ŚFiNiA

Radosław

[link widoczny dla zalogowanych]

Mieczysław Omyła - O logice niefregowskiej

wykład

O logice niefregowskiej 1

Mieczysław Omyła

1. Aksjomat Fregego

Słynny polski logik Roman Suszko w 1966 roku zapoznał się z maszynopisem monografii Bogusława Wolniewicza Rzeczy i fakty. Wstęp do pierwszej filozofii Wittgensteina 2. Monografia ta zainspirowała Romana Suszkę do stworzenia nowego rachunku logicznego zwanego przez niego logiką niefregowską.

Aby wyjaśnić nazwę tej logiki przypomnijmy, że Gottlob Frege przyjmował, że zdania w sensie logicznym są nie tylko są prawdziwe bądź fałszywe, ale ponadto, że są nazwami szczególnego rodzaju przedmiotów, zwanych przez niego przedmiotami logicznymi.

Najdobitniej poglądy Fregego w tej kwestii wyraża J. Łukasiewicz w pracy [4], pisząc:

„Wszystkie zdania prawdziwe oznaczają ten sam przedmiot, mianowicie prawdę, a wszystkie zdania fałszywe oznaczają jeden i ten sam przedmiot, mianowicie fałsz. Prawdę i fałsz uważam za przedmioty w tym samym znaczeniu jednostkowe, co liczby 2 i 4. Mamy tyle różnych nazw jednej tylko prawdy, ile zdań prawdziwych, i tyle różnych nazw jednego tylko fałszu, ile zdań fałszywych. Ontologicznie prawdzie odpowiada byt, fałszowi niebyt".

Pogląd ten miał swoje, źródło miedzy innymi w tym, że Frege uważał, że wyrażenia odnoszące się do tych samych przedmiotów, winny być wzajemnie zastępowalne we wszelkich kontekstach zdaniowych bez zmiany ich wartości logicznej.

Jeżeli w języku J obowiązuje logika klasyczna, to dowolne dwa zdania o tej samej wartości logicznej są wzajemnie zastępowalne we wszelkich kontekstach zdaniowych danego języka. Frege pisze:

„Cóż bowiem poza wartością logiczną może nie zmieniać się przy takiej zamianie w każdym zdaniu, w którym gra w ogóle jakąś rolę znaczenie składników?"

Założenie, że zdania i zmienne zdaniowe przyjmują wartości w dwuelementowym zbiorze wartości logicznych Suszko nazwał aksjomatem Fregego, a dokładniej semantyczną wersją aksjomatu Fregego.

Aksjomat ten ma również swoją wersję ontologiczną. Jej sformułowanie wymaga, aby w języku występowały zmienne zdaniowe oraz spójnik identyczności. Przypomnijmy, że Frege posługiwał się takim spójnikiem. W pracy Funkcja i pojęcie pisał:

„Takim samym prawem jakim piszemy ‘24 = 4×4’, możemy również pisać

‘(24 = 42) = (4×4 =42 )’, ‘(22 = 4) = (2 >1)’."

Z przytoczonego cytatu wynika, że:

(1) Frege z jednej strony posługiwał się spójnikiem identyczności tak samo, jak posługujemy się predykatem identyczności. Oba funktory oznaczał tym samym znakiem „=" ,

(2) spójnik identyczności utożsamiał ze spójnikiem równoważności, bowiem fakt arytmetyczny, który my dzisiaj zapisujemy następująco:

(22 = 4) (2 >1), Frege zapisywał jako równość (22 = 4) = (2 >1).

Formułę rachunku zdań, utożsamiającą spójnik identyczności ze spójnikiem klasycznej równoważności, nazwał Suszko ontologiczną wersją aksjomatu Fregego. Formułę tę zapisujemy:

Wittgenstein w Traktacie Logiczno-Filozoficznym kontynuował rozważania ontologiczno-semantyczne Fregego i sformułował tezę, że zdania nie są nazwami przedmiotów ale opisują (czy też przedstawiają) sytuacje.

W tej sprawie Wittgenstein pisze między innymi:

4.03 Zdanie powiadamia nas o pewnej sytuacji, a zatem jego związek z nią musi być istotny. Związek ów polega właśnie na tym, że jest ono jej logicznym obrazem.

4.031 [...] Zamiast mówić: to zdanie ma ten a ten sens, można by wręcz rzec; to zdanie przedstawia tę a tę sytuację.

Roman Suszko rozwijając program logiczny Fregego, częściowo zmodyfikował go pod wpływem lektury Traktatu logiczno-filozoficznego. Zgodnie z tym programem, zarówno zdania, jak i nazwy mają zarówno sens jak i odniesienie przedmiotowe. Odniesienie przedmiotowe dowolnego wyrażenia nazwał Suszko – za Wolniewiczem – korelatem semantycznym tego wyrażenia. Przyjmował ponadto, że wyrażenia o tych samych korelatach semantycznych są wzajemnie zastępowalne we wszelkich zdaniach danego języka, bez zmiany ich wartości logicznej. Odrzuca natomiast założenie, że wszystkie zdania prawdziwe mają jeden, wspólny korelat semantyczny oraz, że wszystkie zdania fałszywe mają jeden, wspólny korelat semantyczny.

W tej sprawie Suszko w pracy [7] pisał:

Nazwy oznaczają, a zdania opisują. Różnice terminologii (oznaczać, opisywać) jest nieistotna. Istotne jest to, że tak nazwom jak i zdaniom przypisujemy odnoszenie się do czegoś i to coś, w przypadku danej nazwy czy danego zdania, jest dokładnie jedno; przy założeniu oczywiście jednoznacznego sensu wyrażeń i wykluczeniu terminów mitologicznych.

2. Logika niefregowska.

Zgodnie z tym co zostało powiedziane, filozoficznym postulatem logiki niefregowskiej jest założenie, że przynajmniej niektórym zdaniom w rzeczywistości pozajęzykowej odpowiadają pewne możliwości jako ich korelaty semantyczne. W zależności od tego, czy możliwość opisana w zdaniu w rzeczywistości się realizuje, czy nie, zdanie jest prawdziwe bądź fałszywe. Natomiast w semantyce logiki klasycznej, czyli fregowskiej, korelatami semantycznymi zdań są ich wartości logiczne.

Skoro zakładamy, że zdaniom w rzeczywistości pozajęzykowej odpowiadają sytuacje, jako ich korelaty semantyczne, to zgodnie ze słynnym dictum Quine’a no entity without identity musimy mieć możliwość stwierdzenia, czy dwa różne zdania odnoszą się do tej samej sytuacji. Dlatego Suszko do języka klasycznej logiki wprowadził spójnik identyczności „" różny od prawdziwościowego spójnika równoważności: „". Za pomocą spójnika równoważności stwierdzamy, że dwa zdania równocześnie zachodzą, bądź równocześnie nie zachodzą czyli, że mają tę samą wartość logiczną. Natomiast za pomocą spójnika identyczności stwierdzamy, że dwa zdania przedstawiają tę samą sytuację, co ma swój językowy wyraz w tym, że zdania te są wzajemnie wymienialne we wszystkich kontekstach zdaniowych bez zmiany wartości logicznej tych kontekstów.

Aby mówić w sposób formalny zarówno o przedmiotach jak i o sytuacjach, Suszko wprowadził do literatury logicznej języki, które nazwał W-językami (W- od Wittgenstein). Specyfiką W-języków jest to, że w alfabecie tych języków występują:

- dwa rodzaje zmiennych:
zmienne nazwowe : x, y, z,..,
zmienne zdaniowe: p, q, r, ......,
- spójnik identyczności,
- predykat identyczności,

a ponadto kwantyfikatory wiążące zarówno zmienne zdaniowe jak i nazwowe.

Zamierzona interpretacja W-języków jest taka, że zmienne nazwowe przyjmują wartości w uniwersum przedmiotów, a zmienne zdaniowe przyjmują wartości w uniwersum sytuacji. W przypadku, gdy nie jest istotne o które zmienne chodzi, to w metajęzyku używamy zmiennych wieloznacznych: v, v0, v1, v2....., które oznaczają zarówno zmienne zdaniowe jak i nazwowe. Podobnie, predykat i spójnik oznaczamy tym samym symbolem „" , gdyż kontekst jednoznacznie przesądza, czy mamy do czynienia ze spójnikiem czy predykatem identyczności. W szczególności wyrażenie: x p, nie jest wyrażeniem poprawnie zbudowanym rozważanych języków.

Zamierzoną interpretacją predykatu identyczności jest relacja identyczności przedmiotów, a zamierzoną interpretacją spójnika identyczności jest relacja identyczności sytuacji. To, że predykat identyczności i spójnik identyczności oznaczone są tym samym symbolem „" i analogicznie to, że kwantyfikatory: (kwantyfikator egzystencjalny) i (kwantyfikator ogólny) wiążące zmienne zdaniowe jak i nazwowe są oznaczane tymi samymi symbolami pozwala na pewną jednolitość sformułowań, a ponadto wskazuje na to, że pojęcia identyczności, istnienia i ogólności odnoszą się tak samo do przedmiotów jak i do sytuacji.

W językach rodzaju W, podobnie jak w językach w których obowiązuje klasyczna logika, mogą występować następujące rodzaje symboli:

1. Klasyczne spójniki logiczne: (negacja), ^ (koniunkcja), v (alternatywa), (implikacja), (równoważność).

2. Predykaty: P1, P2,...,Pn,

3. Symbole funkcyjne: F1, F2,..., Fm.

Szczegółowy opis składni W-języków przedstawione są w pracach: [1], [6].

Z przytoczonego tutaj opisu wynika, że język logiki niefregowskiej zawiera język klasycznej logiki predykatów i jest od niego istotnie bogatszy. Występują w nim bowiem zmienne, które są zarazem formułami zdaniowymi oraz – jako pierwotny symbol logiczny – nieklasyczny spójnik identyczności. Suszko logikę niefregowską określał w sposób syntaktyczny przyjmując trzy grupy aksjomatów:

A1 – aksjomaty dla spójników klasycznych, reprezentowane przez formuły:

A2 – aksjomaty dla kwantyfikatorów, reprezentowanych przez następujące schematy:

A3 – aksjomaty dla predykatu i spójnika identyczności oraz reguły inferencji reprezentowane przez następujące schematy:

oraz następujące reguły inferencji:

(R0) Reguła odrywania dla implikacji o schemacie:

(R1) Reguła podstawiania formuł nazwowych za wolne zmienne nazwowe;

(R2) Reguła podstawiania formuł zdaniowych za wolne zmienne zdaniowe;

(R3) Reguła wprowadzania kwantyfikatora ogólnego o schemacie:

gdzie zmienna v nie jest zmienną wolną w formule .

(R4) Reguła wprowadzania kwantyfikatora egzystencjalnego o schemacie:

gdzie zmienna v nie jest zmienną wolną w formule .

Niefregowska operacja konsekwencji Cn w języku J jest określona przez zbiór aksjomatów: (1) – (16) oraz przez reguły inferencji (R1) – (R4).

Wprost z określenia logiki niefregowskiej wynikają następujące spostrzeżenia:

1. W logice niefregowskiej spójniki prawdziwościowe oraz kwantyfikatory wiążące zmienne nazwowe określone są w ten sam sposób, jak w logice klasycznej, a kwantyfikatory wiążące zmienne zdaniowe podlegają tym samym prawom, co kwantyfikatory wiążące zmienne nazwowe.

2. Logika niefregowska jest określona w obszerniejszym języku niż logika klasyczna, dzięki temu na jej gruncie można uchwycić pewne własności spójników klasycznych, które nie są widoczne gdy posługujemy się wyłącznie klasycznymi spójnikami.

3. Zbiór twierdzeń logicznych logiki niefregowskiej zawiera wszystkie twierdzenia logiki klasycznej, a mimo to logika niefregowska jest pewnym osłabieniem czy też uogólnieniem logiki klasycznej, gdyż pewne reguły które obowiązują w logice klasycznej nie obowiązują w logice niefregowskiej jak na przykład reguła wzajemnej wymienialności formuł równoważnych o schemacie:

jest regułą logiczną logiki klasycznej a nie jest regułą logiczną logiki niefregowskiej.

4. Logika niefregowska jest logiką ekstensjonalną w tym sensie, że schematy:

są schematami reguł logicznych.

Pierwsza z tych reguł stwierdza, że wyrażenia o tych samych korelatach semantycznych są wzajemnie wymienialne we wszystkich kontekstach nazwowych i zdaniowych bez zmiany ich korelatów semantycznych, a druga reguła stwierdza, że wyrażenia o tych samych korelatach semantycznych są wzajemnie wymienialne we wszystkich kontekstach zdaniowych bez zmiany ich wartości logicznych.

5. Logika niefregowska jest logicznie dwuwartościowa, gdyż twierdzeniami logicznymi tej logiki są klasyczne formuły:

stwierdzające dwuwartościowość logiczną.

6. Jeżeli w twierdzeniach logicznych logiki niefregowskiej w każdym miejscu spójnik identyczności zastąpimy spójnikiem klasycznej równoważności, to w wyniku otrzymamy zbiór twierdzeń logicznych logiki klasycznej. Możemy więc powiedzieć, że logika klasyczna powstaje z logiki niefregowskiej przez zastąpienie spójnika identyczności spójnikiem równoważności. W logice klasycznej spójniki równoważności i identyczności są całkowicie nieodróżnialne.

7. Język klasycznego rachunku predykatów oraz język klasycznej logiki zdaniowej są szczególnego rodzaju przypadkami języków rodzaju W, powstałymi przez pominięciem pewnego rodzaju symboli.

8. W W-językach występują stałe zdaniowe, rozumiane jako formuły zdaniowe, w których nie występują zmienne wolne. Na przykład:

3. Semantyka i ontologia W-jezyków.

Ontologiczna podstawa logiki niefregowskiej jest wyrażona w słynnym powiedzeniu Suszki:

„cokolwiek istnieje jest przedmiotem, sytuacją lub funkcją".

Podział wszelkich bytów na przedmioty, sytuacje i funkcje ma swoje podstawy w logice. Jest on bowiem wtórny w stosunku do podziału wszelkich wyrażeń języka na trzy kategorie: dwie podstawowe: zdania i nazwy oraz jedną pomocniczą, do której należą wszelkiego rodzaju formuły ze zmiennymi wolnymi.

Korelatem semantycznym nazwy jest jej desygnat, czyli przedmiot oznaczany tą nazwą. Korelatem semantycznym zdania jest stan rzeczy stwierdzany w tym zdaniu, który za Wittgensteinem i Suszką nazywamy sytuacją opisywaną przez dane zdanie. Natomiast korelatem semantycznym formuły zawierającej zmienne wolne są odpowiednie funkcje, mające tyle argumentów, ile zmiennych wolnych występuje w danej formule.

S. L. Bloom i R. Suszko stworzyli formalną semantykę dla języka logiki niefegowskiej. W semantyce tej niczego nie przesądza się na temat tego, czym jest przedmiot czy sytuacja. Przyjmuje się jedynie konwencję, że jeżeli coś zostało nazwane to - w zamierzonym modelu języka - jest przedmiotem, a jeżeli coś zostało stwierdzone w zdaniu, to w modelu tym jest sytuacją. Jeżeli dana sytuacja jest faktem, to stwierdzające ją zdanie jest prawdziwe, a jeżeli nie jest faktem, to stwierdzające ją zdanie jest fałszywe. Nie wynika stąd, że w ustalonym języku każdy przedmiot z uniwersum naszego dyskursu jest nazwany, ale każdy przedmiot może być, dla pewnego wartościowania zmiennych, wartością pewnej zmiennej nazwowej. Podobnie nie każda sytuacja, czy też stan rzeczy zachodzący między przedmiotami z uniwersum naszego dyskursu, jest opisany w zdaniu danego języka i nie każdy fakt może być stwierdzony w pewnym zdaniu prawdziwym. Natomiast jeżeli w rozważanym języku występują zmienne zdaniowe, to każda sytuacja z uniwersum naszego dyskursu może być wartością pewnej zmiennej zdaniowej. Zmienne zdaniowe w sposób zasadniczy różnią się od innych zmiennych występujących w języku, są bowiem formułami zdaniowymi i tym samym wchodzą w związki logiczne z pozostałymi zdaniami i formułami języka.

Pojęcie modelu dla W-języków zostało wprowadzone w pracy [1] i jest wspólnym dziełem R. Suszki i S. L. Blooma. Najprościej możemy powiedzieć, że model m dla języka, w którym obowiązuje logika niefregowska, jest uporządkowaną czwórką:
(Up, Us ,D, F ),

gdzie

- Up jest zbiorem przedmiotów, o których się mówi w języku J,
- zbiór Us jest uniwersum sytuacji, które mogą być stwierdzane w zdaniach języka J,
- D jest zbiorem faktów czyli tych sytuacji, które zachodzą w rozważanym modelu m,
- F jest zbiorem funkcji odpowiadających: spójnikom, predykatom, symbolom funkcyjnym oraz kwantyfikatorom języka J, w tym również symbolom logicznym rozważanego języka.

Z określenia pojęcia modelu języka J wynika, że w dowolnym W-modelu zbiór przedmiotów jest niepusty, a zbiór sytuacji jest co najmniej dwuelementowy i przynajmniej jedna sytuacja jest faktem. Ponadto zbiory sytuacji i przedmiotów w danym modelu są rozłączne, czyli, że . Symbolem TR(m) oznaczamy zbiór formuł prawdziwych w modelu m.

W pracy [1] udowodniono między innymi następujące twierdzenia o charakterze semantycznym:

(1) Dla każdego niesprzecznego zbioru zdań X dowolnego W-języka J istnieje model m taki, że .

(2) Formuła W-języka J jest twierdzeniem logicznym zawsze i tylko wtedy gdy formuła a jest prawdziwa w każdym modelu języka J.

(3) Jeżeli X jest zbiorem zdań W- języka J oraz zdanie nie wynika logicznie ze zbioru zdań X, to istnieje model m języka J taki, że zbiór zdań

Przez konstrukcję odpowiedniego modelu można udowodnić, że dla żadnej liczby naturalnej n formuły:

nie są twierdzeniami logiki niefregowskiej. Oznacza to, że logika ta nie nakłada żadnych ograniczeń ilościowych na uniwersum przedmiotów i sytuacji poza tym, że uniwersum przedmiotów jest nie puste, a uniwersum sytuacji jest co najmniej dwuelementowe.

Uwagi

Uwaga 1.

Warto zauważyć, że w semantyce logiki niefregowskiej nie twierdzi się, że każde wyrażenie nie mające charakteru czysto gramatycznego ma jednoznacznie ustalony korelat semantyczny. W językach bowiem mogą występować nazwy puste, fikcyjne, wyrażenia nieostre i niejednoznacznie zinterpretowane. Twierdzi się natomiast, że w językach jednoznacznie zinterpretowanych każdej kategorii składniowej wyrażeń języka (nie mającej charakteru czysto składniowego) odpowiada pewien rodzaj bytów. Jeżeli bowiem dany język J jest całkowicie zinterpretowany, to rzeczywistość, do której ten język się odnosi wyznacza zbiór zdań prawdziwych T a dowolne dwa wyrażenia mają ten sam korelat semantyczny, gdy są wzajemnie wymienialne w każdym kontekście zdaniowym bez zmiany wartości logicznej tego kontekstu, co schematycznie zapisujemy:

gdzie: oznacza korelat semantyczny wyrażenia oznacza wartość logiczną zdania , a symbol oznacza wyrażenie powstałe ze zdania przez zastąpienie wyrażenia przez wyrażenie .

Wyrażenia mają ten sam korelat semantyczny dlatego, że wskazują na ten aspekt rzeczywistości, który jest niezmienny bez względu na to, którego z tych wyrażeń użyjemy.

Uwaga 2.

Istotnym założeniem ontologicznym logiki niefregowskiej jest to, że istnieje sfera możliwości. Niektóre z tych możliwości realizują się, czyli stają się faktami. Odpowiednikiem językowym możliwości jest przedstawiające ją zdanie.

Uwaga 3.

Można przyjąć, że zdaniom w sensie logicznym dowolnego języka odpowiadają pewne stany rzeczy, ale jeżeli w języku nie ma zmiennych zdaniowych i kwantyfikatorów wiążących te zmienne, to w danym języku nie możemy formułować twierdzeń ogólnych i egzystencjalnych dotyczących uniwersum stanów rzeczy.

Uwaga 4.

Ontologia sytuacyjna ujawnia się między innymi w składni W-jezyków, tzn. w tym, że w alfabecie tych języków występują zmienne zdaniowe, spójnik identyczności oraz kwantyfikatory wiążące zmienne zdaniowe.

Uwaga 5.

Jeżeli m = (Up, Us , D, F ) jest modelem pewnego W-języka, to uniwersum przedmiotów Up może zawierać zarówno przedmioty fizyczne (na przykład rzeczy), jak i przedmioty abstrakcyjne (na przykład liczby). Uniwersum sytuacji Us może zawierać sytuacje konkretne (na przykład zachodzenie w określonym miejscu i w określonym czasie obserwowalnej relacji między obserwowalnymi przedmiotami bądź też sytuację polegającą na tym, że obserwowalny przedmiot w określonym miejscu i czasie wykonuje obserwowalną czynność), ale również może to być pewien abstrakcyjny stan rzeczy (na przykład zachodzenie pewnej relacji między liczbami). Sytuacje, które nie są faktami, czyli należą do zbioru (Us – D), z natury swojej są nieobserwowalne. To, co w aksjologii nazywa się wartościami, skłonny jestem za Elzenbergiem i Wolniewiczem zaliczyć również do zbioru Us. Wartość bowiem, według tych autorów, jest to taki stan rzeczy, który powinien być. Elementy ze zbioru F, a więc korelaty semantyczne wszelkich funktorów i kwantyfikatorów, są w modelu m pewnymi funkcjami, czyli obiektami abstrakcyjnymi.

Logika niefregowska, jak każdy rachunek logiczny, może uprawiana i rozwijana bez przyjmowania jakichkolwiek założeń filozoficznych. W wykładzie niniejszym starałem się jednak wskazać na niektóre, tkwiące u jej podstaw, założenia filozoficzne.

Literatura:

[1] Bloom S.L., A completeness theorem for „theories of kind W", Studia Logica 27(1971) s.43-55.

[2] Bloom S.L., Suszko R., Investigations into the sentential calculus with Identity, Notre Dame Journal of Formal Logic, 13/3 (1972) s.289-308.

[3] Frege G., Pisma semantyczne, (tłum. B.Wolniewicz). PWN Warszawa 1970.

[4] Łukasiewicz J., Logika dwuwartościowa, Przegląd Filozoficzny, 1921, rocz.5, s. 189-205.

[5] Suszko R., Ontologia w’Traktacie’ L. Wittgensteina , Studia Filozoficzne 1(1968), s. 97-121.

[6] Suszko R., Non-Fregean logic and theories, Analele Universitatii Bucuresti, Acta Logica 11 (1968), s.105-125.

[7] Suszko R., Reifikacja sytuacji, Studia Filozoficzne 2 (1971) s.85-82.

[8] Wolniewicz B., Rzeczy i fakty. Wstęp do pierwszej filozofii Wittgensteina, PWN. Warszawa 1968.

[9] Wittgenstein L., Tractatus logico-philosophicus, (tłum. B.Wolniewicz), PWN, Warszawa 1970.

Przypisy:

1. Dziękuję Panu Prof. Włodzimierzowi Galewiczowi za uprzejme zaproszenie do napisania niniejszego wykładu internetowego. Powrót do tekstu.

2. Suszko był jej recenzentem, jako rozprawy habilitacyjnej. Rozprawa ta została wydana przez PWN w 1968 r. Powrót do tekstu.