ŚFiNiA

rafal3006

Funktory w AK wyglądają TAK!

Preludium - z dedykacją dla Zefcia, Fizyka, Idioty i Malaaviego!

mar3x

"Znaczki =>, ~> i ~~> z algebry Kubusia mają pokrycie w definicjach zero-jedynkowych dwuargumentowych operatorów logicznych."
Mają, ale czy ~> oznacza "może" i "warunek konieczny"? Bo tutaj się pojawia zgrzyt.

(Propozycja)
<-> „może”
<= „powinien” (warunek konieczny)
=> „musi” (warunek wystarczający)
|=> „tylko wtedy gdy”
|~> „tylko nie wtedy gdy”
<=> „wtedy i tylko wtedy gdy”

p q p<->q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1

p q p<=q
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1

p q p=>q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

To jest poprawne na pewno. Cokolwiek wstawisz pod to. To są funktory. Co do konieczności
|=> „tylko wtedy gdy”
|~> „tylko nie wtedy gdy”
się nie wypowiadam

mar3x

A może jeszcze inaczej:
<-> „może”
<= „powinien” (warunek konieczny)
=> „musi” (warunek wystarczający)
~> „nie wolno”
|=> „tylko wtedy gdy”
|~> „tylko nie wtedy gdy”, „nie musi”
<=> „wtedy i tylko wtedy gdy”
## „nie oznacza to samo co”

p q p<->q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1

p q p<=q
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1

p q p=>q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

p q p##q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

p=>q p##q p|=>q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

p~>q p##q p|~>q
1 1 0
1 0 1
0 1 0
0 0 0

p=>q p<=q p<=>q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Z powyższego wynika, że:
(p<->q) =1 => (p|=>q $ p|~>q $ p<=>q))

rafal3006

Konieczna teoria:

Symboliczna definicja implikacji prostej w wersji skróconej:

Diagram jest stary, ale może być.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja obliczeniowa:
(p=>q=~p~>~q) = (p=>q)*~(p==q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywany przez strzałkę wektora =>

Definicja obliczeniowa warunku wystarczającego =>:
p=>q = (p*q==p)
gdzie:
p==q - rozkaz porównania zwracający
1 - gdy zbiory p i q tożsame
0 - gdy zbiory p i q nie są tożsame

Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja obliczeniowa warunku koniecznego ~>:
p~>q = (p*q==q)
gdzie:
p==q - rozkaz porównania zwracający
1 - gdy zbiory p i q tożsame
0 - gdy zbiory p i q nie są tożsame

Definicja symboliczna implikacji prostej odczytana z diagramu wyżej:

mar3x

Ale przecież mamy zdanie:
TP=>SK = ~TP~>~SK (zachodzi, więc jest implikacją prostą na postawie definicji implikacji prostej)

rafal3006

mar3x

Mówisz o implikacji, a ja mówię, że TP=>SK to implikacja prosta w AK, co przeczytałem wyżej od Ciebie.

Na podstawie definicji warunku koniecznego ~>, przy której kiedy próbowałem zmieniać, mnie zawróciłeś, zachodzi TP=>SK = ~TP~>~SK

i to zachodzi nawet wtedy, kiedy osobno mamy ~TP[~>]~SK. Przy tak sformułowanej definicji implikacji prostej, widzę nieporządek.

W pozostałych przypadkach oczywiście że to działa.

rafal3006

To nie jest implikacja prosta, popatrz.
Definicja obliczeniowa implikacji prostej którą zaakceptowałeś:
p|=>q = (p=>q)*~(p==q)

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q =(p*q==p)

Stąd definicja implikacji prostej:
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)

Twój przykład:
TP|=>SK = (TP*SK==TP)*~(TP==SK) = 1*~(1) = 1*0 =0

... no i gdzie ta implikacja?

Potraktujmy to obliczeniową definicją równoważności.

Definicja standardowa:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Definicja obliczeniowa:
p<=>q = (p*q==p)*(q*p==q)

Stąd:
TP<=>SK = (TP*SK==TP)*(SK*TP==SK) =1*1 =1

Ewidentna równoważność!

mar3x

Ja ją zaakceptowałem, ale Ty jej nie zaakceptowałeś, wobec tego AK pozostaje błędna. AK ma być jednoznaczna. Robisz obliczenia pod wynik? Nie. Osoba postronna, która miałaby się zaznajomić z AK TP=>SK ma prawo uznać za implikację prostą, a jednocześnie ma prawo tego nie uznawać. To wprowadza chaos, to jest nielogiczne.

rafal3006

mar3x

rafal3006

rafal3006

Kompletna algebra Kubusia w definicjach
Algebra Kubusia = Nowa Teoria Zbiorów

NTZ jest nieprawdopodobnie precyzyjna - czekam na znalezienie choćby najmniejszej nieścisłości.

Fragment najnowszej wersji AK.

2.5 Algebra Kubusia w definicjach obliczeniowych

Definicje obliczeniowe są nieczułe na rzeczywiste relacje zbiorów p i q tzn. dają poprawny wynik niezależnie od tego czy zbiory p o q są rozłączne, czy też jeden zawiera się w drugim częściowo lub całkowicie.

Definicja operacji porównania:
Y = p==q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p==q =1
Operacja porównania „==” porównuje zbiory p i q zwracając Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q są tożsame

A.
Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
A1.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q

Stąd mamy definicję obliczeniową warunku wystarczającego => niezależną od wzajemnej relacji zbiorów p i q.

A2.
Definicja obliczeniowa warunku wystarczającego =>:
p=>q = (p*q==p)
co matematycznie oznacza:
p=>q=1 <=> (p*q==p) =1
W wyniku p=>q dostaniemy jeden wtedy i tylko wtedy gdy zdanie A2 spełnia warunek wystarczający =>

B.
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q
Zabieram p i musi zniknąć q

Stąd mamy definicję obliczeniową warunku koniecznego ~> niezależną od wzajemnej relacji zbiorów p i q.

B2.
Definicja obliczeniowa warunku koniecznego ~>:
p~>q = (p*q==q)
co matematycznie oznacza:
p~>q=1 <=> (p*q==q) =1
W wyniku p~>q dostaniemy jeden wtedy i tylko wtedy gdy zdanie B2 spełnia warunek konieczny ~>.

C.
Definicja implikacji prostej
p|=>q =(p=>q = ~p~>~q)

C1.
Definicja tożsama implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~(p==q)
Zdanie C1 spełnia definicję implikacji prostej wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
(p=>q)*~(p==q)

Podstawiając A2 otrzymujemy definicję obliczeniową implikacji prostej niezależną od rzeczywistych relacji zbiorów p i q.

C2.
Definicja obliczeniowa implikacji prostej:
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)
co matematycznie oznacza:
p|=>q =1 <=> (p*q==p) =1 i ~(p==q) =1
W wyniku p|=>q dostaniemy jeden wtedy i tylko wtedy gdy zdanie C2 spełnia definicję implikacji prostej.

D.
Definicja implikacji odwrotnej:
p|~>q =(p~>q = ~p=>~q)

D1.
Definicja tożsama implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p~>q)*~(p==q)
Zdanie D1 spełnia definicję implikacji odwrotnej wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
(p~>q)*~(p==q)

Podstawiając B2 otrzymujemy definicję obliczeniową implikacji prostej niezależną od rzeczywistych relacji zbiorów p i q.

D2.
Definicja obliczeniowa implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p*q==q)*~(p==q)
co matematycznie oznacza:
p|~>q =1 <=> (p*q==q) =1 i ~(p==q) =1
W wyniku p|~>q dostaniemy jeden wtedy i tylko wtedy gdy zdanie D2 spełnia definicję implikacji odwrotnej.

E.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Równoważność to nic innego jak definicja tożsamości zbiorów p i q.

E1.
Definicja tożsamości zbiorów p i q:
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Obliczeniowa definicja warunku wystarczającego => niezależna od wzajemnych relacji zbiorów p i q.
p=>q = (p*q==p)
q=>p = (q*p==q)

Podstawiając to do definicji równoważności otrzymujemy obliczeniową definicję równoważności niezależną od wzajemnej relacji zbiorów p i q.

E2.
Obliczeniowa definicja równoważności:
p<=>q = (p*q==p)*(q*p==q)
co matematycznie oznacza:
p<=>q =1 <=> (p*q==p) =1 i (q*p==q) =1
W wyniku p<=>q dostaniemy jeden wtedy i tylko wtedy gdy zdanie E2 spełnia definicję równoważności.

2.6 Przykłady

Obliczeniowa definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = (p*q==p)

Używane zbiory:
P8=[0,8,16,24 ..]
P2=[0,2,4,6,8,10,12..]
P8*P2 =[0,8,16,24..] =P8
P8*~P2 =[]
Przyjmijmy dziedzinę:
ZLN - zbiór liczb naturalnych
Stąd:
~P8=[ZLN-P8]
~P8=[1,2,3,4,5,6,7.. 9,10,11,12..]
~P2=[ZLN-P2]
~P2=[1,3,5,7,9,11..]
~P8*~P2 =[1,3,5,7,9,11..] =~P2
~P8*P2= [2,4,6 ..]

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 = (P8*P2 == P8) = (P8==P8) =1
bo: P8*P2=P8
(P8==P8) =1 - zbiory porównywane są tożsame
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 = (P2*P8==P2) = (P8==P2) =0
bo: P2*P8=P8
(P8==P2) =0 - zbiory porównywane nie są tożsame.

Obliczeniowa definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = (p*q==q)

C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = (P2*P8==P8) =(P8==P8) =1
bo: P2*P8 =P8
(P8==P8) =1 - zbiory porównywane są tożsame

D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 = (P8*P2==P2) = (P8==P2) =0
bo: P8*P2=P8
(P8==P2) =0 - zbiory porównywane nietożsame

E.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~> być podzielna przez 8
(P3~>P8) = (P3*P8 == P8) =0
P3*P8#P8
# - różne
Stąd:
(P3*P8 == P8) =0 - zbiory porównywane nietożsame

Obliczeniowa definicja implikacji prostej:
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8 zawiera się w P2
Sprawdzamy czy warunek wystarczający A wchodzi w skład definicji implikacji prostej, czyli jest jednocześnie implikacją prostą.
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)
P8|=>P2 = (P8*P2==P8)*~(P8==P2) = 1*~(0) = 1*1 =1

B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP zawiera się w SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów: TP=SK
Sprawdzamy czy warunek wystarczający B wchodzi w skład definicji implikacji prostej, czyli jest jednocześnie implikacją prostą.
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)
TP|=>SK = (TP*SK==TP)*~(TP=SK) = 1*~(1) = 1*0 =0
Wniosek:
Zdanie B na 100% nie wchodzi w skład definicji implikacji prostej, czyli nie jest jednocześnie implikacja prostą.
Wniosek:
Zdanie B musi wchodzić w skład definicji równoważności, o czym za chwilę.

Obliczeniowa definicja implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p*q==q)*~(p==q)

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2 zawiera w sobie zbiór P8
Zabieram P2 i znika mi P8

Sprawdźmy to obliczeniową definicją warunku koniecznego:
P2~>P8 = (P2*P8==P8) = (P8==P8) =1
Sprawdzamy czy warunek konieczny ~> A wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej, czyli jest jednocześnie implikacją odwrotną.

Definicja obliczeniowa implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p*q==q)*~(p==q)
P2|~>P8 = [(P2*P8==P8)*~(P2==P8)] = [(P8==P8)*~(P2==P8)] = 1*~(0) = 1*1 =1
cnd

Zdanie odwrotne do powyższego:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2
Definicja warunku koniecznego nie jest spełniona bo zbiór P8 zawiera się w zbiorze P2. Warunek konieczny ~> wymaga czegoś dokładnie odwrotnego.
Sprawdźmy czy nasza definicja warunku koniecznego sobie z tym poradzi:
P8~>P2 = (P8*P2==P2) = (P8==P2) =0
Nasza definicja działa doskonale.

C.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~> zachodzić suma kwadratów
TP~>SK
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór TP zawiera w sobie SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów: TP=SK
Zabieram TP i znika mi SK.
Sprawdzamy warunek konieczny ~>:
TP~>SK = (TP*SK==SK) = (SK==SK) =1
Sprawdzamy czy warunek konieczny C wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej, czyli jest jednocześnie implikacją odwrotną.
Definicja obliczeniowa implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p*q==q)*~(p==q)
TP|~>SK = (TP*SK==SK)*~(TP=SK) = 1*~(1) = 1*0 =0
Wniosek:
Warunek konieczny B na 100% nie wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej, czyli nie jest jednocześnie implikacja odwrotną.
cnd

Wniosek:
Warunek konieczny C musi wchodzić w skład definicji równoważności, o czym za chwilę.

Definicja obliczeniowa równoważności
p<=>q = (p*q==p)*(~p*~q==~p)

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo zbiór P8 zawiera się w P2
Sprawdzamy ten fakt definicją obliczeniową warunku wystarczającego:
P8=>P2 = [(P8*P2==P8)*~(P8==P2)] = 1*~(0) =1*1 =1

Sprawdzamy definicją obliczeniową drugi człon definicji równoważności:
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2
Korzystamy z definicji obliczeniowej warunku wystarczającego:
~P8=>~P2 = [(~P8*~P2==~P8)*~(~P8==~P2)] = 0*~(0) = 0*1 =0
bo: ~P8*~P2 # ~P8
stąd:
(~P8*~P2 ==~P8) =0
Wniosek:
Wykluczone jest aby warunek wystarczający A wchodził w skład definicji równoważności, warunek ten wchodzi w skład definicji implikacji prostej co dowiedziono wyżej.

Na podstawie A i B mamy:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(~P8=>~P2) = 1*0 =0
Wniosek:
Wykluczone jest aby warunek wystarczający P8=>P2 wchodził w skład równoważności.

C.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK = (TP*SK==TP) = (TP==TP) =1
bo: TP*SK =TP

D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK = (~TP*~SK==~TP) =(~TP==~TP) =1
bo: ~TP*~SK =~TP

Wniosek:
Oba warunki wystarczające C i D wchodzą w skład definicji równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1

Oczywiście żaden z warunków wystarczających C lub D nie wchodzi w skład implikacji, czyli nie jest implikacją

Sprawdźmy: ~TP=>~SK
Obliczeniowa definicja implikacji prostej:
p|=>q = (p*q==p)*~(p==q)
Stąd mamy:
~TP|=>~SK = [(~TP*~SK==~TP)*~(~TP==~SK)] =[(~TP==~TP)*~(~TP==~TP)] = 1*~(1) = 1*0 =0
bo: ~TP=~SK
Wniosek:
Wykluczone jest aby zdanie D wchodziło w skład definicji implikacji prostej, czyli wykluczone jest aby warunek wystarczający D był jednocześnie implikacją prostą.

2.7 Problem zbioru pustego w algebrze Kubusia

Badamy relacje zbioru pustego w warunku wystarczającym =>:
p=>q = (p*q==p)

Możliwe są tu trzy przypadki:
1.
p=[], q=niepusty
p=>q = (p*q==p) = ([]*p==[]) =([]==[]) =1
Czy zbiór pusty zawiera się => w zbiorze niepustym?
Odpowiedź: TAK
2.
p=niepusty, q=[]
p=>q = (p*q==p) = (p*[]==p) =([]==p) =0
Czy zbiór niepusty zawiera się => zbiorze pustym?
Odpowiedź: NIE
3.
p=[], q=[]
p=>q = (p*q==p) = ([]==[]) =1
Czy zbiór pusty zawiera się => w zbiorze pustym?
Odpowiedź: TAK
Każdy zbiór, łącznie ze zbiorem pustym, jest podzbiorem niewłaściwym samego siebie

Dowód dla zbioru niepustego p=q:
p=>p = (p*p==p) = (p==p) =1
cnd

Badamy relację zbioru pustego w warunku koniecznym ~>:
p~>q = (p*q==q)

Możliwe są tu trzy przypadki:
1.
p=[], q=niepusty
p~>q = (p*q==q) = ([]*q==q) = ([]==p) =0
Czy zbiór pusty zawiera w sobie ~> zbiór niepusty?
Odpowiedź: NIE
2.
p=niepusty, q=[]
p~>q = (p*q==q) = (p*[]==[]) =([]==[]) =1
Czy zbiór niepusty zawiera w sobie ~> zbiór pusty?
Odpowiedź: TAK
3.
p=[], q=[]
p~>q = (p*q==q) = ([]==[]) =1
Czy zbiór pusty zawiera w sobie ~> zbiór pusty?
Odpowiedź: TAK
Każdy zbiór, łącznie ze zbiorem pustym, jest nadzbiorem niewłaściwym samego siebie.

Dowód dla zbioru niepustego p=q:
p~>p = (p*p==p) = (p==p)=1
cnd

Podsumowanie:
1.
Zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze niepustym
2.
Dowolny zbiór jest podzbiorem niewłaściwym samego siebie
3.
Dowolny zbiór jest nadzbiorem niewłaściwym samego siebie

Zbadajmy na koniec problem zbioru pustego w równoważności:
Definicja obliczeniowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

1.
p=[], q=niepusty
p=>q = (p*q==p) = ([]*p==[]) =([]==[]) =1
q=>p = (q*p==q) = (q*[]==q) = ([]==q)=0
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*0 =0
czyli:
zbiór pusty <=> zbiór niepusty
Wynik:
=0 - ok.

2.
p=niepusty, q=[]
p=>q = (p*q==p) = (p*[]==p) =([]==p) =0
q=>p = (q*p==q) = ([]*p==[]) = ([]==[])=1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 0*1 =0
czyli:
zbiór niepusty <=> zbiór pusty
Wynik:
=0 - ok.

3.
p=[], q=[]
p=>q = (p*q==p) = ([]*[]==[]) =([]==[]) =1
q=>p = (q*p==q) = ([]*[]==[]) = ([]==[])=1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1
czyli:
zbiór pusty <=> zbiór pusty
Wynik:
=1 - ok.

mar3x

mar3x

To był raczej ślepy zaułek z mojej strony. Ja się wycofuję z postulatów.

malaavi

zefciu/konto zamknięte

malaavi

rafal3006

rafal3006

malaavi

Łał, logika boga. Wcześniej byłeś uczciwszy pisząc, że po prostu naśladujesz niewiedzę pięciolatków. Ale z tą logiką boga to już idziesz w oszołomstwo pełną parą. Twoi znajomi z reala też mają możliwość poznać AK?

rafal3006