P Tabela B Jeśli nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać C: ~CH => ~P =1 C:  0  0  =1 D: ~CH =>  P =0 D:  0  1  =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej ~> dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: CH=1, ~CH=0 P=1, ~P=0 Huurrra, jesteśmy w domu Tygrysku, mamy piękną tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej ~> dla zdania wypowiedzianego A. A. Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać CH~>P Oczywiście tożsamość matematyczna to tożsamość, równie dobrze możemy ustawić punkt odniesienia na zdaniu C. Przepiszmy tabele A i B w kolejności odwrotnej: Kod: Tabela B Jeśli nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać C: ~CH => ~P =1 C:  1  1  =1 D: ~CH =>  P =0 D:  1  0  =0 … a jeśli będzie pochmurno ? Prawo Kubusia: ~CH=>~P = CH~>P Kod: Tabela A Jeśli będzie pochmurno to może padać A: CH ~> P  =1 A: 1 1 =1 B: CH ~~>~P =1 B: 1 0 =1 Zakodujmy powyższe zdania zgodnie z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu C czyli: ~CH=1, CH=0 ~P=1, P=0 stąd dla scalonej tabeli otrzymujemy: Kod: Tabela B Jeśli nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać C: ~CH => ~P =1 C:  1  1  =1 D: ~CH =>  P =0 D:  1  0  =0 … a jeśli będzie pochmurno ? Prawo Kubusia: ~CH=>~P = CH~>P Tabela A Jeśli będzie pochmurno to może padać A: CH ~> P  =1 A: 0 0 =1 B: CH ~~>~P =1 B: 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~CH=1, CH=0 ~P=1, P=0 Podsumowanie Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A mamy taką definicję operatorową. Kod: A: CH~>  P =1 B: CH~~>~P =1 C: ~CH=>~P =1 D: ~CH=> P =0 Tabelę zero jedynkową tworzymy w odniesieniu do zdania A: CH~>P czyli: CH=1, ĆH=0 P=1, ~P=0 stąd tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej: Kod: A: 1 1 =1 B: 1 0 =1 C: 0 0 =1 D: 0 1 =0 Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C mamy taką definicję operatorową: Kod: C: ~CH=>~P =1 D: ~CH=> P =0 A: CH~>  P =1 B: CH~~>~P =1 Tabelę zero jedynkowa tworzymy w odniesieniu do zdania C: ~CH=>~P czyli: ~CH=1, CH=0 ~P=1, P=0 stąd tabela zero-jedynkowa implikacji prostej: Kod: C: 1 1 =1 D: 1 0 =0 A: 0 0 =1 B: 0 1 =1 Powyższy sposób tworzenia tabel zero-jedynkowych, zgodny z zasadą Tygryska, jest prosty i naturalny. Wnioski: 1. W naturalnym języku mówionym człowiek wypowiada wyłącznie warunki wystarczające lub konieczne definiowane dwoma liniami zero-jedynkowymi. Wynika z tego że w naturalnym języku mówionym człowiek nigdy nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a ! 2. Naturalna logika człowieka generuje tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych, zarówno w operatorach AND i OR jak i w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~>, nigdy odwrotnie tzn. człowiek na pewno nie dopasowuje tabel zero jedynkowych do dowolnych śmieci w otaczającym nas świecie. W implikacji kluczowe pojęcia dla generowania tabel zero-jedynkowych to warunki wystarczający => i konieczny ~>. 3.3 Implikacja prosta w naturalnej logice człowieka Druga wizyta Kubusia w przedszkolu. Kubuś: Drogie dzieci, witam was ponownie bo znowu mam wątpliwości z tymi zdaniami prawdziwymi i fałszywymi. Pomożecie ? … pomożemy ! A. Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno P=>CH =1 Prawda czy fałsz ? Prawda, zgodnym chórem odpowiedziały dzieci B. Jeśli jutro będzie padać to na pewno nie będzie pochmurno P=>~CH=0 Fałsz, tu okrzyk był wyjątkowo głośny. … a jeśli nie będzie padać ? Prawo Kubusia: P=>CH = ~P~>~CH stąd: C. Jeśli jutro nie będzie padać to może nie być pochmurno ~P~>~CH=1 Jaś: Prawda, bo może świecić słoneczko LUB D. Jeśli jutro nie będzie padać to może być pochmurno ~P~~>CH Zuzia: Prawda, bo chmury mogą być ale nie musi padać Analiza matematyczna: A. Jeśli jutro będzie padać (P=1) to na pewno będzie pochmurno (CH=1) P=>CH =1 1 1 =1 Padanie deszczu wystarcza aby były chmury, implikacja prosta prawdziwa B. Jeśli jutro będzie padać (P=1) to na pewno nie będzie pochmurno (~CH=0) P=>~CH=0 1 0 =0 … a jeśli jutro nie będzie padać ? Prawo Kubusia: P=>CH = ~P~>~CH czyli: C. Jeśli jutro nie będzie padać (~P=1) to może nie być pochmurno (~CH=1) ~P~>~CH=1 0 0 =1 LUB D. Jeśli jutro nie będzie padać (~P=1) to może być pochmurno (CH=1) ~P~~>CH=1 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej => dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P=1, ~P=0 CH=1, ~CH=0 Zauważmy coś ciekawego. Prawo Kubusia: P=>CH = ~P~>~CH Z lewej strony mamy implikację prostą prawdziwą w logice dodatniej (bo CH), natomiast z prawej implikację odwrotną prawdziwą w logice ujemnej (bo ~CH). To jest tożsamość matematyczna, zatem jeśli lewa strona jest prawdziwa to prawa strona również musi być prawdziwa. Zdanie D nie jest implikacją odwrotna prawdziwą ~P~~>CH, zatem warunek konieczny tu nie zachodzi. Dowód: Załóżmy, że zdanie D jest implikacja odwrotną prawdziwą i zastosujmy prawo Kubusia: D: ~P~>CH = B: P=>~CH =0 Prawa strona tożsamości jest fałszem, zatem lewa strona również jest fałszem, czyli zdanie D nie może być implikacja odwrotną prawdziwą. CND Prawdziwość zdania D określa wzór: (~P~>CH) + (~P~~>CH) = 0 +1 =1 Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi. Zapiszmy, rozmowę z przedszkola w wersji oryginalnej: Kod: A: (P=1) => (CH=1) = 1 B: (P=1) => (~CH=1)= 0 C: (~P=1)~> (~CH=1)= 1 D: (~P=1)~~>(CH=1)  =1 Wszystkie pozycje mamy sprowadzone do 1 (prawdy) zatem możemy pominąć jedynki otrzymując tabelę zmiennych binarnych: Kod: Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno A: P=>CH  =1 B: P=>~CH =0 … a jeśli nie będzie padać ? Prawo Kubusia: P=>CH = ~P~>~CH Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno C:~P~>~CH =1 D:~P~~>CH =1 Zero-jedynkowo powyższą tabelę możemy zakodować w odniesieniu do zdania A albo C. Tabela zero-jedynkowa dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu A czyli: P=1, ~P=1 CH=1, ~CH=0 stąd: Kod: Tabela A Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno A: P=>CH  =1    1 1 =1 B: P=>~CH =0    1 0 =0 … a jeśli nie będzie padać ? Prawo Kubusia: P=>CH = ~P~>~CH Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno C:~P~>~CH =1    0 0 =1 D:~P~~>CH =1    0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A czyli: P=1, ~P=1 CH=1, ~CH=0 Ostatnia możliwość kodowania to ustawienie punktu odniesienia na zdaniu C czyli: ~P=1, P=0 ~CH=1, CH=0 stąd po zamianie dwóch ostatnich linii z dwoma pierwszymi otrzymujemy: Kod: Tabela B Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno C:~P~>~CH =1    1 1 =1 D:~P~~>CH =1    1 0 =1 … a jeśli będzie padać ? Prawo Kubusia: ~P~>~CH = P=>CH Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno A: P=>CH  =1    0 0 =1 B: P=>~CH =0    0 1 =0   Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym C czyli: ~P=1, P=0 ~CH=1, CH=0 Łatwo widzieć, że w zapisie słownym zdania z tabeli A będą identyczne z tabelą B z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, bowiem tylko je przestawiliśmy, nie ingerując w treść. Dokładnie dlatego zachodzi tożsamość matematyczna, prawo Kubusia, z czego wynika że język człowieka podlega pod matematyką ścisłą, algebrę Kubusia. 4.0 Definicje Fundamentem NTI są warunki wystarczające i konieczne mogące występować w logice dodatniej albo ujemnej. Operatory logiczne implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz równoważności <=> to złożenie odpowiednich warunków wystarczających => i koniecznych ~>, zawsze jeden w logice dodatniej a drugi w logice ujemnej. W naturalnym języku mówionym wypowiadając zdanie „Jeśli…to…” człowiek nie wypowiada ani implikacji prostej p=>q, ani implikacji odwrotnej p~>q. Jeśli zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją (wcale nie musi być !) to zawsze wypowiadamy warunki wystarczające => albo konieczne ~>. Warunki wystarczające i konieczne definiowane są zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej co jest twardym dowodem, że w implikacji oraz równoważności człowiek nigdy nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a ! Warunki te są związane w obrębie jednej i tej samej definicji prawami Kubusia. p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą => Logika dodatnia i ujemna dla operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>: Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (patrz prawa Kubusia). Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej. Powyższe prawa to tożsamości matematyczne zachodzące w obrębie jednej i tej samej definicji zero jedynkowej implikacji prostej p=>q albo odwrotnej p~>q, zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie. Operatory logiczne implikacji prostej =>, implikacji odwrotnej ~> oraz równoważności <=> to złożenie odpowiednich warunków wystarczających i koniecznych. 4.1 Dziewicze definicje operatorów logicznych Dziewicze definicje operatorów logicznych to definicje zero-jedynkowe znane człowiekowi od około 200 lat. Niestety, interpretacja tych tabel, szczególnie w zakresie implikacji jest katastrofalna. Fundamentalny błąd to uznanie operatora implikacji odwrotnej ~> za matematycznie zbędny. Kluczowe operatory logiczne w zakresie komunikacji człowieka z człowiekiem to implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~>. Poniższe definicje zero-jedynkowe zostały wzbogacone o komentarze z NTI (po znaku „/”) z którymi za moment się zapoznamy. Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej: Kod: p q  Y = p=>q 1 1 =1   /p=>q - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 0 =0 0 0 =1   /~p~>~q - warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) 0 1 =1 Definicja słowna: p=>q Jeśli zajdzie p to musi => zajść q p musi być wystarczające dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej: Kod: p q  Y = p~>q 1 1 =1   /p~>q - warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) 1 0 =1 0 0 =1   /~p=>~q - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 1 =0 Definicja słowna: p~>q Jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być konieczne dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Definicja zero-jedynkowa równoważności: Kod: p q  Y = p<=>q 1 1 =1   /p=>q - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 0 =1 0 0 =1   /~p=>~q - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 1 =0 Definicja słowna: p<=>q p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q Definicja operatorowa równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Z prawej strony mamy do czynienia tylko i wyłącznie z warunkami wystarczającymi co widać w definicji zero-jedynkowej. 4.2 Prawa Kubusia Prawo Kubusia dla operatora implikacji prostej =>: Kod: p q  p=>q ~p ~q ~p~>~q 1 1 =1     0  0 =1 1 0 =0     0  1 =0 0 0 =1     1  1 =1 0 1 =1     1  0 =1 Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~> Prawo Kubusia dla operatora implikacji odwrotnej ~>: Kod: p q  p~>q ~p ~q ~p=>~q 1 1 =1     0  0 =1 1 0 =1     0  1 =1 0 0 =1     1  1 =1 0 1 =0     1  0 =0 Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą => Zauważmy, że prawa Kubusia zostały wyprowadzone bez żadnych warunków typu wystarczający/konieczny. Obowiązują więc w całej algebrze Boole’a, bez względu na interpretację szczegółową tabel zero-jedynkowych. Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => równoważny na operator ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na równoważny operator => 4.3 Zero-jedynkowe definicje warunków wystarczających i koniecznych Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego: Kod: Tabela A  p  q  p=>q  1  1  =1  1  0  =0 Z tabeli widzimy że: p=>q Jeśli zajdzie p=1 to musi zajść q=1 1 1 =1 czyli p musi być wystarczające dla q … bo przypadek p=1 i q=0 nie ma prawa wystąpić. 1 0 =0 Wynika z tego że p musi być wystarczające dla q, bo jeśli p byłoby konieczne dla q to w drugiej linii byłaby jedynka jak w tabeli B niżej. CND Przykład: A. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy P=>4L =1 bo pies, gwarancja matematyczna 1 1 =1 Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy. Czy może zaistnieć przypadek że zwierzę jest psem P=1 i ma cztery łapy 4L=1 ? Odpowiedź: TAK bo pies, stąd w wyniku 1 Twarda prawda, gwarancja matematyczna ! Gwarancja: Wszystkie psy mają cztery łapy B. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap P=>~4L =0 1 0 =0 Czy może zaistnieć przypadek że zwierzę jest psem P=1 i nie ma czterech łap ~4L=1 ? Odpowiedź: NIE, stąd w wyniku 0 Twardy fałsz wynikający z twardej prawdy wyżej. Dla nieskończonej ilości losowań dowolnych zwierząt pełne będzie pudełko A (wszystkie ziemskie psy) i puste pudełko B, dlatego zajście p jest wystarczające dla q. Dla każdego wylosowanego psa mamy gwarancję że ma on 4 łapy Pies jest warunkiem wystarczającym dla 4 łap 1 1 =1 - twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków, dlatego niżej twardy fałsz. 1 0 =0 - twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego Kod: Tabela B  p  q  p~>q  1  1  =1  1  0  =1 Z tabeli widzimy że: p~>q Jeśli zajdzie p=1 to może zajść q=1 bo w wyniku jest jedynka p~>q =1 1 1 =1 LUB Jeśli zajdzie p=1 to może zajść q=0 bo w wyniku jest również jedynka p~~>~q =1 1 0 =1 z czego wynika że: p~>q p musi być konieczne dla q bo jeśli p byłoby wystarczające dla q to w drugiej linii byłoby ZERO jak w tabeli A wyżej. CND Przykład: A. Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem 4L~>P =1 1 1 =1 Cztery łapy są warunkiem koniecznym aby być psem. Czy może zaistnieć przypadek że zwierzę ma cztery łapy 4L=1 i jest psem P=1 ? Odpowiedź: TAK bo pies, miękka prawda, może zajść ale nie musi Nie mamy żadnej gwarancji że wylosujemy psa. LUB B. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem 4L~~>~P =1 1 0 =1 Czy może zaistnieć przypadek że zwierzę ma cztery łapy 4L=1 i nie jest psem ~P=1 ? Odpowiedź: Tak bo koń, miękka prawda, może zajść ale nie musi Podobnie, nie mamy żadnej gwarancji że wylosujemy takie zwierzę, bo możemy wylosować psa. Dla dowolnego losowania prawdziwe może być zdanie A albo B (rzucanie monetą), czyli jeśli A=1 (prawda) to B=0 (fałsz) i odwrotnie. Dla nieskończonej ilości losowań pudełka A i B będą pełne stąd w definicji implikacji mamy tu w wyniku dwie jedynki. 1 1 =1 - miękka prawda 1 0 =1 - miękka prawda Wniosek: Powyższe definicje to dowód, że w implikacji człowiek nigdy nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a ! 4.4 Operatorowa i symboliczna definicja warunku koniecznego Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego Kod: Tabela B  p  q  p~>q  1  1  =1  1  0  =1 Symboliczna definicja warunku koniecznego Przyjmujemy logikę dodatnią: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod: Tabela B  p  q   Y=p~>q  p* q  =1  /p~>q  p*~q  =1  /p~~>~q Dlaczego sprowadziliśmy wszystkie pozycje do jedynek ? Definicja iloczynu logicznego: Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden. Dzięki powyższemu będziemy mogli rozstrzygać czy zdanie „Jeśli…to..” jest prawdziwe przy pomocy najzwyklejszej bramki AND (operatora logicznego), czyli w sposób absolutnie identyczny jak to robi mózg każdego 5-cio latka. Z tabeli widzimy że: A. Jeśli zajdzie p (p=1) to może zajść q (q=1) bo w wyniku jest jedynka p~>q =1 p*q =1 1 1 =1 LUB B. Jeśli zajdzie p (p=1) to może zajść ~q (~q=1) bo w wyniku jest również jedynka p~~>~q =1 p*~q=1 1 0 =1 jeśli ~q=1 to q=0 Stąd wyżej 0 bo zero-jedynkowo kodujemy z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu wypowiedzianym A (musi być zgodność nazw). z czego wynika że: p~>q p musi być konieczne dla q bo jeśli p byłoby wystarczające dla q to w drugiej linii byłoby ZERO. CND Zauważmy, że w kodowaniu symbolicznym wszystkie pozycje sprowadzamy do jedynek dzięki czemu mamy rozstrzygnięcie czy dany warunek zachodzi przy pomocy prymitywnej bramki AND. Y=1 <=> p=1 AND q=1 Y=1 <=> p=1 AND ~q=1 Przykład: Jeśli zwierze ma skrzydła (S=1) to może być psem (P=1) S~>P =0 S*P =0 1 1 =0 Skrzydła nie są warunkiem koniecznym ~> aby być psem, zatem warunek konieczny fałszywy S*P = 0 Nie istnieje zwierzę które ma skrzydła i jest psem, stąd zero w wyniku. Kodowanie symboliczne z operatorem AND(*) jest w 50% zgodne z naturalną logiką człowieka, aby uzyskać 100% zgodność musimy wykonać ostatni krok, który widać wyżej jak na dłoni. Operatorowa definicja warunku koniecznego: Kod: Tabela B  p  q   Y=p~>q  p~>  q =1  1 1 =1  p~~>~q =1  1 0 =1 Widać że: Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q bo przypadek: Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q też może wystąpić Z powyższego wynika że p musi być warunkiem koniecznym dla q, bowiem gdyby p było warunkiem wystarczającym dla q to w drugiej linii byłoby zero. Wniosek: W NTI to analiza zdania „Jeśli...to..” generuje wynikowe zera i jedynki Przykład: A. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem 4L~>P =1 bo pies 1 1 =1 Bycie psem jest warunkiem koniecznym aby mieć cztery łapy, zatem warunek konieczny spełniony. LUB B. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem 4L~~>~P =1 1 0 =1 gdzie: ~> - spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalne „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi Doskonale widać tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego dla kodowania zgodneo ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: 4L=1, ~4L=0 P=1, ~P=0 Proste rozumowanie: Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q Stąd w sposób naturalny odkryliśmy prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Kontynuujmy zatem analizę powyższego przykładu. … a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ? Prawo Kubusia: 4L~>P = ~4L=>~P czyli: C. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem ~4L=>~P =1 - twarda jedynka 0 0 =1 Gwarancja: zwierzęta które nie mają czterech łap na pewno nie są psami stąd na mocy definicji warunku wystarczającego: D. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem ~4L=>P =0 0 1 =0 Zdania C i D to warunek wystarczający w logice ujemnej (zanegowane P w zdaniu C). Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: 4L=1, ~4L=0 P=1, ~P=0 4.5 Operatorowa definicja warunku wystarczającego Jeśli mówimy o implikacji to wyrzucamy operatory AND i OR do kosza, bo to są operatory nie z tego świata. Definicja symboliczna z operatorem AND będzie tu analogiczna jak w warunku koniecznym. Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego Kod: Tabela B  p  q  p=>q  1  1  =1  1  0  =0 Symboliczna definicja warunku wystarczającego Przyjmujemy logikę dodatnią: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod: Tabela B  p  q   Y=p=>q  p* q  =1  /p=>q  p*~q  =0  /p=>~q Dlaczego sprowadziliśmy wszystkie pozycje do jedynek ? Definicja iloczynu logicznego: Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden. Dzięki powyższemu będziemy mogli rozstrzygać czy zdanie „Jeśli…to..” jest prawdziwe przy pomocy najzwyklejszej bramki AND (operatora logicznego), czyli w sposób absolutnie identyczny jak to robi mózg każdego 5-cio latka. Z tabeli widzimy że: Jeśli zajdzie p (=1) to musi zajść q (=1) p=>q =1 p*q =1 1 1 =1 Bowiem przypadek: Jeśli zajdzie p (=1) to musi zajść ~q (=1) jest wykluczony p=>~q =0 p*~q=0 1 0 =0 Tabele zero-jedynkową warunku wystarczającego tworzymy w odniesieniu do zdania wypowiedzianego 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 z czego wynika że: p=>q p musi być wystarczające dla q bo jeśli p byłoby konieczne dla q to w drugiej linii byłaby JEDYNKA CND Zauważmy, że w kodowaniu symbolicznym wszystkie pozycje sprowadzamy do jedynek dzięki czemu mamy rozstrzygnięcie czy dany warunek zachodzi przy pomocy prymitywnej bramki AND. Przykład: Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy P=>4L =1 Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy P*4L =1 Na pewno istnieje wierzę które jest psem i ma cztery łapy, stąd w wyniku 1 1 1 =1 Na podstawie definicji warunku wystarczającego: Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma czterech łap P=>~4L =0 P*~4L =0 Nie istnieje zwierzę które jest psem i nie ma cztery łapy, stąd w wyniku 0 1 0 =0 Kodowanie symboliczne z użyciem AND(*) jest w 50% zgodne z naturalną logiką człowieka, aby uzyskać 100% zgodność musimy wykonać ostatni krok, który widać wyżej jak na dłoni. Definicja operatorowa warunku wystarczającego: Kod: Tabela B  p  q   Y=p=>q  p~>  q =1  1 1 =1  p=>~q =0  1 0 =0 Widać że: Jeśli zajdzie p to musi => zajść q bo przypadek: Jeśli zajdzie p to musi => zajść ~q jest wykluczony. Z powyższego wynika że p musi być warunkiem wystarczającym dla q, bowiem gdyby p było warunkiem koniecznym dla q to w drugiej linii byłaby jedynka. Wnioski: 1. Definicje warunków wystarczających/koniecznych nie są operatorami logicznymi bo opisane są zaledwie dwoma liniami z tabeli zero-jedynkowej 2. Operator logiczny musi być opisany czteroma liniami w tabeli zero-jedynkowej czyli musi zawierać opis wszystkich możliwych przypadków. 3. Jeśli mówimy o implikacji to zapominamy o operatorach AND i OR bo to są operatory „nie z tego świata” Mamy już wystarczająco dużo wiedzy na temat fundamentu NTI, czyli warunków koniecznych i wystarczających. Odwróćmy teraz kota ogonem i zaatakujmy implikację i równoważność z drugiej strony … trzeba to w końcu dobić. 4.6 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata Z przymrużeniem oka, … czyli jak w prosty sposób zapamiętać najważniejsze definicje w logice klasycznej, zarówno w wersji operatorowej, jak i zero-jedynkowej. Na początku było: Kod: 1=1 i stał się cud: Kod: (p+~p)=(q+~q) p+~p=1 - prawo algebry Boole’a czyli: Kod:  p=>(q+~q) ~p=>(~q+q) stąd mamy … Operatorowa definicja równoważności: Kod:  p   q p<=>q  p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)  p=>~q =0 ~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) ~p=> q =0 Stąd definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania w logice dodatniej: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod: p q p<=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =0 Definicje operatorowe równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności: ~p=>~q = q=>p stąd odprysk definicji równoważności: p<=>q - (p=>q)*(q=>p) W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja, zatem ostatnie dwie linie ulegają rozczepieniu: Operatorowa definicja implikacji prostej: Kod:  p   q p=>q  p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)  p=>~q =0 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo kubusia: p=>q = ~p~>~q ~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) ~p~~>q =1 Zauważmy, że warunek konieczny jest tu oczywistością, bowiem implikacja powstała przez rozczepienie równoważności. Stąd definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania w logice dodatniej: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod: p q p=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a: p=>q = ~p+q Ta definicja po prawej stronie wyrażona w OR jest tu psu na budę potrzebna bo operator OR „nie jest z tego świata”. Należy go traktować jako skrócony zapis tabeli zero-jedynkowej, absolutnie nic więcej. lub pierwsze dwie linie z definicji równoważności ulegają rozczepieniu: Operatorowa definicja implikacji odwrotnej: Kod:  p    q p~>q  p~>  q =1    /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)  p~~>~q =1 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q ~p=> ~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) ~p=>  q =0 Stąd definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania w logice dodatniej: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod: p q p~>q 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =1 0 1 =0 Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a: p~>q = p+~q Tu również prawą stronę definicji należy traktować jako skrócony zapis tabeli zero-jedynkowej, nic ponad to. 4.7 Operatorowa definicja implikacji prostej Operatorowa definicja implikacji prostej z podkładem zero-jedynkowym Kod:  p   q p=>q  p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 1 =1  p=>~q =0 1 0 =0 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo kubusia: p=>q = ~p~>~q ~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) 0 0 =1 ~p~~>q =1 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Jak widzimy implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (q) i warunku koniecznego w logice ujemnej (~q). Oczywiście zdanie wypowiedziane musi spełniać definicję implikacji prostej. p=>q Jeśli zajdzie p to musi zajść q p musi być wystarczające dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q bowiem identyczny warunek wystarczający p=>q jest w równoważności, to jest nie do odróżnienia bez analizy zdania przez definicję zero-jedynkową jak wyżej. Oczywiście zakładamy że wypowiedziane zdanie jest implikacją prostą p=>q. Analiza operatorowa implikacji prostej: A. Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q p=>q=1 - twarda prawda zachodząca zawsze bez wyjątków, gwarancja matematyczna 1 1 =1 Stwierdzamy iż p jest warunkiem wystarczającym dla q stąd: B. Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q p=>~q =0 - twardy fałsz, skutek powyższej twardej prawdy 1 0 =0 … a jeśli nie zajdzie p Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q czyli: C. Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q ~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi 0 0 =1 LUB D. Jeśli zajdzie ~p to może zajść q ~p~~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi 0 1 =1 Doskonale widać definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1=1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Widać, że prawo Kubusia obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, czyli definicja implikacji prostej p=>q nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~p~>~q. Oczywiście zdania wynikające z prawa Kubusia to tożsamości matematyczne, znaczą dokładnie to samo. Zdanie D nie może być implikacja odwrotną. Dowód nie wprost. Załóżmy że D jest implikacją odwrotną i zastosujmy prawo Kubusia: D: ~p~>q = B: p=>~q =0 Zdanie B jest oczywistym fałszem zatem D nie może być implikacją odwrotną prawdziwą. CND Prawdziwość zdania D opisuje równanie: (~p~>q) + (~p~~>q) = 0 + 1 =1 Implikacja odwrotna ~p~>q jest tu fałszywa, ale całe zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Właśnie z tego przypadku wyniknęła konieczność nowego symbolu: ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi. Podobnych zdań jest bardzo dużo np.: Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8 P3~~>P8 = 1 bo 24 Oczywiście implikacja odwrotna fałszywa bo P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8. Przykład 4.7 A. Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy P=>4L =1 bo pies 1 1 =1 Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy, zatem warunek wystarczający spełniony. Gwarancja matematyczna: Wszystkie psy mają cztery łapy. stąd: B. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap P=>~4L =0 1 0 =0 … a jeśli nie jest psem ? Prawo Kubusia: P=>4L = ~P~>~4L C. Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap ~P~>~4L =1 bo kura 0 0 =1 LUB D. Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy ~P~~>4L =1 bo słoń 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Zdanie D nie może być implikacją odwrotną. Dowód nie wprost. Załóżmy że D jest implikacją odwrotną i zastosujmy prawo Kubusia: D: ~P~>4L = B: P=>~4L =0 Zdanie B jest twardym fałszem, zatem B nie może być implikacja odwrotną, warunek konieczny tu nie zachodzi. Prawdziwość zdania D opisuje wzór: (~P~>4L)+(~P~~>4L) = ) + 1 = 1 Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Oczywiście 5-cio latki nie maja żadnych problemów z tego typu zdaniami. Wypowiadając warunek wystarczający (zdanie A), nikt nie myśli o warunku koniecznym C. Zdania A i C traktowane są przez nasz mózg jako dwa oddzielne zdania do analizy. W naturalnym języku mówionym, jeśli zdanie jest implikacją lub równoważnością, to wypowiadamy wyłącznie warunki wystarczające lub konieczne, definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej, dlatego język człowieka w żadnym momencie nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a. Zauważmy, że gwarancję matematyczną, twardą prawdę, mamy wyłącznie w warunku wystarczającym (zdanie A), zawsze jeśli wylosujemy psa to mamy pewność że będzie on miał cztery łapy. Zdania C i D to miękka prawda. Jeśli wylosujemy kurę to dla tego przypadku zdanie C będzie prawdą zaś D fałszem, Jeśli wylosujemy słonia to zdanie D będzie prawdą, natomiast C fałszem. Po nieskończonej ilości losowań pudełka C i D na pewno będą pełne, dlatego w definicji implikacji mamy tu dwie miękkie jedynki. Definicja implikacji materialnej nie odróżnia prawdy twardej (zdanie A) od prawd miękkich (zdania C i D), dlatego jest bez sensu. 4.8 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej Operatorowa definicja implikacji odwrotnej z podkładem zero-jedynkowym: Kod:  p    q p~>q  p~>  q =1    /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) 1 1 =1  p~~>~q =1 1 0 =1 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q ~p=> ~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 0 =1 ~p=>  q =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 W tabeli widać, że implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego w logice dodatniej (q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (~q). Oczywiście zdanie wypowiedziane musi spełniać warunek konieczny. p~>q Jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q W przypadku implikacji odwrotnej udowodnienie warunku koniecznego p~>q gwarantuje implikację odwrotna prawdziwą. Dlaczego ? Jeśli p jest konieczne dla q, to zajście ~p gwarantuje zajście ~q W sposób naturalny odkryliśmy tu wyrocznię implikacji, prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q które jest tu obligatoryjnie spełnione. Analiza matematyczna: A. Jeśli zajdzie p to może zajść q P~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi 1 1 =1 p musi być konieczne dla q LUB B. Jeśli zajdzie p to może zajść ~q p~~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi 1 0 =1 … a jeśli nie zajdzie p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q czyli: C. Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna 0 0 =1 stąd: D. Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q ~p=>q =0 - twardy fałsz wynikły z twardej prawdy wyżej 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Zdanie B nie może być implikacją odwrotną. Dowód nie wprost. Załóżmy że zdanie B jest implikacja odwrotną i zastosujmy prawo Kubusia: B: p~>~q = D: ~p=>q =0 Zdanie D jest twardym fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacją odwrotną. CND Prawdziwośc zdania B opisuje wzór: (p~>~q) + (p~~>~q) = 0 + 1 =1 Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi. Przykład 4.8 A. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem 4L~>P=1 bo pies (miękka prawda, może zajść ale nie musi) 1 1 =1 Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem warunek konieczny spełniony LUB B. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem 4L~~>~P =1 bo koń (miękka prawda, może zajść ale nie musi) … a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ? Prawo Kubusia: 4L~>P = ~4L=>~P stąd: C. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem ~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna 0 0 =1 Gwarancja matematyczna; zwierzęta które nie mają czterech łap na pewno nie są psami stąd: D. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem ~4L=>P =0 - twardy fałsz wynikły z twardej prawdy 0 1 =0 Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dl a kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: 4L=1, ~4L=0 P=1, ~P=0 Zdanie B nie może być implikacją odwrotną. Dowód nie wprost: Załóżmy że zdanie B jest implikacją odwrotną i zastosujmy prawo Kubusia: B: 4L~>~P = D: ~4L=>P =0 Zdanie D jest twardym fałszem, zatem B nie może być implikacja odwrotną CND Prawdziwość zdania B określa wzór: (4L~>~P)*(4L~~>~p) = 0 + 1 = 1 Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, nie jest to implikacja odwrotna, zatem warunek konieczny tu nie zachodzi. Wypowiadając warunek konieczny (zdanie A), nikt nie myśli o warunku wystarczającym C. Zdania A i C traktowane są przez nasz mózg jako dwa oddzielne zdania do analizy. W naturalnym języku mówionym, jeśli zdanie jest implikacją lub równoważnością, to wypowiadamy wyłącznie warunki wystarczające lub konieczne, definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej, dlatego język człowieka w żadnym momencie nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a. Zauważmy że gwarancję matematyczną, twardą prawdę, mamy wyłącznie w warunku wystarczającym (zdanie C). Zawsze jeśli wylosujemy zwierzę które nie ma czterech łap to mamy gwarancję że na pewno nie jest to pies. Zdania A i B to miękka prawda. Jeśli wylosujemy psa to zdanie A będzie prawdą a zdanie B fałszem. Jeśli wylosujemy konia to zdanie A będzie fałszem, zaś zdanie B prawdą. Po nieskończonej ilości losowań pudełka A i B na pewno będą pełne, dlatego w definicji implikacji mamy tu dwie miękkie jedynki. Definicja implikacji materialnej nie odróżnia prawdy twardej (zdanie C) od prawd miękkich (zdania A i B), dlatego jest bez sensu. 4.9 Operatorowa definicja równoważności Operatorowa definicja równoważności z podkładem zero-jedynkowym: Kod:  p   q p<=>q  p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 1 =1  p=>~q =0 1 0 =0 ~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 0 =1 ~p=> q =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=1 Definicje operatorowe równoważności: A. p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności: ~p=>~q = q=>p stąd odprysk definicji równoważności: B. p<=>q = (p=>q)*(q=>p) Zauważmy, że w powyższej tabeli zero-jedynkowej nie ma śladu warunku koniecznego ~> ani praw Kubusia. Równoważność to złożenie dwóch warunków wystarczających, jednego w logice dodatniej (q) i drugiego w logice ujemnej (~q) co widać w powyższej tabeli. Wniosek: Równoważność i implikacja to dwa rozdzielne świat matematyczne. Jeśli cokolwiek jest równoważnością to nie może być implikacją i odwrotnie. Definicje równoważności A i B są tożsame matematycznie, czyli udowodnienie jednej pociąga za sobą udowodnienie drugiej i odwrotnie. Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) Z prawej strony mamy do czynienia tylko i wyłącznie z warunkami wystarczającymi w kierunku p=>q, ~p=>~q i q=>p, to nie są implikacje bo nie spełniają definicji implikacji, co widać w definicji zero-jedynkowej wyżej. Dowód formalny: Kod: p q p=>q q=>p 1 1 =1   =1 1 0 =0   =1 0 0 =1   =1 0 1 =1   =0 Z powyższego widać że: p=>q # q=>p Jeśli zdanie jest implikacją prostą prawdziwą p=>q to po zamianie argumentów bez wymiany operatora będzie implikacją prostą fałszywą. czyli: Jeśli p=>q=1 to q=>p=0 Jeśli q=>p=1 to p=>q=0 Na podstawie definicji równoważności mamy: p<=>q =(p=>q)*(q=>p) = 1*0 = 0*1 =0 Wykluczona jest równoważność rozumiana jako iloczyn logiczny dwóch implikacji prostych. Przykład: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 =1 Zamieniamy argumenty bez zmiany operatora: Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8 P2=>P8=0 bo 2 Na podstawie definicji równoważności zapisujemy: P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8) = 1*0 =0 Warunek wystarczający w równoważności p=>q jest identyczny jak w implikacji p=>q, to jest nie do rozpoznania. Rozstrzygnięcie czy wypowiedziane zdanie jest równoważnością czy też implikacją wymaga dodatkowych działań, o czym w następnym punkcie. Analiza matematyczna równoważności: p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q p<=>q Definicja operatorowa: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) stąd: A. Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q p=>q =1 1 1 =1 B. Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q p=>~q =0 - na mocy definicji warunku wystarczającego 1 0 =0 C. Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q ~p=>~q =1 0 0 =1 stąd: D. Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie q ~p=>q =0 - na mocy definicji warunku wystarczającego 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1=1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Przykład 4.9 Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) Analiza matematyczna: A. Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno ma kąty równe TR=>KR =1 - gwarancja matematyczna 1 1 =1 B. Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno nie ma kątów równych TR=>~KR =0 - nie ma takiego trójkąta równobocznego 1 0 =0 C. Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma kątów równych ~TR=>~KR =1 - gwarancja matematyczna 0 0 =1 D. Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno ma kąty równe ~TR=>KR =0 - nie ma takiego trójkąta 0 1 =0 Doskonale widać tabele zero-jedynkową tabele równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1=1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Uzyskana tabela zero-jedynkowa to definicja równoważności TR<=>KR. Zauważmy że zdania TR=>KR i ~TR=>~KR to tylko warunki wystarczające wchodzące w skład definicji równoważności. Kod: TR KR TR<=>KR 1  1  =1  /TR=>KR 1  0  =0 0  0  =1  /~TR=>~KR 0  1  =0 Na podstawie definicji równoważności mamy: TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = (TR=>KR)*(KR=>TP) Zdania po prawej stronie to tylko i wyłącznie warunki wystarczające =>, to nie są implikacje bo nie spełniają definicji implikacji co widać w powyższej tabeli zero-jedynkowej. Wynika z tego że nikt nie ma prawa zabronić nam wypowiadania warunków wystarczających jak wyżej bowiem zdania te wchodzą w skład definicji równoważności. Warunki wystarczające nie są operatorami logicznymi bo definiowane są zaledwie dwoma liniami z tabeli zero jedynkowej. 5.0 Równanie ogólne implikacji Równanie ogólne implikacji nie jest obarczone jakimikolwiek dodatkowymi warunkami typu warunek wystarczający/konieczny. Obowiązuje więc w całej algebrze Boole’a bez względu na szczegółową interpretację tabel zero-jedynkowych. Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji Definicja implikacji prostej: Kod: p q  Y = p=>q 1 1 =1   /p=>q - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 0 =0 0 0 =1   /~p~>~q - warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) 0 1 =1 p=>q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Definicja implikacji odwrotnej: Kod: p q  Y = p~>q 1 1 =1   /p~>q - warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) 1 0 =1 0 0 =1   /~p=>~q - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 1 =0 p~>q Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą => Logika dodatnia i ujemna dla operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>: Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (patrz prawa Kubusia). Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej. 5.1 Wyprowadzenie równania ogólnego implikacji Dowód praw Kubusia metodą zero-jedynkową. Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej: Kod: p q  Y = p=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej: Kod: p q  Y = p~>q 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =1 0 1 =0 Prawo Kubusia dla operatora implikacji prostej =>: Kod: p q  p=>q ~p ~q ~p~>~q 1 1 =1     0  0 =1 1 0 =0     0  1 =0 0 0 =1     1  1 =1 0 1 =1     1  0 =1 Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~> Prawo Kubusia dla operatora implikacji odwrotnej: Kod: p q  p~>q ~p ~q ~p=>~q 1 1 =1     0  0 =1 1 0 =1     0  1 =1 0 0 =1     1  1 =1 0 1 =0     1  0 =0 Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą => Na podstawie definicji mamy: Kod: p q  p=>q   p~>q 1 1   1      1 1 0   0      1 0 0   1      1 0 1   1      0 Stąd prawo ogólne algebry Boole’a: p=>q # p~>q Po zastosowaniu praw Kubusia mamy równanie ogólne implikacji: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q gdzie: p=>q - implikacja prosta p~>q - implikacja odwrotna p, q - zmienne binarne, mogące przyjmować w osi czasu wyłącznie wartości 1 (prawda) albo 0 (fałsz) Ciąg dalszy na kolejnej stronie … Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 0:59, 24 Lip 2010, w całości zmieniany 6 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 4:37, 01 Cze 2010    Temat postu: 5.2 Interpretacja równania ogólnego implikacji Równanie ogólne implikacji p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q Na mocy definicji mamy: p=>q Jeśli zajdzie p to musi zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Przykład: Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy P=>4L p=>q - na mocy definicji Bycie psem jest warunkiem wystarczającym dla czterech łap, zatem implikacja prosta prawdziwa bowiem prawo Kubusia jest tu spełnione. Na mocy definicji mamy: p~>q Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q Przykład: Jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem 4L~>P p~>q - na mocy definicji Cztery łapy są konieczne dla psa, zatem implikacja odwrotna prawdziwa, tu prawo Kubusia jest spełnione obligatoryjnie bowiem jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q czyli: p~>q = ~p=>~q Podstawiamy powyższe do równania ogólnego implikacji: A. p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q P=>4L = ~P~>~4L # 4L~>P = ~4L=>~P Udowodnienie prawdziwości dowolnego zdania wymusza prawdziwość pozostałych zdań bowiem jeśli zdanie p=>q jest prawdziwe to po zamianie argumentów i wymianie operatora na przeciwny uzyskamy implikacje odwrotną prawdziwą, ale matematycznie nie równoważną co doskonale widać na powyższym przykładzie. Z powyższego widać, że w logice dla równań ogólnych punkt odniesienia ustawiony jest zawsze na wypowiedzianym zdaniu „Jeśli…to…” czyli podstawa wektora => lub ~> wskazuje zawsze część zdania po „Jeśli…” (p), natomiast strzałka wektora => lub ~> wskazuje zawsze cześć zdania po „to…” (q). Oczywiście równanie ogólne implikacji może przyjąć dwie inne formy: 1. Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu p=>q. p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p Przykład: Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy P=>4L Bycie psem jest warunkiem wystarczającym dla czterech łap, zatem implikacja prosta prawdziwa Dla całego równania ogólnego ustawiamy sztywno: p=P q=4L Równanie ogólne: B. p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p P=>4L = ~P~>~4L # 4L~>P = ~4L=>~P 2. Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu p~>q. p~>q = ~p=>~q # q=>p = ~q~>~p Przykład: Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem 4L~>P cztery łapy są warunkiem koniecznym aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa Dla całego równania ogólnego implikacji ustawiamy sztywno: p=4L q=P Równanie ogólne: C. p~>q = ~p=>~q # q=>p = ~q~>~p 4L~>P = ~4L=>~P # P=>4L = ~P~>~4L Doskonale widać, że dla konkretnego przykładu równania ogólne implikacji A, B i C są identyczne, niezależne od tego z jakiego punktu odniesienia patrzymy na zdanie. Oczywiście w praktyce widząc zapisy ogólne nie będziemy mieli żadnych problemów z ustaleniem punktu odniesienia. p=>q # q~>p - oczywisty punkt odniesienia p=>q p~>q # q=>p - oczywisty punkt odniesienia p~>q p=>q # p~>q - oczywisty punkt odniesienia ustawiony na wypowiedzianym zdaniu „Jeśli…to…” Jeśli dowolne z powyższych zdań jest prawdziwe to drugie też musi być prawdziwe, ale matematycznie nie równoważne. Interpretacja zapisów pokrewnych: p=>q # q=>p p~>q # q~>p Mamy wyżej zamianę argumentów bez zmiany operatora. W tym przypadku jeśli którekolwiek zdanie jest prawdziwe to drugie musi być fałszywe, co łatwo udowodnić. Kod: Tabela A     |Punkt       |Punkt     |odniesienia |odniesienia     | p=>q       | p~>q     |            | p q | p=>q q=>p  | p~>q q~>p 1 1 | =1   =1    | =1   =1 1 0 | =0   =1    | =1   =0 0 0 | =1   =1    | =1   =1 0 1 | =1   =0    | =0   =1 CND Dla punktu odniesienia p=>q mamy: p=>q # q=>p Przykład: Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy P=>4L =1 Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy, zatem warunek wystarczający prawdziwy Zamieniamy argumenty bez zmiany operatora: Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem 4L=>P =0 bo słoń czyli: Jeśli p=>q=1 to q=>p=0 Dla punktu odniesienia p~>q mamy: p~>q # q~>p Przykład: Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem 4L~>P =1 Posiadanie czterech łap jest warunkiem koniecznym aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa Zamieniamy argumenty bez zmiany operatora: Jeśli zwierzę jest psem to może mieć cztery łapy P~~>4L =1 bo pies Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Dowód: Załóżmy że zdanie P~~>4L jest implikacja odwrotną i zastosujmy prawo Kubusia: P~>4L = ~P=>~4L =0 Prawa strona jest twardym fałszem, zatem P~>4L nie może być implikacją odwrotną prawdziwą CND Zauważmy, że w tabeli A pozornie zachodzą tożsamości: p=>q = q~>p p~>q = q=>p Powyższe tożsamości to jednak mieszanie dwóch różnych punktów odniesienia czego w wektorach kierunkowych, jakim są implikacje prosta => i odwrotna ~> nie wolno robić. Twierdzenie: Dowolna logika która uznaje za prawdziwe tożsamości: A. p=>q = q~>p B. p~>q = q=>p jest logiką wewnętrznie sprzeczną Dowód nie wprost: Załóżmy że powyższe tożsamości zachodzą. Uzupełniamy je o prawa Kubusia działające zawsze i wszędzie. A. p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p B. p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p Stąd dla naszego konkretnego przykładu mamy: A. Ustawiamy sztywny punkt odniesienia na zdaniu p=>q: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p P=>4L = ~P~>~4L = 4L~>P = ~4L=>~P W powyższej tożsamości startujemy od definicji implikacji prostej p=>q Oczywistym jest, że równie dobry jest start od definicji implikacji odwrotnej p~>q: B. Ustawiamy sztywny punkt odniesienia na zdaniu p~>q: p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p 4L~>P = ~4L=>~P = P=>4L = ~P~>~4L W tabeli A na mocy definicji mamy: C. p=>q # p~>q Podstawiamy równania A i B do C otrzymując: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p # p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p P=>4L = ~P~>~4L = 4L~>P = ~4L=>~P # 4L~>P = ~4L=>~P = P=>4L = ~P~>~4L Oczywiście składniki tożsamości możemy dowolnie przestawiać. Przestawmy dla naszego przykładu po prawej stronie nierówności tożsamości ujęte w czerwony znak „=”. D. p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p # p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p P=>4L = ~P~>~4L = 4L~>P = ~4L=>~P # P=>4L = ~P~>~4L = 4L~>P = ~4L=>~P Doskonale widać, że po obu stronach nierówności „#” mamy identyczne równania zatem: A # A … algebra Boole’a leży w gruzach. Co jest dowodem wewnętrznej sprzeczności dowolnej logiki uznającej pozorne tożsamości: p=>q = q~>p p~>q = q=>p CND Mieszanie różnych punktów odniesienia prowadzi do pomieszania z poplątaniem. Przykład ze świata rzeczywistego. Polska: Jeździmy prawą stroną drogi Anglia: Jeździmy lewa stroną drogi Mieszanie tych dwóch równoważnych punktów odniesienia to jeżdżenie polaków w Anglii prawą stroną i anglików w Polsce lewą stroną. Oczywista katastrofa gwarantowana. 5.3 O konieczności wprowadzenia symbolu ~> w logice Teoretycznie nowy symbol implikacji odwrotnej ~> jest zbędny bo: Kod: p q p~>q p<=q 1 1  =1   =1 1 0  =1   =1 0 0  =1   =1 0 1  =0   =0 gdzie: ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Z tabeli widzimy że: ~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej) Zauważmy jednak że matematycznie zachodzi: A. p~>q = q<~p 4L~>P = P<~4L oraz: B. p=>q = q<=p P=>4L = 4L<=P Przy różnych symbolach implikacji prostej => i odwrotnej ~> mamy wyżej pełną, matematyczną jednoznaczność. Oczywiście na mocy definicji zachodzi: p~>q # p=>q Jeśli na podstawie powyższej tabeli skorzystamy z możliwości wyeliminowania symbolu ~> to równanie A musimy zapisać jako: A1. p<=q = q=>p 4L<=P = P=>4L gdzie: Symbol <= należy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej) Zauważmy, że zapis A1 dla konkretnego przykładu niczym się nie różni od zapisu B, bowiem składniki tożsamości możemy przestawiać. Mamy zatem: A1. Po przestawieniu składników tożsamości: P=>4L = 4L<=P B. P=>4L = 4L<=P Konia z rzędem temu, kto wydedukuje że w równaniu A1 symbol <= należy czytać przeciwnie do strzałki <= jako spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym, zaś w równaniu B symbol => należy czytać zgodnie z kierunkiem strzałki => jako spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym. Jeśli dorzucimy do tego prawa Kubusia które zawsze odwracają operator to kociokwik będzie 100%. Z tego względu nowy symbol ~> jako operator implikacji odwrotnej jest w logice niezbędny. CND 5.4 Dowód braku wewnętrznej sprzeczności NTI Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q p~>q = ~p=>~q Dla naszego przykładu: P=>4L= ~P~>~4L 4L~>P = ~4L=>~P Równanie ogólne implikacji: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q P=>4L= ~P~>~4L # 4L~>P = ~4L=>~P Oczywiście w NTI nie ma mowy o jakiejkolwiek wewnętrznej sprzeczności bo tu mamy: P=>4L=~P~>~4L # 4L~>P = ~4L=>~P CND Z powyższego oczywistość: P=>4L # 4L~>P ~P~>~4L # ~4L=>~P 4L~>P # ~P~>~4L P=>4L # ~4L=>~P p=>q # ~q=>~p prawo kontrapozycji jest w poprawnej matematyce dokładnie takie jak wyżej, czyli … Prawdziwość dowolnego zdania w powyższej nierówności wymusza prawdziwość pozostałych zdań, nie są to jednak zdania matematycznie tożsame, bo wypowiedziane w przeciwnych logikach ! 5.5 Kwadrat logiczny implikacji Zdania bazowe: A. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy P=>4L =1 p=>q =1 - na podstawie definicji implikacji Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy, zatem warunek wystarczający prawdziwy B. Jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem 4L~>P =1 p~>q =1 - na podstawie definicji implikacji Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem warunek konieczny spełniony Równanie ogólne implikacji poprawne zawsze i wszędzie: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q Na powyższe równanie możemy spojrzeć z trzech różnych punktów odniesienia. 1. Równanie ogólne implikacji zapisane jest dla punktu odniesienia ustawionym na wypowiedzianym zdaniu czyli po „Jeśli…” mamy zawsze podstawę wektora => lub ~> (poprzednik p), zaś po „to…” mamy zawsze strzałkę wektora => lub ~> (następnik q). p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q Dla naszego przykładu na podstawie definicji implikacji z NTI mamy: P=>4L = ~P~>~4L # 4L~>P = ~4L=>~P Jeśli w zapisie ogólnym chcemy uwypuklić fakt zamiany p i q w równaniu ogólnym implikacji to korzystanie jest ustalić sztywny punkt odniesienia na zdaniu p=>q albo p~>q. 2. Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu A: A. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy P=>4L Sztywny punkt odniesienia: p=P q=4L Równanie ogólne przybierze postać: p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p P=>4L = ~P~>~4L # 4L~>P = ~4L=>~P 2. Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu B: B. Jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem 4L~>P Sztywny punkt odniesienia: p=4L q=P Równanie ogólne przybiera postać: p~>q = ~p=>~q # q=>p = ~q~>~p 4L~>P = ~4L=>~P # P=>4L = ~P~>~4L Jak widać wyżej obojętne z jakiego punktu odniesienia będziemy patrzeć na zdania A i B to równanie ogólne dla tych zdań pozostanie identyczne. Zauważmy, że nie ma najmniejszego problemu ze zlokalizowaniem punktu odniesienia dla dowolnego zapisu ogólnego bo: X: p=>q # p~>q - oczywisty punkt odniesienia ustawiony na wypowiedzianym zdaniu „Jeśli..to..” X: P=>4L # 4L~>P Y: p=>q # q~>p - oczywisty punkt odniesienia to zdanie p=>q Y: P=>4L # 4L~>P Z: p~>q # q=>p - oczywisty punkt odniesienia to zdanie p~>q Z: 4L~>P # P=>4L Jeśli będziemy mieszać powyższe punkty odniesienia to otrzymamy groch z kapustą: 1. X: p~>q = Y: q~>p bo: X: 4L~>P = Y: 4L~>P 2. X: p=>q = Z: q=>p bo: X: P=>4L = Z: P=>4L itd. Jak widać mieszanie różnych punktów odniesienia robi tu pomieszanie z poplątaniem. W zapisach ogólnych to katastrofa bo: X: p=>q = Z: q=>p Oczywiście w zapisie ogólnym zachodzi: p=>q # q=>p Wniosek: Jeśli dyskutujemy z kimkolwiek i o czymkolwiek to ustalmy najpierw wspólny punkt odniesienia We wszystkich przypadkach wyżej mamy do czynienia z zamianą argumentów i wymianą operatora na przeciwny. W tym przypadku jeśli dowolne zdanie po jednej stronie nierówności jest prawdziwe to zdanie z drugiej strony nierówności też musi być prawdziwe, ale nie równoważne matematycznie, bo wypowiedziane w przeciwnych logikach. Zapisy pokrewne do powyższych to zamiana argumentów bez zmiany operatora: p=>q # q=>p p~>q # q~>p W tym przypadku jeśli zdanie po jednej stronie nierówności jest prawdziwe to zdanie po przeciwnej stronie musi być fałszywe. W powszechnym użyciu jest sztywny punkt odniesienia p=>q, nie będziemy się z tego wyłamywać. Równanie ogólne implikacji ma tu postać: p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p P=>4L = ~P~>~4L # 4L~>P = ~4L=>~P stąd: Kwadrat logiczny implikacji dla punktu odniesienia p=>q: Kod:  A1         B1  p=>q       q~>p  P=>4L      4L~>P  A2         B2 ~p~>~q     ~q=>~p ~P=>~4L    ~4L=>~P W pionach mamy oczywiste prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q P=>4L = ~P~>~4L q~>p = ~q=>~p 4L~>P = ~4L=>~P Między pionami po przekątnych zachodzą prawa kontrapozycji w tej postaci: p=>q # ~q=>~p P=>4L # ~4L=>~P ~p~>~q # q~>p ~P~>~4L # 4L~>P Po obu stronach nierówności mamy zdania prawdziwe ale nie równoważne bo wypowiedziane w przeciwnych logikach. Ciekawostką jest fakt, że udowodnienie tylko warunku koniecznego w zdaniach B1 lub A2 determinuje prawdziwość wszystkich pozostałych zdań w kwadracie implikacji. To oczywistość bowiem jeśli q jest konieczne dla p, to zajście ~q wymusza zajście ~p, stąd prawo Kubusia dla prawego pionu kwadratu jest wymuszone przez ten warunek konieczny: q~>p = ~q=>~p Oczywiście jeśli prawy pion strona kwadratu logicznego jest implikacją to lewy pion też musi być implikacją. CND Z implikacja prostą jest gorzej bowiem spełnienie warunku wystarczającego w stronę p=>q nie wymusza implikacji prostej, to może być albo implikacja albo równoważność z identycznym warunkiem wystarczającym p=>q, to jest nie do rozpoznania, to trzeba dopiero udowodnić. Na szczęście w świecie rzeczywistym, poza matematyką, warunki wystarczające i konieczne są na poziomie 5-cio letniego dziecka, co więcej, w tym świecie króluje implikacja, równoważność praktycznie tu nie istnieje. Tak więc poważniejsze problemy czy cokolwiek jest implikacją czy też równoważnością mogą występować wyłącznie w matematyce. 5.6 Algorytmy rozpoznawania implikacji i równoważności Kwadrat logiczny implikacji dla punktu odniesienia p=>q: Kod:  A1         B1  p=>q       q~>p  P=>4L      4L~>P  A2         B2 ~p~>~q     ~q=>~p ~P=>~4L    ~4L=>~P Definicja równoważności: A. p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Definicja matematycznie tożsama: B. p<=>q = (p=>q)*(q=>p) Zakładamy że warunek wystarczający w stronę p=>q mamy udowodniony. Algorytm rozpoznawania implikacji i równoważności: 1. Jeśli udowodnimy dowolny warunek konieczny B1 lub A2 to wypowiedziane zdanie jest implikacją. 2. Jeśli wykluczymy warunek wystarczający w zdaniach B1 lub A2 to zdanie również jest implikacją. 3. Jeśli udowodnimy warunek wystarczający w punktach A2 lub B1 to zdanie jest równoważnością 4. Jeśli wykluczymy warunek konieczny w punktach A2 lub B1 to zdanie jest równoważnością. To co wyżej to wszystkie możliwości jakimi dysponujemy aby rozstrzygnąć czy wypowiedziane zdanie jest implikacją czy też równoważnością. Odróżnienie równoważności od implikacji jest w technice i matematyce kluczowe bowiem w równoważności mamy pełny determinizm, natomiast w dowolnej implikacji, zarówno prostej => jak i odwrotnej ~> mamy zagwarantowane „rzucanie monetą” … na mocy definicji implikacji ! Po co komu „rzucanie monetą” w technice lub matematyce ? Zauważmy, że prawo kontrapozycji: p=>q # ~q=>~p jest o tyle pożyteczne że zamiast dowodzić warunku wystarczającego w kierunku p=>q możemy dowodzić warunku wystarczającego w kierunku ~q=>~p. Jeśli spełniony jest warunek wystarczający w kierunku p=>q to musi być spełniony warunek wystarczający w kierunku ~q=>~p i odwrotnie. Prawo kontrapozycji nie rozstrzyga rzeczy najważniejszej, nie rozstrzyga czy zdanie jest implikacją czy też równoważnością. Z tego najważniejszego punktu widzenia prawo kontrapozycji jest kompletnie nieprzydatne. Poza tym zauważmy, że jeśli szukamy warunku wystarczającego (czyli de facto matematycznie cennej równoważności) to możemy wystartować od dowolnego rogu kwadratu logicznego implikacji, tak wiec prawo kontrapozycji jest totalnie zbędne ! Twierdzenie: Zdanie jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki wystarczające wzdłuż dowolnego boku kwadratu logicznego implikacji. 5.7 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice Zdanie „Jeśli …to…” może mieć w logice tylko i wyłącznie pięć różnych znaczeń: 1. Implikacja prosta: p=>q Jeśli zajdzie p to musi zajść q p musi być wystarczające dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q 2. Tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności p=>q Jeśli zajdzie p to musi zajść q Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Warunek wystarczający w równoważności p=>q jest identyczny jak w implikacji prostej wyżej p=>q, to jest nie do rozpoznania. Prawa strona definicji równoważności to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, nie są to implikacje proste bo nie spełniają definicji zero-jedynkowej implikacji prostej =>. Przykład: Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe TR=>KR To jest tylko i wyłącznie warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) 3. Implikacja odwrotna: p~>q jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q 4. Zdaniem prawdziwym na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi. Przykład: Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8 P3~~>P8 =1 bo 24 P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, zatem implikacja odwrotna jest tu fałszywa 5. Zdaniem fałszywym, nie spełniającym któregokolwiek z powyższych przypadków. 5.8 Operatory AND i OR w implikacji Operatory AND i OR w implikacji służą głównie do skróconego zapisu tabel zero-jedynkowych. Dowolną tabelę zero-jedynkową można zapisać w postaci równania algebry Boole’a na podstawie prawa Prosiaczka (cześć I). Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej: Kod: p q Y= p=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 W linii drugiej mamy samotne zero zatem dla tej linii uzyskamy najprostsze równanie. Mamy: Y=0 <=> p=1 i q=0 Sprowadzamy wszystkie pozycje do jedynek: Y=0 czyli: ~Y=1 p=1 - tu nic nie musimy robić q=0 czyli: ~q=1 i korzystamy z definicji iloczynu logicznego. Definicja: Iloczyn logiczny jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1 Stąd mamy: ~Y = p*~q gdzie: ~Y - logika ujemna Przechodzimy do logiki dodatniej (Y) poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne. Y=~p+q Stąd mamy powyższa tabelę zero-jedynkową zapisaną w równaniu algebry Boole’a. Y = p=>q = ~p+q = ~(p*~q) bo prawo de’Morgana: ~p+q = ~(p*~q) Jedyne sensowne równanie, zgodne z naturalną logiką człowiek jest takie: p=>q = ~(p*~q) Przykład A: 1. Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy P=>4L Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa. GA: Gwarancja matematyczna: każdy pies ma cztery łapy Ta sama gwarancja wyrażona w AND: P=>4L = ~(P*4L) 2. Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap ~(P*~4L) Gwarancja matematyczna: każdy pies ma cztery łapy Oczywiście każdy człowiek mając do wyboru 1 lub 2 wybierze 1 bo to jest prostsze. Najważniejszy argument przeciw operatorom AND i OR w implikacji to odcięcie się od genialnych praw Kubusia obowiązujących między operatorami implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora => na ~> W prawach Kubusia nie ma śladu operatorów AND i OR bo to są prawa „nie z tego świata.” Analogiczne prawa w AND i OR to oczywiście prawa de’Morgana: p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+) p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*) Dokładnie to samo rozumowanie można przeprowadzić dla implikacji odwrotnej ~>. Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej: Kod: p q Y= p~>q 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =1 0 1 =0 Najprostsze równanie algebry Boole’a uzyskamy tu z ostatniej linii bo w wyniku mamy samotne zero. Y=0 <=> p=0 i q=1 Sprowadzamy wszystkie pozycje do jedynek: Y=1 czyli: ~Y=1 p=0 czyli: ~p=1 q=1 - tu nic nie musimy robić Stąd na podstawie definicji iloczynu logicznego mamy: ~Y = ~p*q Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej: Y = ~(~Y) Stąd mamy: Y = ~(~p*q) = p+~q - na podstawie prawa de’Morgana Oczywiście jedyny sensowny zapis zgodny z naturalna logiką 5-cio latka to: Y = p~>q = ~(~p*q) Przykład B: Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem 4L~>P Cztery łapy są konieczne dla psa zatem implikacja odwrotna prawdziwa. Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia: 4L~>P = ~4L=>~P stąd: 1. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem ~4L=>~P GB: Gwarancja: zwierzę które nie ma czterech łap na pewno nie jest psem Ta sama gwarancja wyrażona w operatorach AND: ~4L=>~P = ~(~4L*P) czyli: 2. Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem ~(~4L*P) Oczywiście tu każdy mając do wyboru 1 lub 2 wybierze 1 bo to jest naturalne i prostsze. Zauważmy coś bardzo ciekawego w obszarze gwarancji wyrażonych w AND: Przykład A. Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy P=>4L GA: Każdy pies ma cztery łapy Ta sama gwarancja w AND: Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap GA = ~(P*~4L) Przykład B. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem 4L~>P =1 bo pies LUB Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem 4L~~>~P =1 bo koń (zbiór poza gwarancjami GA i GB) Prawo Kubusia: 4L~>P = ~4L=>~P czyli: Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem ~4L=>~P Gwarancja: zwierzę które nie ma czterech łap na pewno nie jest psem Ta sama gwarancja w AND: Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem GB = ~(~4L*P) Poza gwarancjami GA i GB znajduje się zbiór zwierząt które mają cztery łapy i nie są psami. Graficznie można to przedstawić następująco: [GA: zbiór psów][ZZ: zbiór zwierząt które mają cztery łapy i nie są psami][GB: zbiór zwierząt które nie maja czterech łap, te na pewno nie są psami] Zbiór GA nie jest dopełnieniem zbioru GB bo poza tymi zbiorami jest zbiór ZZ, dlatego to jest implikacja a nie równoważność, dlatego matematycznie wstawiamy tu znak „#”: p=>q # p~>q = ~p=>~q czyli: P=>4L = ~(P*~4L) # 4L~>P = ~4L=>~P = ~(~4L*P) Oczywiście wynika z tego, że jeśli operator AND opisuje implikację to argumenty w operatorze AND są nieprzemienne. Z tego powodu wyrażanie implikacji w operatorach AND i OR jest bez sensu, bo to są operatory z innego świata. W praktyce naturalnego języka mówionego każdy człowiek, od 5-cio latka po starca korzysta z operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz z praw Kubusia milion razy na dobę i praktycznie nigdy nie przechodzi do gwarancji wyrażonej przy pomocy operatora AND, choć oczywiście żaden 5-cio latek nie będzie miał z tym kłopotów. Zauważmy, że w równoważności mamy: p<=>q = ~p<=>~q Zbiór p jest zawsze dopełnieniem zbioru ~p, dlatego to jest równoważność a nie implikacja. Przykład: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR W równoważności zachodzi: TR<=>KR = ~TR<=>~KR czyli: po jednej stronie tożsamości mamy: TR: Zbiór trójkątów równobocznych które na pewno mają kąty równe natomiast po drugiej stronie mamy: ~TR: Zbiór trójkątów nierównobocznych które na pewno nie mają kątów równych Oczywiście matematycznie zachodzi: TR+~TR =1 Zbiór TR jest dopełnieniem zbioru ~TR, dlatego to jest równoważność a nie implikacja. 6.0 Nowa teoria implikacji w bramkach logicznych Algebry Boole’a i algebra dziesiętna, to dwa fundamentalnie różne światy, dlatego nie ma tu konfliktu między symbolami technicznymi OR(+) i AND(*) a algebrą dziesiętną. Aby zrozumieć algebrę Boole’a trzeba posługiwać się techniką bramek logicznych, bo to jest jedyny poprawny punkt odniesienia, oczywiście z algebrą dziesiętną mający ZERO wspólnego. Szczytowy rozwój bramek logicznych to lata 1974-80, cały rozwój technicznej algebry Boole’a zabiły mikroprocesory (pierwszy przyzwoity to i8080 z 1974r). Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na prostą => Prawo Kubusia w teorii bramek logicznych: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany bramki „musi” => na bramkę „może” ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany bramki „może” ~> na bramkę „musi” => Bramki logiczne „musi” => i „może” ~> nie są znane człowiekowi we właściwy sposób, najwyższy czas podać ich definicje … Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q p musi być wystarczające dla q Na podstawie tej definicji łatwo konstruujemy bramkę implikacji prostej, którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią p. W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko „O”. 6.1 Bramkowa definicja implikacji prostej Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Kod:   p   q   |   |  -------  |O => |  | musi|  |  OR |  -------     |    p=>q Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy niezanegowaną linię q. 6.2 Bramkowa definicja implikacji odwrotnej Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” zajść q p musi być konieczne dla q Na podstawie tej definicji mamy bramkę implikacji odwrotnej którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią q. Kod:   p   q   |   |  -------  | ~> O|  | może|  |  OR |  -------     |    p~>q Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy zanegowaną linię q. 6.3 Układ zastępczy bramki implikacji prostej Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Kod:  p   q       p   q       p   q  |   |       |   |       |   |  |   |       O   O       O   O  |   |       |~p |~p     |~p |~q  |   |       O   O       |   |  |   |       |p  |q      |   | -------     -------     ------- |O => |  =  |O => |  =  | ~> O| |musi |     |musi |     |może | |OR   |     |OR   |     |OR   | -------     -------     -------    |           |           |    A           B           C   p=>q        p=>q       ~p~>~q Na schemacie B wprowadzamy w linie wejściowe po dwie negacje. Oczywiście układ nie ulegnie zmianie zgodnie z prawem podwójnego przeczenia. p=~(~p) Na rysunku C wpychamy po jednej negacji do środka bramki OR. Negacja z wejście p wewnątrz układu przemieści się na wejście q [bo ~(~p)=p], zaś bramka stanie się bramką implikacji odwrotnej zgodnie z jej definicją bramkową wyżej. Bramka A jest równoważna bramce C czyli: p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej: Kod: p q p=>q ~p ~q ~p~>~q 1 1 =1    0  0  =1 1 0 =0    0  1  =0 0 0 =1    1  1  =1 0 1 =1    1  0  =1 Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramką implikacji prostej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji odwrotnej. 6.4 Układ zastępczy bramki implikacji odwrotnej Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Kod:  p   q       p   q       p   q  |   |       |   |       |   |  |   |       O   O       O   O  |   |       |~p |~p     |~p |~q  |   |       O   O       |   |  |   |       |p  |q      |   | -------     -------     ------- | ~> O|  =  | ~> O|  =  |O => | |może |     |może |     |musi | |OR   |     |OR   |     |OR   | -------     -------     -------    |           |           |    A           B           C   p~>q        p~>q       ~p=>~q Bramka A jest równoważna bramce C czyli: p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej: Kod: p q p~>q ~p ~q ~p=>~q 1 1 =1    0  0  =1 1 0 =1    0  1  =1 0 0 =1    1  1  =1 0 1 =0    1  0  =0 Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramka implikacji odwrotnej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji prostej. Zauważmy, że w przypadku praw Kubusia (w przeciwieństwie do praw de’Morgana) na wyjściu bramki nie musieliśmy wprowadzać dwu negatorów. Wstawiamy tu wyłącznie po dwie negacje w linie wejściowe co oczywiście również nie zmienia w żaden sposób układu cyfrowego. Oczywiście na mocy definicji zachodzi: p=>q # p~>q czyli: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q 6.5 Implikacja prosta w bramkach logicznych Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na => Zdanie wypowiedziane: Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q p=>q p musi być warunkiem wystarczającym dla q Tabela operatorowa i zero-jedynkowa dla zdania wypowiedzianego: Kod: p=>q=1      /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 1 =1 p=>~q=0 1 0 =0 … a jeśli nie zajdzie p ? Prawo Kubusia: p=>q=~p~>~q ~p~>~q=1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) 0 0 =1 ~p~~>q =1 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Fizyczna realizacja w bramkach logicznych: Kod:   p     q   |     |   |     x-----------------------x   |     |                       |   x-----------------------x     |                |     |                 |     |   |     |                 O     O   |     |                 |~p   |~q  ---------Tabela A       --------- Tabela B  |O =>   |p=>q=1         | ~>   O|p=>q  |musi   |1 1 =1         |może   |0 0 =1  |A      |p=>~q=0        |B      |p=>~q=1  |OR     |1 0 =0         |OR     |0 1 =0  |       |p=>q = ~p~>~q  |       |p=>q = ~p~>~q  |       |~p~>~q=1       |       |~p~>~q=1  |       |0 0 =1         |       |1 1 =1  |       |~p~~>q=1       |       |~p~~>q=1  |       |0 1 =1         |       |1 0 =1  ---------               ---------      |                       |      |                       |      x-----------x-----------x                  |                  |                  Y= p=>q = ~p~>~q Układy A i B są tożsame matematycznie. Na wejście bramki A („musi” =>) podajemy tabelę zero-jedynkową jak na rysunku. Tabela ta dociera do bramki B („może” ~>) poprzez dwa negatory, zatem na wejściu bramki B otrzymamy totalnie zanegowane sygnały zero-jedynkowe z bramki A, co doskonale widać. Zdanie p=>q mózg człowieka obsługuje bramką „musi” => odpowiednią dla tego operatora, natomiast zdanie ~p~>~q obsługuje bramką „może” ~> odpowiednią dla operatora ~>. Zauważmy coś absolutnie zaskakującego. Powyższy układ to twardy dowód że w naturalnym języku mówionym nie wymawiamy żadnych implikacji, wymawiamy tylko i wyłącznie warunki wystarczające i konieczne, zero-jedynkowo zawsze w logice dodatniej … a to oznacza, że mózg człowieka w obsłudze implikacji nigdy nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a ! Dowód: Definicja warunku wystarczającego, zero-jedynkowo w logice dodatniej. Kod: Tabela A p=>q =1    /bramka A 1 1 =1 p=>~q =0 1 0 =0 Definicja warunku koniecznego, zero-jedynkowo w logice dodatniej. Kod: Tabela B ~p~>~q =1    /bramka B 1 1 =1 ~p~~>q =1 1 0 =1 Rzeczywisty algorytm działania mózgu człowieka w obsłudze implikacji prostej na przykładzie. Przykład 6.2 Bramka A A. Jeśli jutro będzie padało to na pewno będzie pochmurno P=>CH =1 /warunek wystarczający w logice dodatniej obsługiwany przez bramkę A A: 1 1 =1 B: 0 0 =1 Gwarancja matematyczna: pada to na pewno chmury B. Jeśli jutro będzie padało to na pewno nie będzie pochmurno P=>~CH =0 A: 1 0 =0 B: 0 1 =0 … a jeśli jutro nie będzie padać ? Prawo Kubusia: P=>CH = ~P~>~CH W tym miejscu mózg człowieka porzuca bramkę A obsługującą warunek wystarczający P=>CH, i przechodzi do bramki B obsługującej warunek konieczny ~P~>~CH traktując to zdanie jako nowo wypowiedziane 1 1 =1. Bramka B C. Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno ~P~>~CH =1 /warunek konieczny zero-jedynkowo w logice dodatniej obsługiwany przez bramkę B A: 0 0 =1 B: 1 1 =1 LUB D. Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno ~P~~>CH =1 A: 0 1 =1 B: 1 0 =1 Mózg człowieka chodzi po powyższych zdaniach ścieżkami wytłuszczonymi, gdzie zdanie 1 1 =1 to zdanie nowo wypowiedziane. Z punktu odniesienia bramki A mamy tu definicję implikacji prostej, natomiast z punktu odniesienia bramki B definicję implikacji odwrotnej. Kod: Bramka A P=>CH =1 1 1 =1 P=>~CH =0 1 0 =0 … a jeśli nie będzie padać ? Prawo Kubusia: P=>CH = ~P~>~CH W tym miejscu mózg człowieka porzuca bramkę A obsługującą warunek wystarczający P=>CH, i przechodzi do bramki B obsługującej warunek konieczny ~P~>~CH traktując to zdanie jako nowo wypowiedziane 1 1 =1. Z punktu odniesienia bramki A ciąg dalszy jest następujący. ~P~>~CH =1 0 0 =1 ~P~~>CH =1 0 1 =1 Z punktu odniesienia bramki A mamy definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P=1, ~P=0 CH=1, ~CH=0 Z punktu odniesienia bramki B mamy definicję implikacji odwrotnej dla zdania wypowiedzianego C: C. Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno ~P~>~CH =1 1 1 =1 Brak opadów jest warunkiem koniecznym aby nie było pochmurno, warunek konieczny spełniony Kod: Bramka B ~P~>~CH =1 1 1 =1 ~P~~>CH =1 1 0 =1 … a jeśli będzie padało ? Prawo Kubusia: ~P~>~CH = P=>CH W tym miejscu mózg człowieka porzuca bramkę B obsługującą warunek konieczny ~P~>~CH, i przechodzi do bramki A obsługującej warunek wystarczający P=>CH traktując to zdanie jako nowo wypowiedziane 1 1 =1. Z punktu odniesienia bramki B ciąg dalszy jest następujący. P=>CH =1 0 0 =1 P=>~CH =0 0 1 =0 Z punktu odniesienia bramki B mamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~P=1, P=0 ~CH=1, CH=0 6.6 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych Zdanie wypowiedziane: Jeśli zajdzie p to może zajść q p~>q p musi być warunkiem koniecznym dla q Tabela operatorowa i zero-jedynkowa dla zdania wypowiedzianego: Kod: p~>q=1 1 1 =1 p~~>~q=1 1 0 =1 … a jeśli nie zajdzie p ? Prawo Kubusia: p~>q=~p=>~q czyli: ~p=>~q=1 0 0 =1 ~p=>q=0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Fizyczna realizacja w bramkach logicznych: Kod:   p     q   |     |   |     x-------------------x   |     |                   |   x-------------------x     |                |     |             |     |   |     |             O     O   |     |             |~p   |~q  ---------Tabela A   --------- Tabela B  |  ~>  O|p~>q=1     |O  =>  |p~>q=1  |może   |1 1 =1     |musi   |0 0 =1  |A      |p~~>~q=1   |B      |p~~>q=1  |OR     |1 0 =1     |OR     |0 1 =1  |       |~p=>~q=1   |       |~p=>~q =1  |       |0 0 =1     |       |1 1 =1  |       |~p=>q=0    |       |~p=>q=0  |       |0 1 =0     |       |1 0 =0  ---------           ---------      |                   |      |                   |      x---------x---------x                |                |                Y= p~>q = ~p=>~q Układy A i B są tożsame matematycznie. Na wejście bramki A („może” ~>) podajemy tabelę zero-jedynkową jak na rysunku. Tabela ta dociera do bramki B („musi” =>) poprzez dwa negatory, zatem na wejściu bramki B otrzymamy totalnie zanegowane sygnały zero-jedynkowe z bramki A, co doskonale widać. Zdanie p~>q mózg człowieka obsługuje bramką „może” ~> odpowiednią dla tego operatora, natomiast zdanie ~p=>~q obsługuje bramką „musi” => odpowiednią dla operatora =>. Powyższy układ to twardy dowód że w naturalnym języku mówionym nie wymawiamy żadnych implikacji, wymawiamy tylko i wyłącznie warunki wystarczające i konieczne, zero-jedynkowo zawsze w logice dodatniej … a to oznacza, że mózg człowieka w obsłudze implikacji nigdy nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a ! Dowód: Definicja warunku koniecznego, zero-jedynkowo w logice dodatniej. Kod: Tabela A p~>q =1    /bramka A 1 1 =1 p~~>~q =1 1 0 =1 Definicja warunku wystarczającego, zero-jedynkowo w logice dodatniej. Kod: Tabela B ~p=>~q =1    /bramka B 1 1 =1 ~p=>q =1 1 0 =1 Rzeczywisty algorytm działania mózgu człowieka w obsłudze implikacji prostej na przykładzie. Przykład 6.3 Bramka A A. Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać CH~>P =1 A: 1 1 =1 B: 0 0 =1 Chmury są warunkiem koniecznym aby jutro padało, warunek konieczny spełniony LUB B. Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać CH~~>~P =1 A: 1 0 =1 B: 0 1 =1 … a jeśli jutro nie będzie pochmurno ? Prawo Kubusia: CH~>P = ~CH=>~P W tym miejscu mózg człowieka porzuca bramkę A obsługującą warunek konieczny CH~>P, i przechodzi do bramki B obsługującej warunek wystarczający ~CH=>~P traktując to zdanie jako nowo wypowiedziane 1 1 =1. Bramka B C. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać ~CH=>~P =1 A: 0 0 =1 B: 1 1 =1 Gwarancja matematyczna: brak chmur to na pewno nie pada D. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać ~CH=>P =0 A: 0 1 =0 B: 1 0 =0 Mózg człowieka chodzi po powyższych zdaniach ścieżkami wytłuszczonymi, gdzie zdanie 1 1 =1 to zdanie nowo wypowiedziane. Z punktu odniesienia bramki A mamy tu definicję implikacji odwrotnej, natomiast z punktu odniesienia bramki B definicję implikacji prostej. Kod: Bramka A CH~>P =1 1 1 =1 CH~~>~P =1 1 0 =1 … a jeśli nie będzie pochmurno ? Prawo Kubusia: CH~>P = ~CH=>~P W tym miejscu mózg człowieka porzuca bramkę A obsługującą warunek konieczny CH~>P, i przechodzi do bramki B obsługującej warunek wystarczający ~CH=>~P traktując to zdanie jako nowo wypowiedziane 1 1 =1. Z punktu odniesienia bramki A ciąg dalszy jest następujący. ~CH=>~P =1 0 0 =1 ~CH=>P =0 0 1 =0 Z punktu odniesienia bramki A mamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: CH=1, ~CH=0 P=1, ~P=0 Z punktu odniesienia bramki B mamy definicję implikacji prostej dla zdania wypowiedzianego C: C. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać ~CH=>~P =1 Brak chmur jest warunkiem wystarczającym aby nie padało, warunek wystarczający spełniony Kod: Bramka B ~CH=>~P =1 1 1 =1 ~CH=>P =0 1 0 =0 … a jeśli będzie pochmurno ? Prawo Kubusia: ~CH=>~P = CH~>P W tym miejscu mózg człowieka porzuca bramkę B obsługującą warunek wystarczający ~CH=>~P, i przechodzi do bramki A obsługującej warunek konieczny CH~>P traktując to zdanie jako nowo wypowiedziane 1 1 =1. Z punktu odniesienia bramki B ciąg dalszy jest następujący. CH~>P =1 0 0 =1 CH~~>~P =1 0 1 =1 Z punktu odniesienia bramki B mamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~CH=1, CH=0 ~P=1, P=0 6.7 Równoważność w bramkach logicznych Zdanie wypowiedziane: p<=>q p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q Definicja operatorowa i zero-jedynkowa równoważności: Kod: p q p<=>q p=>q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 1 =1 p=>~q =0 1 0 =0 ~p=>~q =1  /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 0 =1 ~p=>q =0 0 1 =0 Stąd definicja operatorowa równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Na podstawie definicji równoważności rysujemy jej bramkową definicję. Fizyczna realizacja w bramkach logicznych: Kod:   p     q   |     |   |     x-------------------x   |     |                   |   x-------------------x     |                |     |             |     |   |     |             O     O   |     |             |~p   |~q  ---------Tabela A   --------- Tabela B  |O =>  O|p=>q=1     |O  =>  |p~>q=1  |musi   |1 1 =1     |musi   |0 0 =1  |A      |p=>~q=0    |B      |p~~>~q=1  |OR     |1 0 =0     |OR     |0 1 =1  |       |~p~>~q=1   |       |~p=>~q =1  |       |0 0 =1     |       |1 1 =1  |       |~p~~>q=1   |       |~p=>q=0  |       |0 1 =1     |       |1 0 =0  ---------           ---------      |                   |      |                   |      x------x     x------x             |     |            ---------            |       |            |  AND  |            ---------                |                Y= p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) Układy A i B nie są tożsame matematycznie. p=>q # ~p=>~q Gdybyśmy podłączyli wyjścia bramek A i B bez pośrednictwa bramki AND to byłoby dużo dymu i smrodu. Na wejście bramki A („musi” =>) podajemy tabelę zero-jedynkową jak na rysunku. Tabela ta dociera do bramki B („musi” =>) poprzez dwa negatory, zatem na wejściu bramki B otrzymamy totalnie zanegowane sygnały zero-jedynkowe z bramki A, co doskonale widać. Pierwsze dwie linie tabeli A to obsługa warunku wystarczającego p=>q zero-jedynkowo w logice dodatniej, następne dwie linie to obsługa warunku koniecznego ~> w logice ujemnej którego nie ma w definicji równoważności. Zero-jedynkowo w logice dodatniej działa tu bramka B i tą bramką posługuje się mózg człowieka do obsługi warunku wystarczającego ~p=>~q (bramka A jest w tym czasie nieaktywna czyli ma jedynki na wyjściu). Powyższy układ to twardy dowód że w naturalnym języku mówionym nie wymawiamy żadnych równoważności, wymawiamy tylko i wyłącznie warunki wystarczające, zero-jedynkowo zawsze w logice dodatniej … a to oznacza, że mózg człowieka w obsłudze równoważności nigdy nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a ! Dowód: Definicja warunku wystarczającego, zero-jedynkowo w logice dodatniej. Kod: Tabela A p=>q =1    /bramka A 1 1 =1 p=>~q =1 1 0 =0 Definicja warunku wystarczającego, zero-jedynkowo w logice dodatniej. Kod: Tabela B ~p=>~q =1    /bramka B 1 1 =1 ~p=>q =1 1 0 =0 Rzeczywisty algorytm działania mózgu człowieka w obsłudze równoważności na przykładzie. Przykład: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe. TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) Aktywna bramka A A. Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe TR=>KR =1 A: 1 1 =1 B: 0 0 =1 Bycie trójkątem równobocznym wystarcza aby mieć kąty równe. B. Jeśli trójkąt jest równoboczny to nie ma kątów równych TR=>~KR =0 A: 1 0 =0 B: 0 1 =1 Wyjście Y to iloczyn logiczny A AND B zatem: Y=0*1=0 Można zatem powiedzieć, że bramka AND „zabija” warunek konieczny ~> występujący równolegle w bramce B. … a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ? W tym miejscu mózg człowieka porzuca bramkę A obsługującą warunek wystarczający TR=>KR, i przechodzi do bramki B obsługującej warunek wystarczający ~TR=>~KR traktując to zdanie jako nowo wypowiedziane 1 1 =1. Aktywna bramka B C. Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to nie ma kątów równych ~TR=>~KR =1 A: 0 0 =1 B: 1 1 =1 Nie bycie trójkątem równobocznym wystarcza aby nie mieć kątów równych D. Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to ma kąty równe ~TR=>KR =0 A: 0 1 =1 B: 1 0 =0 Wyjście Y to iloczyn logiczny A AND B zatem: Y=1*0=0 Można tu powiedzieć, że bramka AND „zabija” warunek konieczny ~> występujący równolegle w bramce A. Mózg człowieka chodzi po powyższych zdaniach ścieżkami wytłuszczonymi, gdzie zdanie 1 1 =1 to zdanie nowo wypowiedziane. Z punktu odniesienia wyjścia Y mamy to czynienia z definicją równoważności. Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe. Y = TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) Której zero-jedynkowa analiza jest następująca: A. Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe TR=>KR =1 1 1 =1 Bycie trójkątem równobocznym wystarcza aby mieć kąty równe. B. Jeśli trójkąt jest równoboczny to nie ma kątów równych TR=>~KR =0 1 0 =0 … a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ? C. Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to nie ma kątów równych ~TR=>~KR =1 0 0 =1 Nie bycie trójkątem równobocznym wystarcza aby nie mieć kątów równych D. Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to ma kąty równe ~TR=>KR =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: TR=1, ~TR=0 KR=1, ~KR=0 Teoretycznie rzec biorąc bramkę B można uprościć korzystając z prawa Kubusia: ~p=>~q = p~>q Kod: Blok układu logicznego z bramkami => i ~>  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x--------------x       |  |       |      |       |  |       |      |       | -----------    ----------- |O  =>    |    |   ~>   O| |         |    |         | |    A    |    |    B    | |         |    |         | -----------    -----------      |              |      |              |      x----x    x----x           |    |          --------          |      |          | AND  |          --------             |             Y = p<=>q = (p=>q)*(p~>q) Punkt odniesienia p Bramka A realizuje: p=>q Stoimy na negacji i widzimy linie niezanegowaną Bramka B realizuje: p~>q Stoimy na linii niezanegowanej i widzimy linie zanegowaną Odpowiedzi powyższego układu będą identyczne jak w równoważności, jednak powyższy układ nie jest układem równoważności ! Dlaczego ? Bo warunek konieczny p~>q wymusza implikację odwrotną, czyli coś fundamentalnie innego niż równoważność. Dowód: Definicja implikacji odwrotnej: p~>q Jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q Proste rozumowanie: Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wymusza zajście ~q Stąd w sposób naturalny odkryliśmy tu wyrocznię implikacji, prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Stąd błędna jest definicja równoważności rozumiana jako iloczyn logiczny dwóch implikacji prostych: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) z prawej strony to tylko i wyłącznie warunki wystarczające definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej jak wyżej. Występowanie implikacji w równoważności jest wykluczone w jakiejkolwiek formie. Równoważność i implikacja do dwa rozdzielne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne prawa matematyczne. Jeśli cokolwiek jest równoważnością to nie ma prawa być implikacja i odwrotnie. 6.8 Operatory OR i AND w technice bramek logicznych Dwuelementowa algebra Boole’a to technika bramek logicznych. Wszelkie prawa tej algebry można fizycznie dotknąć w laboratorium techniki cyfrowej, nie jest to więc czysto matematyczna abstrakcja. Dzięki temu można łatwo udowodnić totalną porażkę dzisiejszej logiki w obszarze operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>, o czym za chwilę. Fizyczna realizacja operatora OR w bramkach logicznych: Kod:   p     q   |     |   |     x-----------------------x   |     |                       |   x-----------------------x     |                |     |                 |     |   |     |                 O     O   |     |                 |~p   |~q  ---------Tabela A       --------- Tabela B  |       |Dotrzymam      |       |  |       |słowa (Y)      |       |  |       | p* q= Y       |       | p* q= Y  |       | 1 1 =1        |       | 0 0 =0  |A      | p*~q= Y       |B      | p*~q= Y  |OR     | 1 0 =1        |AND    | 0 1 =0  |       |~p* q= Y       |       |~p* q= Y  |       | 0 1 =1        |       | 1 0 =0  |       |               |       |Skłamię (~Y)  |       |~p*~q=~Y       |       |~p*~q=~Y  |       | 0 0 =0        |       | 1 1 =1  ---------               ---------      |Dotrzymam słowa (Y)    |Skłamię (~Y)      |Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q    |~Y=~p*~q      |                       O      |                       |Y=~(~p*~q)  /Dotrzymam słowa (Y)      x-----------x-----------x                  |                  |                  Y= p+q = ~(~p*~q) W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko „O”. Wnioski: 1. Na wejście bramki A (OR) docierają sygnały p i q ze świata zewnętrznego o tabeli zero-jedynkowej jak przy bramce A, wyjście Y przyjmuje tu wartości zgodne z definicją operatora OR. Na wejściu bramki B (AND) mamy sygnały ~p i ~q po negatorach, czyli wejściowe zera i jedynki są odwrócone w stosunku do A, natomiast wyjście ~Y przyjmuje wartości zgodnie z definicją operatora AND (bramka B). 2. Jak widzimy, aby odpowiedzieć na pytanie „Kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda)” korzystamy z bramki OR po lewej stronie: Y=p+q Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) lub zajdzie q (q=1) Y=p+q Y=1 <=> p=1 lub q=1 czyli po szczegółowej rozpisce logicznej: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) Dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy którykolwiek ze składników sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden. 3. Aby odpowiedzieć na pytanie „Kiedy skłamię (wystąpi fałsz)” korzystamy z bramki AND po prawej stronie: ~Y = ~p*~q Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zajdzie p (~p=1) i nie zajdzie q (~q=1). ~Y = ~p*~q ~Y=1 <=> (~p=1) i (~q=1) 4. Operator logiczny OR (bramka A) to złożenie spójnika „lub” OR(+) w logice dodatniej (Y=1 - trzy pierwsze linie w bramce A) i spójnika „i” AND(*) w logice ujemnej (~Y=1 - ostatnia linia w bramce A) Y=p+q - dotrzymam słowa (Y=1) ~Y=~p*~q - skłamię (~Y=1) Wynika z tego, że spójnik zdaniowy „lub” OR(+) to fundamentalnie co innego niż operator logiczny OR(+). Operator logiczny OR zawiera w sobie odpowiedź na dwa fundamentalne pytania jak wyżej, to dwa różne zdania bowiem matematycznie zachodzi: Y # ~Y W naturalnym języku mówionym zawsze wymawiamy spójnik „lub” w logice dodatniej (Y=1), bowiem nikt normalny nie rozpoczyna rozmowy mówiąc „Skłamię (~Y=1) gdy …”, co więcej, w praktyce wymawiamy wyłącznie zdania w logice dodatniej ! Dlaczego ? Bowiem odpowiedź na pytanie „Kiedy skłamię (~Y=1)” wbudowaną w operatora OR zna każde 5-cio letnie dziecko i nie ma potrzeby zadawania głupich pytań. Wyjątkiem są tu 3-latki, które dopiero uczą się języka. 5. Z punktu widzenia świata zewnętrznego bramka B (AND) jest totalnie nierozpoznawalna, czyli dla dowolnych sygnałów wejściowych p i q na wyjściu Y zawsze będziemy widzieć tylko i wyłącznie bramkę A (OR). 6. Z powyższego wynika, że prawo de’Morgana zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji operatora OR, czyli operator OR (bramka A) nie może istnieć bez operatora AND (bramka B) i odwrotnie. Fizyczna realizacja operatora AND w bramkach logicznych: Kod:   p     q   |     |   |     x-----------------------x   |     |                       |   x-----------------------x     |                |     |                 |     |   |     |                 O     O   |     |                 |~p   |~q  ---------Tabela A       --------- Tabela B  |       |Dotrzymam      |       |  |       |słowa (Y)      |       |  |       | p* q= Y       |       | p* q= Y  |       | 1 1 =1        |       | 0 0 =0  |       |               |       |Skłamię (~Y)  |       |               |       |~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q  |A      | p*~q=~Y       |B      | p*~q=~Y  |AND    | 1 0 =0        |OR     | 0 1 =1  |       |~p* q=~Y       |       |~p*q =~Y  |       | 0 1 =0        |       | 1 0 =1  |       |~p*~q=~Y       |       |~p*~q=~Y  |       | 0 0 =0        |       | 1 1 =1  ---------               ---------      |Dotrzymam słowa (Y)    |Skłamię (~Y)      |Y=p*q                  |~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q      |                       O      |                       |Y=~(~p+~q)  /Dotrzymam słowa (Y)      x-----------x-----------x                  |                  |                  Y= p+q = ~(~p*~q) Wnioski: 1. Na wejście bramki A (AND) docierają sygnały p i q ze świata zewnętrznego o tabeli zero-jedynkowej jak przy bramce A, wyjście Y przyjmuje tu wartości zgodne z definicja operatora AND. Na wejściu bramki B (OR) mamy sygnały ~p i ~q po negatorach, czyli wejściowe zera i jedynki są odwrócone w stosunku do A, natomiast wyjście ~Y przyjmuje wartości zgodnie z definicją operatora OR (bramka B). 2. Jak widzimy, aby odpowiedzieć na pytanie „Kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda)” korzystamy z bramki AND po lewej stronie: Y=p*q Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i zajdzie q (q=1) Y=p*q Y=1 <=> p=1 i q=1 3. Aby odpowiedzieć na pytanie „Kiedy skłamię (wystąpi fałsz)” korzystamy z bramki OR po prawej stronie: ~Y = ~p+~q Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zajdzie p (~p=1) lub nie zajdzie q (~q=1). ~Y = ~p+~q ~Y=1 <=> (~p=1) lub (~q=1) czyli po szczegółowej rozpisce logicznej: ~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q ~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy którykolwiek ze składników powyższej sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden. 4. Operator logiczny AND (bramka A) to złożenie spójnika „i” AND(*) w logice dodatniej (Y=1 - pierwsza linia w bramce A) i spójnika „lub” OR(+) w logice ujemnej (~Y=1 - ostatnie trzy linie w bramce A) Y=p*q - dotrzymam słowa (Y=1) ~Y=~p+~q - skłamię (~Y=1) Wynika z tego, że spójnik zdaniowy „i” AND(*) to fundamentalnie co innego niż operator logiczny AND(*). Operator logiczny AND zawiera w sobie odpowiedź na dwa fundamentalne pytania jak wyżej, to dwa różne zdania bowiem matematycznie zachodzi: Y # ~Y W naturalnym języku mówionym zawsze wymawiamy spójnik „i” w logice dodatniej (Y=1), bowiem nikt normalny nie rozpoczyna rozmowy mówiąc „Skłamię (~Y=1) gdy …”, co więcej, w praktyce wymawiamy wyłącznie zdania w logice dodatniej ! Dlaczego ? Bowiem odpowiedź na pytanie „Kiedy skłamię (~Y=1)” wbudowaną w operatora AND zna każde 5-cio letnie dziecko i nie ma potrzeby zadawania głupich pytań. Wyjątkiem są tu 3-latki, które dopiero uczą się języka. 5. Z punktu widzenia świata zewnętrznego bramka B (OR) jest totalnie nierozpoznawalna, czyli dla dowolnych sygnałów wejściowych p i q na wyjściu Y zawsze będziemy widzieć tylko i wyłącznie bramkę A (AND). 6. Z powyższego wynika, że prawo de’Morgana zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji operatora AND, czyli operator AND (bramka A) nie może istnieć bez operatora OR (bramka B) i odwrotnie. Ciąg dalszy na kolejnej stronie … Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 1:00, 24 Lip 2010, w całości zmieniany 7 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 4:40, 01 Cze 2010    Temat postu: 7.0 Układy zastępcze bramek logicznych Bezdyskusyjne bramki zastępcze to prawa de’Morgana i prawa Kubusia Prawa de’Morgana:. p*q = ~(~p+~q) p+q = ~(~p*~q) Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q p~>q = ~p=>~q 7.1 Definicja bloku logicznego Blok logiczny to układ o dwóch wejściach i jednym wyjściu dający jednoznaczną odpowiedź na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach, czyli dla operatorów dwuargumentowych mamy cztery różne przypadki. Kod: 1 1 =? 1 0 =? 0 0 =? 0 1 =? W środku takiego bloku może być dowolnie skomplikowany układ logiczny. Kod:   p   q   |   |  -------  |     |  |BLOK |  |     |  -------     |     Y W takim bloku może znajdować się układ zastępczy praw de’Morgana, układ zastępczy praw Kubusia lub cokolwiek innego. Zacznijmy od praw de’Morgana. 7.2 Układy zastępcze praw de’Morgana Definicja: Układ zastępczy bramki logicznej w operatorach AND i OR to możliwość zastąpienia bramki AND bramką OR albo odwrotnie. Prawa de’Morgan:p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+) p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*) Kod: Układ zastępczy bramki AND  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x--------------x       |  |       |      |       |  |       |      O       O -----------    ----------- |         |    |         | |         |    |         | |    A    |    |    B    | |   AND   |    |    OR   | -----------    -----------      |              O      |              |      x--------------x      |      Y = p*q = ~(~p+~q) Patrząc przez bramkę A widzimy funkcję logiczną: Ya = p*q Patrząc przez bramkę B widzimy funkcje logiczną: Yb=~(~p+~q) Oczywiście jeśli powyższy układ zamkniemy w czarnej skrzynce z której wystają kabelki p i q oraz wyjście Y, to ten układ będzie nie do rozpoznania. Dowód: Wymuszamy wszystkie możliwe stany ba wejściach p i q, dla każdego wymuszenia zapisujemy odpowiedź na wyjściu Y. W ten sposób zdejmujemy tabelę prawdy nieznanego nam bloku logicznego, czarnej skrzynki. Kod: p q  Y=p*q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =0 0 1 =0 Oczywiście mamy tu tabelę prawdy bramki AND, układu zastępczego B nigdy nie rozpoznamy tzn. możemy sobie co najwyżej rzucać monetą, istnieje w czarnej skrzynce czy nie istnieje. Zauważmy, że żadne tu idiotyczne przełączanie kabelków nie jest dozwolone ! W implikacji nie jest poprany układ zastępczy bramki p=>q powstały poprzez zamianę kabelków w bramce p~>q. Kod: Układ zastępczy bramki OR  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x--------------x       |  |       |      |       |  |       |      O       O -----------    ----------- |         |    |         | |         |    |         | |    A    |    |    B    | |    OR   |    |   AND   | -----------    -----------      |              O      |              |      x--------------x      |      Y = p+q = ~(~p*~q) Patrząc na układ poprzez bramkę A mamy funkcje logiczną: Ya = p+q Patrząc na układ poprzez bramkę B mamy identyczną matematycznie funkcję: Yb = ~(~p*~q) zamykamy tera cały układ do czarnej skrzynki (bloku logicznego) z której wystają kabelki wejściowe p i q oraz kabelek wyjściowy Y. Zdejmujemy tabelę prawdy nieznanego układu wymuszając wszystkie możliwe stany na wejściach p i q. Kod: p q Y=p+q 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =0 0 1 =1 Tym razem bez problemu identyfikujemy operator logiczny OR, nic ponad to nie jesteśmy powiedzieć, możemy tylko zgadywać czy układ zastępczy B jest w środku podłączony czy nie jest. 7.3 Blok logiczny równoważności Blok logiczny równoważności Kod: Blok układu logicznego z bramkami => i ~>  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x--------------x       |  |       |      |       |  |       |      |       | -----------    ----------- |O  =>    |    |   ~>   O| |         |    |         | |    A    |    |    B    | |         |    |         | -----------    -----------      |              |      |              |      x----x    x----x           |    |          --------          |      |          | AND  |          --------             |             Y = p<=>q = (p=>q)*(p~>q) Punkt odniesienia p Bramka A realizuje: p=>q Stoimy na negacji i widzimy linie niezanegowaną Bramka B realizuje: p~>q Stoimy na linii niezanegowanej i widzimy linie zanegowaną W równoważności operator implikacji odwrotnej ~> nie istnieje na mocy definicji zero-jedynkowej równoważności, musimy go zatem wyeliminować korzystając z prawa Kubusia: p~>q = ~p=>~q Blok logiczny równoważności - wersja ostateczna Kod: Blok układu logicznego z bramkami =>  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x--------------x       |  |       |      |       |  |       |      O       O -----------    ----------- |O   =>   |    |O   =>   | |         |    |         | |    A    |    |    B    | |         |    |         | -----------    -----------      |              |      |              |      x----x    x----x           |    |          --------          |      |          | AND  |          --------             |             Y = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Stąd definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) 7.4 Fałszywe układy zastępcze bramek Definicja fałszywego układu zastępczego: Fałszywe układy zastępcze to powielenie tego samego operatora połączonego w sposób równoległy. Kod: Układ zastępczy bramki OR  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x--------------x       |  |       |      |       |  |       |      |       } -----------    ----------- |         |    |         | |         |    |         | |    A    |    |    B    | |    OR   |    |    OR   | -----------    -----------      |              |      |              |      x--------------x      |      Y = p+q Oczywiście w sposób jak wyżej możemy sobie podłączyć nieskończoną ilość układów. Fałszywe układy zastępcze bramek implikacji prostej => i odwrotnej ~> Bramkowe definicje implikacji prostej i odwrotnej Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q p musi być wystarczające dla q Na podstawie tej definicji łatwo konstruujemy bramkę implikacji prostej, którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią p. W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko „O”. Bramkowa definicja implikacji prostej: Kod: Bramka A   p   q   |   |  -------  |O => |  | musi|  |  OR |  -------     |    p=>q Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy niezanegowaną linię q. Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” zajść q p musi być konieczne dla q Na podstawie tej definicji mamy bramkę implikacji odwrotnej którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią q. Bramkowa definicja implikacji odwrotnej: Kod: Bramka B   p   q   |   |  -------  | ~> O|  | może|  |  OR |  -------     |    p~>q Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy zanegowaną linię q. Oczywiście na mocy definicji fałszywego układu zastępczego zabronione jest takie łączenie układów. Kod: Blok układu logicznego z bramkami p=>q albo p~>q, zależnie na którym przewodzie p lub q staniemy.  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x-------|------x       |  |       |      |       |  |       |      |       | -----------    ----------- |O   =>   |    |O  =>    | |         |    |         | |    A    |    |    B    | |    OR   |    |    OR   | -----------    -----------      |              |      |              |      x--------------x      |      Y To co wyżej to tylko powielenie tej samej bramki logicznej. Nawet nie musimy zagłębiać się jakiej bowiem na mocy definicji powielenie tego samego układu jest fałszywym układem zastępczym. Oczywiście jak zamienimy końcówki p i q w środku bloku logicznego (czarnej skrzynki) to wszystko wyleci w powietrze na mocy definicji: p=>q # p~>q Czyli dużo dymu i smrodu, zatem nie jest to poprawny układ zastępczy bramki p=>q. Jedyny poprawny układ zastępczy wynika tu z prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q Kod: Blok układu logicznego z bramkami => i ~>  p       q  |       |  |       |  |       x--------------x  |       |              |  x-------|------x       |  |       |      |       |  |       |      O       O -----------    ----------- |O  =>    |    |   ~>   O| |         |    |         | |    A    |    |    B    | |         |    |         | -----------    -----------      |              |      |              |      x--------------x      |      Y = p=>q = ~p~>~q To co wyżej to jedyny poprawny układ zastępczy bramki implikacji prostej =>. Wszystko inne jest fałszywe, w szczególności fałszywy jest fundament współczesnej logiki jakoby: p=>q = q~>p Poniżej dowód fałszywości tego równania na zbiorach. 8.0 Implikacja vs równoważność na zbiorach Czym różni się implikacja od równoważności - na zbiorach. Na początek weźmy prostą równoważność Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) - definicja równoważności Skrócona analiza zero-jedynkowa w NTI A. Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno ma kąty równe TR=>KR=1 1 1 =1 B. TR=>~KR =0 1 0 =0 C. Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma kątów równych ~TR=>~KR=1 0 0 =1 D. ~TR=>KR =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: TR=1, ~TR=0 KR=1, ~KR=0 Zauważmy że w równoważności mamy do czynienia wyłącznie z dwoma zbiorami: [A. zbiór trójkątów równobocznych][C. Zbiór trójkątów nie równobocznych] Oczywiście zbiór A jest dopełnieniem zbioru C, żadnych innych trójkątów już nie ma. Dlatego w równoważności zachodzi: p<=>q = ~p<=>~q czyli twierdzenie: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR jest tożsame matematycznie z twierdzeniem: Trójkąt nie jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma kątów równych ~TR<=>~KR Dowód formalny: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~p) - definicja równoważności Twierdzenie: p<=>q = ~p<=>~q Dla prawej strony korzystamy z definicji równoważności jak wyżej. ~p<=>~q = [(~p)=>(~q)]*[~(~p)=>~(~q)] =( ~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q) CND Uwaga ! W implikacji, co zobaczymy za chwile zawsze mamy do czynienia z trzema zbiorami (trzema stanami), dlatego implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność Historyczna chwila prawdy A: Implikacja prosta: A1. Jeśli będzie padać to na pewno będzie pochmurno P=>CH =1 1 1 =1 Gwarancja matematyczna: pada to na pewno chmury Padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur, implikacji proste prawdziwa stąd: A2. Jeśli będzie padać to na pewno nie będzie pochmurno P=>~CH=0 1 0 =0 … a jeśli nie będzie padać ? Prawo Kubusia: P=>CH = ~P~>~CH A3. Jeśli nie będzie padać to może nie być pochmurno ~P~>~CH=1 0 0 =1 LUB A4. Jeśli nie będzie padać to może być pochmurno ~P~~>CH =1 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji prostej. B: Implikacja odwrotna. B1. Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać CH~>P =1 1 1 =1 Chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu, implikacja odwrotna prawdziwa LUB B2. Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać CH~~>~P=1 1 0 =1 … a jeśli jutro nie będzie pochmurno ? Prawo Kubusia: CH~>P = ~CH=>~P B3. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać ~CH=>~P =1 0 0 =1 Gwarancja matematyczna: brak chmur to na pewno nie pada B4. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać ~CH=>P=0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji odwrotnej. Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, wszystko inne jest bez znaczenia Gwarancja w implikacji prostej A: GA: P=>CH =1 Gwarancja matematyczna: pada to na pewno chmury Prawo Kubusia w implikacji prostej A:: P=>CH = ~P~>~CH Gwarancja w implikacji odwrotnej B: GB: CH~>P = ~CH=>~P Gwarancja matematyczna: brak chmur to na pewno nie pada Poza obiema gwarancjami jest trzeci stan ! Trzeci stan: są chmury i nie pada B2: CH~~>~P = A4: ~P~~>CH Dlatego to jest implikacja a nie równoważność ! Graficznie wygląda to tak: [GA: pada to na pewno chmury][B2:są chmury i nie pada][GB: nie ma chmur to na pewno nie pada] Stan (zbiór) GA nie jest dopełnieniem stanu (zbioru) GB, bo między tymi zbiorami jest trzeci stan (zbiór) B2 - dlatego to jest implikacja a nie równoważność ! Dlatego poprawne jest tylko i wyłącznie takie równanie: P=>CH # CH~>P Bo poza powyższymi gwarancjami jest trzeci stan: B2: są chmury i nie pada. czyli: p=>q # q~>p - dla sztywnego punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q Kolejny dowód fałszywości równania: p=>q =q~>p to kompromitująca obsługa wszelkich gróźb i obietnic. Jeśli będzie padał deszcz to otworzę parasolkę D=>P Deszcz jest warunkiem wystarczającym abym otworzył parasolkę Zamieniamy p i q: Jeśli otworzę parasolkę to może będzie padał deszcz P~>D Prawo Kubusia: P~>D = ~P=>~D Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno nie będzie padał deszcz ~P=>~D Jak widać bzdura zatem: D=>P # P~>D p=>q # q~>p Kiedy zdanie po prawej stronie będzie sensowne ? Tylko i wyłącznie w czasie przeszłym gdy nie znamy rozstrzygnięcia implikacji, bo jak znamy to powyższe zdania też są bezsensowne, determinizm zabija implikację. Jeśli otworzyłeś parasolkę to mógł padać deszcz P~>D Prawo Kubusia: P~>D = ~P=>~D czyli: Jeśli nie otworzyłeś parasolki to na pewno nie padał deszcz. ~P=>~D Z tego powodu: D=>P # P~>D p=>q # q~>p - dla sztywnego punktu odniesienia ustawionego na p=>q Zdanie po lewej stronie jest prawdziwe i sensowne w czasie przyszłym, natomiast zdanie po prawej stronie jest prawdziwe i sensowne w czasie przeszłym. 8.1 Genialna matematyka 5-cio latków Logika dodatnia i ujemna Kubuś do Juniora (lat 5): Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to pójdziemy do kina lub do teatru P*~B=>K+T Posprzątanie pokoju i nie bicie siostry jest warunkiem wystarczającym aby pójść do kina lub do teatru, zatem implikacja prosta prawdziwa. Analiza matematyczna: A. Jeśli posprzątasz pokój (P=1) i nie będziesz bił siostry (~B=1) to pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1) (P*~B)=>(K+T) =1 - twarda prawda (zachodzi zawsze) 1 1 =1 W następnej linii musimy zanegować następnik czyli: ~(K+T) = ~K*~T - prawo de’Morgana stąd na mocy definicji operatora => mamy: B. Jeśli posprzątasz pokój (P=1) i nie będziesz bił siostry (~B=1) to nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1) (P*~B)=> (~K*~T) =0 1 0 =0 Uwaga: Poprzednik w logice dodatniej, następnik w logice ujemnej … a jeśli nie spełnię warunku nagrody ? Przechodzimy z równaniem A do logiki ujemnej metoda przedszkolaka, czyli negujemy wszystkie zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne. Mamy A: P*~B=>K+T Negujemy zmienne i wymieniamy operatory: ~P+B ~> ~K*~T czyli: C. Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P=1) lub będziesz bił siostrę (B=1) to („może” ~>) nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1) (~P+B) ~> (~K*~T) =1 - miękka prawda (może zajść ale nie musi) 0 0 =1 Uwaga: Poprzednik w logice ujemnej, następnik w logice ujemnej. To jest groźba w której spójnik „może” ~> jest praktycznie zawsze pomijamy, bowiem intencją nadawcy jest aby warunek groźby nie został spełniony. Oczywiście im ostrzejsza groźba tym większe prawdopodobieństwo że odbiorca nie spełni warunku ukarania. Nadawca może tu sobie mówić co mu się podoba np. na 100% nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru … to kompletnie bez znaczenia bowiem prawa Kubusia człowiek nie jest w stanie złamać, podobnie jak np. praw Kirchhoffa z obszaru fizyki. Na mocy prawa Kubusia zdanie C to oczywista implikacja odwrotna prawdziwa. Prawo Kubusia: (P*~B) =>(K+T )= (~P+B) ~> (~K*~T) D. Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P=1) lub będziesz bił siostrę (B=1) to „możliwe” ~~> że mimo wszystko pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1) (~P+B) ~~> (K+T) =1 - miękka prawda (akt łaski) 0 1 =1 Uwaga: Poprzednik w logice ujemnej, następnik w logice dodatniej Doskonale widać zero-jedynkową definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A: p = (P*~B) =1 ~p=~P+B =0 q = K+T =1 ~q = ~K*~T =0 Zauważmy, że w czasie analizy matematycznej non-stop poza pierwszym zdaniem, mamy do czynienia ze zmiennymi wejściowymi w logice dodatniej i ujemnej. Kod: Tabela A Zmienne w logice dodatniej zgodne ze zdaniem wypowiedzianym: P=1 - posprzątam pokój P=0 - nie posprzątam pokoju ~B=1 - nie będę bił siostry ~B=0 - będę bił siostrę K=1 - pójdziemy do kina K=0 - nie pójdziemy do kina T=1 - pójdziemy do teatru T=0 - nie pójdziemy do teatru Kod: Tabela B Zmienne w logice ujemnej: ~P=1 - nie posprzątam pokoju ~P=0 - posprzątam pokój B=1 - będę bił siostrę B=0 - nie będę bił siostry ~K=1 - nie pójdziemy do kina ~K=0 - pójdziemy do kina ~T=1 - nie pójdziemy do teatru ~T=0 - pójdziemy do teatru   Zauważmy że w zerach i jedynkach zmienne w logice ujemnej mają totalnie odwrócone znaczenie niż zmienne w logice dodatniej. Logika dodatnia: P=1 - posprzątam pokój P=0 - nie posprzątam pokoju Logika ujemna: ~P=1 - nie posprzątam pokoju ~P=0 - posprzątam pokój Oczywiste związki logiki dodatniej i ujemnej: P#~P oraz: P=~(~P) 9.0 Obietnice i groźby Jednym z przykładów zastosowania implikacji prostej => i odwrotnej ~> jest matematyczna obsługa obietnic i gróźb. Fundament algebry Kubusia Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej: Kod: p q  Y = p=>q 1 1 =1   /p=>q - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) 1 0 =0 0 0 =1   /~p~>~q - warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) 0 1 =1 Definicja słowna: p=>q Jeśli zajdzie p to musi => zajść q p musi być wystarczające dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej: Kod: p q  Y = p~>q 1 1 =1   /p~>q - warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) 1 0 =1 0 0 =1   /~p=>~q - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) 0 1 =0 Definicja słowna: p~>q Jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być konieczne dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na => Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy: Obietnica = implikacja prosta => - to jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić że: Groźba = implikacji odwrotna ~> Dowód na przykładzie … Typowa obietnica: A. Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę G=>C =1 1 1 =1 - zdanie wypowiedziane Obietnica, zatem implikacja prosta, tu wszyscy się zgadzamy. Skoro to implikacja prosta to: B. Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => nie dostaniesz czekolady G=>~C =0 1 0 =0 … a jak będę niegrzeczny ? Prawo Kubusia: G=>C = ~G~>~C Mama: C. Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady ~G~>~C W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia. Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego: Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Boole’a leży w gruzach. Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie: C. Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady ~G~>~C =1 0 0 =1 LUB D. Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę ~G~~>C =1 0 1 =1 - akt miłości gdzie: ~~> - naturalne "może", wystarczy jedna prawda, nie jest to operator implikacji odwrotnej ~>, zatem warunek konieczny tu nie zachodzi. Doskonale tu widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: G=1, ~G=0 C=1, ~C=0 Oczywiście z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną: Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L - implikacja odwrotna bo groźba Z powyższego mamy definicję obietnicy i groźby … Definicja obietnicy: Obietnica = implikacja prosta => Jeśli dowolny warunek to nagroda W=>N Dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać, stąd implikacja prosta czyli: Gwarancja w obietnicy: W=>N Jeśli spełnisz warunek nagrody, (W) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W), poza tym wszystko może się zdarzyć ! … tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>. Analiza matematyczna obietnicy: Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę W=>N =1 - gwarancja nagrody 1 1 =1 stąd na podstawie definicji operatora implikacji prostej => mamy: Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => nie dostaniesz nagrody W=>~N =0 1 0 =0 … a jeśli nie spełnię warunku nagrody ? Prawo Kubusia: W=>N = ~W~>~N czyli: Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~> nie dostać nagrody ~W~>~N =1 0 0 =1 LUB Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~~> dostać nagrodę ~W~~>N =1 - akt miłości 0 1 =1 Możliwość wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (akt miłości) Doskonale widać definicje implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: W=1, ~W=0 N=1, ~N=0 Definicja groźby: Groźba = implikacji odwrotna ~> Jeśli dowolny warunek to kara W~>K Implikacja odwrotna, bo spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym do ukarania, o tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia: W~>K = ~W=>~K czyli: Gwarancja w groźbie: ~W=>~K Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W) to na pewno nie zostaniesz ukarany (~K), z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W), poza tym wszystko może się zdarzyć ! … tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>. Porównajmy gwarancję w obietnicy z gwarancją w groźbie, doskonale widać 100% analogię wynikającą z definicji operatora implikacji prostej =>, jednak groźba ~> to fundamentalnie co innego niż obietnica => bowiem matematycznie: p=>q # p~>q Analiza matematyczna groźby: Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~> zostać ukarany W~>K =1 1 1 =1 LUB na podstawie definicji operatora implikacji odwrotnej~>: Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~~> nie zostać ukarany W~~>~K =1 - akt łaski 1 0 =1 Mamy tu prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy (akt łaski) … a jeśli nie spełnię warunku kary ? Prawo Kubusia: W~>K= ~W=>~K czyli: Gwarancja w groźbie: Jeśli nie spełnisz warunku kary, to na pewno => nie zostaniesz ukarany ~W=>~K =1 0 0 =1 … z powodu że nie spełniłeś warunku kary, wszystko inne może się zdarzyć stąd na podstawie =>: Jeśli nie spełnisz warunku kary, to na pewno => zostaniesz ukarany ~W=>K =0 0 1 =0 z powodu że nie spełniłeś warunku kary, poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej W~>K. Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: W=1, ~W=0 K=1, ~K=0 W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach => i ~>: Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną. Obietnica: W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~> Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N) Groźba: W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę => Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K) Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby. Kod: p q p~>q p<=q 1 1  =1   =1 1 0  =1   =1 0 0  =1   =1 0 1  =0   =0 gdzie: ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Z tabeli widzimy że: ~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej) Obietnica: W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody => czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym Groźba: W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary gdzie: <= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę. W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć. 9.1 Obietnica Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek to nagroda W=>N =1 - twarda prawda Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody Prawo Kubusia: W=>N = ~W~>~N Gwarancja w implikacji jest zawsze operator implikacji prostej: W=>N Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć. W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą. Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych. Zdanie wypowiedziane: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E=>K Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać Gwarancja w implikacji prostej: E=>K Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej => w obietnicy. Analiza matematyczna: A. Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer E=>K =1 1 1 =1 stąd: B. Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać 1 0 =0 … a jeśli nie zdam egzaminu ? Prawo Kubusia: E=>K = ~E~>~K czyli: C. Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera ~E~>~K =1 0 0 =1 LUB D. Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer ~E~~>K =1 - akt miłości 0 1 =1 Doskonale widać definicje implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: E=1, ~E=0 K=1 , ~K=0 Zdanie C to ewidentna groźba. Intencją wypowiadającego jest, aby groźba była groźbą, dlatego praktycznie zawsze pomijany jest spójnik „może”. Zdanie C przybierze postać. C. Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera ~E~>~K =1 Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym nie dostania komputera, zatem implikacja odwrotna. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Oczywiście na mocy definicji groźby: Jeśli dowolny warunek to kara W~>K zatem powyższą groźbę musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej ~>: ~E~>~K Matematyczna wolna wola Matematyczna wolna wola to operator implikacji odwrotnej ~> W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli. W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać: orzełek - dam komputer reszka - nie dam komputera … i nie ma szans na zostanie kłamcą. „Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka ! Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”. Wolna wola człowieka: Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję. Decyzja negatywna: Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp. Decyzja pozytywna: Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp. Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli: Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu Matematyczny dowód pkt. 8.1. Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy: 1. Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości). 2. Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi. Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym. Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Boole’a (algebrę Kubusia) Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem. Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik: Dobro-Zło = 4:2 Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro. Weźmy na koniec typowa groźbę. Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia: B~>L = ~B=>~L czyli: Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania ~B=>~L ... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej ~>. Równanie jest absolutnie genialne: B~>L = ~B=>~L Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła. Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje. Determinizm filozoficzny i fizyczny Determinizm w ujęciu filozoficznym i można sprowadzić do jednego zdania: Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany. Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej => jak i odwrotnej ~> mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>) Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja. 9.2 Rodzaje obietnic 1. Obietnica z natychmiastową wykonalnością: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E=>K … a jak nie zdam egzaminu. Prawo Kubusia: E=>K = ~E~>~K czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą. Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie 2. Obietnica z odroczoną wykonalnością: Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca J=>G … a jak przyjdę pojutrze ? J=>G = ~J~>~G Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens. 3. Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne: Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód W=>S … a jak nie wygram w TOTKA ? Prawo Kubusia: W=>S = ~W~>~S Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą. 9.3 Groźba Definicja groźby: Jeśli dowolny warunek to kara W~>K =1 Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi. Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia: W~>K = ~W => ~K Stąd gwarancja: ~W => ~K Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć. W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą. Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia. Przykład: Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L - implikacja odwrotna bo groźba Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni, zatem implikacja odwrotna prawdziwa. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne. Analiza: A: Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie B~>L =1 1 1 =1 LUB B: Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz nie dostać lania B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski) 1 0 =1 Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, nie jest to implikacja odwrotna. Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) … a jeśli nie ubrudzę spodni ? B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia czyli: C: Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania ~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja) 0 0 =1 Na mocy definicji operatora implikacji prostej => mamy: Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>. stąd: D: Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lanie ~B => L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: B=1, ~B=0 L=1, ~L=0 Dlaczego zdanie B nie może być implikacja odwrotną ? Dowód nie wprost: Załóżmy że zdanie B: B~>~L jest implikacja odwrotną. Obowiązuje wówczas prawo Kubusia: B: B~>~L = D: ~B=>L Zdanie D: jest oczywistym fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacją odwrotną prawdziwą. Prawdziwość zdania B: określa wzór: (B~~>~L)+(B~>~L) = 1+0 =1 gdzie: ~~> - naturalny spójnik może, wystarczy jedna prawda, nie jest to operator implikacji odwrotnej zatem warunek koniczny tu nie zachodzi. Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do implikacyjnych AND(*) i OR(+) to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”: Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie Y=B~>L Jaś: … tata, a kiedy skłamiesz ? Y=B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa Negujemy dwustronnie: ~Y=~(B~>L) = ~B*L - skłamię Skłamię (~Y=1), jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni !) ~Y=~B*L Jaś: … a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie ? Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia, stąd: Y=~(~B*L) Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni) Y=~(~B*L) Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej. 10.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych. 10.1 Obietnica w równaniach matematycznych Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych.. Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek to nagroda Zasada „Jak się mówi tak się pisze”: Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody. Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy: U=1 – dam nagrodę U=0 – nie dam nagrody Równanie obietnicy: N=W+U Gdzie: N=1 – mam nagrodę N=0 – nie mam nagrody W=1 – warunek nagrody spełniony W=0 – warunek nagrody nie spełniony Zmienna uznaniowa nadawcy: U=1 – dam nagrodę U=0 – nie dam nagrody Analiza równania obietnicy. A. W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody. Równanie obietnicy przybierze wówczas postać: N = 1+U = 1 – muszę dostać nagrodę. W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy. B. W=0 – warunek nagrody nie spełniony Równanie obietnicy przybiera postać: N=W+U=0+U=U Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną. U=1 – dam nagrodę U=0 – nie dam nagrody Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić ! W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem: Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0) Równanie obietnicy przybierze tu postać: N = W+U = 0+0 =0 Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0). Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka. Przykład: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E=>K Równanie obietnicy: K = W+U Jeśli egzamin zdany (W=1) to: K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera. Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia. Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to: K=W+U = 0+U =U Wszystko w rękach nadawcy: U=1 - dam komputer U=0 - nie dam komputera Akt miłości nie zaszedł: U=0 Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0) Równanie obietnicy: K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera Akt miłości zaszedł: U=1 Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne) Równanie obietnicy: N=W+U=0+1=1 – mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości) Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody. Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0). Równanie obietnicy: N=W+U=0+0=0 – zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0) Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka. 10.2 Groźba w równaniach matematycznych Definicja groźby: Jeśli dowolny warunek to kara Zasada „Jak się mówi tak się pisze”: Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U). W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość. Matematyczne równanie groźby: K=W*U Gdzie: K=1 – zostanę ukarany K=0 – nie zostanę ukarany W=1 – warunek kary spełniony W=0 – warunek kary nie spełniony Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość: U=1 – ukarać U=0 – nie karać (akt łaski) Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski). Analiza równania groźby. K=W*U A. W=0 – warunek kary nie spełniony Równanie groźby przybierze wówczas postać: K=W*U=0*U=0 – zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony. Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary. B. W=1 – warunek kary spełniony Równanie groźby przybiera postać: K=W*U=1*U=U Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli: U=1 – karać U=0 – nie karać Przykład: Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne) K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary. Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1). Równanie groźby: K=W*U=1*1=1 – kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka. Koniec 2010-06-01 Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 1:01, 24 Lip 2010, w całości zmieniany 4 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 4:41, 01 Cze 2010    Temat postu: Rezerwa Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość Eremit Dołączył: 18 Kwi 2010 Posty: 331 Przeczytał: 0 tematów Skąd: z pustelni Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 0:39, 02 Cze 2010    Temat postu: No i czego dzieci straszysz! Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość EasternFriend Dołączył: 20 Mar 2010 Posty: 130 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 10:01, 12 Lip 2010    Temat postu: Jesli zjem ogorki z mlekiem moge sie zes*ac. (miec s*aczke) Nie bede jadl ogorkow z mlekiem -> nie wynika stad ze sie nie zes*am. (nie bede mial s*aczki) Moge jeszcze cos zjesc co zle wplynie na moj zoladek. Ostatnio zmieniony przez EasternFriend dnia Pon 10:42, 12 Lip 2010, w całości zmieniany 1 raz Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 14:04, 12 Lip 2010    Temat postu: EasternFriend napisał: Jesli zjem ogorki z mlekiem moge sie zes*ac. (miec s*aczke) Nie bede jadl ogorkow z mlekiem -> nie wynika stad ze sie nie zes*am. (nie bede mial s*aczki) Moge jeszcze cos zjesc co zle wplynie na moj zoladek. Upraszczając i bez sraczek mamy …. Jak zjem ogórki to mogę ~> się porzygać O~>P=1 1 1 =1 Zjedzenie ogórków jest warunkiem koniecznym dla rzygania, implikacja odwrotna prawdziwa LUB Jak zjem ogórki to mogę ~~> się nie porzygać O~~>~P =1 1 0 =1 … a jak nie zjem ogórków ? Prawo Kubusia: O~>P= ~O=>~P czyli: Jeśli nie zjem ogórków to na pewno => się nie porzygam ~O=>~P =1 0 0 =1 Z powodu że nie zjadłem ogórków ! … wszystko inne może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator => tu użyty ! stąd: Jeśli nie zjem ogórków to na pewno => się porzygam ~O=>P =0 0 1 =0 Doskonale widać zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej ~> dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: O=1, ~O=0 P=1, ~P=0 … proste jak cep Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość EasternFriend Dołączył: 20 Mar 2010 Posty: 130 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 14:42, 12 Lip 2010    Temat postu: >Zjedzenie ogórków jest warunkiem koniecznym dla rzygania Nie zupelnie tak. Chyba to wodka (albo jeszcze jakis dostatecznie mocny alkohol, naduzycie), moj drogi. 1000 kieliszkow. Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 18:07, 12 Lip 2010    Temat postu: EasternFriend napisał: >Zjedzenie ogórków jest warunkiem koniecznym dla rzygania Nie zupelnie tak. Chyba to wodka (albo jeszcze jakiś dostatecznie mocny alkohol, naduzycie), moj drogi. 1000 kieliszkow. Twój przykład to gdybanie co może mnie doprowadzić do rzygania. Oczywiście nie znasz reakcji swojego organizmu i nic tu nie jest pewne ze 100% pewnością. W tym przypadku łatwiej jest zapisać kiedy na pewno (twoim zdaniem) się nie porzygasz np. A. Jeśli nie zjem ogórka i nie napiję się mleka i nie popije wódką to na pewno się nie porzygam ~O*~M*~W=>~R =1 1 1 =1 czyli: Jeśli ~O=1 i ~M=1 i ~W=1 => ~R=1 … z powodu że zaszedł poprzednik =1 ! Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator =>. stąd: B. Jeśli nie zjem ogórka i nie napiję się mleka i nie popije wódką to na pewno się porzygam ~O*~M*~W=>R =0 1 0 =0 … a jeśli nie zajdzie poprzednik ? Prawo Kubusia: ~O*~M*~W=>~R = O+M+W ~>R - poprzednik zapisano na podstawie prawa de’Morgana Zauważmy że to samo otrzymamy przechodząc z równaniem A do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne. Mamy A: ~O*~M*~W=>~R stąd po przejściu do logiki przeciwnej: O+M+W ~>R czyli: C. Jeśli zjem ogórek lub napije się mleka lub napiję się wódki to mogę ~> się porzygać O+M+W ~>R =1 0 0 =1 czyli: Jeśli O=1 lub M=1 lub W=1 ~> R=1 LUB D. Jeśli zjem ogórek lub napije się mleka lub napiję się wódki to mogę ~~> się nie porzygać O+M+W ~~>~R =1 0 1 =1 czyli: Jeśli O=1 lub M=1 lub W=1 ~~>~R Doskonale widać definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~O*~M*~W=1, ~(~O*~M*~W)=O+M+W=0 ~R=1, R=0 Jak działają równania C i D ? wystąpiło: O=1 - zjadłem ogórek, nie rzygam (prawdziwe D) plus M=1 - popiłem mlekiem, nie rzygam (prawdziwe D) plus W=1 - popiłem wódką, nie rzygam (prawdziwe D) Oczywiście w dowolnym momencie powyższego łańcucha mogę rzygnąć, wtedy prawdziwe będzie zdanie C - koniec analizy ! Przykładowo jeśli po zjedzeniu ogórka: O=1 już rzygnąłem to prawdziwe jest zdanie C - dalsze picie mleka czy wódki jest już bez znaczenia, zdanie D nie może być prawdziwe bowiem już zaszło rzyganie ! Dlaczego zatem w zdaniu D jest tu jedynka ? Bo po nieskończonej ilości prób na pewno zdarzy się że prawdziwe będzie zdanie C albo D (rzucanie monetą). Oczywiście wykluczony jest przypadek, że dla dowolnego losowania prawdziwe będą zdania C i D jednocześnie, to fizycznie niemozliwe (algebra Boole'a leży wówczas w gruzach) Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 23:13, 12 Lip 2010, w całości zmieniany 1 raz Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość EasternFriend Dołączył: 20 Mar 2010 Posty: 130 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 21:26, 12 Lip 2010    Temat postu: >Jeśli nie zjem ogórka i nie napiję się mleka i nie popije wódką to na pewno się nie porzygam To juz jest (prawie!) przyklad stwierdzenia matematycznego. (Jednak indukcyjnego, bo moga istniec nieuwzglednione czynniki - cos nie zostalo wziete pod rachube) Nie ma powodow do rzygania -> sie nie porzygam. Zeby indukcja byla pelna nalezy dodac, ze nic nie zjem oprocz tego. Nic nie bede jadl ani pil -> zoladek bedzie pusty -> nie bedzie czym sie rzygalo. Dedukcja! Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 22:40, 12 Lip 2010    Temat postu: EasternFriend napisał: >Jeśli nie zjem ogórka i nie napiję się mleka i nie popije wódką to na pewno się nie porzygam To juz jest (prawie!) przyklad stwierdzenia matematycznego. (Jednak indukcyjnego, bo moga istniec nieuwzglednione czynniki - cos nie zostalo wziete pod rachube) Nie ma powodow do rzygania -> sie nie porzygam. Zeby indukcja byla pelna nalezy dodac, ze nic nie zjem oprocz tego. Nic nie bede jadl ani pil -> zoladek bedzie pusty -> nie bedzie czym sie rzygalo. Dedukcja! To jest 100% matematyka scisła, NTI, pod którą człowiek podlega a nie którą tworzy. Nie rozumiesz jak działa operator implikacji prostej =>. Przykład akceptowany przez wszystkich: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E=>K Czy jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć ! Analogicznie masz w naszym zdaniu: Jeśli nie zjem ogórka i nie napiję się mleka i nie popije wódką to na pewno się nie porzygam ~O*~M*~W=>~R czyli jeśli nie zjem tych trzech rzeczy wymienionych w poprzedniku jednocześnie to na pewno => się nie porzygam z powodu że nie zjadłem tych trzech rzeczy na raz, poza tym wszystko może się zdarzyć To wytłuszczone masz identyczne jak wyżej, to gwarancja matematyczna w operatorze =>. Możesz zatem zjeść wszystkie te rzeczy na raz i wcale nie musisz rzygać, co masz w analizie tego zdania wyżej. Możesz zjeść dowolne rzeczy poza wymienionymi w zdaniu i wcale nie musisz rzygać. Nie jest zatem prawdą że nie wolno ci nic jeść abyś miał gwarancję „nie rzygania”, możesz żreć co ci się podoba i możesz rzygać albo nie. Zdanie wypowiedziane daje ci tylko i wyłącznie gwarancję, że jak nie zjesz tych trzech rzeczy na raz, to na pewno nie będziesz rzygał z powodu że nie zjadłeś tych trzech rzeczy na raz. Proste jak dwa cepy Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:53, 12 Lip 2010, w całości zmieniany 1 raz Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość EasternFriend Dołączył: 20 Mar 2010 Posty: 130 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 14:33, 14 Lip 2010    Temat postu: >Nie rozumiesz jak działa operator implikacji prostej =>. Zapisywalem go w sposob ->. Musisz rozumiec ze jest to to samo. Matematycy czasem (rzadko) zapisuja te same rzeczy roznym symbolami. >Czy jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć ! Musialem juz miec komputer zeby podlaczyc sie do sieci i odpowiadac ci na tym forum. Verstehen? Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość EasternFriend Dołączył: 20 Mar 2010 Posty: 130 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 14:42, 14 Lip 2010    Temat postu: Co do ostatniego zdania ktore powiedzialem (zeby bylo logiczne!). Moge odpowiadac z obcego komputera (z roznych miejsc), tez nie jest to wykluczone, chociaz odpowiadam z mojego. Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 16:23, 14 Lip 2010    Temat postu: EasternFriend napisał: >Nie rozumiesz jak działa operator implikacji prostej =>. Zapisywalem go w sposob ->. Musisz rozumiec ze jest to to samo. Matematycy czasem (rzadko) zapisuja te same rzeczy roznym symbolami. >Czy jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć ! Musialem juz miec komputer zeby podlaczyc sie do sieci i odpowiadac ci na tym forum. Verstehen? Oczywiście że => i -> to jest to samo. Niestety nadal nie rozumiesz jak działa operator implikacji prostej =>. Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę P=>O =1 1 1 =1 czyli: Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę z powodu że pada, poza tym wszystko może się zdarzyć. … czyli że jak nie będzie padało to możemy sobie rzucać monetą ! orzełek - otworzył parasol (bo np. był upał i chronił się przed słońcem) reszka - nie otworzył parasolki Tylko to wytłuszczone gwarantuje operator => (reszta to badziewie czyli „rzut monetą”) i ta wytłuszczona gwarancja jest identyczna jak w twoim zdaniu wyżej: ~Q*~M*~W=>~R … nie wiem jak można takiego banału nie rozumieć ! stąd: Jeśli będzie padało to nie otworzę parasolki P=>~O =0 1 0 =0 … a jeśli nie będzie padało ? Prawo Kubusia: P=>O = ~P=>~O stąd: Jeśli nie będzie padało to mogę ~> nie otworzyć parasolki ~P=>~O =1 0 0 =1 LUB Jeśli nie będzie padało to mogę ~~> otworzyć parasolkę ~P~~>O =1 - np. ochrona przed słońcem 0 1 =1 Doskonale widać zero-jedynkową tabelę implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P=1, ~P=0 O=1, ~O=0 Kompromitacja dzisiejszej matematyki to prawo kontrapozycji dla tego przykładu: P=>O = ~O=>~p czyli: Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno nie będzie padać ~O=>~P = ?! Niestety matematycy nie mają bladego pojęcia o prawidłowej logice w implikacji, masz ją wyżej na banalnym przykładzie o deszczu i parasolce. Nie może być tak, że implikacja matematyków działa im „jakoś” w matematyce i kompletnie zawodzi w naturalnym języku mówionym. To "jakoś" oznacza że dzisiejsi matematycy mają potworne problemy z banalnym twierdzeniem Pitagorasa czego dowód jest tu: [link widoczny dla zalogowanych] Z tego "jakoś" wynika hasło dzisiejszych matematyków i logików: Logika człowieka nie istnieje, czyli nie jest znana ta wersja implikacji która posługują się ludzie Hasełko na pewno ci znane, ale totalnie błędne, bo matematycy nie rozumieją operatorów implikacji. Implikacja materialna którą się posługują to IDIOTYZM do potęgi nieskończonej - nic więcej. Nie ma różnych zero-jedynkowych operatorów implikacji w zalezności od tego czy jest to świat martwy, żywy czy też matematyka, są tylko i wyłącznie dwa jak niżej co oznacza, że przy prawidłowej interpretacji tych zer i jedynek jak w podpisie, jest bez znaczenia czy używamy tych definicji w świecie martwym, żywym czy tez w matematyce - implikacja wszędzie musi działać genialnie i ta z podpisu tak działa ! Implikacja prosta => Kod: p q p=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Implikacja odwrotna ~> Kod: p q p~>q 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =1 0 1 =0 Oczywiście matematycznie zachodzi: p=>q # p~>q Stoi wyżej jak wół że w logice oba operatory => i ~> są niezbędne ! … a jakiś matematyk ze 200 lat temu doszedł do błędnego wniosku że operator implikacji odwrotnej ~> jest w logice zbędny. Matematycy od pokoleń powielają ten błąd bo nie odróżniają logiki dodatniej od ujemnej w algebrze Boole’a, doskonale znanej w praktyce 5-cio latkom. Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 19:26, 14 Lip 2010, w całości zmieniany 3 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość EasternFriend Dołączył: 20 Mar 2010 Posty: 130 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 21:11, 14 Lip 2010    Temat postu: rafal3006 >Oczywiście że => i -> to jest to samo. >Niestety nadal nie rozumiesz jak działa operator implikacji prostej =>. Nie! To ty nie rozumiesz! => i -> mozna zapisac to samo (implikacje). Mozna tez nimi zapisywac rozne rzeczy. Jest to kwestia umowy. Inna sprawa jest ze sa rzeczy ogolnie przyjete. >P=>O = ~P=>~O Nie jest tak. >matematycy nie rozumieją operatorów imp Logicy rozumieja. Powazni matematycy musza byc logicy. Kiedys (w starozytnosc) za matematyke liczono tylko arytmetyke. Moze i geometrie. Pozniej, z poszerzeniem granic naszej swiadomosci dodawano do niej (wliczano) kolejne galezie. >doskonale znanej w praktyce 5-cio latkom. Zalezy od umyslu piecolatka? I niekoniecznie musi w wieku 5 lat poslugiwac sie zapisem formalnym? Do szkoly idzie troche pozniej chociaz wnioskowac moze (troche mlodszy)? ---------------------------------------------------- ~> - "nie wynika"? 1 1 1 0 0 0 0 1 z prawdy nie wynika prawda z prawdy nie wynika falsz z falszu nie wynika falsz z falszu nie wynika prawda ? Zero-jedynkowym zapisem da sie zdefiniowac pewne operatory Moze oprocz AND, OR, (moze jeszcze XOR?) Jestem ciekaw tylko jaki one beda mialy sens. Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 22:02, 14 Lip 2010    Temat postu: EasternFriend napisał: rafal3006 >Oczywiście że => i -> to jest to samo. >Niestety nadal nie rozumiesz jak działa operator implikacji prostej =>. Nie! To ty nie rozumiesz! => i -> mozna zapisac to samo (implikacje). Mozna tez nimi zapisywac rozne rzeczy. Jest to kwestia umowy. Inna sprawa jest ze sa rzeczy ogolnie przyjete. Symbol => może mieć tylko i wyłącznie dwa znaczenia: => - implikacja prosta definiowana wszystkimi czteroma liniami tabeli zero-jedynkowej => - warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności definiowany dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej Koniec ! Żadnych innych matematycznych znaczeń symbol => nie ma i mieć nie może. W sumie zdanie „Jeśli …to…” człowiek używa tylko i wyłącznie w pięciu różnych matematycznych znaczeniach, wszystkie możliwe użycia są w podpisie. Miejsce matematyki która tego nie rozpoznaje jest w koszu na śmieci. EasternFriend napisał: >P=>O = ~P=>~O Nie jest tak. Nic takiego nie napisałem, cytujesz coś co nie jest moje. EasternFriend napisał: >matematycy nie rozumieją operatorów imp Logicy rozumieja. Powazni matematycy musza byc logicy. Kiedys (w starozytnosc) za matematyke liczono tylko arytmetyke. Moze i geometrie. Pozniej, z poszerzeniem granic naszej swiadomosci dodawano do niej (wliczano) kolejne galezie. >doskonale znanej w praktyce 5-cio latkom. Zalezy od umyslu piecolatka? I niekoniecznie musi w wieku 5 lat poslugiwac sie zapisem formalnym? Do szkoly idzie troche pozniej chociaz wnioskowac moze (troche mlodszy)? W starożytności doskonale znali NTI z podpisu w praktyce, co więcej, NTI w niezmienionej postaci istnieje od początku naszego Wszechświata. NTI obowiązuje także w świecie martwym, nie tylko żywym. EasternFriend napisał: ~> - "nie wynika"? 1 1 1 0 0 0 0 1 z prawdy nie wynika prawda z prawdy nie wynika falsz z falszu nie wynika falsz z falszu nie wynika prawda Co ty za brednie wypisujesz ? Idąc za implikacją materialna masz wyżej: ~> 1 1 =1 - z prawdy wynika prawda 1 0 =1 - z prawdy wynika fałsz 0 0 =1 - z fałszu wynika fałsz 0 1 =0 - z fałszu nie wynika prawda … czyli bełkot totalny i absolutny. Nie ma czegoś takiego jak w „z fałszu wynika prawda” - to absolutny idiotyzm, efekt działania idiotycznej definicji implikacji materialnej. Miejsce implikacji materialnej jest w koszu na śmieci. EasternFriend napisał: Zero-jedynkowym zapisem da sie zdefiniowac pewne operatory Moze oprocz AND, OR, (moze jeszcze XOR?) Jestem ciekaw tylko jaki one beda mialy sens. Wszystkie 5-cio latki doskonale posługują się poniższymi operatorami w praktyce tzn. od początku poniższej tabeli do operatora FILL. Na pierwsze 10 operatorów można podać banalne przykłady z języka mówionego 5-cio latka. Rzuć sobie monetą i powiedz mi którego operatora (jednego z pierwszych 10) twoim zdaniem 5-cio latki nie używają, a ja ci udowodnię że to nieprawda. Operatorów FILL i NOP używają ludzie dwa metry pod ziemią - zero logiki. Ostatnie cztery operatory to de facto operatory jednoargumentowe. Wszystkich możliwych operatorów dwuargumentowych jest 16, tylko i wyłącznie tyle da się zdefiniować, poza tym co niżej nie istnieje ani jeden więcej operator logiczny dwuargumentowy ! Fragment z podpisu - operatory AND i OR 1.3 Lista legalnych operatorów logicznych Zero-jedynkowo wszystkie operatory logiczne znane są człowiekowi od około 200 lat, jednak nie wszystkie zostały poprawnie zinterpretowane. Pełna lista dwuargumentowych operatorów logicznych. Kod: p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  FILL NOP  P NP  Q NQ 0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0   0 1   0 1 0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0   0 1   1 0 1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0   1 0   0 1 1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0   1 0   1 0 Kod: Logika dodatnia    Logika ujemna OR                 NOR AND                NAND <=>                XOR =>                 N(=>) ~>                 N(~>) FILL               NOP P                  NP Q                  NQ Wszystkich możliwych operatorów logicznych jest 16 z czego człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu: AND, NAND, OR, NOR, <=>, XOR. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym. Wyjątkiem jest tu operator XOR, w języku mówionym spójnik „albo”. Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli. Operator dodatni to zanegowany operator ujemny, co również widać wyżej. Kod: Definicje operatorów ujemnych: pNORq       =     ~(p+q) pNANDq      =     ~(p*q) pXORq       =     ~(p<=>q) pN(=>)q     =     ~(p=>q) pN(~>)q     =     ~(p~>q)    pNOPq       =     ~(pFILLq) pNPq        =     ~(pPq) pNQq        =     ~(pQq) W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli. P.S. Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> to dla przeciętnego matematyka z matematyki.pl oczywistość. Nie spotkałem matematyka który by kwestionował prawa Kubusia poprawne w KRZ. Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q p~>q = ~p=>~q Pytanie do Ciebie. Czy akceptujesz prawa Kubusia jak wyżej ? Jeśli tak to jaka jest wedle Ciebie interpretacja słowna tych praw w logice? Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 22:23, 14 Lip 2010, w całości zmieniany 3 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość EasternFriend Dołączył: 20 Mar 2010 Posty: 130 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 23:18, 14 Lip 2010    Temat postu: >Symbol => może mieć tylko i wyłącznie dwa znaczenia: >=> - implikacja prosta definiowana wszystkimi czteroma liniami tabeli zero-jedynkowej >=> - warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności definiowany dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej Implikacja w logice jest wynikiem albo warunkiem wystarczajacym. => czyta sie "wynika" -> czesto jest uzywany dla okreslenia zbieznosci >W sumie zdanie „Jeśli …to…” człowiek używa tylko i wyłącznie w pięciu różnych matematycznych znaczeniach, wszystkie możliwe użycia są w podpisie. Miejsce matematyki która tego nie rozpoznaje jest w koszu na śmieci. Chranisz! Wymien te znaczenia. ------------- >>EasternFriend napisał: >>>P=>O = ~P=>~O >>Nie jest tak. >Nic takiego nie napisałem, cytujesz coś co nie jest moje. Przyjrzyj sie uwaznie twojemu poprzedniemu postowi. ---- >istnieje od początku naszego Wszechświata we Wszechswiecie musisz uwzgledniac absolutnie (totalnie?) wszystko --- >Co ty za brednie wypisujesz ? Sprobojmy jeszcze raz: -> wynika ~> nie wynika 1 1 ? 1 0 ? 0 0 ? 0 1 ? z prawdy nie wynika prawda - czy to prawda czy falsz? z prawdy nie wynika falsz - czy to prawda czy falsz? z falszu nie wynika falsz - czy to prawda czy falsz? z falszu nie wynika prawda - czy to prawda czy falsz? ---- * >1 0 =1 - z prawdy wynika fałsz Czy to rzeczywiscie tak? Albo jest to bardzo urojone. Rozpisz mi to jak dwa argumenty, operacje i wynik! ---- >można podać banalne przykłady z języka mówionego 5-cio latka. Rzuć sobie monetą Dlaczego musze rzucac moneta? Sprawa jest dosc powazna. Rozpatrujmy ja metoda wyczerpania! ---- >Lista legalnych operatorów logicznych Mozliwych? (W przypadku gdy wyeliminowane sa powtarzajace sie i rzeczywiscie wszystkie mozliwe zostaly wymienione) ----- >Zero-jedynkowo wszystkie operatory logiczne znane są człowiekowi od około 200 lat, jednak nie wszystkie zostały poprawnie zinterpretowane Moze od poczatku Wszechswiata i wiedza zostala ujawniona? ----- Co to logika dodatnia i ujemna? Scisle za dodatnia mozna liczyc tylko AND? OR tylko jako analogie z iloczynem? ----- >Jeśli tak to jaka jest wedle Ciebie interpretacja słowna tych praw w logice? Rozpisz mi dzialanie w miejscu ktore zaznaczylem gwiazdeczka. (spojrz i o jedna sekcje wyzej!) Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Czw 0:45, 15 Lip 2010    Temat postu: EasternFriend napisał: >Symbol => może mieć tylko i wyłącznie dwa znaczenia: >=> - implikacja prosta definiowana wszystkimi czteroma liniami tabeli zero-jedynkowej >=> - warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności definiowany dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej Implikacja w logice jest wynikiem albo warunkiem wystarczajacym. => czyta sie "wynika" -> czesto jest uzywany dla okreslenia zbieżności Zapomnij zatem o ->, bo to nie jest algebra Boole’a Z p wynika q p=>q Jeśli zajdzie p to musi => zajść q p=>q Czyli p musi być warunkiem wystarczającym dla q. … tyle że identyczny warunek wystarczający występuje zarówno w definicji implikacji prostej =>, jak i definicji równoważności. Implikacja i równoważność to dwa odrębne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wyrocznią implikacji jest prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Dla p=>q=1 jeśli prawo Kubusia zachodzi to zdanie p=>q jest implikacją prostą, ale wcale nie musi być bo … Definicji równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) zapisy po prawej stronie czyli p=>q i ~p=>~q to nie są implikacje ! To tylko i wyłącznie warunki wystarczające definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej, zatem zdanie p=>q EasternFriend napisał: >W sumie zdanie „Jeśli …to…” człowiek używa tylko i wyłącznie w pięciu różnych matematycznych znaczeniach, wszystkie możliwe użycia są w podpisie. Miejsce matematyki która tego nie rozpoznaje jest w koszu na śmieci. Chranisz! Wymien te znaczenia. Fragment z podpisu: Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w NTI: Człowiek używa zdań „Jeśli…to…” tylko i wyłącznie w pięciu różnych znaczeniach. Poprawna matematyka która rości sobie prawo do opisu matematycznego naturalnego języka mówionego musi umieć rozpoznawać wszystkie takie zdania. Jedyną znaną człowiekowi logiką która to robi jest Nowa Teoria Implikacji. 1. Implikacja prosta: p=>q Jeśli zajdzie p to musi zajść q p musi być wystarczające dla q Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q 2. Tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności p=>q Jeśli zajdzie p to musi zajść q Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Warunek wystarczający w równoważności p=>q jest identyczny jak w implikacji prostej wyżej p=>q, to jest nie do rozpoznania. Prawa strona definicji równoważności to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, nie są to implikacje proste bo nie spełniają definicji zero-jedynkowej implikacji prostej =>. Przykład: Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe TR=>KR To jest tylko i wyłącznie warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) 3. Implikacja odwrotna: p~>q jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q Warunek konieczny wymusza implikację odwrotną bo: Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q W sposób naturalny odkryliśmy prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q 4. Zdaniem prawdziwym na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi. Przykład: Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8 P3~~>P8 =1 bo 24 P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, zatem implikacja odwrotna P3~>P8 jest fałszywa 5. Zdaniem fałszywym, nie spełniającym któregokolwiek z powyższych przypadków. EasternFriend napisał: >>EasternFriend napisał: >>>P=>O = ~P=>~O >>Nie jest tak. >Nic takiego nie napisałem, cytujesz coś co nie jest moje. Przyjrzyj sie uwaznie twojemu poprzedniemu postowi. Zrób kopiuj-wklej i załóż lepsze okulary, a nie wciskaj mi ciemnoty. Napisałem: P=>O = ~O=>~P Ty zaś piszesz wyżej: P=>O = ~P=>~O W jakim wariatkowie zachodzi: ~O=>~P = ~P=>~O ???!!! EasternFriend napisał: >istnieje od początku naszego Wszechświata we Wszechswiecie musisz uwzgledniac absolutnie (totalnie?) wszystko Bzdura ! Przykład z przyrody martwej: Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać CH~>P =1 1 1 =1 LUB Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać CH~~>~P=1 1 0 =1 … a jeśli jutro nie będzie pochmurno ? Prawo Kubusia: CH~>P = ~CH=>~P czyli: Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać ~CH=>~P =1 0 0 =1 stąd: Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać ~CH=>P =0 0 1 =0 Doskonale widać definicje implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: CH=1, ~CH=0 P=1, ~P=1 czyli powstaje nasza Ziemia X lat temu, następnie powstają dwa żywioły chmury i deszcze, nie ma jeszcze żadnego życia na Ziemi, czyli NTI działa doskonale na długo przed jakimkolwiek życiem na Ziemi CND EasternFriend napisał: >Co ty za brednie wypisujesz ? Sprobojmy jeszcze raz: -> wynika ~> nie wynika 1 1 ? 1 0 ? 0 0 ? 0 1 ? z prawdy nie wynika prawda - czy to prawda czy falsz? z prawdy nie wynika falsz - czy to prawda czy falsz? z falszu nie wynika falsz - czy to prawda czy falsz? z falszu nie wynika prawda - czy to prawda czy falsz? Co to za wynikowe „?”. W jakim operatorze logicznym masz w wyniku „?” ! Operator implikacji odwrotnej ~> wymusza ci tu takie zera i jedynki w wyniku. Kod: p q p~>q 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =1 0 1 =0 Poproszę o Twoją interpretacje tych zer i jedynek w powyższej tabeli. EasternFriend napisał: >1 0 =1 - z prawdy wynika fałsz Czy to rzeczywiscie tak? Albo jest to bardzo urojone. Rozpisz mi to jak dwa argumenty, operacje i wynik! Tu nie ma co rozpisywać, to wynika poprzez analogię do implikacji materialnej. Wedle tego badziewia, znaczy się implikacji materialnej masz: 1 = prawda 0 = fałsz Dalej czytasz zgodnie z zasadami z implikacji materialnej i masz brednie. CND Wszystkie 5-cio latki te zera i jedynki interpretują fundamentalnie inaczej, bo odróżniają logikę dodatnią od ujemnej. EasternFriend napisał: >można podać banalne przykłady z języka mówionego 5-cio latka. Rzuć sobie monetą Dlaczego musze rzucac moneta? Sprawa jest dosc powazna. Rozpatrujmy ja metoda wyczerpania! … boisz się ? Co ci szkodzi podać dowolny z dziesięciu operatorów którego twoim zdaniem 5-cio latki nie używają ? Zapewniam cie że odpowiedź będzie krótka i zrozumiała dla każdego 5-cio latka … tak więc dla Ciebie mam nadzieje również. EasternFriend napisał: >Lista legalnych operatorów logicznych Mozliwych? (W przypadku gdy wyeliminowane sa powtarzajace sie i rzeczywiscie wszystkie mozliwe zostaly wymienione) Nie ma powtarzających się operatorów, to idiotyzm absolutny ! Które twoim zdaniem się powtarzają ? EasternFriend napisał: >Zero-jedynkowo wszystkie operatory logiczne znane są człowiekowi od około 200 lat, jednak nie wszystkie zostały poprawnie zinterpretowane Moze od poczatku Wszechswiata i wiedza zostala ujawniona? Dokładnie tak. Wszystkie operatory dwuargumentowe wymienione w tabeli wyżej powstały równocześnie z Wielkim Wybuchem, to matematyka ścisła sterująca całym naszym Wszechświatem. Jedyne poprawne znaczenie tych operatorów jest w podpisie, to co w tej chwili ma człowiek to same idiotyzmy z implikacją materialna na czele. EasternFriend napisał: Co to logika dodatnia i ujemna? Scisle za dodatnia mozna liczyc tylko AND? OR tylko jako analogie z iloczynem? Logika dodatnia i ujemna to banał, używany przez wszystkich 5-cio Latków, w zdaniach twierdzących z operatorami OR i AND masz tak: Jutro pójdę do kina lub do teatru Y=K+T Matematycznie oznacza to: A. Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1) Y=K+T czyli: Y=1 <=> K=1 lub T=1 Wystarczy że którąkolwiek zmienna ustawię na 1 i już dotrzymam słowa Znaczenie zmiennych: Y=1 - dotrzymam słowa K=1 - pójdę do kina T=1 - pójdę do teatru … a kiedy skłamię Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne: Mamy: Y=K+T - logika dodatnia bo Y Przejście do logiki ujemnej: ~Y=~K*~T czyli: B. Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) ~Y=~K*~T - logika ujemna bo ~Y czyli: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1 Aby skłamać (~Y=1) obie zmienne ~K i ~T musze ustawić na 1 Znaczenie zmiennych: ~Y=1 - skłamię ~K=1 - nie pójdę do kina ~T=1 - nie pójdę do teatru Oczywiste związki logiki dodatniej i ujemnej: Y# ~Y K# ~K T#~T czyli: Y=1 # ~Y=1 K=1 # ~K=1 T=1 # ~T=1 Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej: Y=~(~Y) Podstawiając do powyższego A i B mamy prawo de’Morgana: K+T = ~(~K*~T) czyli zdanie równoważne do A: C. Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1). Y=~(~K*~T) Oczywiście każdy 5-cio latek mając do wyboru dwa równoważne zdania A i C wybierze A … bo to jest nieporównywalnie prostsze, co nie oznacza że ze zrozumieniem zdania C będzie miał jakiekolwiek kłopoty. Dokładnie z tego powodu prawa de’Morgana nie sa w praktyce języka mówionego używane. Fundamentalnie inaczej jest z prawami Kubusia. Praw Kubusia wszystkie 5-cio latki używają milion razy na dobę, choć praktycznie zawsze domyślnie, bo to absolutne matematyczne banały zrozumiałe dla 5-cio latka. EasternFriend napisał: >Jeśli tak to jaka jest wedle Ciebie interpretacja słowna tych praw w logice? Rozpisz mi dzialanie w miejscu ktore zaznaczylem gwiazdeczka. (spojrz i o jedna sekcje wyzej!) Co tu rozpisywać ! Oczywiste że nie masz pojęcia jak poprawnie należy przełożyć prawa Kubusia na naturalny język mówiony. Podaję ci tu, w tej naszej dyskusji wiele przykładów … a ty totalnie nie rozumiesz. Ja się temu nie dziwię bo żaden matematyk nie ma o tym bladego pojęcia. Prawa Kubusia mówią (identycznie jak prawa de’Morgana) o możliwości zastąpienia jednego operatora drugim, czyli mamy tu zamianę operatora => na równoważny ~> albo odwrotnie. Jest oczywistością, że aby posługiwać się prawami Kubusia: p=>q = ~p~>~q p~>q = ~p=>~q musisz uznać równe prawa implikacji prostej => i odwrotnej ~>. … a to oznacza samobójstwo absolutnie całej dzisiejszej logiki zbudowanej na idiotyzmie zwanym implikacja materialna. Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 17:29, 15 Lip 2010, w całości zmieniany 3 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość EasternFriend Dołączył: 20 Mar 2010 Posty: 130 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna Wysłany: Czw 13:15, 15 Lip 2010    Temat postu: rafal3006 >Zapomnij zatem o ->, bo to nie jest algebra Boole’a Dlaczego? Jesli chcesz byc matematykiem musisz znac i inne jej galezie. O warunku wystarczajacym dobrze. ------ >… tyle że identyczny warunek wystarczający występuje zarówno w definicji implikacji prostej =>, jak i definicji równoważności. Implikacja i równoważność to dwa odrębne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Dlaczego dwa odrebne swiaty gdy definicja rownowaznosci ma wlaczac do siebie warunej wystarczajacy? "<=>" = "=>" AND "<=" ------ >p=>q = ~p~>~q Rozpisz mi to na przykladzie. Jak ty czytasz znaczek "~>"? - nie wynika? ------ >Definicji równoważności: >p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Patrz na moja definicje wyzej. <= czesto udowadnia sie w sposob: zalozmy ze to nie tak. jesli wynikiem bedzie logiczna sprzecznosc, to stwierdzenie jest udowodnione. (z niegacji stwierdzenia wynika sprzecznosc wiec stwierdzenie jest sprawiedliwe.) ------ >Definicja równoważności: >p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Udowodnij (p<=q)<=>(~p=>~q)! ------ >Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe >TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) To co zapisales slownie jest sprawiedliwe. Co do zapisu formalnego ma byc udwodnione w ogolnym przypadku. (TR=>KR) + (~TR=>~KR) ale! czy jest to warunek konieczny? (patrz poprzednia sekcje) Warunek konieczny (TR<=KR) nalezy udowadniac w sposob: Przypuscmy ze katy sa rowne i trojkat nie jest rownoboczny. Musimy udowodnic sprzecznosc! Wtedy przeciwne bedzie sprawiedliwe. ------- >p~>q >jeśli zajdzie p to może zajść q Jesli jest to wlasciwe potraktowanie zapisu: Moze zajsc, moze nie zajsc => nie jest to operacja okreslona w sposob jednoznaczny! Daj mi okreslenie "~>"!!! ------- >Zdaniem prawdziwym na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi. Co ma byc ~~>!!! Definicje, sir!!! ------------------------------- >Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8 Rowniez przez 7 i przez 17. Nie jest to wykluczone. ------- >EasternFriend napisał: >>>EasternFriend napisał: >>>>P=>O = ~P=>~O >>>Nie jest tak. >>Nic takiego nie napisałem, cytujesz coś co nie jest moje. >Przyjrzyj sie uwaznie twojemu poprzedniemu postowi. >Zrób kopiuj-wklej i załóż lepsze okulary, a nie wciskaj mi ciemnoty. Wpatruj sie w twoj post do skutku! Let's continue! -------- >Napisałem: >P=>O = ~O=>~P Watpie. Sprobuj udowodnic. -------- >Przykład z przyrody martwej: >Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać Moze deszcz moze snieg -------- >EasternFriend napisał: >>Co ty za brednie wypisujesz ? >Sprobojmy jeszcze raz: >-> wynika >~> nie wynika >1 1 ? >1 0 ? >0 0 ? >0 1 ? >z prawdy nie wynika prawda - czy to prawda czy falsz? >z prawdy nie wynika falsz - czy to prawda czy falsz? >z falszu nie wynika falsz - czy to prawda czy falsz? >z falszu nie wynika prawda - czy to prawda czy falsz? >Co to za wynikowe „?”. Wlasnie chce wiedzec!!! Masz mi to napisac! -------- >Operator implikacji odwrotnej ~> wymusza ci tu takie zera i jedynki w wyniku. >Kod: >p q p=>q Ma byc "=>" czy twoje "~>"? -------- >Wszystkie 5-cio latki te zera i jedynki interpretują fundamentalnie inaczej Dlaczego nie cztero albo nie szesciolatki? I dlaczego maja interpretowac a nie isc do krzakow? -------- >EasternFriend napisał: >>można podać banalne przykłady z języka mówionego 5-cio latka. Rzuć sobie monetą >Dlaczego musze rzucac moneta? Sprawa jest dosc powazna. Rozpatrujmy ja metoda wyczerpania! >… boisz się ? >Co ci szkodzi podać dowolny z dziesięciu operatorów którego twoim zdaniem 5-cio latki nie używają ? >Zapewniam cie że odpowiedź będzie krótka i zrozumiała dla każdego 5-cio latka … tak więc dla Ciebie mam nadzieje również. I co jest zrozumiale dla pieciolatka? Continue. -------- >EasternFriend napisał: >>Lista legalnych operatorów logicznych >Mozliwych? (W przypadku gdy wyeliminowane sa powtarzajace sie i >rzeczywiscie wszystkie mozliwe zostaly wymienione) >Nie ma powtarzających się operatorów, to idiotyzm absolutny ! Mozliwe to kombinatoryczne podejscie nad zbiorem zer i jedynek - wszystkie niepowtarzajace sie kombinacje? -------- >Wszystkie operatory dwuargumentowe wymienione w tabeli wyżej powstały W wyniku kombinowania zer i jedynek i nadawania im sensu zwiazanego z budowa Swiata. Skad sie wzial Swiat Idealny? -------- >Jutro pójdę do kina lub do teatru Ide obejrzec film amerykanski czy francuski - czy nie jest wiecej mozliwosci? -------- >… a to oznacza samobójstwo absolutnie całej dzisiejszej logiki zbudowanej na idiotyzmie zwanym implikacja materialna. Bez logiki bedza rozbijac sie pociagi? (Ja tez tego nie chce!) Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Czw 17:56, 15 Lip 2010    Temat postu: EasternFriend napisał: rafal3006 >Zapomnij zatem o ->, bo to nie jest algebra Boole’a Dlaczego? Jesli chcesz byc matematykiem musisz znac i inne jej galezie. O warunku wystarczajacym dobrze. Algebra Boole’a i pozostała matematyka to dwa odrębne światy. Jestem specjalistą w technice cyfrowej, mam w nosie pozostałą matematykę. Matematycy kompletnie nie rozumieją techniki cyfrowej stąd operują bzdurami: p=>q = q~>p p~>q = q=>p To co wyżej zachodzi jak się nie rozróżnia banalnej logiki dodatniej i ujemnej … dlatego dzisiejsza algebra Boole’a nie jest jednoznaczna o czym świadczy równanie znane matematykom. p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p Poprawne równanie ogólne implikacji jest takie: p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p Tu matematyka jest jednoznaczna ! Powyżej za punkt odniesienia przyjeto zdanie p=>q. Równanie ogólne impliakcji dla punktu odniesienia ustawionego zawsze na wypowiedzianym zdaniu "Jeśli...to.." czyli po "jeśli" mamy zawsze p, zaś po "to" mamy zasze q przybierze taka równowazną postać: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q Oczywiście tego juz żaden matematyk nie jest w stanie kwestionować, w poprawnym równaniu ogólnym impliakjci musi być znak różne #. EasternFriend napisał: >… tyle że identyczny warunek wystarczający występuje zarówno w definicji implikacji prostej =>, jak i definicji równoważności. Implikacja i równoważność to dwa odrębne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Dlaczego dwa odrebne swiaty gdy definicja rownowaznosci ma wlaczac do siebie warunej wystarczajacy? "<=>" = "=>" AND "<=" Zacytuj mi zdanie które jest równocześnie równoważnością i implikacją … no bo przecie w obu definicjach występują warunki wystarczające, albo jakiekolwiek prawo matematyczne wiążące implikację z równoważnością. Nie ma takowego ! EasternFriend napisał: >p=>q = ~p~>~q Rozpisz mi to na przykladzie. Jak ty czytasz znaczek "~>"? - nie wynika? Przykłady masz wyżej w zdaniach o chmurach i deszczu, o wyjęciu parasolki itd. Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą => Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi EasternFriend napisał: >Definicji równoważności: A. >p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Patrz na moja definicje wyzej. Nie widzę twojej konkurencyjnej definicji. EasternFriend napisał: >Definicja równoważności: >p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Udowodnij (p<=q)<=>(~p=>~q)! Dziewicza definicja równoważności, ta wynikająca z tabeli zero-jedynkowej jest taka jak moja A: Oczywiście w równoważności (i tylko tu) poprawne jest prawo kontrapozycji: ~p=>~q = q=>p stąd odprysk definicji równoważności uwielbiany przez matematyków: B. p<=>q = (p=>q)*(q=>p) Oczywiście obie te definicje sa równoważne, udowodnienie jednej pociąga za sobą udowodnienie drugiej. W matematyce funkcjonuje jedynie słuszna B, stąd potworne kłopoty matematyków np. z twierdzeniem Pitagorasa, link dawałem wyżej. Oczywiście w obu definicjach równoważności zapisy p=>q, ~p=>~q, q=>p to tylko i wyłącznie warunki wystarczające definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej. Jak udowodnisz że to implikacje, czyli spełniają definicję zero-jedynkową implikacji będziesz więcej niż Bogiem, bo nawet Bóg tego nie udowodni. EasternFriend napisał: >Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe >TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) To co zapisales slownie jest sprawiedliwe. Co do zapisu formalnego ma byc udwodnione w ogolnym przypadku. Podstaw sobie: p=TR, q=KR i będziesz miał ogólny przypadek, co za różnica ? EasternFriend napisał: (TR=>KR) + (~TR=>~KR) ale! czy jest to warunek konieczny? (patrz poprzednia sekcje) Warunek konieczny (TR<=KR) nalezy udowadniac w sposob: Przypuscmy ze katy sa rowne i trojkat nie jest rownoboczny. Musimy udowodnic sprzecznosc! Wtedy przeciwne bedzie sprawiedliwe. To wytłuszczone to brednie laika w algebrze Boole’a. Symbol => oznacza tu warunek wystarczający wchodzący w skład definicji oczywistej równoważności: TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) Warunek konieczny ma taki symbol ~>. Jak zapiszesz warunek konieczny przy pomocy symbolu warunku wystarczającego: p=>q Jeśli zajdzie p to musi => zajść q czyli p jest wystarczające dla q … ponownie będziesz Bogiem. Nie da się zapisać warunku koniecznego ~> przy pomocy warunku wystarczającego => ! EasternFriend napisał: >p~>q >jeśli zajdzie p to może zajść q Jesli jest to wlasciwe potraktowanie zapisu: Moze zajsc, moze nie zajsc => nie jest to operacja okreslona w sposob jednoznaczny! Daj mi okreslenie "~>"!!! … a masz prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q p~>q = ~p=>~q Po jednej stronie tożsamości matematycznej masz 100% determinizm w postaci warunku wystarczającego =>, natomiast druga strona tożsamości to „rzucanie monetą” czyli warunek konieczny ~> … dopiero całość stanowi definicję implikacji prostej p=>q albo odwrotnej p~>q. Właśnie z powodu że definicja implikacji to w jednej połówce 100% determinizm zaś w drugiej to „rzucanie monetą = wolna wola” operatory implikacji sa idiotyzmem w technice i nigdy nie znajda tu zastosowania. Zero-jedynkowo na przykładzie implikacji odwrotnej masz tak: Kod: p q p~>q 1 1 =1   /p~>q =1 1 0 =1   /p~~>q =1 … a jeśli nie zajdzie p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q czyli dalsza część tabeli: 0 0 =1   /~p=>~q =1 0 1 =0   /~p=>q =0 W komentarzu, po znaku „/” masz poprawną operatorową definicję implikacji odwrotnej. Prawa Kubusia obowiązują w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, dlatego implikacja odwrotna ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej => i odwrotnie. Wynika z tego że obie definicje implikacji (=>i ~>) sa w logice niezbędne. Absolutny idiotyzm dzisiejszej matematyki to stwierdzenie że operatory implikacji można zastąpić operatorami AND i OR. Nie można bo prawa Kubusia mówią o możliwości zastąpienia operatora implikacji prostej => operatorem implikacji odwrotnej ~>. Nie da się zapisać praw Kubusia przy pomocy operatorów AND i OR ! EasternFriend napisał: >Zdaniem prawdziwym na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi. Co ma byc ~~>!!! Definicje, sir!!! Masz wyżej w opisie spójników. Definicja: ~~> - naturalne może, warunek konieczny tu nie zachodzi np. Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8 P3~~>P8 =1 bo 24 ale P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8 Praw Kubusia można użyć do rozstrzygania czy między p i q zachodzi warunek konieczny. Dowód nie wprost. Załóżmy że to co wyżej to implikacja odwrotna czyli spełniony jest warunek konieczny i zastosujmy prawo Kubusia: P3~>P8 = ~P3=>~P8 =0 bo 8 Prawa strona to ewidentny fałsz, zatem lewa strona nie może być implikacja odwrotną (tu musi być spełniony warunek konieczny) CND Proste jak cep. EasternFriend napisał: >Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8 Rowniez przez 7 i przez 17. Nie jest to wykluczone. Kompletnie nie kumasz, patrz przykład wyżej wyjaśniający o co chodzi w implikacji odwrotnej ~> np. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 =1 P2 jest konieczne dla P8, to wymusza implikację odwrotną prawdziwą … natomiast ta „implikacja” odwrotna: P3~>P8 jest fałszywa, dowód wyżej. EasternFriend napisał: >EasternFriend napisał: >>>EasternFriend napisał: >>>>P=>O = ~P=>~O >>>Nie jest tak. >>Nic takiego nie napisałem, cytujesz coś co nie jest moje. >Przyjrzyj sie uwaznie twojemu poprzedniemu postowi. >Zrób kopiuj-wklej i załóż lepsze okulary, a nie wciskaj mi ciemnoty. Wpatruj sie w twoj post do skutku! Let's continue! >Napisałem: >P=>O = ~O=>~P Watpie. Sprobuj udowodnic. Gratuluję, nareszcie spotkałem matematyka kwestionującego dzisiejszą wersje prawa kontrapozycji. p=>q = ~q=>~p - dzisiejsze prawo kontrapozycji to wariatkowo, bo ludzie nie odróżniają logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a. czyli podstawiając: p=O, q=P mamy: P=>O = ~O=>~P Bardzo się cieszę, że jest matematyk na świecie który kwestionuje prawo kontrapozycji. Oczywiście poprawne prawo kontrapozycji z NTI jest takie: p=>q # ~q=>~p Prawdziwość zdania po lewej stronie wymusza prawdziwość zdania po prawej stronie, ale nie są to zdania tożsame matematycznie bo wypowiedziane w przeciwnych logikach. W implikacjach czasowych jak to o deszczu i parasolce wyżej, zdanie po prawej stronie będzie prawdziwe w czasie przeszłym. Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno => nie będzie padać ~O=>~P =0 - to jest idiotyzm … ale to jest OK. Jeśli nie otworzyłem parasolki to na pewno nie padało ~O=>~P=1 Oczywiście przyszłość: Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę P=>O =1 jest zupełnie czym innym niż przeszłość (tu wszystko jest zdeterminowane): Jeśli nie otworzyłem parasolki to na pewno nie padało ~O=>~P=1 Stąd poprawne prawo kontrapozycji jest tylko i wyłącznie takie: P=>Q # ~O=>~P p=>q # ~q=>~p EasternFriend napisał: >Przykład z przyrody martwej: >Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać Moze deszcz moze snieg Bez różnicy, jeśli zależy ci na uwypukleniu tego faktu to powiesz. Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać śnieg Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać grad itd. To jest totalnie bez znaczenia bo gwarancja matematyczna jest tu fundamentalnie inna: zdanie wypowiedziane: Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać CH~>P =1 LUB Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać CH~~>~P =1 Wszystko jedno co: deszcz, śnieg, grad, popiół wulkaniczny itp. Prawo Kubusia: CH~>P = ~CH=>~P Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać ~CH=>~P =1 - gwarancja matematyczna czyli nie będzie czegokolwiek co mogą wyprodukować chmury ! EasternFriend napisał: >EasternFriend napisał: >>Co ty za brednie wypisujesz ? >Sprobojmy jeszcze raz: >-> wynika >~> nie wynika >1 1 ? >1 0 ? >0 0 ? >0 1 ? >z prawdy nie wynika prawda - czy to prawda czy falsz? >z prawdy nie wynika falsz - czy to prawda czy falsz? >z falszu nie wynika falsz - czy to prawda czy falsz? >z falszu nie wynika prawda - czy to prawda czy falsz? >Co to za wynikowe „?”. Wlasnie chce wiedzec!!! Masz mi to napisac! … a gdzie ty widzisz iż ja napisałem ten idiotyzm do potęgi nieskończonej ? ~> - nie wynika Ta interpretacja operatora ~> to idiotyzm, to twoje dzieło i ty się z tego tłumacz. Poprawna interpretację ~> masz w każdym moim przykładzie których w tym temacie było już sporo. NTI: 1. p=>q Implikacja prosta lub tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności. Poptocznie: => - spójnik „musi” między p i q, jeśli to ma być implikacja to dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q 2. p~>q Spełniony warunek konieczny między p i q wymusza implikacje odwrotną p~>q. Potocznie: ~> - spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym … ale: ~~> - naturalne może, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi, zatem nie jest to implikacja odwrotna p~>q. Wariatkowo: EasternFriend napisał: >Sprobojmy jeszcze raz: >-> wynika >~> nie wynika Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno P=>CH To twoje „wynika” jest dobre ale ni jak się ma do języka potocznego. Dużo lepsze są spójniki między p i q w postaci: => - „na pewno” i „musi” Z twoim jedynie słusznym „spójnikiem” powyższe zdanie będzie wyglądało tak: Z faktu że jutro będzie padał deszcz wynika że na pewno => będą chmury Oczywiście nie jest to naturalny język mówiony człowieka … i po cholerę dublować dwa spójniki w jednym zdaniu twoje „wynika” => i moje „na pewno” => Nawet jak pominiesz mój spójnik „na pewno” to on i tak tam będzie bo ten spójnik w języku mówionym jest domyślny w przeciwieństwie do spójnika „może” np. Jeśli jutro będzie pochmurno to będzie padać CH=>P =0 - fałsz Poprawnie: Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać CH~>P =1 - prawda, piękna implikacja odwrotna EasternFriend napisał: >Operator implikacji odwrotnej ~> wymusza ci tu takie zera i jedynki w wyniku. >Kod: >p q p=>q Ma byc "=>" czy twoje "~>"? Chya prosto wydedukować że chochlik się zakradł, oczywiście ma być p~>q, już poprawiłem. EasternFriend napisał: >Wszystkie 5-cio latki te zera i jedynki interpretują fundamentalnie inaczej Dlaczego nie cztero albo nie szesciolatki? I dlaczego maja interpretowac a nie isc do krzakow? Weź sobie prześledź matematyczną analizę zdania o chmurach i deszczu w poście wyżej i powiedz co tam jest niezrozumiałe dla 5-cio latka ? Dla matematyka wszystko tam jest niezrozumiałe … bo jak zrozumie to musi wywalić definicję implikacji materialnej do kosza, czyli koniec świata gwarantowany. EasternFriend napisał: >Jutro pójdę do kina lub do teatru Ide obejrzec film amerykanski czy francuski - czy nie jest wiecej mozliwosci? Czy umiesz czytać ze zrozumieniem o czym jest wypowiedziane zdanie ? EasternFriend napisał: >… a to oznacza samobójstwo absolutnie całej dzisiejszej logiki zbudowanej na idiotyzmie zwanym implikacja materialna. Bez logiki bedza rozbijac sie pociagi? (Ja tez tego nie chce!) W świecie techniki implikacja to absolutny idiotyzm i nigdy nie znajdzie tu zastosowania ze względu na „rzucanie monetą” zawarte w definicji implikacji, zarówno prostej => jak i odwrotnej ~>. Dlatego swiat techniki funkcjonuje doskonale. Czy to takie trudne pojąć ? Operator impliakcji zastosowany w twoim pociagu będzie działał tak: Mszynista ustawia zwrotnice na skręt w lewo a pociąg wyciaga mechaniczną lapę i przestawia zwrotnicę na skret w prawo, na dodatek robi to po cichu co by maszynista nie zauważył. Taki jest efekt działania impliakcji (wolnej woli) w pociagu. Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 18:14, 15 Lip 2010, w całości zmieniany 4 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość EasternFriend Dołączył: 20 Mar 2010 Posty: 130 Przeczytał: 0 tematów Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pią 9:51, 16 Lip 2010    Temat postu: rafal3006 >Algebra Boole’a i pozostała matematyka to dwa odrębne światy. Jestem specjalistą w technice cyfrowej, mam w nosie pozostałą matematykę. Matematycy kompletnie nie rozumieją techniki cyfrowej stąd operują bzdurami: Swiat jest jeden. ----- >p=>q = q~>p >p~>q = q=>p Napisz mi co ty pojmujesz jak "~>" (jak wedlug ciebie nalezy odczytywac te operacje) ----- >Zacytuj mi zdanie które jest równocześnie równoważnością i implikacją Rownowaznosc to implikacja w obydwie strony. ----- >Przykłady masz wyżej w zdaniach Tam jest wiecej mozliwosci, niz galaz TAK albo NIE. ----- >Spójniki zdaniowe >=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym >~> - operator implikacji odwrotnej, => implikacja <= na odwrot ----- $$$ >Oczywiście w równoważności (i tylko tu) poprawne jest prawo kontrapozycji: >~p=>~q = q=>p Zapisze to na odwrot q=>p = ~p=>~q ? Z ograniczonego nieskonczonego ciagu da sie wyciac zbiezny ciag. Prawa strona (z prawej strony rownosci) Jesli nieskonczony ciag nie jest zbiezny wynika ze jest on nieograniczony. To prawda. Ale wydaje mi sie ze jednak przy udowadnianiu tego stwierdzenia nalezy poslugiwac sie technika ktora juz pokazywalem, czyli zalozmy, ze nieskonczony ciag nie jest zbiezny i jest ograniczony i pokazemy sprzecznosc tego twierdzenia. Zastanawiam sie czy w rzeczywistosci gdy operuje sie slowami nalezy uwzgledniac dodatkowe czynniki! ------ >stąd potworne kłopoty matematyków np. z twierdzeniem Pitagorasa Ma byc udowadniane w szkole. (Nie na studiach). Nie kazdy to prawda udowadnia go przy tablicy. Dotyczy to nie jedynie tego twierdzenia. Ciekawa sprawa jest kto i w jakich warunkach go udowadnia. ------ >Podstaw sobie: >p=TR, q=KR >i będziesz miał ogólny przypadek, co za różnica ? Formalnie wystarczy miec logike formalna, ladowac ja zadaniami i wyciagac wnioski. Tradycjyjnie udowadnia sie twierdzenia jak mowilem. ------ >Nie da się zapisać warunku koniecznego ~> Warunek konieczny zapisuje sie <=? =>, <= i <=>. Ladnie wyglada? ------ >Absolutny idiotyzm dzisiejszej matematyki to stwierdzenie że operatory implikacji można zastąpić operatorami AND i OR Przez kogo to zostalo powiedziane? Sa to rozne operacje? ------ >Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 Jesli liczba jest podzielna przez 2 moze rowniez byc podzielna przez 666? ------ >Bardzo się cieszę, że jest matematyk na świecie który kwestionuje prawo kontrapozycji. Czytaj co napisalem na ten temat w sekcji $$$ Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość sfinia Założyciel, admin Dołączył: 01 Gru 2005 Posty: 1688 Przeczytał: 0 tematów Skąd: Hlefik Wysłany: Pią 11:01, 16 Lip 2010    Temat postu: <moderacja> SN 16.07.2010 12:00. Pyskówka zgłoszona moderacji w Pią 10:00, 16 Lip 2010 została przeniesiona: http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie,20/pyskowka-metodologiczna,5166.html </moderacja> Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pią 12:00, 16 Lip 2010    Temat postu: EasternFriend napisał: rafal3006 >Algebra Boole’a i pozostała matematyka to dwa odrębne światy. Jestem specjalistą w technice cyfrowej, mam w nosie pozostałą matematykę. >Matematycy kompletnie nie rozumieją techniki cyfrowej stąd operują bzdurami: >p=>q = q~>p >p~>q = q=>p Swiat jest jeden. …ale algebra Boole’a to fundamentalnie co innego niż algebra dziesiętna. O dwuelementowej algebrze Boole’a, algebrze bramek logicznych, matematycy mają absolutnie zerowe pojęcie o czym świadczą te równania: p=>q = q~>p p~>q = q=>p Dowód fałszywości powyższych równań na bramkach logicznych jest bezdyskusyjny i banalny, jest w podpisie. To co wyżej to nie są poprawne układy zastępcze w technice bramek logicznych, jedyne poprawne układy bramek logicznych to prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q p~>q = ~p=>~q EasternFriend napisał: >Zacytuj mi zdanie które jest równocześnie równoważnością i implikacją Rownowaznosc to implikacja w obydwie strony. Posłużę się tą definicją równoważności: p<=>q = (p=>q)*(q=>p) No to weźmy bezdyskusyjną implikację: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 =1 - oczywistość p=>q p=P8, q=P2 Zamieniamy p i q i mamy … Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8 P2=>P8 =0 bo 2 q=>p q=P2, p=P8 Podstawmy to do definicji równoważności: P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8) = 1*0 =0 Jak widzisz świętość twoja i wszystkich dzisiejszych matematyków legła w gruzach. Równoważność nie może być iloczynem logicznym dwóch implikacji prostych, to absolutnie wykluczone. Kontrprzykład podałem wyżej ! Czym jest równoważność ? … było o tym w poprzednim poście. EasternFriend napisał: >Spójniki zdaniowe >=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym >~> - operator implikacji odwrotnej, => implikacja <= na odwrot No to jedziemy: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2 P8=>P2 =1 - oczywistość P8 jest wystarczające dla P2 p=P8, q=P2 Implikacja odwrotna to zamiana p i q czyli: Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to […] podzielna przez 8 P2 ??? P8 P2 jest konieczne dla P8 … no i znowu twoja „matematyka” leży w gruzach. Dowód: 1. Poproszę o wstawienie w miejsce ??? symbolu =>, tak aby to miało ręce i nogi 2. Poproszę o wstawienie w miejsce […] czegokolwiek aby powyższe zdanie miało sens Możliwości masz tu takie: [..] - na pewno => [..] - może ~> Koniec, nie ma więcej możliwości. … a widzisz ? Padłeś na banalnym przykładzie. Powtarzam, nie da się zapisać warunku koniecznego ~> przy pomocy warunku wystarczającego =>. EasternFriend napisał: >Oczywiście w równoważności (i tylko tu) poprawne jest prawo kontrapozycji: >~p=>~q = q=>p Zapisze to na odwrot q=>p = ~p=>~q ? Z ograniczonego nieskonczonego ciagu da sie wyciac zbiezny ciag. Prawa strona (z prawej strony rownosci) Jesli nieskonczony ciag nie jest zbiezny wynika ze jest on nieograniczony. To prawda. Ale wydaje mi sie ze jednak przy udowadnianiu tego stwierdzenia nalezy poslugiwac sie technika ktora juz pokazywalem, czyli zalozmy, ze nieskonczony ciag nie jest zbiezny i jest ograniczony i pokazemy sprzecznosc tego twierdzenia. Zastanawiam sie czy w rzeczywistosci gdy operuje sie slowami nalezy uwzgledniac dodatkowe czynniki! No i znowu dajesz twardy dowód że współcześni matematycy maja zerowe pojęcie o algebrze Boole’a. Twierdzenia algebry Boole’a możesz dowodzić trzema sposobami: 1. Metoda zero-jedynkowa 2. Metoda równań algebry Boole’a 3. Metoda bramek logicznych to połączenie 1 i 2. Koniec i kropka: Nie ma więcej sposobów dowodzenia twierdzeń w dwuelementowej algebrze Boole’a. Przykłady masz w moich postach wyżej. Twierdzenie Kubusia: 1. Równoważność to zawsze operacje na dwóch zbiorach 2. Implikacja to zawsze operacje na trzech zbiorach Dowód: Powyższe wynika bezpośrednio z definicji zero-jedynkowych odpowiednich operatorów. EasternFriend napisał: >stąd potworne kłopoty matematyków np. z twierdzeniem Pitagorasa Ma byc udowadniane w szkole. (Nie na studiach). Nie kazdy to prawda udowadnia go przy tablicy. Dotyczy to nie jedynie tego twierdzenia. Ciekawa sprawa jest kto i w jakich warunkach go udowadnia. Tu kompletnie nie chodzi o dowód twierdzenia Pitagorasa, chodzi o to że współcześni matematycy nie wiedzą czym jest twierdzenie Pitagorasa rozumiane jako operator logiczny. Możliwości są dwie: Równoważność = Kubuś Implikacja = współczesny matematyk Kto ma według Ciebie rację ? EasternFriend napisał: >Nie da się zapisać warunku koniecznego ~> Warunek konieczny zapisuje sie <=? =>, <= i <=>. Ladnie wyglada? Bzdura. Kontrprzykład obalający twoją pewność podałem wyżej. … najpierw uporaj się z tym przykładem. EasternFriend napisał: >Absolutny idiotyzm dzisiejszej matematyki to stwierdzenie że operatory implikacji można zastąpić operatorami AND i OR Przez kogo to zostalo powiedziane? Sa to rozne operacje? Pisze o tym w Wikipedii. EasternFriend napisał: A. >Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 Jesli liczba jest podzielna przez 2 moze rowniez byc podzielna przez 666? Jak widzę totalnie nie rozumiesz algebry Boole’a. W poprzednim poście tłumaczyłem o co tu chodzi. To banały na poziomie I klasy LO których nie jesteś w stanie pojąć, co ja mogę poradzić ? … spróbuję jeszcze raz, może załapiesz jedyną poprawną algebrę Boole’a ! Zdanie wypowiedziane: A. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 =1 bo 8,16,24 … 1 1 =1 P2 jest konieczne dla P8 co wymusza implikację odwrotną prawdziwą ! LUB B. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8 P2~~>~P8 =1 bo 2,4,6… 1 0 =1 … a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ? Prawo Kubusia: P2~>P8 = ~P2=>~P8 czyli: C. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8 GA: ~P2=>~P8 =1 bo 3,5,7 … - gwarancja matematyczna 0 0 =1 Oczywiście ~P2 wystarcza dla ~P8, implikacja prosta prawdziwa w logice ujemnej bo ~P8. Stąd: D. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8 ~P2=>P8 =0 - oczywistość wynikła z powyzszego 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P8=1, ~P8=0 P2=1, ~P2=0 Dowód iż zdanie B nie spełnia warunku koniecznego, zatem nie może być implikacją odwrotną jest banalny. Dowód nie wprost. Załóżmy że zdanie B jest implikacją odwrotną prawdziwą i zastosujmy prawo Kubusia ! P2~>~P8 = ~P2=>P8 =0 bo 3 Prawa strona jest oczywistym fałszem, zatem fałszywa musi być tez lewa strona, czyli zdanie po lewej stronie jest implikacją odwrotną fałszywą, czyli nie zachodzi tu warunek konieczny. CND Prawdziwość zdania B określa wzór: (P2~>~P8)+(P2~~>~P8) = 0+1 =1 Implikacja odwrotna jest tu oczywiście fałszywa, ale całe zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>L, wystarczy jedna prawda (np. 2) To jest właśnie powodem wprowadzenia do matematyki nowego symbolu ~~>. Powyższa analiza matematyczna to bezdyskusyjny dowód iż implikacja to operacje na trzech zbiorach pełnych A,B,C i jednym pustym D (ten nas nie interesuje) A: P2~>P8 =1 bo 8,16,24 … B: P2~~>~P8 =1 bo 2,4,6… C: ~P2=>~P8 =1 bo 3,5,7 … Algebra Boole’a jest dwuelementowa zatem gwarantuje zajście zbioru C poza tym niczego nie gwarantuje, dlatego dalej jest to dwuelementowa algebra Boole’a. Jak wylosujemy liczbę niepodzielna przez 2 to mamy pewność że jest ona niepodzielna przez 8 ~P2=>~P8 Jak wylosujemy liczba podzielna przez 2 to nic nie wiemy, może ona być czymkolwiek, czyli przynależeć do zbioru A albo B, nie ma innych możliwości matematycznych. P2=>(P8+~P8) - wiem że nic nie wiem Implikacja odwrotna do powyższej przybierze postać: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 GB: P8=>P2 =1 bo 8,16,24 … gwarancja matematyczna P8 wystarcza dla P2 Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, wszystko inne jest bez znaczenia ! Zauważmy że poza gwarancjami GA i GB jest zbiór nie objęty tymi gwarancjami: P2~~>~P8 =1 bo 2,4,6… Zatem GB nie jest dopełnieniem zbioru GA, zatem matematycznie zachodzi: P8=>P2 (GB) # P2~>P8 = ~P2=>~P8 (GA) czyli: p=>q # ~q=>~p Powyższe to obalenie na zbiorach prawa kontrapozycji jakoby: p=>q = ~q=>~p W równoważności mamy do czynienia z dwoma zbiorami, weźmy takiego abstrakcyjnego prymitywa którego w mowie potocznej nikt nie wypowie … ale matematycy tym sypią. Zwierzą jest psem wtedy i tylko wtedy gdy jest psem P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P) - definicja równoważności Mamy zbiór A: wszystkie psy … ale równoważną definicję otrzymamy negując zmienne: ~P<=>~P = (~P=>~P)*(P=>P) czyli: Zwierzę nie jest psem wtedy i tylko wtedy gdy nie jest psem ~P<=>~P = (~P=>~P)*(P=>P) Mamy zbiór B: Zbiór wszystkich innych zwierząt poza psami W równoważności nie ma szans na trzeci zbiór jak to miało miejsce w implikacji. … a dzisiejsi matematycy (Idiota) bredzą coś jakoby implikacja była operacją na dwóch zbiorach - wariatkowo totalne ! [link widoczny dla zalogowanych] idiota napisał: A. równoważność zbiorów A i B oznacza co następuje: każdy element ze zbioru A jest elementem zbioru B i vice versa. B. implikowanie zbioru B przez zbiór A oznacza, że każdy element zbioru B jest też pewnym elementem zbioru A. ... inkluzja zbiorów jest odpowiednikiem wynikania a równość zbiorów odpowiednikiem równoważności zdań. Bzdura na bzdurze bzdurą pogania ! Poprawnie jest tak: Równoważność A. Równoważność to operacje na zbiorach A i ~A w obrębie określonej dziedziny. Przykład wyżej: Y=A - zbiór zwierząt będących psami ~Y =~A - zbiór zwierząt nie będących psami Dziedzina na której operujemy: zbiór wszystkich zwierząt. Implikacja Tu zawsze mamy operacje na trzech zbiorach (stanach). Dowód wyżej na przykładzie P8=>P2. Dla tego przykładu dziedzina to zbiór liczb naturalnych. Ogólnie w NTI mamy tak: 1. => - symbol dwuznaczny, może oznaczać : A. warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności. B. Implikacje prostą jeśli spełnione jest prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q 2. A. ~> - symbol jednoznaczny, „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym, implikacja odwrotna prawdziwa. Udowodnienie warunku koniecznego w kierunku p~>q determinuje implikację odwrotna ! Dlaczego ? Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wymusza zajście ~q, stąd w sposób naturalny odkryliśmy prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q … ale ! B. ~~> - symbol jednoznaczny, naturalne „może” bez spełnionego warunku koniecznego, implikacja odwrotna fałszywa, przykład wyżej. W sumie w wojnie symbolowej mamy remis 2:2 bowiem …. => Udowodnienie warunku wystarczającego w kierunku p=>q o niczym nie rozstrzyga bowiem może to być albo implikacja (definiowana czteroma liniami tabeli zero-jedynkowej) albo tylko warunek wystarczający (definiowany dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej) wchodzący w skład równoważności. Oczywiście implikacja to jest operator logiczny, natomiast warunek wystarczający nie jest operatorem logicznym, bo ten musi być definiowany wszystkimi czteroma liniami. ~> i ~~> Tu symbole sa jednoznaczne, ale zdanie prawdziwe na mocy naturalnego „może” ~~> wcale nie mysi być implikacją odwrotną ~> czyli „może” z dodatkowo spełnionym warunkiem koniecznym. P.S. Wszystko co wyżej to absolutne matematyczne banały na poziomie I klasy LO …. ciekawe kiedy matematycy to pojmą ? Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 17:13, 16 Lip 2010, w całości zmieniany 8 razy Powrót do góry Wyświetl posty z ostatnich: Wszystkie Posty1 Dzień7 Dni2 Tygodnie1 Miesiąc3 Miesiące6 Miesięcy1 Rok Najpierw StarszeNajpierw Nowsze         Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa) Idź do strony 1, 2  Następny Strona 1 z 2   Skocz do: Wybierz forum Biuro----------------RegulaminFAQSamoocena - jak śfinie widzą ŚfinięPubliczne testowanie skryptówTest skryptu do KretowiskaKosmosZgłoszenia naruszeń RegulaminuJak zakończyć wojnę CDLM? Komentarze do artykułów----------------ArtykułyNotatkiFelietonyFilipikiKomentarze: Otwarte Referarium Filozoficzne (ORF)Komentarze: Anty(k)wariat WujauserDummyBlog: Biuro KretowiskagetblogKomentarze: Kretowisko (blogosfera)Blog: wujzbojBlog: Michał DyszyńskiBlog: Mirosław GalczakBlog: luzikBlog: KoriBlog: malaaviBlog: hushekBlog: IroBBlog: skrobipiórekBlog: v2Blog: SemeleBlog: bronmus45Blog: JanelleLBlog: Piotr RokubungiBlog: MimozaBlog: MMMEmulacja Działu Regulaminowego - niczego tu nie przenosimy!Blog: jesterPogaduchy luźne u MMMŻURNAL JanelleLNotatnik szkolny 18 JanelleLBlog: evaj23Blog: ApoloniaBlog: towarzyski.pelikanBlog: NetlisBlog: Kruchy04Blog: chryzjanBlog: Czytanki starożytneBlog: AnboBlog: Andy72 Światopogląd----------------FilozofiaRozbieranie irracjonalizmuApologia kontra krytyka teizmuŚwięte KsięgiKatolicyzmReligie i wyznaniaGenesisNauka a światopoglądSztuka a światopogląd Nauka----------------Świat nieożywionyŚwiat ożywionyŚwiat skomputeryzowanyMetodologiaNauki społeczne3: Sprawy ostateczne2: Genesis1: Wiara a wiedzaSprawy techniczneForum Kubusia Sztuka----------------WydarzeniaGaleria twórczościSeriale - utwory w odcinkach Towarzystwo----------------PowitaniaKretowiskoKawiarniaAktualnościLinkowniaGwiezdne WojnyWięzienieKrzyknikŚmietnikMagiel więzienny Stopka----------------Statystyka strony głównej - zliczenia od 1 lutego 2006Zaprzyjaźnione portale  Nie możesz pisać nowych tematów Nie możesz odpowiadać w tematach Nie możesz zmieniać swoich postów Nie możesz usuwać swoich postów Nie możesz głosować w ankietach fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group Regulamin Na skróty:BiuroKomentarze do artykułówŚwiatopoglądNaukaSztukaTowarzystwoStopkaFilozofiaWięzienieKretowiskoKawiarniaApologia kontra krytyka teizmuMetodologiaForum KubusiaRozbieranie irracjonalizmuBlog: hushekKatolicyzmGwiezdne WojnyNauki społeczneBlog: Michał DyszyńskiReligie i wyznaniaŚwięte KsięgiBlog: IroBKosmosGenesisBlog: MMMPowitaniaNauka a światopoglądŚmietnikRegulamin