ŚFiNiA

Andy72

Zastanawiałem się jakie cechy musi mieć teoria matematyczna, gdy występują problemy z nieskończonościami, niezupełności z twierdzenia Golda i tym podobne.
Z powodu że jestem raczej amatorem w tej dziedzinie, może nie da się skonstruować czegoś takiego unikając sprzeczności.
A więc, wszędzie tam gdzie matematyka odwołuje się do skończonych rzeczy (choćby było ich nieskończenie wiele) mamy „twardą matematykę” i żadna nowa teoria nic nie zmieni, 2+2 zawsze będzie 4, najprawdopodobniej wszystkie twierdzenia dotyczące liczb pierwszych i kryptografii pozostaną bez zmiany.
Ale teraz matematyka ma operować na nieskończoności. I tu zaczynają się schody. Przyjąłbym to, że matematyka nie mówi o „wszystkim” ale o jedynie o wszystkim, co można z ludzkiego, skończonego choć wspieranego przez skończone komputery punktu widzenia uzyskać. Poza tym pozostaną zdania, które nie będą określane jako prawdziwe lub fałszywe, choć być może mogą być takie dla Umysłu, który byłby niewyobrażalny i nieskończony. Matematyka nie musi nic mówić o takich zdaniach.
A więc – mamy nieskończoność. Okazuje się że możemy ją pojąć jako coś co ma początek i nie ma końca i ma kolejne „szczeble”, tak więc możemy pojąć zbiór liczb naturalnych, ale i wszystkie przeliczalne zmieniając tylko kolejność, zawsze będzie startowy i będą szły w sposób skokowy, dyskretny bez końca.
Ale jest problem: zbiór liczb rzeczywistych. I okazuje się że możemy wskazać tylko przeliczalną ilość liczb: bo zarówno liczb o rozwinięciach skończonych, wymiernych, algebraicznych a nawet takich jak Pi czy e określonych za pomocą dowolnego algorytmu – jest ich przeliczalna ilość. Drugiej strony dowód przekątniowy mówi że liczb rzeczywistych jest istotnie więcej i nie możemy ustawić je w kolejności takiej byśmy brali kolejne liczby w sposób nieciągły.
Okazuje się że ta druga nieskończoność już nie jest tak możliwa do pojęcia – owszem, dowód przekątniowy mówi że istnieje, ale już nie da się zrobić z nią wielu rzeczy. W teorii mnogości twierdzi się że jest możliwa większa nieskończoność niż R, np. zbiór podzbiorów R. Tyle że takiego zbioru WSZYSTKICH podzbiorów nie da się skonstruować, bo zbioru to mogą być zakresami od do, a nie ma czegoś takiego jak „sąsiadujące ze sobą liczby rzeczywiste”. Więc powinniśmy doprowadzić do takich aksjomatów, które nie pozwalałyby na formalizację wygenerowania „zbioru podzbiorów R”. W teorii mnogości używa się pojęcia zbioru, podczas gdy naiwne pojęcie zbioru skrytykował Russel: [link widoczny dla zalogowanych]
np. zbiór V oznacza wszystkie zbiory dla których X nie jest elementem X, czy V jest elementem V?
Matematyka nie powinna mówić ani na tak ani na nie (a może na nie?), na temat czy istnieje zbiór większy niż R, oraz wiele cech tego zbioru pozostałoby nieznane w porównaniu z N. Dlatego że być może niepoznawalne rzeczy wymagałyby twierdzeń czy liczb nieskończonej wielkości a nie tylko skończonych twierdzeń mówiących o nieskończoności.

Czarna_Mańka

Rekomenduję Panie kolego wrócić do podstaw. To nigdy i nikomu nie przynosi ujmy, a przeciwnie - bywa pożyteczne.

1) Przyjemna i popularna książka prof. Heleny Rasiowej "Wstęp do matematyki współczesnej" ; lektura obowiązkowa kolejnych roczników studentów rozpoczynających studia na kierunkach ścisłych. Ale wystarczy wiedza z liceum, by przestudiować tę książkę.

2) "Wstęp do matematyki", Jan Kraszewski, mniej znana książka ( ukazała się w 2007 r), ale godna polecenia, autor zajmujący się teoria mnogości i lubiący pracę dydaktyczną napisał podręcznik, który wejdzie ( w mojej ocenie) do klasyki.

3) Kazimierz Kuratowski "Wstęp do do teorii mnogości i topologii ", klasyka, nie starzeje się, klarownośc wykładu nadal zachwyca