ŚFiNiA

rafal3006

Credo NTI
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).

Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego

Części:
Część I NTI - Operatory AND i OR
Część II Nowa teoria implikacji
Część III Kubusiowa szkoła logiki

Zalecenia dla czytelnika:
Przed czytaniem tej części NTI zaleca się przeczytanie:
Część I NTI - Operatory AND i OR
Zawodowców proszę o przeczytanie przynajmniej pkt. 3.1, jest tam trochę nowości nieznanych człowiekowi np. logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole’a.

Część II
Nowa Teoria Implikacji

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !
Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję oraz Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji NTI.

Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą sam się posługuje od 2500 lat, do tej pory bezskutecznie (Emde).
To już historia, bowiem w Internecie pojawił się Kubuś.
Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu, rzeczywiści autorzy wymienieni są wyżej.

Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 NTI - najprostsza teoria matematyczna świata
2.0 Definicje i prawa algebry Kubusia w pigułce

3.0 Fundamenty NTI
3.1 Definicja implikacji prostej =>
3.2 Definicja implikacji odwrotnej ~>
3.3 Definicja równoważności <=>

4.0 Generowanie tabel zero-jedynkowych w NTI
4.1 Przykład implikacji prostej =>
4.2 Przykład implikacji odwrotnej ~>
4.3 Przykład równoważności <=>
4.4 Przykład obietnicy =>

5.0 Najważniejsze prawa logiki
5.1 Prawa de’Morgana
5.2 Prawa Kubusia
5.3 Prawo Sowy I
5.4 Definicje implikacji w bramkach logicznych
5.5 Prawo Sowy II
5.6 Prawa kontrapozycji w implikacji
5.7 Kwadrat logiczny implikacji
5.8 Równanie ogólne implikacji
5.9 Rozszyfrowanie równania ogólnego implikacji
5.10 p=>q # q~>p kropka nad „i”
5.11 Czym różni się implikacja od równoważności - na zbiorach

6.0 Definicje warunków wystarczających i koniecznych w NTI
6.1 Zasady używania terminu „implikacja”
6.2 Definicje warunków wystarczających/koniecznych
6.3 Definicje operatorów logicznych
6.4 Kwadraty logiczne równoważności i implikacji

7.0 Najważniejsze prawa logiki w praktyce
7.1 Świat matematyki
7.2 Przyroda martwa
7.3 Przyroda żywa
7.4 Przyroda martwa - człowiek
7.5 Obietnica
7.6 Groźba
7.7 Prawa kontrapozycji w implikacji

8.0 Implikacja prosta i odwrotna - algorytmy
8.1 Implikacja prosta - algorytm działania
8.2 Implikacja odwrotna - algorytm działania

9.0 Implikacja w równaniach algebry Boole’a
9.1 Implikacja prosta w równaniach
9.2 Implikacja odwrotna w równaniach

10.0 Nowa teoria implikacji w bramkach logicznych
10.1 Prawa Kubusia w bramkach logicznych
10.2 Implikacja prosta w bramkach logicznych
10.3 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych
10.4 Układy zastępcze bramek logicznych

11.0 Nowa teoria implikacji w przedszkolu
11.1 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej
11.2 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
11.3 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej
11.4 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej
11.5 Kubuś na tropie implikacji prostej
11.6 Operatorowa definicja implikacji prostej
11.7 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej
11.8 Gwarancja w implikacji prostej
11.9 O niezbędności operatorów implikacji

12.0 Obietnice i groźby
12.1 Obietnica
12.2 Rodzaje obietnic
12.3 Groźba
12.4 Złożone formy gróźb i obietnic
12.5 Wolna wola

13.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych
13.1 Obietnica w równaniach matematycznych
13.2 Groźba w równaniach matematycznych

Wstęp:

Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie (Emde).

To już historia bo:
Nowa Teoria Implikacji = naturalna logika człowieka, czyli znana jest już matematyczna wersja implikacji której człowiek używa w języku mówionym.

Algebra Boole’a w świecie techniki to fundament działania wszelkich komputerów i urządzeń, w świecie żywym to fundament działania wszelkich istot żywych, to także fundament naturalnego języka mówionego.

Warunkiem koniecznym dla zrozumienia Nowej Teorii Implikacji jest odłożenie na półkę całej dzisiejszej wiedzy w zakresie implikacji i przyjęcie nowych definicji implikacji tu podanych, oczywiście chodzi tu o nową interpretację tabel zero-jedynkowych. Tabele zero-jedynkowe implikacji prostej => i odwrotnej ~> w Nowej Teorii Implikacji i Klasycznym Rachunku Zdań są identyczne. Prawa Kubusia też są znane w obu tych systemach i zero-jedynkowo są identyczne. KRZ boi się praw Kubusia jak diabeł święconej wody, bo mówią one o prawie zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>. Uznanie implikacji odwrotnej ~> za legalną i na równych prawach z implikacją prostą wymuszone przez prawa Kubusia to koniec współczesnego świata logiki w temacie implikacji. Wszystko jest nie tak, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami aby świat był normalny.

Przy prawidłowo rozumianej algebrze Boole'a logika jest fantastycznie prosta, w 100% zgodna z logiką człowieka.

Poprawna matematycznie algebra Boole'a to naturalna logika 5-cio letniego dziecka, absolutnie nic więcej !

1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>

1.1 NTI - najprostsza teoria matematyczna świata

Czyli kompletna algebra Kubusia w telegraficznym skrócie na jednej stronie A4, przy okazji zapoznamy się tu z notacją stosowaną w obsłudze implikacji i równoważności w NTI.

Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Znaczenie symboli w implikacji i równoważności

1.
Zachodzenie warunku koniecznego w kierunku p~>q gwarantuje implikację odwrotną prawdziwą bowiem jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q.
W sposób naturalny odkryliśmy tu wyrocznię implikacji, prawo Kubusia.
p~>q = ~p=>~q

Kubuś w przedszkolu:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Powiedzcie mi drogie dzieci czy chmury są konieczne aby jutro padał deszcz ?
Jaś (lat 5):
Tak Kubusiu, chmury są konieczne aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno nie będzie padać.
czyli:
CH~>P = ~CH=>~P - prawo Kubusia.

Skąd Jaś zna prawo Kubusia i NTI ?
Cała algebra Kubusia to problem na poziomie 5-cio letniego dziecka, naturalnego eksperta NTI. Dzieciaki nie tylko znają w praktyce prawa Kubusia, ale są też ekspertami w logice dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a posługując się tymi pojęciami milion razy na dobę … o czym współczesna matematyka nie ma bladego pojęcia.

Kubuś w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i do teatru i nie pójdziemy na basen.
Y=K*T*~B
czyli matematycznie:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1) i nie pójdziemy na basen (~B=1)
Y=K*T*~B
czyli:
Y=1 <=> K=1 i T=1 i ~B=1
Logika dodatnia bo Y (bez negacji).
Znaczenie wybranych zmiennych w logice dodatniej:
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
K=1 - pójdziemy do kina
K=0 - nie pójdziemy do kina

… a kiedy Kubuś skłamie ?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y = ~K+~T+B
czyli matematycznie:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1) lub pójdziemy na basen (B=1)
~Y = ~K+~T+B
~Y - logika ujemna bo Y zanegowane.
Znaczenie wybranych zmiennych w logice ujemnej:
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa
~K=1 - jutro nie pójdziemy do kina
~K=0 - jutro pójdziemy do kina

Doskonale widać że:
1.
Mózg dziecka obsługuje zdanie A najzwyklejszą bramką logiczną AND, tu wszystkie zmienne muszą być ustawione na jeden aby nadawca dotrzymał słowa: Y=1
2.
Mózg dziecka obsługuje zdanie B najzwyklejszą bramką OR, wystarczy że którakolwiek ze zmiennych przyjmie wartość jeden i już nadawca jest kłamcą czyli: ~Y=1
3.
Zauważmy, że w zerach i jedynkach zmienne w zdaniu B mają totalnie odwrócone znaczenie niż w zdaniu A.
Matematycznie zachodzi:
Y#~Y
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd podstawiając do powyższego A i B mamy prawo de’Morgana:
K*T*~B = ~(~K+~T~+B)
… którego w praktyce języka mówionego absolutnie nikt nie używa bo człowiek mając do wyboru dwa równoważne matematycznie zdania zawsze wybierze to po lewej stronie bo jest prostsze.

Zdanie po prawej stronie będzie brzmiało:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru lub pójdziemy na basem.
Y=~(~K+~T~+B)

Wniosek:
Szanse na to że matematykom uda się kiedykolwiek zapisać matematycznie naturalny język mówiony człowieka bez akceptacji logiki dodatniej i ujemnej jak wyżej są równe zeru absolutnemu.

2.
p=>q - implikacja prosta, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Dodatkowo po stronie ~p musi być spełnione prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma 4 łapy
P=>4L =1 bo pies
Bycie psem jest wystarczające, aby mieć 4 łapy, implikacja prosta prawdziwa
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>4L =1 bo kura
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo koń

3.
p=>q - tylko warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
Po stronie ~p mamy tu kolejny warunek wystarczający:
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma kątów równych
~TR=>~KR
Zatem zdanie TP=>KR nie jest implikacją bo po stronie ~p nie jest spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia.

Uwaga:
Zauważmy że warunek wystarczający p=>q jest identyczny w implikacji i równoważności. Dopiero analiza zdania po stronie ~p pozwala rozstrzygnąć z czym mamy do czynienia. Wprowadzanie nowego symbolu jest zatem bez sensu. W pierwszym przybliżeniu zakładamy zawsze że zdanie p=>q jest implikacją, bowiem w naturalnym języku mówionym króluje implikacja. Tylko w świecie techniki i matematyce króluje równoważność bo tu implikacja jest najzwyklejszym idiotyzmem ze względu na „rzucanie monetą” zakodowane w każdej połówce definicji implikacji, zarówno prostej =>, jak i odwrotnej ~>. To że dzisiejsi matematycy twierdzą że większość twierdzeń matematycznych to implikacje wynika z błędnego rozumienia implikacji. Po pierwsze mylnie biorą sam warunek wystarczający jak wyżej za implikację, a po drugie często operują na twierdzeniach gdzie p lub q ma z góry znane wartości logiczne a to zabija implikację, będącą matematycznym opisem przyszłości gdzie zarówno p jak i q może przyjąć dowolne wartości logiczne, w chwili wypowiadania nie wiemy jakie. Determinizm zabija implikację, czyli jeśli znamy wartości logiczne p lub q w momencie wypowiadania implikacji to takie zdanie nie jest implikacją bo nie spełnia definicji zero-jedynkowej implikacji.

4.
W dowolnej implikacji prawdziwej zamiana argumentów bez zmiany operatora czyni tą implikację fałszywą.
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
czyli:
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
Jeśli q=>p=1 to p=>q=0
To jest bezdyskusyjny dowód że równoważność nie może być iloczynem dwóch implikacji prostych bo:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*0 = 0*1 =0
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 - oczywistość
Zamieniamy p i q bez zmiany operatora:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 - bo 2
stąd:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8) = 1*0 =0
Wykluczona jest równoważność rozumiana jako iloczyn logiczny dwóch implikacji prostych.

5.
W dowolnej implikacji prawdziwej zamiana argumentów wraz z wymianą operatora na przeciwny powoduje przejście do logiki przeciwnej. Zdania po obu stronach nierówności są prawdziwe, ale matematycznie nie są to zdania tożsame.
p=>q # q~>p
p~>q # q=>p
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa.
Zamieniamy p i q wraz z wymianą operatora:
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
P=>4L # 4L~>P
Obie implikacje są prawdziwe, ale matematycznie nie tożsame.

6.
Bezdyskusyjny błąd współczesnej logiki to zapis:
p=>q = q~>p
… bo takiego układu logicznego nie da się fizycznie zbudować przy pomocy bramek logicznych (dowód pkt. 10.4)

Jedynymi poprawnymi układami zastępczymi bramek p=>q i p~>q są układy logiczne zbudowane na mocy praw Kubusia.
p=>q = ~p~>~q - zamiana implikacji prostej => na równoważną implikacje odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - zamiana implikacji odwrotnej ~> na równoważną implikacje prostą =>

Prawa Kubusia to bezdyskusyjne tożsamości matematyczne, których realizacja fizyczna na bramkach logicznych jest bezdyskusyjna i banalna.

Kubusiowa definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych
czyli:
Jeśli czegokolwiek nie da się zrealizować w bramkach logicznych to nie jest to algebra Boole’a !

Wali się tu fundament absolutnie całej współczesnej logiki jakoby:
p=>q = q~>p
Powinno być:
p=>q # q~>p
Dowód pkt.10.4 w podpisie
CND

Podsumowanie:
Człowiek używa zdań „Jeśli…to…” tylko i wyłącznie w pięciu różnych znaczeniach. Poprawna matematyka która rości sobie prawo do opisu matematycznego naturalnego języka mówionego musi umieć rozpoznawać wszystkie takie zdania. Jedyną znaną człowiekowi logiką która to robi jest Nowa Teoria Implikacji.

Zdanie „Jeśli…to…” może być:
1.
p=>q
Implikacja prostą => spełniającą definicje implikacji prostej
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Wyrocznią implikacji prostej jest spełnione prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Po stronie ~p mamy tu warunek konieczny ~>.

2.
p=>q
Tylko warunkiem wystarczającym wchodzącym w skład równoważności
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Po stronie ~p mamy tu kolejny warunek wystarczający =>.
Zauważmy, że warunek wystarczający p=>q jest identyczny w implikacji i równoważności, W naturalnym języku mówionym to jest nie do rozpoznania, takie zdanie może być zarówno implikacją prostą =>, jak i równoważnością <=>. To czym jest w rzeczywistości trzeba dopiero udowodnić !

3.
p~>q
Implikacją odwrotną spełniającą definicję implikacji odwrotnej
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Zauważmy, że zachodzenie warunku koniecznego w kierunku p~>q gwarantuje implikacje odwrotną prawdziwą bo:
Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q.
W ten sposób odkryliśmy naturalną wyrocznię implikacji, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

4.
p~~>q
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
Oczywiście P3 nie jest konieczne dla P8.

5.
Zdanie „Jeśli…to…” które nie spełnia dowolnego z powyższych przypadków jest zdaniem fałszywym.

2.0 Definicje i prawa algebry Kubusia w pigułce

… czyli wszystko co najważniejsze w Nowej Teorii Implikacji w operatorach AND(*), OR(+), implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~>.

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1

Definicja równoważna:
Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=1*1*1*0*1 =0

Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0

Definicja równoważna:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.
Y=1+1+1+0+1 =1

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C) ….

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
gdzie:
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie)

Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.

Przykładowa funkcja logiczna:
A.
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
B.
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
C.
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana:
A+(B*~C) = ~A*(~B+C)

Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)

Zasada czytania funkcji logicznej:
Wartość funkcji logicznej z operatorami AND i OR to wartość logiczna zdania.
Y =1 - prawda, dotrzymam słowa (Y - logika dodatnia)
~Y=1 - fałsz, skłamię (~Y - logika ujemna)
gdzie:
Y - zarezerwowany symbol funkcji logicznej

Znaczenie zmiennych w logice dodatniej:
Y=A*B - funkcja logiczna
gdzie:
A, B - zmienne binarne, mogące przyjmować w osi czasu wyłącznie 0 albo 1.
Zasada czytania:
Y=1 <=> A=1 i B=1
inaczej Y=0.
czyli:
Wystąpi prawda (Y=1) jeśli zajdzie A=1 i B=1
Logika dodatnia:
Y=1, ~Y=0
A=1, ~A=0
B=1, ~B=0

Znaczenie zmiennych w logice ujemnej:
Kiedy powyższa funkcja będzie fałszem (kłamstwem) ?
Przejście do logiki ujemnej metodą przedszkolaka poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~A+~B
Zasada czytania jest tu identyczna:
~Y=1 <=> ~A=1 lub ~B=1
inaczej ~Y=0
Czyli:
Wystąpi fałsz (~Y=1) jeśli zajdzie ~A=1 lub ~B=1
Logika ujemna:
~Y=1, Y=0
~A=1, A=0
~B=1, B=0

Zauważmy, że znaczenie zmiennych w logice dodatniej jest fundamentalnie inne niż w logice ujemnej. W szczególności w operatorach AND i OR zdanie prawdziwe w logice dodatniej (Y=1) nie jest równoważne zdaniu prawdziwemu w logice ujemnej (~Y=1), czyli mamy sytuację: oba zdania prawdziwe, ale nie równoważne !

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Matematycznie oznacza to:
A.
Dotrzymam słowa (Y), jeśli jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T
czyli:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Stan faktyczny pojutrze:
Y=1 - dotrzymałem słowa
K=1 - byłem w kinie
i
T=1 - byłem w teatrze

Tata, a kiedy skłamiesz ?
Przejście do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów.
~Y=~K+~T
B.
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Stan faktyczny pojutrze:
~Y=1 - skłamałem
~K=1 - nie byłem w kinie
lub
~T=1 - nie byłem w teatrze

Zdanie B to dla wszystkich oczywistość, wypowiadana najczęściej jako odpowiedź na pytanie dziecka (Tata, kiedy skłamiesz ?), które dopiero uczy się języka. W języku mówionym „dotrzymam słowa (Y)” jest domyślne i nie musi być wypowiadane, natomiast „skłamię (~Y)” nie jest domyślne i zawsze jest wypowiadane.

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana
Y = K*T = ~(~K+~T)
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
Y = ~(~K+~T)
czyli:
Y=1 <=> ~(~K=1 lub ~T=1)
Dotrzymam słowa (Y=1), jeśli nie zdarzy się ~(…) że jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.

Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.

rafal3006

4.3 Przykład równoważności <=>

Dokładnie tak samo jak wyżej analizujemy równoważność.

Definicja zero-jedynkowa równoważności:

rafal3006

Wykluczona jest natomiast równoważność, błędnie rozumiana jako iloczyn logiczny dwóch implikacji prostych p=>q i q=>p bo:

rafal3006 · Koniec 2010-04-03

11.3 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej

Zero jedynkowa definicja implikacji odwrotnej to w dniu dzisiejszym zabytek klasy zerowej. Wszyscy ludzie na ziemi od przedszkolaka po profesora posługują się biegle operatorową definicją implikacji odwrotnej. Nie ma potrzeby przechodzenia do zero-jedynkowej definicji implikacji odwrotnej.

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej: