Porzucone wersje bata algebry Kubusia

ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.

FAQ

Szukaj

Użytkownicy

Grupy

Galerie

Rejestracja

Profil

Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości

Zaloguj

Porzucone wersje bata algebry Kubusia
Idź do strony Poprzedni 1, 2, 3

Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35635
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Czw 21:05, 23 Lut 2023 Temat postu:

23-02-2023
Rozdział usunięty bo powiela pkt. 9.0

12.0 Od Klasycznego Rachunku Zdań do algebry Kubusia

Spis treści
12.0 Od Klasycznego Rachunku Zdań do algebry Kubusia 1
12.1 Geneza tragedii ziemskiej logiki matematycznej 3
12.2 Algorytm przejścia od Klasycznego Rachunku Zdań do algebry Kubusia 5
12.2.1 Algorytm dojścia do algebry Kubusia 6
12.3 Wstęp do największej rewolucji w historii matematyki 8
12.3.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 8
12.3.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 9
12.3.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 9
12.3.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 9
12.4 Największa rewolucja w historii matematyki 10
12.4.1 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
12.5 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 13
12.5.1 Definicje znaczków # i ## 14
12.5.2 Prawo Grzechotnika - Armagedon rachunku zero-jedynkowego ziemian! 15
12.6 Podstawowe spójniki implikacyjne 15
12.6.1 Prawo Puchacza 17

12.0 Od Klasycznego Rachunku Zdań do algebry Kubusia

Klasyczny Rachunek Zdań to logika matematyczna znana ziemskim matematykom.

Definicja ogólna Klasycznego Rachunku Zdań:
Klasyczny Rachunek Zdań to zbiór wszystkich możliwych praw logiki matematycznej wynikających z rachunku zero-jedynkowego, operującego na 16 znanych matematykom definicjach spójników logicznych.

Definicja ogólna algebry Kubusia jest identyczna:
Algebra Kubusia to zbiór wszystkich możliwych praw logiki matematycznej wynikających z rachunku zero-jedynkowego, operującego na 16 znanych matematykom definicjach spójników logicznych.

Stąd, dla powyższych definicji mamy tożsamość:
Algebra Kubusia = Klasyczny Rachunek Zdań

Czym różni się algebra Kubusia od Klasycznego Rachunku Zdań?
Interpretacja podstawowych tabel zero-jedynkowych spójników logicznych (16 sztuk) w algebrze Kubusia jest fundamentalnie inna niż w Klasycznym Rachunku Zdań.

Dlaczego?
Dlaczego ziemscy matematycy, mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie rozszyfrowali Algebry Kubusia, której ekspertami są wszystkie 5-cio latki?

Odpowiedź:
[link widoczny dla zalogowanych]

Wkipedia napisał:

Paradygmat – w rozumieniu wprowadzonym przez filozofa Thomasa Kuhna w książce Struktura rewolucji naukowych (The Structure of Scientific Revolutions) opublikowanej w 1962 roku – to zbiór pojęć i teorii tworzących podstawy danej nauki.

Paradygmat w nauce:
W 13 rozdziałach Kuhn dowodzi, że nauka nie jest jednostajnym, kumulatywnym pozyskiwaniem wiedzy. Zamiast tego nauka jest serią spokojnych okresów przerywanych przez gwałtowne intelektualne rewolucje, po których jeden koncepcyjny światopogląd jest zamieniany przez inny.

Paradygmat a rewolucja naukowa:
W czasach nauki instytucjonalnej (określenie również wprowadzone przez Kuhna) podstawowym zadaniem naukowców jest doprowadzenie uznanej teorii i faktów do najściślejszej zgodności. W konsekwencji naukowcy mają tendencję do ignorowania odkryć badawczych, które mogą zagrażać istniejącemu paradygmatowi i spowodować rozwój nowego, konkurencyjnego paradygmatu.

Na przykład Ptolemeusz spopularyzował pogląd, że Słońce obiega Ziemię, i to przekonanie było bronione przez stulecia nawet w obliczu obalających je dowodów. Jak zaobserwował Kuhn, w trakcie rozwoju nauki „nowości wprowadzane są z trudem i z towarzyszącym mu, zgodnym z oczekiwaniami, jawnym oporem”. I tylko młodzi uczeni, nie tak głęboko indoktrynowani przez uznane teorie – jak Newton, Lavoisier lub Einstein – mogą dokonać odrzucenia starego paradygmatu.

Takie rewolucje naukowe następują tylko po długich okresach nauki instytucjonalnej, tradycyjnie ograniczonej ramami, w których musiała się ona (nauka) znajdować i zajmować się badaniami, zanim mogła te ramy zniszczyć.

Kryzysy w nauce:
Kryzysy są wyzwalane, gdy uczeni uznają odkryte sprzeczności za anomalię w dopasowaniu istniejącej teorii z naturą. Wszystkie kryzysy są rozwiązywane na trzy sposoby:
1.
Nauka instytucjonalna może udowodnić zdolność do objęcia kryzysowego problemu, i w tym przypadku wszystko wraca do „normalności”.
2.
Alternatywnie, problem pozostaje, jest zaetykietowany, natomiast postrzega się go jako wynik niemożności użycia niezbędnych przyrządów do rozwiązania go, więc uczeni pozostawiają go przyszłym pokoleniom z ich bardziej rozwiniętymi (zaawansowanymi) przyborami.
3.
W niewielu przypadkach pojawia się nowy kandydat na paradygmat, i wynika bitwa o jego uznanie będąca w istocie wojną paradygmatów.

Kuhn argumentuje, że rewolucje naukowe są nieskumulowanym epizodem rozwojowym, podczas którego starszy paradygmat jest zamieniany w całości lub po części przez niezgodny z nim paradygmat nowszy. Ale nowy paradygmat nie może być zbudowany na poprzedzającym go, a raczej może go tylko zamienić, gdyż „instytucjonalna tradycja naukowa wyłaniająca się z rewolucji naukowej jest nie tylko niezgodna, ale też nieuzgadnialna z tą, która pojawiła się przed nią”.
Rewolucja kończy się całkowitym zwycięstwem jednego z dwóch przeciwnych obozów.

Algebra Kubusia to zdecydowanie punkt 3.
Wojna o nowy paradygmat w logice matematycznej toczy się już od 17 lat (od 2006r) i pewne jest, że zakończy się pogromem starej logiki matematycznej zbudowanej na gównie wszech czasów zwanym "implikacja materialna"

Dlaczego będzie to pogrom starego KRZ?
Bo 100% definicji w algebrze Kubusia jest innych niż w aktualnym, Klasycznym Rachunku Zdań

Jeśli ziemscy matematycy zaakceptują algebrę Kubusia to zapewne wielu z nich uzna jej rozszyfrowanie za jedno z największych wydarzeń nie tylko w dziejach matematyki, ale także w dziejach ludzkości.

12.1 Geneza tragedii ziemskiej logiki matematycznej

Definicja implikacji w KRZ:
Definicję implikacji w KRZ podał Macjan, jeden z najlepszych ziemskich logików z którymi dyskutowałem.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877

macjan napisał:

Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "jeśli ... to ..." jest implikacją.

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja implikacji materialnej p=>q
p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1

Na mocy ziemskiej definicji implikacji każde zdanie ujęte w spójnik "Jeśli … to …" jest implikacją niezależnie od tego, co wpiszemy w wykropkowane miejsca.
Definicja implikacji materialnej w KRZ wynika z powyższej definicji podpiętej pod tabelę zero-jedynkową T1

Stąd mamy:
Definicja implikacji materialnej w KRZ:
Implikacja w KRZ jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy. W każdym innym przypadku implikacja w KRZ (czyli zdanie "Jeśli p to q") jest prawdziwa.

Zauważmy, że definicja implikacji materialnej wymusza znajomość z góry wartości logicznej zarówno poprzednika, jak i następnika, czyli działa na stałych binarnych.

Tymczasem każdy programista wie, że nie da się napisać najprostszego nawet programu komputerowego "działającego" na stałych binarnych.
Wszelkie programy komputerowe działają tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol którego wartość logiczna jest stała od momentu zdefiniowania do nieskończoności.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol który w osi czasu może przyjmować dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Gdzie:
1 - prawda
0 - fałsz

Spora grupa matematyków jest programistami i powinni byli zauważyć iż definicja implikacji materialnej zabija każdą logikę matematyczną - bo z definicji działa na stałych binarnych.
Pytanie retoryczne:
Dlaczego nie zauważyli?

Konsekwencje przyjęcia za fundament logiki matematycznej definicji implikacji materialnej są katastrofalne.

Dowód:
Przykładowe zdania prawdziwe w Klasycznym Rachunku zdań:
1: Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
2: Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
3: Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.

Zauważmy, że z definicji implikacja materialna działa na stałych binarnych (zabijając wszelką logikę, co widać w zdaniach wyzej), czyli wymusza znajomość z góry wartości logicznej zarówno poprzednika jak i następnika

Dowód na serio prawdziwości zdania 1 znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]

Dowód na serio prawdziwości zdania 2 znajdziemy w podręczniku matematyki do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]

Komentarz do zdania 3 znajdziemy w Delcie'2013:
[link widoczny dla zalogowanych]

Zauważmy że:
Fałszywość definicji implikacji materialnej (nie jest prawdą, że definicji się nie obala) można udowodnić w bardzo prosty sposób cytując sensowne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" na poziomie 5-cio latka.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury

Po stronie poprzednika p mamy zmienną binarną:
Jutro może padać (P) albo może nie padać (~P)
Po stronie następnika q również mamy zmienną binarną:
Jutro może być pochmurno (CH) albo może nie być pochmurno (~CH

Stąd mamy.
Prawo Pelikana:
Warunkiem koniecznym poprawnej budowy dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" jest występowania zmiennych binarnych zarówno po stronie poprzednika p jak i następnika q.
Patrz przykład A1.

Dowód iż stała binarna po stronie p albo q zbija każdą logikę jest trywialny.
Przykład:
Podstawmy pod q w zdaniu A1 stałą binarną np. "Płock leży nad Wisłą"
A1".
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => Płock leży nad Wisłą.

Głupotę użycia choćby jednej stałej binarnej w dowolnym zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" każdy 5-cio latek widzi … z wykluczeniem fanatyków Klasycznego Rachunku Zdań, gotowych oddać życie w obronie potwornie śmierdzącego gówna zwanego "implikacją materialną"

12.2 Algorytm przejścia od Klasycznego Rachunku Zdań do algebry Kubusia

Klasyczny Rachunek Zdań to logika matematyczna znana ziemskim matematykom.

Definicja ogólna Klasycznego Rachunku Zdań:
Klasyczny Rachunek Zdań to zbiór wszystkich możliwych praw logiki matematycznej wynikających z rachunku zero-jedynkowego, operującego na 16 znanych matematykom definicjach spójników logicznych.

Definicja ogólna algebry Kubusia jest identyczna:
Algebra Kubusia to zbiór wszystkich możliwych praw logiki matematycznej wynikających z rachunku zero-jedynkowego, operującego na 16 znanych matematykom definicjach spójników logicznych.

Stąd, dla powyższych definicji mamy tożsamość:
Algebra Kubusia = Klasyczny Rachunek Zdań

Czym różni się algebra Kubusia od Klasycznego Rachunku Zdań?
Interpretacja podstawowych tabel zero-jedynkowych spójników logicznych (16 sztuk) w algebrze Kubusia jest fundamentalnie inna niż w Klasycznym Rachunku Zdań.

Czy można było dojść do algebry Kubusia wieki temu?
Odpowiedź na to pytanie jest twierdząca - wystarczyło logicznie myśleć na poziomie ucznia I klasy LO

W dalszej części wykładu będziemy używali indeksowania zdań z algebry Kubusia jak w poniższej tabeli T0, co jest bez znaczenia dla algorytmu dojścia z KRZ do algebry Kubusia.

Kod:

T0
Nieznany matematykom fundament KRZ dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q

Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Z faktu że matematycy póki co nie znają dokładnej tabeli T0 (znają pewien jej fragment) nie wynika, że ona nie obowiązuje w KRZ!

12.2.1 Algorytm dojścia do algebry Kubusia

Krok 1
Fundament aktualnej logiki matematycznej podał moderator matematyki.pl.
[link widoczny dla zalogowanych]

Rogal moderator matematyki.pl napisał:

KAŻDY matematyk funkcjonuje na zasadzie
1. Twierdzenie proste "Jeśli p to q" jest prawdziwe.
2. Czy da się odwrócić?
3a) Nie da się, dajemy kontrprzykład.
3b) Da się, dowodzimy twierdzenia odwrotnego "Jeśli q to p"
Tak było, jest i będzie. Nie potrzeba matematyce niczego ponadto, co jest.

Innymi słowy:
Istotą współczesnej matematyki jest poszukiwanie równoważności p<=>q o znanej każdemu matematykowi definicji.

Krok 2
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość zarówno twierdzenia prostego A1: p=>q jak i twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
Innymi słowy:
A1: p=>q =1 - musi być prawdziwe twierdzenie proste
B3: q=>p =1 - musi być prawdziwe twierdzenie odwrotne
Stąd:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Dla ułatwienia zrozumienia dalszej części wykładu wprowadziliśmy indeksowanie z algebry Kubusia, co jest bez znaczenia.

Zauważmy, że w funkcji logicznej A1B3: p<=>q musi zachodzić:
A1: p=>q ## B3: q=>p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
To jest warunek konieczny, inaczej byśmy mieli wewnętrzną sprzeczność jakoby równoważność p<=>q była tożsama z twierdzeniem "Jeśli p to q". Co dokładnie znaczy znaczek ## dowiemy się za chwilkę.

Weźmy teraz znaną każdemu człowiekowi (nie tylko matematykowi) podstawową definicję równoważności p<=>q, najczęściej w praktyce języka potocznego wypowiadaną.

Krok 3
Podstawowa definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) to tego, aby zaszło q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, by zaszło q
Równoważność jest przemienna o czym każdy matematyk wie, stąd zdanie tożsame:
Do tego by zaszło q potrzeba (B1) i wystarcza (A1) by zaszło q

Dowód iż podstawowa definicja równoważności jest najczęściej używaną definicja w języku potocznym (nie tylko przez matematyków).
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 6630
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 11400
"Potrzeba i wystarcza"
Wyników: 1730
cnd

Na mocy kroku 2 i 3 zapisujemy tożsamość matematyczną:
Twierdzenie proste p=>q = warunek wystarczający p=>q

Przyjmijmy poniższą, zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego =>

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
Stąd mamy:
Warunek wystarczający => w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
p=>q = ~p+q

Porównajmy krok 2 z krok 3.
Krok 2
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Gdzie:
A1: p=>q ## B3: q=>p
## - różne na mocy definicji

Krok 3
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
A1: p=>q ## B1: p~>q
## - różne na mocy definicji

Porównując krok 2 i krok 3 widzimy, że musi zachodzić tożsamość logiczna w postaci prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p

Definicja tożsamości logicznej "=":
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza fałszywość drugiej strony

Podsumowując:
Znamy definicje warunku wystarczającego => wyżej zapisaną.
Stąd mamy:
B1: p~>q = B3: q=>p = ~q+p = p+~q - bo suma logiczna (+) jest przemienna
Stąd mamy definicję warunku koniecznego ~> w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
B1: p~>q = p+~q
Stąd mamy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
Stąd mamy:
Warunek konieczny ~> w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
p~>q = p+~q

W tym momencie mamy wszystko co potrzebne, by dokonać największej rewolucji w historii matematyki!

12.3 Wstęp do największej rewolucji w historii matematyki

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

12.3.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

12.3.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

12.3.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
Innymi słowy:
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo zabieram stan "chmury" i znika im możliwość "padania"

12.3.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

12.4 Największa rewolucja w historii matematyki

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

12.4.1 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+):
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
;
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika zer

Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
;
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika jedynek

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>

Kod:

Ax:
Warunek wystarczający =>:
p=>q = ~p+q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Kod:

Bx:
Warunek konieczny ~>:
p~>q = p+~q
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

12.5 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego w poprzednim punkcie mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym:

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q

Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

2.
Prawa Tygryska:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

3.
Prawa kontrapozycji:
Matematyczne związki w obrębie warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

12.5.1 Definicje znaczków # i ##

Zapiszmy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
z uwzględnieniem kolumny 6.

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Y= Y= Y= Y= Y=(p=>q)= # ~Y=~(p=>q)=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5:~p+ q # 6: p* ~q
## ## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y=(p~>q)= # ~Y=~(p~>q)=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q # 6: ~p* q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Zapiszmy powyższe definicje wyrażone funkcjami logicznymi Y i ~Y

Kod:

T0"
Funkcja logiczna Y warunku wystarczającego =>:
A5: Y=(p=>q)=~p+ q # A6: ~Y=~(p=>q)= p*~q
## ##
Funkcja logiczna Y warunku koniecznego ~>:
B5: Y=(p~>q)= p+~q # B6: ~Y=~(p~>q)=~p* q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Doskonale widać, że w tabeli T0" obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione

Dla lepszego zrozumienia znaczka ## rozważmy dwie funkcje logiczne:
A1: Y=p+q
B1: Y=~p*~q

Kod:

A1: Y= p+ q # A2: ~Y=~p*~q
## ##
B1: Y=~p*~q # B2: ~Y= p+ q

Stąd mamy.
Uproszczona definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame w tej samej logice, dodatniej (bo Y), albo ujemnej (bo ~Y)

12.5.2 Prawo Grzechotnika - Armagedon rachunku zero-jedynkowego ziemian!

Zauważmy, że jeśli pominiemy funkcje logiczne Y i ~Y to dostaniemy logikę matematyczną wewnętrznie sprzeczną, bowiem po przekątnych zachodzić będą tożsamości logiczne.

Kod:

A1: p+ q = B2: p+ q
B1:~p*~q = A2:~p*~q

Prawo Grzechotnika:
Logika matematyczna, która nie uwzględnia funkcji logicznych Y i ~Y jest wewnętrznie sprzeczna.

Wniosek:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny bo operuje wyłącznie na prawych stronach funkcji Y i ~Y.

12.6 Podstawowe spójniki implikacyjne

Kod:

Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
? - symbol spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi, w zależności od wartości logicznej A1 i B1

Z definicji spójnika implikacyjnego wynika, że możliwe są cztery podstawowe spójniki implikacyjne:

1.
Implikacja prosta p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
##
3.
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
##
4.
Chaos p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

12.6.1 Prawo Puchacza

Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego.

Dowód prawa Puchacza będzie polegał na założeniu, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika implikacyjnego x i pokazaniu iż pozostałe spójniki będą dla tego przypadku fałszem.

Dowód prawa Puchacza:

I.
Założenie p|=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*0=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(0)=0*1=0
c.n.d.

II.
Założenie p|~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(1)=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(1)=1*0=0
c.n.d.

III.
Założenie p<=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
Stąd:
A1B1: p|~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(1)=1*0=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*1=0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(1)=0*0=0
c.n.d.

IV
Założenie p|~~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu p|~~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =0
Stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(0)=0*1=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*0=1*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*0=0
ok
c.n.d.

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki I, II, III i IV pozytywnie, co kończy dowód prawa Puchacza.

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35635
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Czw 21:12, 23 Lut 2023 Temat postu:

Powielenie 9.0
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Preludium i kwintesencja największej rewolucji w dziejach matematyki

Algebra Kubusia to podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa).
Rozszyfrowanie algebry Kubusia to efekt 17-letniej dyskusji na forum filozoficznym w Polsce, to 30000 postów wyłącznie na temat logiki matematycznej.
Niniejszym publikuję kluczowy fragment "Algebry Kubusia" w nadziei, że zainteresuje ona matematyków.
Link do "Kompendium algebry Kubusia" w pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]

Spis treści
9.0 Preludium i kwintesencja algebry Kubusia 2
9.1 Od Klasycznego Rachunku Zdań do algebry Kubusia 2
9.1.1 Algorytm dojścia do algebry Kubusia 2
9.2 Kwintesencja algebry Kubusia 5
9.3 Definicje elementarnych spójników logicznych w zdarzeniach 5
9.3.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 5
9.3.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 6
9.3.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 6
9.3.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 7
9.4 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 7
9.5 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 10
9.5.1 Definicje znaczków # i ## 11
9.5.2 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 12
9.6 Prawa algebry Kubusia 12
9.6.1 Prawa Sowy 14
9.6.2 Definicja tożsamości logicznej 14
9.6.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia 14
9.6.4 Prawo Kłapouchego 14
9.6.5 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 14
9.6.6 Prawa Prosiaczka 15
9.7 Podstawowe spójniki implikacyjne 15
9.7.1 Prawo Puchacza 16
9.8 Implikacja prosta p|=>q 18
9.8.1 Operator implikacji prostej p||=>q 19
9.9 Implikacja odwrotna p|~>q 21
9.9.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 22
9.10 Równoważność p<=>q 23
9.10.1 Operator równoważności p|<=>q 24
9.11 Chaos p|~~>q 26
9.11.1 Operator chaosu p||~~>q 27

9.0 Preludium i kwintesencja algebry Kubusia

Klasyczny Rachunek Zdań to logika matematyczna znana ziemskim matematykom.

9.1 Od Klasycznego Rachunku Zdań do algebry Kubusia

Definicja ogólna Klasycznego Rachunku Zdań:
Klasyczny Rachunek Zdań to zbiór wszystkich możliwych praw logiki matematycznej wynikających z rachunku zero-jedynkowego, operującego na 16 znanych matematykom definicjach spójników logicznych.

Definicja ogólna algebry Kubusia jest identyczna:
Algebra Kubusia to zbiór wszystkich możliwych praw logiki matematycznej wynikających z rachunku zero-jedynkowego, operującego na 16 znanych matematykom definicjach spójników logicznych.

Stąd, dla powyższych definicji mamy tożsamość:
Algebra Kubusia = Klasyczny Rachunek Zdań

Czym różni się algebra Kubusia od Klasycznego Rachunku Zdań?
Interpretacja podstawowych tabel zero-jedynkowych spójników logicznych (16 sztuk) w algebrze Kubusia jest fundamentalnie inna niż w Klasycznym Rachunku Zdań.

Czy można było dojść do algebry Kubusia wieki temu?
Odpowiedź na to pytanie jest twierdząca - wystarczyło logicznie myśleć na poziomie ucznia I klasy LO
(.. po fakcie to każdy głupi jest mądry, rozszyfrowywanie AK trwało 17 lat)

Kod:

Z faktu że matematycy póki co nie znają dokładnej tabeli T0 (znają pewien jej fragment) nie wynika, że ona nie obowiązuje w KRZ!

9.1.1 Algorytm dojścia do algebry Kubusia

Krok 1
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość zarówno twierdzenia prostego A1: p=>q jak i twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
Innymi słowy:
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste "Jeśli p to q"
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne "Jeśli q to p"
Stąd:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Dla ułatwienia zrozumienia dalszej części wykładu wprowadziliśmy indeksowanie z algebry Kubusia (tabela T0), co jest bez znaczenia.

Zauważmy, że w równoważności A1B3: p<=>q musi zachodzić:
A1: p=>q ## B3: q=>p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Weźmy teraz znaną każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom) podstawową definicję równoważności p<=>q, najczęściej w praktyce języka potocznego i w matematyce wypowiadaną.

Krok 2
Podstawowa definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q
Tożsamą prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) to tego, aby zaszło q

Dowód iż jest to najczęściej używana definicja równoważności w języku potocznym:
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 6630
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 11400

Uwaga:
Definicja spójnika "p wtedy i tylko wtedy q" rodem z KRZ którą można znaleźć w Wikipedii ma zero wspólnego z warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> między p i q.

Na mocy kroku 1 i 2 zapisujemy tożsamość pojęć:
Twierdzenie proste p=>q = Warunek wystarczający p=>q

Przyjmijmy poniższą, zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego =>

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
Stąd mamy:
Warunek wystarczający => w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
p=>q = ~p+q

Porównajmy krok 1 z krok 2.
Krok 1
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Gdzie:
A1: p=>q ## B3: q=>p
## - różne na mocy definicji

Krok 2
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
A1: p=>q ## B1: p~>q
## - różne na mocy definicji

Porównując krok 1 i krok 2 widzimy, że musi zachodzić tożsamość logiczna w postaci prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Gdzie:
B3: q=>p - znane każdemu matematykowi twierdzenie odwrotne "Jeśli q to p"

Podsumowując:
Znamy definicję warunku wystarczającego A1: p=>q wyżej zapisaną.
Na mocy prawa Tygryska mamy definicję warunku koniecznego B1: p~>q między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
B1: p~>q = B3: q=>p = ~q+p = p+~q - bo przemienność (+)

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q B1: p~>q B3: q=>p
A: 1 1 =1 =1
B: 1 0 =1 =1
C: 0 0 =1 =1
D: 0 1 =0 =0
Warunek konieczny ~> w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
p~>q = p+~q

Fragment tabeli T0 znany ziemskim matematykom to:
Prawo Tygryska dla linii Ax:
A1: p=>q = A3: q~>p = ~p+q
Warunek wystarczający => w stronę A1: p=>q wymusza warunek konieczny ~> w przeciwną stronę A3: q~>p (i odwrotnie)
##
Prawo Tygryska dla linii Bx
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Warunek konieczny ~> w stronę B1: p~>q wymusza warunek wystarczający => w przeciwna stronę B3: q=>p (i odwrotnie)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tym momencie mamy wszystko co potrzebne, by dokonać największej rewolucji w historii matematyki.

9.2 Kwintesencja algebry Kubusia

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}:

W logice matematycznej rozróżniamy:
1.
Elementarne spójniki logiczne:
~~> - spójnik zdarzenia możliwego (9.3.1)
=> - warunek wystarczający (9.3.2)
~> - warunek konieczny (9.3.3)
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne definiowane spójnikami elementarnymi:
|=> - implikacja prosta (9.8)
|~> - implikacja odwrotna (9.9)
<=> - równoważność (9.10)
|~~> - chaos (9.11)
3.
Operatory implikacyjne definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi
||=> - operator implikacji prostej (9.8.1)
||~~> - operator implikacji odwrotnej (9.9.1)
|<=> - operator równoważności (9.10.1)
||~~> - operator chaosu (9.11.1)

9.3 Definicje elementarnych spójników logicznych w zdarzeniach

W kompendium algebry Kubusia ograniczamy się do teorii zdarzeń otrzymując logikę matematyczną doskonale rozumianą przez każdego 5-cio latka.
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach elementarnych (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

9.3.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

9.3.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

9.3.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
Innymi słowy:
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo zabieram stan "chmury" i znika im możliwość "padania"

9.3.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)

Uwaga na standard w AK:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego A1 oznaczany jest zawsze A1'.

9.4 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja stałej binarnej
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 0 albo 1.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W poniższych tabelach T1 do T4 w kolumnach opisujących symbole {p, q Y} nie mamy stałych wartości 1 albo 0 co oznacza, że symbole te są zmiennymi binarnymi.

Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>

Kod:

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

9.5 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego w poprzednim punkcie mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym:

Kod:

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

2.
Prawa Tygryska:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

3.
Prawa kontrapozycji:
Matematyczne związki w obrębie warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

9.5.1 Definicje znaczków # i ##

Zapiszmy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
z uwzględnieniem kolumny 6.

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Y= Y= Y= Y= Y=(p=>q)= # ~Y=~(p=>q)=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5:~p+ q # 6: p* ~q
## ## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y=(p~>q)= # ~Y=~(p~>q)=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q # 6: ~p* q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Zapiszmy powyższe definicje wyrażone funkcjami logicznymi Y i ~Y

Kod:

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Doskonale widać, że w tabeli T0" obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione

9.5.2 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego

Dla lepszego zrozumienia znaczka ## rozważmy dwie funkcje logiczne:
A1: Y=p+q
B1: Y=~p*~q

Kod:

A1: Y= p+ q # A2: ~Y=~p*~q
## ##
B1: Y=~p*~q # B2: ~Y= p+ q

Stąd mamy.
Uproszczona definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame w tej samej logice, dodatniej (bo Y), albo ujemnej (bo ~Y)

Zauważmy, że jeśli pominiemy funkcje logiczne Y i ~Y to dostaniemy logikę matematyczną wewnętrznie sprzeczną, bowiem po przekątnych zachodzić będą tożsamości logiczne.

Kod:

A1: p+ q = B2: p+ q
B1:~p*~q = A2:~p*~q

Kod:

Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"

Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>

Kod:

T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> uzupełniona o definicję kontrprzykładu
działającą wyłącznie w warunkach wystarczających =>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?

Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

9.6.1 Prawa Sowy

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

9.6.2 Definicja tożsamości logicznej

Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań

Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)

9.6.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.

9.6.4 Prawo Kłapouchego

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.

Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Uzasadnienie prawa Kłapouchego w pkt. 3.4.3
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.

9.6.5 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka (następny punkt)
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.

9.6.6 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka są niezbędne przy przejściu z definicji symbolicznej operatora implikacyjnego do tabeli zero-jedynkowej (i odwrotnie)

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

Uwaga:
Prawa Prosiaczka działają również na stałych binarnych.

9.7 Podstawowe spójniki implikacyjne

Kod:

Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
? - symbol spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi, w zależności od wartości logicznej A1 i B1

Z definicji spójnika implikacyjnego wynika, że możliwe są cztery podstawowe spójniki implikacyjne:

1.
Implikacja prosta p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
##
3.
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
##
4.
Chaos p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

9.7.1 Prawo Puchacza

Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego.

Dowód prawa Puchacza będzie polegał na założeniu, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika implikacyjnego x i pokazaniu iż pozostałe spójniki będą dla tego przypadku fałszem.

Dowód prawa Puchacza:

I.
Założenie p|=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*0=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(0)=0*1=0
c.n.d.

II.
Założenie p|~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(1)=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(1)=1*0=0
c.n.d.

III.
Założenie p<=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
Stąd:
A1B1: p|~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(1)=1*0=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*1=0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(1)=0*0=0
c.n.d.

IV
Założenie p|~~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu p|~~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =0
Stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(0)=0*1=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*0=1*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*0=0
ok
c.n.d.

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki I, II, III i IV pozytywnie, co kończy dowód prawa Puchacza.

9.8 Implikacja prosta p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1), ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Kod:

9.8.1 Operator implikacji prostej p||=>q

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
1.
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1)

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q

Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2.

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2).

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

lub

B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=1 (i odwrotnie).
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania B2'

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej A2B2: ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A1B1: p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Uwaga:
Przykład implikacji prostej P|=>CH i operatora implikacji prostej P||=>CH znajdziemy w punkcie 3.2 i 3.2.1.

9.9 Implikacja odwrotna p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).

Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Kod:

IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

9.9.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
1.
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1)

Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

lub

A1'
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Innymi słowy:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie), To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A1'

.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2.

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2).

Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie ~p, zajdzie ~q

Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Uwaga:
Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P i operatora implikacji odwrotnej CH||~>P znajdziemy w punkcie 4.2 i 4.2.1

9.10 Równoważność p<=>q

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dowód (pkt. 6.2.2)

Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa oraz definicji kontrprzykładu:

Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
tożsamość zdarzeń: | tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej

9.10.1 Operator równoważności p|<=>q

Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
1.
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q

Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.

… a jeśli zajdzie ~p?
Idziemy do kolumny A2B2.

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q

Prawdziwy warunek wystarczający B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna po stronie ~p (zdanie B2)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jak zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jak zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Uwaga:
Przykład równoważności A<=>S i operatora równoważności A|<=>S znajdziemy w punkcie 6.2 i 6.2.1

9.11 Chaos p|~~>q

Definicja chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to brak spełnienia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samym punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1), jak również nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).

Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:

Kod:

CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35635
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Wto 6:25, 09 Maj 2023 Temat postu:

Rewelacyjne uproszczenie punktu 2.0

Nowa wersja jest tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937.html#680049

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.0 Kompendium algebry Kubusia

Spis treści
2.0 Kompendium algebry Kubusia 1
2.1 Skorowidz definicji implikacyjnych algebry Kubusia 2
2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach 2
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 2
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 3
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 3
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
2.3 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach 5
2.3.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 5
2.3.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 5
2.3.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 6
2.3.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 7
2.4 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
2.5 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego 11
2.5.1 Definicje znaczków # i ## 12
2.5.2 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 13
2.6 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia 13
2.6.1 Prawa Sowy 14
2.6.2 Definicja tożsamości logicznej 15
2.6.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia 15
2.6.4 Prawo Kłapouchego 15
2.6.5 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 15
2.6.6 Prawa Prosiaczka 16
2.7 Prawo Słonia dla zdarzeń 16
2.7.1 Definicje znaczków ## i ### w teorii zdarzeń 16
2.7.2 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej 19
2.8 Prawo Słonia dla zbiorów 21
2.8.1 Definicje znaczków ## i ### w teorii zbiorów 23
2.8.2 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej 26

2.0 Kompendium algebry Kubusia

Niniejszy punkt to część teoretyczna zarówno teorii zdarzeń jak i teorii zbiorów w algebrze Kubusia.
Punkty 2.0 do 9.0 dotyczą wyłącznie teorii zdarzeń, czyli logiki matematycznej którą w praktyce rozumie każdy 5-cio latek na przykładach stosownych do jego wieku np. o chmurce i deszczu.
Punkty 10.0 do 11.0 to wyprowadzenia tabel zero-jedynkowych podstawowych spójników logicznych z języka potocznego, która może zaciekawić lubiących matematykę.
Teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej opisana w punktach 12.0 do 18.0 jest analogiczna do teorii zdarzeń, ale znacznie trudniejsza bowiem twierdzenia matematyczne operują wyłącznie na zbiorach nieskończonych. W praktyce komunikacyjnej ludzkości absolutnie nikt nie sypie twierdzeniami matematycznymi typu twierdzenie Pitagorasa, co nie znaczy, że algebra Kubusia tu nie obowiązuje.

2.1 Skorowidz definicji implikacyjnych algebry Kubusia

Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}:

W logice matematycznej rozróżniamy:
1.
Elementarne spójniki logiczne w zdarzeniach:
~~> - spójnik zdarzenia możliwego (2.2.1)
=> - warunek wystarczający (2.2.2)
~> - warunek konieczny (2.2.3)
Elementarne spójniki logiczne w zbiorach:[/b]
~~> - element wspólny zbiorów (2.3.1)
=> - warunek wystarczający tożsamy z relacją podzbioru =>(2.3.2)
~> - warunek konieczny tożsamy z relacją nadzbioru ~>(2.3.3)
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne definiowane spójnikami elementarnymi:
|=> - implikacja prosta (2.11)
|~> - implikacja odwrotna (2.12)
<=> - równoważność (2.13)
|~~> - chaos (2.14)
3.
Operatory implikacyjne definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi
||=> - operator implikacji prostej (2.11.1)
||~~> - operator implikacji odwrotnej (2.12.1)
|<=> - operator równoważności (2.13.1)
||~~> - operator chaosu (2.14.1)

2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q

2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

W zapisie formalnym mamy tu:
p=P (pada)
q=CH (chmurka)

Podsumowując:

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q =~p+q
Zapis aktualny (przykład):
A1: p=P
A1: q=CH
A1: P=>CH=~P+CH

2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.

W zapisie formalnym mamy tu:
p=CH (chmurka)
q=P (pada)

Podsumowując:

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład):
B1: p=CH
B1: q=P
B1: CH~>P=CH+~P

2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy.

Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’

2.3 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.

2.3.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)

Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24

2.3.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.

Podsumowując:

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład):
A1: p=P8
A1: q=P2
A1: P8=>P2=~P8+P2

2.3.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Podsumowując:

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład):
B1: p=P2
B1: q=P8
B1: P2~>P8=P2+~P8

2.3.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk udowodni.

Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co zrobiono wyżej.

Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’

2.4 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Rachunek zero-jedynkowy dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów jest wspólny.

Definicja stałej binarnej
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 0 albo 1.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W poniższych tabelach T1 do T4 w kolumnach opisujących symbole {p, q Y} nie mamy stałych wartości 1 albo 0 co oznacza, że symbole te są zmiennymi binarnymi.

Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+):
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
;
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika zer

Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
;
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
Szybsza jest tu logika jedynek

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q:
p - w logice dodatniej (bo p)
oraz
q - w logice dodatniej (bo q)
mają różne kolumny wynikowe Y

Wniosek:
Funkcje logiczne definiowane tabelami T1 do T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##

Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>

Kod:

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

2.5 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego

Na mocy rachunku zero-jedynkowego w poprzednim punkcie mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym:

Kod:

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

2.
Prawa Tygryska:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

3.
Prawa kontrapozycji:
Matematyczne związki w obrębie warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

2.5.1 Definicje znaczków # i ##

Zapiszmy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
z uwzględnieniem kolumny 6.

Kod:

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Doskonale widać, że w tabeli T0" obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione

2.5.2 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego

Dla lepszego zrozumienia znaczka ## rozważmy dwie funkcje logiczne:
A1: Y=p+q
B1: Y=~p*~q

Kod:

A1: Y= p+ q # A2: ~Y=~p*~q
## ##
B1: Y=~p*~q # B2: ~Y= p+ q

Stąd mamy.
Uproszczona definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame w tej samej logice, dodatniej (bo Y), albo ujemnej (bo ~Y)

Zauważmy, że jeśli pominiemy funkcje logiczne Y i ~Y to dostaniemy logikę matematyczną wewnętrznie sprzeczną, bowiem po przekątnych zachodzić będą tożsamości logiczne.

Kod:

A1: p+ q = B2: p+ q
B1:~p*~q = A2:~p*~q

Kod:

2.6.1 Prawa Sowy

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

2.6.2 Definicja tożsamości logicznej

Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań

Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)

2.6.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.

2.6.4 Prawo Kłapouchego

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt.5.4.1)
Uzasadnienie prawa Kłapouchego znajdziemy również w pkt. 3.4.3
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.

2.6.5 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka (następny punkt)
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.

2.6.6 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka są niezbędne przy przejściu z definicji symbolicznej operatora implikacyjnego do tabeli zero-jedynkowej (i odwrotnie)

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Uwaga:
Prawa Prosiaczka działają również na stałych binarnych.

2.7 Prawo Słonia dla zdarzeń

Prawa Słonia dla zdarzeń (2.7) i zbiorów (2.8) to najważniejsze prawa w logice matematycznej.

Kod:

Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

2.7.1 Definicje znaczków ## i ### w teorii zdarzeń

Zapiszmy przykłady warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zdarzeniach

A1.
Przykład spełnionego warunku wystarczającego => (punkt 2.2.2):
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)

B1.
Przykład spełnionego warunku koniecznego ~> (punkt 2.2.3):
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Umieśćmy nasze przykłady A1 i B1 w tabeli prawdy:

Kod:

T1
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
Warunek wystarczający p=>q | Warunek konieczny p~>q
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1: Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2: p=P (pada) ### p=CH (chmury)
3: q=CH (chmury) ### q=P (pada)
4: Y = A1: P=>CH =~P+CH ### Y = B1: CH~>P = B3: P=>CH =CH+~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicje zero-jedynkowe warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są następujące.

Kod:

TW
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

TK
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

Gdzie:
## - rożne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q:
p - w logice dodatniej (bo p)
oraz
q - w logice dodatniej (bo q)
mają różne kolumny wynikowe Y

Na mocy powyższej definicji relacja między warunkiem wystarczającym p=>q i koniecznym p~>q to relacja znaczka różne na mocy definicji ##.
Y = p=>q = ~p+q ## Y=p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, co łatwo sprawdzić w laboratorium bramek logicznych

Kluczowy w tabeli T1 jest komentarz:
"p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia"

Zauważmy, że w tabeli T1 powyższy warunek nie jest spełniony bo:
W warunku wystarczającym p=>q mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
natomiast w warunku koniecznym p~>q mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Dla lepszego zrozumienia istoty nietrywialnego błędu podstawienia ### zostawmy w tabeli T1 wyłącznie zmienne aktualne {P, CH} usuwając wszelkie odnośniki do zapisów formalnych {p, q}

Kod:

T1"
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
Warunek wystarczający P=>CH | Warunek konieczny CH~>P
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
4: Y = A1: P=>CH =~P+CH [=] Y = B1: CH~>P = B3: P=>CH =CH+~P

Doskonale widać, że w linii 4 w miejsce znaku różne na mocy błędu podstawienia ### (T1) musimy zapisać znak tożsamości [=] (T1") bo suma logiczna zdarzeń ~P i CH jest przemienna.
cnd

Stąd mamy:
Definicja znaczka różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ###:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach formalnych (ogólnych) są różne na mocy definicji ## (T1), zaś w zapisach aktualnych (przykład) skolerowanych z zapisem formalnym funkcje te są tożsame (T1")

2.7.2 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej

Kod:

Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego
Podstawowy spójnik implikacyjny to badanie prawdziwości/fałszywości zdań w kolumnie A1B1 dającej odpowiedź na pytanie:
A1B1: Kiedy zajdzie p?

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Zauważmy, że prawo Kłapouchego broni nas przed popełnieniem nietrywialnego błędu podstawienia ###.

Dowód dla warunku wystarczającego p=>q:

Dane jest zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zdanie A1

A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P (pada)
q= CH (chmury)

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku

B1: P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.

Nasza tabela T1 z uwzględnieniem prawa Kłapouchego wygląda tak:

Kod:

T1
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
dla spełnionego warunku wystarczającego P=>CH=1
Warunek wystarczający p=>q | Warunek konieczny p~>q
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1: Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2: p=P (pada) [=] p=P (pada)
3: q=CH (chmury) [=] q=CH (chmury)
4: A1: P=>CH=1 ## B1: P~>CH=0
P jest wystarczające => dla CH ## P nie jest (=0) konieczne ~> dla CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dowód dla warunku koniecznego p~>q:

Dane jest zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi powyższe zdanie

Rozwiązanie:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie B1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

A1: CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Nasza tabela T1 z uwzględnieniem prawa Kłapouchego wygląda tak:

Kod:

TWK
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
dla spełnionego warunku koniecznego CH~>P=1
Warunek wystarczający p=>q | Warunek konieczny p~>q
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1: Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2: p=CH (chmury) [=] p=CH (chmury)
3: q=P (pada) [=] q=P (pada)
4: CH=>P=0 ## CH~>P=1
CH nie są wystarczające => dla P ## CH są (=1) konieczne ~> dla P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Podsumowanie:
Omówiony wyżej nietrywialny błąd podstawienia ### to pięta Achillesowa aktualnej logiki matematycznej ziemskich matematyków, która tego błędu nie widzi.

2.8 Prawo Słonia dla zbiorów

Prawa Słonia dla zdarzeń (2.7) i zbiorów (2.8) to najważniejsze prawa w logice matematycznej.

Kod:

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy

Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów

Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q

Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

W logice matematycznej zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~>.

Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
##

Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład:
Zbadaj czy zachodzi warunek wystarczający => w poniższym zdaniu:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
A1: P8=>P2=?

Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny (ogólny) zdania A1 to:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=P8
q=P2

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q matematyczne twierdzenie proste =>

W metodzie "nie wprost" na mocy prawa Słonia dowodzimy prawdziwości relacji podzbioru =>.
Innymi słowy badamy:
Czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]?
Oczywiście relacja podzbioru => jest (=1) tu spełniona:
P8=>P2=1
co każdy matematyk bez trudu udowodni.

W tym momencie na mocy prawa Słonia mamy udowodnione metodą "nie wprost" dwa fakty czysto matematyczne:
1.
Twierdzenie proste A1 jest prawdziwe
A1: P8=>P2 =1
2.
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
A1: P8=>P2 =1

Podsumowując:
Z gołych definicji podzbioru => i warunku wystarczającego => nic w matematyce nie wynika, dopóki nie poznamy prawa Słonia.
Dopiero prawo Słonia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>, czy też prawdziwości samego zdania warunkowego „Jeśli p to q" ma fundamentalne znaczenie, co udowodniono ciut wyżej.

2.8.1 Definicje znaczków ## i ### w teorii zbiorów

Zapiszmy przykłady warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zbiorach.

A1.
Przykład spełnionego warunku wystarczającego => (punkt 2.3.2):
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
A1: P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2

B1.
Przykład spełnionego warunku koniecznego ~> (punkt 2.3.3):
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
B1: P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód tożsamy:
Ze zbioru P2 zabieram zbiór P8 a mimo wszystko w zbiorze wynikowym zostanie mi przynajmniej jeden element np. 2

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8

Umieśćmy nasze przykłady A1 i B1 w tabeli prawdy:

Kod:

T1
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
Warunek wystarczający p=>q | Warunek konieczny p~>q
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1: Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2: p=P8 ### p=P2
3: q=P2 ### q=P8
4: Y = A1: P8=>P2 =~P8+P2 ### Y = B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2 =P2+~P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicje zero-jedynkowe warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są następujące.

Kod:

Gdzie:
## - rożne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q:
p - w logice dodatniej (bo p)
oraz
q - w logice dodatniej (bo q)
mają różne kolumny wynikowe Y

Na mocy powyższej definicji relacja między warunkiem wystarczającym p=>q i koniecznym p~>q to relacja znaczka różne na mocy definicji ##.
Y = p=>q = ~p+q ## Y=p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, co łatwo sprawdzić w laboratorium bramek logicznych

Kluczowy w tabeli T1 jest komentarz:
"p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia"

Zauważmy, że w tabeli T1 powyższy warunek nie jest spełniony bo:
W warunku wystarczającym p=>q mamy:
p=P8
q=P2
natomiast w warunku koniecznym p~>q mamy:
p=P2
q=P8

Dla lepszego zrozumienia istoty nietrywialnego błędu podstawienia zostawmy w tabeli T1 wyłącznie zmienne aktualne {P8, P2} usuwając wszelkie odnośniki do zapisów formalnych {p, q}

Kod:

T1"
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
Warunek wystarczający P8=>P2 | Warunek konieczny P2~>P8
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
4: Y = A1: P8=>P2 =~P8+P2 [=] Y = B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2 =P2+~P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia

Doskonale widać, że w linii 4 w miejsce znaku różne na mocy błędu podstawienia ### musimy zapisać znak tożsamości [=] (T1") bo suma logiczna zbiorów ~P8+P2 jest przemienna.
cnd

Stąd mamy:
Definicja znaczka różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ###:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach formalnych (ogólnych) są różne na mocy definicji ## (T1), zaś w zapisach aktualnych (przykład) skolerowanych z zapisem formalnym funkcje te są tożsame (T1")

2.8.2 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej

Kod:

Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego
Podstawowy spójnik implikacyjny to badanie prawdziwości/fałszywości zdań w kolumnie A1B1 dającej odpowiedź na pytanie:
A1B1: Kiedy zajdzie p?

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Zauważmy, że prawo Kłapouchego broni nas przed popełnieniem nietrywialnego błędu podstawienia ###.

Dowód dla warunku wystarczającego p=>q:

Dane jest zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie A1

A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
A1: P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie A1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku

B1: P8~>P2 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Nasza tabela T1 z uwzględnieniem prawa Kłapouchego wygląda tak:

Kod:

T1
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład)
A1: P8=>P2=1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2=0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
dla spełnionego warunku wystarczającego P8=>P2=1
Warunek wystarczający p=>q | Warunek konieczny p~>q
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1: Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2: p=P8 [=] p=P8
3: q=P2 [=] q=P2
4: A1: P8=>P2=1 ## B1: P8~>P2=0
P8 jest wystarczające => dla P2 ## P8 nie jest (=0) konieczne ~> dla P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dowód dla warunku koniecznego p~>q:

Dane jest zdanie:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi powyższe zdanie

Rozwiązanie:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód tożsamy:
Ze zbioru P2 zabieram zbiór P8 a mimo wszystko w zbiorze wynikowym zostanie mi przynajmniej jeden element bp. 2

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

A1: P2=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2 nie jest podzbiorem => zbioru P8

Nasza tabela T1 z uwzględnieniem prawa Kłapouchego wygląda tak:

Kod:

TK
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
dla spełnionego warunku koniecznego P2~>P8=1
Warunek wystarczający p=>q | Warunek konieczny p~>q
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1: Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2: p=P2 [=] p=P2
3: q=P8 [=] q=P8
4: P2=>P8=0 ## P2~>P8=1
P2 nie jest wystarczające => dla P8 ## P2 jest (=1) konieczne ~> dla P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Podsumowanie:
Omówiony wyżej nietrywialny błąd podstawienia ### to pięta Achillesowa aktualnej logiki matematycznej ziemskich matematyków, która tego błędu nie widzi.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 6:27, 09 Maj 2023, w całości zmieniany 1 raz

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35635
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Wto 6:28, 09 Maj 2023 Temat postu:

Rewelacyjne uproszczenie punktu 2.9

Nowa wersja jest tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937.html#680051

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2.9 Podstawowe spójniki implikacyjne

Spis treści
2.9 Podstawowe spójniki implikacyjne 1
2.9.1 Prawo Puchacza 4
2.10 Algorytm Puchacza 6
2.11 Implikacja prosta p|=>q 7
2.11.1 Operator implikacji prostej p||=>q 8
2.12 Implikacja odwrotna p|~>q 10
2.12.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 11
2.13 Równoważność p<=>q 13
2.13.1 Operator równoważności p|<=>q 14
2.14 Chaos p|~~>q 16
2.14.1 Operator chaosu p||~~>q 18
2.15 Przykład implikacji prostej P|=>CH 19
2.15.1 Prawo Kameleona 22

2.9 Podstawowe spójniki implikacyjne

Kod:

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie o p:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
? - symbol spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi, w zależności od wartości logicznej A1 i B1

Z definicji spójnika implikacyjnego wynika, że możliwe są cztery podstawowe spójniki implikacyjne:

1.
Implikacja prosta p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
;
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p~>q = p+~q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Korzystając z definicji znaczków => i ~> mamy:
Y = (p|=>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) =~p*~p*q+q*~p*q = ~p*q+~p*q=~p*q
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
Negacja (~), nawiasy, "i"(*), "lub"(+)
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
1. ~(p+~q) = ~p*q - prawo De Morgana
2. mnożenie wielomianu
3. x*x=x - prawo algebry Boole'a

Do zapamiętania:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p|=>q) = ~p*q

##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
;
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p~>q = p+~q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Korzystając z definicji znaczków => i ~> mamy:
Y = (p|~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) =(p*~q)*p + (p*~q)*~q = p*~q+p*~q = p*~q
Kolejność wykonywania działań w algebrze Kubusia:
Negacja (~), nawiasy, "i"(*), "lub"(+)
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
1. ~(~p+q) = p*~q - prawo De Morgana
2. mnożenie wielomianu
3. x*x=x - prawo algebry Boole'a

Do zapamiętania:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = (p|~>q) = p*~q

##
3.
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
;
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q

Do zapamiętania:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q

##
4.
Chaos p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
;
Definicja chaosu w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
Chaos p|~~>q to zdanie zawsze prawdziwe przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Y = p*q+~p*q + p*~q + ~p*~q = q*(p+~p)+~q*(p+~p) = q+~q =1
Szczegóły na temat chaosu p|~~>q znajdziemy w punkcie 1.17.1

Do zapamiętania:
Definicja chaosu p|~~>q w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
Y = p*q+~p*q + p*~q + ~p*~q =1

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

2.9.1 Prawo Puchacza

Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego.

Dowód prawa Puchacza będzie polegał na założeniu, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika implikacyjnego x i pokazaniu iż pozostałe spójniki będą dla tego przypadku fałszem.

Dowód prawa Puchacza:

I.
Założenie p|=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*0=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(0)=0*1=0
c.n.d.

II.
Założenie p|~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(1)=0*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(1)=1*0=0
c.n.d.

III.
Założenie p<=>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(1)=1*0=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*1=0*1=0
4.
Chaos p|~~>q:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(1)=0*0=0
c.n.d.

IV
Założenie p|~~>q
Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu p|~~>q
Wtedy mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1

Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(0)=0*1=0
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*0=1*0=0
3.
Równoważność p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*0=0
ok
c.n.d.

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki I, II, III i IV pozytywnie, co kończy dowód prawa Puchacza.

Uwaga:
Na mocy praw Sowy prawdziwość podstawowego spójnika implikacyjnego p?q definiowanego kolumną A1B1 (pytanie o p) wymusza prawdziwość odpowiedniego operatora implikacyjnego p|?q definiowanego dwoma kolumnami A1B1 (pytanie o p) i A2B2 (pytanie o ~p), o czym za chwilkę będzie mowa.

2.10 Algorytm Puchacza

Kod:

Uwaga:
Na mocy praw Sowy prawdziwość podstawowego spójnika implikacyjnego p?q definiowanego kolumną A1B1 (pytanie o p) wymusza prawdziwość odpowiedniego operatora implikacyjnego p|?q definiowanego dwoma kolumnami A1B1 (pytanie o p) i A2B2 (pytanie o ~p), o czym za chwilkę będzie mowa.

Ogólny algorytm przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego jest następujący.

Algorytm Puchacza:
1.
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
1. p||=>q - operator implikacji prostej (2.11.1)
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.12.1)
3. p|<=>q - operator równoważności (2.13.1)
4. p|~~>q - operator chaosu (2.14.1)
5. p|$q - operator "albo"(|$) (8.2.1)
2.
Zdanie warunkowe "Jeśli p to q" przeznaczone do analizy musi być zrozumiałe dla człowieka, zaś p i q muszą być zmiennymi binarnymi, czyli symbolami których wartość logiczna nie jest znana z góry.
Innymi słowy:
Pod p i q nie wolno podstawiać stałych binarnych, czyli zdań twierdzących o wartości logicznej znanej z góry.
3.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
4.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
5.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
6.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?

Rozstrzygnięcia 5 i 6 możemy badać w odwrotnej kolejności (matematycznie to bez znaczenia), czyli:
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
5.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?

Rozwiązanie kluczowych punktów 5 i 6 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.

2.11 Implikacja prosta p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1), ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Kod:

2.11.1 Operator implikacji prostej p||=>q

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
1.
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Dowód alternatywny:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p|=>q = ~p*q (pkt. 2.9)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A2B2: p|~>q = p*~q (pkt. 2.9)
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p|=>q [=] A2B2: ~p|~>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją |~>:
A2B2: ~p|~>~q = (~p)*~(~q) = ~p*q = A1B1: p|=>q
cnd

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1)

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q

Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~>: p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2.

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2).

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

lub

Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2' (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~>: ~p i q
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=1 (i odwrotnie).
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania B2'

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej A2B2: ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A1B1: p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Uwaga:
Przykład implikacji prostej P|=>CH i operatora implikacji prostej P||=>CH znajdziemy w punkcie 3.2 i 3.2.1.

2.12 Implikacja odwrotna p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).

Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Kod:

2.12.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
1.
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Dowód alternatywny:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p|~>q = p*~q (pkt. 2.9)
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A2B2: p|=>q = ~p*q (pkt. 2.9)
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p|~>q [=] A2B2: ~p|=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją |=>:
A2B2: ~p|=>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = A1B1: p|~>q
cnd

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1)

Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

lub

Fałszywy warunek wystarczający A1: p=>q=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~>: p i ~q
Innymi słowy:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie), To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A1'

.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2.

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2).

Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie ~p, zajdzie ~q

Prawdziwy warunek wystarczający B2:~p=>~q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~>: ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Uwaga:
Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P i operatora implikacji odwrotnej CH||~>P znajdziemy w punkcie 4.2 i 4.2.1

2.13 Równoważność p<=>q

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ostatni zapis to definicja równoważności p<=>q powszechnie znana (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 6 670
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 9 710

Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dowód (pkt. 6.2.2)

Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa oraz definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>

Kod:

2.13.1 Operator równoważności p|<=>q

Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
1.
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Dowód alternatywny:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q (pkt. 2.9)
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją <=>:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q)= ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
cnd

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q

Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~>: p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.

… a jeśli zajdzie ~p?
Idziemy do kolumny A2B2.

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q

Prawdziwy warunek wystarczający B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~>: ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna po stronie ~p (zdanie B2)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jak zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jak zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Uwaga:
Przykład równoważności A<=>S i operatora równoważności A|<=>S znajdziemy w punkcie 6.2 i 6.2.1

2.14 Chaos p|~~>q

Definicja chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to brak spełnienia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samym punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1), jak również nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).

Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:

Kod:

Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1’: p~~>~q=1
Dodatkowo musi być:
A1’’: p~~>q =p*q =1
Dowód „nie wprost”.
Załóżmy, że zachodzi:
A1’’: p~~>q=p*q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
A1’’’: p=>~q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd

Identycznie mamy w kolumnie A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Dodatkowo musi być:
B2’’: ~p~~>~q =~p*~q=1
Dowód „nie wprost”
Załóżmy, że zachodzi:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
B2’’’: ~p=>q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd

2.14.1 Operator chaosu p||~~>q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1”: p~~>q = p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1” i A1’

Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p (p=1):
A1’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q

LUB

A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2” i B2’

Kolumna A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla niespełnionego p (~p=1):
B2’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> ~p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i ~q

LUB

B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q

Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Po stronie p mamy:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q (zdanie A1”) lub może ~~> zajść ~q (zdanie A1’)
Po stronie ~p mamy:
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q (zdanie B2”) lub może ~~> zajść q (zdanie B2’)

Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań A1", A1', B2", B2' jest bez znaczenia, wszystkie muszą być prawdziwe.

Uwaga:
Przykład chaosu A|~~>S i operatora chaosu A||~~>S znajdziemy w punkcie 7.2 i 7.2.1

2.15 Przykład implikacji prostej P|=>CH

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1B1: p|=>q = ~p*q (pkt. 2.6.1)

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Wypowiedzmy przykładowe zdanie A1 ze spełnionym warunkiem wystarczającym =>:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
##
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>CH bo warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami jest fałszem.
Dowód:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dowód:
A1: p=>q =~p+q ## B1: p~>q =p+~q
## - różne na mocy definicji

Alternatywnie fałszywość warunku koniecznego B1 możemy udowodnić metodą "nie wprost" korzystając z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: P~>CH = B3: CH=>P
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => B3
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Fałszywość B3 na mocy prawa Tygryska wymusza fałszywość B1
cnd
Na mocy prawa Tygryska dowód fałszywości B3 wymusza fałszywość B1 (i odwrotnie)

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1), ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Jak widzimy nasz przykład spełnia definicję implikacji prostej p|=>q

Podstawmy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd w zapisie aktualnym mamy.

Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur
Stąd mamy tu do czynienia z implikacją prostą P|=>CH:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1

Podstawmy parametry formalne {p, q} i aktualne {P, CH} do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Kod:

IP:
Implikacja prosta p|=>q:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1)
ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Nasz przykład:
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
A1: P=>CH=1 -padanie(P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur(CH)
B1: P~>CH=0 - padanie(P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur(CH)
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
Nasz przykład:
A: 1: P=>CH=1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P=1 = 4:~CH=>~P=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
Nasz przykład:
B: 1: P~>CH=0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P=0 = 4:~CH~>~P=0
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

2.15.1 Prawo Kameleona

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Przykład to zdania A1 i B1 z poprzedniego punktu.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

##

B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dowód iż to są zdania różne na mocy definicji:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q =p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Różność matematyczną ## zdań A1 i B1 rozpoznajmy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego wbudowanych w treść zdań.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 6:30, 09 Maj 2023, w całości zmieniany 2 razy

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35635
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Nie 19:27, 21 Maj 2023 Temat postu:

2023-05-21
Kolejne, zdecydowane uproszczenie przekazu algebry Kubusia

Tu jest nowa wersja:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937.html#680055

Stara wersja wyglądała tak:
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
3.0 Implikacja prosta p|=>q

Spis treści
3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach 1
3.1 Symboliczna tabela prawdy implikacji prostej p|=>q 4
3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 4
3.2 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH 6
3.2.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 10
3.3 Rozwiązywanie zadań algorytmem Puchacza 12
3.3.1 Zadania dotyczące kolumny A1B1 14
3.3.2 Zadania dotyczące kolumny A2B2 18

3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach

Kod:

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)

Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Kod:

IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1

Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Bx'.

Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.

2.
Definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
plus definicja implikacji odwrotnej A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) podana wyżej.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

Dowód tożsamy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+).

Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q (pkt.2.10)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją implikacji odwrotnej p|~>q:
A2B2: ~p|~>~q = (~p)*~(~q) = ~p*q = A1B1: p|=>q
cnd

3.1 Symboliczna tabela prawdy implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1

Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Kod:

3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q

Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2.

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=0).

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

lub

B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=1 (i odwrotnie).
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania B2'

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej A2B2: ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A1B1: p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.2 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"

Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>

Kod:

T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?

Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kod:

IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P=1
A': 1: P~~>~CH=0 [=] 4:~CH~~>P=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P=0
B': 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

Definicję implikacji prostej P|=>CH mamy w kolumnie A1B1:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1

3.2.1 Operator implikacji prostej P||=>CH

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q=(A1: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Nasz przykład:
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o padanie (P) i nie padanie (~P)
Kolumna A1B1:
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Kolumna A2B2
A2B2: ~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może być jeśli jutro nie będzie padało (~P)?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest (=1) wystarczające > dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1: P=>CH=1) , ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1: P~>CH=0)

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1': P~~>~CH=0 ( i odwrotnie).

… a jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Idziemy do kolumny A2B2.

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>~CH =1 - brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH)
B2: ~P=>~CH =0 - brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => braku chmur (~CH)
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Brak opadów jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (A1: ~P~>~CH=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by nie było pochmurno (B2: ~P=>~CH)=0)

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

lub

B2'.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH =~P*CH=1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~P=>~CH=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~P~~>CH=1 (i odwrotnie)

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna => po stronie P (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~CH to układ równań logicznych:
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli będzie padało
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

3.3 Rozwiązywanie zadań algorytmem Puchacza

Algorytm Puchacza działa zawsze i wszędzie, ale jest przydatny szczególnie wtedy gdy w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" mamy zanegowany poprzednik p lub następnik q.
Jeśli w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" mamy do czynienia z niezanegowanym p i z niezanegowanym q to algorytm Puchacza możemy zastosować, ale nie musimy, czego dowód mamy w omówionej wyżej implikacji prostej P|=>CH.

Kod:

Przykład zdania gdzie algorytm Puchacza nie jest konieczny.

Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno

Rozwiązanie:
W1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> być pochmurno (CH)
P~~>CH = P*CH =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P) i jest pochmurno (CH).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania W1 wystarczy pokazać jedno takie zdarzenie, nie analizujemy tu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => czy też koniecznym ~> dla istnienia chmur.

Na mocy algorytmu Puchacza musimy sprawdzić czy w zdaniu W1 jest spełniony/niespełniony warunek wystarczający => lub konieczny ~>

W tym przypadku łatwo udowodnić zachodzący warunek wystarczający A1.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
Oczywistym jest, że zdanie wypowiedziane W1 jest częścią warunku wystarczającego => A1: P=>CH, jest pojedynczym iterowaniem warunku wystarczającego => A1.
Na mocy definicji zachodzi:

Kod:

Pojedyńcze zdarzenie ~~> W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: P~~>CH=P*CH =1 ## A1: P=>CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora logicznego wchodzi udowodniony warunek wystarczający => A1 wystarczy teraz udowodnić prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1 między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
Padanie (P) nie jest konieczne ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd

Po raz n-ty wyskoczyło nam prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie musza być matematycznie tożsame.

Przykład:
Zdania A1 i B1 wyżej.
Matematycznie zachodzi:
A1: p=>q =~p+q ## B1: p~>q =p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Wniosek:
Zdania A1 i B1 lokalizują nas w implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>CH mamy w punkcie 3.2.1

Rozwiązanie zadania W1
W1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> być pochmurno (CH)
P~~>CH = P*CH =1
Zdanie wypowiedziane W1 jest podzbiorem (pojedynczym iterowaniem) warunku wystarczającego A1: P=>CH, czyli jest częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
Wszystkie zdania z analizy wyżej są częścią operatora implikacji prostej P||=>CH:
W1, A1, B1
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>CH mamy w punkcie 3.2.1
Na mocy prawa Puchacza zdania wchodzące w skład operatora implikacji prostej P||=>CH nie mogą należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może nie być pochmurno (~CH)

Mamy tu zanegowany następnik q, więc wygodnie jest zastosować algorytm Puchacza.
Algorytm Puchacza:
1.
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
2.
Wspólna dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszelkich zdarzeń z udziałem P (pada) i CH (chmury) bez analizy prawdziwości tych zdarzeń.
Dm = A: P*CH + B: P*~CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Dziedzina fizyczna D, czyli zbiór zdarzeń możliwych które mogą zajść, wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej badanego zdania W2.
3.
Sprawdzamy niepustość wszystkich pojęć p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej
p = P( pada) =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie P (pada)
q = CH (chmury)=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie CH (są chmury)
~p = ~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada ~P
~q= ~CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie ma chmur ~CH
4.
Spełnione są warunki konieczne działania algorytmu Puchacza (punkty 1,2,3), zatem idziemy do punktu 5.
5.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
Nasz przykład:
p= P(pada)
q= CH(chmury)
Stąd mamy:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
6.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 5 i 6 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Nasz przykład:
p= P(pada)
q= CH(chmury)
Stąd mamy:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.

Jeśli ktoś nie rozumie tego dowodu to może skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: P~>CH = B3: CH=>P
Wypowiedzmy zdanie B3.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy jest pochmuro, pada.
cnd
Na mocy prawa Tygryska fałszywość warunku wystarczającego B3: CH=>P=0 wymusza fałszywość warunku koniecznego B1: CH~>P=0 (i odwrotnie)
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B1.

Zdania A1 i B1 lokalizują nas w implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>CH mamy w punkcie 3.2.1

Rozwiązanie zadania W2
Z analizy w punkcie 3.2.1 widzimy że:
W2=A1'.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Fałszywe zdanie wypowiedziane W2=A1': P~~>~CH=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: P=>CH=1.
Szczegółową analizę operatora P||=>CH mamy w punkcie 3.2.1
Na mocy prawa Puchacza zdania wchodzące w skład operatora P||=>CH nie mogą należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

3.3.2 Zadania dotyczące kolumny A2B2

Kod:

Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane W3.
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno

Rozwiązanie przy pomocy algorytmu Puchacza:
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może nie być pochmurno (~CH)
~P~~>~CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P) i nie jest pochmurno (~CH)

Mamy tu zanegowany poprzednik p i następnik q, więc wygodnie jest zastosować algorytm Puchacza.
Algorytm Puchacza:
1.
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
2.
Wspólna dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszelkich zdarzeń z udziałem P (pada) i CH (chmury) bez analizy prawdziwości tych zdarzeń.
Dm = A: P*CH + B: P*~CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Dziedzina fizyczna D, czyli zbiór zdarzeń możliwych które mogą zajść, wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej badanego zdania W2.
3.
Sprawdzamy niepustość wszystkich pojęć p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej
p = P( pada) =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie P (pada)
q = CH (chmury)=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie CH (są chmury)
~p = ~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada ~P
~q= ~CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie ma chmur ~CH
4.
Spełnione są warunki konieczne działania algorytmu Puchacza (punkty 1,2,3), zatem idziemy do punktu 5.
5.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
Nasz przykład:
p= P(pada)
q= CH(chmury)
Stąd mamy:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
6.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 5 i 6 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Nasz przykład:
p= P(pada)
q= CH(chmury)
Stąd mamy:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.

Jeśli ktoś nie rozumie tego dowodu to może skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: P~>CH = B3: CH=>P
Wypowiedzmy zdanie B3.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy jest pochmuro, pada.
cnd
Na mocy prawa Tygryska fałszywość warunku wystarczającego B3: CH=>P=0 wymusza fałszywość warunku koniecznego B1: CH~>P=0 (i odwrotnie)
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B1.

Zdania A1 i B1 lokalizują nas w implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>CH mamy w punkcie 3.2.1

Rozwiązanie zadania W3
Z analizy w punkcie 3.2.1 widzimy że:
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
~P~~>~CH = ~P*~CH =1
Zdanie wypowiedziane W3 jest częścią warunku koniecznego A2:~P~>~CH=1 (pojedynczym iterowaniem), który wchodzi w skład operatora implikacji prostej P||=>CH.
Szczegółową analizę operatora P||=>CH mamy w punkcie 3.2.1
Na mocy prawa Puchacza zdania wchodzące w skład operatora P||=>CH nie mogą należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno

Mamy tu zanegowany poprzednik p, więc wygodnie jest zastosować algorytm Puchacza.
Algorytm Puchacza:
1.
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
2.
Wspólna dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszelkich zdarzeń z udziałem P (pada) i CH (chmury) bez analizy prawdziwości tych zdarzeń.
Dm = A: P*CH + B: P*~CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Dziedzina fizyczna D, czyli zbiór zdarzeń możliwych które mogą zajść, wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej badanego zdania W2.
3.
Sprawdzamy niepustość wszystkich pojęć p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej
p = P( pada) =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie P (pada)
q = CH (chmury)=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie CH (są chmury)
~p = ~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada ~P
~q= ~CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie ma chmur ~CH
4.
Spełnione są warunki konieczne działania algorytmu Puchacza (punkty 1,2,3), zatem idziemy do punktu 5.
5.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
Nasz przykład:
p= P(pada)
q= CH(chmury)
Stąd mamy:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
6.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 5 i 6 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Nasz przykład:
p= P(pada)
q= CH(chmury)
Stąd mamy:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.

Jeśli ktoś nie rozumie tego dowodu to może skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: P~>CH = B3: CH=>P
Wypowiedzmy zdanie B3.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy jest pochmuro, pada.
cnd
Na mocy prawa Tygryska fałszywość warunku wystarczającego B3: CH=>P=0 wymusza fałszywość warunku koniecznego B1: CH~>P=0 (i odwrotnie)
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B1.

Zdania A1 i B1 lokalizują nas w implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>CH mamy w punkcie 3.2.1

Rozwiązanie zadania W4
Z analizy w punkcie 3.2.1 widzimy że:
W4=B2':
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Zdanie wypowiedziane W4=B2' jest prawdziwym kontrprzykładem B2' dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P=>~CH=0
Zdanie wypowiedziane W4 jest częścią operatora implikacji prostej P||=>CH.
Szczegółową analizę operatora P||=>CH mamy w punkcie 3.2.1
Na mocy prawa Puchacza zdania wchodzące w skład operatora P||=>CH nie mogą należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35635
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Czw 20:41, 25 Kwi 2024 Temat postu:

2024-04-25 Powod: Prawo Pytona to mutacja prawa Grzechotnika

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
28.11 Matematyczny dowód wewnętrznej sprzeczności algebry Boole’a

Spis treści
28.0 Wstęp do dowodu wewnętrznej sprzeczności algebry Boole’a 2
28.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 3
28.1.1 Definicja negacji 3
28.2 Prawa Prosiaczka 5
28.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 6
28.3 Fundamenty algebry Boole'a 7
28.3.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 7
28.3.2 Prawa De Morgana 9
28.4 Definicja funkcji logicznej Y=f(x) definiowanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 10
28.5 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x 10
28.5.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x 11
28.5.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych 11
28.5.3 Prawo Puchacza dla operatorów jednoargumentowych 12
28.6 Definicja funkcji transmisji Y=p w logice dodatniej (bo Y) 13
28.6.1 Definicja operatora transmisji Y|=p 13
28.7 Definicja funkcji negacji Y=~p w logice dodatniej (bo Y) 14
28.7.1 Definicja operatora negacji Y|=~p 14
28.8 Relacja matematyczna między funkcjami Y=p oraz Y=~p 15
28.8.1 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p 15
28.8.2 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych 18
28.8.3 Prawo Sokoła 18
28.9 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 19
28.10 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka 19
28.10.1 Teoria operatora transmisji Y|=p i negacji Y|=~p 19
28.10.2 Przedszkole operatora transmisji Y|=K i negacji Y|=~K 20
28.10.3 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola 21
28.10.4 Prawo Sokoła 22
28.11 Matematyczny dowód wewnętrznej sprzeczności algebry Boole’a 22
28.11.1 Lekcja matematyki klasycznej w I klasie LO 22
28.11.2 Lekcja logiki matematycznej w I klasie LO 23
28.11.3 Dowód błędu czysto matematycznego fanatyka KRZ 23
28.11.4 Smutna definicja fanatyka KRZ 25

28.0 Wstęp do dowodu wewnętrznej sprzeczności algebry Boole’a

Prawo Pytona:
Ziemska algebra Boole’a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie elementarnym.

Niniejszy rozdział to początkowy fragment algebry Kubusia ukierunkowany na dowód iż wszystkie ziemskie logiki matematyczne (KRZ, modalna, intuicjonistyczna, relewantna etc) zbudowane są na fundamencie z piasku - algebrze Boole’a która jest wewnętrznie sprzeczna, czego dowód poznamy za chwilkę w punkcie 28.11.

To jest bez wątpienia najważniejszy rozdział w algebrze Kubusia.

Dlaczego?
W we wstępie do algebry Kubusia napisane jest, że 100% definicji jest tu innych niż w jakiejkolwiek logice matematycznej ziemskich matematyków - dla wielu matematyków będzie to pierwsze i ostatnie zdanie jakie przeczyta w temacie algebry Kubusia.
Algebra Kubusia to rewolucja w logice matematycznej. Istotą każdej rewolucji jest zburzenie starego porządku (tu matematycznego) by na gruzach mogła zakwitnąć nowa idea, algebra Kubusia.

Czym jest algebra Kubusia od strony czysto matematycznej?
Algebra Kubusia to jedyna logika matematyczna w naszym Wszechświecie znająca poprawną interpretację wszystkich 16 zero-jedynkowych spójników logicznych (pkt. 1.16)
Tabela wszystkich 16 zero-jedynkowych spójników logicznych znana jest ziemskim matematykom, ale jej interpretacja we współczesnej logice matematycznej jest błędna.

Na początek przypomnijmy nową algebrę Boole’a opisaną w punkcie 1.0

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 28.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 28.11)

28.1 Definicje elementarne algebry Boole'a

1 = prawda
0 = fałsz

Gdzie:
1##0
Prawda (1) jest różna na mocy definicji ## od fałszu (0)

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Innymi słowy:
Prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
Fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Pani w przedszkolu:
Pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe
Pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y - stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

28.1.1 Definicja negacji

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.

Kod:

DN
Definicja negacji:
p # ~p
A: 1 # 0
B: 0 # 1
1 2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Dowodem jest tu definicja negacji DN.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)

Stąd mamy:
Definicja osi czasu w logice matematycznej
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zero-jedynkowa zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.

W logice matematycznej odpowiednikiem układu Kartezjańskiego są wykresy czasowe.
Dowód na przykładzie (strona 5):

Kod:

https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn54ls193-sp.pdf

W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwustronnego negatora (~).

Kod:

Definicja znaczka różne # w bramkach logicznych
-----
p --x-------->| ~ |o-x--> ~p
| ----- |
| |
| p=~(~p) ----- |
-<-------o| ~ |<-x--- ~p
-----
Gdzie:
"o"(~) - symbole negacji
--->| - wejście bramki logicznej negatora (~)
|o--> - wyjście bramki logicznej negatora (~)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN7406. Wyjście OC musi być podparte rezystorem do Vcc.

W świecie rzeczywistym podajemy sygnały cyfrowe {0,1} na wejściu negatora obserwując co jest na jego wyjściu. Wszystko musi być zgodne z definicją DN.

Matematyczne związki między p i ~p:
a)
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p#~p
b)
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
c)
Prawo zaprzeczenia logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym:

Kod:

Matematyczne związki w definicji negacji:
p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1 0 1 0
B: 0 1 0 1
1 2 3 4

Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa negacji logiki dodatniej (bo p):
~p=~(p)

28.2 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=0) = (~p=1)

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że negując dwustronnie I prawo Prosiaczka dalej będziemy w I prawie Prosiaczka bez możliwości przejścia do II prawa Prosiaczka, stąd znak różne na mocy definicji ##

Dowód:
I prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Negujemy dwustronnie:
(~p=0)=(p=1) - dalej jesteśmy w I prawie Prosiaczka, bez możliwości dojścia do II prawa Prosiaczka

##

Identycznie będziemy mieli w II prawie Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Negujemy dwustronnie:
(~p=1)=(p=0) - dalej jesteśmy w II prawie Prosiaczka, bez możliwości dojścia do I prawa Prosiaczka

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Znaczek różne na mocy definicji ## to brak matematycznych powiązań między prawą i lewą stroną znaczka ##

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej.

Uwaga:
Prawa Prosiaczka mają swoją precyzyjną definicję zero-jedynkową w tabeli wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych (pkt. 28.5.2)
Linie A3B3 i A4B4 w tej tabeli to bezcenne zero-jedynkowe definicje prawa Prosiaczka, czego dowód mamy wyżej.

28.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy żarówkę istniejącą w naszym pokoju

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z językiem potocznym człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
A.
S - żarówka świeci
Co w logice jedynek oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

##

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
B.
~S - żarówka nie świeci
Co w logice jedynek oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Innymi słowy:
Pojęcie "żarówka świeci" (S=1) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia "żarówka nie świeci" (~S=1)

28.3 Fundamenty algebry Boole'a

Kluczowe znaczki algebry Boole’a to definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
p* q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
p+ q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0

Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

28.3.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a f(x) w osi czasu.

W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y.
Przykład:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(x)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a
Tu zamiast x możemy wyliczyć wszystkie zmienne binarne w logice dodatniej (to wystarczy) tworzące funkcję logiczną, ale nie jest to konieczne.
f(p, q) = p*q + ~p*~q - funkcja logiczna dwóch zmiennych binarnych p i q
Stąd na mocy definicji funkcji logicznej mamy:
Y = f(p, q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q

W szczególnym przypadku funkcja logiczna Y może być stałą binarną, gdy w kolumnie opisującej symbol Y są same jedynki albo same zera.

Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D oraz zbiory p i ~p są rozłączne.
Czyli:
Y = p+~p =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)
Y = p*~p =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)
W algebrze Kubusia zdanie zawsze prawdziwe (Y=1) oraz zdanie zawsze fałszywe (Y=0) to bezużyteczne śmieci zarówno w matematyce, jak i w języku potocznym
Dowód na przykładzie.

Rozważmy dwa zbiory:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych (TP)
~TP - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP)
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów

Definicja dziedziny w zbiorach:
Zbiór ~TP jest uzupełnieniem zbioru TP do wspólnej dziedziny ZWT oraz zbiory TP i ~TP są rozłączne w dziedzinie ZWT.

Czyli:
Twierdzenie T1:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) lub nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP+~TP =ZWT =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna)

Twierdzenie T2:
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) i nie jest prostokątny (~TP)
Y = TP*~TP =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna)

Wartość matematyczna twierdzeń T1 i T2 jest zerowa (śmieci).

Analogia do programowania:
Nie da się napisać najprostszego nawet programu dysponując wyłącznie stałymi binarnymi, o z góry wiadomej wartości logicznej.

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach binarnych {p,q,r..} i tylko jednym wyjściu binarnym Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r … - wejścia bramki logicznej
Y - wyjście bramki logicznej

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q

28.3.2 Prawa De Morgana

Prawa De Morgana to jedne z najważniejszych praw logiki matematycznej.

Prawa De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
##
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice (tu Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame.

Jak widzimy, w zaprezentowanych wyżej prawach De Morgana definicja znaczka różne na mocy definicji jest spełniona.

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną można dwustronnie zanegować.

Zastosujmy to prawo do powyższych definicji prawa De Morgana.

Prawa De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
#
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
##
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
#
~Y = ~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Prawo podwójnego przeczenia z którego skorzystaliśmy to:
p=~(~p)

Zauważmy, że prawa De Morgana nie zmieniają logiki matematycznej, zatem obowiązują niezależnie od tego, czy jesteśmy w logice dodatniej (bo Y), czy też w ujemnej (bo ~Y)

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)

Dowód na przykładzie:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
Prawo De Morgana:
(K+T)=~(~K*~T)
Stąd zdanie matematycznie tożsame do zdania 1
1”
Nie może się zdarzyć ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y = ~K*~T

28.4 Definicja funkcji logicznej Y=f(x) definiowanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)

Definicja funkcji logicznej Y=f(x):
Funkcja logiczna Y=f(x) to odpowiedź na pytanie o Y
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=f(x) - zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie f(x)

28.5 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x

Prawo Lwa:
Warunkiem koniecznym zrozumienia logiki matematycznej jest jej znajomość na poziomie funkcji logicznych jednoargumentowych.

W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej x
Y =x
Gdzie:
x = {p, ~p, 1, 0}

Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x
Funkcja logiczna jednoargumentowa Y=x to odpowiedź na pytanie o Y.

Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=x
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie x
Gdzie:
x = {p, ~p, 1, 0}

Wszystkie możliwe funkcje jednoargumentowe to:
Y=p - transmisja, na wyjściu Y mamy zawsze niezanegowany sygnał p
Y=~p - negacja, na wyjściu Y mamy zawsze zanegowany sygnał p (~p)
Y=1 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 1
Y=0 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 0

Zdanie zawsze prawdziwe (Y=1) i zdanie zawsze fałszywe (Y=0) to matematyczne śmieci co udowodniono w pkt. 28.3.1, dlatego te przypadki mało nas interesują.

28.5.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x

Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x:
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=x to układ równań logicznych Y=x i ~Y=~x dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y

Kiedy zajdzie Y?
A1.
Y=x
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie x
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie jednoargumentową funkcję logiczną A1.
B1.
~Y = ~x
Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~x
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

28.5.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych

Zapiszmy wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe w tabeli prawdy

Kod:

TWJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Doskonale widać, że w tabeli TWJ definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Linie A3B3 i A4B4 to bezcenne zero-jedynkowe definicje prawa Prosiaczka, czego dowód znajdziemy w punkcie 28.2.
Znaczenie alternatywne:
Linie A3B3 i A4B4 to stałe binarne, w logice matematycznej totalnie bezużyteczne czego dowód mieliśmy w punkcie 28.3.1.
Z powyższego powodu zajmiemy się wyłącznie liniami A1B1 i A2B2.

28.5.3 Prawo Puchacza dla operatorów jednoargumentowych

Usuńmy z tabeli prawdy wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych dwie ostatnie linie, jako bezużyteczne w komunikacji człowieka z człowiekiem.

Kod:

TWJP
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
używanych w języku potocznym
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Prawo Puchacza dla operatorów jednoargumentowych:
Dowolne zdanie z języka potocznego człowieka należące o operatora transmisji Y|=p nie ma prawa należeć do operatora negacji Y|=~p i odwrotnie.

Prawo Puchacza wynika tu bezpośrednio z definicji znaczka różne na mocy definicji ##
cnd

Wnioski:
1.
Dowolny człowiek mówiący, że zdanie x należące do operatora transmisji Y|=p może jednocześnie należeć do operatora negacji Y|=~p jest idiotą.
2.
Dowolny człowiek mówiący, że zdanie x należące do operatora negacji Y|=~p może jednocześnie należeć do operatora transmisji Y|=p jest idiotą.

28.6 Definicja funkcji transmisji Y=p w logice dodatniej (bo Y)

Definicja transmitera:
Transmiter to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany zawsze niezanegowany sygnał p (Y=p)

Realizacja rzeczywista:
SN7407 (Strona 1: Y=p)

Kod:

https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn7407.pdf

Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna transmitera Y=p w logice dodatniej (bo Y) to funkcja definiowana tabelą prawdy:

Kod:

FT
Funkcja transmisji Y=p
Wejście |Wyjście
| A1:
p # ~p | Y=p
1 # 0 | 1
0 # 1 | 0
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Na wyjściu Y mamy tu zawsze niezanegowany sygnał p (Y=p)

28.6.1 Definicja operatora transmisji Y|=p

Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych Y=p i ~Y=~p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:

Kod:

Zamknięty świat oznacza tu, że żadne zdanie z operatora negacji Y|=~p tzn. A2 albo B2 nie ma prawa znaleźć się w operatorze transmisji Y|=p

Doskonale tu widać że:
A1:
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A1.
B1:
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

28.7 Definicja funkcji negacji Y=~p w logice dodatniej (bo Y)

Definicja negatora:
Negator to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze zanegowany sygnał p (Y=~p)

Realizacja rzeczywista:
SN7406 (strona 2: Y=~p)

Kod:

https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn7406.pdf

Definicja matematyczna:
Funkcja logiczna negatora Y=~p to funkcja definiowana tabelą prawdy:

Kod:

FN
Funkcja negatora Y=~p
Wejście |Wyjście
| A2:
p # ~p | Y=~p
1 # 0 | 0
0 # 1 | 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Na wyjściu Y mamy tu zawsze zanegowany sygnał p (~p)

28.7.1 Definicja operatora negacji Y|=~p

Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych Y=~p i ~Y=p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:

Kod:

Zamknięty świat oznacza tu, że żadne zdanie z operatora transmisji Y|=p tzn. A1 albo B1 nie ma prawa znaleźć się w operatorze negacji Y|=~p

Doskonale tu widać że:
A2:
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
#
… kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie A2.
B2:
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1

28.8 Relacja matematyczna między funkcjami Y=p oraz Y=~p

Matematycznie zachodzi:
A1: Y=p ## A2: Y=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dowód:

Kod:

Definicja znaczka rożne na mocy definicji ## dla funkcji jednoargumentowej:
Dwie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściu p mają różne kolumny wynikowe Y.

28.8.1 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p

Kod:

Kod:

Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że jeśli pominiemy nagłówki albo uwzględnimy wyłącznie prawe strony funkcji logicznych Y i ~Y to kolumna A1 będzie tożsama z kolumną B2.

Jeśli uwzględnimy nagłówki to relacja kolumn A1 i B2 nie będzie tożsamościowa mimo że zero-jedynkowo kolumny te są identyczne.
A1: Y=p ## B2: ~Y=p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zapiszmy tabele OT i ON w symbolicznej tabeli prawdy:

Kod:

OTON:
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
A2: Y=~p # B2: ~Y= p

Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

W tabeli OTON widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Doskonale też widać, że wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##

Komentarz do znaczków # i ##

1.

Kod:

OTON:
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p

Dowolną funkcję logiczną, w naszym przypadku jednoargumentową, wolno nam dwustronnie zanegować
Stąd mamy:
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

2.

Kod:

OTON:
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
A2: Y=~p # B2: ~Y= p

W tabeli OTON między liniami A1B1 oraz A2B2 obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Sprawdzenie:
A1B1:
Weźmy dowolną funkcję logiczną z linii A1B1 np.:
A1: Y=p
##
A2B2:
Weźmy dowolną funkcję logiczną z linii A2B2 np.:
B2: ~Y=p

Zadajmy sobie teraz dwa banalne pytania:
a)
Czy funkcja logiczna A1: Y=p jest tożsama z funkcją logiczną B2: ~Y=p?
Nie jest.
Dowód:
Aby porównywać dwie funkcje logiczne musimy je sprowadzić do tej samej logiki dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y)
Zanegujmy funkcję logiczną A1: Y=p sprowadzając ją do logiki ujemnej (bo ~Y):
A1”: ~Y=~p ## B2: ~Y=p
Definicję znaczka różne na mocy definicji ## widać tu jak na dłoni.
b)
Czy funkcja logiczna A1: Y=p jest negacją funkcji logicznej B2: ~Y=p?
Nie jest.
Dowód:
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną B2 sprowadzając ją do tej samej logiki dodatniej (bo Y):
A1: Y=p ## B2”: Y=~p
Definicję znaczka różne na mocy definicji ## widać tu jak na dłoni.

Stąd:
Poprawność definicji znaczka ## została sprawdzona

28.8.2 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.

Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.

Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli OTON

Kod:

OTON":
A1: p # B1: ~p
A2: ~p # B2: p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tabeli OTON" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli OTON” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.

28.8.3 Prawo Sokoła

Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.

Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie niesprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

28.9 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka (pkt. 28.2)

Przykład konsekwentnego stosowania standardu dodatniego w języku potocznym mamy w następnym punkcie.

28.10 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka

Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

W niniejszym punkcie zajmiemy się dowodem prawa Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych Y=p i Y=~p na konkretnym przykładzie, doskonale rozumianym przez każdego 5-cio latka.

28.10.1 Teoria operatora transmisji Y|=p i negacji Y|=~p

Kod:

Kod:

Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

28.10.2 Przedszkole operatora transmisji Y|=K i negacji Y|=~K

Zadanko Kubusia:
Dane są dwa zdania pań przedszkolanek z dwóch różnych przedszkoli A1 i A2.

Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina

Pani w przedszkolu A2:
A2.
Jutro nie pójdziemy do kina

Treść polecenia:
Zapisz w funkcjach logicznych kiedy panie dotrzymają słowa a kiedy skłamią?

Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.

Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

##

Pani w przedszkolu A2:
A2.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A2 dwustronnie.
~Y=K
Stąd mamy:
B2.
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

Gdzie:
Zmienne Y i K muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi, inaczej błąd podstawienia
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Znaczenie zmiennych Y i K w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p):
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
K - jutro pójdziemy do kina (K=1)
~K - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

Zapiszmy dialogi pań z przedszkola A1 i A2 w tabeli prawdy:

Kod:

T1
Pani w przedszkolu A1:
A1: Y= K # B1: ~Y=~K
## ##
Pani w przedszkolu A2:
A2: Y=~K # B2: ~Y= K
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
K, Y muszą być wszędzie tymi samymi K, Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Jak widzimy wyżej, wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ##

28.10.3 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola

Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.

Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli T1.

Kod:

T1"
Pani w przedszkolu A1:
A1: K # B1: ~K
Pani w przedszkolu A2:
A2: ~K # B2: K
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tabeli T1" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli T1” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy pani dotrzyma słowa (Y), a kiedy nie dotrzyma słowa (~Y).
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.

28.10.4 Prawo Sokoła

Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.

Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie niesprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

28.11 Matematyczny dowód wewnętrznej sprzeczności algebry Boole’a

Prawo Pytona:
Ziemska algebra Boole’a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie elementarnym.

Wyżej udowodniliśmy prawdziwość prawa Grzechotnika w sposób zrozumiały dla każdego 5-cio latka.
Problem w tym, że fanatyk logiki matematycznej zwanej KRZ będzie zawzięcie twierdził, że prawo Grzechotnika jest fałszem, a jego dowód tego będzie polegał na tupaniu nóżkami i machaniu łapkami.

Takiemu fanatykowi można łatwo udowodnić w jak wielkim jest błędzie przy pomocy prawa Pytona, uderzającego w fundamenty algebry Boole’a, w rachunek zero-jedynkowy tej algebry.

28.11.1 Lekcja matematyki klasycznej w I klasie LO

Scenka I
Pani matematyczka na szkolnej tablicy zapisuje:
1.
A1: Y=x^2-4 - funkcja kwadratowa
##
A2: Y=x-4 - funkcja liniowa
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tym momencie wkracza do akcji nasz abstrakcyjny fanatyk KRZ mówiąc:
Istnieje prostszy zapis faktu różności na mocy definicji funkcji A1 i A2 bowiem znaczek Y na mocy brzytwy Ockhama jest tu zbędny.
Stąd mamy zapis tożsamy:
2.
A1: x^2-4 - funkcja kwadratowa
##
A2: x-4 - funkcja liniowa
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

28.11.2 Lekcja logiki matematycznej w I klasie LO

Scenka II
Ten sam abstrakcyjny fanatyk KRZ na lekcji matematyki, gdzie aktualnie omawiane są fundamenty logiki matematycznej.

Pani matematyczka na tablicy szkolnej zapisuje:
1.
A1: Y=p - funkcja tożsamościowa (bo na wejściu p jest dokładnie to samo co na wyjściu Y)
##
A2: Y=~p - funkcja negacji
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

28.11.3 Dowód błędu czysto matematycznego fanatyka KRZ

W tym momencie wkracza do akcji nasz abstrakcyjny fanatyk KRZ mówiąc:
Istnieje prostszy zapis faktu różności na mocy definicji funkcji A1 i A2 bowiem znaczek Y na mocy brzytwy Ockhama jest tu zbędny.

Stąd mamy zapis „tożsamy”:
2.
A1: p
##
A2: ~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przyjrzyjmy się twierdzeniu fanatyka KRZ twierdzącemu iż zapisy 1 i 2 są matematycznie tożsame.
Zacznijmy od zapisu pani matematyczki w szkole.
1.
A1: Y=p - funkcja tożsamościowa (bo na wejściu p jest dokładnie to samo co na wyjściu Y)
##
A2: Y=~p - funkcja negacji
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice matematycznej:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.

Tożsama definicja znaczka ##:
Nie istnieją prawa logiki matematycznej wiążące funkcje logiczne zapisane po obu stronach znaczka ##

Zauważmy, że jedyna nadzieja na obalenie definicji znaczka ## to dwustronna negacja funkcji Y dozwolona w logice matematycznej, o czym każdy ziemski matematyk wie.

Zróbmy to:
1’.
A1: Y=p # B1: ~Y=~p
##
A2: Y=~p # B2: ~Y=p

Definicje znaczków:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji ## o definicji wyżej
Doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są tu perfekcyjnie spełnione.

Do akcji znów wkracza nasz abstrakcyjny fanatyk KRZ mówiąc:
Istnieje prostszy zapis faktu różności na mocy definicji funkcji logicznych A1 i A2 bowiem znaczek Y na mocy brzytwy Ockhama jest tu zbędny.
Stąd mamy zapis „tożsamy”:
3.
A1: p # B1: ~p
##
A2: ~p # B2: p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
cnd
Doskonale widać, że po usunięciu Y i ~Y w liniach A1B1 i A2B2 definicja znaczka # jest nadal spełniona
ok
ALE!
Zauważmy, że w zapisie 3 (po usunięciu Y i ~Y) definicja znaczka różne na mocy definicji ## leży w gruzach, bo ewidentnie zachodzą pozorne tożsamości [=?] po przekątnych:
A1: p [=?] B2: p
A2: ~p [=?] B1: ~p
Gdzie:
[=?] - znaczek tożsamości pozornej, w naszym świecie rzeczywistym nieistniejącej

Definicja tożsamości pozornej [=?]:
Tożsamość pozorna [=?] to tożsamość zachodząca na poziomie wyrażeń algebry Boole’a po wywaleniu w kosmos wszelkich funkcji logicznych, zarówno w logice dodatniej (bo Y), jak i ujemnej (bo ~Y).

Dokładnie to zostało wyżej zrobione - po usunięciu Y i ~Y dostaliśmy sprzeczność matematyczną z definicją znaczka różne na mocy definicji ##.
W tym momencie matematyka którą posługuje się nasz abstrakcyjny fanatyk KRZ ignorujący Y i ~Y została wbita w ziemię i dokładnie zaklepana - jest wewnętrznie sprzeczna.
cnd

28.11.4 Smutna definicja fanatyka KRZ

Definicja fanatyka KRZ:
Fanatykiem KRZ jest każdy ziemski matematyk który w rachunku zero-jedynkowym wywala w kosmos znaczki Y i ~Y operując wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach znaczków Y i ~Y.

Niestety, smutna prawda na dzień dzisiejszy jest taka:
Fanatyk KRZ wyżej opisany i zdefiniowany = 100% ziemskich matematyków

Dlaczego powyższa tożsamość jest prawdziwa, niestety?
W aktualnej logice matematycznej nie ma pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).

W świecie techniki jest pojęcie logiki ujemnej (bo ~Y) ale uzyskiwane w prymitywny sposób przy pomocy banalnego negatora np. SN74LS04.

Jak świat techniki widzi logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y)?
Załóżmy, że jakieś konkretne sterowanie realizuje funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
1: Y = p*q + ~p*~q
W sterowaniach często się zdarza, że potrzebujemy sygnału zanegowanego ~Y koniecznego dla dopasowania układów pracujących w przeciwnych logikach.

Matematycznie aby uzyskać sygnał ~Y musimy dwustronnie zanegować funkcje logiczną 1.
Zróbmy to:
2: ~Y = ~(p*q+~p*~q)
prawa strona po minimalizacji przybiera postać:
2: ~Y = p*~q + ~p*q
Stąd sygnał ~Y możemy uzyskać na dwa sposoby.

Sposób I
Korzystamy wyłącznie z lewych stron funkcji 1: Y i 2: ~Y, czyli:
Bierzemy sygnał cyfrowy 1: Y i go po prostu negujemy prościutkim negatorem SN74LS04, gdzie na wyjściu uzyskujemy sygnał 2: ~Y.
[link widoczny dla zalogowanych]

Sposób II
Korzystamy wyłącznie z prawych stron funkcji logicznych:
1: Y = p*q + ~p*~q
oraz:
2: ~Y = p*~q + ~p*q

W funkcji 1: Y mamy zbudowany układ z prawej strony z definicji, z czego wynika że nie ma sensu budować prawostronnego układu logicznego funkcji 2:~Y bo sygnał ~Y uzyskujemy prościutkim negatorem SN47LS04.
Fizyczna budowa prawej strony funkcji logicznej 2: ~Y byłaby tu sztuką dla sztuki, czyli bez sensu - to może mieć sens wyłącznie w okresie nauki studentów, by pokazać im, że w ten sposób również można uzyskać funkcję w logice ujemnej 2: ~Y.

Przykład który wyżej wybrałem ma po stronie Y i ~Y układy tej samej klasy tzn. porównywalne w temacie ich złożoności.
W technice cyfrowej zawsze jest tak, że układ w logice dodatniej (bo Y) minimalizujmy do postaci absolutnie minimalnej, wtedy po stronie ~Y układ minimalny może być o wiele bardziej złożony niż układ po stronie Y.

Ciekawostka:
Na I roku elektroniki (rok 1975) na Politechnice Warszawskiej wykładowca logiki matematycznej dr inż. Traczyk z zapałem wykładał nam tematykę sterowań realizowanych przy pomocy bramek logicznych które to sterowania realizowaliśmy w praktyce w laboratorium - akurat w tym byłem bardzo dobry.
Zaskoczeniem dla mnie był fakt, że na ostatnim wykładzie dr inż. Traczyk powiedział:
Panowie, wszystko czego was tu nauczyłem w temacie bramek logicznych jest już nieaktualne, bowiem teoria bramek logicznych załamuje się już na układach średniej skali integracji (przerzutniki, liczniki, rejestry, multipleksery), że o mikroprocesorach nie wspomnę.
W technice mikroprocesorowej sygnały sterujące układami wejścia/wyjścia z reguły dostępne są w logice ujemnej (aktywne 0). Może się zdarzyć, że złożony układ którym mikroprocesor steruje ma dostępne wejście w logice dodatniej (aktywne 1), wtedy aby sprowadzić te układy do wspólnej logiki matematycznej używamy prościutkiego negatorka np. SN74LS04 i po bólu.

Podsumowując:
Świat techniki mając funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) uzyskuje często potrzebną w sterowaniach funkcje logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) przy pomocy prościutkiego negatorka SN74LS04 bez wzglądu na fakt, jak skomplikowana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y).

Z powyższego wynika, że aktualna logika matematyczna w świecie matematyków jest lata świetlne za światem techniki bo tu funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y) jest pojęciem nielegalnym (nieznanym).

Innymi słowy:
Współczesna logika matematyczna to świat epoki kamiennej, który wkrótce zastąpiony zostanie światem algebry Kubusia - to jest w 100% pewne.

Dowód z matematyki.pl iż ziemska logika matematyczna nie zna pojęcia logika ujemna (bo ~Y):
[link widoczny dla zalogowanych]
autor: Dasio11 » 13 września 2023, 11:53
@moderator Dasio11 do Rafała3006 na matematyce.pl
Sugeruję, byś przestał zasypywać ten wątek wypowiedziami w temacie, o którym, jak się zdaje, masz niewielkie pojęcie. Zadanie polega na matematycznym udowodnieniu, że żadna formuła rachunku zdań zdefiniowana przy użyciu różnych spójników logicznych nie może być równoważna negacji. Twoje uwagi są banalne i nijak nie pomagają udowodnić tego, co trzeba. Ponadto są nie na temat - bramki logiczne w elektronice stanowią tylko jedno z wielu zastosowań logiki matematycznej i nie mają zbyt wiele wspólnego z tym, co w tym wątku najistotniejsze, tj. z dowodami matematycznymi. Operujesz też niezbyt przystępnym językiem - nie ma w matematyce takiego pojęcia, jak "logika dodatnia/ujemna", jest to żargon elektroników. Toteż chyba lepiej będzie, jeśli skoncentrujesz swoją uwagę na świecie techniki, z którego przybywasz, a matematykę zostawisz tym, którzy się na niej znają, tj. matematykom.

Pocieszająca jest wstawka „Twoje uwagi są banalne” co oznacza, że Dasio11 rozumie teorię bramek logicznych którą się w tym temacie posługiwałem, pod którą w 100% podlega algebra Kubusia.

Powrót do góry

Wyświetl posty z ostatnich:

	Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia	Wszystkie czasy w strefie CET (Europa) Idź do strony Poprzedni 1, 2, 3
Strona 3 z 3

Skocz do:

Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

Regulamin