ŚFiNiA

rafal3006

W tym temacie będę umieszczał wersje pośrednie przy pracach nad końcową wersją Nowej Teorii Zbiorów.
Wersje pośrednie NTZ zwierają wiele cennych spostrzeżeń które w końcowej wersji musiały być wyrzucone bo NTZ nie może być za bardzo rozwlekła.
Wykopywanie takich rzeczy w kosmos nie jest dobrym rozwiązaniem.

rafal3006

Biblia Kubusia - Nowa Teoria Zbiorów

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Nowa Teoria Zbiorów 1
2.1 Fundamenty Nowej Teorii Zbiorów 2
2.2 Podstawowe operacje na zbiorach 5
2.3 Relacje między zbiorami 5
2.3.1 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> 6
2.4 Prawa Prosiaczka 7
2.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia 9
3.0 Zbiory jednoargumentowe 9
3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów 9
3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach 11
3.2.1 Operator transmisji 11
3.2.2 Operator negacji 13
3.2.3 Operator chaosu 14
3.2.4 Operator śmierci 15
3.3 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych 15
4.0 Operatory dwuargumentowe 15
4.1 Aksjomatyka zdań warunkowych „Jeśli p to q” 15

1.0 Notacja

2.0 Nowa Teoria Zbiorów

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych przez człowieka

Matematycznie:
Uniwersum = zbiór wszystkich zbiorów
Człowiek nie jest w stanie zdefiniować zbioru wykraczającego z przyjętą wyżej definicję Uniwersum.
Każdy zbiór zdefiniowany przez człowieka będzie podzbiorem Uniwersum.

Definicja zbioru:
Zbiór to dowolny, zdefiniowany przez człowieka podzbiór Uniwersum

W szczególnym przypadku może zachodzić:
Zbiór = Uniwersum

Pojęcia podstawowe Nowej Teorii Zbiorów:
Budowa zbioru:
p = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6..] - zbiór liczb naturalnych
Legenda:
p - nazwa zbioru
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Element zbioru to dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych przez człowieka
Elementy zbioru mogą być zbiorami np. LN

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów

Wnioski:
Każdy element niepusty ma wartość logiczną 1
Element niepusty w dowolnym zbiorze czyni ten zbiór niepustym którego wartość logiczna to 1.
p=[miłość] =1 - zbiór niepusty o wartości logicznej 1

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór utworzony przez człowieka na którym operujemy
Wszystko co jest poza dziedziną jest zbiorem pustym z definicji

2.1 Fundamenty Nowej Teorii Zbiorów

Budowa zbioru:
p = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6..] - zbiór liczb naturalnych
Legenda:
p - nazwa zbioru
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Element zbioru to dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych przez człowieka
Elementy zbioru mogą być zbiorami np. LN

Podstawowe właściwości NTZ pokażemy na zbiorach dwuelementowych.
W ogólnym przypadku mogą to być zbiory n-elementowe

Zdefiniujmy zbiór dwuelementowy:
A=[B,C]
Zdefiniujmy elementy zbioru:
B=[1,2]
C=[2,3]
Podstawmy zdefiniowane elementy do zbioru A
A = [[1,2],[2,3]]

W NTZ zachodzi tożsamość:
Przecinek (,) = suma logiczna (+) = spójnik „lub”(+)

Stąd zapis tożsamy zbioru A:
A = [[1+2]+[2+3]]
Nawiasy w sumie logicznej są nieistotne stąd nasz zbiór możemy zapisać w postaci:
A = [1+2+2+3]
Własność sumy logicznej:
p=p+p
Stąd zapis tożsamy zbioru A:
A=[1+2+3]
Oczywistym jest, że w zbiorze A możemy odtworzyć zarówno zbiór B jak i zbiór C idąc w przeciwną stronę.

Definicja tożsamości zbiorów w NTZ:
Zbiory A i B są tożsame, jeśli istnieją przekształcenia sumy logicznej prowadzące to tożsamości tych zbiorów.

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiory A i B są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B i odwrotnie.

Przykład:
Niech będą dane zbiory:
A=[B,C]
B=[1,2]
C=[2,3]
D=[1,2,3]
Zbadaj czy zachodzi tożsamość zbiorów:
A=D
Rozwijamy zbiór A:
A=[[1,2],[2,3]] = [1,2,3]
stąd:
A=D
Doskonale widać że pozostałe zbiory są różne na mocy definicji:
B ## C ## A=D
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład zbiorów tożsamych 5-cio latka:
P=[pies] - dowolny pies, reprezentant zbioru wszystkich psów
P=[Jamnik, Kundel, Azor, pies sąsiada …]
P=[zbiór wszystkich psów]

Przykład matematyczny zbiorów tożsamych:
ZLR - nazwa zbioru
LR - zbiór liczb rzeczywistych
LN - zbiór liczb naturalnych
LC - zbiór liczb całkowitych

ZLR=[LR]
ZLR=[LR-2,2]
ZLR=[LR-2,2,5]
ZLR=[LR-LN,LN]
ZLR=[LR,LN]
ZLR=[LR,LN,LC]

Definicja podzbioru:
Jeśli każdy element zbioru A należy do zbioru B to mówimy, że zbiór A jest podzbiorem => zbioru B
A=>B
Zbiór A nazywamy podzbiorem, natomiast zbiór B nadzbiorem.

Wniosek z definicji podzbioru:
Jeśli zbiór A jest podzbiorem => zbioru B to każdy element zbioru A należy do zbioru B
A=>B

Rozważmy dwa zbiory:
A=[1,2]
B=[1,2,3]

Losujemy pierwszy element ze zbioru A:
A[1] = B[1]
Stwierdzamy tożsamość A[1]=B[1] zatem element [1] znajduje się zarówno w zbiorze A jak i zbiorze B
Losujemy drugi i ostatni element ze zbioru A:
A[2] = B[2]
Stwierdzamy tożsamość A[2]=B[2] zatem element [2] znajduje się zarówno w zbiorze A jak i w zbiorze B
Oczywistością jest, że tym samym kompletny zbiór A=[1,2] znajduje się w zbiorze B=[1,2,3]

Wniosek z definicja podzbioru:
Jeśli zbiór A jest podzbiorem => zbioru B to każdy element zbioru A należy do zbioru B

Wniosek z wniosku definicji podzbioru:
Jeśli zbiór A jest podzbiorem => zbioru B to zbiór A musi być częścią zbioru B
To jest oczywiste bo w przeciwnym razie nie zachodziłaby definicja podzbioru.
Dowód na przykładzie matematycznym mamy wyżej.

Zróbmy to samo na zbiorach zrozumiałych przez 5-cio latka:

Rozważmy dwa zbiory:

A=[pies, słoń, kura]
B=[pies, słoń, kura, wąż]

W NTZ przecinki rozdzielające elementy zbioru to po prostu spójniki „lub”(+).
Zatem zapisy tożsame:
A=[pies lub słoń lub kura]
B=[pies lub słoń lub kura lub wąż]
Zbiory A i B możemy zatem wyrazić w postaci dwóch zdań.

Zapiszmy relację podzbioru =>:
A=[pies lub słoń lub kura] => B=[pies lub słoń lub kura lub wąż]

Wniosek z definicji podzbioru:
Jeśli zbiór A jest podzbiorem => zbioru B to każdy element zbioru A należy do zbioru B

Wnioski z naszego przykładu:
Definicja podzbioru jest tu oczywiście spełniona.
Łatwo zauważyć, że dowolny fragment podzbioru A znajduje się w nadzbiorze B.
W szczególnym przypadku kompletny zbiór A znajduje się w zbiorze B.
Gdyby tak nie było, to definicja podzbioru ległaby w gruzach.
cnd

Otrzymaliśmy tu identyczny wniosek jak w przykładzie matematycznym wyżej:
Jeśli zbiór A jest podzbiorem => zbioru B to zbiór A musi być częścią zbioru B

2.2 Podstawowe operacje na zbiorach

Zaprzeczenie zbioru (~):
Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty

2.3 Relacje między zbiorami

Definicja podzbioru =>
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Przykład:
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
p=>q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =0 - bo zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p

Definicja nadzbioru ~>
p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
p~>q =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru p
q~>p =0 - bo zbiór q nie jest nadzbiorem ~> zbioru p

Tożsamość zbiorów p=q
Zbiory p i q są tożsame gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q i odwrotnie
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Przykład:
p=[1,2]
q=[1,2]
[1,2]=[1,2] <=> ([1,2]=>[1,2])*([1,2]=>[1,2]) = 1*1 =1 - zbiory p i q są tożsame

2.3.1 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~>

I prawo Smoka
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
p=>q <=> p*q=p

Przykład:
p=[1,2]
q=[1,2,3]
p=[1,2]=>q=[1,2,3] <=> [1,2]*[1,2,3] = [1,2] =p

Zauważmy, że I prawo Smoka to w istocie tożsama definicja podzbioru =>

Wniosek
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to zbiór p jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.
Wynika to z definicji iloczynu logicznego (*) występującego w I prawie Smoka.
Zbiór q można wówczas zapisać w postaci:
q=[p, reszta]
Stąd mamy:
p=>q
p=>[p, reszta]
Nasz przykład:
p=>q
[1,2] => [1,2,3]
p=[1,2]
stąd:
p=>[p,3]
[reszta]=[3] =1 - zbiór niepusty

II prawo Smoka
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q
p~>q <=> p*q=q

Przykład:
p=[1,2,3]
q=[1,2]
p=[1,2,3]~>q=[1,2] <=> [1,2,3]*[1,2] =[1,2] =q

Zauważmy, że II prawo Smoka to w istocie tożsama definicja nadzbioru ~>

Wniosek
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to zbiór q jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.
Wynika to z definicji iloczynu logicznego (*) występującego w II prawie Smoka.
Zbiór p można wówczas zapisać w postaci:
p=[q, reszta]
Stąd:
p~>q
[q, reszta] ~> q
Nasz przykład:
p~>q
[1,2,3] => [1,2]
q=[1,2]
stąd:
[q,3] ~>q
[reszta] = [3] =1 - bo zbiór niepusty

I prawo Smoka Wawelskiego
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy [reszta] wynikająca z I prawa Smoka jest zbiorem pustym [].
Wniosek z I prawo Smoka:
p=>[p, reszta]
p=q <=> [reszta]=[]

Zauważmy, że I prawo Smoka Wawelskiego to w istocie tożsama definicja równoważności, bowiem każda tożsamość matematyczna jest automatycznie równoważnością.

II prawo Smoka Wawelskiego
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy [reszta] wynikająca z II prawa Smoka jest zbiorem pustym [].
Wniosek z II prawo Smoka:
[q, reszta] ~>q
p=q <=> [reszta]=[]

Zauważmy, że II prawo Smoka Wawelskiego to w istocie tożsama definicja równoważności, bowiem każda tożsamość matematyczna jest automatycznie równoważnością.

2.4 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznych operatorów logicznych do ich definicji zero-jedynkowych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej. Dla zrozumienie tych praw nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

2.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t = const
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło/zimno nie istnieją bo niemożliwe jest zmierzenie choćby najmniejszej różnicy temperatur

Prawo rozpoznawalności pojęcia w przełożeniu na funkcje logiczne:
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Przykład:
1: Y=p+q
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2: ~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana

3.0 Zbiory jednoargumentowe

Definicja zbioru jednoargumentowego:
Zbiór jednoargumentowy po pojedynczy zbiór niepusty o dowolnej nazwie
p=[1,2]

3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów

Rozważmy zbiór jednoargumentowy p

Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów:

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny ustalony przez człowieka zbiór niepusty
Wszystko co jest poza zdefiniowaną dziedziną jest zbiorem pustym z definicji
Najszerszą możliwą dziedziną jest Uniwersum
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

I.
Zbiór jednoargumentowy p
1.
Zbiór p musi być niepusty
Uzasadnienie:
Nie możemy operować na zbiorze pustym, nie zawierającym ani jednego elementu
2.
Zbiór p musi posiadać swoje niepuste dopełnienie do dziedziny ~p (negację)
Uzasadnienie:
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
3.
Zbiory mają wartości logiczne:
1 - prawda
0 - fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawiera co najmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawiera zero elementów
4.
Zaprzeczenie zbioru to uzupełnienie zbioru do dziedziny
Zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~p = ~(p)
Zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p
p = ~(~p)
5.
Właściwości dziedziny:
Zbiory p i ~p są rozłączne, wzajemnie uzupełniające się do dziedziny
D = p+~p =1
Zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []:
~D = ~(p+~p) = [] =0 - tu jesteśmy poza dziedziną z definicji pustą
p*~p =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~(p+~p)=p*~p =[] =0
Prawo symetryczne:
~(p*~p) = p+~p = D =1
6.
Dziedzina i zbiór pusty
D = p+~p = ~(p*~p) =1
[] = p*~p = ~(p+~p) =0
7.
Suma i iloczyn logiczny zbiorów tożsamych:
p+p =p
p*p =p
8.
Iloczyn i suma logiczna zbioru p z dziedziną D i zbiorem pustym []:
p*D = p*1 =p
p*[] = p*0 =0
p+D = p+1 =1
p+[] = p+0 =p
9.
Zero-jedynkowa definicja iloczynu logicznego dziedziny D i zbioru pustego []:
D*D = 1*1 =1
D*[] = 1*0 =0
[]*D = 0*1 =0
[]*[] = 0*0 =0
10.
Zero-jedynkowa definicja sumy logicznej dziedziny D i zbioru pustego[]:
D+D = 1+1 =1
D+[] = 1+0 =1
[]+D = 0+1 =1
[]+[] = 0+0 =0

3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach

Definicja funkcji logicznej Y:
Przypisanie dowolnej części dziedziny do symbolu Y nazywamy funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y).
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Właściwości funkcji logicznej Y:
D = Y+~Y =1
[] = Y*~Y =0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to układ równań logicznych opisujących funkcje logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)

W zbiorach jednoargumentowych możemy utworzyć cztery różne operatory logiczne:
- operator transmisji
- operator negacji
- operator chaosu
- operator śmierci

3.2.1 Operator transmisji

Definicja operatora transmisji:
Transmisja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi p
Y=p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p
Stąd definicja operatora logicznego transmisji to układ równań logicznych:
Y=p
~Y=~p