ŚFiNiA

rafal3006

Operatory logiczne - nieznane fakty

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Nowa teoria zbiorów 1
2.1 Prawa Prosiaczka 2
3.0 Operatory logiczne - nieznane fakty 3
3.1 Operatory logiczne jednoargumentowe 4
3.1 Operatory logiczne dwuargumentowe 8

1.0 Notacja

Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa (binarna) w której znane są tylko i wyłącznie dwa pojęcia, prawda i fałsz.

Zwyczajowo pojęciom tym przypisujemy cyferki:
1 - prawda
0 - fałsz
Fundament algebry Kubusia na poziomie zero-jedynkowym:
Prawda (1) to zaprzeczenie fałszu (0)
1 = ~(0)
Fałsz (0) to zaprzeczenie prawdy (1)
0=~(1)
gdzie:
(~) - symbol przeczenia, przedrostek NIE w języku mówionym człowieka

2.0 Nowa teoria zbiorów

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zestaw wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojąć z obszaru Uniwersum
Przykład:
p=[LN, 5, pies, samochód, Wszechświat, krasnoludek, miłość]
p - nazwa zbioru
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
LN=[1,2,3,4,5,6..] - zbiór liczb naturalnych

W szczególnym przypadku może zachodzić:
Zbiór = Uniwersum
Jeśli za zbiór przyjmiemy Uniwersum.

Podstawowe operacje na zbiorach:
a1, a2, a3 - elementy zbioru
p=[a1]
q=[a1, a2]
D=[a1, a2, a3] - dziedzina

Iloczyn logiczny:
Iloczyn logiczny zbiorów p i q to zbiór elementów wspólnych p i q bez powtórzeń
Y=p*q = [a1]*[a1,a2] =[a1]

Suma logiczna:
Suma logiczna zbiorów p i q to zbiór wszystkich elementów występujących w zbiorach p i q bez powtórzeń
Y = p+q = [a1]+[a1,a2] = [a1,a2]

Różnica zbiorów:
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y = p-q = [a1]-[a1,a2] =[] - zbiór pusty
Y = q-p =[a1,a2]-[a1] = [a2]

Zaprzeczenie zbioru:
Zaprzeczenie zbioru to jego uzupełnienie do wybranej dziedziny D
~p = [D-p] = [[a1,a2,a3]-[a1] = [a2,a3]
~q=[D-q] =[[a1,a2,a3]-[a1,a2]] = [a3]

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nie spoza dziedziny nas nie interesuje.

Definicja dziedziny musi spełniać następujące relacje w zbiorach:
p+~p=1 - dziedzina, zbiór pełny na którym operujemy
p*~p=0 - zbiór pusty
Powyższy układ równań wynika bezpośrednio z definicji zaprzeczenia zbioru.

2.1 Prawa Prosiaczka

Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Dowolne pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
Dowód na przykładzie:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie w którym panuje idealnie stała temperatura:
t=const
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło/zimno nie istnieją bo nie jesteśmy w stanie zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur. Nawet na poziomie abstrakcyjnym nie będziemy w stanie zdefiniować pojęć ciepło/zimno.

Wnioski:
Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że:
1.
Dowolne pojęcie p z obszaru Uniwersum jest pojęciem niepustym i ma wartość logiczną równą 1.
2.
Dla zbiorów niepustych np. p i q muszą istnieć zbiory niepuste ~p i ~q, inaczej pojęcia [p, q] są nierozpoznawalne.
3.
Wynik operacji na zbiorach niepustych p, q, ~p, ~q może być już zbiorem pustym [] np. iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych p i q.

Przykład:
To jest pies
P=1
Prawdą jest (=1) że to jest pies
Ustalamy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenie „psa”:
~P = [ZWZ-P]
Zaprzeczeniem pojęcia „pies” będzie dowolny zwierzak ze zbioru ~P np. mucha, słoń, kura etc.
Czyli:
Zwierzę nie będące psem to mucha lub słoń lub kura etc

Prawa Prosiaczka:

Jaś (lat 3) w ZOO wskazuje paluszkiem słonia i mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń
S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że to jest słoń (S)
Tata, sprawdzający naturalną logikę matematyczną 3-latka mówi:
… a może to nie jest słoń?
Jaś wskazując ciągle słonia mówi:
B.
Fałszem jest (=0), że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo S) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~S)
(S=1) = (~S=0)

W tym momencie Jaś pokazuje tygrysa i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że to nie jest słoń (~S)
Tata, sprawdzający naturalną logikę matematyczną 3-latka mówi:
… a może to jednak słoń?
Zdenerwowany Jaś krzyczy:
Fałszem jest (=0), że to jest słoń (S)
S=0
Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)

3.0 Operatory logiczne - nieznane fakty

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y.
Odpowiedź bramki logicznej Y na te same wymuszenia na wejściach (p,q,r,s..) jest zawsze identyczna.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny Y to kompletna odpowiedź bramki logicznej na wszystkie możliwe kombinacje zero-jedynkowe na jej wejściach.
Y = f(p,q,r,s..)

3.1 Operatory logiczne jednoargumentowe

Operator jednoargumentowy to bramka logiczna o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y

Po stronie wejścia operatora jednoargumentowego mamy sygnał p. Sygnał ten musi mieć swoje zaprzeczenie ~p na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p.
Zapiszmy wszystkie możliwe odpowiedzi operatora jednoargumentowego.