ŚFiNiA

wujzboj

Teoriomnogosciowa interpretacja logiki formalnej

Z formalnego punktu widzenia, logika to po prostu kolekcja zasad przeksztalcania (czyli zasad tzw. "rozumowania") ciagow symboli (czyli tzw. "zdan"). Logika tym rozni sie od innych teorii matematycznych, ze dotyczy zasad przeksztalcania, a nie tresci symboli. Innymi slowy, logika dostarcza narzedzi dla innych teorii matematycznych, ktore z kolei podstawiaja konkretna tresc pod konkretne symbole (zdania) i nastepnie przeksztalcaja te zdania wedlug ustalonych w tym narzedziu zasad rozumowania. Mowiac po ludzku, logika definiuje takie operacje jak NOT, OR, AND, EQUAL, i THEN, a matematyka definiuje takie symbole jak liczba naturalna, mnozenie, calka, dystrybucja czy zmienna losowa.

Kolekcji zasad przeksztalcania mozna wypisac wiele (celowo nie uzywam w tym momencie teriomnogosciowego pojecia "zbior"; chodzi mi bowiem po prostu o zasady zebrane w "kolekcje" tworzaca jakas konkretna logike, a nie o obiekt spelniajacy aksjomaty teorii mnogosci, sformulowanej przeciez za pomoca logiki klasycznej). Jesli patrzec na kazda z tych kolekcji jako na samodzielny obiekt, to kazda z nich jest tak samo "scisla", "porzadna", "wazna" i "prawidlowa". Jesto ona taka z definicji (dlatego uzylem cudzyslowow; praktyczne znaczenie tych slow okaze sie bowiem zalezne wlasnie od przyjetej kolekcji praw przeksztalcania ciagow symboli).

Czy jest wiec cos szczegolnego w logice klasycznej? Kiedy uzywac logiki klasycznej a kiedy innych zasad rozumowania? Na przyklad, logiki intuicjonistycznej (usuwajacej z aksjomatow logiki klasycznej aksjomat Tertium Non Datur, czyli prawo wylaczonego srodka: p v ~p)? Nawiasem mowiac, rozwazania te wziely sie wlasnie z dyskusji o logice intuicjonistycznej (patrz http://www.sfinia.fora.pl/viewtopic.php?p=2137#2137). I dlatego wlasnie obok logiki klasycznej bedziemy w nich rozpatrywali przede wszystkim przypadek logiki intuicjonisytcznej.

Aby odpowiedziec na postawione powyzej pytanie, sprobuje naszkicowac interpretacje logik klasycznej w ramach teorii mnogosci. Moze to zabrzmiec karkolomnie, bo przeciez teoria mnogosci jest sama sformulowana na bazie logiki klasycznej. Ale mysle, ze ta interpretacja pozwoli zorientowac sie, na czym polega w praktycznym zastosowaniu istota logiki klasycznej i czym waznym rozni sie w praktyce ta logika od logiki intuicjonistycznej.

Zauwazmy na poczatek, ze zasad logiki uzywamy do selekcji zdan. Mamy wiele roznych mozliwych zdan i sposrod nich wybieramy lub odrzucamy zdania. Analogia z teoria mnogosci narzuca sie sama. Przyjrzyjmy sie wiec temu dokladniej.

Postawmy problem w nastepujacy sposob: "wybrac ze zbioru Z jego podzbior P zawierajacy element zt o wlasnosci t".

Zalozmy na poczatek:

**A1: "w zbiorze Z istnieje jeden i tylko jeden element o wlasnosci t".

Zgodnie z terminologia wprowadzona w postawionym powyzej problemie, nazwijmy ten element zt.

Zdefiniujmy rozumowanie jako ciag przeksztalcen podzbioru, polegajacy na rozszerzaniu lub zawezaniu tego podzbioru w ramach zbioru Z. Pozostaje to w analogii do tego, czym rozumowanie jest w praktyce zycia codziennego. Zbiorem Z jest wtedy zbior wszystkich mozliwych zdan Z, a podzbiorem jest zbior zdan uwazanych przez nas w danym momencie za zawierajacy zdanie prawdziwe (element zt) lub za zbior tego zdania nie zawierajacy.

Zdefiniujmy teraz wartosci logiczne (prawde i falsz) i operacje logiczne:

**prawda (1): podzbior ma wartosc 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera zt.

**falsz (0): podzbior ma wartosc 0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera zt.

**negacja (NOT, ~): dopelnienie negowanego podzbioru do zbioru Z;

**suma (OR, v): suma podzbiorow;

**iloczyn (AND, ^): przeciecie podzbiorow;

**rownowaznosc (EQUAL, <=>): rownosc wartosci podzbiorow;

**wniosek (THEN, =>): zawezenie lub rozszerzenie podzbioru P, nie usuwajace elementu zt z P.

Tak zdefiniowane operacje spelniaja aksjomaty logiki klasycznej, co widac wprost z zerojedynkowej interpretacji operacji logiki klasycznej i z zalozenia A1. Moze warto sprawdzic jedyny nietrywialny przypadek, czyli THEN:

(1 => 1) = 1: podzbior zawierajacy zt zmienilismy o podzbior niezawierajacy zt;

(1 => 0) = 0: z podzbioru zawierajacego zt usunelismy podzbior zawierajacy zt;

(0 => 1) = 1: do podzbioru niezawierajacego zt dodalismy podzbior zawierajacy zt;

(0 => 0) = 1: podzbior niezawierajacy zt zmienilismy o podzbior niezawierajacy zt.

Teraz mozemy latwo przedyskutowac sens aksjomatu Tertium Non Datur. Przypomnijmy, ze aksjomat ten brzmi "p v ~p", czyli "albo zdanie jest prawdziwe albo jego zaprzeczenie jest prawdziwe, zas trzeciej mozliwosci nie ma".

Znaczenie tego aksjomatu widac bezposrednio z podanej powyzej definicji negacji. Oznacza on, ze element zt poszukiwany przez nas i znajdujacy sie (na mocy A1) w zbiorze Z musi znajdowac sie albo w podzbiorze P, albo w dopelnieniu podzbioru P do zbioru Z.

Innymi slowy, Tertium Non Datur stanowi po prostu definicje operacji negacji w logice klasycznej. Dlatego usuniecie tego aksjomatu zmienia definicje operacji negacji, zmieniajac w efekcie praktyczny sens przekszalcen na zdaniach.

Zwrocmy teraz uwage na podstawowa role, jaka w naszej dotychczasowej analizie odgrywal aksjomat A1. Zrobmy to w dwoch krokach. Najpierw oslabimy ten aksjomat, a potem calkowicie go usuniemy.

Oslabienie aksjomatu A1 do postaci:

**A1': "w zbiorze Z istnieje co najwyzej jeden element o wlasnosci t"

dopuszcza sposob sytuacje, w ktorej w zbiorze Z nie znajduje sie zaden element zt, czyli nie istnieje zaden podzbior o wartosci 1. Na mocy definicji negacji, wartosc 1 zostaje teraz nadana zbiorowi pustemu. Te konsekwencje przyjecia A1' mozna sformulowac w postaci twierdzenia: Zbior pusty ma wartosc 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zbior Z nie zawiera elementu zt". W efekcie oznacza to, ze zbior zdan prawdziwych wedlug kryterium t jest wtedy zbiorem pustym.

Przyjecie A1' ma wazne konsekwencje dla Tertium Non Datur. Jezeli bowiem Z nie zawiera zt, to dla kazdego podzbioru P roznego od Z mamy ~(p v ~p). A to dlatego, ze zarowno zbior P jak i jego dopelnienie nie zawieraja elementu zt. Po prostu, wartosc zbioru Z wynosi 0. I dokladnie tyle znaczy w tym przypadku zaprzeczenie prawu Tertium Non Datur. Nie, ze istnieje jakas "trzecia mozliwosc", lecz ze zdania o poszukiwanej wlasnosci po prostu nie da sie zbudowac. Innymi slowy, zbior zawierajacy takie zdanie jest zbiorem pustym - co juz stwierdzilismy w poprzednim akapicie. Czyli nadal "trzeciej mozliwosci nie ma", tyle, ze teraz nie ma nie tylko trzeciej, ale i drugiej mozliwosci. Istnieje tylko jedna, za to dotad pomijana z definicji: elementu zt znalezc sie nie da. W sumie, mamy wiec albo dwie mozliwosci (p v ~p) pod warunkiem, ze wartosc Z wynosi 1, albo jedna mozliwosc ~(p v ~p) pod warunkiem, ze wartosc Z wynosi 0.

Formalnie rzecz biorac, klasyczna logika powie nam, ze skoro ~(p v ~p), to p ^ ~p, czyli sprzecznosc. Bierze sie to, rzecz jasna, z faktu, ze prawo ~(p v q) <=> ~q ^ ~p jest poprawne wylacznie gdy element zt istnieje. W jezyku teoriomnogosciowym mowi ono bowiem, ze "element zt moze znajdowac sie albo w sumie podzbiorow P i Q, albo w przecieciu ich dopelnien, gdyz zbiory P i Q oraz przeciecie ich dopelnien dodaja sie do calego zbioru Z". Tu jednak element zt nie znajduje sie w Z i wartosc 1 nadalismy w takim przypadku aksjomatycznie zbiorowi pustemu. Naturalnie, tego niekonwencjonalnego ruchu prosto zapisane prawo ~(p v q) <=> ~q ^ ~p nie jest w stanie zaakomodowac. I stad jego zlamanie.

Jeszcze ciekawsze konsekwencje ma usuniecie aksjomatu A1. Usuwajac ten aksjomat dopuszczamy nie tylko nieobecnosc w Z elementu o wlasnosci t, ale takze i obecnosc w Z wiecej niz jednego elementu o wlasnosci t. Ma to krytyczny wplyw na wlasnosci negacji.

Przypomnijmy: negacje rozumiemy teoriomnogosciowo jako dopelnienie do zbioru Z. Zbior Z moze teraz zawierac wiecej niz jeden element o wlasnosci t; ogolnie, elementow tych moze byc n, i wypadnie nam je nazywac zti, gdzie i jest indeksem przebiegajacym wartosci od 1 do n. Niech zbior Z zawiera co najmniej dwa takie elementy; nazwijmy je zt1 i zt2. Moze sie zdarzyc, ze podzbior P zawiera tylko element zt1. I teraz wartosc 1 (czyli TRUE) ma zarowno podzbior P jak i jego negacja. Prawo Tertium Non Datur jest klasycznie zlamane w oczywisty sposob: p ^ ~p, czyli wedlug zasad logiki klasycznej ~(p v ~p). Ale wedlug zdefiniowanych w naszej logice konstrukcji nadal zachodzi p v ~p: zarowno zbior P jak i jego negacja maja wartosc 1. Tym razem nie mozemy sie jednak upierac, ze nie ma trzeciej mozliwosci. Mamy bowiem mozliwosci: albo prawdziwe jest tylko p, albo prawdziwe jest tylko ~p, albo prawdziwe jest zarowno p jak i ~p. A poniewaz usuniecie A1 oznacza rowniez dopuszczenie braku zt w Z, dochodzi tez czwarta mozliwosc, ta dyskutowana dla aksjomatu A1': zarowno p jak i ~p sa falszywe.

Powyzsze zjawisko "rozmnozenia sie mozliwosci" jest niczym innym jak przejawem takiego okreslenia elementow zbioru Z i takiego zdefiniowania wlasnosci t, ze inna ilosc elementow niz jeden spelnia kryterium posiadania tej wlasnosci. Rzecz jasna, zawsze mozna dokonac takiego uporzadkowania definicji, zeby zebrac wszystkie elementy zti w jednym podzbiorze i zdefiniowac ten podzbior jako element zt, przedefiniowywujac odpowiednio zbior Z tak, zeby zamiast n elementow zti znalazl sie w nim jeden element zt. Podobnie mozna przedefiniowac wlasnosc t i zbior Z tak, zeby element zt zawsze znajdowal sie w Z. Wystarczy w tym celu zdefiniowac "ratunkowy element" przyjmujacy wlasnosc t wtedy i tylko wtedy, gdy zaden inny element Z nie posiada tej wlasnosci. Te czysto formalne wybiegi ratuja formalizm logiki klasycznej.

Powtorzmy: wybieg z formalnym wprowadzeniem "ratunkowego elementu" pozwala na automatyczne stosowanie wygodnego prawa "odwracania symboli przy negacji", czyli prawa ~(p v q) <=> ~q ^ ~p . Natomiast formalny wybieg polegajacy na jednoznacznym definiowaniu poszukwanego elementu pozwala na zachowanie prawa Tertium Non Datur.

Podsumujmy to wszystko jednym zdaniem. Otoz logika klasyczna jest sformalizowanym zapisem regul wyabstrahowanych z praktycznych zasad przeszukiwania zbiorow dla zlokalizowania elementow o wymaganych wlasnosciach, zasada Tertium Non Datur jest scisle zwiazana z definicja negacji i z warunkiem istnienia jednego i tylko jednego takiego elementu (czyli z warunkiem precyzyjnosci w definiowaniu pojec uzywanych do wypelniania zdan trescia), zas logika intuicjonistyczna przez odrzucenie Tertium Non Datur dopuszcza nieprecyzyjne definicje pojec.

-------------
Poprawki oznaczylem kolorami:

24.12.2005 Brakujace slowo "wartosc" w definicji EQUAL.

mikon · Dołączył: 15 Gru 2005 Posty: 359 Przeczytał: 0 tematów

wujzboj

1. Czym rozni sie logika od algebry? Nazwa?

Podalem dosc precyzyjny opis jakosciowej roznicy. Czy moglbys polemizowac z tym opisem, a nie po prostu formulowac opinie? Bo na razie trudno mi sie ustosunkowac.

2. Nie dobudowywuje metapoziomow, lecz przedstawiam interpretacje. Czyli reprezentacje logiki w jezyku teorii mnogosci. Czynie to po to, aby lepiej bylo widac praktyczny sens pewnych aksjomatow.

3. Czy znalazles jakis blad w podanej przeze mnie reprezentacji? Czy jakies prawo obowiazujace w tej reprezentacji nie obowiazuje w oryginale, lub na odwrot? (Natomiast ja znalazlem przed chwila blad: w definicji EQUAL zabraklo jednego slowa. Poprawilem na czerwono, teraz wszystko powinno sie zgadzac.)

4. Nie wiem, czemu mam sie "poddawac" ani nie widze, na czym polega "quasi-sensownosc". Proponuje, zebys przedtem przyjrzal sie temu, co napisalem, nie zakladajac, ze masz do czynienia ze zwyklym laickim gadulstwem, a potem dopiero krytykowal. I prosze o bardzo konkretna, metrytorczna krytyke.

5. Przypadek THEN jest zdefiniowany scisle. Jesli widzisz w nim jakas niescislosc, napisz konkretnie, na czym ona polega. (Byc moze zmylil cie blad w definicji EQUAL; jesli tak, to wina moja. Ale teraz definicja jest scisla.)

6. Nie wiem, na czym sie zgubiles. Nawiasem mowiac, tekst ten byla w stanie zrozumiec nawet moja mama, ktora zadnej dziedziny matematki nie studiowala. Jesli wiec masz z nim formalne klopoty, to nie watpie, ze bedziesz w stanie bez trudu sformulowac je w precyzyjny sposob, bo z nieformalnym (intuicyjnym, hehe) zrozumieniem problemu byc nie powinno. (I znow: byc moze problemem byla definicja EQUAL.)

wujzboj

Dla porzadku sfinia wydzielila nowy temat "Czym jest logika?". Znalazly sie tam trzy kolejne wpisy: twoja odpowiedz na moj ostatni list, odpowiedz grayFalcona, i twoja odpowiedz grayFalconowi.

Tu proponuje skoncentrowac sie na teoriomnogosciowej interpretacji logiki, OK? Tak bedzie przejrzysciej.

mikon · Dołączył: 15 Gru 2005 Posty: 359 Przeczytał: 0 tematów

wujzboj

mikon · Dołączył: 15 Gru 2005 Posty: 359 Przeczytał: 0 tematów

wujzboj

mikon · Dołączył: 15 Gru 2005 Posty: 359 Przeczytał: 0 tematów

wujzboj

mikon · Dołączył: 15 Gru 2005 Posty: 359 Przeczytał: 0 tematów

wujzboj

Czy "in" to slowny zapis symbolu "zawiera sie w" lub "jest elementem"?

mikon · Dołączył: 15 Gru 2005 Posty: 359 Przeczytał: 0 tematów

wujzboj

Operacje sa zdefiniowane na zbiorach, bo wlasnie w ten sposob uzyskuje sie ich interpretacje. Oczywiscie, mozna zdefiniowac je na obiektach o bogatszej strukturze, ale najprosciej zaczac od najprostszego. Napisalem te interpretacje zas po to, zeby moc latwiej dyskutowac kwestie znaczenia Tertium Non Datur i jego zwiazku z "precyzyjnoscia definicji".

Zauwaz, ze rozumowanie jest w gruncie rzeczy przegladaniem i porzadkowaniem zbiorow. Podane przeze mnie definicje nie wziely sie z powietrza; zbudowalem je tak, zeby odpowiadaly procesowi rozumowania jako dochodzenia do poszukiwanego elementu w zbiorze. Stad definicja wartosci logicznej zbioru, stad definicja negacji jako wszystkiego poza tym, co aktualnie uznaje sie za zawierajace poszukiwany element, i stad definicja THEN jako operacja zmieniajaca ilosc elementow zbioru aktualnie uznawanego za zawierajacy poszukiwany element.

mikon · Dołączył: 15 Gru 2005 Posty: 359 Przeczytał: 0 tematów

wujzboj

mikon · Dołączył: 15 Gru 2005 Posty: 359 Przeczytał: 0 tematów

wujzboj

EQUAL jest zdefiniowany wzorem na poziomie funkcji w, i na razie wiecej nie potrzeba.

Co do definicji blueTHEN, to robimy reset. Bo wlasnie zauwazylem, ze cale uscislanie poszlo w niewlasciwym kierunku i wyszedl z tego inny obiekt niz byl opisany na poczatku. Wobec tego sprobuje jeszcze raz. Pozwol jednak, ze zaczne od komentarza opisujacego blueTHEN slowami. Na koniec podam wzory.

BlueTHEN ma oceniac wartosc logiczna operacji przeprowadzajacej poprzednik (zbior A) w nastepnik (zbior B). Ma czynic to w taki sposob, by w logice klasycznej wartosc 0 byla przypisana tylko operacji zmniejszajacej wartosc logiczna (nastepnik ma mniejsza wartosc logiczna od poprzednika). Ocena ta powinna byc latwa do wykonania (czyli bez przegladania zbyt wielu elementow zbioru). Dlatego umawiamy sie, ze nastepnik rozni sie od poprzednika o pewien niewielki zbior D, przy czym ten zbior jest albo dodawany do A, albo odejmowany od A. (Konsekwencja: wartosc tak zdefiniowanego blueTHEN jest nieokreslona, jesli nie zachodzi ani A in B ani B in A. Pewno mozna blueTHEN dookreslic dla dowolnej pary A i B w sposob optymalny dla okreslania jego wartosci, ale my pojdziemy w tym dookreslaniu na skroty.)

Jesli A in B lub B in A, wystarcza nam zbadac wartosc logiczna roznicy zbiorow A i B, czyli zbioru D. Operacja jest falszywa wtedy i tylko wtedy, gdy D jest odejmowany i gdy jego wartosc logiczna jest prawdziwa (czyli gdy usuwamy szukany element). Czyli:

blueTHEN: (PZ) x P(Z) -> {0, 1}.
if A in B: ~blueTHEN(A, B) := w(B - A)
if B in A: blueTHEN(A, B) := 1
if A not in B and B not in A: blueTHEN(A, B) := w(~A u B)

Teraz z konstrukcji mamy blueTHEN(A, B) <=> (w(A) => w(B)). Natomiast istotna roznica pomiedzy tak zdefiniowana funkcja a funkcja zdefiniowana wprost jako w(~A u B) polega na tym, ze w przypadkach A in B i B in A mamy teraz trywialna regule na budowanie poprawnego "rozumowania na zbiorach", brzmiaca; "nie wyrzucaj tego, czego szukasz".

mikon · Dołączył: 15 Gru 2005 Posty: 359 Przeczytał: 0 tematów

wujzboj