ŚFiNiA

rafal3006

W tym wątku zamieszczam wersję AK przed ostatnią modyfikacją - ta wersja AK tez jest dobra, ale można to samo napisać lepiej - kopiuję tu starszą wersję, może komu się także spodoba?

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:18, 22 Mar 2021 Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-02-10
Pisana na żywo od początku nie dlatego że starsze wersje były złe, ale dlatego, że można to samo napisać lepiej tzn. w sposób bardziej zrozumiały dla ziemskich matematyków.

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

„Algebrę Kubusia” dedykuję moim wnukom mając nadzieję, że zdążą uczyć się logiki matematycznej z AK w I klasie LO

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.

Wstęp

Dlaczego od 15 lat zajmuję się logiką matematyczną?

1.
Jestem absolwentem elektroniki na Politechnice Warszawskiej (1980r) - specjalność automatyka.
Z racji wykształcenia techniczną algebrę Boole’a znam perfekcyjnie od czasów studiów i wiem, że złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych projektuje się w naturalnej logice matematycznej człowieka tzn. opisanej równaniami algebry Boole’a - nigdy tabelami zero-jedynkowymi!

2.
Pojęcie „Klasyczny Rachunek Zdań” usłyszałem po raz pierwszy w życiu 15 lat temu od Wuja Zbója.
Gdy usłyszałem zdania prawdziwe w KRZ to się we mnie zagotowało.
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
a) Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
b) Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
c) Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości tego zdania na gruncie KRZ jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
… i tu:
[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:23, 22 Mar 2021 Temat postu:

1.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków

Spis treści
1.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków 1
1.1 Definicje symboli 1
1.2 Operator AND(|*) 2
1.3 Operator OR(|+) 5

1.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków

W niniejszym puncie prezentuję algebrę Boole’a dla humanistów (nie matematyków), czyli zero jakichkolwiek tabel zero-jedynkowych.

Algebra Boole’a to najtrudniejsza część algebry Kubusia. Chodzi tu o matematyczną minimalizację złożonych równań algebry Boole’a które układa się i minimalizuje w projektowaniu automatów sterujących w bramkach logicznych na I roku elektroniki studiów wyższych.
Wbrew pozorom naturalnymi ekspertami także algebry Boole’a używanej w języku potocznym są wszystkie 5-cio latki, czego dowód w niniejszym punkcie.

1.1 Definicje symboli

Niezbędne definicje symboli to:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - przeczenie „NIE” z języka potocznego człowieka
Gdzie:
Prawda to brak fałszu
1 = ~(0)
Fałsz to brak prawdy
0 = ~(1)
(*) - spójnik „i”(*) z naturalnego języka potocznego
(+) - spójnik „lub”(+) z naturalnego języka potocznego

1.1.1 Prawo podwójnego przeczenia

Przykład kodowania matematycznego zdań twierdzących symbolami powiązanymi z wypowiadanym zdaniem:
1.
Jestem uczciwy
U
2.
Jestem nieuczciwy
~U - wszelkie przeczenia w zdaniach muszą być uwzględnione w kodowaniu symbolicznym zdania
3.
Nieprawdą jest ~( … ) że jestem nieuczciwy ~U

Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia:
1: Jestem uczciwy = 3: nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy ~U
1: U = 3: ~(~U)
W matematyce tego typu prawa zapisujemy przy pomocy symboli formalnych Y, p, q … nie mających związku z wypowiedzianym zdaniem (symbole aktualne np. U wyżej)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym (ogólnym):
p = ~(~p)

1.2 Operator AND(|*)

Pani wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
Gdzie:
Y - funkcja logiczna opisująca powyższe zdanie w znaczeniu:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y (= pani skłamie)

Operator AND(|*) to odpowiedź w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) na dwa pytania:
1
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
2.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Logika dodatnia (bo p) i ujemna (bo ~p)
Dowolny symbol (w tym funkcja logiczna Y) zapisany jest w logice dodatniej gdy nie ma przeczenia (~) przed symbolem, inaczej zapisany jest w logice ujemnej.

Aby odpowiedzieć na pytania które stawia przed nami definicja operatora AND(|*) musimy poznać algorytm Wuja Zbója przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) - albo odwrotnie.

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy symbole wymieniając spójniki na przeciwne tzn. „i”(*) na „lub”(+), albo odwrotnie.

Przykład:
1: Y=K*T
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację symboli i wymianę spójników:
2: ~Y = ~K+~T
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez ponowną negacje symboli i wymianę spójników:
3: ~(~Y) = ~(~K)*~(~T)
Po skorzystaniu z prawa podwójnego przeczenia:
~(~p)=p
lądujemy w równaniu 1:
1: Y=K*T

Dopiero w tym momencie jesteśmy w stanie odpowiedzieć w logice 5-cio latka, na pytania stawiane przez operator AND(|*):

Pani w przedszkolu mówi::
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy w oba miejsca, do kina (K) i do teatru (T).

2.
Kiedy pani skłamie?
Przechodzimy z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację symboli i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
2: ~Y=~K+~T
Wystarczy, że nie pójdziemy w którekolwiek miejsce i już pani skłamie (~Y)

Jak rozpisać na zdarzenie rozłączne przypadek kiedy pani skłamie (~Y)?
Wróćmy do zdania wypowiedzianego:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T =1

inaczej pani skłamie!
Tu 5-cio latki będą miały niezłą zabawę jakie jeszcze zdarzenia mogą jutro zajść z wykluczeniem:
Y=K*T

Poprawna odpowiedź to:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
~Yc =~K*~T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
~Yd = ~K*T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)

Zauważmy że funkcje cząstkowe ~Yb, ~Yc i ~Yd połączone są spójnikiem „lub”(+) z funkcją matką ~Y:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
3: ~Y = B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna <=> funkcji logicznych:
2: ~Y = ~K+~T <=> 3: ~Y = B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T

Z powyższej tożsamości logicznej wynika, że odpowiedzieć na pytanie kiedy pani skłamie (~Y) możemy dwoma tożsamymi sposobami. Obie odpowiedzi są zrozumiałe dla 5-cio latka.

Definicja tożsamości logicznej <=>:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość po drugiej stronie

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wszystkie prawdy (=1) w powyższej analizie to prawdy miękkie mogą zajść ale nie muszą, od pani przedszkolanki zależy które z możliwych czterech zdarzeń rozłącznych Y, ~Yb, ~Yc, ~Yd zajdzie jutro.
Zdarzenie ~Yb, ~Yc, ~Yd oraz Y są wzajemnie rozłącznie co oznacza, że pojutrze wyłącznie jedno z tych zdarzeń może zajść, pozostałe będą fałszem (nie zaszły)

Przykład:
Załóżmy że wczoraj zaszło zdarzenie:
~Yd = ~K*T =1 - prawdą jest (=1) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i byliśmy w teatrze (T)
Pani oczywiście skłamała bo funkcja cząstkowa jest zanegowana (~Yd)

… a co z pozostałymi zdarzeniami, jak je matematycznie opisać w czasie przeszłym?
Tak!
Y = K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K) i byliśmy w teatrze (T)
~Yb=K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie i (K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
~Yc = ~K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i nie byliśmy w teatrze (~T)

Zauważmy, że w czasie przeszłym, gdy znamy rozwiązanie mamy do czynienia z prawdą i fałszem absolutnym. Żadna logika nie ma prawa zmienić zaistniałej rzeczywistości.

…ale!
Jeśli nie znamy rozwiązania (prawdy i fałszów absolutnych) to logika matematyczna dalej świetnie działa, tyle że w stosunku do nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Stąd mamy:

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanej przyszłości - nie wiemy które z czterech możliwych zdarzeń Y, ~Yb, ~Yc, ~Yd zajdzie jutro.
albo
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Weźmy bliźniacze zdanie pani przedszkolanki:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y=~K*~T
Czytamy:
Pan dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
Y=~K*~T
2.
.. a kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z funkcja logiczną 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = K+T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
~Y=K+T
Innymi słowy:
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y).

1.3 Operator OR(|+)

Pani wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K+T
Gdzie:
Y - funkcja logiczna opisująca powyższe zdanie w znaczeniu:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y (= pani skłamie)

Operator OR(|+) to odpowiedź w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) na dwa pytania:
1
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
2.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Pani przedszkolanka mówi:
Jutro pójdziemy do kina kub do teatru
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
1: Y = K+T =1
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T =1
Innymi słowy:
Wystarczy że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa.

Co to znaczy „w dowolne miejsce” od strony czysto matematycznej?
Jak do tego podejść najprościej?

Tu na pierwszy ogień możemy sobie odpowiedzieć na pytanie 2:
2.
Kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej poprzez negację symboli i wymianę spójników:
~Y=~K*~T =1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
w pozostałych przypadkach pani dotrzyma słowa!

Te pozostałe przypadki to:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (Yb)
LUB
Yb = K*~T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
Yc = ~K*T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T=1)

Funkcje cząstkowe w logice dodatniej Ya, Yb, Yc są częścią funkcji matki w logice dodatniej Y:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
3: Y = K*T + K*~T +~K*T
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna <=> funkcji logicznych:
1: Y=K+T <=> 3: Y = K*T + K*~T +~K*T

Oznacza to, że odpowiedzieć na pytanie kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y) możemy na dwa tożsame sposoby. Oba są zrozumiałe przez 5-cio latka

Wszystkie prawdy (=1) w powyższej analizie to prawdy miękkie mogą zajść ale nie muszą, od pani przedszkolanki zależy które z możliwych czterech zdarzeń rozłącznych Ya, Yb, Yc ~Y zajdzie jutro.
Zdarzenia Ya, Yb, Yc oraz ~Y są wzajemnie rozłącznie co oznacza, że pojutrze wyłącznie jedno z tych zdarzeń może zajść, pozostałe będą fałszem (nie zaszły)

Przykład:
Załóżmy że wczoraj zaszło zdarzenie:
~Y = ~K*~T =1 - prawdą jest (=1) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
Pani oczywiście skłamała bo funkcja jest zanegowana (~Y)

… a co z pozostałymi zdarzeniami, jak je matematycznie opisać w czasie przeszłym?
Tak!
Ya = K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K) i byliśmy w teatrze (T)
Yb=K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie i (K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
Yc = ~K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i byliśmy w teatrze (T)

Zauważmy, że w czasie przeszłym, gdy znamy rozwiązanie mamy do czynienia z prawdą i fałszem absolutnym. Żadna logika nie ma prawa zmienić zaistniałej rzeczywistości.

…ale!
Jeśli nie znamy rozwiązania (prawdy i fałszów absolutnych) to logika matematyczna dalej świetnie działa, także w stosunku do nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Weźmy bliźniacze zdanie pani przedszkolanki:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Y=~K+~T
Czytamy:
Pan dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (T)
Y=~K+~T
Nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa
2.
.. a kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z funkcją logiczną 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = K*T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T)
~Y=K*T

W tym momencie kończę omówienie algebry Boole’a w wersji dla 5-cio latków.
Kluczową i najważniejszą część algebry Kubusia tzn. obsługę zdań warunkowych w algebrze Kubusia w wersji dla 5-cio latków pozostawiam ziemskim matematykom.

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:24, 22 Mar 2021 Temat postu:

2.0 Nieznana algebra Boole’a

Spis treści
2.0 Nieznana algebra Boole’a 1
2.1 Zmienna binarna i stała binarna 2
2.2 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej 4
2.3 Prawa Prosiaczka 5
2.3.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 6
2.3.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 7
2.3.2 Wyprowadzenie logiki symbolicznej 8
2.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 9
2.5 Algorytm Wuja Zbója 13
2.5.1 Prawo Małpki 14
2.5.2 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 16

2.0 Nieznana algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Dlaczego ten rozdział nosi nazwę nieznanej algebry Boole’a?

Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna pojęcia logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Klasyczna algebra Boole’a nie odróżnia definicji spójnika „i”(*) od definicji operatora logicznego AND(*) jak również nie odróżnia definicji spójnika „lub”(+) od definicji operatora OR(|+).

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

2.1 Zmienna binarna i stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
~Y=1 - pani nie (~) dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)

Wróćmy do definicji podstawowej zmiennej binarnej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło

Zapiszmy sensowny program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY.

Program dodawania:

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:26, 22 Mar 2021 Temat postu:

Spis treści
2.6 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej 1
2.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+) 3
2.6.2 Definicja operatora logicznego OR(|+) 5
2.7 Operator AND(|*) w języku potocznym w logice dodatniej 7
2.7.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) 9
2.7.2 Definicja operatora logicznego AND(|*) 12
2.8 Matematyczne związki operatora OR(|+) z operatorem AND(|*) 14
2.9 logika dodatnia i ujemna w języku potocznym 15
2.9.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym 15
2.9.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym 16
2.9.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu 17
2.10 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 19
2.10.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 19
2.10.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 20
2.10.3 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i zer 21
2.10.4 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 22
2.11 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych 22
2.12 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 24

2.6 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Matematycznie oznacza to że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd

Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą warto zapamiętać:
p+q = p*q + p*~q +~p*q

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie ABC (Y) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

2.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+)

Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
p=K
q=T

Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy
z kodowaniem zero-jedynkowym dla punktu odniesienia:
ABC: Y=p+q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0) - sprowadzenie wszystkich zmiennych binarnych do logiki dodatniej (bez przeczeń)

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:27, 22 Mar 2021 Temat postu:

3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Spis treści
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
3.1 Prawa Owcy i Owieczki 4
3.2 Podstawowe operacje na zbiorach 8
3.2.1 Suma logiczna zbiorów 9
3.2.2 Iloczyn logiczny zbiorów 10
3.2.3 Różnica (-) zbiorów 10
3.3 Dziedzina 11
3.3.1 Zaprzeczenie zbioru 12
3.3.2 Zbiór wszystkich zbiorów 12
3.3.3 Nazwa własna zbioru 13
3.3.4 Dziedzina minimalna 13
3.4 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~> 14
3.4.1 Definicja warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 15
3.4.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 15
3.4.3 Podstawowa definicja równoważności p<=>q 17
3.5 Definicja definicji 19
3.5.1 Definicyjny błąd idem per idem 21
3.5.2 Relacje w logice matematycznej 23
3.5.3 Logika świata martwego i żywego 24

3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek. ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
pies=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Zbiór wszystkich zwierząt (ZWZ) - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]=1 bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór liczb naturalnych”

ALE!
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum. Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Zauważmy, że w zbiorze pustym [] z definicji nie ma prawa być pojęcia które znajduje się w Uniwersum bo pojęcie „zbiór pusty” oznacza zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka.
Innymi słowy:
Pojęcia „zbioru pustego” leżą na zewnątrz Uniwersum, są to pojęcia jeszcze niezdefiniowane przez człowieka które w przyszłości mogą być zdefiniowane.

Co się stanie jak pojęcie nieznane dzisiaj zostanie zdefiniowane?
Odpowiedź:
Takie pojęcie automatycznie przeskoczy do Uniwersum.

Przykładem pojęcia które kilkadziesiąt lat temu przeskoczyło ze zbioru pustego do Uniwersum jest np. pojęcie Internet. Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na ziemi.

Uniwersum U i zbiór pusty [] to zbiory rozłączne, z tym że Uniwersum jest zbiorem skończonym o przeliczalnej liczbie elementów, bo chodzi tu wyłącznie o człowieka który definiuje pojęcia.
Natomiast zbiór pusty [] zawiera nieskończoną ilość elementów, bo chodzi tu o pojęcia które człowiek jeszcze nie zdefiniował a których jest nieskończenie wiele.

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja zbiorów rozłącznych:
Dwa zbiory p i q są rozłączne wtedy i tylko wtedy gdy nie mają elementu wspólnego

Podsumowanie:
Na mocy wyłożonej wyżej teorii możemy zapisać:
1.
Zbiór pusty [] jest (=1) podzbiorem => zbioru pustego []
[] => [] =1
Na mocy definicji podzbioru:
Każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego
cnd
2.
Zbiór pusty nie jest (=0) podzbiorem => Uniwersum U
[]=>U =0
Zbiór pusty [] nie ma ani jednego elementu wspólnego ze zbiorem Uniwersum U, zatem zbiory te są rozłączne.
Innymi słowy:
Nie istnieje (=0) element zbioru pustego [], który należałby do zbioru Uniwersum U
cnd

Powyższe relacje zbioru pustego [] i Uniwersum U obowiązują między dowolnymi zbiorami, inaczej matematyka jest wewnętrznie sprzeczna.
Innymi słowy:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q z założenia
Wtedy:
p~~>~q = p*~q =0 - iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym, bo zbiory p i ~q są rozłączne.
Gdzie:
~q - zbiór zewnętrzny względem zbioru q.

Na deser wisienka na torcie, czyli najbardziej zaskakujące twierdzenie w całej historii logiki matematycznej.

Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.

Problem zbioru pustego [] i Uniwersum U możemy przedstawić graficznie:

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:29, 22 Mar 2021 Temat postu:

Spis treści
3.6 Teoria zbiorów Dziedziny D, Uniwersum U i pustego [] 1
3.7 Zbiory rozłączne uzupełniające się do dziedziny 4
3.7.1 Definicja tożsamości zbiorów p=q 5
3.7.2 Spójnik „lub”(+) vs spójnik „albo”($) 6
3.8 Dziedzina matematyczna i fizyczna 10
3.8.1 Rozstrzyganie o prawdziwości zdania na mocy RDF=DDF w teorii zdarzeń 11
3.8.2 Rozstrzyganie o prawdziwości zdania na mocy RDF=DDF w teorii zbiorów 13

3.6 Teoria zbiorów Dziedziny D, Uniwersum U i pustego []

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.

Definicja dziedziny wymaga wyjaśnienia.
Dlaczego wszystko co jest poza dziedziną jest dla nas zbiorem pustym z definicji?

Rozważmy twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych przyjmując za dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
A1:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Twierdzenie to ludzkość udowodniła wieki temu.
Ten dowód oznacza iż:
Zbiór trójkątów prostokątnych jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów.
Oznacza to, że jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny to na 100% => będzie zachodziła w nim suma kwadratów.
Innymi słowy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => to tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK), bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK).
Z powyższego wynika że:
W AK zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Dla twierdzenia Pitagorasa przyjmijmy teraz dziedzinę najszerszą z możliwych Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum, to wszelkie pojęcia zrozumiałe przez człowieka

Dowód twierdzenia Pitagorasa przez iterowanie polega na tym, że bierzemy kolejne elementy ze zbioru U i na mocy definicji zawartej w poprzedniku (ZWT=TP+~TP) sprawdzamy czy wylosowany element należy do zbioru ZWT.
Jeśli nie należy to wywalmy element x w kosmos bez żadnej dalszej analizy tzn. do zbioru pustego mówiąc:
Definicja elementu x=[miłość] totalnie mnie nie interesuje bo to pojęcie jest rozłączne ze zbiorem ZWT.

W tym przypadku twierdzenie Pitagorasa przyjmuje brzmienie:
A1.
Jeśli coś jest trójkątem prostokątnym to na 100% => w tym czymś zachodzi suma kwadratów
x*TP =>SK
x=coś
Dziedzina: Uniwersum
Zapiszmy istotny tu fragment poprzednika twierdzenia Pitagorasa:
Jeśli coś jest trójkątem … (ZWT=TP+~TP)
x*T

Ze zbioru Uniwersum losujemy kolejne pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Losowanie 1
x=kwadrat
Jeśli kwadrat (KW) jest trójkątem (T) …
x*T = KW*T = [] - zbiór pusty
bo pojęcia KW i T są rozłączne
cnd
Losowanie 2
x=miłość
Jeśli miłość (M) jest trójkątem (T) …
x*TP = M*T = [] - zbiór pusty
bo pojęcia M i T są rozłączne
cnd
W twierdzeniu Pitagorasa możemy sobie za dziedzinę przyjąć Uniwersum, mamy do tego prawo, ale jak widzimy wyżej wszelkie pojęcia spoza dziedziny minimalnej ZWT wylądują w zbiorze pustym [], czyli w zbiorze zewnętrznym w stosunku do ZWP.
Wniosek:
Takie pojęcia jak:
x=[kwadrat, miłość, mydło, powidło...]
są pojęciami pustymi [] z punktu widzenia dziedziny ZWT tzn. o definicji z założenia nieznanej.
Zwrot "z założenia nieznanej" oznacza tu, że definicje tych pojęć z punktu widzenia obsługi twierdzenia Pitagorasa są dla nas zbiorem pustym z założenia (nie interesują nas).
Zauważmy, że z punktu odniesienia twierdzenia Pitagorasa pojęcia puste typu x=[kwadrat, miłość, mydło, powidło ..] są zbiorem zewnętrznym w stosunku dziedziny minimalnej ZWT.

Powyższy komentarz możemy przedstawić w prosty sposób graficznie:

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:30, 22 Mar 2021 Temat postu:

4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 3
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
4.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 7
4.4 Definicje spójników implikacyjnych 8
4.4.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 9
4.4.2 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q 11
4.4.3 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 14
4.4.4 Definicja podstawowa chaosu p|~~>q 18
4.5 Prawo śfinii 20
4.6 Prawo śfinii w przedszkolu 22
4.6.1 Prawo śfinii z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym => 23
4.6.2 Prawo śfinii z punktem odniesienia ustawionym na warunku koniecznym ~> 25
4.6.3 Istota prawa śfinii 26
4.6.4 Prawo śfinii dla zdań „Jeśli p to q” wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 28

4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Dowód tego faktu znajdziemy w punkcie 3.3

4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Funkcja logiczna p=>q = ~p+q nie jest tożsama z funkcją logiczną p~>q = p+~q
oraz nie jest zaprzeczeniem funkcji logicznej p~>q = p+~q:
B1: ~(p~>q) = ~(p+~q) = ~p*q ## A1: p=>q=~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
cnd

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:31, 22 Mar 2021 Temat postu:

5.0 Implikacja prosta p|=>q

Spis treści
5.0 Implikacja prosta p|=>q 1
5.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 1
5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 3
5.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|=>q 5
5.3 Operator implikacji prostej p||=>q 7
5.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 11
5.4 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 14
5.4.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 15
5.4.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna 16
5.4.3 Świat martwy vs „wolna wola” 18
5.4.4 Operator implikacji prostej p||=>q w zdarzeniach możliwych ~~> 18
5.4.5 Operator implikacji prostej p||=>q w elementach wspólnych zbiorów ~~> 20

5.0 Implikacja prosta p|=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Fundamentem wszystkich operatorów implikacyjnych są matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym

5.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:32, 22 Mar 2021 Temat postu:

5.5 Diagram implikacji prostej p||=>q w zbiorach

Spis treści
5.5 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach 1
5.5.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~> 3

5.5 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Zobaczmy to na przykładzie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zbiór P8=[8,16,24..] to podzbiór => zbioru wszystkich liczb parzystych P2=[2,4,6,8..], stąd prawdziwość zdania A1.
W zdaniu A1 poprzednik p mówi o zbiorze P8, zaś następnik q o zbiorze P2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór wszystkich liczb parzystych
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Stąd wyznaczamy zbiory zaprzeczone rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór wszystkich liczb nieparzystych)
Definicja dziedziny dla P8 i ~P8:
P8+~P8 =LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P8
P8*~P8=[] =0 - zbiory rozłączne
Definicja dziedziny dla P2 i ~P2:
P2+~P2=LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory rozłączne

Wnioski:
1.
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” dziedzina musi być wspólna dla p i q
2.
Dziedzina musi być szersza od sumy zbiorów p+q
Nasz przykład:
p+q = P8+P2 = P2 - bo P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przyjęta dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Jest szersza od sumy logicznej zbiorów:
P8+P2=P2=[2,4,6,8..]
zatem przyjęta dziedzina jest matematycznie poprawna.
3.
Zobaczmy co się stanie jak dla naszego zdania A1 przyjmiemy za dziedzinę zbiór tożsamy z sumą zbiorów P8+P2=P2:
D=P2=[2,4,6,8..]
Wyznaczamy zbiór ~P2:
~P2 = [D-P2] = P2-P2]=[] =0
Jak widzimy pojęcie ~P2 jest nierozpoznawalne, dlatego dla zdania A1 musimy przyjąć dziedzinę szerszą od sumy zbiorów P8+P2=P2, inaczej popełniamy błąd nierozpoznawalności analizowanego pojęcia (tu ~P2)

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:34, 22 Mar 2021 Temat postu:

5.6 Operator implikacji prostej p||=>q w zdarzeniach w przedszkolu

Niniejszą część algebry Kubusia dedykuję paniom przedszkolankom, jako podstawowy podręcznik logiki matematycznej dla 5-cio latków. Oczywiście przykłady mogą być inne, ale idea musi pozostać niezmienna, czyli mają to być przykłady zrozumiałe dla 5-cio latka.

Spis treści
5.6 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach w przedszkolu 1
5.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego P=>CH 7
5.7 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 10
5.7.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 10
5.7.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna 12
5.7.3 Świat martwy vs „wolna wola” 14
5.7.4 Operator implikacji prostej p||=>q w zdarzeniach możliwych ~~> 14
5.7.5 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach możliwych ~~> 16
5.8 Matematyczne fundamenty teorii zdarzeń dla 5-cio latków 18
5.8.1 Od teorii zdarzeń do operatora implikacji prostej P||=>CH 20
5.8.2 Czarodziejska siła definicji kontrprzykładu i praw Kubusia 21

5.6 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach w przedszkolu

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Ciekawostka:
Zauważmy, że de facto teorię zdarzeń możemy sprowadzić to teorii zbiorów.
Zauważmy bowiem że:
W zdaniu A1 po stronie poprzednika p mamy tylko jedno zdarzenie możliwe ~~>:
P~~>CH = P*CH =1 - możliwe jest zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
bo zdarzenie pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1) jest fałszem.
Natomiast po stronie następnika q mamy dwa możliwe zdarzenia:
CH~~>P = CH*P =1 - możliwe jest zdarzenie: są chmury (CH=1) i pada (P=1)
LUB
CH~~>~P =CH*~P =1 - możliwe jest zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
Stąd mamy:
A1: (P*CH) => (CH*P + CH*~P)
Iloczyn logiczny jest przemienny stąd:
A1: (P*CH) => (P*CH + ~P*CH) =1
Stąd:
Definicja warunku wystarczającego => w zdaniu A1 jest spełniona bo zdarzenie:
(P*CH)
jest podzbiorem => zdarzenia:
(P*CH + ~P*CH)
cnd

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania A1 to:
A1: p=>q =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)
A1: P=>CH =1

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> są następujące:

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:35, 22 Mar 2021 Temat postu:

5.9 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu
Spis treści
5.9 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu 1
5.9.1 Alternatywne dojście do operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 5
5.9.2 Diagram operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 11

5.9 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Każdy pies ma cztery łapy
Dokonaj analizy matematycznej tego operatora

Zdanie matematycznie tożsame brzmi:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy
Bycie psem daje nam gwarancję matematyczną => posiadania czterech łap
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Uwaga:
W logice matematycznej za psa przyjmujemy zwierzę zdrowe z czterema łapami.
Pies z trzema łapami to też pies, jednak z logiki matematycznej musimy usunąć psy kalekie bowiem wówczas warunek wystarczający A1 leży w gruzach, gdyż będzie tu istniał kontrprzykład w postaci psa z trzema łapami. Jeśli uwzględnimy psy kalekie to wylądujemy w operatorze chaosu P|~~>4L bez żadnej gwarancji matematycznej =>.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania A1 to:
A1: p=>q =1
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
A1: P=>4L =1

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek wystarczający A1: P=>4L musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1: P~>4L między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

Warunek wystarczający A1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies
Następnik q:
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

Badamy teraz czy spełniony jest warunek konieczny P~>4L=?
B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
W zapisie formalnym:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
… o czym każdy 5-cio latek wie.

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to nie są to zdania tożsame:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
##
B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Podsumowując:
W zapisie aktualnym mamy:
A1: P=>4L=~P+4L ## B1: P~>4L = P+~4L
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdanie A1: P=>4L jest częścią implikacji prostej P|=>4L.

Definicja implikacji prostej P|=>4L
Implikacja prosta P=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => do tego aby mieć cztery łapy
bo każdy pies ma cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego by mieć cztery łapy
Słoń nie jest psem a mimo to ma cztery łapy.
Stąd:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1=1

Podstawmy nasze zdania A1: P=>4L=1 i B1: P~>4L=0 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej P|=>4L.

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:37, 22 Mar 2021 Temat postu:

5.10 Operator implikacji prostej p||=>q w I klasie LO

Niniejszą część algebry Kubusia dedykuję tym nauczycielom matematyki w I klasie LO dla których ujmą na honorze byłby wykładanie logiki matematycznej na poziomie zrozumiałym dla każdego 5-cio latka co miało miejsce wyżej.
Bardzo proszę, oto algebra Kubusia niezrozumiała dla 5-cio latków … choć w przypadku przycisków sterujących żarówką nie byłbym tego taki pewien, bowiem moim zdaniem, przy odpowiednim tłumaczeniu popartym doświadczeniem dałoby się to 5-cio latkom wytłumaczyć. Szczególnie ciekawe może tu być doświadczenie z dwoma pokojami Jasia i Zuzi tłumaczące co to jest zmienna wolna w logice matematycznej.
Natomiast zbiory nieskończone typu P8, ~P8, P2, ~P2 z oczywistych względów są poza zasięgiem 5-cio latków.

Spis treści
5.10 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach dla I klasy LO 1
5.11 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach dla I klasy LO 8

5.10 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach dla I klasy LO

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:38, 22 Mar 2021 Temat postu:

6.0 Implikacja odwrotna p|~>q

Spis treści
6.0 Implikacja odwrotna p|~>q 1
6.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 1
6.2 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q 3
6.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|~>q 5
6.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 7
6.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 11
6.4 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 14
5.4.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 14
6.4.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna 16
6.4.3 Świat martwy vs „wolna wola” 18
6.4.4 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zdarzeniach możliwych ~~> 18
6.4.5 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w elementach wspólnych zbiorów ~~> 20

6.0 Implikacja odwrotna p|~>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Fundamentem wszystkich operatorów implikacyjnych są matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym

6.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:39, 22 Mar 2021 Temat postu:

6.5 Diagram implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach

Spis treści
6.5 Diagram operatora implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach 1
6.5.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q z definicji ~~> 3

6.5 Diagram operatora implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Zobaczmy to na przykładzie:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zbiór wszystkich liczb parzystych P2=[2,4,6,8..] to nadzbiór ~> zbioru P8=[8,16,24], stąd prawdziwość zdania B1.
W zdaniu B1 poprzednik p mówi o zbiorze P2, zaś następnik q o zbiorze P8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór wszystkich liczb parzystych
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Stąd wyznaczamy zbiory zaprzeczone rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór wszystkich liczb nieparzystych)
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Definicja dziedziny dla P2 i ~P2:
P2+~P2=LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory rozłączne
Definicja dziedziny dla P8 i ~P8:
P8+~P8 =LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P8
P8*~P8=[] =0 - zbiory rozłączne

Wnioski:
1.
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” dziedzina musi być wspólna dla p i q
2.
Dziedzina musi być szersza od sumy zbiorów p+q
Nasz przykład:
p+q = P2+P8 = P2 - bo P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Przyjęta dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Jest szersza od sumy logicznej zbiorów:
P2+P8=P2=[2,4,6,8..]
zatem przyjęta dziedzina jest matematycznie poprawna.
3.
Zobaczmy co się stanie jak dla naszego zdania B1 przyjmiemy za dziedzinę zbiór tożsamy z sumą zbiorów P2+P8=P2:
D=P2=[2,4,6,8..]
Wyznaczamy zbiór ~P2:
~P2 = [D-P2] = P2-P2]=[] =0
Jak widzimy pojęcie ~P2 jest nierozpoznawalne, dlatego dla zdania B1 musimy przyjąć dziedzinę szerszą od sumy zbiorów P2+P8=P2, inaczej popełniamy błąd nierozpoznawalności analizowanego pojęcia (tu ~P2)

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:41, 22 Mar 2021 Temat postu:

6.6 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zdarzeniach w przedszkolu

Niniejszą część algebry Kubusia dedykuję paniom przedszkolankom, jako podstawowy podręcznik logiki matematycznej dla 5-cio latków. Oczywiście przykłady mogą być inne, ale idea musi pozostać niezmienna, czyli mają to być przykłady zrozumiałe dla 5-cio latka.

Spis treści
6.6 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach w przedszkolu 1
6.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego CH~>P 6
6.7 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 10
6.7.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 10
6.7.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna 11
6.7.3 Świat martwy vs „wolna wola” 13
6.7.4 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zdarzeniach możliwych ~~> 14
6.7.5 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach możliwych ~~> 16
6.8 Matematyczne fundamenty teorii zdarzeń dla 5-cio latków 18
6.8.1 Od teorii zdarzeń do operatora implikacji odwrotnej CH||~>P 20
6.8.2 Czarodziejska siła definicji kontrprzykładu i praw Kubusia 21

6.6 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach w przedszkolu

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie (poziom przedszkola):
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Analiza wstępna:
1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P =CH*P =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest (=1) tu spełniona bo możliwe jest zdarzenie: są chmury (CH=1) i pada (P=1)
2.
Zbadajmy czy warunek wystarczający => jest tu spełniony
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo nie zawsze, gdy są chmury (CH=1), pada (P=1)
3.
Ostatnia możliwość jaka nam pozostała to zbadanie czy w naszym zdaniu zachodzi warunek konieczny ~>.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania prawdziwego B1 to:
B1: p~>q =1
p=CH (chmury)
q=P (pada)
B1: CH~>P =1

Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego => są tu następujące:

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:42, 22 Mar 2021 Temat postu:

6.9 Operator implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu

Spis treści
6.9 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach w przedszkolu 1
6.9.1 Alternatywne dojście do operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 5
6.9.2 Diagram operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 12

6.9 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach w przedszkolu

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Zapisz szczegółową analizę tego operatora

Rozwiązanie:

Dane jest zdanie wejściowe:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby być psem (P=1), bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2:~4L=>~P

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania B1 to:
B1: p~>q =1
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
B1: 4L~>P =1

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek konieczny B1: 4L~>P musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: 4L=>P między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

Warunek konieczny B1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Następnik q:
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

Badamy teraz czy spełniony jest warunek wystarczający A1: 4L=>P=?
A1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to na 100% => jest psem (P=1)
4L=>P =0
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego aby być psem (P=1) bo zbiór 4L=[pies, słoń..] nie jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego P=[pies].

Dopiero w tym momencie, po udowodnieniu prawdziwości zdania B1: 4L~>P=1 i fałszywości A1: 4L=>P=0 mamy rozstrzygnięcie iż oba te zdania należą do implikacji odwrotnej 4L|~>P

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Nasz przykład:
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: 4L=>P =0 - bycie zwierzęciem z czterema łapami nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
do tego by być psem, bo nie wszystkie zwierzęta mające cztery łapy, są psami
B1: 4L~>P =1 - bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego,
aby być psem (P=1), bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% =>
nie jest się psem (~P=1).
Stąd:
4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1 =1*1 =1

Podstawmy nasze zdania A1: 4L=>P=0 i B1: 4L~>P=1 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej p|~>q.

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:43, 22 Mar 2021 Temat postu:

6.10 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w I klasie LO

Niniejszą część algebry Kubusia dedykuję tym nauczycielom matematyki w I klasie LO dla których ujmą na honorze byłby wykładanie logiki matematycznej na poziomie zrozumiałym dla każdego 5-cio latka co miało miejsce wyżej.
Bardzo proszę, oto algebra Kubusia niezrozumiała dla 5-cio latków … choć w przypadku przycisków sterujących żarówką nie byłbym tego taki pewien, bowiem moim zdaniem, przy odpowiednim tłumaczeniu popartym doświadczeniem dałoby się to 5-cio latkom wytłumaczyć. Szczególnie ciekawe może tu być doświadczenie z dwoma pokojami Jasia i Zuzi tłumaczące co to jest zmienna wolna w logice matematycznej.
Natomiast zbiory nieskończone typu P8, ~P8, P2, ~P2 z oczywistych względów są poza zasięgiem 5-cio latków.

Spis treści
6.10 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach dla I klasy LO 1
6.11 Operator implikacji odwrotnej P2||=>P8 w zbiorach dla I klasy LO 8

6.10 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach dla I klasy LO

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:45, 22 Mar 2021 Temat postu:

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:46, 22 Mar 2021 Temat postu:

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:48, 22 Mar 2021 Temat postu:

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:50, 22 Mar 2021 Temat postu:

.....

rafal3006 · Wysłany: Pon 22:51, 22 Mar 2021 Temat postu:

.......