ŚFiNiA

rafal3006

Nowsza wersja:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/nowa-teoria-implikacji,4368.html#94138

Aksjomat matematyki języka mówionego:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).

Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego

Części:
Część I Operatory AND i OR
Część II Nowa teoria implikacji

Część II
Nowa teoria implikacji

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą sam się posługuje od 2500 lat, do tej pory bezskutecznie (Emde).
To już historia, bowiem w Internecie pojawił się Kubuś.
Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu, rzeczywiści autorzy wymienieni są wyżej.

Spis treści:

1.0 Kompendium symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia)
1.1 Notacja
1.2 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce
1.3 Warunki wystarczające i konieczne
1.4 Definicja implikacji prostej
1.5 Definicja implikacji odwrotnej
1.6 Prawa Kubusia
1.7 Równanie ogólne implikacji
1.8 Algorytm działania implikacji prostej
1.9 Równoważność
1.10 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”

2.0 Algebra Kubusia (symboliczna algebra Boole’a)
2.1 Implikacja prosta
2.2 Implikacja odwrotna
3.0 Równanie ogólne implikacji
3.1 Gwarancje w implikacji

4.0 Implikacja prosta i odwrotna - algorytmy
4.1 Implikacja prosta - algorytm działania
4.2 Implikacja odwrotna - algorytm działania

5.0 Prawa de’Morgana i prawa Kubusia w bramkach logicznych
5.1 Prawa de’Morgana w bramkach logicznych
5.2 Prawa Kubusia w bramkach logicznych
5.3 Implikacja prosta w bramkach logicznych
5.4 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych
5.5 Punkt odniesienia w implikacji

6.0 Obietnice i groźby
6.1 Obietnica
6.2 Rodzaje obietnic
6.3 Groźba
6.4 Złożone formy gróźb i obietnic
6.5 Wolna wola

7.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych
7.1 Obietnica w równaniach matematycznych
7.2 Groźba w równaniach matematycznych

8.0 Nowa teoria implikacji w praktyce
8.1 Następstwo czasowe w implikacji
9.0 Rodzaje implikacji
10.0 Porównanie nowej i starej teorii implikacji

Dodatek. Historia powstania Nowej Teoria Implikacji

Wstęp.

Od strony matematycznej nowa teoria implikacji to poziom I klasy LO. Kompletna nieznajomość dzisiejszej logiki w zakresie implikacji to zaleta w czytaniu tej publikacji a nie wada. Zawodowców proszę, aby na czas czytania zapomnieli o definicji implikacji materialnej i przyjęli za bazę nowe definicje implikacji tu podane.

Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie (Emde).

Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego.
1.
Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata
2.
Teoria musi być matematycznie jednoznaczna
3.
Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu

Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki. Nowa teoria to efekt prawie czteroletniej wojny o implikację na forum ŚFINIA Wuja Zbója. Przy okazji walki z implikacją powstała symboliczna algebra Kubusia, fundamentalnie inna w zakresie pojmowania implikacji oraz „tylko inna” w operatorach AND i OR. Nowością w algebrze Kubusia są nie tylko nowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus prawa Kubusia, ale także zdefiniowanie i używanie w praktyce logiki ujemnej zarówno w implikacji jak i operatorach AND i OR.

Algebra Boole’a bez logiki ujemnej = algebra dziesiętna bez liczb ujemnych
Czy ktokolwiek wyobraża sobie dzisiejszą matematykę bez liczb ujemnych ?

Punkt 1.0 to kompendium algebry Kubusia, czyli wszystko co najważniejsze w tej publikacji. Przy okazji obalono tu aż osiem implikacyjnych mitów funkcjonujących we współczesnej matematyce (logice).

1.0 Kompendium symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia)

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, czyli operowanie równaniami algebry Boole’a (język asemblera), z fundamentalnie innymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Oczywiście chodzi tu o interpretację tabel zero-jedynkowych definicji implikacji znanych człowiekowi od około 200 lat. Oczywiście algebra Kubusia respektuje wszystkie znane człowiekowi prawa z operatorów AND i OR algebry Boole’a.

Definicja algebry Kubusia:
Dwuelementowa algebra Kubusia (wyłącznie cyfry 0 i 1) to algebra legalnych operatorów logicznych z których najważniejsze to OR(+), AND(*), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus definicja negacji (~) oraz pojęcie zmiennej binarnej i funkcji logicznej.

1.1 Notacja

Notacja w algebrze Kubusia jest identyczna jak notacja technicznej algebry Boole’a czyli tej, której używają praktycy.

1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)

Aktualne, znane człowiekowi definicje implikacji mają zero wspólnego z implikacją występującą w naturalnym języku mówionym człowieka.
A.
Implikacja materialna:
[link widoczny dla zalogowanych]
Implikacja (inaczej wynikanie) to spójnik łączący dwa zdania P (poprzednik implikacji) i Q (następnik implikacji) mówiący, że "z P wynika Q". Jest to najbardziej kontrowersyjny ze spójników logicznych. W logice klasycznej przyjmuje się implikację materialną: „z P wynika Q” jest prawdziwe, jeśli Q jest prawdziwe lub P jest fałszywe. Jest to interpretacja wygodna ale całkowicie niezgodna z intuicyjnym rozumieniem "wynikania". W szczególności całkowicie nie do zaakceptowania dla intuicjonistów jest twierdzenie logiki klasycznej, które orzeka, że "z fałszu wynika cokolwiek".
B.
Implikacja ścisła:
[link widoczny dla zalogowanych]
Intencją Lewisa było stworzenie takiej logiki, która lepiej niż implikacja materialna w klasycznym rachunku zdań oddawałaby implikację występującą w języku naturalnym. Lewis nie uświadamiał sobie jeszcze w pełni różnicy między wynikaniem a implikacją ścisłą, współcześnie jednak logiki Lewisa interpretuje się powszechnie jako logiki zdań modalnych, na których gruncie właśnie implikację ścisłą zdefiniować można następująco …

Implikacja występująca w naturalnym języku mówionym to absolutny banał po przyjęciu prawidłowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia

Przyjęcie nowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia to pogrom starej logiki w zakresie implikacji (Klasycznego Rachunku Zdań). Wszystko jest nie tak, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny.

W szczególności, implikacyjne mity z powyższego cytatu to:
1.
Prawo kontrapozycji jest prawdziwe w równoważności i fałszywe w implikacji (Prawda 3)
2.
Nie jest prawdą jakoby operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> można było łatwo zastąpić operatorami AND(*) i OR(+) bowiem nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND(*) i OR(+), dodatkowo nie mamy wówczas dostępu do fenomenalnych praw Kubusia ! (Prawda 4)
3.
W nowej teorii implikacji niemożliwe jest aby „z fałszu powstała prawda” jak również niemożliwe jest aby „z prawdy powstał fałsz” (Prawda 5)

W sumie w publikacji obalono aż 8 implikacyjnych mitów oznaczonych Prawda 1 do Prawda 8, że nie wspomnę o takich drobiazgach jak odkrycie logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a.

1.2 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce

Podstawy algebry Boole’a omówiono szczegółowo w części I podręcznika „Algebra Kubusia - operatory AND i OR”

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1

Definicja równoważna:
Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=1*1*1*0*1 =0

Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0

Definicja równoważna:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.
Y=1+1+1+0+1 =1

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C) ….

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.

Przykładowa funkcja logiczna:
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
A+(B*~C) = ~A*(~B+C)

Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)

Zasada czytania funkcji logicznej:
Wartość funkcji logicznej z operatorami AND i OR (wartość zdania):
Y =1 - prawda, dotrzymam słowa (Y - logika dodatnia)
~Y=1 - fałsz, skłamię (~Y - logika ujemna)
gdzie:
Y - zarezerwowany symbol funkcji logicznej

Y=A*~B - funkcja logiczna
gdzie:
A, ~B - zmienne binarne, mogące przyjmować w osi czasu wyłącznie 0 albo 1.
Zasada czytania:
Y=1 <=> A=1 i ~B=1
inaczej Y=0.
czyli:
Prawda (Y) jeśli zajdzie A i ~B
Kiedy powyższa funkcja będzie fałszem (kłamstwem) ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~A+B
Zasada czytania jest tu identyczna:
~Y=1 <=> ~A=1 lub B=1
inaczej ~Y=0
Czyli:
Fałsz (~Y) jeśli zajdzie ~A lub B

Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.

Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.

rafal3006

4.0 Implikacja prosta i odwrotna - algorytmy

Działanie mózgu w obsłudze operatorów implikacji jest identyczne jak działanie każdego komputera z fundamentalnym wyjątkiem. W definicjach implikacji mamy w każdej połówce przypadkowość, co jest absurdem w technice.

4.1 Implikacja prosta - algorytm działania

Implikację „Jeśli p to q” mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach w pierwszym bada zgodność z p zaś w drugim zgodność z q. W żadnej chwili czasowej nie ma wykroczenia poza dwuelementową algebrę Boole’a.

Algorytm działania implikacji prostej =>:

rafal3006 · Koniec 2009-12-24

6.0 Obietnice i groźby

Jednym z przykładów zastosowania implikacji prostej => i odwrotnej ~> jest matematyczna obsługa obietnic i gróźb.

Nowe definicje implikacji

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia to dokładny odpowiednik praw de’Morgana:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na =>

Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy:
Obietnica = implikacja prosta => - to jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO

To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić kryształowo czystą matematyką że:
Groźba = implikacji odwrotna ~>
… szczegóły w następnym punkcie

Definicja obietnicy:
Obietnica = implikacja prosta =>
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać - stąd implikacja prosta
czyli:
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody, (W) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W), poza tym wszystko może się zdarzyć !
… tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>.

Analiza matematyczna obietnicy:
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę
W=>N =1 - gwarancja nagrody
1 1 =1
stąd na podstawie definicji operatora implikacji prostej => mamy:
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => nie dostaniesz nagrody
W=>~N =0
1 0 =0
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
czyli:
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~> nie dostać nagrody
~W~>~N =1
0 0 =1
LUB
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~~> dostać nagrodę
~W~~>N =1 - akt miłości
0 1 =1
Możliwość wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (akt miłości)
Doskonale widać definicje implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
W=1, ~W=0
N=1, ~N=0

Definicja groźby:
Groźba = implikacji odwrotna ~>
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna, bo spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym do ukarania, o tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W=>~K
czyli:
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W) to na pewno nie zostaniesz ukarany (~K), z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W), poza tym wszystko może się zdarzyć !
… tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>.

Porównajmy gwarancję w obietnicy z gwarancją w groźbie, doskonale widać 100% analogię wynikającą z definicji operatora implikacji prostej =>, jednak groźba ~> to fundamentalnie co innego niż obietnica => bowiem matematycznie:
p=>q # p~>q

Analiza matematyczna groźby:
Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~> zostać ukarany
W~>K =1
1 1 =1
LUB na podstawie definicji operatora implikacji odwrotnej~>:
Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~~> nie zostać ukarany
W~~>~K =1 - akt łaski
1 0 =1
Mamy tu prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy (akt łaski)
… a jeśli nie spełnię warunku kary ?
Prawo Kubusia:
W~>K= ~W=>~K
czyli:
Gwarancja w groźbie:
Jeśli nie spełnisz warunku kary, to na pewno => nie zostaniesz ukarany
~W=>~K =1
0 0 =1
… z powodu że nie spełniłeś warunku kary, wszystko inne może się zdarzyć
stąd na podstawie =>:
Jeśli nie spełnisz warunku kary, to na pewno => zostaniesz ukarany
~W=>K =0
0 1 =0
z powodu że nie spełniłeś warunku kary, poza tym wszystko może się zdarzyć.
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej W~>K.
Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
W=1, ~W=0
K=1, ~K=0

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~>.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach => i ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

6.1 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancja w implikacji jest zawsze operator implikacji prostej:
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

Dodatek

Historia powstanie Nowej Teorii Implikacji

Autor: Kubuś, wirtualny Internetowy Miś

Wstęp

W części głównej Nowej Teorii Implikacji przebyliśmy drogę od tabel zero-jedynkowych, poprzez tabele symboliczne do tabel operatorowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~>. W tej części pokażemy drogę dokładnie odwrotną, czyli od symbolicznej analizy implikacji którą posługują się dzieci w przedszkolu (definicje operatorowe), poprzez definicje symboliczne do tabel zero-jedynkowych. To podejście było kluczem do rozpracowania implikacji którą posługują się ludzie, bowiem niemożliwym jest rozpracowanie implikacji z poziomu tabel zero-jedynkowych operatorów logicznych, znanych ludziom od prawie 200 lat. Świadczy o tym 2500 lat bezskutecznych poszukiwań tej wersji implikacji, którą posługują się ludzie.

Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji

2.0 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej
2.1 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
2.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej
2.3 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej

3.0 Kubuś na tropie implikacji prostej
3.1 Operatorowa definicja implikacji prostej
3.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej
3.3 Gwarancja w implikacji prostej

4.0 Fundamenty algebry Boole’a
4.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
4.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
4.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*)
4.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności
4.5 Równoważność
5.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

6.0 Najciekawsze fragmenty dyskusji o NTI

1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

1.1 Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

2.0 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej

Nadszedł czas weryfikacji algebry Kubusia, której podstawy przed chwilą poznaliśmy. Dotychczas poznaliśmy algebrę Kubusia poczynając od tabel zero-jedynkowych, poprzez definicje symboliczne dochodząc do definicji operatorowych. W tym punkcie zrobimy dokładnie odwrotnie, czyli poczynając od naturalnego języka przedszkolaka czyli definicji operatorowych zejdziemy w dół aż do definicji zero-jedynkowych. Ten sposób podejścia był kluczem do rozwiązania problemu implikacji którą posługują się ludzie.

Udajmy się zatem do przedszkola, aby upewnić się czy dzieciaki znają algebrę Kubusia. Zadaniem dzieci będzie określenie które z wypowiedzianych zdań jest prawdziwe a które fałszywe. Zdania oczywiście będą tendencyjne, bo wymawia je Kubuś. Na początek Kubuś postanowił sprawdzić jak reagują dzieci na implikację odwrotną. Poprosił je, aby przy określaniu czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe brały pod uwagę wyłącznie psy zdrowe, z czterema łapami.

Kubuś:
A1:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P = 1 - zdanie prawdziwe bo pies, tu żaden przedszkolak nie miał wątpliwości.
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
A2:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P = 1 - zdanie prawdziwe bo słoń, koń, kot, lis, hipopotam …. przekrzykiwały się dzieci

Kubuś:
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Dzieciaki:
A3:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - zdanie oczywiście prawdziwe
Kubuś:
A4:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P = 0 - kłamstwo, fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy … zgodnym chórem krzyknęły dzieci

Hmm … pomyślał Kubuś, dzieciaki doskonale znają matematyczną wersję implikacji odwrotnej, aby upewnić się czy to prawda, zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy.

Dzieci ani razu nie popełniły błędu !

Zauważmy, że w zdaniu A1 cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem. Mamy tu bezpośredni dowód prawa Kubusia.
A1: 4L~>P= A3: ~4L=>~P

Zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) ale na pewno nie jest implikacją.
Dlaczego ?
Wyrocznią są tu prawa Kubusia, prawdziwe wyłącznie w implikacji (fałszywe w równoważności).

Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zdanie A2: 4L~>~P jest implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawo Kubusia:
A2: 4L~>~P = A4: ~4L=>P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
A4: ~4L=>P =0
Zdanie A4 jest na pewno fałszywe, zatem wobec zachodzącej tożsamości implikacja A2 musi być także fałszywa, czyli nie zachodzi tu warunek konieczny.
Prawdziwość zdania A2 opisuje wzór:
(4L~>~P) +( 4L~~>~P) = 0+1=1
Implikacja odwrotna (4L~>~P) na mocy prawa Kubusia jest tu oczywiście fałszywa, ale zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda, tu np. słoń).

2.1 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Zapiszmy teraz powyższe zdania wyłącznie w postaci operatorowej, czyli przy pomocy operatorów „musi” (=>) i „może” (~> lub ~~>)