 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Czw 21:34, 12 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - Elementarz Mikroelektroniki
Właśnie zeskanowałem mój "Elementarz Mikroelektroniki" napisany 35 lat temu, wyjaśniający przystępnie (mam nadzieję) matematyczny fundament działania wszelkich komputerów ... i mózgu istot żywych (nie tylko człowieka).
Link do "Elementarza Mikroelektroniki":
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/tnbrf4kocp84ly0/Algebra%20Kubusia%20-%20Elementarz%20Mikroelektroniki.pdf?dl=0
Wstęp:
Niniejsza część algebry Kubusia to obszerny fragment podręcznika do nauki techniki mikroprocesorowej, który napisałem 35 lat temu.
„Elementarz Mikroelektroniki” to matematyczne fundamenty działania wszelkich komputerów, zatem wiedza tu wyłożona nigdy się nie zestarzeje.
Sercem każdego komputera jest mikroprocesor (np. Pentium), zaś mózgiem jego oprogramowanie stworzone przez człowieka (programistę). Sam komputer bez oprogramowania jest tylko kupą złomu, o czym wie każdy 5-cio latek.
Matematyczne fundamenty działania każdego mikroprocesora omówiono w punkcie 1.0.
Jako bonus, dla ambitnych, w punkcie 2.0 szczegółowo omówiono komunikację mikroprocesora z pamięcią zewnętrzną oraz z portami wejścia/wyjścia dzięki którym mikroprocesor komunikuje się ze światem człowieka.
Celem „Elementarza Mikroelektroniki” jest zaspokojenie ciekawości ciekawskich:
Jaki jest matematyczny fundament działania wszelkich komputerów?
Wiedza zawarta w niniejszym podręczniku nie jest niezbędna dla zrozumienia matematycznych fundamentów języka potocznego … a o ten matematyczny opis nam przede wszystkim chodzi.
Tak więc mniej ciekawi mogą sobie darować zrozumienie „Elementarza Mikroelektroniki” i w ogóle tej części algebry Kubusia nie czytać.
Przykład niewyobrażalnej (jeszcze 50 lat temu) rewolucji w elektronice:
[link widoczny dla zalogowanych]
AMD wprowadził do oferty procesor EPYC drugiej generacji - noszący kodową nazwę Rome – kilka miesięcy temu, nie podając jednak wtedy od razu wszystkich szczegółów technicznych dotyczących jego budowy. Ostatnio dowiedzieliśmy się o jednym parametrze, który robi wrażenie. Chodzi o ilość tranzystorów upakowanych w tym układzie.
Okazuje się, że procesor zawiera prawie 40 mld tranzystorów (dokładnie 39 mld 540 mln). Jest to trudna do wyobrażenie ilość biorąc pod uwagę fakt, na jakiej powierzchni wszystkie te tranzystory są zagnieżdżone.
Pytanie:
Czy ktokolwiek zrozumie działanie mikroprocesora rozrysowując jego schemat ideowy złożony z 40 mld tranzystorów?
Oczywiście: NIE
Nie tędy droga do zrozumienia działania dowolnego komputera, w tym do zrozumienia matematycznych fundamentów działania mózgu człowieka.
Nie ma sensu rozrysowywanie schematu ideowego mikroprocesora na bazie występujących tu połączeń odkrytych dzięki mikroskopowi.
Podobnie, nie ma sensu oglądanie pod mikroskopem mięsa z którego mózg istot żywych jest zbudowany.
Nie tędy droga, w ten sposób nigdy nie dojdziemy do rozszyfrowania matematycznych fundamentów działania dowolnego mózgu, nie tylko mózgu człowieka.
Matematyczny fundament działania wszystkich komputerów i wszystkich mózgów istot żywych to banalna algebra Kubusia, logika matematyczna pod którą polegają wszelkie istoty żywe (nie tylko człowiek), nie mając żadnych szans by się spod niej uwolnić.
W świecie człowieka naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są wszystkie 5-cio latki, zatem aby ją rozszyfrować należy udać się do przedszkola, co zrobiłem 15 lat temu - dokładnie dzięki temu możliwe było rozszyfrowanie algebry Kubusia.
Człowiek budując współczesne komputery non-stop małpuje działanie własnego mózgu, będącego bez wątpienia nieosiągalnym dla człowieka superkomputerem biologicznym wyposażonym we wspaniałe urządzenia wejścia/wyjścia: wzrok, słuch, węch, dotyk, smak, mowa.
Różnica między komputerem a mózgiem człowieka jest fundamentalna:
Człowiek może modyfikować wykonywany przez niego program w czasie rzeczywistym reagując na sygnały z otoczenia, natomiast komputer wykonuje swój program ściśle według algorytmu wymyślonego przez programistę.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 22:15, 12 Sie 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 12:48, 15 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
15 sierpnia 2021
Światowa premiera końcowej wersji "Algebry Kubusia"
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-08-15
Kompletna algebra Kubusia to dwa podręczniki:
Część I.
Nowa algebra Boole’a
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/tqgt0c3u56trktd/Nowa%20algebra%20Boole%27a.pdf?dl=0
Część II.
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/j2x4o1xo4e2rzq2/Algebra%20Kubusia.pdf?dl=0
Dodatek do algebry Kubusia dostępny wyłącznie w wersji pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/tnbrf4kocp84ly0/Algebra%20Kubusia%20-%20Elementarz%20Mikroelektroniki.pdf?dl=0
W dodatku znajdziemy odpowiedź na pytanie:
Jaki jest matematyczny fundament działania wszelkich komputerów?
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 12:49, 15 Sie 2021, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 23:18, 18 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
Najciekawsze fragmenty algebry Kubusia
Algebra Boole’a świata techniki vs algebra Boole’a ziemskich matematyków
Podsumowanie:
Rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a (dowód w punkcie 3.6.3)
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#605399
Spis treści
3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego 1
3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek? 3
3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian 5
3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 7
3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
etc
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Y=p+q
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
Zapiszmy poznane dotychczas spójniki logiczne w postaci funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
| Kod: |
TSL - tabela spójników logicznych wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
A:
Spójnik „lub”(+):
1. Y=p+q # 2. ~Y=~p*~q
##
B:
Spójnik „i”(*):
1. Y=p*q # 2. ~Y=~p+~q
##
C:
Warunek wystarczający p=>q:
1. Y=(p=>q)=~p+q # 2. ~Y=~(p=>q)=p*~q
##
D.
Warunek konieczny p~>q:
1. Y=(p~>q)=p+~q # 2. ~Y=~(p~>q)=~p*q
##
E.
Implikacja prosta p|=>q:
1. Y=(p|=>q)=~p*q # 2. ~Y=~(p|=>q)=p+~q
##
F.
Implikacja odwrotna p|~>q
1. Y=(p|~>q)=p*~q # 2. ~Y=~(p|~>q)=~p+q
##
G.
Równoważność p<=>q:
1. Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q # 2. ~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q
##
H.
Spójnik „albo”($):
1. Y=(p$q)=p*~q+~p*q # 2. ~Y=~(p$q)=p*q+~p*~q
##
I.
Chaos p|~~>q:
1. Y = (p|~~>q)=0 # 2. ~Y=~(p|~~>q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego:
Warunkiem koniecznym niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego jest uwzględnianie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) w kolumnach wynikowych rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że tabela TSL perfekcyjnie spełnia definicje obu znaczków # i ##.
W tabeli TSL doskonale widać, że każdy spójnik logiczny definiowany funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y) wymusza funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Definicja operatora logicznego warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny warunku wystarczającego p=>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y dający odpowiedź na pytanie o 1: Y i 2: ~Y
1.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
1A: Y=(p=>q)=~p+q =1
Prawdą jest (=1), że warunek wystarczający => jest spełniony (Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 lub zajdzie q=1
Prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd zapis tożsamy:
1B: ~Y=(p=>q)=~p+q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że warunek wystarczający => nie jest spełniony (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 lub zajdzie q=1
Uwaga na notację w algebrze Kubusia:
Zapisy 1A i 1B są tożsame i należy je rozumieć jak wyżej.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(p=>q) = ~(~p+q) = p*~q - na mocy prawa De Morgana
~Y = ~(p=>q) = p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
2A: ~Y=~(p=>q)=p*~q=1
Prawdą jest (=1), że warunek wystarczający => Y nie jest spełniony (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
2B: Y = (p=>q) =p*~q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że warunek wystarczający => Y jest spełniony (Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
Uwaga na notację w algebrze Kubusia:
Zapisy 2A i 2B są tożsame i należy je rozumieć jak wyżej.
3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek?
Odpowiedź jest jednoznaczna: 5-cio latek
Dowód:
Weźmy przykład ze świata żywego, rodem z przedszkola.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N - poznamy niebawem.
Weźmy obietnicę ojca dla syna:
W.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji warunku wystarczającego E=>K wchodzącego w skład implikacji prostej E|=>K w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) mamy odpowiedź na dwa kluczowe pytania, kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) oraz kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
Zachodzi tożsamość pojęć:
~Y=1 - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) [=] S=1 - ojciec skłamie (S)
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?
Y = (E=>K) = ~E+K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Odpowiedź:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)
Oczywiście tej odpowiedzi żaden normalny człowiek nie zrozumie.
Czy istnieje sposób, by odpowiedzi na pytanie „Kiedy ojciec dotrzyma słowa?” udzielił ekspert algebry Kubusia, 5-cio letni Jaś?
Odpowiedź na ten problem jest twierdząca.
Należy tu zacząć od opisania przypadku „Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?”
Zuzia do Jasia:
Jasiu czy wiesz kiedy ojciec skłamie?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Pytasz mnie:
2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(E=>K) = ~(~E+K) = E*~K - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = E*~K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i ~K=1 - syn za egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
Oczywistym jest, że ojciec może tylko i wyłącznie nie dotrzymać słowa (~Y=1) albo dotrzymać słowa (Y=1).
Innymi słowy:
We wszystkich pozostałych możliwych przypadkach ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Czy teraz już wiesz Zuziu kiedy ojciec dotrzyma słowa?
Zuzia:
Phi, to bułka z masłem, czyli pikuś.
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1), czyli nie skłamie (~S=1), wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i K=1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
LUB
~E=1 i ~K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
LUB
~E=1 i K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Ostatni przypadek to piękny „akt miłości” gwarantowany przez algebrę Kubusia, czyli ojciec może wręczyć dziecku nagrodę (komputer: K=1) mimo ze ten nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1)
Doskonale widać, że w definicji operatora warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które dostaniemy przy definicji implikacji prostej p|=>q definiowanej zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dającej odpowiedź na pytanie o p i ~p.
Szczegóły poznamy za chwilkę.
3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian
Pojęcie funkcji logicznej algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemskich matematyków.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej ze zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p$q =p*~q+~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Definicja spójnika równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p*q+~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Kolejność wykonywania działań w świecie techniki:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Właściwości funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować
Y = p$q = p~q+ ~pq - zapis poprawny w świecie techniki (inżynierowie elektronicy)
Algorytm skróconego przejścia do logiki ujemnej (bo ~Y):
1.
Uzupełniamy brakujące spójniki i nawiasy:
Y = p$q = (p*~q) + (~p*q) - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~(p$q) = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
3.
Jedyną funkcją logiczną zrozumiałą dla człowieka (od 5-cio latka poczynając) jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna, stąd musimy wymnożyć wielomian logiczny 2 (każdy z każdym)
~Y = ~(p$q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q + ~p*~q = p<=>q
~Y=~(p$q) = (p*q)+(~p*~q) = p<=>q
bo:
p*~p =0 - prawo algebry Boole’a
0+x=x - prawo algebry Boole’a
q*p = p*q - iloczyn logiczny (*) jest przemienny
stąd mamy:
~Y = ~(p$q) = p*q + ~p*~q = p<=>q
bo definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
4.
Przejście z funkcją 3 do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
Y = p$q = (~p+~q)*(p+q) = ~(p<=>q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Stąd mamy znane każdemu matematykowi.
Twierdzenie Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie).
Dowód na naszym przykładzie:
1: Y=p$q = p*~q+~p*q [=] 4: Y = p$q = (~p+~q)*(p+q)
3: ~Y=~(p$q) = p*q+~p*~q [=] 2: ~Y=~(p$q) = (~p+q)*(p+~q)
Świat techniki (inżynierowie elektronicy) doskonale zna pojęcie funkcji logicznej w algebrze Boole’a - sam z tego świata przybyłem.
Dowód:
W żadnym katalogu bramek logicznych nie znajdziemy opisu choćby jednej bramki logicznej przedstawionej w postaci wyrażenia algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznej Y.
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Texas Instruments - pionier układów TTL napisał: |
74HC86
They perform the Boolean function Y = A*~B + ~A*B
|
Oczywistym jest że nie jest funkcją Boole’a samo wyrażenie algebry Boole’a:
A*~B+~A*B
Wyłącznie jełopy mogą tego nie wiedzieć.
Podsumowując:
1.
Ziemski matematyk który nie zna poniższej definicji funkcji algebry Boole’a powinien spalić się ze wstydu.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. p*~q+~p*q) przypisane do tej funkcji.
Przykład:
Y = (p$q) = p*~q+~p*q
2.
Ziemski matematyk który nie wie, że dowolną funkcje logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować powinien wziąć zimny prysznic.
Nasz przykład:
~Y = ~(p$q) = p*q + ~p*~q
Stąd mamy prawa De Morgana mówiące o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
I.
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y):
Y=~(~Y) = ~(p*q+~p*~q) = p*~q+~p*q
II.
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y=~(Y) = ~(p*~q+~p*q) = p*q + ~p*~q
3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego
Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który w wypełnianiu tabel zero-jedynkowych operuje tylko i wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a ignorując totalnie zarówno funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i jak i funkcje logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Twardy dowód to podana wyżej tabela spójników logicznych (TSL) zapisana wyłącznie w postaci wyrażeń algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznych Y i ~Y.
Dokładnie ten błąd fatalny popełniają wszyscy ziemscy matematycy.
| Kod: |
TSL’ - tabela spójników logicznych
po zostawieniu wyłącznie wyrażeń algebry Boole’a
A: Spójnik „lub”(+)
1. p+q # 2. ~p*~q
##
B: Spójnik „i”(*)
1. p*q # 2. ~p+~q
##
C: Warunek wystarczający =>
1. ~p+q # 2. p*~q
##
D. Warunek konieczny ~>
1. p+~q # 2. ~p*q
##
E. Implikacja prosta p|=>q
1. ~p*q # 2. p+~q
##
F. Implikacja odwrotna p|~>q
1. p*~q # 2. ~p+q
##
G. Równoważność p<=>q
1. p*q+~p*~q # 2. p*~q+~p*q
##
H. Spójnik „albo”($) p$q
1. p*~q+~p*q # 2. p*q+~p*~q
##
I. Chaos p|~~>q
1. =0 # 2. =1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Zauważmy, że po zostawieniu w tabeli TSL samych wyrażeń algebry Boole’a definicja znaczka różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony jest wszędzie spełniona.
ALE!
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest gwałcona w następujących miejscach:
| Kod: |
TSL’
C1: ~p+q [=] F2:~p+q
D1: p+~q [=] E2: p+~q
E1: ~p*q [=] D2:~p*q
F1: p*~q [=] C2: p*~q
G1: p*q+~p*~q [=] H2: p*q+~p*~q
H1: p*~q+~p*q [=] G2: p*~q+~p*q
|
cnd
Wniosek:
Rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 14:49, 19 Sie 2021, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 4:56, 22 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-825.html#613561
Rozwiązywanie lokalnych problemików w algebrze Kubusia!
Problemik Nr.1
Dlaczego w algebrze Kubusia prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian prawo eliminacji implikacji) jest czasami błędem czysto matematycznym.
W zanadrzu mam rozwiązany jeszcze jeden istotny problemik, dowiesz się Irbisolu jaki, jak podejmiesz dyskusję!
W związku z odkryciem problemiku Nr.1 „Nowa algebra Boole’a” idzie do poprawki, bo nie da się spójnikami „i”(*) i „lub”(+) cokolwiek rozstrzygać w temacie warunku wystarczającego => czy też warunku koniecznego ~> - z definicji się nie da!
Błędnie matematycznie próbowałem wcisnąć definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> do spójników „i”(*) oraz „lub”(+).
To jest problemik Nr.2 którym zajmę się za chwilkę.
Wstęp konieczny do zrozumienia niniejszego artykułu:
Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Czy Irbisol podejmie dyskusję której zalążkiem jest niniejszy artykuł?
… oto jest pytanie.
Podpowiedź:
Irbisol zna bardzo dobrze gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań ale jest prawie pewne, że zrobi to co zwykle, czyli w panice zwieje w krzaki udając że nie czytał niniejszego artykułu.
| Irbisol napisał: | To kiedy to ostatnie czytanie (na początku strony miało być)? Czy może w twojej logice "ostatnie" znaczy co innego niż w naszej?
BTW. Jest jakaś kliniczna nazwa na przypadłość, którą tu obserwujemy? |
Co do wytłuszczonego:
Dowód iż fanatycy Klasycznego Rachunku Zdań to pacjenci zakładu zamkniętego bez klamek masz we wstępie do algebry Kubusia tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#604299
Dzięki Irbisolu że czytasz…
Algebra Kubusia ulega ciągłym udoskonaleniom polegającym na upraszczaniu przekazu i rozwiązywaniu lokalnych problemików.
Zatem dopóki takie udoskonalenia przekazu i rozwiązywanie problemików w ciszy i spokoju będzie miało miejsce, dopóty nie ma sensu abym wychodził z nią na ziemskie fora matematyczne.
Dlaczego nie ma sensu?
Sam doskonale wiesz najlepiej!
Po prostu zacznie się wtedy potworna bijatyka między mną a „twardogłowymi Irbisolami” (czyli w praktyce z 95% ziemskich „matematyków”), zacznie się wojna na definicje. „Twardogłowy Irbisol” będzie używał definicji rodem z potwornie śmierdzącego gówna zwanego Klasyczny Rachunek Zdań nie przyjmując do wiadomości tzn. nie akceptując ani jednej definicji z algebry Kubusia.
Po obu stronach będzie to straszliwa wojna typu „gadał dziad do obrazu” ciągnąca się w nieskończoność bo 100% definicji w algebrze Kubusia jest sprzecznych z definicjami w KRZ!
Czyż nie tak wyglądała nasza dyskusja w tym wątku?
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663.html#505427
Sam sobie odpowiedz na to pytanie.
Podsumowując:
Dopóki będę upraszczał przekaz algebry Kubusia (non stop to robię) i rozwiązywał lokalne problemiki, dopóty nie interesuje mnie bijatyka między mną a „twardogłowymi Irbisolami”.
Możliwe, że nie starczy mi życia by upraszczać przekaz i rozwiązać wszystkie problemiki w AK, lepszym jednak wyjściem jest rozwiązanie jak największej liczby lokalnych problemików (jak w tym artykule opisany Nr.1) niż moja bijatyka z „twardogłowymi Irbisolami” uniemożliwiająca zauważenie tych problemików.
Jakie to problemiki?
Na ten moment mam dwa problemiki które budząc się ze snu w dniu dzisiejszym (jest 2021-08-22 godz. 4:20) rozwiązałem - od dawna wiem, że najlepszy kontakt z Kubusiem mam w czasie snu, gdyż najważniejsze problemiki rozwiązuję tuż po przebudzeniu.
Problemik Nr.1
Wyjaśnienie dlaczego ziemskie prawo eliminacji warunku wystarczającego => (ziemianie błędnie nazywają to implikacją) jest czasami błędem czysto matematycznym!
p=>q = ~p+q
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Weźmy takie zdanie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
Obliczenia zbiorów:
W algebrze Kubusia zbiory mają wartości logiczne:
p=[x] =1 - gdy zbiór niepusty, zawierający co najmniej jeden element
p=[] =0 - gdy zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy:
Poprzednik mówi o zbiorze:
P=1 - zbiór jednoelementowy „pies”
P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”.
Następnik mówi o zbiorze „nie kot” rozumianym jako uzupełnienie zbioru K=[kot] do dziedziny ZWZ:
~K=[ZWZ-K] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o jedno zwierzę „kota”
~K=[pies, słoń, kura ..]
Definicje pozostałych zbiorów koniecznych do analizy matematycznej zdania A1:
~P=1 - zbiór „nie pies” rozumiany jako uzupełnienie zbioru P=[pies] do wspólnej dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o „psa”
~P=[kot, słoń, kura ..]
K=[kot] - zbiór jednoelementowy „kot”
Zastosujmy do zdania A1 prawo Kubusia.
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Nasz przykład:
A1: P=>~K = A2:~P~>K
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Z prawa Kubusia wynika, że nie musimy dowodzić prawdziwości zdania A2, bowiem prawdziwość A2 gwarantuje nam prawo Kubusia!
Definicja dowodu „nie wprost”
Dowód „nie wprost” to dowód prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (tu prawa Kubusia).
Sam widzisz Irbisolu, że totalnie wszystko masz w swoim gównie zwanym KRZ spieprzone, definicję dowodu „nie wprost” także bo zawężasz dowód „nie wprost” wyłącznie do prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
p=>q = ~q=>~p.
Wypowiedzmy zdanie A2:
A2.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> być kotem (K=1)
~P~>K =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona bo zbiór ~P=[kot, słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru K=[kot]
cnd
Prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian znaczek => błędnie zwany jest implikacją):
p=>q = ~p+q
Wypowiedzmy ponownie zdanie A1.
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =?
Skorzystajmy z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
P=>~K = ~P+~K =?
Czym jest zbiór po prawej stronie?
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o „psa”
~P=[kot, słoń, kura ..]
~K=[ZWZ-K] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o jedno zwierzę „kota”
~K=[pies, słoń, kura ..]
Doskonale widać, że zachodzi tożsamość zbiorów:
ZWZ = ~P+~K
Oczywiście każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
Po skorzystaniu z prawa eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian z prawa eliminacji implikacji) mamy tu do czynienia z ewidentną równoważnością
ZWZ<=>(~P+~K) = (A1: ZWZ=>(~P+~K))*(B1: ZWZ~>(~P+~K)) =1*1 =1
cnd
Stąd mamy fałszywy wniosek jakoby zdanie A1 wchodziło w skład powyższej równoważności.
Dlaczego ten wniosek jest fałszem?
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości zdania A1 ze zmienionym warunkiem wystarczającym => na warunek konieczny ~>.
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> nie jest kotem (~K=1)
P~>~K =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) tu spełniona do zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
Prawidłowy wniosek!
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>~K o definicji:
A1: P=>~K =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony bo:
zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
B1: P~>~K =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony bo:
zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej P|=>~K:
Implikacja prosta P|=>~K to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku (dowód wyżej)
P|=>~K = (A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K) = 1*~(0) =1*1 =1
Powtórzmy:
Poprawny wniosek!
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>~K
Twierdzenie Irbisa:
Dowolna implikacja prosta p|=>q jest rozłączna z równoważnością p<=>q
Oczywiście:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia na poziomie szkoły podstawowej.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzący jednocześnie zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Dowód iż ta definicja równoważności jest powszechnie znana (nie tylko wśród matematyków).
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 7 810
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 118 000
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
(p<=>q)*(p|=>q) = [(A1: p=>q)*(B1: p~>q)]*[ (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)] =0
bo:
(B1: p~>q)*~(B1: p~>q) =0
x*~x =0 - prawo algebry Boole’a
Innymi słowy:
Dowolna implikacja prosta p|=>q jest rozłączna z równoważnością p<=>q
Co to oznacza?
Oznacza to, że jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q to na 100% to samo zdanie nie ma prawa wchodzić w skład równoważności p<=>q.
Zauważmy, że nieznane ziemianom prawo Kameleona samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód na naszym przykładzie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> nie jest kotem (~K=1)
P~>~K =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona do zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te są różna na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Dowód:
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zdania A1 i B1 rozróżniamy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Pytania do Irbisola:
1.
Czy zgadzasz się że nie zawsze prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian implikacji) jest matematycznie poprawne? - dowód kiedy nie jest masz wyżej.
2.
Czy zgadzasz się na twierdzenie Irbisa mówiące o rozłączności implikacji prostej p|=>q i równoważności p<=>q?
3.
Czy zgadzasz się na prawo Kameleona? - dowód kiedy prawo Kameleona działa masz wyżej.
4.
Czy zgadzasz się że definicja dowodu „nie wprost” jest w ziemskiej matematyce spieprzona bo jest niepełna.
Ziemianie w logice matematycznej znają wyłącznie prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
… a gdzie pozostałe prawa logiki matematycznej jak we wstępie do niniejszego artykułu?
tzn. gdzie masz w ziemskiej logice „matematycznej” prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>?
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 12:06, 22 Sie 2021, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 23:27, 23 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-850.html#613885
Z dużej chmury mały deszcz
Chodzi tu o zdanie z mojego postu wyżej:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Wszystko jest tu w porządku, algebra Kubusia działa perfekcyjnie (patrz punkt 4.11)
Ten przypadek zwrócił moją uwagę na konieczność uwypuklenia oczywistości iz dowolna implikacja prosta p|=>q dzieli dziedzinę na trzy zbiory niepuste i rozłączne, uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
To jest po prostu ciut nietypowa implikacja typu p|=>~q i tyle - z dużej chmury mały deszcz.
Oczywiście dopisałem odpowiedni fragment w algebrze Kubusia.
Ten przypadek tez pokazuje dlaczego nie warto się spieszyć z wychodzeniem z AK na ziemskie fora matematyczne.
Wyżej trochę sobie napyskowałem na gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań - należy mu się kopanie przy każdej okazji, to gówno musi zostać zabite w 100%.
Dlaczego:
Nie mam nic przeciwko, gdy dorośli ludzie, fanatycy KRZ chcą się ogłupiać tym gównem, ale należy powiedzieć zdecydowane NIE gdy owi fanatycy (to się dzieje) chcą tym gównem ogłupiać nasze dzieci w I klasie LO.
[link widoczny dla zalogowanych]
jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi
Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap
Fragment AK który dopisałem:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#605641
4.9 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach 8
4.9.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 12
4.9.2 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej P8|=>P2 14
4.10 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej p|=>q 15
4.11 Implikacja prosta typu p|=>~q w zbiorach 17
4.9 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Twierdzenia matematyczne operują wyłącznie na zbiorach nieskończonych, logika matematyczna jest tu identyczna jak opisana wyżej banalna logika zdarzeń, jednak zbiory nieskończone z oczywistych powodów są trudniejsze do analizy.
Niemniej jednak możliwe są operacje na zbiorach nieskończonych zrozumiałe dla ucznia I klasy LO i do takich zbiorów ograniczymy się w wykładzie.
Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>:
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie matematyczne jest fałszywe.
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Weźmy następujące twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Zapis formalny na mocy prawa Kłapouchego to:
p=>q =1
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Poprzednik p mówi tu o zbiorze P8=[8,16,24..], zaś następnik q o zbiorze P2=[2,4,6,8..]
Dla potrzeb dalszej analizy musimy obliczyć przeczenia zabiorów P8 i P2, rozumiane jako uzupełnienia do wspólnej dziedziny.
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Przyjmijmy dziedzinę LN:
LN=[2,4,6,8..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczenie przeczeń zbiorów rozumianych jako ich uzupełnienie do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
Dla powyższych zbiorów P8 i P2 musi być spełniona definicja wspólnej dziedziny LN.
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 =LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 =LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Zauważmy, że znów kłania się nam prawo Kameleona.
Porównajmy zdania A1 i B1 wyżej:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
##
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Zapiszmy zdania A1 i B1 w tabeli prawdy:
| Kod: |
A1: p=> q = ~p+q ## B1: p~> q = p+~q - zapis formalny {p,q}
A1: P8=>P2 = ~P8+P2 ## B1: P8~>P2 = P8+~P2 - zapis aktualny {P8,P2}
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
|
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej P8|=>P2.
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2):
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta P8|=>P2 jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => zbioru P2 i zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym {p,q}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym {P8,P2}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P2}:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P8=>P2 =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8 =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P8~~>~P2=0 = [=] = 4:~P2~~>P8 =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P8~>P2 =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8 =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
Z tabeli prawdy implikacji prostej IP odczytujemy:
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
4.9.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Operator implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to…
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to..
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.
A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2)=1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.
LUB
Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P8||=>P2 jest gwarancja matematyczna => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.
4.9.2 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej P8|=>P2
W klasycznej implikacji prostej p|=>q w zbiorach, analiza warunku wystarczającego p=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q generuje po stronie wyjścia trzy zbiory niepuste wzajemnie rozłączne, uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Weźmy omówioną wyżej implikację prostą P8|=>P2.
Podsumujmy w zbiorach powyższą analizę:
| Kod: |
A1: P8=> P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
A1’: P8~~>~P2=0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2:~P8~>~P2
A2: ~P8~>~P2 =1 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9.] jest nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5..]
B2’:~P8~~>P2 =1 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9.] ma el. wspólny z P2=[2,4,6,8..]
|
Obliczamy iloczyny logiczne zbiorów A1, A2, B2’:
A1.
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów P8 i P2:
A1: P8=>P2 = P8*P2 = P8=[8,16,24..] - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
A2.
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów ~P8 i ~P2:
A2: ~P8~>~P2 = ~P8*~P2 = ~P2=[1,3,5,7,9..] - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
B2’
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów ~P8 i P2:
B2’: ~P8~~>P2 = ~P8*P2 = [2,4,6 .. 10,12,14..18..] - zbiór P2 pomniejszony o zbiór P8=[8,16,24..]
Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ są wzajemnie rozłączne:
1.
Zbiór A2: ~P8*~P2=~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem B2’: ~P8*P2=[2,4,6 .. 10,12,14..18..]
Uzasadnienie:
Jak widzimy, zbiór B2’ jest de facto zbiorem liczb parzystych a dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych, tu A2.
cnd
2.
W żadnym ze zbiorów A2 i B2’ nie ma ani jednej liczby podzielnej przez 8 co jest dowodem rozłączności zarówno zbioru A2 jak i B2’ ze zbiorem A1: P8*P2 = P8=[8,16,24..]
cnd
Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
1.
Udowodniliśmy że:
A1: P8=>P2 =P8*P2 = P8=[8,16,24..] - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
2.
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
Wniosek:
Po udowodnieniu iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2, na mocy prawa Kubusia mamy pewność absolutną iż zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
Stąd mamy:
A2: ~P8~>~P2 = ~P8*~P2 = ~P2=[1,3,5,7,9..] - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
3.
B2’: ~P8~~>P2 = ~P8*P2 = [2,4,6 .. 10,12,14..18..] - zbiór P2 pomniejszony o zbiór P8=[8,16,24..]
Obliczamy sumę logiczną zborów A2+B2’:
A2+B2’ = ~P8*~P2 + ~P8*P2 = ~P8*(~P2+P2) = ~P8
Stąd mamy:
Suma logiczna wszystkich zbiorów niepustych A1, A2 i B2’ to:
A1: P8+ (A2+B2’): ~P8 = P8+~P8 =1
cnd
4.10 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej p|=>q
Dokładnie to samo można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym w zapisach formalnych:
| Kod: |
Definicja implikacji prostej p|=>q w rozpisce na zbiory wynikowe:
A1: p=> q = p* q = p - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1’: p~~>~q= p*~q = 0 - zbiory p i ~q są rozłączne
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =~p*~q =~q - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2’:~p~~>q =~p* q
|
Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ są wzajemnie rozłączne:
1.
Dowód iż analizowane zbiory niepuste są wzajemnie rozłączne
Zbiory niepuste w implikacji prostej p|=>q to:
A1: p=>q =p*q =p
A2: ~p~>~q =~p*~q =~q
B2’:~p~~>q =~p* q
Dowody cząstkowe:
a)
Gwarancją rozłączności zbiorów A1: p i A2: ~q jest fałszywy kontrprzykład A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =[] =0
cnd
b)
Dowód iż zbiór A1 jest rozłączny ze zbiorem B2’:
A1*B2’ = (p)*(~p*q) =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
cnd
c)
Dowód iż zbiór A2 jest rozłączny ze zbiorem B2’:
A2*B2’ = (~q)*(~p*q) =[] =0 - bo ~q*q=[] =0
cnd
Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
1.
Udowodniliśmy że:
A1: p=>q =p*q =p - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Wniosek:
Po udowodnieniu iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, na mocy prawa Kubusia mamy pewność absolutną iż zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Stąd mamy:
A2: ~p~>~q = ~q - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
3.
Kluczowy dowód to udowodnienie iż:
A2+B2’ = ~p - bo ~p to zbiór rozłączny z A1: p (zbiory ~p i p uzupełniają się wzajemnie do dziedziny).
Dowód:
Y = A2: ~q + B2’: ~p*q
Y = ~q+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = q*(p+~q)
~Y = p*q + q*~q
~Y = p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y= (A2+B2’) = ~p+~q
Na mocy prawa Kubusia (pkt. 2) wiemy że zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Stąd mamy:
Y = (A2+B2’) = ~p+~q =~p
cnd
4.
Dowód iż w implikacji prostej p|=>q zbiory niepuste uzupełniają cię wzajemnie do dziedziny:
A1: p + A2:~q + B2’: ~p*q = A1: p + (A2+B2’): ~p = p+~p =1
cnd
Uwaga:
Alternatywny dowód punktu 3 jest następujący:
A2: ~p~>~q = ~p*~q = ~q - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2’: ~p~~>q = ~p*q
Stąd mamy:
A2: ~p*~q + B2’: ~p*q = ~p*(~q+q) =~p
To jest najprostszy dowód - wszystkie drogi prowadzą do Rzymu tzn. do algebry Kubusia.
Podsumowując:
Analiza matematyczna warunku wystarczającego p=>q w implikacji prostej p|=>q wyznacza nam po stronie wyjścia trzy zbiory niepuste i rozłączne, uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
cnd
4.11 Implikacja prosta typu p|=>~q w zbiorach
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Weźmy takie zdanie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=>~q
gdzie:
p=P=[pies]
q=K=[kot]
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
Obliczenia zbiorów:
W algebrze Kubusia zbiory mają wartości logiczne:
p=[x] =1 - gdy zbiór niepusty, zawierający co najmniej jeden element
p=[] =0 - gdy zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Poprzednik mówi o zbiorze:
P=1 - zbiór jednoelementowy „pies”
P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”.
Następnik mówi o zbiorze „nie kot” rozumianym jako uzupełnienie zbioru K=[kot] do dziedziny ZWZ:
~K=[ZWZ-K] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o jedno zwierzę „kota”
~K=[pies, słoń, kura ..]
Definicje pozostałych zbiorów koniecznych do analizy matematycznej zdania A1:
~P=1 - zbiór „nie pies” rozumiany jako uzupełnienie zbioru P=[pies] do wspólnej dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o „psa”
~P=[kot, słoń, kura ..]
K=[kot] - zbiór jednoelementowy „kot”
Prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian znaczek => błędnie zwany jest implikacją):
p=>q = ~p+q
Wypowiedzmy ponownie zdanie A1.
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =?
Skorzystajmy z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
P=>~K = ~P+~K =?
Czym jest zbiór po prawej stronie?
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o „psa”
~P=[kot, słoń, kura ..]
~K=[ZWZ-K] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o jedno zwierzę „kota”
~K=[pies, słoń, kura ..]
Doskonale widać, że zachodzi tożsamość zbiorów:
ZWZ = ~P+~K
Oczywiście każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
Po skorzystaniu z prawa eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian z prawa eliminacji implikacji) mamy tu do czynienia z ewidentną równoważnością
ZWZ<=>(~P+~K) = (A1: ZWZ=>(~P+~K))*(B1: ZWZ~>(~P+~K)) =1*1 =1
cnd
Stąd mamy fałszywy wniosek jakoby zdanie A1 wchodziło w skład powyższej równoważności.
Dlaczego ten wniosek jest fałszem?
Prawą stronę czytamy:
Przynależność dowolnego zwierzęcia do zbioru wszystkich zwierząt ZWZ jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) aby to zwierzę należało do zbioru ~P+~K.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów:
ZWZ = ~P+~K
Ta definicja równoważności jest doskonale znana ziemianom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6 840
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 118 000
Zauważmy, że wyprowadzona równoważność, mimo że prawdziwa, ma zero wspólnego z analizą warunku wystarczającego A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Dalsza poprawna analiza warunku wystarczającego => A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q to:
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości zdania A1 ze zmienionym warunkiem wystarczającym => na warunek konieczny ~>.
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> nie jest kotem (~K=1)
P~>~K =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) tu spełniona do zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
Prawidłowy wniosek!
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>~K o definicji:
A1: P=>~K =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony bo:
zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
B1: P~>~K =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony bo:
zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej P|=>~K:
Implikacja prosta P|=>~K to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku (dowód wyżej)
P|=>~K = (A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K) = 1*~(0) =1*1 =1
Zauważmy, że nieznane ziemianom prawo Kameleona samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód na naszym przykładzie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> nie jest kotem (~K=1)
P~>~K =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona do zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te są różna na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Dowód:
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zdania A1 i B1 rozróżniamy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Analiza warunku wystarczającego A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to może być kotem (K=1)
P~~>K = P*K =[] =0
Bo zbiory jednoelementowe P=[pies] i K=[kot] są rozłączne
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Nasz przykład:
A1: P=>~K = A2: ~P~>K
Na mocy prawa Kubusia prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy warunek konieczny A2.
A2.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> być kotem (K=1)
~P~>K =1
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby być kotem, bo zbiór ~P=[kot, słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru jednoelementowego K=[kot]
Nie bycie psem (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby być kotem (K=1), bo jak się jest psem (P=1) to na 100% => nie jest się kotem (~K=1)
Zauważmy ze prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>K = A1: P=>~K
Zauważmy, że warunek wystarczający B2 jest fałszem:
B2: ~P=>K =0 - nie bycie psem (~P=1) nie jest wystarczające => by być kotem (K=1)
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’.
B2’
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie być kotem (K=1)
~P~~>~K = ~P*~K =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P=[kot, słoń, kura..] i ~K=[pies, słoń, kura…] np. słoń
Stąd mamy:
~P*~K=[słoń, kura..] - wszystkie zwierzęta z wykluczeniem „psa” i „kota”
cnd
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy skupiając się na zbiorach wyjściowych wyznaczanych w poszczególnych liniach:
| Kod: |
A1: P=>~K = P*~K=P=[pies] - bo P jest podzbiorem => ~K
A1’: P~~>K = P* K=0 - bo P=[pies] i K=[kot] są rozłączne
A2: ~P~> K =~P* K=K=[kot] - bo ~P jest nadzbiorem ~> K
B2’:~P~~>~K=~P*~K=[słoń, kura..] - wyznaczony zbiór
|
Doskonale tu widać, że spełniona jest definicja implikacji prostej P|=>~K dzieląca dziedzinę ZWZ na trzy zbiory niepuste i rozłączne A1, A2, B2’ uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 20:20, 24 Sie 2021, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 13:05, 04 Wrz 2021 Temat postu: |
|
|
Dopieszczanie algebry Kubusia!
Przed chwilą dopisałem istotne punkty 4.10 i 4.11 - zapraszam do lektury
Tylko pozornie w AK nic się nie dzieje bo mało tu ostatnio piszę.
Nie piszę dlatego, bo po prostu po 15 latach harówy gdzie pisałem średnio po 5 postów dziennie na temat logiki matematycznej ... przyszedł czas na odpoczynek.
Po cholerę mam już i natychmiast wychodzić z algebrą Kubusia na ziemskie fora matematyczne, gdy z góry wiem co tam się będzie działo.
Wściekły atak fanatyków Klasycznego Rachunku Zdań na algebrę Kubusia (typu Irbisol i Idiota) jest nieunikniony:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/paradoks-warunku-wystarczajacego,3164-25.html#309843
Cytat z AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#605641
Algebra Kubusia
4.8 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q dla LO
Spis treści
4.8 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach 1
4.8.1 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 5
4.8.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S 7
4.9 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach 9
4.9.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 13
4.9.2 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej P8|=>P2 15
4.10 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej p|=>q 16
4.11 Implikacja prosta typu p|=>~q w zbiorach 17
4.11.1 Operator implikacji prostej P||=>~K w zbiorach 22
4.8 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach
Wstęp teoretyczny:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak, stan przycisku W jest tu nieistotny, może być W=x gdzie x=[1,0]
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x=[1,0]
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie.
Przycisk A może nie być wciśnięty (A=0), a mimo to żarówka może się świecić, gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i W=1 i żarówka będzie się świecić
cnd
Jak widzimy na dzień dobry wyskoczyło nam prawo Kameleona.
Popatrzmy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zapiszmy zdania A1 i B1 w tabeli prawdy:
| Kod: |
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q - zapis formalny {p,q}
A1: A=>S = ~A+S ## B1: A~>S = A+~S - zapis aktualny {A,S}
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej A|=>S.
IP
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
bo żarówkę S może zaświecić zmienna wolna W (W=1)
Stąd mamy:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta A|=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (A1) i nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia żarówki S (B1)
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {A,S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S =0 = [=] = 4:~S~~>A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S =0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~A~~>S =1 [=] 3: S~~>~A =1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności zapisu zmienne aktualne (A, S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o brzmieniu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
Uwaga:
Tabela IP zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji prostej p|=>q.
Zdania w tabeli IP mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IP.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
4.8.1 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach
| Kod: |
S1 Schemat 1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S=0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1).
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia się S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia się S (~S=1)
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) =`*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej A||=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie A (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~A (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
4.8.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S
Wisienką na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S jest podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą A|=>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S1 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.
4.9 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Twierdzenia matematyczne operują wyłącznie na zbiorach nieskończonych, logika matematyczna jest tu identyczna jak opisana wyżej banalna logika zdarzeń, jednak zbiory nieskończone z oczywistych powodów są trudniejsze do analizy.
Niemniej jednak możliwe są operacje na zbiorach nieskończonych zrozumiałe dla ucznia I klasy LO i do takich zbiorów ograniczymy się w wykładzie.
Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>:
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie matematyczne jest fałszywe.
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Weźmy następujące twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Zapis formalny na mocy prawa Kłapouchego to:
p=>q =1
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Poprzednik p mówi tu o zbiorze P8=[8,16,24..], zaś następnik q o zbiorze P2=[2,4,6,8..]
Dla potrzeb dalszej analizy musimy obliczyć przeczenia zabiorów P8 i P2, rozumiane jako uzupełnienia do wspólnej dziedziny.
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Przyjmijmy dziedzinę LN:
LN=[2,4,6,8..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczenie przeczeń zbiorów rozumianych jako ich uzupełnienie do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
Dla powyższych zbiorów P8 i P2 musi być spełniona definicja wspólnej dziedziny LN.
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 =LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 =LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Zauważmy, że znów kłania się nam prawo Kameleona.
Porównajmy zdania A1 i B1 wyżej:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
##
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Zapiszmy zdania A1 i B1 w tabeli prawdy:
| Kod: |
A1: p=> q = ~p+q ## B1: p~> q = p+~q - zapis formalny {p,q}
A1: P8=>P2 = ~P8+P2 ## B1: P8~>P2 = P8+~P2 - zapis aktualny {P8,P2}
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
|
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej P8|=>P2.
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2):
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta P8|=>P2 jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => zbioru P2 i zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym {p,q}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym {P8,P2}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P2}:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P8=>P2 =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8 =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P8~~>~P2=0 = [=] = 4:~P2~~>P8 =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P8~>P2 =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8 =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
Uwaga:
Tabela IP zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji prostej p|=>q.
Zdania w tabeli IP mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IP.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?
Z tabeli prawdy implikacji prostej IP odczytujemy:
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
4.9.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Operator implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to…
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to..
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.
A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2)=1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.
LUB
Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P8||=>P2 jest gwarancja matematyczna => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.
4.9.2 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej P8|=>P2
W klasycznej implikacji prostej p|=>q w zbiorach, analiza warunku wystarczającego p=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q generuje po stronie wyjścia trzy zbiory niepuste wzajemnie rozłączne, uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Weźmy omówioną wyżej implikację prostą P8|=>P2.
Podsumujmy w zbiorach powyższą analizę:
| Kod: |
A1: P8=> P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
A1’: P8~~>~P2=0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2:~P8~>~P2
A2: ~P8~>~P2 =1 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9.] jest nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5..]
B2’:~P8~~>P2 =1 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9.] ma el. wspólny z P2=[2,4,6,8..]
|
Obliczamy iloczyny logiczne zbiorów A1, A2, B2’:
A1.
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów P8 i P2:
A1: P8=>P2 = P8*P2 = P8=[8,16,24..] - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
A2.
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów ~P8 i ~P2:
A2: ~P8~>~P2 = ~P8*~P2 = ~P2=[1,3,5,7,9..] - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
B2’
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów ~P8 i P2:
B2’: ~P8~~>P2 = ~P8*P2 = [2,4,6 .. 10,12,14..18..] - zbiór P2 pomniejszony o zbiór P8=[8,16,24..]
Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ są wzajemnie rozłączne:
1.
Zbiór A2: ~P8*~P2=~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem B2’: ~P8*P2=[2,4,6 .. 10,12,14..18..]
Uzasadnienie:
Jak widzimy, zbiór B2’ jest de facto zbiorem liczb parzystych a dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych, tu A2.
cnd
2.
W żadnym ze zbiorów A2 i B2’ nie ma ani jednej liczby podzielnej przez 8 co jest dowodem rozłączności zarówno zbioru A2 jak i B2’ ze zbiorem A1: P8*P2 = P8=[8,16,24..]
cnd
Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
1.
Udowodniliśmy że:
A1: P8=>P2 =P8*P2 = P8=[8,16,24..] - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
2.
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
Wniosek:
Po udowodnieniu iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2, na mocy prawa Kubusia mamy pewność absolutną iż zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
Stąd mamy:
A2: ~P8~>~P2 = ~P8*~P2 = ~P2=[1,3,5,7,9..] - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
3.
B2’: ~P8~~>P2 = ~P8*P2 = [2,4,6 .. 10,12,14..18..] - zbiór P2 pomniejszony o zbiór P8=[8,16,24..]
Obliczamy sumę logiczną zborów A2+B2’:
A2+B2’ = ~P8*~P2 + ~P8*P2 = ~P8*(~P2+P2) = ~P8
Stąd mamy:
Suma logiczna wszystkich zbiorów niepustych A1, A2 i B2’ to:
A1: P8+ (A2+B2’): ~P8 = P8+~P8 =1
cnd
4.10 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej p|=>q
Dokładnie to samo można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym w zapisach formalnych:
| Kod: |
Definicja implikacji prostej p|=>q w rozpisce na zbiory wynikowe:
A1: p=> q = p* q = p - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1’: p~~>~q= p*~q = 0 - zbiory p i ~q są rozłączne
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =~p*~q =~q - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2’:~p~~>q =~p* q
|
Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ są wzajemnie rozłączne:
1.
Zbiory niepuste w implikacji prostej p|=>q to:
A1: p=>q =p*q =p
A2: ~p~>~q =~p*~q =~q
B2’:~p~~>q =~p* q
Dowody cząstkowe:
a)
Gwarancją rozłączności zbiorów A1: p i A2: ~q jest fałszywy kontrprzykład A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =[] =0
cnd
b)
Dowód iż zbiór A1 jest rozłączny ze zbiorem B2’:
A1*B2’ = (p)*(~p*q) =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
cnd
c)
Dowód iż zbiór A2 jest rozłączny ze zbiorem B2’:
A2*B2’ = (~q)*(~p*q) =[] =0 - bo ~q*q=[] =0
cnd
Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
1.
Udowodniliśmy że:
A1: p=>q =p*q =p - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Wniosek:
Po udowodnieniu iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, na mocy prawa Kubusia mamy pewność absolutną iż zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Stąd mamy:
A2: ~p~>~q = ~q - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
3.
Kluczowy dowód to udowodnienie iż:
A2+B2’ = ~p - bo ~p to zbiór rozłączny z A1: p (zbiory ~p i p uzupełniają się wzajemnie do dziedziny).
Dowód:
Y = A2: ~q + B2’: ~p*q
Y = ~q+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = q*(p+~q)
~Y = p*q + q*~q
~Y = p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y= (A2+B2’) = ~p+~q
Na mocy prawa Kubusia (pkt. 2) wiemy że zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Stąd mamy:
Y = (A2+B2’) = ~p+~q =~p
cnd
4.
Dowód iż w implikacji prostej p|=>q zbiory niepuste uzupełniają cię wzajemnie do dziedziny:
A1: p + A2:~q + B2’: ~p*q = A1: p + (A2+B2’): ~p = p+~p =1
cnd
Uwaga:
Alternatywny dowód punktu 3 jest następujący:
A2: ~p~>~q = ~p*~q = ~q - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2’: ~p~~>q = ~p*q
Stąd mamy:
A2: ~p*~q + B2’: ~p*q = ~p*(~q+q) =~p
To jest najprostszy dowód - wszystkie drogi prowadzą do Rzymu tzn. do algebry Kubusia.
Podsumowując:
Analiza matematyczna warunku wystarczającego p=>q w implikacji prostej p|=>q wyznacza nam po stronie wyjścia trzy zbiory niepuste i rozłączne, uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
cnd
4.11 Implikacja prosta typu p|=>~q w zbiorach
W algebrze Kubusia zbiory mają wartości logiczne:
p=[x] =1 - gdy zbiór niepusty, zawierający co najmniej jeden element
p=[] =0 - gdy zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Weźmy takie zdanie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=>~q
gdzie:
p= P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
~q= ~K=[ZWZ-K] =[pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt (ZWZ) pomniejszony o „kota”
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Poprzednik mówi o zbiorze jednoelementowym „pies”:
P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”.
Obliczamy zbiór „nie pies” definiowany jako uzupełnienie zbioru P=[pies] do dziedziny ZWZ.
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o jedno zwierzę „psa”
~P=[kot, słoń, kura ..]
K=[kot] - zbiór jednoelementowy „kot”
Następnik mówi o zbiorze „nie kot” (~K), gdzie:
K=[kot] - zbiór jednoelementowy „kot”
Obliczamy zbiór „nie kot” definiowany jako uzupełnienie zbioru K=[kot] do dziedziny ZWZ.
~K = [ZWZ-K] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o jedno zwierzę „kota”
~K = [pies, słoń, kura ..]
Prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian znaczek => błędnie zwany jest implikacją):
p=>q = ~p+q
Wypowiedzmy ponownie zdanie A1
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =?
Skorzystajmy z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
P=>~K = ~P+~K =?
Czym jest zbiór po prawej stronie?
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o „psa”
~P=[kot, słoń, kura ..]
~K=[ZWZ-K] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o jedno zwierzę „kota”
~K=[pies, słoń, kura ..]
Doskonale widać, że zachodzi tożsamość zbiorów:
ZWZ = ~P+~K
Oczywiście każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
Po skorzystaniu z prawa eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian z prawa eliminacji implikacji) mamy tu do czynienia z ewidentną równoważnością
ZWZ<=>(~P+~K) = (A1: ZWZ=>(~P+~K))*(B1: ZWZ~>(~P+~K)) =1*1 =1
cnd
Stąd mamy fałszywy wniosek jakoby zdanie A1 wchodziło w skład powyższej równoważności.
Dlaczego ten wniosek jest fałszem?
Prawą stronę czytamy:
Przynależność dowolnego zwierzęcia do zbioru wszystkich zwierząt ZWZ jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) aby to zwierzę należało do sumy logicznej zbiorów ~P+~K.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów:
ZWZ = ~P+~K
Ta definicja równoważności jest doskonale znana ziemianom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6 840
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 118 000
Zauważmy, że wyprowadzona równoważność, mimo że prawdziwa, ma zero wspólnego z analizą warunku wystarczającego A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Dalsza poprawna analiza warunku wystarczającego => A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q to:
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości zdania A1 ze zmienionym warunkiem wystarczającym => na warunek konieczny ~>.
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> nie jest kotem (~K=1)
P~>~K =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>~q =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona do zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
Prawidłowy wniosek:
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>~K o definicji:
Implikacja prosta P|=>~K to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku (dowód wyżej)
A1: P=>~K =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony bo:
zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
B1: P~>~K =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony bo:
zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
Stąd mamy:
P|=>~K = (A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K) = 1*~(0) =1*1 =1
Zauważmy, że nieznane ziemianom prawo Kameleona samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód na naszym przykładzie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> nie jest kotem (~K=1)
P~>~K =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona do zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te są różne na mocy definicji ## warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Dowód:
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zdania A1 i B1 rozróżniamy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q gdzie mamy do czynienie z zanegowanym q, czyli w zapisie formalnym mamy:
p|=>~q
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>~q w zapisie formalnym {p,~q}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,~q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*~(B1: p~>~q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p= P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
~q=~K=[pies, słoń, kura..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem „psa”
q= K=[kot] - zbiór jednoelementowy „kot”
Tabela prawdy implikacji prostej P|=>~K w zapisie aktualnym {P,~K}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P,~K}:
A1: P=>~K =1 - P=[pies] jest (=1) podzbiorem => ~K=[pies, słoń, kura..]
B1: P~>~K =0 - P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~K=[pies, słoń, kura..]
A1B1: P|=>~K = (A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K) = 1*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q =1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
A: 1: P=>~K =1 = 2:~P~>K =1 [=] 3: ~K~>P =1 = 4: K=>~P =1
A’: 1: p~~>q =0 = [=] = 4: q~~>p =0
A’: 1: P~~>K =0 = [=] = 4: K~~>P =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q =0 = 2:~p=>q =0 [=] 3: ~q=>p =0 = 4: q~>~p =0
B: 1: P~>~K =0 = 2:~P=>K =0 [=] 3: ~K=>P =0 = 4: K~>~P =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: ~q~~>~p =1
B’: = 2:~P~~>K =1 [=] 3: ~K~~>~P =1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*~(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>q=(A2:~p~>q)*~(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>~q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*~(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>q=(A2:~p~>q)*~(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>q=(A2:~p~>q)*~(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*~(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
Uwaga:
Tabela IP zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji prostej p|=>~q.
Zdania w tabeli IP mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IP.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
Z tabeli prawdy implikacji prostej IP odczytujemy:
Operator implikacji prostej p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*~(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>q=(A2:~p~>q)*~(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>q=(A2:~p~>q)*~(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*~(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
4.11.1 Operator implikacji prostej P||=>~K w zbiorach
Operator implikacji prostej P||=>~K w logice ujemnej (bo ~K) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P i ~P:
A1B1: P|=>~K=(A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K)=1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie P
A2B2:~P|~>K=(A2:~P~>K)*~(B2:~P=>K)=1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa (P=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>~K =1 - P=[pies] jest (=1) podzbiorem => ~K=[pies, słoń, kura..]
B1: P~>~K =0 - P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~K=[pies, słoń, kura..]
A1B1: P|=>~K=(A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K)=1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż na 100% => nie będzie to kot (~K=1) - mówi o tym zdanie A1.
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Bycie psem P=[pies] jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie być kotem (~K=1) bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru „nie kot” ~K=[pies, słoń, kura ..]
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> być kotem K=1
P~~>K = P*K =[] =0
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P=[pies] i K=[kot] bowiem te zbiory jednoelementowe są rozłączne.
Innymi słowy:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P=[pies] i K=[kot] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.
A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>K =1 - zbiór ~P=[kot, słoń, kura] jest nadzbiorem ~> zbioru K=[kot]
B2: ~P=>K =0 - zbiór ~P=[kot, słoń, kura] nie jest podzbiorem => zbioru K=[kot]
A2B2:~P|~>K=(A2:~P~>K)*~(B2:~P=>K)=1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) to zwierzę to może ~> być kotem (K=1)
Mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> być kotem (K=1)
~P~>K =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona bo zbiór ~P=[kot, słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru K=[kura]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Nasz przykład:
A1: P=>~K = A2: ~P~>K
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.
LUB
Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie być kotem (~K=1)
~P~~>~K = ~P*~K =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[kot, słoń, kura ..] i ~K=[pies, słoń, kura ..] jest spełniona bo na przykład „słoń”
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>~K jest gwarancja matematyczna => po stronie P (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (zdania A2 i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>q=(A2:~p~>q)*~(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*~(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>q w logice dodatniej (bo q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>~q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy skupiając się na zbiorach wyjściowych wyznaczanych w poszczególnych liniach:
| Kod: |
A1: P=>~K = P*~K=P=[pies] - bo P jest podzbiorem => ~K
A1’: P~~>K = P* K=0 - bo P=[pies] i K=[kot] są rozłączne
A2: ~P~> K =~P* K=K=[kot] - bo ~P jest nadzbiorem ~> K
B2’:~P~~>~K=~P*~K=[słoń, kura..] - wyznaczony zbiór
|
Doskonale tu widać, że spełniona jest definicja implikacji prostej P|=>~K dzieląca dziedzinę ZWZ na trzy zbiory niepuste i rozłączne A1, A2, B2’ uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 10:20, 05 Wrz 2021, w całości zmieniany 8 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 22:12, 10 Wrz 2021 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/sensownosc-zarzutu-braku-falsyfikowalnosci,19741.html#616653
Na czym polega tragedia ziemskiej logiki matematycznej?
Wstęp teoretyczny:
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/sensownosc-zarzutu-braku-falsyfikowalnosci,19741.html#616471
| Katolikus napisał: | Stawiam problem w ogólności (bo w szczególe zazwyczaj taka obiekcja konstruowana jest w stronę teisty). Czy brak falsyfikowalności jakiejś tezy to dobra przesłanka, by dojść do wniosku, że tym nie warto się zajmować dopóki nie pojawi się możliwość sprawdzenia, czy coś jest prawdą, czy nie?
Jakie jest wasze zdanie rozpatrując problem ogólnie, czyli w oderwaniu od sporów apologetycznych. Kiedy brak falsyfikowalności (nie możność sprawdzenia czegoś) może stanowić dobry powód, by coś zignorować, a kiedy staje się to błędem rozumowania, które gubi nasze myślenie? |
Weźmy takie twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
CH=>P =1
Chmury są (=1) wystarczające => dla padanie bo zawsze gdy pada, są chmury.
U ziemian w logice matematycznej zachodzi:
Twierdzenie matematyczne = warunek wystarczający =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
Y = p=>q = ~p+q ## Y = p~>q =p+~q
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różna na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Zobaczmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Warunek wystarczający => ## Warunek konieczny ~>
Y = p=>q = ~p+q ## Y = p~>q = p+~q
# #
~Y =~(p=>q)=~(~p+q)=p*~q ## ~Y =~(p~>q)=~(p+~q)=~p*q (prawo De Morgana)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu: dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
W tabeli T1 doskonale widać, że definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona, co łatwo sprawdzić w rachunku zero-jedynkowym.
Weźmy prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => i warunek konieczny ~> bez zamian p i q w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Uwaga:
Ziemski matematyk który uzna prawo Kubusia, prawo jego własnego rachunku zero-jedynkowego za fałszywe jest matematycznym IDIOTĄ (podkreślę: IDIOTĄ).
Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Jak widzimy udowodnienie prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 i odwrotnie.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => jest pochmurno (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = na 100% => (100% pewność zajścia)
Na czym polega tragedia ziemskiej logiki matematycznej?
Odpowiadam:
Ziemski matematyk nie potrafi udowodnić prawdziwości warunku koniecznego ~> A2 … bo nie zna absolutnie kluczowego w logice matematycznej prawa Kubusia!
cnd
O wiele ciekawsza jest odpowiedź dlaczego ziemski matematyk nie potrafi udowodnić prawdziwości warunku koniecznego ~> A2!
Odpowiadam:
Udowodnienie prawdziwości warunku koniecznego ~> A2 z użyciem prawa Kubusia to Armagedon całej logiki matematycznej ziemskich matematyków.
Dlaczego?
Bo w zdaniu A2 fałszywy jest warunek wystarczający => A21, a jedynie taki warunek każdy ziemski matematyk potrafi udowodnić.
A21
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to na 100% => nie będzie pochmurno (~CH)
~P=>~CH =0
W udowodnieniu fałszywości zdania A21 ziemski matematyk korzysta z definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunku wystarczającym => nie znając poprawnej matematycznie definicji kontrprzykładu!
Fragment z AK:
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Na mocy definicji kontrprzykładu badamy prawdziwość/fałszywość zdania A21’ kodowanego zdarzeniem możliwym ~~>:
A21’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH) … o czym każdy 5-cio latek wie
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość zdarzenia możliwego ~~> A21’ jest potrzebna ~> i wystarczająca => dla udowodnienia fałszywości warunku wystarczającego => A2!
A2: ~P=>~CH =0
cnd
W logice matematycznej ziemscy matematycy mają totalnie wszystko spieprzone, nawet definicję dowodu nie wprost.
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 11:53, 11 Wrz 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 12:06, 18 Wrz 2021 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-850.html#618041
Wyjaśnienie problemu z „prawdą” na gruncie matematycznym
Podsumowanie generalne:
Każdy 5-cio latek zna poprawną logikę matematyczną obowiązującą w naszym Wszechświecie (np. prawo Tygryska) bez porównania lepiej niż najwybitniejsi ziemscy logicy i matematycy, którzy w tym temacie są po prostu zerem absolutnym … czego dowód w niniejszym poście, a przyczyną tego faktu jest fałszywy bóg (czyli Szatan) ziemskich logików i matematyków zwany „Klasycznym Rachunkiem Zdań”
Czekam cierpliwie, kiedy ziemscy filozofowie i matematycy wytrzeźwieją, czy wywalą gówno zwane „Klasyczny Rachunek Zdań” tam gdzie jego miejsce, do piekła na wieczne piekielne męki.
Wstęp teoretyczny:
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/w-obronie-klasycznej-koncepcji-prawdy,19739.html#616463
| towarzyski.pelikan napisał: | W tym wątku chciałabym wrócić do rozmowy zapoczątkowanej w innym temacie, w poniższej wymianie zdań:
| Michał Dyszyński napisał: |
| towarzyski.pelikan napisał: | | MD napisał: |
| towarzyski.pelikan napisał: | | Kryterium prawdy jest jedno - zgodność z rzeczywistością. Każdy kto kieruje się innym kryterium, nie ma na względzie prawdy, przynajmniej na 1) miejscu. |
Ano... Gdyby tak prosto to było, że mamy jedno kryterium prawdy, zgodne ze sformułowaniem definicji klasycznej, to nie powstałby cały szeroki dział filozofii - epistemologia. A ten powstał i napisano całe tomy, które proponują coraz to nowe sposoby konstruowania kryteriów prawdy.
Naprawdę uważasz, że to jest takie proste, że oto jest to jedno kryterium?...  |
Wyraziłam moje stanowisko, że jedynym sensownym kryterium prawdy jest zgodność z rzeczywistością. Z faktu, że istnieją inne kryteria gdzieś w literaturze nie wynika, że są równie sensowne co klasyczna i mam je wszystkie traktować tak samo. Nieklasyczne teorie prawdy traktuję jako uzupełnienie dla klasycznej w tym sensie, że kryteria przez nie przedstawiane mogą przemawiać za tym, że coś jest prawdą, ale nie wskazują jednoznacznie, że coś jest prawdą, bo o tym ostatecznie decyduje zgodność z rzeczywistością. Jeśli masz inne zdanie, chętnie zapoznam się z uzasadnieniem. |
Główne uzasadnienie na to, dlaczego klasyczna definicja prawdy jest niewystarczająca polega na tym, że fraza "zgodność z rzeczywistością" sama jest niedookreślona w kontekście użytych wyrażań. Bo
- czym właściwie jest "zgodność", kiedy ona zachodzi?...
- czym jest rzeczywistość? (materialnością, ideami, mieszaniną tych obu, jak je definiować, jak dobrać się do nich przy rozważaniu konkretnego problemu?)
Klasyczna definicja prawdy tylko przesuwa dalej problem, a nie go rozwiązuje.
Są i inne argumenty, ale wolałbym o nich ewentualnie dyskutować w osobnym wątku, bo to bardzo szeroki temat. |
Uważam, że jest to ciekawy wstęp do dyskusji na temat wartości klasycznej koncepcji prawdy, dalej zwanej KKP. Jest to o tyle ciekawe, że ja zgadzając się z moimi oponentami, reprezentowanymi na forum w postaci MD, co do cech przypisywanych KKP, nie zgadzam się z ich ogólną oceną jakoby te cechy świadczyły o niskiej jej wartości, nieprzydatności, lecz przeciwnie - postrzegam te cechy jako jej zalety, dzięki którym KKP pozostawia inne alternatywne koncepcje prawdy za sobą w cieniu.
Główny zarzut do KKP jest taki, że ma być ona nieprecyzyjna, zbyt ogólna, nie daje żadnych konkretnych wskazówek. Tak jakby powiedzieć, że prawdą jest to co jest zgodne z rzeczywistością, a zgodne z rzeczywistością jest to naprawdę ma miejsce, a więc kręcimy się w kółko.
W tym miejscu w sukurs mają nam przychodzić alternatywne koncepcje, takie jak: koherencyjna, która brzmi "prawdziwe jest to co jest wewnętrznie spójne", konsensualna, wedle której "prawdziwe jest to co jest to, co do czego panuje zgoda w racjonalnej dyskusji" czy pragmatyczna, która mówi, że "prawdziwe jest to co użyteczne".
Problem ze wszystkimi tymi nieklasycznymi teoriami polega na tym, że są niekompletne, redukcjonistyczne, ponieważ z faktu, że coś jest spójne nie wynika, że jest prawdziwe, z faktu, że coś przedmiotem zgody między racjonalnymi dyskutantami nie wynika, że to coś jest prawdziwe, ani z faktu, że coś jest użyteczne nie wynika, że to coś jest prawdziwe. Żadna z tych teorii nie może pełnić funkcji ogólnej, kompletnej koncepcji prawdy. One jedynie mogą być wartościowe w ograniczonym zakresie i to nie jako kompletne teorie, tylko jako wskazówki mówiące nam, co może przemawiać za tym, że coś jest prawdą, wszystkie wskazują na jakieś atrybuty przysługujące sądom prawdziwym.
Tak jakbyśmy chcieli zdefiniować np. psa. I jedna teoria mówiłaby, że pies to zwierzę czworonożne, druga, że pies to zwierzę, które szczeka, a trzecia, że pies to zwierzę które jest najlepszym przyjacielem człowieka. Wszystko pasuje do psa, ale nic nie wskazuje jednoznacznie na psa.
Ktoś mógłby powiedzieć, że KKP można by było poprawić, np. dookreślając "zgodność z rzeczywistością", np. poprzez wskazanie, że zgodne z rzeczywistością jest to, co jest zarówno spójne wewnętrznie, użyteczne i co do czego panuje zgoda, że jest prawdą, czyli stwarzając teorię, która łączyłaby cechy tych nieklasycznych teorii. Ale to nie jest takie proste, ponieważ to by nam dało jakąś teorię która może w większym zakresie by uprawdopodobniała prawdziwość danego czegoś, ale nadal by nam nie dała jednoznacznego wskazania, że to coś jest prawdziwe.
I tutaj przechodzę do ogólnego wniosku, że sama natura rzeczywistości i możliwości poznawczych człowieka narzuca nam jako najlepszą właśnie KKP, bo ona jako jedyna nie jest redukcjonistyczna, jest otwarta. Zdaje się ostrzegać - "nie uznawaj czegoś pochopnie za bezwzględną prawdą tylko dlatego, że jest spójne wewnętrznie, jest przedmiotem zgody, jest użyteczne" a zarazem "oceniając prawdziwość czegoś uwzględnij, czy to coś jest wewnętrznie spójne, jest przedmiotem zgody, jest użyteczne".
Słowem, KKP to jest megakoncepcja!  |
Ziemscy filozofowie i matematycy mają problemy z „prawdą” spowodowane gównem zwanym „Klasyczny Rachunek Zdań”, czyli fałszywą logiką matematyczną ziemskich matematyków.
Wyjaśniam na przykładzie o co chodzi.
W poprawnej logice matematycznej, algebrze Kubusia zachodzi tożsamość:
Ziemskie twierdzenie matematyczne = warunek wystarczający =>
Weźmy takie twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Przyjmijmy punt odniesienia dla całości dalszych rozważań:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd zdanie A1 w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
W tym przypadku z przesłanki „jutro będzie padało” na 100% => wynika wniosek iż „jutro będzie pochmurno”.
Wniosek 1:
W przypadku warunku wystarczającego => prawdziwy jest dogmat wiary ziemskich filozofów i matematyków iż z prawdziwości poprzednika p w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” wynika prawdziwość następnika q
cnd
Weźmy matematyczne twierdzenie odwrotne do twierdzenia A1:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
B3: CH=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
q=>p =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => by jutro padało, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
… i teraz uwaga!
Na stwierdzeniu tych dwóch oczywistych faktów (A1 i B3) ziemska gówno-matematyka się kończy!
Ziemska matematyka nie zna przykładowo prawa Tygryska wiążącego warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> z zamianą p i q w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”
Prawo Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
Nasz przykład:
A1: P=>CH A3: CH~>P
Co w praktyce oznacza prawo Tygryska?
Jeśli udowodnimy prawdziwość dowolnej strony prawa Tygryska to tym samym, udowodnimy prawdziwość strony przeciwnej.
Zacznijmy przekornie od dowodu prawdziwości warunku koniecznego ~> A3.
A3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisach formalnych:
A3: q~>P = A1: p=>q
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmurki … o czym każdy 5-cio latek doskonale wie.
Innymi słowy:
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P) … o czym każdy 5-cio latek doskonale wie.
Jak widzimy prawo Tygryska samo tu 5-cio latkowi wyskoczyło:
A3: CH~>P = A1: P=>CH
to samo w zapisach formalnych:
A3: q~>p = A1: p=>q
Z prawa Tygryska wynika, że po udowodnieniu prawdziwości warunku koniecznego A3, co wyżej się stało, nie musimy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego => A1, gdyż prawdziwość warunku wystarczającego A1 gwarantuje nam prawo Tygryska!
Zauważmy, iż w przypadku zdania A3 z faktu iż „jutro będzie pochmurno” nie wynika „iż jutro będzie padało”.
W przypadku warunku koniecznego A3 mamy tu klasyczne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, czyli jutro może ~> padać, albo może ~~> nie padać.
Tragedia ziemskich filozofów i matematyków w rozumieniu „prawdy” jest czysto matematyczna!
Ziemscy matematycy i filozofowie swoją gówno-matematyką nie potrafią zrozumieć iż w ogólnym przypadku poprawna logika matematyczna nie gwarantuje iż z prawdziwości poprzednika p w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” wynika prawdziwość następnika q, czego dowodem jest warunek konieczny A3.
Wniosek 2:
W przypadku warunku koniecznego ~> fałszywy jest dogmat wiary ziemskich filozofów i matematyków iż z prawdy może wyniknąć tylko prawda.
cnd
Podsumowanie generalne:
Każdy 5-cio latek zna poprawną logikę matematyczną obowiązującą w naszym Wszechświecie (np. prawo Tygryska) bez porównania lepiej niż najwybitniejsi ziemscy logicy i matematycy, którzy w tym temacie są po prostu zerem absolutnym … czego dowód w niniejszym poście, a przyczyną tego faktu jest fałszywy bóg (czyli Szatan) ziemskich logików i matematyków zwany „Klasycznym Rachunkiem Zdań”
Czekam cierpliwie, kiedy ziemscy filozofowie i matematycy wytrzeźwieją, czy wywalą gówno zwane „Klasyczny Rachunek Zdań” tam gdzie jego miejsce, do piekła na wieczne piekielne męki.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 12:13, 18 Wrz 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 12:37, 18 Wrz 2021 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-850.html#618069
| lucek napisał: |
tak, ze śmiechu ty myslisz, że ja jestem w stanie to przeczytać ? po kilku linijakach się gubię, a tyle samozaparcia, tytm bardziej masochizmu, żeby to czytać nie ma.
| Cytat: | | co jest w moim powyższym poście nieprawdą? |
Nie wiem, tylko próbuję się domyśleć, o co tobie chodzi i tylko to, o co chodzi, mnie interesuje, bo nowej logiki, mam już trochę lat, nie mam po co się uczyć  |
Czyżby gówno zwane "Klasycznym Rachunkiem Zdań" tak szczelnie wypełniło twój mózg, iż nie jesteś w stania zrozumieć kilku zdań w temacie "pada" i "chmurka" doskonale rozumianych przez każdego 5-cio latka?
Przykład Lucka pokazuje jak dokładnie wyprano mu mózg w ziemskich "szkółkach" na siłę wypełniając mu mózg gównem zwanym "Klasyczny Rachunek Zdań"
Na szczęście takie potworne pranie mózgów przechodzą wyłącznie studenci matematyki i filozofii.
Nie mam nic przeciwko jeśli dorośli piorą sobie mózgi na w/w studiach - mówię jednak stanowcze NIE przeciwko próbie prania mózgów naszych dzieci w I klasie LO.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
„Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”
„Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma cztery łapy”
Innymi słowy:
Wariaci (ziemscy logicy i matematycy) usiłują zrobić wariatami nasze dzieci w I klasie LO - temu obowiązkowo trzeba powiedzieć NIE!
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 15:36, 18 Wrz 2021 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-850.html#618143
| lucek napisał: | | Cytat: | | Nie mam nic przeciwko jeśli dorośli piorą sobie mózgi na w/w studiach - mówię jednak stanowcze NIE przeciwko próbie prania mózgów naszych dzieci w I klasie LO. |
tak sobie myślałem już dawno temu, że nauka szkolna, z jakimś programem od sasa do lasa, jest trochę bez sensu, człowiek powinien się uczyć tego, co go aktualnie interesuje, a zainteresowania się zmieniają i dla różnych ludzi, zainteresowania mogą przychodzić w różnym wieku ... taka "programowa" nauka to tylko strata czasu i produkuje jak widać ludzi np. z urazem do "logiki ziemian"
AK raczej tego nie zmieni |
Fragment ze wstępu do AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#604299
A3 Logika, sens i wątpliwości
Pełna treść artykułu zawodowego matematyka, który odważył się poddać w wątpliwość sens aktualnej logiki matematycznej Ziemian.
Dlaczego takich matematyków jest tak mało?
Bo zawsze są wściekle atakowani przez fanatyków Klasycznego Rachunku Zdań.
Kim jest pan Marek Kordos?
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Marek Tomasz Kordos - polski matematyk, doktor habilitowany, geometra i historyk matematyki oraz jej popularyzator.
Życiorys:
Założyciel i wieloletni redaktor naczelny miesięcznika Delta, autor wielu książek, współzałożyciel Ośrodka Kultury Matematycznej oraz Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej. Zatrudniony na stanowisku profesora nadzwyczajnego pracuje jako wykładowca akademicki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Specjalizuje się w geometrii i historii matematyki. Doktorat i habilitację uzyskał za prace z geometrii rzutowo-metrycznych. |
[link widoczny dla zalogowanych]
Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013
Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.
Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.
Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?
Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.
A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.
Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.
Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 17:58, 18 Wrz 2021 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-850.html#618195
Nie ma na świecie matematyka przy zdrowych zmysłach, który by kwestionował matematyczny fundament Algebry Kubusia!
Dowód w niniejszym poście.
| lucek napisał: | | rafał, ale twoja logika z kolei abstrahuje od istniejącej matematyki, więc co na lekcjach polskiego będziesz ją wykładał? |
Fałszem jest Lucek, że algebra Kubusia abstrahuje od istniejącej matematyki, bowiem nie ma świecie matematyka przy zdrowych zmysłach, który by zakwestionował matematyczny (podkreślę: matematyczny) fundament algebry Kubusia.
Ten fundament:
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Kluczowy fragment algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#604303
Spis treści:
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 2
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
2.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
2.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 2
2.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 3
2.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
2.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów 4
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 5
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 5
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 6
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
2.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń 6
2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym 6
2.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ## 7
2.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~> 7
2.3.3 Definicja tożsamości logicznej [=] 10
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.
2.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24
2.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
2.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
2.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
2.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].
Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego przyjętego za dziedzinę na której operujemy.
Wynika to z definicji Uniwersum i zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 1.2).
Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zawsze gdy pada, jest pochurno
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki
Prawo Kubusia (poznamy za chwilkę):
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P).
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
2.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
2.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ##
Definicję znaczka różne na mocy definicji poznamy na przykładzie definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> które wyżej zapisaliśmy.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y=~p+q
Y=p+~q
Dowolną funkcję logiczną wolno nam dwustronnie negować:
Y=~p+q
~Y=~(~p+q) = p*~q (prawo De Morgana)
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Zobaczmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego => | Definicja warunku koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y = (p~>q) = p+~q
# #
~Y =~(p=>q) = p*~q ## ~Y =~(p~>q) = ~p*q
Uwagi:
Dowolna funkcję logiczną wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie negować
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
|
Doskonale widać, że definicje obu znaczków # i ## są w tabeli T1 perfekcyjnie spełnione.
cnd
2.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~>
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+)
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
##
| Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony |
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
2.3.3 Definicja tożsamości logicznej [=]
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q # p*~q
## ## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q # ~p*q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:
Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.
Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 18:38, 18 Wrz 2021, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 23:02, 19 Wrz 2021 Temat postu: |
|
|
Dlaczego przez 2500 lat ziemscy matematycy prali sobie nawzajem mózgi gównem zwanym KRZ?
Przyczyna jest bardzo prosta:
1.
Załóżmy, że poszedłbym na studia matematyczne (byłem w tym dobry)
2.
Załóżmy, co bardzo mało prawdopodobne, że w czasie studiów matematycznych zaczynam pracę nad algebrą Kubusia twierdząc że KRZ jest potwornie śmierdzącym gównem.
3.
Czy ktoś ma cień wątpliwości co do mojego smutnego końca, czyli wywalenia już na I roku ze studiów matematycznych z powodu niezaliczenia „logiki matematycznej”?
Dokładnie w ten sposób to działało przez 2500 lat (od Sokratesa):
Czy ktoś wyobraża sobie studenta matematyki mówiącego do swojego wykładowcy:
100% definicji którymi się pan posługuje w zakresie logiki matematycznej to potwornie śmierdzące gówno - poprawne definicje znam tylko ja, student I roku matematyki.
Dokładnie taka jest prawda:
Dosłownie wszystkie definicje z zakresu logiki matematycznej ziemscy matematycy mają potwornie spieprzone, a winę za to wszystko ponosi Szatan który od 2500 lat włada mózgami ziemskich matematyków zwany Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Jak można było przez 2500 lat nie zauważyć banału, iż zdania warunkowe „Jeśli p to q” dotyczące zbiorów opowiadają o wzajemnych relacjach zbiorów p i q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q?
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Oczywiście dowód iż zachodzi relacja podzbioru => między poprzednikiem p=P8 a następnikiem q=P2:
P8=[8,16,24..] => P2=[2,4,6,8…]
jest trywialny dla każdego matematyka.
Problem w tym, że żaden ziemski matematyk nie ma pojęcia o fundamencie jedynej poprawnej logiki matematycznej w naszym Wszechświecie, algebrze Kubusia.
Fundament algebry Kubusia jest nieprawdopodobnie trywialny!
Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Dokładnie z powodu wyżej opisanego nie spieszę się z wyjściem algebry Kubusia na ziemskie fora matematyczne, bo jest bardzo prawdopodobne, że ziemscy matematycy z wypranymi mózgami gównem zwanym KRZ wywalą mnie na zbity pysk z każdego matematycznego forum.
Czyż nie taka jest dotychczasowa prawda panowie ziemscy matematycy?
Poza tym po 15 latach ciężkiej harówy tzn. po napisaniu 30tys postów w temacie logika matematyczna (średni 5 postów dziennie) należy mi się solidny odpoczynek, co nie oznacza że nic w temacie logika matematyczna nie robię.
Aktualnie odpoczywam … ale co jakiś czas kosmetycznie koryguję przekaz algebry Kubusia, na przykład w dniu dzisiejszym ujednoliciłem przekaz wszystkich możliwych operatorów logicznych.
1.
p||=>q - operator implikacji prostej p|=>q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
2.
p||~>q - operator implikacji odwrotnej p|~>q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1
3.
p|<=>q - operator równoważności p<=>q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
4.
p|$q - operator „albo”($) p$q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
5.
p||~~>q - operator chaosu p|~~>q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1 =1
Na czym to ujednolicenie polega?
Można sobie zobaczyć, bo postanowiłem zachować przedostatnie wersje w porzuconych wersjach algebry Kubusia.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/porzucone-wersje-bata-algebry-kubusia,17539.html#554991
Stara wersja implikacji prostej p|=>q:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/porzucone-wersje-bata-algebry-kubusia,17539.html#616627
19-09-2021
Nowa wersja implikacji prostej p|=>q
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#605629
Algebra Kubusia
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q
Spis treści
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q 1
4.1 Implikacja prosta p|=>q 2
4.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 6
4.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 8
4.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 11
4.2.1 Odtworzenie implikacji prostej p|=>q z definicji ~~> 15
4.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji prostej p|=>q 19
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q
Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
4.1 Implikacja prosta p|=>q
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q = ~p*q
Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p = ~p*q
Gdzie:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =~p*q
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =~p*q
A4B4: ~q|=>~p=(A4: ~q=>~p)*~(B4:~q~>~p) =~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
IO-
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q (A2) i jednocześnie ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q (B2)
Na mocy prawa Sowy zachodzi tożsamość logiczna „=”:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Najprostszy dowód prawa Sowy wynika z praw logiki matematycznej: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.
Przykładowy dowód:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q
Na mocy definicji mamy:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = A2B2: ~p|~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Dowód tożsamości pozostałych kolumn pozostawiam czytelnikowi.
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Z prawa Sowy wynika, iż zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q = A1B1|A2B2: p||=>q = A2B2|A1B1:~p||~>~q
Powyższa tożsamość logiczna oznacza że:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu tej tożsamości logicznej (na przykład):
A1B1: p|=>q
jest potrzebne ~> i wystarczające => dla dowodu prawdziwości obu operatorów implikacyjnych, czyli obu układów równań logicznych A1B1|A2B2 i A2B2|A1B1:
A1B1|A2B2: p||=>q = A2B2|A1B1:~p||~>~q
4.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1)
Mówi o tym zdanie A1
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania A2 i B2’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd definicję logicznie tożsamą:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
4.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
| Kod: |
T1:
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1: p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c d e f
|
Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
| Kod: |
T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |A1: p=>q =1 |definicja =>
| | | p q A1: p=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
| Kod: |
T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |A2:~p~>~q =1 |definicja ~>
| | |~p ~q A2:~p~>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p=>q = T3: ~p~>~q
Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123).
Oto on:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1=>1 =1
B: 1=>0 =0
C: 0=>0 =1
D: 0=>1 =1
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1~>1 =1
B: 1~>0 =1
C: 0~>0 =1
D: 0~>1 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1: 1=>1 =1 0~>0 =1
A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0
A2: 0=>0 =1 1~>1 =1
B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
| Kod: |
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1: 1=>1 =1 0~>0 =1 =1
A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0 =1
A2: 0=>0 =1 1~>1 =1 =1
B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1 =1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
4.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Przedstawione wyżej zastrzeżenia dowodzimy w dwóch krokach.
Krok 1.
Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Dla zbiorów tożsamych p=q mielibyśmy:
A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Otrzymana sprzeczność z definicją implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest dowodem, iż zbiory p i q nie mogą być tożsame.
Stąd mamy pierwszą część definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
Krok 2.
Dlaczego przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?
Przyjmijmy za dziedzinę sumę logiczną zbiorów p+q
D = p+q =q - bo na mocy definicji p|=>q zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wtedy mamy:
~q=[D-q] = [q-q] =[] =0
Oznacza to że pojęcie ~q jest dla nas zbiorem pustym, czyli pojęciem nierozpoznawalnym.
Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] =[asegft, uaytfds…]
Oczywistym jest, że nie możemy operować na pojęciach dla nas niezrozumiałych, stąd zastrzeżenie w definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
Stąd mamy:
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
| Kod: |
D1
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
| p B1: p~>q=0 | ~p |
|---------------------------|----------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |~p~~>q = ~p*q |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1
Z diagramu D1 odczytujemy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Doskonale to widać na diagramie D1
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q = [] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne, co również widać na diagramie D1
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania A2 i B2’
Z diagramu D1 odczytujemy:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Wyśmienicie to widać na diagramie D1
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=0 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~p i q jest spełniona, co doskonale widać na diagramie D1.
4.2.1 Odtworzenie implikacji prostej p|=>q z definicji ~~>
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Na mocy prawa Sowy, jeśli odtworzymy definicję implikacji prostej p|=>q to automatycznie odtworzymy definicję operatora implikacji prostej p||=>q
Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach p|=>q wyżej zapisany wyrażony definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
| Kod: |
D1’
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
| p B1: p~>q=0 | ~p |
|---------------------------|----------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |~p~~>q = ~p*q |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q |
---------------------------------------------------------------------|
| |
|Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) |
----------------------------------------------------------------------
| Ya=p~~>q=p*q | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q |
----------------------------------------------------------------------
| ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!) |
----------------------------------------------------------------------
|
Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.
Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
| Kod: |
T1.
Implikacja p|=>q |
w spójnikach |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
Y ~Y | Y Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1 0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q
|
Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1
Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd
Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
| Kod: |
T2.
Implikacja prosta p|=>q
definiowana elementem wspólnym zbiorów ~~>
Y Analiza dla punktu odniesienia Y
A1: p~~>q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
A2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q
|
Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T2 do tabeli tożsamej T3 opisującej implikację prostą p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.
Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.
Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Analiza tabeli prawdy T2 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T3.
| Kod: |
T3.
Implikacja prosta p|=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
Y Analiza dla punktu odniesienia Y
A1: p=> q =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~p i q
|
Analiza tabeli prawdy T2 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =0
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T4
| Kod: |
T4.
Implikacja prosta p|=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1: p=> q =1 | B1: p~>q=0
A1’: p~~>~q =0
A2: ~p~>~q =1 | B2:~p=>~q=0
B2’:~p~~> q =1
|
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy:
Linia A1B1:
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Zdefiniowawszy implikację prostą p|=>q w zbiorach możemy ją podstawić do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Stąd mamy to, co już doskonale znamy.
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o p i ~p.
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej p||=>q znajdziemy w punkcie 4.1.1
4.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Weźmy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach opisany definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
| Kod: |
D1’
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
| p B1: p~>q=0 | ~p |
|---------------------------|----------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |~p~~>q = ~p*q |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q |
---------------------------------------------------------------------|
| |
|Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) |
----------------------------------------------------------------------
| Ya=p~~>q=p*q | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q |
----------------------------------------------------------------------
| ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!) |
----------------------------------------------------------------------
|
Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.
Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
| Kod: |
T1.
Implikacja p|=>q |
w spójnikach |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
Y ~Y | Y Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1 0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q
|
Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna DM jest identyczna dla wszelkich operatorów logicznych wyrażonych funkcjami logicznymi Y i ~Y, to suma logiczna Y+~Y
Gdzie:
Y - zdarzenia możliwe (zbiory niepuste)
~Y - zdarzenia niemożliwe (zbiory puste)
DM = Y+~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych.
D = Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q =1
Dowód:
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = (p*q) + ~p
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*p = ~p*p + ~q*p
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q
Z diagramu D1’ doskonale widać, że suma logiczna zbiorów ~p+q stanowi dziedzinę D. W sumie logicznej nie ma znaczenia że część elementów występuje dwa razy, bo takie element redukujemy do jednego prawem algebry Boole’a:
p*p=p
Oczywiście można też obliczyć wszystko dokładnie gdzie nie będzie dublowanych elementów.
Z diagramu D2 odczytujemy:
D= A: p*q + C:~p*~q + D: ~p*q =1
Doskonale widać, że zbiory A, C i D dzielą dziedzinę fizyczną na trzy zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się do dziedziny.
Prawo dziedziny w implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q dzieli dziedzinę fizyczną D na trzy zbiory niepuste i rozłączne
Dowód iż zbiory A, C i D są rozłączne jest na gruncie algebry Kubusia trywialny, badamy po prostu iloczyny logiczne wszystkich możliwych kombinacji zbiorów A, C i D.
A: (p*q)
C: (~p*~q)
D: (~p*q)
Wszystkie możliwe kombinacje iloczynów logicznych to:
1: A*C = (p*q)*(~p*~q =(p*~p)*(q*~q) =[] =0 - zbiory A i B są rozłączne
2: A*D = (p*q)*(~p*q( = (p*~p)*q =[]*q =[]=0 - zbiory A I C są rozłączne
3: C*D = (~p*~q)*(~p*q) =[] =0 - zbiory C i D są rozłączne
Dowód 2:
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~p jest zbiorem pustym [].
Jeśli wszystkie elementy zbioru q przeiterujemy zbiorem [] pustym to wynikiem będzie zbiór pusty bez względu na to ile elementów jest w zbiorze q (może być nawet nieskończenie wiele).
Podstawa matematyczna to prawo algebry Boole’a:
x*[] = x*0 = 0 - obojętnie co ten x zawiera
cnd
Na zakończenie dowód jak bajecznie prosta i piękna jest algebra Kubusia.
Z diagramu D2 odczytujemy matematyczną tożsamość:
~p = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 23:07, 19 Wrz 2021, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 9:23, 24 Wrz 2021 Temat postu: |
|
|
Czy możliwa jest dyskusja o algebrze Kubusia na matematyce.pl?
… oto jest pytanie.
Wpadłem na pomysł napisania algebry Kubusia na czas pokoju gdzie nie będzie najmniejszej wzmianki na temat gówna wszech czasów zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań
„Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (czas pokoju)
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-dla-matematykow-2021-09-24,19875.html#619363
Pierwszy rozdział „Algebry Kubusia - matematyka języka potocznego (czas pokoju)” już został napisany. Będzie to podstawowa wersja algebry Kubusia po pogromie KRZ (co wkrótce się stanie), bowiem nie ma sensu odnosić się do gówna zwanego KRZ za x lat, gdzie o KRZ nikt nie będzie pamiętał.
| Regulamin forum matematyka.pl napisał: |
Regulamin forum matematyka.pl
[link widoczny dla zalogowanych]
REGULAMIN - WERSJA PODSTAWOWA
1. Traktuj innych tak, jak chcesz, by traktowano Ciebie.
2. Pisz po polsku: czytelnie, wyraźnie i składnie. Uważaj na ortografię.
3. Pamiętaj o przejrzystym zapisie. Przy zapisywaniu wyrażeń matematycznych obowiązuje użycie LaTeX-a.
4. Umieszczaj tematy w odpowiednich działach. Odpowiadając, pisz na temat.
5. Nie zamieszczaj zadań z trwających konkursów i olimpiad.
6. Nie reklamuj samowolnie stron internetowych.
7. Nie trolluj, nie spamuj, nie prowadź flamewaru.
8. Stosuj się do zaleceń Moderatorów i Administratorów.
9. I Ty możesz zostać Moderatorem!
10. Za łamanie Regulaminu otrzymasz ostrzeżenia. Ich nagromadzenie powoduje zakaz pisania, a nawet zakaz wstępu na forum (ban)!
11. Regulamin może być zmieniony bez ostrzeżenia, w Twoim interesie jest go znać w wersji pełnej!
REGULAMIN FORUM MATEMATYKA.PL
Korzystanie z Forum Matematyka.pl jest jednoznaczne z akceptacją tego Regulaminu.
Każdy pojedynczy Użytkownik tworzy społeczność tego Forum i jest jego przedstawicielem.
Każda sprawa będzie traktowana indywidualnie.
MISJA FORUM MATEMATYKA.PL
Misją forum matematyka.pl jest popularyzacja matematyki oraz krzewienie kultury matematycznej, rozwijane przez swobodną dyskusję i wymianę myśli matematycznej, wspólne stawianie i rozwiązywanie problemów oraz udzielanie wskazówek na zasadzie wolontariatu. Forum jest przeznaczone dla każdego, od ucznia do profesora.
8. Zakazana jest postawa znana w Internecie jako trolling. Jak wyjaśnia Wikipedia
"Termin "trolling" pochodzi od ang. Trolling for fish - metoda łowienia ryb, ponieważ troll "zarzuca haczyk", poruszając kontrowersyjny temat, często niepotrzebnie, aby wywołać kłótnię. Poprzez wsteczną etymologię uprawiających trolling nazwano trollami (od legendarno-baśniowych stworów z mitologii nordyckich)."
|
Formalnie nie widzę możliwości pisania na matematyce.pl, jedyna nadzieja w tym wytłuszczonym.
Formalnie każdy, kto głosi inną matematykę niż ta z Wikipedii jest trollem …
W zakresie logiki matematycznej 100% definicji w algebrze Kubusia jest sprzecznych z oficjalnymi definicjami Wikipediowymi, zatem Rafał3006 jest trollem.
Zauważmy, że definicja trolla jako kogoś kto głosi teorię sprzeczną (AK) w stosunku do aktualnie obowiązującej (KRZ) blokuje postęp w nauce.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Paradygmat w nauce
W 13 rozdziałach Kuhn dowodzi, że nauka nie jest jednostajnym, kumulatywnym pozyskiwaniem wiedzy. Zamiast tego nauka jest serią spokojnych okresów przerywanych przez gwałtowne intelektualne rewolucje, po których jeden koncepcyjny światopogląd jest zamieniany przez inny. Kuhn spopularyzował w tym kontekście termin paradygmat, opisywany przez niego jako w istocie zbiór poglądów podzielanych przez naukowców, zestaw porozumień o pojmowaniu zagadnień. Pomimo tego krytycy zarzucali mu brak precyzji w stosowaniu tego terminu.
Zgodnie z poglądami Kuhna paradygmat jest istotny dla badań naukowych, gdyż „żadna nauka przyrodnicza nie może być wyjaśniana bez zastosowania splecionych teoretycznych i metodologicznych poglądów pozwalających na wybór, ocenę i krytykę”. Paradygmat kieruje wysiłkiem badawczym społeczności naukowych i jest tym kryterium, które najbardziej ściśle identyfikuje obszary nauk. Fundamentalnym argumentem Kuhna jest to, że dla dojrzałej nauki typową drogą rozwojową jest kolejne przechodzenie w procesie rewolucji od jednego do innego paradygmatu. Gdy ma miejsce zmiana paradygmatu, „świat naukowy zmienia się jakościowo i jest jakościowo wzbogacany przez fundamentalnie nowe zarówno fakty, jak i teorie”.
Kuhn utrzymywał także, że – wbrew obiegowym opiniom – typowi naukowcy nie są obiektywnymi i niezależnymi myślicielami, a są konserwatystami, którzy godzą się z tym, czego ich nauczono i stosują tę naukę (wiedzę) do rozwiązywania problemów zgodnie z dyktatem wyuczonej przez nich teorii. Większość z nich w istocie jedynie składa układanki, celując w odkrywaniu tego, co i tak już jest im znane – „Człowiek, który usiłuje rozwiązać problem zdefiniowany przez istniejącą wiedzę i technikę nie ma szerszych horyzontów. Wie on co chce osiągnąć, i w zgodzie z tym projektuje swoje narzędzia i kieruje swoimi myślami”.
Paradygmat a rewolucja naukowa
W czasach nauki instytucjonalnej (określenie również wprowadzone przez Kuhna) podstawowym zadaniem naukowców jest doprowadzenie uznanej teorii i faktów do najściślejszej zgodności. W konsekwencji naukowcy mają tendencję do ignorowania odkryć badawczych, które mogą zagrażać istniejącemu paradygmatowi i spowodować rozwój nowego, konkurencyjnego paradygmatu.
Na przykład Ptolemeusz spopularyzował pogląd, że Słońce obiega Ziemię, i to przekonanie było bronione przez stulecia nawet w obliczu obalających go dowodów. Jak zaobserwował Kuhn, w trakcie rozwoju nauki „nowości wprowadzane są z trudem i z towarzyszącym mu, zgodnym z oczekiwaniami, jawnym oporem”. I tylko młodzi uczeni, nie tak głęboko indoktrynowani przez uznane teorie – jak Newton, Lavoisier lub Einstein – mogą dokonać odrzucenia starego paradygmatu.
Takie rewolucje naukowe następują tylko po długich okresach nauki instytucjonalnej, tradycyjnie ograniczonej ramami, w których musiała się ona (nauka) znajdować i zajmować się badaniami, zanim mogła te ramy zniszczyć”. Zresztą kryzys zawsze niejawnie tai się w badaniach, ponieważ każdy problem, który nauka instytucjonalna postrzega jako łamigłówkę, może być ujrzany z innej perspektywy, jako sprzeczność (wyłom), a zatem źródło kryzysu – jest to „istotne obciążenie” badań naukowych.
Kryzysy w nauce
Kryzysy są wyzwalane, gdy uczeni uznają odkryte sprzeczności za anomalię w dopasowaniu istniejącej teorii z naturą. Wszystkie kryzysy są rozwiązywane na trzy sposoby:
1.
Nauka instytucjonalna może udowodnić zdolność do objęcia kryzysowego problemu, i w tym przypadku wszystko wraca do „normalności”.
2.
Alternatywnie, problem pozostaje, jest zaetykietowany, natomiast postrzega się go jako wynik niemożności użycia niezbędnych przyrządów do rozwiązania go, więc uczeni pozostawiają go przyszłym pokoleniom z ich bardziej rozwiniętymi (zaawansowanymi) przyborami.
3.
W niewielu przypadkach pojawia się nowy kandydat na paradygmat, i wynika bitwa o jego uznanie będąca w istocie wojną paradygmatów.
Kuhn argumentuje, że rewolucje naukowe są nieskumulowanym epizodem rozwojowym, podczas którego starszy paradygmat jest zamieniany w całości lub po części przez niezgodny z nim paradygmat nowszy. Ale nowy paradygmat nie może być zbudowany na poprzedzającym go, a raczej może go tylko zamienić, gdyż „instytucjonalna tradycja naukowa wyłaniająca się z rewolucji naukowej jest nie tylko niezgodna, ale też nieuzgadnialna z tą, która pojawiła się przed nią”. Rewolucja kończy się całkowitym zwycięstwem jednego z dwóch przeciwnych obozów.
|
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 11:11, 25 Wrz 2021 Temat postu: |
|
|
Właśnie doszedłem do wniosku, iż niemożliwe jest napisanie algebry Kubusia bez huraganowych ataków na gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań ... bo jak się ma 100% definicji sprzecznych to jak to zrobić grzecznie i pokojowo?
Pewne jest że jedna z dwóch teorii "Algebra Kubusia" albo "Klasyczny Rachunek Zdań" zniknie wkrótce z umysłów ziemskich matematyków.
Jak o tym powiedzieć ziemskim matematykom?
Twardogłowi fanatycy KRZ będą bronić swojego gówna do śmierci swojej.
Pozwólmy im umrzeć w spokoju. Algebra Kubusia to logika matematyczna przyszłych pokoleń matematyków.
Napisałem właśnie podręcznik "Fundamenty algebry Kubusia" którego celem jest pokojowe zagajenie dyskusji na temat algebry Kubusia na ziemskich forach matematycznych.
Link do "Fundamentów algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/fundamenty-algebry-kubusia,19875.html#619363
Fundamenty algebry Kubusia
Matematyczny Raj: 2021-09-25
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.
Spis treści:
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
2.6 Definicje spójników implikacyjnych
Wstęp
Algebra Kubusia to matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie kluczową rolę odgrywają spójniki implikacyjne {~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($)}, natomiast algebra Boole’a to wyłącznie 5 znaczków {1, 0, (~), „i”(*), „lub”(+)}.
Kluczowe pojęcia algebry Kubusia:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - element wspólny zbiorów (zdarzenie możliwe)
są niedostępne z poziomu algebry Boole’a.
Jak widzimy „Algebra Kubusia” (spójniki =>, ~>, ~~>, <=>, „albo”($)) i „Algebra Boole’a” (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) to wiedza rozłączna co oznacza, że można zrozumieć „Algebrę Kubusia” bez znajomości algebry Boole’a.
Niniejszy podręcznik „Fundamenty algebry Kubusia” zwiera definicje i prawa logiki matematycznej będące fundamentem „Algebry Kubusia - matematyki języka potocznego”.
Jego celem jest zagajenie dyskusji na temat AK na ziemskich forach matematycznych tzn. oczekuję od ziemskich matematyków, iż będą się starali udowodnić wewnętrzną sprzeczność algebry Kubusia na bazie definicji i praw logiki matematycznej tu obowiązujących.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 22:09, 25 Wrz 2021 Temat postu: |
|
|
... zmieniłem zdanie!
Zacząłem pisać algebrę Kubusia od początku wywalając gdzie to możliwe, wszelkie zaczepki w stosunku do Klasycznego Rachunku Zdań.
Myślę, że wersję algebry Kubusia (pokój) lepiej się będzie czytało wszystkim, zarówno matematykom jak i nie matematykom tzn. uczniom I klasy LO.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-mowionego-pokoj,19875.html#619363
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (pokój)
Matematyczny Raj: 2021-09-25
Wstęp
Algebra Kubusia to matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie kluczową rolę odgrywają spójniki implikacyjne {~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($)}, natomiast algebra Boole’a to wyłącznie 5 znaczków {1, 0, (~), „i”(*), „lub”(+)}.
Kluczowe pojęcia algebry Kubusia:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - element wspólny zbiorów (zdarzenie możliwe)
są niedostępne z poziomu algebry Boole’a.
Jak widzimy „Algebra Kubusia” (spójniki =>, ~>, ~~>, <=>, „albo”($)) i „Algebra Boole’a” (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) to wiedza rozłączna co oznacza, że można zrozumieć „Algebrę Kubusia” bez znajomości algebry Boole’a.
W niniejszej wersji algebry Kubusia (pokój) nie ma wzmianki o konkurencyjnym „Klasycznym Rachunku Zdań” bowiem za x lat zwycięzcą wojny wszech czasów:
Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań
będzie algebra Kubusia, zaś o KRZ nikt nie będzie pamiętał, tak jak nikt nie pamięta o teorii geocentrycznej.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 22:13, 25 Wrz 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 22:52, 27 Wrz 2021 Temat postu: |
|
|
Radykalna zmiana taktyki!
Kilka dni temu zacząłem pisać algebrę Kubusia ... od początku (restart) wywalając jakiekolwiek wzmianki o takich potwornie śmierdzących gównach jak "implikacja materialna" czy KRZ.
Dlaczego to robię?
1.
Za x lat jedyną logiką matematyczną uznawaną przez matematyków będzie algebra Kubusia - o KRZ nikt nie będzie pamiętał, tak jak nikt nie pamięta o teorii geocentrycznej.
2.
Pisząc o KRZ musiałbym czytelnikowi wyłożyć fundamenty KRZ co byłoby bez sensu - patrz punkt 1.
Mam nadzieję, że za kilka dni skończę:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19875.html#619363
| rafal3006 napisał: | Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-09-27
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:53, 27 Wrz 2021, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 22:59, 04 Paź 2021 Temat postu: |
|
|
Premiera w algebrze Kubusia!
Niniejszy rozdział to oczywisty Armagedon takich gówien jak "implikacja materialna" i Klasyczny Rachunek Zdań.
Ciekawe czy i kiedy ziemscy matematycy to zrozumieją?
Premierą w algebrze Kubusia są moje rozmyślania w temacie "spójników zdaniowych" "albo"($) i "lub"(+)
Nigdy wcześniej w ten sposób do tego problemu nie podszedłem.
Ten przykład pokazuje, ze ziemscy matematycy będą mieli co robić także po zaakceptowaniu AK - na każdy problem można bowiem spoglądać z różnej perspektywy tzn. algebrę Kubusia można jeszcze udoskonalać.
Sytuacja jest tu podobna do początków programowania.
Matką wszystkich języków programowania jest język asemblera ... tylko kto w dniu dzisiejszym pisze programy w j. asemblera?
Ja piszę ... od 40 lat.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19875.html#621187
Algebra Kubusia
10.0 Rozmyślania o spójnikach zdaniowych
(ciąg dalszy nastąpi)
Spis treści
10.0 Rozmyślania o spójnikach zdaniowych 1
10.1 Spójniki „albo”($) i „lub”(+) w praktyce 1
10.1.1 Spójnik „albo”($) p$q 1
10.1.2 Spójnik „albo”($) p$q vs spójnik „lub”(+) 6
10.0 Rozmyślania o spójnikach zdaniowych
Spójniki „albo”($), <=> i „lub”(+) to najciekawsze ze spójników zdaniowych.
10.1 Spójniki „albo”($) i „lub”(+) w praktyce
Matematyczne definicje spójników „albo”($) i „lub”(+) są jednoznaczne i różne na mocy definicji ##
10.1.1 Spójnik „albo”($) p$q
Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) p$q to wybór jednego z dwóch rozłącznych pojęć uzupełniających się wzajemnie do dziedziny
Definicja dziedziny dla spójnika „albo”($):
p+q =D =1
p*q =[] =0
Przykład rodem z przedszkola:
A1B1:
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Trzeciej możliwości brak
Dziedzina minimalna:
M+K = C =1
M*K =[] =0
Gdzie:
C (człowiek) - dwuelementowy zbiór wszystkich ludzi
C=M+K
Stąd mamy:
~M = [C-M] = [M+K -M] = K
~K = [C-K] = [M+K -K] = M
Prawą stronę czytamy:
A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Środek czytamy:
Do tego by być mężczyzną (M) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by nie być kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Ostatni zapis to klasyczna definicja równoważności M<=>~K znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
wyników: 7 800
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 118 000
Definicja tożsamości zbiorów/pojęć:
Dwa zbiory/pojęcia p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
Zastosujmy tą definicję do naszego przykładu:
Dwa zbiory M i ~K są matematycznie tożsame M=~K bo znajdują się w relacji równoważności M<=>~K
M=~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Oczywistym jest, że dla zbiorów tożsamych M=~K zachodzi:
A1: M=>~K =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: M~>~K =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Dowód matematycznie tożsamy:
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Stąd mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: M~>~K = M~>M =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd mamy:
Diagram spójnika „albo” p$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
| Kod: |
DA:
Diagram spójnika „albo” p$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina) |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne |
| Podstawmy nasz przykład: |
| p=M - zbiór wszystkich mężczyzn |
| q=K - zbiór wszystkich kobiet |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy: |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi |
| M+K =C =1 - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla M |
| M*K =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna) | Zbiór: q=K (kobieta) |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p: | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) |
| Dla p=M i q=K mamy: | Dla p=M i q=K mamy: |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D # q=~p - q jest negacją (~)p w D |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C # K=~M - K jest negacją (~)M w C |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tym momencie łatwo tworzymy definicję spójnika „albo”($), będącą szczególnym przypadkiem równoważności p<=>~q.
DA
Definicja klasyczna spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p (p=1) do ~q (~q=1)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p)
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q (bo ~q=p)
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Dla B1 korzystamy z prawa Tygryska:
B1: p~>~q = B3: ~q=>p
Stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($) w warunkach wystarczających => (twierdzeniach matematycznych)
Definicja matematyczna spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => w dwie strony między p i ~q.
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p), twierdzenie proste
B3:~q=>p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia p (bo ~q=p), twierdzenie odwrotne
Stąd:
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi warunek wystarczający => w dwie strony między p i ~q.
Twierdzenia Pszczółki:
1.
Między dwoma pojęciami p i q wolno nam użyć spójnika „albo”($) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo”($)
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
2.
Aby rozstrzygnąć czy badane zdanie warunkowe „Jeśli p to ~q” wchodzi w skład definicji spójnika „albo”($) tzn. czy wolno nam połączyć dwa pojęcia p i q spójnikiem „albo”($) musimy udowodnić prawdziwość obu zdań warunkowych A1 i B3 tworzących definicję spójnika „albo”($)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (matematyczne twierdzenie proste)
B3: ~q=>p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia p (matematyczne twierdzenie odwrotne)
Przykład pozytywny:
A1B3:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K =?
Definicja spójnika „albo”($):
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
Dla naszego przykładu przyjmujemy punkt odniesienia:
p = M (mężczyzna)
q = K (kobieta)
Na mocy definicji spójnika „albo”($) zapisujemy:
A1B3: M$K = (A1: M=>~K)*(B3: ~K=>M) =?
Dziedzina minimalna dla naszego przykładu to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
C=M+K
Obliczenia wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
M (Mężczyzna)
K (kobieta)
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => A1 (twierdzenie proste):
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
To samo w zapisach formalnych:
p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą (~K) bo zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
Dowód:
M=>~K = M=>M =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
bo:
~K=M
cnd
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => B3 (twierdzenie odwrotne):
B3.
Jeśli dowolny człowiek nie jest kobietą (~K=1) to na 100% => jest mężczyzną (M=1)
~K=>M =1
to samo w zapisach formalnych:
~q=>p =1
Nie bycie kobietą (~K) jest warunkiem wystarczającym => by być mężczyzną (M) bo zbiór nie kobiet (~K) jest podzbiorem => zbioru mężczyzn (M)
Dowód:
~K=>M = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem siebie samego
bo:
~K=M
cnd
Podsumowując:
A1B3:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B3: M$K = (A1: M=>~K)*(B3: ~K=>M) =1*1 =1
Powyższe zdanie spełnia definicję spójnika „albo”($) zatem w tym przypadku użycie spójnika „albo”($) jest matematycznie poprawne.
cnd
Przykład negatywny:
A1B3:
Dowolne zwierzę jest psem (P=1) „albo”($) kotem (K=1)
P$K =?
Definicja spójnika „albo”($):
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
Dla naszego przykładu przyjmujemy punkt odniesienia:
p = P (pies)
q = K (kot)
Na mocy definicji spójnika „albo”($) zapisujemy:
A1B3: P$K = (A1: P=>~K)*(B3: ~K=>P) =?
Dziedzina minimalna dla naszego przykładu to:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Obliczenia wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
P (pies)
K (kot)
~P = [ZWZ-P] = [kot, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa (P)
~K = [ZWZ-K] = [pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem kota (K)
Już widzimy, że zdanie A1B3: P$K nie spełnia definicji spójnika „albo”($) bowiem co prawda pojęcia P (pies) i K (kot) są rozłączne, ale nie uzupełniają się wzajemnie do dziedziny ZWZ (zbiór wszystkich zwierząt)
P+K ## ZWZ
Gdzie:
Zbiory różne na mocy definicji ##
Dalsze badanie prawdziwości/fałszywości zdań A1 i B3 nie jest wobec powyższego konieczne, ale z ciekawości zróbmy to.
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => A1 (twierdzenie proste):
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K=1
To samo w zapisach formalnych:
p=>~q =1
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kotem (~K) bo zbiór P jest podzbiorem => zbioru ~K
Dowód:
P=>~K =1
P (pies) => ~K = [ZWZ-K] = [pies, słoń, kura ..]
cnd
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => B3 (twierdzenie odwrotne):
B3.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest kotem (~K=1) to na 100% => jest psem (P=1)
~K=>P =0
to samo w zapisach formalnych:
~q=>p =0
Nie bycie kotem (~K) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by być psem (P) bo zbiór nie kot (~K) nie jest podzbiorem => zbioru psów (P)
Dowód:
~K = [ZWZ-K] = [pies, słoń, kura ..] => P (pie) =0
cnd
Podsumowując:
A1B3:
Dowolne zwierzę jest psem (P=1) „albo”($) kotem (K=1)
A1B3: P$K = (A1: P=>~K)*(B3: ~K=>P) =1*0 =0
Powyższe zdanie nie spełnia definicji spójnika „albo”($) zatem w tym przypadku użycie spójnika „albo”($) jest matematycznie błędne.
cnd
10.1.2 Spójnik „albo”($) p$q vs spójnik „lub”(+)
Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
to samo w zapisach formalnych:
p=>q =1
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery lapy (4L) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, kot, słoń..]
Wyjaśnienie:
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ =[pies, kot, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt
Obliczenia wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
p = P (pies) - jednoelementowy zbiór „pies”
q = 4L=[pies, kot, słoń ..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy
~p = ~P = [ZWZ-P] = [kot, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem „psa”
~q = ~4L = [ZWZ-4L] = [kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt mających cztery łapy.
Stąd mamy rozstrzygnięcie:
P=[pies) => 4L=[pies, kot, słoń ..] =1
Relacja podzbioru P=>4L jest tu spełniona
cnd
Rozważmy kolejne zdanie:
B.
Jeśli dowolne zwierzę jest kotem (K=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
K=>4L =1
to samo w zapisach formalnych:
p=>q =1
Bycie kotem (K) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery lapy (4L) bo zbiór jednoelementowy K=[kot] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, kot, słoń..]
Wyjaśnienie:
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ =[pies, kot, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt
Obliczenia wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
p = K (kot) - jednoelementowy zbiór „kot”
q = 4L=[pies, kot, słoń ..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy
~p = ~K = [ZWZ-K] = [pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem „kota”
~q = ~4L = [ZWZ-4L] = [kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt mających cztery łapy.
Stąd mamy rozstrzygnięcie:
K=[kot) => 4L=[pies, kot, słoń ..] =1
Relacja podzbioru K=>4L jest tu spełniona
cnd
Prawo Kruka:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru r i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r wtedy i tylko wtedy gdy suma logiczna zbiorów (p+q) jest podzbiorem => zbioru r
(p=>r)*(q=>r) = (p+q)=>r
Gdzie:
= - znak tożsamości logicznej tożsamy z równoważnością <=>
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Doskonale widać, że de facto jest to definicja równoważności <=>.
Stąd mamy tożsamość pojęć:
„=” = <=>
Każda równoważność prawdziwa p<=>q wymusza tożsamość pojęć p=q i odwrotnie.
Definicja tożsamości pojęć p=q:
Dwa pojęcia p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Dowód prawa Kruka:
(p=>r)*(q=>r) = (p+q)=>r
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Rozpisujemy lewą stronę:
Y = (p=>r)*(q=>r) = (~p+r)*(~q+r)
Y = ~p*~q + ~p*r + r*~q + r*r
Y = ~p*~q + ~p*r + r*~q + r*1
bo:
r*r =r
r*1 =r
Wyciągamy zmienną r przed nawias:
Y = ~p*~q + r*(~p+~q +1)
Y = (~p*~q) + r
bo:
x+1 =1 gdzie x jest dowolnym wyrażeniem algebry Boole’a
r*1 =r
Y = (~p*~q)+r
Prawo De Morgana:
~p*~q = ~(p+q)
Stąd mamy:
Y = ~(p+q)+r = (p+q)=>r
Na mocy definicji warunku wystarczającego =>
cnd
Zastosujmy prawo Kruka do naszych zdań A i B
Prawo Kruka:
Zbiór P (pies) jest podzbiorem => zbioru 4L i zbiór K (kot) jest podzbiorem => zbioru 4L wtedy i tylko wtedy gdy suma logiczna zbiorów (P+K) jest podzbiorem => zbioru 4L
(A: P=>4L)*(B: K=>4L) = (P+K)=>4L
Prawdziwość zdań A i B udowodniliśmy wyżej.
Wypowiedzmy teraz zdanie po prawej stronie:
A+B:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) „lub”(+) kotem (K) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
(P+K)=>4L
Zauważmy, że spójnik „lub”(+) oznacza tu z definicji sumę logiczną zbiorów P+K.
Spójnika „lub”(+) w znaczeniu sumy logicznej zbiorów P+K nie wolno nam zastąpić spójnikiem „albo”($) bo popełnimy błąd czysto matematyczny.
Innymi słowy:
Fałszywe jest zdanie jak niżej:
A$B:
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) „albo”($) kotem (K) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
(P$K) => 4L =0
bowiem poprzednik jest tu twardym fałszem, co udowodniono wyżej.
Fałszywość zdania warunkowego A$B wynika z prawa Kobry.
Prawo Kobry dla zbiorów (punkt 2.1.5):
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Zakodujmy zdanie A$B elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A$B’:
(P$K) ~~>4L = (P$K)*4L = []*4L = [] =0
cnd
Rozważmy na zakończenie takie zdanie:
C.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) i kotem (K) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
(P*K) => 4L =0
Dowód:
Poprzednik jest tu twardym fałszem bo nie ma zwierzęcia które by było jednocześnie psem (P) i kotem (K)
P*K =0 - twardy fałsz
Fałszywość zdania C wynika z prawa Kobry jak wyżej:
C’:
(P*K)~~>4L = (P*K)*4L = []*4L =[] =0
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 6:50, 05 Paź 2021, w całości zmieniany 5 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 8:47, 05 Paź 2021 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/o-cio-cho,19963.html#621231
| TS7 napisał: |
Hej. A tak do np. 10000 znaków to mają jakieś życiowe zastosowanie te Twoje teorie? |
To o co ci chodzi masz we wstępie do algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19875.html#619363
Wstęp
Algebra Kubusia to matematyczny podkład pod język potoczny (w tym pod wszelkie twierdzenia matematyczne) niezależny do tego czy mówimy w j. polskim, czy chińskim.
Wszyscy podlegamy pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić tzn. wszyscy jesteśmy naturalnymi ekspertami AK i nie musimy się jej uczyć - od 5-cio latka poczynając.
Kluczowe pojęcia algebry Kubusia (warunek wystarczający =>, warunek konieczny ~>, element wspólny zbiorów ~~>) są wspólne dla wszystkich ludzi i niezależne od języka.
Sytuacja jest tu identyczna jak z gramatyką dowolnego języka.
Czy musimy znać gramatykę j. polskiego by się nim biegle posługiwać w mowie i piśmie?
Oczywiście NIE.
Nigdy gramatyki j. polskiego nie znałem, do tej pory nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek, dupówek etc.
Inny przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
| muzemjazzu.pl napisał: |
JIMI HENDRIX
Muzyczny geniusz, który nie umiał czytać nut. Zrewolucjonizował grę na gitarze elektrycznej, stworzył podwaliny pod heavy metal i psychodeliczny rock. Jego muzyka inspiruje do dziś.
Niepodzielnie króluje, zajmując pierwszą pozycję na liście 100 najwybitniejszych gitarzystów wszech czasów i 6 na liście 100 najwybitniejszych artystów wszech czasów magazynu „Rolling Stone”. Zespół The Jimi Hendrix Experience został wybrany najlepszym trio rockowym wszech czasów tego wydawnictwa. |
Algebra Kubusia to matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie kluczową rolę odgrywają spójniki implikacyjne {~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($)}, natomiast algebra Boole’a to wyłącznie 5 znaczków {1, 0, (~), „i”(*), „lub”(+)}.
Kluczowe pojęcia algebry Kubusia:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - element wspólny zbiorów (zdarzenie możliwe)
są niedostępne z poziomu algebry Boole’a.
Jak widzimy „Algebra Kubusia” (spójniki =>, ~>, ~~>, <=>, „albo”($)) i „Algebra Boole’a” (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) to wiedza rozłączna co oznacza, że można zrozumieć „Algebrę Kubusia” bez znajomości algebry Boole’a.
W niniejszej wersji algebry Kubusia (pokój) nie ma wzmianki o konkurencyjnej logice matematycznej zwanej „Klasycznym Rachunkiem Zdań” bowiem za x lat zwycięzcą wojny wszech czasów:
Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań
będzie algebra Kubusia, zaś o KRZ nikt nie będzie pamiętał, tak jak nikt nie pamięta o teorii geocentrycznej.
Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Najważniejsze prawa algebry Kubusia zapisane są w poniższej tabeli.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:50, 05 Paź 2021, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 20:23, 07 Paź 2021 Temat postu: |
|
|
Czy ziemscy matematycy są otwarci na nową teorię matematyczną, algebrę Kubusia, będącą Armagedonem dla ich ukochanego Klasycznego Rachunku Zdań?
Właśnie zamieściłem na matematyce.pl malutki test:
[link widoczny dla zalogowanych]
| edutomek napisał: |
Bo dla mnie implikacja jest równoważna z wnioskowaniem (takie synonimy).
Kiedy przeczytałem o tych tabelkach prawdy (skądinąd nienawidzę ich; ...
|
Tabelki zero-jedynkowe są bardzo dobre pod warunkiem fundamentalnie innego ich rozumienia.
Przykład:
Zdefiniujmy sobie zero-jedynkowe dwa znaczki inaczej niż to jest we współczesnej matematyce (to nam wolno) i zobaczmy jak pięknie pasują do otaczającej nas rzeczywistości.
1.
Definiujemy zero-jedynkowo znaczek warunku wystarczającego [latex] \Rightarrow [/latex]
[latex]p \Rightarrow q = \neg p+q[/latex]
Gdzie:
[latex] \Rightarrow[/latex] = warunek wystarczający, zajście [latex]p[/latex] jest wystarczające [latex]\Rightarrow[/latex] dla zajścia [latex]q[/latex]
2.
Definiujemy zero-jedynkowo znaczek warunku koniecznego [latex]\rightarrow [/latex]
[latex]p \rightarrow q = p+ \neg q[/latex]
Gdzie:
[latex] \rightarrow [/latex] = warunek konieczny, zajście [latex]p[/latex] jest konieczne [latex]\rightarrow [/latex] dla zajścia [latex]q[/latex]
Stąd w rachunku zero-jedynkowym łatwo wyprowadzamy matematyczny związek między warunkiem wystarczającym [latex]\Rightarrow [/latex] i koniecznym [latex] \rightarrow [/latex] z zamianą poprzednika [latex]p[/latex] z następnikiem [latex]q[/latex]
Prawo Rachunku zero-jedynkowego:
[latex]p \Rightarrow q = q \rightarrow p[/latex]
Powyższe prawo można też udowodnić bez tabel zero-jedynkowych korzystając z definicji warunku wystarczającego [latex]\Rightarrow [/latex] i koniecznego [latex] \rightarrow [/latex]:
[latex]p \Rightarrow q = \neg p + q = q \rightarrow p[/latex]
Na mocy definicji znaczków [latex] \Rightarrow i \rightarrow[/latex]
cnd
Teraz zobaczmy jak wyprowadzony związek między warunkiem wystarczającym [latex] \Rightarrow[/latex] i koniecznym [latex]\rightarrow [/latex] absolutnie genialnie pasuje do otaczającej nas rzeczywistości.
Wypowiedzmy zdanie ze spełnionym warunkiem wystarczającym [latex]\Rightarrow [/latex]:
[latex]A1[/latex].
Jeśli jutro będzie padało [latex](P)[/latex] to na 100% [latex] \Rightarrow [/latex] będzie pochmurno [latex](CH)[/latex]
[latex]P \Rightarrow CH =1[/latex]
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym [latex]\Rightarrow [/latex] dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Skorzystajmy z wyprowadzonego wyżej prawa rachunku zero-jedynkowego.
[latex]A1: P \Rightarrow CH = A3: CH \rightarrow P[/latex]
Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego prawdziwe zdanie [latex]A1[/latex] (co udowodniliśmy) wymusza prawdziwe zdanie [latex]A3[/latex] (albo odwrotnie).
Wypowiedzmy prawdziwe zdanie [latex]A3[/latex]:
[latex]A3[/latex].
Jeśli jutro będzie pochmurno [latex](CH)[/latex] to może [latex]\rightarrow [/latex] padać [latex](P)[/latex]
[latex]CH \rightarrow P =1[/latex]
Chmury są (=1) warunkiem koniecznym [latex]\rightarrow [/latex] dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
Prawda, że proste?
Dodano po 15 godzinach 14 minutach 30 sekundach:
UWAGA:
W nawiązaniu do mojego postu wyżej podaję rozpiskę warunku wystarczającego [latex]\Rightarrow[/latex] i koniecznego [latex] \rightarrow [/latex] na tabele zero jedynkowe.
1.
Definicja warunku wystarczającego [latex]\Rightarrow [/latex]:
[latex]p \Rightarrow q = \neg p+q[/latex]
Definicja warunku wystarczającego [latex] \Rightarrow [/latex] w tabeli zero-jedynkowej wygląda tak:
[latex]\begin{array}{ccc}
p&q&p \Rightarrow q\\
1&1&1 \\
1&0&0\\
0&0&1\\
0&1&1\\
\end{array}[/latex]
2.
Definicja warunku koniecznego [latex] \rightarrow [/latex]:
[latex]p \rightarrow q = p+ \neg q[/latex]
Definicja warunku koniecznego [latex]\rightarrow[/latex] w tabeli zero-jedynkowej wygląda tak:
[latex]\begin{array}{ccc}
p&q&p \rightarrow q\\
1&1&1 \\
1&0&1\\
0&0&1\\
0&1&0\\
\end{array}[/latex]
Prawo rachunku zero-jedynkowego zapisane w moim poście wyżej:
[latex]p \Rightarrow q = q \rightarrow p[/latex]
Mam nadzieję, że po tej podpowiedzi każdy, kto zna rachunek zero-jedynkowy bez problemu udowodni powyższe prawo.
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (na przykład [latex]p \Rightarrow q[/latex] i [latex] p \rightarrow q[/latex]) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Oczywistym jest, że na mocy definicji zachodzi:
[latex]p \Rightarrow q = \neg p+q[/latex] ## [latex]p \rightarrow q = p+ \neg q[/latex]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ławo sprawdzić, że definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest tu spełniona.
Innymi słowy:
Warunek wystarczający [latex]\Rightarrow [/latex] to fundamentalnie co innego niż warunek konieczny [latex]\rightarrow [/latex]
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 13:15, 08 Paź 2021, w całości zmieniany 5 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 15:47, 08 Paź 2021 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/o-cio-cho,19963.html#621673
| TS7 napisał: |
| Rafal3006 napisał: |
Algebra Kubusia to matematyczny podkład pod język potoczny (w tym pod wszelkie twierdzenia matematyczne) niezależny do tego czy mówimy w j. polskim, czy chińskim.
Wszyscy podlegamy pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić tzn. wszyscy jesteśmy naturalnymi ekspertami AK i nie musimy się jej uczyć - od 5-cio latka poczynając.
|
To jaki cel ma analizowanie jej, skoro twierdzisz, że wszyscy jesteśmy naturalnymi ekspertami? |
Celem algebry Kubusia nie jest jej zrozumienie przez 5-cio latków którzy są naturalnymi jej ekspertami i nie muszą się jej uczyć.
Celem algebry Kubusia jest dotarcie do ziemskich matematyków tarzających się w gównach typu „implikacja materialna” czy Klasyczny Rachunek Zdań.
O co tu chodzi masz świetnie wyłożone w tym linku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Rozumiesz cokolwiek z tego linku, czy nic a nic?
Zauważ, że każdy 5-cio latek doskonale rozumie prawdziwość podanych tam zdań A1 i A3 ... ale oczywistym jest, że nie zna matematycznego związku między tymi zdaniami.
Prawo Tygryska:
A1: P=>CH = A3: CH~>P
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na pewno => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego by było pochmurno, bo zawsze gdy pada są chmury
cnd
A3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania bo padać może wyłacznie z chmury
cnd
Podsumowując:
Algebra Kubusia to odkrycie matematyki rządzącej naszym mózgiem poza naszą świadomością.
P.S.
[link widoczny dla zalogowanych]
AMD wprowadził do oferty procesor EPYC drugiej generacji - noszący kodową nazwę Rome – kilka miesięcy temu, nie podając jednak wtedy od razu wszystkich szczegółów technicznych dotyczących jego budowy. Ostatnio dowiedzieliśmy się o jednym parametrze, który robi wrażenie. Chodzi o ilość tranzystorów upakowanych w tym układzie.
Okazuje się, że procesor zawiera prawie 40 mld tranzystorów (dokładnie 39 mld 540 mln). Jest trudna do wyobrażenie ilość biorą pod uwagę fakt, na jakiej powierzchni wszystkie te tranzystory są zagnieżdżone.
Pytanie 1.
Czy zrozumiesz działanie procesora EPYC o oglądając pod mikroskopem wszelkie połącznia między 40-stoma mld tranzystorów?
Oczywiście NIE
Pytanie 2.
Czy zrozumiesz działania mózgu analizując wszelkie połączenia miedzy miliardami neuronów z których mózg jest zbudowany?
Oczywiście: NIE
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 17:08, 08 Paź 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 10:21, 09 Paź 2021 Temat postu: |
|
|
Nowy wstęp do algebry Kubusia!
Przed chwilą napisałem wstęp do algebry Kubusia będący najważniejszą jej częścią:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19875.html#619363
Dlaczego najważniejszą?
Bo to on zadecyduje czy ziemscy matematycy zaczną na poważnie czytać algebrę Kubusia.
Wstęp
Algebra Kubusia to odkrycie matematyki rządzącej naszym mózgiem poza naszą świadomością.
[link widoczny dla zalogowanych]
Pojemność mózgu jest uważana za praktycznie nieograniczoną. Badania sugerują, że ludzki mózg składa się z około 86 miliardów neuronów. Każdy neuron tworzy połączenia z innymi neuronami, co może dać nawet 1 biliard (1000 bilionów) połączeń.
Kluczowe pytanie:
Czy zrozumiemy działanie mózgu oglądając pod mikroskopem wszelkie połączenia między 86 miliardami neuronów z których mózg jest zbudowany?
Oczywiście: NIE
Podobnie:
[link widoczny dla zalogowanych]
AMD wprowadził do oferty procesor EPYC drugiej generacji - noszący kodową nazwę Rome.
Procesor zawiera prawie 40 mld tranzystorów (dokładnie 39 mld 540 mln). Jest to trudna do wyobrażenia ilość biorąc pod uwagę fakt, na jakiej powierzchni wszystkie te tranzystory są zagnieżdżone.
Kluczowe pytanie:
Czy zrozumiemy działanie procesora EPYC oglądając pod mikroskopem wszelkie połącznia między 40-stoma mld tranzystorów?
Oczywiście: NIE
Algebra Kubusia to matematyczny podkład pod język potoczny (w tym pod wszelkie twierdzenia matematyczne) niezależny do tego czy mówimy w j. polskim, czy chińskim.
Wszyscy podlegamy pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans by się od niej uwolnić tzn. wszyscy jesteśmy naturalnymi ekspertami AK i nie musimy się jej uczyć - od 5-cio latka poczynając.
Kluczowe pojęcia algebry Kubusia (warunek wystarczający =>, warunek konieczny ~>, element wspólny zbiorów ~~>) są wspólne dla wszystkich ludzi i niezależne od języka.
Sytuacja jest tu identyczna jak z gramatyką dowolnego języka.
Czy musimy znać gramatykę j. polskiego by się nim biegle posługiwać w mowie i piśmie?
Oczywiście: NIE
Nigdy gramatyki j. polskiego nie znałem, do tej pory nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek, dupówek etc.
Algebra Kubusia to matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie kluczową rolę odgrywają spójniki implikacyjne {~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($)}, natomiast algebra Boole’a to wyłącznie 5 znaczków {1, 0, (~), „i”(*), „lub”(+)}.
Kluczowe pojęcia algebry Kubusia:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - element wspólny zbiorów (zdarzenie możliwe)
są niedostępne z poziomu algebry Boole’a.
Jak widzimy „Algebra Kubusia” (spójniki =>, ~>, ~~>, <=>, „albo”($)) i „Algebra Boole’a” (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) to wiedza rozłączna co oznacza, że można zrozumieć „Algebrę Kubusia” bez znajomości algebry Boole’a.
W niniejszej wersji algebry Kubusia (pokój) nie ma wzmianki o konkurencyjnej logice matematycznej zwanej „Klasycznym Rachunkiem Zdań” bowiem za x lat zwycięzcą wojny wszech czasów:
Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań
będzie algebra Kubusia, zaś o KRZ nikt nie będzie pamiętał, tak jak nikt nie pamięta o teorii geocentrycznej.
Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Najważniejsze prawa algebry Kubusia zapisane są w poniższej tabeli.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
O co chodzi w algebrze Kubusia?
Posłużę się tu cytatem z matematyki.pl
[link widoczny dla zalogowanych]
| edutomek napisał: |
Bo dla mnie implikacja jest równoważna z wnioskowaniem (takie synonimy).
Kiedy przeczytałem o tych tabelkach prawdy (skądinąd nienawidzę ich; ...
|
Tabelki zero-jedynkowe są bardzo dobre pod warunkiem fundamentalnie innego ich rozumienia, niż to jest w aktualnej matematyce.
Przykład:
Zdefiniujmy sobie zero-jedynkowo dwa znaczki (=>, ~>) inaczej niż to jest we współczesnej matematyce (to nam wolno) i zobaczmy jak pięknie pasują do otaczającej nas rzeczywistości.
1.
Definiujemy zero-jedynkowo znaczek warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Gdzie:
=> = warunek wystarczający, zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => to:
| Kod: |
p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
2.
Definiujemy zero-jedynkowo znaczek warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
~> = warunek konieczny, zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> to:
| Kod: |
p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (na przykład p=>q i p~>q) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Oczywistym jest, że na mocy definicji zachodzi:
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ławo sprawdzić, że definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest tu spełniona.
Innymi słowy:
Warunek wystarczający => to fundamentalnie co innego niż warunek konieczny ~>
W rachunku zero-jedynkowym łatwo wyprowadzamy matematyczny związek między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> z zamianą poprzednika p z następnikiem q
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = q~>p
Powyższe prawo można też udowodnić bez tabel zero-jedynkowych korzystając z definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
p=>q = ~p+q = q+~p = q~>p - bo suma logiczna „+” jest przemienna
Na mocy definicji znaczków => i ~>.
cnd
Teraz zobaczmy, jak wyprowadzony związek między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> absolutnie genialnie pasuje do otaczającej nas rzeczywistości.
Wypowiedzmy zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym =>:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Skorzystajmy z wyprowadzonego wyżej prawa rachunku zero-jedynkowego:
A1: P=>CH = A3: CH~>P
Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego prawdziwe zdanie A1 (co udowodniliśmy) wymusza prawdziwe zdanie A3 (albo odwrotnie).
Wypowiedzmy prawdziwe zdanie A3:
A3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
Doskonale tu widać, że algebra Kubusia to matematyczny poziom 5-cio latka, bowiem na przykładach jak wyżej (zdania A1 i A3) bez problemu wytłumaczymy mu co to jest warunek wystarczający => i konieczny ~>.
Prawda, że proste?
Zauważmy, że jeśli w zdaniu A1 zastąpimy warunek wystarczający => warunkiem koniecznym ~> to zdanie to będzie fałszywe.
Dowód:
A1”.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Podobnie, jeśli w zdaniu A3 zastąpimy warunek konieczny ~> warunkiem wystarczającym => to zdanie to będzie fałszywe.
Dowód:
A3”.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => padać (P)
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Zauważmy, że przy okazji wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowodem poprawności prawa Kameleona są zdania A1 i A1” wyżej zapisane:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
##
A1”.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Różność zdań A1 i A1” rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 6:54, 11 Paź 2021, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 17:33, 11 Paź 2021 Temat postu: |
|
|
Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań!
Sorry panowie matematycy - nic na to nie poradzę, że gdzie się nie dotknąć to wychodzi Armagedon waszego ukochanego Klasycznego Rachunku Zdań
Właśnie dopisałem zakończenie do wstępu do algebry Kubusia (pkt. 0.2):
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19875.html#619363
0.2 Kwintesenscja algebry Kubusia
Definicja algebry Kubusia
Algebra Kubusia to matematyczny opis nieznanej przyszłości lub nieznanej przeszłości (np. poszukiwanie nieznanego mordercy).
Definicję algebry Kubusia zilustrujemy przykładem o deszczu i chmurce kontynuując powyższe rozważania.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu ~~> A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
cnd
… a jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH =1
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna.
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.
Innymi słowy w odniesieniu do naszego przykładu:
Mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1, na mocy prawa Kubusia nie musimy dowodzić prawdziwości warunku koniecznego ~> A2. To jest dowód „nie wprost” prawdziwości warunku koniecznego ~> A2.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
cnd
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH =1
Zbadajmy teraz warunek wystarczający => z parametrami aktualnymi (~P, ~CH) jak w zdaniu A2.
B2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to na 100% => nie będzie pochmurno (~CH)
~P=>~CH =0
Brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla braku chmur (~CH), bo nie zawsze gdy nie pada (~P), nie ma chmur (~CH)
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu ~~> B2’ i odwrotnie.
B2’,
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
cnd
Zapiszmy ponownie definicję algebry Kubusia.
Definicja algebry Kubusia
Algebra Kubusia to matematyczny opis nieznanej przyszłości lub nieznanej przeszłości (np. poszukiwanie nieznanego mordercy).
Zauważmy, że nasze trzy zdania które zapisaliśmy wyżej (A1, A2, B2’) opisują wszystkie możliwe, rozłączne zdarzenia, jakie jutro mogą się wydarzyć w temacie padania i chmurki.
Zapiszmy te zdarzenia w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1.
A1: P=> CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
A1’: P~~>~CH=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada i nie ma chmur
A2: ~P~>~CH =1 - brak padania jest (=1) konieczny ~> dla braku chmur
B2’:~P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada i są chmury
|
Zauważmy, że zdarzenie A1’ jest fizycznie niemożliwe do zaistnienia od minus do plus nieskończoności.
Pozostałe trzy zdarzenia A1, A2 i B2’ jutro mogą wystąpić.
Co więcej, jutro może wystąpić tylko i wyłącznie jedno z trzech rozłącznych zdarzeń A1, A2, B2’.
Zapiszmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T2.
A1: P~~> CH= P* CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada i są chmury
A1’: P~~>~CH= P*~CH=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada i nie ma chmur
A2: ~P~~>~CH=~P*~CH=1 - możliwe jest (=1): nie pada i nie ma chmur
B2’:~P~~> CH=~P* CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada i są chmury
|
Doskonale tu widać rozłączność zdarzeń A1, A2, i B2’.
Wynika z tego, że pojutrze wyłącznie jedno ze zdań A1, A2, B2’ może być prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe co oznacza, że dane zdarzenie na 100% nie zaszło.
Zauważmy, że w dniu dzisiejszym symbole P, CH, ~P i ~CH są zmiennymi binarnymi co oznacza, że w dniu jutrzejszym mogą przyjąć dowolne wartości logiczne 0 albo 1.
W dniu dzisiejszym nie jesteśmy w stanie przewidzieć jakie wartości logiczne przyjmą w dniu jutrzejszym symbole P, ~P, CH i ~CH - dokładnie dlatego są to zmienne binarne a nie stałe binarne o z góry znanej wartości logicznej.
Przykład:
B2’
Załóżmy, że jutro zajdzie zdarzenie:
B2’: ~P~~>CH = ~P*CH =1 - nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Poznajmy teraz prawa Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
I.
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II.
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Stąd dla naszego przypadku B2’ mamy:
a)
~P=1 - prawdą jest (=1), że nie pada (~P)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~P=1) = (P=0)
P=0 - fałszem jest (=0) że pada (P)
b)
CH=1 - prawdą jest (=1), że są chmury (CH)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(CH=1) = (~CH=0)
~CH=0 - fałszem jest, że nie ma chmur (~CH)
Stąd na mocy naszego założenia B2’ nasza tabela prawdy T2 przybierze postać:
| Kod: |
T3.
A1: P~~> CH= P* CH=0*1=0 -nie zajdzie (=0) zdarzenie: pada i są chmury
A1’: P~~>~CH= P*~CH=0*0=0 -nie zajdzie (=0) zdarzenie: pada i nie ma chmur
A2: ~P~~>~CH=~P*~CH=1*0=0 -nie zajdzie (=0) zdarzenie: nie pada i są chmury
B2’:~P~~> CH=~P* CH=1*1=1 -zajdzie (=1) zdarzenie: nie pada i są chmury
|
Podsumowanie:
Nie jest możliwe matematyczne opisanie przyszłości na stałych binarnych tzn. na symbolach których wartość logiczna jest znana i niezmienna od minus do plus nieskończoności.
Stąd mamy:
Armagedon ukochanego przez matematyków Klasycznego Rachunku Zdań!
Dowód:
Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
| K.A Wieczorek napisał: |
Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować
|
Na mocy powyższego dogmatu dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli „zdanie twierdzące p” to „zdane twierdzące q”
Gdzie:
Zdania twierdzące p i q muszą mieć znaną z góry wartość logiczną prawda (=1) albo fałsz (=0), aby na mocy „implikacji materialnej” można było rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
1. Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2. Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
3. Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Do zapamiętania:
Algebra Kubusia nie zajmuje się zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” prawdziwymi w Klasycznym Rachunku Zdań, bowiem z definicji nie da się opisać nieznanej przyszłości przy pomocy zdań twierdzących o znanej z góry wartości logicznej od minus do plus nieskończoności.
cnd
Innymi słowy:
Jedna z dwu konkurencyjnych logik matematycznych algebra Kubusia albo Klasyczny Rachunek Zdań jest matematycznie błędna.
Oczywistym jest, że błędny matematycznie jest Klasyczny Rachunek Zdań.
Dowód nie wprost:
Nikt nie znajdzie w całym obszarze języka mówionego (literatura, prasa, RTV) choćby jednego zdania warunkowego „Jeśli p to q” o konstrukcji wymaganej w Klasycznym Rachunku Zdań, czyli:
Jeśli „zdanie twierdzące p” to „zdane twierdzące q”
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 7:10, 12 Paź 2021, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35979
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 23:25, 12 Paź 2021 Temat postu: |
|
|
0.3 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego =>
Dopisałem kolejny fragment wstępu, czyli ostatni gwóźdź do trumny z napisem Klasyczny Rachunek Zdań.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19875.html#619363
0.3 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego =>
Zapiszmy jeszcze raz nasz przykład omówiony wyżej w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1.
Analiza zdania A: P=>CH przez wszystkie możliwe przeczenia P i CH
A1: P=> CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
A1’: P~~>~CH=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada i nie ma chmur
A2: ~P~>~CH =1 - brak padania jest (=1) konieczny ~> dla braku chmur
B2’:~P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada i są chmury
|
Przejdźmy na zapis formalny (ogólny) z użyciem parametrów formalnych p i q podstawiając:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
| Kod: |
T1.
Analiza zdania A: p=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście p i ~q
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście ~p i q
|
Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
| Kod: |
T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |A1: p=>q =1 |definicja =>
| | | p q A1: p=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 23:27, 12 Paź 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
