ŚFiNiA ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.    FAQ   Szukaj   Użytkownicy   Grupy   Galerie   Rejestracja   Profil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości   Zaloguj  Nowa teoria implikacji v. Beta A          Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Sob 18:41, 20 Lut 2010    Temat postu: Nowa teoria implikacji v. Beta A Nowsza wersja: http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/nowa-teoria-implikacji,4368.html#94138 Aksjomat matematyki języka mówionego: Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>). Algebra Kubusia Matematyka języka mówionego Części: Część I Operatory AND i OR Część II Nowa teoria implikacji Część II Nowa teoria implikacji Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś Naszym dzieciom dedykuję W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele: Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni Wielkie dzięki, Kubuś ! Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą sam się posługuje od 2500 lat, do tej pory bezskutecznie (Emde). To już historia, bowiem w Internecie pojawił się Kubuś. Kim jest Kubuś ? Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji. Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu, rzeczywiści autorzy wymienieni są wyżej. Spis treści: 1.0 Kompendium symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia) 1.1 Notacja 1.2 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce 1.3 Warunki wystarczające i konieczne 1.4 Definicja implikacji prostej 1.5 Definicja implikacji odwrotnej 1.6 Prawa Kubusia 1.7 Równanie ogólne implikacji 1.8 Algorytm działania implikacji prostej 1.9 Równoważność 1.10 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…” 2.0 Algebra Kubusia (symboliczna algebra Boole’a) 2.1 Implikacja prosta 2.2 Implikacja odwrotna 3.0 Równanie ogólne implikacji 3.1 Gwarancje w implikacji 4.0 Implikacja prosta i odwrotna - algorytmy 4.1 Implikacja prosta - algorytm działania 4.2 Implikacja odwrotna - algorytm działania 5.0 Prawa de’Morgana i prawa Kubusia w bramkach logicznych 5.1 Prawa de’Morgana w bramkach logicznych 5.2 Prawa Kubusia w bramkach logicznych 5.3 Implikacja prosta w bramkach logicznych 5.4 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych 5.5 Punkt odniesienia w implikacji 6.0 Obietnice i groźby 6.1 Obietnica 6.2 Rodzaje obietnic 6.3 Groźba 6.4 Złożone formy gróźb i obietnic 6.5 Wolna wola 7.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych 7.1 Obietnica w równaniach matematycznych 7.2 Groźba w równaniach matematycznych 8.0 Nowa teoria implikacji w praktyce 8.1 Następstwo czasowe w implikacji 9.0 Rodzaje implikacji 10.0 Porównanie nowej i starej teorii implikacji Dodatek. Historia powstania Nowej Teoria Implikacji Wstęp. Od strony matematycznej nowa teoria implikacji to poziom I klasy LO. Kompletna nieznajomość dzisiejszej logiki w zakresie implikacji to zaleta w czytaniu tej publikacji a nie wada. Zawodowców proszę, aby na czas czytania zapomnieli o definicji implikacji materialnej i przyjęli za bazę nowe definicje implikacji tu podane. Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie (Emde). Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego. 1. Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata 2. Teoria musi być matematycznie jednoznaczna 3. Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki. Nowa teoria to efekt prawie czteroletniej wojny o implikację na forum ŚFINIA Wuja Zbója. Przy okazji walki z implikacją powstała symboliczna algebra Kubusia, fundamentalnie inna w zakresie pojmowania implikacji oraz „tylko inna” w operatorach AND i OR. Nowością w algebrze Kubusia są nie tylko nowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus prawa Kubusia, ale także zdefiniowanie i używanie w praktyce logiki ujemnej zarówno w implikacji jak i operatorach AND i OR. Algebra Boole’a bez logiki ujemnej = algebra dziesiętna bez liczb ujemnych Czy ktokolwiek wyobraża sobie dzisiejszą matematykę bez liczb ujemnych ? Punkt 1.0 to kompendium algebry Kubusia, czyli wszystko co najważniejsze w tej publikacji. Przy okazji obalono tu aż osiem implikacyjnych mitów funkcjonujących we współczesnej matematyce (logice). 1.0 Kompendium symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia) Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, czyli operowanie równaniami algebry Boole’a (język asemblera), z fundamentalnie innymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Oczywiście chodzi tu o interpretację tabel zero-jedynkowych definicji implikacji znanych człowiekowi od około 200 lat. Oczywiście algebra Kubusia respektuje wszystkie znane człowiekowi prawa z operatorów AND i OR algebry Boole’a. Definicja algebry Kubusia: Dwuelementowa algebra Kubusia (wyłącznie cyfry 0 i 1) to algebra legalnych operatorów logicznych z których najważniejsze to OR(+), AND(*), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus definicja negacji (~) oraz pojęcie zmiennej binarnej i funkcji logicznej. 1.1 Notacja Notacja w algebrze Kubusia jest identyczna jak notacja technicznej algebry Boole’a czyli tej, której używają praktycy. 1 = prawda 0 = fałsz # - różne * - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i' + - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub" ~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE" ~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..." <=> - symbol równoważności Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>) Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>) Aktualne, znane człowiekowi definicje implikacji mają zero wspólnego z implikacją występującą w naturalnym języku mówionym człowieka. A. Implikacja materialna: [link widoczny dla zalogowanych] Implikacja (inaczej wynikanie) to spójnik łączący dwa zdania P (poprzednik implikacji) i Q (następnik implikacji) mówiący, że "z P wynika Q". Jest to najbardziej kontrowersyjny ze spójników logicznych. W logice klasycznej przyjmuje się implikację materialną: „z P wynika Q” jest prawdziwe, jeśli Q jest prawdziwe lub P jest fałszywe. Jest to interpretacja wygodna ale całkowicie niezgodna z intuicyjnym rozumieniem "wynikania". W szczególności całkowicie nie do zaakceptowania dla intuicjonistów jest twierdzenie logiki klasycznej, które orzeka, że "z fałszu wynika cokolwiek". B. Implikacja ścisła: [link widoczny dla zalogowanych] Intencją Lewisa było stworzenie takiej logiki, która lepiej niż implikacja materialna w klasycznym rachunku zdań oddawałaby implikację występującą w języku naturalnym. Lewis nie uświadamiał sobie jeszcze w pełni różnicy między wynikaniem a implikacją ścisłą, współcześnie jednak logiki Lewisa interpretuje się powszechnie jako logiki zdań modalnych, na których gruncie właśnie implikację ścisłą zdefiniować można następująco … Implikacja występująca w naturalnym języku mówionym to absolutny banał po przyjęciu prawidłowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia Przyjęcie nowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia to pogrom starej logiki w zakresie implikacji (Klasycznego Rachunku Zdań). Wszystko jest nie tak, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny. W szczególności, implikacyjne mity z powyższego cytatu to: 1. Prawo kontrapozycji jest prawdziwe w równoważności i fałszywe w implikacji (Prawda 3) 2. Nie jest prawdą jakoby operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> można było łatwo zastąpić operatorami AND(*) i OR(+) bowiem nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND(*) i OR(+), dodatkowo nie mamy wówczas dostępu do fenomenalnych praw Kubusia ! (Prawda 4) 3. W nowej teorii implikacji niemożliwe jest aby „z fałszu powstała prawda” jak również niemożliwe jest aby „z prawdy powstał fałsz” (Prawda 5) W sumie w publikacji obalono aż 8 implikacyjnych mitów oznaczonych Prawda 1 do Prawda 8, że nie wspomnę o takich drobiazgach jak odkrycie logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a. 1.2 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce Podstawy algebry Boole’a omówiono szczegółowo w części I podręcznika „Algebra Kubusia - operatory AND i OR” Definicja iloczynu logicznego: Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden. Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1 Definicja równoważna: Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru. Y=1*1*1*0*1 =0 Definicja sumy logicznej: Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0 Definicja równoważna: Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden. Y=1+1+1+0+1 =1 Zmienna binarna: Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1. Funkcja logiczna: Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+). Przykład: Y = A+(B*C) …. Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach AND i OR: Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz). Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie: Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia Prawo przedszkolaka: W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne. Przykładowa funkcja logiczna: Y=A+(B*~C) Przejście do logiki przeciwnej: ~Y=~A*(~B+C) Oczywiście: Y=~(~Y) stąd prawo de’Morgana: A+(B*~C) = ~A*(~B+C) Prawa de’Morgana: p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+) p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*) Zasada czytania funkcji logicznej: Wartość funkcji logicznej z operatorami AND i OR (wartość zdania): Y =1 - prawda, dotrzymam słowa (Y - logika dodatnia) ~Y=1 - fałsz, skłamię (~Y - logika ujemna) gdzie: Y - zarezerwowany symbol funkcji logicznej Y=A*~B - funkcja logiczna gdzie: A, ~B - zmienne binarne, mogące przyjmować w osi czasu wyłącznie 0 albo 1. Zasada czytania: Y=1 <=> A=1 i ~B=1 inaczej Y=0. czyli: Prawda (Y) jeśli zajdzie A i ~B Kiedy powyższa funkcja będzie fałszem (kłamstwem) ? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne: ~Y=~A+B Zasada czytania jest tu identyczna: ~Y=1 <=> ~A=1 lub B=1 inaczej ~Y=0 Czyli: Fałsz (~Y) jeśli zajdzie ~A lub B Prawo Prosiaczka: Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych. Przykład: Definicja implikacji prostej =>. Kod: p q  Y=p=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Najprostsze równanie uzyskamy z linii drugiej bowiem w wyniku mamy tu samotne zero. Z tabeli widzimy że: A. Y=0 <=> p=1 i q=0 Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera. Sposób I Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynki: B. Y=0 czyli ~Y=1 p=1 q=0 czyli ~q=1 Definicja iloczynu logicznego: Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden. Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy: ~Y = p*~q Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka: Y=~p+q czyli: p=>q = ~p+q Sposób II Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej. Definicja sumy logicznej: Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru Na podstawie równania A mamy: C. Y=0 p=1 czyli ~p=0 q=0 Korzystając z A i C na podstawie definicji sumy logicznej mamy: Y=~p+q czyli: p=>q = ~p+q Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla drugiej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież. Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą => Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji => i ~>: Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (patrz prawa Kubusia). Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej. 1.3 Warunki wystarczające i konieczne Warunki wystarczający w implikacji prostej => i konieczny w implikacji odwrotnej ~> wynikają bezpośrednio z odpowiednich definicji zero-jedynkowych, to fundament Nowej Teorii Implikacji. Warunki wystarczający i konieczny należy rozumieć w sposób naturalny, tak jak to rozumieją 5-cio letnie dzieci. 1. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy P=>4L Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => abym miał cztery łapy, zatem warunek wystarczający spełniony 2. Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem 4L~>P Posiadanie czterech łap jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem, zatem warunek konieczny spełniony Warunki wystarczający => i konieczny ~> to kluczowe pojęcia w Nowej Teorii Implikacji. Dlaczego ? => - spójnik „musi” między p i q, warunek wystarczający ~> - spójnik „może” między p i q, warunek konieczny 1. Definicja implikacji prostej jest złożeniem warunku wystarczającego w kierunku p=>q i koniecznego w kierunku ~p~>~q Przykład: P=>4L = ~P~>~4L (wyżej) 2. Definicja implikacji odwrotnej jest złożeniem warunku koniecznego w kierunku p~>q i wystarczającego w kierunku ~p=>~q Przykład: 4L~>P = ~4L=>~P (wyżej) 3. Definicja równoważności to złożenie warunku wystarczającego w kierunku p=>q i ponownie warunku wystarczającego w kierunku ~p=>~q. Przykład: Twierdzenie Pitagorasa TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) 4. Ostatni możliwy przypadek czyli złożenie warunku koniecznego po stronie p~>q i ponownie warunku koniecznego po stronie ~p~>~q jest niemożliwy do zaistnienia bo: Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q, wykluczony jest tu zatem przypadek ~p~>~q. W sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na operator => Koniec, to jest cała filozofia NTI w obszarze implikacji i równoważności. UWAGA ! Zauważmy, że powyższe prawo Kubusia jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy między p~>q zachodzi warunek konieczny czyli: p~>q = ~p=>~q =1 Jeśli między p~>q zachodzi warunek konieczny to na pewno między ~p=>~q zachodzi warunek wystarczający, gwarantuje to prawo Kubusia. inaczej: p~>q = ~p=>~q = 0 ! - brak warunków konieczny/wystarczający, obie implikacje są fałszywe. 1.4 Definicja implikacji prostej => Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej: Kod: p q p=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Definicja w równaniu algebry Boole’a. p=>q = ~p+q = ~(p*~q) Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Definicja operatorowa i zero-jedynkowa implikacji prostej =>: Kod:  p    q  Y=p=>q  p => q =1 1 1 =1 stąd:  p =>~q =0 1 0 =0 … a jeśli nie zajdzie p ? Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q ~p ~>~q =1 0 0 =1 LUB ~p~~> q =1 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Zauważmy, że warunek wystarczający wynika z pierwszych dwóch linii tabeli zero-jedynkowej. Druga linia jest twardym fałszem, zatem na podstawie pierwszej linii mamy: p=>q =1 Jeśli zajdzie p to musi zajść q czyli p musi być wystarczające dla q. Kolejne dwie linie to warunek konieczny ~>, widać że jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q lub q. Mamy tu typowe „rzucanie monetą”. Dla wylosowanego elementu ~p jedna z dwóch ostatnich linii będzie prawdziwa, druga fałszywa. Dla nieskończonej ilości losowań na pewno zajdzie przynajmniej jedna prawda w obu ostatnich liniach, stąd dwie jedynki w definicji. Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawda 1 Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem definicja implikacji prostej => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie. Nie ma implikacji prostej => bez implikacji odwrotnej ~> ! 1.5 Definicja implikacji odwrotnej ~> Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej ~>: Kod: p q p~>q 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =1 0 1 =0 Definicja w równaniu algebry Boole’a p~>q = p+~q = ~(~p*q) Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Definicja operatorowa i zero-jedynkowa implikacji odwrotnej: Kod:  p    q  Y=p~>q  p ~> q =1 1 1 =1 LUB  p~~>~q =1 1 0 =1 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q ~p =>~q =1 0 0 =1 Stąd: ~p => q =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 W pierwszej linii p musi być konieczne dla q, bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie warunek wystarczający w trzeciej linii. Zauważmy, że jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wymusi zajście ~q, czyli w sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawda 2 Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem operator implikacji odwrotnej ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej => i odwrotnie. Nie ma implikacji odwrotnej ~> bez implikacji prostej => ! 1.6 Prawa Kubusia Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą => Dowód autorstwa Wuja Zbója: A. p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej B. p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~> Dla prawej strony korzystamy z definicji operatora implikacji odwrotnej ~> (B): ~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q bo: ~(~q)=q - prawo podwójnego przeczenia p=>q = ~p+q - definicja A CND Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na => Dla prawej strony korzystamy z definicji implikacji prostej => (A): ~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q bo: ~(~p)=p - prawo podwójnego przeczenia p~>q = p+~q - definicja B CND Dowód prawa Kubusia metoda zero-jedynkową. Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikację odwrotną ~>. Dowód metodą zero-jedynkową: Kod: p q p=>q ~p ~q ~p~>~q 1 1 1     0  0  1 1 0 0     0  1  0 0 0 1     1  1  1 0 1 1     1  0  1 Równość kolumn wynikowych trzeciej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa Kubusia. Drugie z praw Kubusia dowodzi się analogicznie. Prawa Kubusia są prawdziwe w zarówno w nowej teorii implikacji jak i i klasycznym rachunku zdań. 1.7 Równanie ogólne implikacji Kod: p q p=>q p~>q 1 1  =1  =1 1 0  =0  =1 0 0  =1  =1 0 1  =1  =0 Na mocy definicji implikacji zachodzi: p=>q # p~>q warunek wystarczający => między p i q # warunek konieczny ~> między p i q Po obu stronach nierówności korzystamy z praw Kubusia i praw de’Morgana otrzymując równanie ogólne implikacji, prawdziwe zarówno w nowej teorii implikacji jak i klasycznym rachunku zdań. p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) Mamy tu dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne. Przykład implikacji prostej =>: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa Po zamianie p i q będziemy mieli do czynienia z implikacją odwrotną: Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa Na mocy definicji mamy: P8=>P2 # P2~>P8 Równanie ogólne implikacji dla tego przykładu przybierze postać: P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8) Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, zauważmy że po obu stronach nierówności gwarancje są różne. Lewa strona: P8=>P2 = ~(P8*~P2) czyli: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2 P8=>P2 Gwarantowane liczby: 8,16,24 … Ta sama gwarancja inaczej: Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2 ~(P8*~P2) Gwarantowane liczby: 8,16,24 … Prawa strona: P2~>P8 = ~P2=>~P8 = ~(~P2*P8) czyli: Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8 ~P2=>~P8 Gwarantowane liczby: 1,3,5 … Ta sama gwarancja inaczej: Nie może się zdarzyć, że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8 ~(~P2*P8) Gwarantowane liczby: 1,3,5 … Prawda 3 Z powyższego równania ogólnego mamy: P8=>P2 # ~P2=>~P8 czyli: Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji Prawa Kubusia są prawdziwe w implikacji i fałszywe w równoważności Prawda 4 Zauważmy wyżej, że w implikacyjnych AND i OR nie zachodzi przemienność argumentów, czyli ~(P8*~P2) to zupełnie co innego niż ~(~P2*P8). Dodatkowo z poziomu operatorów AND i OR nie mamy dostępu do fenomenalnych praw Kubusia. Z tego powodu operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> są niezbędne w logice klasycznej. Rodzaje implikacji: 1. matematyka (p) - matematyka (q) Przykład wyżej: P8=>P2 i P2~>P8 Oczywiście na mocy definicji implikacji: P8=>P2 # P2~>P8 2. przyroda (p) - przyroda (q) Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~>padać CH~>P Chmury są warunkiem koniecznym deszczu, zatem implikacja odwrotna prawdziwa po zamianie p i q mamy poprawną implikację prostą: Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno P=>CH Padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur, zatem implikacja prosta prawdziwa Oczywiście na mocy definicji: CH~>P # P~>CH W 1 i 2 sensowna będzie zarówno implikacja prosta p=>q jak i implikacja odwrotna p~>q powstała poprzez zamianę p i q. Sensowne i prawdziwe nie oznacza równoważne, bowiem operator implikacji prostej => (warunek wystarczający) to fundamentalnie co innego niż operator implikacji odwrotnej ~> (warunek konieczny). Na mocy definicji: p=>q # p~>q czyli: warunek wystarczający między p i q # warunek konieczny między p i q Fałszywość prawa kontrapozycji doskonale widać w implikacjach typu: 3. człowiek (p) - człowiek (q) czyli we wszelkich obietnicach i groźbach o których w dalszej części publikacji. 4. przyroda martwa (p) - człowiek (q) Przykład; Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę P=>O =1 Obietnica, zatem implikacja prosta. Padanie jest warunkiem wystarczającym dla otworzenia parasolki, zatem jest to implikacja prosta => prawdziwa. Prawo kontrapozycji: P=>O = ~O=>~P czyli: Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno => nie będzie padało ~O=>~P =0 Oczywisty nonsens ! „Nie otwarcie parasolki” nie jest warunkiem wystarczającym dla „nie padania”, zatem na mocy definicji implikacji prostej => jest to implikacja prosta fałszywa. Prawo Kubusia: ~O=>~P = O~>P =0 Oczywiście poprawny aparat matematyczny z fałszu wygeneruje fałsz, nic innego nie może ! Jeśli otworzę parasolkę to może padać O~>P =0 Otwarcie parasolki nie jest warunkiem koniecznym dla deszczu, zatem implikacja odwrotna fałszywa CND 1.8 Algorytm działania implikacji prostej Implikację „Jeśli p to q” mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach w pierwszym bada zgodność z p zaś w drugim zgodność z q. W żadnej chwili czasowej nie ma wykroczenia poza dwuelementową algebrę Boole’a. Algorytm działania implikacji prostej =>: Kod: Zdanie wypowiedziane: p=>q                         musi          Jeśli         |-----  q --- p=>q=1         |-----  p -----|musi         1 1 =1         |              |----- ~q --- p=>~q=0         |                            1 0 =0         | X => ---|         |         |               może         |Jeśli         |----- ~q --- ~p~>~q=1         |----- ~p -----|może          0 0 =1                        |-----  q --- ~p~~>q=1                                       0 1 =1 Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Jak widać, w pierwszym takcie podejmujemy decyzją czy iść drogą p czy też ~p co zależy od wylosowanego elementu X. W drugim takcie zawsze mamy tylko i wyłącznie dwie możliwości do wyboru, zatem cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a. Sens implikacji prostej: Po nieskończonej ilości losowań wszystkie pudełka będą pełne za wyjątkiem pudełka p=>~q=0 które będzie puste, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w implikacji prostej. Najważniejsze w implikacji prostej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna p=>q=1. Przykład: Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy P=>4L Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa Analiza: Jeśli zajdzie p Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy P=>4L =1 - w tym pudełku wszystkie ziemskie psy. Gwarancja w implikacji prostej ! 1 1 =1 Z prawdy (zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (zwierzę ma cztery łapy) =1 - pies stąd: Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap P=>~4L =0 - pudełko puste 1 0 =0 Z prawdy (zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (zwierzę nie ma czterech łap) =0 - oczywisty fałsz … a jeśli zwierzę nie jest psem ? Prawo Kubusia: P=>4L = ~P~>~4L czyli: Jeśli zajdzie ~p Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap ~P~>~4L =1 - w tym pudełku wąż, kura, mrówka … 0 0 =1 Z prawdy (zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (zwierzę nie ma czterech łap) =1 bo wąż, kura … LUB Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy ~P~~>4L =1 - w tym pudełku słoń, koń, hipopotam … 0 1 =1 Z prawdy (zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (zwierzę ma cztery łapy) =1 bo słoń… Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P=1, ~P=0 4L=1, ~4L=0 Prawda 5 ~p~~>q =1 0 1 =1 Jak widać linia 0 1 =1 nie oznacza że „z fałszu może wyniknąć prawda” ale że: Z prawdy (nie zajdzie p) może wyniknąć prawda (zajdzie q) =1 Żegnaj kolejny implikacyjny micie rodem z definicji implikacji materialnej. 1.9 Równoważność Zacznijmy od … Operatorowej i zero-jedynkowa definicja implikacji prostej: Kod:  p   q  p=>q  P=> q =1 1 1 =1  p=>~q =0 1 0 =0 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p=>q=~p~>~q czyli: ~p~>~q =1 0 0 =1 LUB ~p~~>q =1 0 1 =1 W definicji operatorowej doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Jak widać wyżej prawo Kubusia obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie. W równoważności mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi, nie ma tu śladu operatora implikacji odwrotnej ~> jak w definicji implikacji prostej wyżej. Operatorowa i zero-jedynkowa definicja równoważności: Kod:  p   q  p<=>q  P=> q =1 1 1 =1  p=>~q =0 1 0 =0 … a jeśli zajdzie ~p ? ~p=>~q =1 0 0 =1 ~p=> q =0 0 1 =0 Doskonale widać tabele zero-jedynkowa równoważności dla kodowania w logice dodatniej: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Stąd dziewicza, operatorowa definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Jak widać, w definicji równoważności po prawej stronie chodzi wyłącznie o warunki wystarczające => między p i q oraz między ~p i ~q. Nie ma tu śladu implikacji i prawa Kubusia widocznego w definicji implikacji wyżej. Wyrażenia p=>q i ~p=>~q nie są implikacjami bo w tabeli równoważności nie ma szans na zaistnienie prawa Kubusia co doskonale widać porównując powyższe definicje implikacji prostej i równoważności. Twierdzenie: Jeśli cokolwiek jest równoważnością to nie może być implikacją i odwrotnie. Równoważność i implikacja to dwa rozłączne światy matematyczne miedzy którymi nie zachodzą żadne prawa matematyczne. Dowód: Definicje implikacji i równoważności wyżej Twierdzenie: Równoważność to iloczyn logiczny warunków wystarczających między p i q oraz między ~p i ~q (nigdy implikacji) co widać w definicji równoważności wyżej. Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Z powyższego wynika, że nauczyciel matematyki nie może zabraniać dziecku wypowiadania formy p=>q, ~p=>~q, bo niby jak wtedy udowodnić równoważność ? Dowód równoważności na przykładzie: Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma boki równe R=>BR Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym, aby mieć boki równe Oczywistość, zatem: R=>BR =1 W tym momencie nie da się rozstrzygnąć czy powyższe jest równoważnością czy też implikacją bo identyczny warunek wystarczający p=>q występuje zarówno w definicji równoważności <=> jak i definicji implikacji prostej =>. Aby udowodnić iż powyższe jest równoważnością dowodzimy kolejnego warunku wystarczającego: Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma boków równych ~R=>~BR Nie bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym aby nie mieć boków równych Oczywistość, zatem: ~R=>~BR =1 Dopiero w tym momencie mamy pewność na mocy definicji równoważności iż jest to równoważność. Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma boki równe. R<=>BR = (R=>BR)*(~R=>~BR) = 1*1 =1 Prawda 6 Twierdzenia matematyczne mające formę „Jeśli …to…” to oczywiste warunki wystarczające w stronę p=>q. Nie są to ani implikacje, ani równoważności. Udowodnienie iż twierdzenie jest implikacją czy też równoważnością wymaga dodatkowych działań jak to pokazano wyżej. Oczywiście w praktyce wypowiadając twierdzenie: Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma boki równe R=>BR stwierdzamy zachodzący warunek wystarczający. Prawda 7 Nie wolno dziecku zabronić wypowiadania tego typu twierdzeń na mocy definicji równoważności która na to pozwala ! p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) CND Prawda 8 Dzisiejsza definicja równoważności jest fałszywa. p<=>q = (p=>q)*(q=>p) jeśli prawą stronę będziemy rozumieli jako iloczyn logiczny dwóch implikacji prostych p=>q i q=>p. Niezwykły dowód: Dla implikacji w algebrze Boole’a mamy: p=>q # q=>p zatem jeśli p=>q = 1 to q=>p =0 albo odwrotnie, stąd: p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*0 =0 Niemożliwa jest implikacja prosta w dwie strony, zatem błędna jest interpretacja prawej strony równoważności jakoby chodziło tu o dwie implikacje proste p=>q i q=>p. Dziewicza definicja równoważności na podstawie tabeli operatorowej równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Oczywiście po prawej stronie chodzi o warunki wystarczające, to nie są implikacje ! W równoważności argumenty są przemienne i tu prawdziwe jest prawo kontrapozycji: ~p=>~q = q=>p stąd odprysk definicji równoważności: p<=>q = (p=>q)*(q=>p) Oczywiście po prawej stronie chodzi o iloczyn logiczny warunków wystarczających p=>q i q=>p, to nie są implikacje ! 1.10 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…” Spójniki zdaniowe: => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”: Implikacja prosta: p=>q Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q p musi być wystarczające dla q Stwierdzenie warunku wystarczającego w stronę p=>q determinuje zdanie prawdziwe które może być: 1. Implikacją prostą p=>q jeśli po stronie ~p stwierdzimy warunek konieczny czyli: ~p~>~q Czasami prościej jest wykluczyć warunek wystarczający w stronę ~p=>~q, to wystarczy aby udowodnić że zdanie p=>q jest implikacją prostą. 2. Równoważnością p<=>q, gdy po stronie ~p również stwierdzimy warunek wystarczający czyli ~p=>~q. Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)=1*1=1 3. Jeśli zdanie jest równoważnością to w stronę p=>q zachodzi warunek wystarczający. Jeśli w stronę q=>p również stwierdzimy warunek wystarczający to zdanie jest na pewno równoważnością, nigdy implikacją. Definicja równoważna równoważności: p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1 Implikacja odwrotna: p~>q Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q p musi być konieczne dla q Stwierdzenie warunku koniecznego w p~>q determinuje implikację odwrotną: p~>q ale …. Zdanie może być prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) i nie musi być implikacją odwrotną np. Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8 P3~~>P8 =1 bo 24 P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, nie jest to zatem implikacja odwrotna. Koniec, to jest cała filozofia kodowania zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…” Zauważmy coś bardzo ciekawego. A. Jeśli trójkąt ma boki równe to na pewno => jest równoboczny BR=>R =1 B. Jeśli trójkąt nie ma boków równych to na pewno => nie jest równoboczny ~BR=>~R =1 Stąd na podstawie definicji równoważności możemy zapisać: C. Trójkąt ma boki równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny BR<=>R = (BR=>R)*(~BR=>~R) = 1*1=1 - ewidentna równoważność Aby stwierdzić równoważność musimy zapisać i zbadać czy zachodzą warunki wystarczające jak wyżej w A i B. Wszystkie trzy zdania są matematycznie poprawne bowiem w definicji równoważności chodzi tylko i wyłącznie o warunki wystarczające, nigdy o implikacje. Zauważmy, że gdybyśmy nie mieli prawa zapisać zdań A i B jako prawdziwych to niemożliwe byłoby stwierdzenie równoważności ! Twierdzenie Pitagorasa. Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. TP=>SK =1 - pewny warunek wystarczający (nie implikacja !) Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie jest spełniona suma kwadratów. ~TP=>~SK=1 - również pewny warunek wystarczający (nie implikacja) Twierdzenie Pitagorasa jest równoważnością bo: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) = 1*1 =1 Aby stwierdzić czy zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością musimy stwierdzić warunki wystarczające jak wyżej. Wtedy i tylko wtedy zdanie jest równoważnością. Wynika z tego, że ten sam symbol => może oznaczać implikację prostą albo tylko warunek wystarczający =>. Tu nasuwa się pytanie … a może by tak wprowadzić nowy symbol na przykład |=> dla precyzyjnego zapisu warunku wystarczającego ? Odpowiedź może być tylko negatywna, dlaczego ? Definicja warunku wystarczającego: p=>q =1 1 1 =1 p=>~q =0 1 0 =0 Jeśli zajdzie p to musi => zajść q … bo linia p=>~q jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić. Definicja warunku wystarczającego nie mówi nic co będzie po stronie ~p. Po stronie ~p może być oczywiście: ~p=>~q - warunek wystarczający czyli: ~p=>~q=1 0 0 =1 ~p=>q=0 0 1 =0 wtedy całe zdanie jest równoważnością ! ALBO ! ~p~>~q - warunek konieczny czyli: ~p~>~q=1 0 0 =1 ~p~~>q=1 0 1 =1 tu całe zdanie p=>q jest implikacją ! Równoważność i implikacja to dwa rozłączne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne. Nie ma sensu wprowadzanie nowego symbolu warunku wystarczającego |=> bowiem tego symbolu nie da się opisać w równaniu algebry Boole’a. Możliwe są dwie próby opisania warunku wystarczającego w postaci równania algebry Boole’a. p|=>q = ~p+q - implikacja albo: p|=>q =p*q+~p*~q - równoważność … ale jak widać lądujemy albo w implikacji prostej =>, albo w równoważności czyli to jest bez sensu. Prawo Misia: Zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności 2.0 Algebra Kubusia (symboliczna algebra Boole’a) Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawa Kubusia to dokładny odpowiednik praw de’Morgana: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na => Skąd wzięły się powyższe definicje ? Zacznijmy od definicji zero-jedynkowej … 2.1 Implikacja prosta Kod: Tabela A p q  Y=p=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Operowanie tabelami zero-jedynkowymi w logice to epoka dinozaurów. Przechodzimy zatem z tabelą wyżej na język symboliczny w logice dodatniej przyjmując: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Stąd: Symboliczna definicja implikacji prostej: Kod: Tabela B  p  q  Y=p=>q  ~Y=~(p=>q)  p  q =1        0  p ~q =0        1 ~p ~q =1        0 ~p  q =1        0 Y - logika dodatnia czyli odpowiedź na pytanie kiedy wystąpi prawda ~Y - logika ujemna, czyli odpowiedź na pytanie kiedy wystąpi fałsz Zauważmy, że powyższą tabelę można opisać wieloma równoważnymi równaniami w algebrze Boole’a. Z drugiej linii tabeli mamy: ~Y=p*~q Związek logiki ujemnej z logiką dodatnią: Y=~(~Y) stąd: 1. Y=~(p*~q) Język mówiony: Nie może się zdarzyć ~(…), że zajdzie p i nie zajdzie q 2. Y = ~p+q - na podstawie prawa de’Morgana Funkcję logiczną absolutnie równoważną do powyższej tworzymy opisując linie z jedynkami w wyniku: 3. Y=(p*q) + (~p*~q) + (~p*q) Język mówiony: Wystąpi prawda (Y) jeśli zajdzie p*q lub ~p*~q lub ~p*q Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez totalną negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne w równaniu 3. ~Y = (~p+~q) * (p+q) *(p+~q) stąd: 4. Y=~[(~p+~q) * (p+q) *(p+~q)] Oczywiście równania 1,2,3,4 są matematycznie równoważne. Dlaczego powyższych banałów nie uczą w dzisiejszej szkółce ? UWAGA: Człowiek w naturalnym języku mówionym bez problemu uchwyci sens równań 1 i 3, natomiast równania 2 i 4 będą dla przeciętnego człowieka ciężko zrozumiałe. Zauważmy, że w równaniu 3 dla dowolnego przypadku wyłącznie jeden składnik sumy logicznej może równy jeden, pozostałe przypadki będą równe zeru. Kolejnym krokiem wtajemniczenia jest przejście z definicji symbolicznej do definicji operatorowej. Znaczenie operatora implikacji prostej Znaczenie symboli: => - „musi” ~> lub ~~> - „może” Z pierwszych dwóch linii tabeli B widać, że jeśli zajdzie p to musi zajść q. p =>q =1 Dlaczego ? Bo kolejny przypadek: p =>~q =0 jest wykluczony. Z ostatnich dwóch linii tabeli symbolicznej B widać że: Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q ~p ~>~q =1 LUB Jeśli zajdzie ~p to może zajść q ~p ~~>q =1 Stąd definicja operatorową implikacji. Kod: Tabela C  p    q  Y=p=>q  p => q =1 stąd:  p =>~q =0 … a jeśli nie zajdzie p ? Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q ~p ~>~q =1 LUB ~p~~> q =1 Stąd definicja implikacji prostej: p=>q Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q p musi być wystarczające dla q gdzie: => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Oczywista świętość widoczna w powyższej tabeli to prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q 1 = 1 Ok Dla drugiej linii na podstawie prawa Kubusia mamy: p=>~q = ~p~>q 0 = 0 Czyli ostatnia linia nie może być implikacją odwrotną prawdziwą bo prawo Kubusia leży w gruzach. Ostatnia linia jest prawdziwa na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi zatem nie jest to implikacja odwrotna. Prawdziwość ostatniej linii można opisać wzorem: (~p~>q) + (~p~~>q) = 0+1 = 1 Odsłońmy zera i jedynki w definicji operatorowej: Kod: Tabela C  p    q  Y=p=>q  p => q =1 1 1 =1 stąd:  p =>~q =0 1 0 =0 … a jeśli nie zajdzie p ? Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q ~p ~>~q =1 0 0 =1 LUB ~p~~> q =1 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Uwaga ! Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem definicja implikacji prostej => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie. 2.2 Implikacja odwrotna Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej: Kod: Tabela A1 p q  Y=p~>q 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =1 0 1 =0 Dla kodowania w logice dodatniej: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Otrzymujemy definicje symboliczną. Definicja symboliczna implikacji odwrotnej: Kod: Tabela B1  p  q  Y=p~>q ~Y=~(p~>q)  p  q =1       0  p ~q =1       0 ~p ~q =1       0 ~p  q =0       1 Z ostatniej linii mamy definicję implikacji w równaniu algebry Boole’a. ~Y=~p*q czyli: p~>q=~(~p*q) = p+~q - na podstawie prawa de’Morgana Znaczenie symboli: => - „musi” ~> lub ~~> - „może” Z pierwszych dwóch linii tabeli B1 widzimy że: Jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być konieczne dla q p~>q =1 LUB Jeśli zajdzie p to może zajść ~q p~~>~q =1 Dlaczego p musi być konieczne dla q ? … bo w przeciwnym przypadku już pierwsza linia definicji jest twardym fałszem. Przykład: Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem S~>P =0 Oczywisty twardy fałsz, czyli żegnaj definicjo. Zauważmy, że jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wymusza zajście ~q, czyli w sposób naturalny odkryliśmy prawo Kubusia. p~>q = ~p=>~q Dla trzeciej linii tabeli B1 mamy: Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q ~p=>~q =1 stąd ostatni możliwy przypadek dla ~p jest wykluczony: ~p=>q =0 Definicja operatorowa implikacji odwrotnej: Kod: Tabela C1  p    q  Y=p~>q  p ~> q =1 LUB  p~~>~q =1 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q ~p =>~q =1 Stąd: ~p => q =0 Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być konieczne dla q gdzie: ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym Oczywista świętość widoczna w powyższej tabeli to prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q 1 = 1 Dla drugiej linii na podstawie prawa Kubusia mamy: p~>~q = ~p=>q 0 = 0 Ostatnia linia jest twardym fałszem, zatem druga linia nie może być implikacją odwrotną bo prawo Kubusia leży w gruzach. Druga linia jest prawdziwa na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi zatem nie jest to implikacja odwrotna. Prawdziwość drugiej linii opisuje wzór: (p~>~q) = (p~~>~q) = 0+1 =1 Odsłońmy bezwzględne zera i jedynki w powyższej tabeli: Kod: Tabela D1  p    q  Y=p~>q  p ~> q =1 1 1 =1 LUB  p~~>~q =1 1 0 =1 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q ~p =>~q =1 0 0 =1 Stąd: ~p => q =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Uwaga ! Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem operator implikacji odwrotnej ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej => i odwrotnie. W ten sposób wyprowadziliśmy znaczenie operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~> i mamy prawo je używać w naturalnym języku mówionym ! Prawdziwe jest równanie niżej: Symboliczna algebra Boole'a (algebra Kubusia) = logika człowieka Uwaga: Operatory „musi” => i „może” ~> są legalnymi operatorami poprawnej algebry Boole’a ! … co dowiedziono wyżej. „musi” => i „może ~> ” to najzwyklejsze bramki logiczne o fundamentalnie innych definicjach związane ze sobą prawami Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na => 3.0 Równanie ogólne implikacji Matematyczna oczywistość: A. p=>q # q=>p bo: p=>q=~p+q # q=>p = ~q+p B. p~>q # q~>p bo: p~>q = p+~q # q~>p = q+~p czyli: W implikacji argumenty nie są przemienne ! Na mocy definicji mamy: C. p=>q = ~p+q # p~>q = p+~q bo to dwie różne tabele zero-jedynkowe czyli: Warunek wystarczający => # warunek konieczny ~> Zapiszmy teraz wszystkie możliwe wzorki po obu stronach powyższej nierówności z uwzględnieniem praw Kubusia. Równanie ogólne implikacji: p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) Po obu stronach nierówności mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne. Prawo poprawnego punktu odniesienia w implikacji: W implikacji jedynym poprawnym punktem odniesienia jest zawsze zdanie wypowiedziane, czyli po „Jeśli…” mamy zawsze p, zaś po „to…” mamy zawsze q. Wynika z tego że … Zapisy legalne, zgodne z poprawnym punktem odniesienia: p=>q - implikacja prosta Jeśli zajdzie p to musi zajść q p musi być wystarczające dla q p~>q - implikacja odwrotna Jeśli zajdzie p to może zajść q p musi być konieczne dla q Zapisy nielegalne, niezgodne z poprawnym punktem odniesienia: q~>p q=>p Jeśli implikacja prosta p=>q jest prawdziwa, to może być prawdziwa implikacja odwrotna p~>q powstała poprzez zamianę p i q w implikacji prostej. Dlaczego „może” ? Przykład implikacji p=>q prawdziwej i p~>q fałszywej: Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę P=>O =1 Padanie jest warunkiem wystarczającym, abym otworzył parasolkę, zatem implikacja prosta prawdziwa Po zamianie p i q matematycznie lądujemy w implikacji odwrotnej: Jeśli otworzę parasolkę to może padać O~>P =0 Otworzenie parasolki nie jest warunkiem koniecznym dla nie padania, zatem implikacja odwrotna fałszywa. Przykład implikacji p=>q prawdziwej i p~>q prawdziwej: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa Jeśli zamienimy p i q i użyjemy tego samego operatora to otrzymamy implikację odwrotną fałszywą, oczywistość wynikła z równania A czyli: Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8 P2=>P8 =0 bo 2 Jeśli zdanie jest fałszywe to wyrzucamy je do kosza z napisem „śmieci” bowiem w poprawnej matematyce z fałszu nie da się wyprodukować prawdy. Po zamianie p i q matematycznie lądujemy w implikacji odwrotnej: Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa, wspaniale spełniająca tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej. Równanie ogólne implikacji: D. p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) Dla naszego przykładu mamy: E. P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8) W implikacji jedynym poprawnym punktem odniesienia jest zawsze zdanie wypowiedziane, czyli po „Jeśli…” mamy zawsze p, zaś po „to…” mamy zawsze q. Poprawny zapis dla naszego przykładu jest zatem taki: P8=>P2 # P2~>P8 czyli: p=>q # p~>q Tu matematycy klasyczni mogą protestować. Zauważmy bowiem, że parametry formalne przyjmują różne wartości aktualne po obu stronach nierówności. Lewa strona: p=P8, q=P2 Prawa strona: p=P2, q=P8 Odpowiedź Kubusia: Prawa w algebrze Boole’a nie musza pokrywać się w 100% z algebrą dziesiętną. Po obu stronach nierówności mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami implikacyjnymi (D i E) pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne. W powyższym równaniu doskonale widać fałszywość prawa kontrapozycji w implikacji: P8=>P2 # ~P2=>~P8 Twierdzenie: Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji Prawa Kubusia są poprawne w implikacji i fałszywe w równoważności Na koniec pełna analiza powyższych implikacji przez odpowiednie definicje zero-jedynkowe. Implikacja prosta A. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2 P8=>P2 =1 bo 8,16,24… Gwarancja w implikacji prostej P8=>P2 ! 1 1 =1 P8 jest wystarczające dla P2 zatem jest to implikacja prosta prawdziwa stąd: B. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2 P8=>~P2 =0 - oczywisty fałsz 1 0 =0 … a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 Prawo Kubusia: P8=>P2 = ~P8~>~P2 czyli: C. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2 ~P8~>~P2 =1 bo 3,5,7 … 0 0 =1 LUB D. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2 ~P8~~>P2 =1 bo 2,4,6 … 0 1 =1 Doskonale widać definicję zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P8=1, ~P8=0 P2=1, ~P2=0 Zauważmy, że prawo Kubusia zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, zatem implikacja prosta nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej i odwrotnie. Zdanie D nie jest implikacją odwrotną co łatwo udowodnić. Dowód nie wprost. Załóżmy, że D jest implikacją odwrotną ~P8~>P2. Jeśli to implikacja to obowiązuje prawo Kubusia prawdziwe w implikacji: D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2 Zdanie B jest oczywistym fałszem, zatem D nie może być implikacją Zdanie D jest prawdziwe na mocy tego równania: (~P8~~>P2) + (~P8~>P2) = 1 + 0 =1 czyli zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda (np. 2). Implikacja odwrotna A. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 =1 bo 8,16,24 … 1 1 =1 P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa LUB B Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8 P2~~>~P8 =1 bo 2,4,6 … 1 0 =1 … a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ? Prawo Kubusia: P2~>P8 = ~P2=>~P8 czyli: C. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8 ~P2=>~P8 =1 bo 3,5,7 … Gwarancja w implikacji odwrotnej P2~>P8 ! 0 0 =1 stąd: D. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8 ~P2=>P8 =0 - oczywistość 0 1 =0 Doskonale widać definicję zero-jedynkową implikacji odwrotnej ~> dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P2=1, ~P2=0 P8=1, ~P8=0 Doskonale też widać, że prawo Kubusia zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, zatem implikacja odwrotna nie może istnieć bez operatora implikacji prostej i odwrotnie. Widać wyżej doskonale że: P8=>P2 # P2~>P8 bo to dwie fundamentalnie inne definicje zero-jedynkowe. Bardzo ciekawa jest analiza zdania C przez oryginalną definicję zero-jedynkową implikacji prostej. Na mocy prawa Kubusia nie musimy tego robić, ale z ciekawości zróbmy to … Zdanie wypowiedziane: C. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8 ~P2=>~P8 =1 bo 3,5,7 … Gwarancja w implikacji odwrotnej P2~>P8 ! 1 1 =1 Niepodzielność liczby przez 2 jest warunkiem wystarczającym dla niepodzielności przez 8, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa stąd: D. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8 ~P2=>P8 =0 - oczywistość 1 0 =0 … a jeśli liczba jest podzielna przez 2 ? Prawo Kubusia: ~P2=>~P8 = P2~>P8 A. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 =1 bo 8,16,24 … 0 0 =1 P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa LUB B Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8 P2~~>~P8 =1 bo 2,4,6 … 0 1 =1 Doskonale widać definicję zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~P2=1, P2=0 ~P8=1, P2=0 Zauważmy, że zdania A, B, C i D są dokładnie takie same po obu stronach prawa Kubusia: P2~>P8 = ~P2=>~P8 co jest oczywiście dowodem poprawności praw Kubusia. 3.1 Gwarancje w implikacji Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, którą na mocy definicji jest zawsze implikacja prosta. Implikacja prosta: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2 P8=>P2 =1 bo 8,16,24… Gwarancja w implikacji prostej P8=>P2 ! Gwarantowane liczby: 8,16,24 … Gwarancja równoważna w operatorach AND i OR wynika z definicji: P8=>P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) czyli: Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2 ~(P8*~P2) Gwarantowane liczby: 8,16,24 … Implikacja odwrotna: Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 =1 bo 8,16,24 … W implikacji odwrotnej gwarancja, którą zawsze jest implikacja prosta, wynika z prawa Kubusia: P2~>P8 = ~P2=>~P8 czyli: Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8 ~P2=>~P8 =1 bo 3,5,7 … Gwarancja w implikacji odwrotnej P2~>P8 ! Gwarantowane liczby: 3,5,7 … Gwarancja równoważna do powyższej w wyrażona w operatorach AND i OR: P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8) Nie może się zdarzyć, że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8 ~(~P2*P8) Gwarantowane liczby: 3,5,7 … Równanie ogólne implikacji: p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) Na mocy powyższego dla naszego przykładu mamy: P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8) Bardzo ważny wniosek: P8=>P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~(~P2*P8)) W definicjach implikacji wyrażonych w operatorach AND i OR nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND i OR. Po obu stronach powyższej nierówności mamy fundamentalnie różne gwarancje matematyczne. ~(P8*~P2) - gwarantowane liczby: 8,16,24 … ~(~P2*P8) - gwarantowane liczby: 3,5,7 … Ciąg dalszy na kole Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 0:48, 21 Lut 2010, w całości zmieniany 1 raz Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Sob 19:05, 20 Lut 2010    Temat postu: 4.0 Implikacja prosta i odwrotna - algorytmy Działanie mózgu w obsłudze operatorów implikacji jest identyczne jak działanie każdego komputera z fundamentalnym wyjątkiem. W definicjach implikacji mamy w każdej połówce przypadkowość, co jest absurdem w technice. 4.1 Implikacja prosta - algorytm działania Implikację „Jeśli p to q” mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach w pierwszym bada zgodność z p zaś w drugim zgodność z q. W żadnej chwili czasowej nie ma wykroczenia poza dwuelementową algebrę Boole’a. Algorytm działania implikacji prostej =>: Kod: Zdanie wypowiedziane: p=>q                         musi          Jeśli         |-----  q --- p=>q=1         |-----  p -----|musi         1 1 =1         |              |----- ~q --- p=>~q=0         |                            1 0 =0         | X => ---|         |         |               może         |Jeśli         |----- ~q --- ~p~>~q=1         |----- ~p -----|może          0 0 =1                        |-----  q --- ~p~~>q=1                                       0 1 =1 Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Jak widać, w pierwszym takcie podejmujemy decyzją czy iść drogą p czy też ~p co zależy od wylosowanego elementu X. W drugim takcie zawsze mamy tylko i wyłącznie dwie możliwości do wyboru, zatem cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a. Sens implikacji prostej: Po nieskończonej ilości losowań wszystkie pudełka będą pełne za wyjątkiem pudełka p=>~q=0 które będzie puste, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w implikacji prostej. Najważniejsze w implikacji prostej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna p=>q=1. Przykład: Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy P=>4L Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa Analiza: Jeśli zajdzie p Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy P=>4L =1 - w tym pudełku wszystkie ziemskie psy. Gwarancja w implikacji prostej ! 1 1 =1 Z prawdy (zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (zwierzę ma cztery łapy) =1 - pies stąd: Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap P=>~4L =0 - pudełko puste 1 0 =0 Z prawdy (zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (zwierzę nie ma czterech łap) =0 - oczywisty fałsz … a jeśli zwierzę nie jest psem ? Prawo Kubusia: P=>4L = ~P~>~4L czyli: Jeśli zajdzie ~p Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap ~P~>~4L =1 - w tym pudełku wąż, kura, mrówka … 0 0 =1 Z prawdy (zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (zwierzę nie ma czterech łap) =1 bo kura … LUB Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy ~P~~>4L =1 - w tym pudełku słoń, koń, hipopotam … 0 1 =1 Z prawdy (zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (zwierzę ma cztery łapy) =1 bo słoń… Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P=1, ~P=0 4L=1, ~4L=0 Prawda 5 ~p~~>q =1 0 1 =1 Jak widać linia 0 1 =1 nie oznacza że „z fałszu może wyniknąć prawda” ale że: Z prawdy (nie zajdzie p) może wyniknąć prawda (zajdzie q) =1 Żegnaj kolejny implikacyjny micie rodem z definicji implikacji materialnej. 4.2 Implikacja odwrotna - algorytm działania Algorytm działania implikacji odwrotnej: Kod: Zdanie wypowiedziane: p~>q                         może          Jeśli         |-----  q --- p~>q=1         |-----  p -----|może         1 1 =1         |              |----- ~q --- p~~>~q=1         |                            1 0 =1         | Y ~> ---|         |         |               musi         |Jeśli         |----- ~q --- ~p=>~q=1         |----- ~p -----|musi          0 0 =1                        |-----  q --- ~p=>q=0                                       0 1 =0   Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Tu także implikacja obsługiwana jest w dwóch taktach. W pierwszym następuje decyzja czy iść linią p czy też ~p w zależności od wylosowanego elementu Y. W drugim takcie mamy do wyboru zawsze dwie możliwości czyli cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a. Sens implikacji odwrotnej: Po nieskończonej ilości losowań wszystkie pudełka będą pełne za wyjątkiem pudełka ~p=>q=0 które będzie puste, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w implikacji odwrotnej. Najważniejsze w implikacji odwrotnej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna ~p=>~q=1. Przykład: Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem 4L~>P =1 Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa. Analiza: A. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem 4L~>P =1 - w tym pudełku wszystkie ziemskie psy 1 1 =1 Z prawdy (zwierzę ma cztery łapy) może wyniknąć prawda (zwierzę jest psem) =1 bo pies LUB B. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem 4L~~>~P =1 - w tym pudełku słoń, koń, hipopotam … 1 0 =1 Z prawdy (zwierzę ma cztery łapy) może wyniknąć prawda (zwierzę nie jest psem) =1 bo słoń … a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ? Prawo Kubusia: 4L~>P = ~4L=>~P C. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem ~4L=>~P =1 - w tym pudełku wąż, kura, mrówka … Gwarancja w implikacji odwrotnej ! 0 0 =1 Z prawdy (zwierzę nie ma czterech łap) na pewno wyniknie prawda (zwierzę nie jest psem) =1 bo kura D. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem ~4L=>P =0 - pudełko puste 0 1 =0 Z prawdy (zwierzę nie ma czterech łap) na pewno wyniknie prawda (zwierzę jest psem) =0 - fałsz (nie jest to możliwe) Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: 4L=1, ~4L=0 P=1, ~P=0 Prawda 5 p~~>~q =1 1 0 =1 Jak widać linia 1 0 =1 nie oznacza że „z prawdy może wyniknąć fałsz” ale że: Z prawdy (zajdzie p) może wyniknąć prawda (nie zajdzie q) =1 Podsumowanie: 1. Gdyby na świecie cztery łapy posiadały wyłącznie psy to zdanie B byłoby fałszem, zaś zdanie wypowiedziane A byłoby równoważnością. Jednak cztery łapy mają nie tylko psy ale cała masa innych zwierząt. Zdanie A dotyczy wyłącznie psów, pozostałe zwierzaki muszą być zatem w linii B bo w logice nic nie może zginąć. Zdania C i D dotyczą zwierzaków które nie maja czterech łap, zatem tu nie można upchnąć ani jednego zwierzaka który ma cztery łapy. 2. Zauważmy, że gwarancja w implikacji prostej p=>q jest fundamentalnie inna od gwarancji w implikacji odwrotnej p~>q (zawartość pudełek). 3. Wyobraźmy sobie teraz powyższe algorytmy implikacji jako czarne pudełko z jednym wejściem i czterema wyjściami. Jeśli zdanie jest implikacją to elementy wrzucane do tego pudełka segregowane są na cztery zbiory z których jeden jest zawsze pusty. Oznacza to, że implikacja jest wirtualną logiką czterowartościową i rzeczywistą dwuwartościową co wynika z powyższych algorytmów. Zauważmy że w przykładach wyżej mamy. Implikacja prosta: 1. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy P=>4L Na podstawie definicji implikacji prostej mamy: P=>4L = ~(P*~4L) gdzie: P=>4L = ~(P*~4L) Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap. ~(P*~4L) Gwarancja: Pies Implikacja odwrotna: 2. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem 4L~>P Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia: 4L~>P = ~4L=>~P czyli: Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem ~4L=>~P Na mocy definicji implikacji mamy: 4L~>P = ~4L=>~P = 4L+~P = ~(~4L*P) czyli: ~4L=>~P = ~(~4L*P) Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem ~(~4L*P) Gwarancja: wąż, kura, mrówka … Równanie ogólne implikacji dla tego przykładu: P=>4L = ~P~>~4L = ~P+4L = ~(P*~4L) # 4L~>P = ~4L=>~P = 4L+~P = ~(~4L*P) z powyższego równania wynika że: ~(P*~4L) # ~(~4L*P) czyli: W implikacyjnych AND i OR wynikłych z definicji implikacji nie zachodzi przemienność argumentów. Gwarancja ~(P*~4L) to zupełnie co innego niż gwarancja ~(~4L*P), co widać na przykładzie wyżej. Bardzo ważny wniosek W przekształceniach na równoważnych definicjach implikacji wyrażonych w operatorach AND i OR w czasie przekształceń można sobie robić sieczkę, ale aby prawidłowo odczytać sens implikacji wyrażonej w AND i OR musimy przed odczytem uporządkować parametry zgodnie z zapisem operatorowym implikacji ! Przykład: Zastana rzeczywistość: 4L~>P # ~(P*~4L) obowiązkowe porządkowanie zapisu zgodne z wektorem 4L~>P ! 4L~>P = ~(~4L*P) dopiero teraz mamy dokładnie to samo po obu stronach tożsamości ! Wniosek: Z powodów jak wyżej operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> są w logice niezbędne, czyli nie jest tak jak to twierdzi dzisiejsza logika że można je łatwo zastąpić operatorami AND i OR. 5.0 Prawa de’Morgana i prawa Kubusia w bramkach logicznych Analogia praw de’Morgana i praw Kubusia jest zupełna. Prawa de’Morgana mówią o możliwości zamiany operatora AND(*) na OR(+) lub odwrotnie, natomiast prawa Kubusia mówią o zamianie operatora implikacji prostej => na odwrotną ~> lub odwrotnie 5.1 Prawa de’Morgana w bramkach logicznych Prawa de’Morgana: p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*) p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+) Prawo de’Morgana w teorii bramek logicznych: p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany bramki OR(+) na AND(*) p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany bramki AND(*) na OR(+) Z pierwszego równania widać, że bramkę OR(+) możemy zastąpić bramką AND(*) z zanegowanymi wejściami i zanegowanym wyjściem i układ logiczny się nie zmieni. Z drugiego równania widać, że bramkę AND(*) możemy zastąpić bramką OR(+) z zanegowanymi wejściami i zanegowanym wyjściem i układ logiczny się nie zmieni. W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko. Zobaczmy to na schematach ideowych: Kod: Bramka OR i jej schemat zastępczy wynikający z prawa de’Morgana  p   q       p   q  |   |       |   |  |   |       O   O  |   |       |~p |~q -------     ------- |     |  =  |     | | OR  |     | AND | -------     -------    |           O    |           |    Y=p+q   =   Y=~(~p*~q) Z powyższego wynika, że bramkę OR możemy zastąpić bramką AND plus trzema negatorami wstawionymi w linie wejściowe p i q oraz linię wyjściową Y. Kod: Bramka AND i jej schemat zastępczy wynikający z prawa de’Morgana  p   q       p   q  |   |       |   |  |   |       O   O  |   |       |~p |~q -------     ------- |     |  =  |     | | AND |     | OR  | -------     -------    |           O    |           |    Y=p*q   =   Y=~(~p+~q) Podobnie bramkę AND możemy zastąpić bramką OR plus trzema negatorami. Fizycznie oznacza to, że możemy zbudować dwa układy jak wyżej (w technice cyfrowej to banał) a następnie połączyć sygnały p-p, q-q, Y-Y i wszystko będzie dalej pięknie działało. Dowód praw de’Morgana uwzględniający logikę dodatnią (Y) i ujemną (~Y) w tabeli zero-jedynkowej. Kod: p q Y=p*q ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q) 1 1 1      0  0  0       1 1 0 0      0  1  1       0 0 0 0      1  1  1       0 0 1 0      1  0  1       0 Równość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa de’Morgana. Ten sam dowód krok po kroku w bramkach logicznych. Zobaczmy na bramkach logicznych o co chodzi w logice dodatniej i ujemnej w operatorach AND(*) i OR(+). Na początku była bramka AND(*) …. Kod:  p   q       p   q         p   q  |   |       |   |         |   |  |   |       O   O         O   O  |   |       |~p |~q       |~p |~q  |   |       O   O         |   |  |   |       |p  |q        |   | -------     -------       ------- |     |  =  |     |    =  |     | | AND |     | AND |       | OR  | -------     -------       -------    |           |Y=p*q        |    |           O             |    |           |~Y=~(p*q)    |~Y=~p+~q    |           O             O    |           |             |    Y=p*q   =   Y=p*q         Y=~(~p+~q)    A           B             C Schemat A: Bramka AND rodem z teorii układów logicznych, realizująca funkcję logiczną Y=p*q. Schemat B: Na rysunku B wstawiliśmy w każdą linię wejściową bramki po dwie negacje oraz w linię wyjściową Y również dwie negacje. Taki układ oczywiście nie zmieni się bo: A=~(~A) - prawo podwójnego przeczenia. W linii wejściowej p po minięciu pierwszego negatora otrzymamy sygnał ~p ale po minięciu drugiego negatora będziemy mieli sygnał p, identyczny jak na wejściu. Identycznie mamy w linii wejściowej q. Na wyjściu bramki AND mamy sygnał Y=p*q, po minięciu pierwszego negatora mamy ten sam sygnał w logice ujemnej ~Y=~(p*q), zaś po minięciu kolejnego negatora mamy sygnał identyczny jak bezpośrednio na wyjściu bramki AND czyli Y=p*q Schemat C: Ten schemat różni się od B wyłącznie tym, że zastosowaliśmy układ zastępczy bramki AND z zanegowanymi wejściami i zanegowanym wyjściem, którym jest po prostu bramka OR. Oczywiście na wyjściu ~Y mamy teraz ~Y=~p+~q zgodnie ze schematem ideowym, zaś po minięciu negatora na wyjściu (negujemy dwustronnie) mamy Y=~(~p+~q). W matematyce wszystko musi się zgadzać. Dla rysunków B i C mamy dla wyjścia ~Y: ~Y=~Y czyli: ~(p*q) = ~p+~q - prawo de’Morgana w równoważnym zapisie Zaś dla wyjścia Y: Y=Y czyli: p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana w najpopularniejszym zapisie Jak widzimy wyżej, przedszkolak przechodząc z logiki dodatniej do ujemnej w genialnie prosty sposób nie robi nic nadzwyczajnego. Y=p*q Przejście do logiki ujemnej metodą przedszkolaka poprzez negację sygnałów i wymianę operatorów na przeciwne: ~Y=~p+~q Wszystko jest tu w 100% zgodne z teorią bramek logicznych, czyli algebrą Boole’a. Mam nadzieję, że wszyscy rozumieją teraz dlaczego w nowatorskiej tabeli zero-jedynkowego dowodu prawa de’Morgana wyżej widnieje zapis ~Y=~p+~q a nie jak to jest w dzisiejszej matematyce gołe ~p+~q, które nie wiadomo czym jest. Oczywiście sygnały w punktach Y i ~Y to zupełnie co innego, gdybyśmy je połączyli kabelkiem na powyższym schemacie (czyli wymusili Y=~Y) byłoby dużo dymu i smrodu, wszystko wyleciałoby w powietrze. Przykład: Jutro pójdę do kina i do teatru Y=K*T Matematycznie oznacza to: Dotrzymam słowa (Y=1), jeśli jutro pójdę do kina i do teatru Y=K*T gdzie: Y=1 - zdanie prawdziwe …. a kiedy skłamię ? Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów. ~Y=~K+~T Skłamię (~Y=1), jeśli jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru ~Y=~K+~T gdzie: ~Y=1 - zdanie prawdziwe Mamy tu do czynienia ze zdaniami prawdziwymi, ale nie równoważnymi bowiem występującymi w przeciwnych logikach. 5.2 Prawa Kubusia w bramkach logicznych Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na prostą => Prawo Kubusia w teorii bramek logicznych: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany bramki „musi” => na bramkę „może” ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany bramki „może” ~> na bramkę „musi” => Bramki logiczne „musi” => i „może” ~> nie są znane człowiekowi, najwyższy czas podać ich definicje … Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q p musi być wystarczające dla q Na podstawie tej definicji łatwo konstruujemy bramkę implikacji prostej, którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią p. W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko „O”. Bramkowa definicja implikacji prostej: Kod:   p   q   |   |  -------  |O => |  | musi|  |  OR |  -------     |    p=>q Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy niezanegowaną linię q. Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” zajść q p musi być konieczne dla q Na podstawie tej definicji mamy bramkę implikacji odwrotnej którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią q. Bramkowa definicja implikacji odwrotnej: Kod:   p   q   |   |  -------  | ~> O|  | może|  |  OR |  -------     |    p~>q Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy zanegowaną linię q. Układ zastępczy bramki implikacji prostej Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Kod:  p   q       p   q       p   q  |   |       |   |       |   |  |   |       O   O       O   O  |   |       |~p |~p     |~p |~q  |   |       O   O       |   |  |   |       |p  |q      |   | -------     -------     ------- |O => |  =  |O => |  =  | ~> O| |musi |     |musi |     |może | |OR   |     |OR   |     |OR   | -------     -------     -------    |           |           |    A           B           C   p=>q        p=>q       ~p~>~q Na schemacie B wprowadzamy w linie wejściowe po dwie negacje. Oczywiście układ nie ulegnie zmianie zgodnie z prawem podwójnego przeczenia. p=~(~p) Na rysunku C wpychamy po jednej negacji do środka bramki OR. Negacja z wejście p przemieści się na wejście q [bo ~(~p)=p], zaś bramka stanie się bramką implikacji odwrotnej zgodnie z jej definicją bramkową wyżej. Bramka A jest równoważna bramce C czyli: p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej: Kod: p q p=>q ~p ~q ~p~>~q 1 1 =1    0  0  =1 1 0 =0    0  1  =0 0 0 =1    1  1  =1 0 1 =1    1  0  =1 Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramką implikacji prostej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji odwrotnej. Układ zastępczy bramki implikacji odwrotnej ~> Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Kod:  p   q       p   q       p   q  |   |       |   |       |   |  |   |       O   O       O   O  |   |       |~p |~p     |~p |~q  |   |       O   O       |   |  |   |       |p  |q      |   | -------     -------     ------- | ~> O|  =  | ~> O|  =  |O => | |może |     |może |     |musi | |OR   |     |OR   |     |OR   | -------     -------     -------    |           |           |    A           B           C   p~>q        p~>q       ~p=>~q Bramka A jest równoważna bramce C czyli: p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej: Kod: p q p~>q ~p ~q ~p=>~q 1 1 =1    0  0  =1 1 0 =1    0  1  =1 0 0 =1    1  1  =1 0 1 =0    1  0  =0 Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramka implikacji odwrotnej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji prostej. Zauważmy, że w przypadku praw Kubusia (w przeciwieństwie do praw de’Morgana) na wyjściu bramki nie musieliśmy wprowadzać dwu negatorów. Wstawiamy tu wyłącznie po dwie negacje w linie wejściowe co oczywiście również nie zmienia w żaden sposób układu cyfrowego. Oczywiście na mocy definicji i praw de’Morgana zachodzi: p=>q # p~>q czyli: p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) 5.3 Implikacja prosta w bramkach logicznych Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na => Zdanie wypowiedziane: p=>q Tabela operatorowa i zero-jedynkowa dla zdania wypowiedzianego: Kod: p=>q=1 1 1 =1 stąd: p=>~q=0 1 0 =0 … a jeśli nie zajdzie p ? Prawo Kubusia: p=>q=~p~>~q czyli: ~p~>~q=1 0 0 =1 ~p~~>q =1 0 1 =1 Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Fizyczna realizacja w bramkach logicznych: Kod:   p     q   |     |   |     x-------------------x   |     |                   |   x-----|-------------x     |   |     |             |     |   |     |             O     O   |     |             |~p   |~q  ---------           ---------  |O =>   |p=>q=1     | ~>   O|~p~>~q=1  |musi   |1 1 =1     |może   |0 0 =1  |A      |p=>~q=0    |B      |~p~~>q=1  |OR     |1 0 =0     |OR     |0 1 =1  ---------           ---------      |                   |      |                   |      x---------x---------x                |                |                Y=p=>q Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Bramki po lewej i prawej stronie są absolutnie równoważne. Na pytanie co będzie jak zajdzie p odpowiadamy patrząc przez bramkę A, natomiast na pytanie co będzie jak zajdzie ~p odpowiadamy patrząc przez bramkę B. W technice cyfrowej bramki logiczne opisuje się przy pomocy tabeli prawdy, pokazującej wszystkie możliwe stany logiczne na wejściu bramki oraz odpowiedź zero-jedynkowa na jej wyjściu. Tabela prawdy dla powyższego układu: Kod: p q p=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Uwaga ! Tabela zero-jedynkowa wypełniona jest ze stałego punktu odniesienia p=>q, czyli dla p=0 na wejściu bramki A, będziemy mieli ~p=1 na wejściu bramki B. Identycznie dla q=0 na wejściu bramki A, będzie ~q=1 na wejściu bramki B. Ćwiczenie 5.3.1 Zbudować fizycznie powyższy układ logiczny i sprawdzić iż działa zgodnie z powyższą tabela prawdy. Na podstawie prawa Kubusia dla powyższego układu zachodzi: p=>q = ~p~>~q Mamy wyżej matematyczną tożsamość, czyli wszystko jedno które zdanie wypowiemy. Zobaczmy jak będzie wyglądał układ logiczny dla zdania po prawej stronie. Zdanie wypowiedziane: ~p~>~q Tabela operatorowa i zero-jedynkowa dla zdania wypowiedzianego: Kod: ~p~>~q=1 1 1 =1 ~p~~>q =1 1 0 =1 … a jeśli zajdzie p ? Prawo Kubusia: ~p~>~q=p=>q czyli: p=>q=1 0 0 =1 stąd: p=>~q=0 0 1 =0 Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Fizyczna realizacja w bramkach logicznych: Kod:  ~p    ~q   |     |   |     x-------------------x   |     |                   |   x-----|-------------x     |   |     |             |     |   |     |             O     O   |     |             |p    |q  ---------           ---------  |  ~>  O|~p~>~q=1   |O =>   |p=>q=1  |może   |1 1 =1     |musi   |0 0 =1  |A      |~p~~>q=1   |B      |p=>~q=0  |OR     |1 0 =1     |OR     |0 1 =0  ---------           ---------      |                   |      |                   |      x---------x---------x                |                |                Y=~p~>~q Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~p=1, p=0 ~q=1, q=0 Bramki po lewej i prawej stronie są absolutnie równoważne. Na pytanie co będzie jak zajdzie ~p odpowiadamy patrząc przez bramkę A, natomiast na pytanie co będzie jak zajdzie p odpowiadamy patrząc przez bramkę B. Tabela prawdy dla powyższego układu: Kod: ~p ~q ~p~>~q  1  1 =1  1  0 =1  0  0 =1  0  1 =0 Uwaga ! Tabela zero-jedynkowa wypełniona jest ze stałego punktu odniesienia ~p~>~q, czyli dla ~p=0 na wejściu bramki A, będziemy mieli p=1 na wejściu bramki B. Identycznie dla ~q=0 na wejściu bramki A, będzie ~q=1 na wejściu bramki B. Ćwiczenie 5.3.2 Zbudować fizycznie powyższy układ logiczny i sprawdzić iż działa zgodnie z powyższą tabela prawdy. 5.4 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na => Zdanie wypowiedziane: p~>q Tabela operatorowa i zero-jedynkowa dla zdania wypowiedzianego: Kod: p~>q=1 1 1 =1 stąd: p~~>~q=1 1 0 =1 … a jeśli nie zajdzie p ? Prawo Kubusia: p~>q=~p=>~q czyli: ~p=>~q=1 0 0 =1 ~p=>q =0 0 1 =0 Spójniki zdaniowe ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym Fizyczna realizacja w bramkach logicznych: Kod:   p     q   |     |   |     x-------------------x   |     |                   |   x-----|-------------x     |   |     |             |     |   |     |             O     O   |     |             |~p   |~q  ---------           ---------  |  ~>  O|p~>q=1     |O =>   |~p=>~q=1  |może   |1 1 =1     |musi   |0 0 =1  |A      |p~~>~q=1   |B      |~p=>q=0  |OR     |1 0 =1     |OR     |0 1 =0  ---------           ---------      |                   |      |                   |      x---------x---------x                |                |                Y=p~>q Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Bramki po lewej i prawej stronie są absolutnie równoważne. Na pytanie co będzie jak zajdzie p odpowiadamy patrząc przez bramkę A, natomiast na pytanie co będzie jak zajdzie ~p odpowiadamy patrząc przez bramkę B. W technice cyfrowej bramki logiczne opisuje się przy pomocy tabeli prawdy, pokazującej wszystkie możliwe stany logiczne na wejściu bramki oraz odpowiedź zero-jedynkowa na jej wyjściu. Tabela prawdy dla powyższego układu: Kod: p q p~>q 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =1 0 1 =0 Uwaga ! Tabela zero-jedynkowa wypełniona jest ze stałego punktu odniesienia p~>q, czyli dla p=0 na wejściu bramki A, będziemy mieli ~p=1 na wejściu bramki B. Identycznie dla q=0 na wejściu bramki A, będzie ~q=1 na wejściu bramki B. Ćwiczenie 5.4.1 Zbudować fizycznie powyższy układ logiczny i sprawdzić iż działa zgodnie z powyższą tabela prawdy. Na podstawie prawa Kubusia dla powyższego układu zachodzi: p~>q = ~p=>~q Mamy wyżej matematyczną tożsamość, czyli wszystko jedno które zdanie wypowiemy. Zobaczmy jak będzie wyglądał układ logiczny dla zdania po prawej stronie. Zdanie wypowiedziane: ~p=>~q Tabela operatorowa i zero-jedynkowa dla zdania wypowiedzianego: Kod: ~p=>~q=1 1 1 =1 ~p=>q =0 1 0 =0 … a jeśli zajdzie p ? Prawo Kubusia: ~p=>~q=p~>q czyli: p~>q=1 0 0 =1 p~~>~q=1 0 1 =1 Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Fizyczna realizacja w bramkach logicznych: Kod:  ~p    ~q   |     |   |     x-------------------x   |     |                   |   x-----|-------------x     |   |     |             |     |   |     |             O     O   |     |             |p    |q  ---------           ---------  |O =>   |~p=>~q=1   |  ~>  O|p~>q=1  |musi   |1 1 =1     |może   |0 0 =1  |A      |~p=>q=0    |B      |p~~>~q=1  |OR     |1 0 =0     |OR     |0 1 =1  ---------           ---------      |                   |      |                   |      x---------x---------x                |                |                Y=~p=>~q Doskonale widać tabelę zero jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~p=1, p=0 ~q=1, q=0 Bramki po lewej i prawej stronie są absolutnie równoważne. Na pytanie co będzie jak zajdzie ~p odpowiadamy patrząc przez bramkę A, natomiast na pytanie co będzie jak zajdzie p odpowiadamy patrząc przez bramkę B. Tabela prawdy dla powyższego układu: Kod: ~p ~q ~p=>~q  1  1 =1  1  0 =0  0  0 =1  0  1 =1 Uwaga ! Tabela zero-jedynkowa wypełniona jest ze stałego punktu odniesienia ~p=>~q, czyli dla ~p=0 na wejściu bramki A, będziemy mieli p=1 na wejściu bramki B. Identycznie dla ~q=0 na wejściu bramki A, będzie q=1 na wejściu bramki B. Ćwiczenie 5.4.2 Zbudować fizycznie powyższy układ logiczny i sprawdzić iż działa zgodnie z powyższą tabela prawdy. 5.5 Punkt odniesienia w implikacji Argumenty w operatorach AND(*) i OR(+) są przemienne i tu punkt odniesienia jest nieistotny. p*q = q*p p+q = q+p W operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~> argumenty nie są przemienne. p=>q # q=>p p~>q # q~>p Oczywiście matematycznie zachodzi: p=>q = q<=p p~>q = q<~p bo zdania czytamy zawsze zgodnie z kierunkiem wektora, od podstawy do strzałki. Przykład: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 = P2<=P8 P8 jest wystarczające dola P2 zatem implikacja prosta prawdziwa Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 = P8<~P2 P2 jest konieczne dla P8 zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa. Zobaczmy ostatnie tożsamości na bramkach logicznych. Kod:                A   x------------x------------x   |                         |   |            B            |   |     x------x------x     |   |     |             |     |   |A:p  |A:q          |A:q  |A:p   |B:q  |B:p          |B:p  |B:q  ---------           ---------  |O      |           |      O|  |  A:=> |           |  A:<= |  |  B:<~ |           |  B:~> |  |OR     |           |OR     |  ---------           ---------      |                   |      |                   |      x---------x---------x                |                |            A: p=>q = A: q<=p            B: q<~p = B: p~>q Powyższy schemat to jedna i ta sama bramka, narysowana w lustrzanym odbiciu. O tym czy będzie to bramka implikacji prostej => czy też fundamentalnie inna bramka implikacji odwrotnej ~> decyduje punkt odniesienia. Punkt odniesienia A Jeśli staniemy w punkcie A to będziemy mieli do czynienia z bramka implikacji prostej =>: A: p=>q = q<=p Tabela zero-jedynkowa implikacji prostej: Kod: p q p=>q=q<=p 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Punkt odniesienia B Jeśli staniemy w punkcie B to będziemy mieli do czynienia z implikacją odwrotną ~>: B. q<~p = p~>q czyli: p~>q = q<~p Tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej ~>: Kod: p q p~>q=q<~p 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =1 0 1 =0 Powyższy schemat to jedna i ta sama bramka implikacji prostej p=>q (punkt odniesienia A) albo odwrotnej p~>q (punkt odniesienia B) w lustrzanym odbiciu. Matematycznie to dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne. p=>q # p~>q Zależności matematyczne między operatorami implikacji prostej => i odwrotnej ~> opisują prawa Kubusia omówione wyżej. Ze schematu ideowego widać, że teoretycznie jeden z operatorów => lub ~> jest zbędny. Zobaczmy to na przykładzie: A. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 = P2<=P8 P8 jest wystarczające dola P2 zatem implikacja prosta prawdziwa B. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 = P8<~P2 P2 jest konieczne dla P8 zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa. Ostatnie zdanie możemy też zapisać tak: C. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może <= być podzielna przez 8 P2<=P8 = P8=>P2 Ze zdań B i C wynika że: ~> = <= - jeśli operator <= będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym. Zapiszmy symbolicznie zdania A i B jedno pod drugim: A: P8=>P2 = P2<=P8 B: P2~>P8 = P8<~P2 Mamy wyżej absolutną matematyczną jednoznaczność, zdanie A to implikacja prosta => natomiast zdanie B to implikacja odwrotna ~>. Zapiszmy teraz symbolicznie zdanie A i C jedno od drugim: A: P8=>P2 = P2<=P8 C: P2<=P8 = P8=>P2 W zdaniu C mamy tożsamość, zamieńmy ją zatem stronami: A: P8=>P2 = P2<=P8 C: P8=>P2 = P2<=P8 Usuńmy teraz oznaczenia A i C z powyższego: P8=>P2 = P2<=P8 P8=>P2 = P2<=P8 Z takiego zapisu nie sposób odtworzyć które z powyższych zdań jest implikacją prostą => (czytamy zgodnie ze strzałką) a które implikacja odwrotną <= (czytamy przeciwnie do strzałki). Jak dołożymy do tego prawa Kubusia to kociokwik będzie pełny … które wektory => czytać zgodnie ze strzałką (implikacja prosta), a które wektory => czytać przeciwnie do strzałki (implikacja odwrotna) ? Argumenty za niezależnym symbolem implikacji odwrotnej ~> w logice: 1. Z opisanego wyżej powodu niezależny operator implikacji odwrotnej ~> jest w logice niezbędny. 2. Na mocy definicji implikacja prosta => to fundamentalnie co innego niż implikacja odwrotna ~>, analogicznie jak AND(*) i OR(+), zatem operator ~> jest niezbędny. Formalnie rzecz biorąc, całą logikę można zredukować do jednego operatora NOR albo NAND … tylko co to będzie miało wspólnego z logiką człowieka ? Twierdzenie: Niezbędne operatory w logice to te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym: AND(*), OR(+), =>, ~>, <=>, XOR Ciąg dalszy na kolejnej stronie …. Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Sob 19:06, 20 Lut 2010    Temat postu: 6.0 Obietnice i groźby Jednym z przykładów zastosowania implikacji prostej => i odwrotnej ~> jest matematyczna obsługa obietnic i gróźb. Nowe definicje implikacji Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawa Kubusia to dokładny odpowiednik praw de’Morgana: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na => Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy: Obietnica = implikacja prosta => - to jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić kryształowo czystą matematyką że: Groźba = implikacji odwrotna ~> … szczegóły w następnym punkcie Definicja obietnicy: Obietnica = implikacja prosta => Jeśli dowolny warunek to nagroda W=>N Dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać - stąd implikacja prosta czyli: Gwarancja w obietnicy: W=>N Jeśli spełnisz warunek nagrody, (W) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W), poza tym wszystko może się zdarzyć ! … tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>. Analiza matematyczna obietnicy: Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę W=>N =1 - gwarancja nagrody 1 1 =1 stąd na podstawie definicji operatora implikacji prostej => mamy: Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => nie dostaniesz nagrody W=>~N =0 1 0 =0 … a jeśli nie spełnię warunku nagrody ? Prawo Kubusia: W=>N = ~W~>~N czyli: Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~> nie dostać nagrody ~W~>~N =1 0 0 =1 LUB Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~~> dostać nagrodę ~W~~>N =1 - akt miłości 0 1 =1 Możliwość wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (akt miłości) Doskonale widać definicje implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: W=1, ~W=0 N=1, ~N=0 Definicja groźby: Groźba = implikacji odwrotna ~> Jeśli dowolny warunek to kara W~>K Implikacja odwrotna, bo spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym do ukarania, o tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia: W~>K = ~W=>~K czyli: Gwarancja w groźbie: ~W=>~K Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W) to na pewno nie zostaniesz ukarany (~K), z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W), poza tym wszystko może się zdarzyć ! … tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>. Porównajmy gwarancję w obietnicy z gwarancją w groźbie, doskonale widać 100% analogię wynikającą z definicji operatora implikacji prostej =>, jednak groźba ~> to fundamentalnie co innego niż obietnica => bowiem matematycznie: p=>q # p~>q Analiza matematyczna groźby: Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~> zostać ukarany W~>K =1 1 1 =1 LUB na podstawie definicji operatora implikacji odwrotnej~>: Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~~> nie zostać ukarany W~~>~K =1 - akt łaski 1 0 =1 Mamy tu prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy (akt łaski) … a jeśli nie spełnię warunku kary ? Prawo Kubusia: W~>K= ~W=>~K czyli: Gwarancja w groźbie: Jeśli nie spełnisz warunku kary, to na pewno => nie zostaniesz ukarany ~W=>~K =1 0 0 =1 … z powodu że nie spełniłeś warunku kary, wszystko inne może się zdarzyć stąd na podstawie =>: Jeśli nie spełnisz warunku kary, to na pewno => zostaniesz ukarany ~W=>K =0 0 1 =0 z powodu że nie spełniłeś warunku kary, poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej W~>K. Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: W=1, ~W=0 K=1, ~K=0 W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach => i ~>: Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną. Obietnica: W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~> Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N) Groźba: W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę => Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K) 6.1 Obietnica Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek to nagroda W=>N =1 - twarda prawda Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody Prawo Kubusia: W=>N = ~W~>~N Gwarancja w implikacji jest zawsze operator implikacji prostej: W=>N Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć. W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą. Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych. Cytat z: [link widoczny dla zalogowanych] Podręcznik do I klasy LO napisał: „Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę” Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę (1 1 =1), mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady (0 0 =1), mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady (1 0 =0), oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę (0 1 =1), mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Zauważmy, że analiza tego zdania jest zgodna z nową teoria implikacji. Błędne jest tylko „matematyczne” uzasadnienie przypadku w którym niegrzeczne dziecko dostaje czekoladę. Poprawne uzasadnienie wynika oczywiście z prawa Kubusia które nie może być zgwałcone: G=>C = ~G~>~C - prawo zamiany operatora => na ~> czyli: Jeśli syn będzie niegrzeczny to może dostać czekoladę lub nie. W tym przypadku mama ma 100% wolnej woli i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą … to jest matematyka ścisła, symboliczna algebra Boole’a. Nie ma tu żadnego znaczenia czego mama nie powiedziała. Poprawna analiza matematyczna tego zdania jest taka: A. Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę G=>C =1 1 1 =1 - zdanie wypowiedziane Obietnica, zatem implikacja prosta, tu wszyscy się zgadzamy z podręcznikiem matematyki do I klasy LO Skoro to implikacja prosta to: B. Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => nie dostaniesz czekolady G=>~C =0 1 0 =0 … a jak będę niegrzeczny ? Prawo Kubusia: G=>C = ~G~>~C Mama: C. Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady ~G~>~C W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia. Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego: Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Boole’a leży w gruzach. Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie: C. Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady ~G~>~C =1 0 0 =1 LUB D. Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę ~G~~>C =1 0 1 =1 - akt miłości gdzie: ~~> - naturalne "może", wystarczy jedna prawda, nie jest to operator implikacji odwrotnej ~>, zatem warunek konieczny tu nie zachodzi. Doskonale tu widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: G=1, ~G=0 C=1, ~C=0 Wniosek: Podręcznikowe uzasadnienie przypadku w którym mama może wręczyć czekoladę niegrzecznemu dziecku jest matematycznie błędne, bowiem nie ma znaczenia czego mama nie powiedziała. Brak kłamstwa wynika tu z matematyki ścisłej, czyli prawa Kubusia, które nie może być zgwałcone. Oczywiście z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną: Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L - implikacja odwrotna bo groźba Z powyższego mamy definicję obietnicy i groźby … Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek to nagroda W=>N Spełnienie warunku obietnicy jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody. Dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać. Z tej definicji wynika możliwość wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (akt miłości) Definicja groźby: Jeśli dowolny warunek to kara W~>K Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym do ukarania, o tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Na mocy definicji implikacji odwrotnej nadawca ma prawo darować dowolna karę zależna od niego (akt łaski) Przykład: JPII i Ali Agca Kodowanie gróźb implikacja prostą robi idiotę nie tylko z człowieka ale nawet z Boga: Chrystus: Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony ~W=>~Z oczywiście z błędnego kodowania tej groźby operatorem implikacji prostej => wynika, że Chrystus część w niego wierzących może posłać do piekła. Kolejnym bezsensem w kodowaniu tej groźby implikacją prostą jest fakt, iż Chrystus nie ma prawa choćby jednego niewierzącego posłać do nieba, czyli jego wolna wola, prawo do darowania dowolnej kary, leży w gruzach. Popatrzmy na kompletną analizę matematyczną powyższej groźby, błędnie zakodowaną operatorem implikacji prostej =>: Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony ~W=>~Z =1 1 1 =1 Implikacja prosta czyli: Kto nie wierzy we mnie na pewno => będzie zbawiony ~W=>Z =0 1 0 =0 Mamy tu zakaz umieszczenia choćby jednego niewierzącego w niebie czyli Bóg pozbawiony jest wolnej woli (prawa do darowania kary) ... a jak kto wierzy Panie ? Prawo Kubusia: ~W=>~Z = W~>Z czyli: Kto wierzy we mnie ten może ~> być zbawiony W~>Z =1 0 0 =1 LUB Kto wierzy we mnie ten może ~~> nie być zbawiony W~~>~Z =1 - czyli wierzący w Chrystusa mogą trafić do piekła (idiotyzm) 0 1 =1 Zauważmy, że o tym kto jest wierzący a kto nie rozstrzyga Chrystus. Nonsensem jest rozstrzygnięcie „ten człowiek wierzy we mnie”, zatem posyłam go do piekła. Doskonale widać tabelę zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~W=1, W=0 ~Z=1, Z=0 Poprawne kodowanie tej groźby jest oczywiście takie: A. Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony ~W~>~Z =1 1 1 =1 Ewidentna groźba, zatem kodujemy implikacją odwrotną ~>. Brak wiary jest warunkiem koniecznym dla piekła, o tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje Chrystus. LUB Kto nie wierzy we mnie ten może ~~> zostać zbawiony ~W~~>Z =1 - prawo do darowania kary (akt łaski) 1 0 =1 … a jak kto wierzy Panie ? Prawo Kubusia: ~W~>~Z = W=>Z czyli: B. Kto wierzy we mnie będzie zbawiony W=>Z =1 0 0 =1 - gwarancja nieba dla wszystkich wierzących Wyżej mamy operator implikacji prostej zatem: Kto wierzy we mnie ten na pewno => nie będzie zbawiony W=>~Z =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~W=1, W=0 ~Z=1, Z=0 Jak widzimy, przy popranym kodowaniu tej groźby operatorem implikacji odwrotnej wszyscy wierzący w Chrystusa ludzie mają gwarancję zbawienia, natomiast z niewierzącymi Chrystus może zrobić co mu się podoba wedle swojej wolnej woli i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą. Skrajne przypadki to wszyscy niewierzący do piekła (psychol) albo wszyscy niewierzący do nieba (piękna idea powszechnego zbawienia). Oczywiście Hitlerowi należą się męki piekielne, ale nie wieczne, bo to byłaby porażka Boga. Zdania A i B są matematycznie tożsame na podstawie prawa Kubusia. 6.2 Rodzaje obietnic 1. Obietnica z natychmiastową wykonalnością: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E=>K … a jak nie zdam egzaminu. Prawo Kubusia: E=>K = ~E~>~K czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą. Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie 2. Obietnica z odroczoną wykonalnością: Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca J=>G … a jak przyjdę pojutrze ? J=>G = ~J~>~G Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens. 3. Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne: Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód W=>S … a jak nie wygram w TOTKA ? Prawo Kubusia: W=>S = ~W~>~S Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą. 6.3 Groźba Definicja groźby: Jeśli dowolny warunek to kara W~>K =1 Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi. Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia: W~>K = ~W => ~K Stąd gwarancja: ~W => ~K Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć. W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą. Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia. Przykład: Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L - implikacja odwrotna bo groźba W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne. Analiza: A: Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie B~>L =1 1 1 =1 LUB B: Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz nie dostać lania B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski) 1 0 =1 Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, nie jest to implikacja odwrotna. Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) … a jeśli nie ubrudzę spodni ? B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia czyli: C: Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania ~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja) 0 0 =1 Na mocy definicji operatora implikacji prostej => mamy: Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>. stąd: D: Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lania ~B => L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: B=1, ~B=0 L=1, ~L=0 Dlaczego zdanie B nie może być implikacja odwrotną ? Dowód nie wprost: Załóżmy że zdanie B: B~>~L jest implikacja odwrotną. Obowiązuje wówczas prawo Kubusia: B: B~>~L = D: ~B=>L Zdanie D: jest oczywistym fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacją odwrotną prawdziwą. Prawdziwość zdania B: określa wzór: (B~~>~L)+(B~>~L) = 1+0 =1 gdzie: ~~> - naturalny spójnik może, wystarczy jedna prawda, nie jest to operator implikacji odwrotnej zatem warunek koniczny tu nie zachodzi. Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do implikacyjnych AND(*) i OR(+) to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”: Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie Y=B~>L Jaś: … tata, a kiedy skłamiesz ? Y=B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa Negujemy dwustronnie: ~Y=~(B~>L) = ~B*L - skłamię Skłamię (~Y=1), jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni !) ~Y=~B*L Jaś: … a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie ? Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia, stąd: Y=~(~B*L) Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni) Y=~(~B*L) Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej. 6.4 Złożone formy gróźb i obietnic Powyżej analizowaliśmy obietnice i groźby przy pomocy zero-jedynkowych definicji implikacji prostej (obietnice) i implikacji odwrotnej (groźby). W praktyce po stronie warunku p (także q) może być dowolne zdanie złożone, które analizujemy przy pomocy algebry Boole’a. Istotne jest, aby możliwe było określenie dla jakich parametrów wejściowych warunek p jest spełniony. Przykład: Jeśli będziesz bił siostrę lub nie posprzątasz pokoju dostaniesz lanie B+~P~>L Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia: (B+~P)~>L = ~(B+~P)=>~L na podstawie prawa de’Morgana mamy: ~(B+L) = ~B*P=>~L czyli: Jeśli nie będziesz bił siostry i posprzątasz pokój to na pewno nie dostaniesz lania ~B*P=>~L 6.5 Wolna wola Wolna wola człowieka może występować w relacjach: 1. Człowiek - świat martwy Przykład: Jeśli pudełko nie jest puste to zjem ciastko Oczywiście nie może tu być mowy o takich pojęciach jak „akt miłości” czy „akt łaski”. 2. Człowiek - człowiek Przykład: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer Najciekawsza jest relacja człowiek-człowiek, w szczególności matematyczna obsługa wszelkich gróźb i obietnic. Tylko i wyłącznie w tym przypadku możemy mówić o matematycznym „akcie miłości” w obietnicy i matematycznym „akcie łaski” w groźbie. Sztandarowym przykładem implikacji prostej => we wszelkich podręcznikach matematyki do I klasy LO jest dowolna obietnica. Groźby nigdzie nie znajdziemy, bo dzisiejsza matematyka nie potrafi ich poprawnie obsługiwać z powodu braku akceptacji implikacji odwrotnej ~> i praw Kubusia. Zdanie wypowiedziane: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E=>K Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać Gwarancja w implikacji prostej: E=>K Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej => w obietnicy. Analiza matematyczna: A. Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer E=>K =1 1 1 =1 stąd: B. Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać 1 0 =0 … a jeśli nie zdam egzaminu ? Prawo Kubusia: E=>K = ~E~>~K czyli: C. Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera ~E~>~K =1 0 0 =1 LUB D. Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer ~E~~>K =1 - akt miłości 0 1 =1 Doskonale widać definicje implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: E=1, ~E=0 K=1 , ~K=0 Zdanie C to ewidentna groźba. Intencją wypowiadającego jest, aby groźba była groźbą, dlatego praktycznie zawsze pomijany jest spójnik „może”. Zdanie C przybierze postać. C. Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera ~E~>~K =1 Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym nie dostania komputera, o tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Oczywiście na mocy definicji groźby: Jeśli dowolny warunek to kara W~>K powyższą groźbę musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej ~>, zachodzi wtedy prawo Kubusia. ~E~>~K = E=>K Matematyczna wolna wola Matematyczna wolna wola = operator implikacji odwrotnej ~> W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli. W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać: orzełek - dam komputer reszka - nie dam komputera … i nie ma szans na zostanie kłamcą. „Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka ! Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”. Wolna wola człowieka: Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję. Decyzja negatywna: Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp. Decyzja pozytywna: Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp. Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli: Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu Matematyczny dowód pkt. 7.1. Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy: 1. Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości). 2. Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi. Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym, co nie ma nic wspólnego z teorią chaosu. Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Boole’a (algebrę Kubusia) Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem. Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik: Dobro-Zło = 4:2 Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro. Weźmy na koniec typowa groźbę. Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia: B~>L = ~B=>~L czyli: Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania ~B=>~L ... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej ~>. Równanie jest absolutnie genialne: B~>L = ~B=>~L Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła. Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje. Determinizm filozoficzny i fizyczny Determinizm w ujęciu filozoficznym i można sprowadzić do jednego zdania: Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany. Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej => jak i odwrotnej ~> mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>) Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja. 7.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych. 7.1 Obietnica w równaniach matematycznych Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych.. Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek to nagroda Zasada „Jak się mówi tak się pisze”: Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody. Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy: U=1 – dam nagrodę U=0 – nie dam nagrody Równanie obietnicy: N=W+U Gdzie: N=1 – mam nagrodę N=0 – nie mam nagrody W=1 – warunek nagrody spełniony W=0 – warunek nagrody nie spełniony Zmienna uznaniowa nadawcy: U=1 – dam nagrodę U=0 – nie dam nagrody Analiza równania obietnicy. A. W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody. Równanie obietnicy przybierze wówczas postać: N = 1+U = 1 – muszę dostać nagrodę. W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy. B. W=0 – warunek nagrody nie spełniony Równanie obietnicy przybiera postać: N=W+U=0+U=U Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną. U=1 – dam nagrodę U=0 – nie dam nagrody Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić ! W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem: Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0) Równanie obietnicy przybierze tu postać: N = W+U = 0+0 =0 Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0). Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka. Przykład: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E=>K Równanie obietnicy: K = W+U Jeśli egzamin zdany (W=1) to: K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera. Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia. Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to: K=W+U = 0+U =U Wszystko w rękach nadawcy: U=1 - dam komputer U=0 - nie dam komputera Akt miłości nie zaszedł: U=0 Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0) Równanie obietnicy: K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera Akt miłości zaszedł: U=1 Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne) Równanie obietnicy: N=W+U=0+1=1 – mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości) Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody. Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0). Równanie obietnicy: N=W+U=0+0=0 – zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0) Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka. 7.2 Groźba w równaniach matematycznych Definicja groźby: Jeśli dowolny warunek to kara Zasada „Jak się mówi tak się pisze”: Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U). W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość. Matematyczne równanie groźby: K=W*U Gdzie: K=1 – zostanę ukarany K=0 – nie zostanę ukarany W=1 – warunek kary spełniony W=0 – warunek kary nie spełniony Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość: U=1 – ukarać U=0 – nie karać (akt łaski) Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski). Analiza równania groźby. K=W*U A. W=0 – warunek kary nie spełniony Równanie groźby przybierze wówczas postać: K=W*U=0*U=0 – zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony. Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary. B. W=1 – warunek kary spełniony Równanie groźby przybiera postać: K=W*U=1*U=U Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli: U=1 – karać U=0 – nie karać Przykład: Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne) K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary. Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1). Równanie groźby: K=W*U=1*1=1 – kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka. 8.0 Nowa teoria implikacji w praktyce Przeanalizujmy matematycznie poniższe zdania 1. Zdanie twierdzące (nie implikacja): Jutro zjem ciastko lub loda Jutro na pewno zjem ciastko lub loda W języku mówionym zapewnienie „na pewno” jest domyślne i z reguły nie jest wymawiane. Jutro zjem ciastko lub loda Matematycznie oznacza to: Dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro zjem ciastko lub loda Y=C+L … a kiedy skłamię ? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne. ~Y = ~C*~L Skłamię (~Y) jeśli jutro nie zjem ciastka i nie zjem loda ~Y = ~C*~L 2. Zdanie twierdzące (nie implikacja): Tata, może jutro zjem to ciastko Matematycznie oznacza to: Jutro zjem ciastko lub nie zjem ciastka Y=C+~C =1 - zdanie zawsze prawdziwe, czyli nie mam szans na zostanie kłamcą Oczywiście w algebrze Boole’a zachodzi także: Y=C*~C =0 - czyli nie jest możliwe abym jutro zjadł ciastko i jednocześnie nie zjadł ciastka 3. Jeśli pudełko jest puste to na pewno nie zjem ciastka P=>~C Puste pudełko jest warunkiem wystarczającym abym nie zjadł ciastka, zatem jest to implikacja prosta. Analiza: Jeśli pudełko jest puste to na pewno nie zjem ciastka P=>~C =1 1 1 =1 stąd: Jeśli pudełko jest puste to na pewno zjem ciastko P=>C =0 1 0 =0 … a jeśli pudełko nie jest puste ? Prawo Kubusia: P=>~C = ~P~>C czyli: Jeśli pudełko nie jest puste to mogę zjeść ciastko ~P~>C =1 0 0 =1 LUB Jeśli pudełko nie jest puste to mogę ~~> nie zjeść ciastka ~P~~>~C=1 0 1 =1 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P=1, ~P=0 ~C=1, C=0 Mamy wyżej ciekawy przykład kiedy w zdaniu wypowiedzianym mamy p i ~q, to oczywiście jest bez znaczenia dla całej analizy matematycznej. 4. Jeśli pudełko nie jest puste to mogę zjeść ciastko ~P~>C Nie puste pudełko jest warunkiem koniecznym abym mógł zjeść ciastko, zatem implikacja odwrotna prawdziwa Analiza: Jeśli pudełko nie jest puste to mogę zjeść ciastko ~P~>C =1 1 1 =1 LUB Jeśli pudełko nie jest puste to mogę nie zjeść ciastka ~P~~>~C =1 1 0 =1 … a jeśli pudełko będzie puste ? Prawo Kubusia: ~P~>C = P=>~C czyli: Jeśli pudełko będzie puste to na pewno => nie zjem ciastka P=>~C =1 0 0 =1 stąd: Jeśli pudełko będzie puste to na pewno => zjem ciastko P=>C =0 0 1 =0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~P=1, P=0 C=1, ~C=0 5. Jeśli pudełko nie jest puste to zjem ciastko W języku mówionym „na pewno” jest spójnikiem domyślnym, zatem zdanie równoważne: Jeśli pudełko nie jest puste to na pewno zjem ciastko ~P=>C Nie puste pudełko jest warunkiem wystarczającym dla zjedzenia ciastka. Analiza: Jeśli pudełko nie jest puste to na pewno zjem ciastko ~P=>C =1 - obietnica 1 1 =1 stąd: Jeśli pudełko nie jest puste to na pewno nie zjem ciastka ~P=>~C =0 - zakaz złamania obietnicy 1 0 =0 … a jeśli pudełko jest puste ? Prawo Kubusia: ~P=>C = P~>~C czyli: Jeśli pudełko jest puste to mogę nie zjeść ciastka P~>~C =1 0 0 =1 LUB Jeśli pudełko jest puste to mogę zjeść ciastko P~~>C =1 0 1 =1 Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: ~P=1, P=0 C=1, ~C=0 W ostatnim przypadku musimy dopuścić możliwość zjedzenia ciastka zdobytego w dowolnie inny sposób np. wyjęcie z drugiego, nie pustego pudełka. Jeśli takiej możliwości nie dopuścimy to zdanie wypowiedziane będzie równoważnością bo niemożliwe jest zjedzenie ciastka z pustego pudełka (którego nie ma). 8.1 Następstwo czasowe w implikacji Równanie ogólne implikacji: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q Po obu stronach nierówności mamy dwa niezależne układy implikacyjne. Zdanie sensowne z lewej strony nie wymusza sensowności z prawej strony. Przykład: Kto się wychyli dostanie w mordę W~>D Wychylenie sie jest warunkiem koniecznym dostania w mordę, zatem implikacja odwrotna Gwarancja wynika tu z prawa Kubusia: W~>D = ~W=>~D czyli: Kto się nie wychyli ten na pewno nie dostanie w mordę z powodu że się nie wychylił ... tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator W~>D Po zamianie p i q matematycznie lądujemy w implikacji prostej i mamy: Kto dostanie w mordę ten się wychyli D=>W .... to jest bez sensu, bo skutek jest pomylony z przyczyną. „Dostanie w mordę” nie jest warunkiem wystarczającym dla „nie wychylenia się” Przykład: Jeśli będzie padać to otworzę parasol P=>O Padanie jest warunkiem wystarczającym dla otworzenia parasola, implikacja prosta prawdziwa Prawo Kubusia: P=>O = ~P~>~O Jeśli nie będzie padać to mogę otworzyć lub nie (np. mogę otworzyć z powodu upału) Oczywiście po zamianie p i q w implikacji i użyciu tego samego operatora implikacja musi być fałszywa na mocy równania: p=>q # q=>p To co wyżej zna każdy uczeń w I klasie LO, zatem jeśli implikacja p=>q jest prawdziwa to q=>p musi być fałszywa, czyli: Jeśli otworzę parasol to na pewno => będzie padać O=>P =0 - zdanie fałszywe ! Otwarcie parasola nie jest warunkiem wystarczającym dla deszczu, zatem implikacja prosta fałszywa. W algebrze Kubusia po stwierdzeniu fałszu zdanie ląduje w koszu na śmieci z napisem fałsz, bowiem nie ma tu mowy aby z fałszu powstała prawda. Spójrzmy na nasz przykład z innej strony: Jeśli będzie padać to otworzę parasol P=>O Padanie jest warunkiem wystarczającym, abym otworzył parasol, zatem implikacja prosta prawdziwa czyli: Jeśli zajdzie przyczyna „będzie padać” to nastąpi skutek „otwarcie parasola”. Oczywiście bezsensowna jest tu zamiana przyczyny ze skutkiem w czasie przyszłym czyli: Jeśli otworzę parasol to może padać O~>P =0 Otwarcie parasola nie jest warunkiem koniecznym dla deszczu, zatem implikacja odwrotna fałszywa W poprawnej matematyce musi też być fałszywa implikacja wynikająca z prawa Kubusia: O~>P = ~O=>~P czyli: Jeśli nie otworzę parasola to na pewno => nie będzie padać ~O=>~P =0 „Nie otwarcie parasola” nie jest warunkiem wystarczającym dla „nie padania”, zatem implikacja prosta fałszywa. Poprawne prawo matematyczne (prawo Kubusia) z fałszu może wyprodukować wyłącznie fałsz, nic innego nie może ! Implikacja to matematyczny opis przyszłości. Powyższa implikacja będzie sensowna w czasie przeszłym, gdy zachowana zostanie kolejność „najpierw przyczyna” następnie skutek. W czasie przeszłym wszystko jest zdeterminowane, wszelkie decyzje już zapadły, wszystko się stało i się nie odstanie. A. Jeśli otworzyłem parasol to dlatego że wcześniej mogło padać O~>P =1 1 1 =1 LUB B. Jeśli otworzyłem parasol to dlatego że wcześniej mogło nie padać (np. z powodu osłony przed słońcem) O~~>~P =1 1 0 =1 … a jeśli w przeszłości nie otworzyłem parasola ? Prawo Kubusia: O~>P = ~O=>~P czyli: C. Jeśli w przeszłości nie otworzyłem parasola to na pewno nie padało ~O=>~P =1 0 0 =1 stąd: D. Jeśli w przeszłości nie otworzyłem parasola to na pewno padało ~O=>P =0 0 1 =0 Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: O=1, ~O=0 P=1, ~P=0 Zauważmy, że wypowiedzenie zdania C w czasie przyszłym, gdzie po stronie p mamy skutek (nie otworzę parasola), zaś po stronie q mamy przyczynę (nie będzie padało) jest bez sensu bowiem: C. Jeśli nie otworzę parasola to na pewno nie będzie padać ~O=>~P =? Mamy wyżej „gwarancję” że jak nie otworzymy parasola to na pewno nie będzie padać. Przy okazji mamy tu dowód na przykładzie fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji. P=>O # ~O=>~P Lewa strona to prawdziwa implikacja prosta w algebra Kubusia: Jeśli będzie padało to otworzę parasol P=>O. Natomiast prawa strona w prawie kontrapozycji jest ewidentnym bezsensem: Jeśli nie otworzę parasola to na pewno => nie będzie padać ~O=>~P =0 ! Nie otwarcie parasola nie jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania, zatem implikacja prosta fałszywa Prawo Kubusia: ~O=>~P = O~>P =0 Oczywiście poprawny aparat matematyczny z fałszu wygeneruje fałsz, nic innego nie może ! Jeśli otworzę parasol to może padać O~>P =0 Otwarcie parasola nie jest warunkiem koniecznym dla deszczu, zatem implikacja odwrotna fałszywa 9.0 Rodzaje implikacji Równanie ogólne implikacji: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q Po obu stronach nierówności mamy dwa niezależne układy implikacyjne. Zdanie sensowne z lewej strony nie wymusza sensowności z prawej strony. Jeśli implikacja prosta p=>q jest prawdziwa to po zamianie p i q możemy otrzymać implikację odwrotną p~>q prawdziwą (A, B), ale nie musimy (C, D). Jeśli implikacja odwrotna p~>q jest prawdziwa, to po zamianie p i q możemy otrzymać implikację prostą => prawdziwą (A, B), ale nie musimy (E). A. Matematyka (p) - matematyka (q) Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 Po zamianie p i q mamy: Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 P2 jest konieczne dla P8 zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa B. Świat martwy (p) - świat martwy (q) Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać CH~>P =1 Chmury są konieczne dla deszczu, zatem implikacja odwrotna Po zamianie p i q matematycznie musimy otrzymać implikację prostą: Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno P=>CH =1 Padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa C. Świat martwy (p) - człowiek (q) Jeśli jutro będzie pogoda to pójdziemy na basen P=>B =1 Pogoda jest warunkiem wystarczającym pójścia na basen, implikacja prosta prawdziwa Po zamianie p i q matematycznie lądujemy w implikacji odwrotnej: Jeśli jutro pójdziemy na basen to może będzie ładna pogoda B~>P =0 Pójście na basen nie jest warunkiem koniecznym dla ładnej pogody, zatem jest to implikacja odwrotna fałszywa Zastosujmy do ostatniego zdania prawo Kubusia: B~>P = ~B=>~P czyli: D. Jeśli jutro nie pójdziemy na basen to na pewno nie będzie ładnej pogody ~B=>~P =0 Oczywisty nonsens ! „Nie pójście na basen” nie jest warunkiem wystarczającym dla „nie ładnej pogody”, implikacja prosta fałszywa. Mamy tu jak na dłoni fałszywość prawa kontrapozycji dla zdania C: P=>B = ~B=>~P Po lewej stronie tożsamości mamy zdanie prawdziwe, natomiast po prawej oczywisty fałsz (zdanie D). Świat żywy - świat żywy D Obietnica: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E=>K =1 Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera, zatem implikacja prosta prawdziwa Po zamianie p i q mamy: Jeśli dostaniesz komputer to może zdasz egzamin K~>E =0 Dostanie komputera nie jest warunkiem koniecznym zdania egzaminu. E. Groźba: Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L =1 Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania, o tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca, implikacja odwrotna prawdziwa Po zamianie p i q mamy: Jeśli dostaniesz lanie to ubrudzisz spodnie L=>B =0 Dostanie lania nie jest warunkiem wystarczającym dla brudnych spodni. 10.0 Porównanie nowej i starej teorii implikacji Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q = ~(p*~q) Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q = ~(~p*q) Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawa Kubusia to dokładny odpowiednik praw de’Morgana: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na => 1. Logika która nie respektuje praw de’Morgana nie jest algebrą Boole’a ! Logika która nie respektuje praw Kubusia nie jest algebrą Boole’a ! 2. Znane człowiekowi definicje implikacji: materialna, logiczna i ścisła nie respektują praw Kubusia. Przyczyna tego błędu fatalnego jest oczywista. Jakiś matematyk dawno temu doszedł do błędnego wniosku, iż implikacja odwrotna jest w logice zbędna, inni uwierzyli i ten błąd powielany jest do dnia dzisiejszego. Z powyższego powodu człowiek zna wyłącznie logiki formalne gdzie założyć sobie można cokolwiek np. negować dowolne prawa algebry Boole’a, można nie znać fundamentalnych praw algebry Boole’a czyli praw Kubusia itp. … i takie pseudo-logiki funkcjonują w naszej rzeczywistości np. logika intuicjonistyczna. Logika intuicjonistyczna (Wikipedia) napisał: [link widoczny dla zalogowanych] Z tego powodu logika intuicjonistyczna odrzuca m.in. prawo wyłączonego środka, silne prawo podwójnego przeczenia, silne prawo kontrapozycji, jedno z praw transpozycji, czy pierwsze prawo de Morgana … a czemu nie oba prawa de’Morgana ? … żegnaj wspaniała logiko człowieka, symboliczna algebro Boole’a (algebro Kubusia) ! 3. Fatalny jest fundament Klasycznego Rachunku Zdań mówiący iż: O tym czym jest zdanie wypowiedziane decyduje użyty spójnik, treść zdania jest nieistotna …i… - koniunkcja (iloczyn logiczny) … lub … alternatywa (suma logiczna) „Jeśli …to…” - implikacja prosta … <=> … - równoważność w wykropkowane miejsca może sobie wstawić cokolwiek bo treść jest nieistotna np. Jan wszedł i padł martwy = Jan padł martwy i wszedł Przykład implikacji prostej prawdziwej: Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze Autentyczny przykład równoważności prawdziwej z matematyki.pl: 2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy wszyscy murzyni są czarni Ten ostatni aksjomat jest szczególnie uciążliwy w dzisiejszej matematyce, bo zmusza nasze dzieci do jedynie słusznego wypowiadania twierdzeń. Za czasów Kubusia było tak: Jeśli trójkąt ma boki równe to jest równoboczny BR=>R Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma boki równe R=>BR oczywiście można było także powiedzieć tak: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma boki równe R<=>BR Za czasów Kubusia wszystkie trzy formy były oczywiście poprawne. Dzisiejsza matematyka wymaga od uczniów komputerowej precyzji i uznaje wyłącznie ostatnią formę R<=>BR za matematycznie poprawną co wynika z aksjomatu KRZ (punkt 3 wyżej). Fundament KRZ w postaci aksjomatu 3 można bardzo łatwo obalić … Po pierwsze, uznanie równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> co jest koniecznością dla działania praw Kubusia burzy cały ten fundament. Po drugie ... Operatorowa i zero-jedynkowa definicja implikacji prostej: Kod: P=> q =1 1 1 =1  p=>~q =0 1 0 =0 Prawo Kubusia: p=>q=~p~>~q czyli: ~p~>~q =1 0 0 =1 LUB ~p~~>q =1 0 1 =1 W definicji operatorowej doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Jak widać wyżej prawo Kubusia obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie. Operatorowa i zero-jedynkowa definicja równoważności: Kod:  P=> q =1 1 1 =1  p=>~q =0 1 0 =0 ~p=>~q =1 0 0 =1 ~p=> q =0 0 1 =0 Doskonale widać tabele zero-jedynkowa równoważności dla kodowania w logice dodatniej: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Stąd dziewicza, operatorowa definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Jak widać, w definicji równoważności po prawej stronie chodzi wyłącznie o warunki wystarczające => między p i q oraz między ~p i ~q. Nie ma tu śladu implikacji i prawa Kubusia widocznego w definicji implikacji wyżej. Wyrażenia p=>q i ~p=>~q nie są implikacjami bo w tabeli równoważności nie ma szans na zaistnienie prawa Kubusia co doskonale widać porównując powyższe definicje implikacji prostej i równoważności. Twierdzenie: Jeśli cokolwiek jest równoważnością to nie może być implikacją i odwrotnie. Równoważność i implikacja to dwa rozłączne światy matematyczne miedzy którymi nie zachodzą żadne prawa matematyczne. Dowód: Definicje implikacji i równoważności wyżej Twierdzenie: Równoważność to iloczyn logiczny warunków wystarczających między p i q oraz ~p i ~q (nigdy implikacji) co widać w definicji równoważności wyżej. Z powyższego wynika że nauczyciel nie może zabraniać dziecku wypowiadania formy p=>q, ~p=>~q, bo niby jak wtedy udowodnić równoważność ? Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Dowód równoważności na przykładzie: jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma boki równe R=>BR Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym, aby mieć boki równe Oczywistość, zatem: R=>BR =1 W tym momencie nie da się rozstrzygnąć czy powyższe jest równoważnością czy też implikacją bo identyczny warunek wystarczający p=>q występuje zarówno w definicji równoważności <=> jak i definicji implikacji prostej =>. Aby udowodnić iż powyższe jest równoważnością dowodzimy kolejnego warunku wystarczającego: Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma boków równych ~R=>~BR Nie bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym aby nie mieć boków równych Oczywistość, zatem: ~R=>~BR =1 Dopiero w tym momencie mamy pewność na mocy definicji równoważności iż jest to równoważność: R<=>BR = (R=>BR)*(~R=>~BR) = 1*1 =1 Wniosek: Twierdzenia matematyczne mające formę „Jeśli …to…” to oczywiste warunki wystarczające w stronę p=>q. Nie są to ani implikacje, ani równoważności. Udowodnienie iż twierdzenie jest implikacją czy też równoważnością wymaga dodatkowych działań jak to pokazano wyżej. Oczywiście w praktyce wypowiadając twierdzenie: Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma boki równe R=>BR stwierdzamy zachodzący warunek wystarczający. Nie wolno dziecku zabronić wypowiadania tego typu twierdzeń na mocy definicji równoważności która na to pozwala ! p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) CND Sposobów rozstrzygnięcia czy zdanie jest równoważnością czy też implikacją jest więcej. Przykład: Po stwierdzeniu warunku wystarczającego w stronę p=>q badamy czy zachodzi warunek konieczny w stronę ~p~>~q lub w stronę q~>p. Jeśli warunek konieczny zachodzi to twierdzenie jest implikacją, jeśli nie to twierdzenie jest równoważnością. Dziewicza, operatorowa definicja równoważności wynikająca z tabeli zero-jedynkowej równoważności jest taka: A. p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) W równoważności poprawne jest prawo kontrapozycji: ~p=>~q = q=>p Stąd absolutnie równoważna definicja równoważności: B. p<=>q = (p=>q)*(q=>p) Dzisiejsi matematycy, o czym Kubuś przekonał się na matematyce.pl, mają jakiś jedynie słuszny algorytm dowodzenia twierdzeń i używają wyłącznie definicji B kompletnie zapominając o matematycznie równoważnej definicji A. Oczywiście udowodnienie A (co często jest łatwiejsze) gwarantuje B i odwrotnie. Wychodzi z tego bzdura: Twierdzenie Pitagorasa = implikacja nauczana w dzisiejszej szkole. Oczywiście twierdzenie Pitagorasa to bezdyskusyjna równoważność, żadna implikacja. Twierdzenie Pitagorasa: Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej TP=>SK Oczywiście TP jest wystarczający dla SK zatem: TP=>SK =1 Dowodzimy teraz warunku wystarczającego między ~p i ~q czyli: Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie jest spełniona suma kwadratów ~TP=>~SK Oczywiście nie bycie trójkątem prostokątnym jest wystarczające aby nie była spełniona suma kwadratów czyli: ~TP=>~SK =1 Stąd na mocy operatorowej definicji równoważności mamy: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1 =1 Twierdzenie Pitagorasa to oczywista równoważność, żadna implikacja. Dzisiejsi nauczyciele matematyki twierdzący co innego (a wielu ich jest) są w błędzie. Koniec 2009-12-24 Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Sob 19:39, 20 Lut 2010    Temat postu: Dodatek Historia powstanie Nowej Teorii Implikacji Autor: Kubuś, wirtualny Internetowy Miś Wstęp W części głównej Nowej Teorii Implikacji przebyliśmy drogę od tabel zero-jedynkowych, poprzez tabele symboliczne do tabel operatorowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~>. W tej części pokażemy drogę dokładnie odwrotną, czyli od symbolicznej analizy implikacji którą posługują się dzieci w przedszkolu (definicje operatorowe), poprzez definicje symboliczne do tabel zero-jedynkowych. To podejście było kluczem do rozpracowania implikacji którą posługują się ludzie, bowiem niemożliwym jest rozpracowanie implikacji z poziomu tabel zero-jedynkowych operatorów logicznych, znanych ludziom od prawie 200 lat. Świadczy o tym 2500 lat bezskutecznych poszukiwań tej wersji implikacji, którą posługują się ludzie. Spis treści: 1.0 Notacja 1.1 Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji 2.0 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej 2.1 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej 2.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej 2.3 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej 3.0 Kubuś na tropie implikacji prostej 3.1 Operatorowa definicja implikacji prostej 3.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej 3.3 Gwarancja w implikacji prostej 4.0 Fundamenty algebry Boole’a 4.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji 4.2 Funkcja iloczynu algebraicznego 4.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*) 4.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności 4.5 Równoważność 5.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata 6.0 Najciekawsze fragmenty dyskusji o NTI 1.0 Notacja 1 = prawda 0 = fałsz # - różne * - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i' + - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub" ~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE" ~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..." <=> - symbol równoważności 1.1 Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą => 2.0 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej Nadszedł czas weryfikacji algebry Kubusia, której podstawy przed chwilą poznaliśmy. Dotychczas poznaliśmy algebrę Kubusia poczynając od tabel zero-jedynkowych, poprzez definicje symboliczne dochodząc do definicji operatorowych. W tym punkcie zrobimy dokładnie odwrotnie, czyli poczynając od naturalnego języka przedszkolaka czyli definicji operatorowych zejdziemy w dół aż do definicji zero-jedynkowych. Ten sposób podejścia był kluczem do rozwiązania problemu implikacji którą posługują się ludzie. Udajmy się zatem do przedszkola, aby upewnić się czy dzieciaki znają algebrę Kubusia. Zadaniem dzieci będzie określenie które z wypowiedzianych zdań jest prawdziwe a które fałszywe. Zdania oczywiście będą tendencyjne, bo wymawia je Kubuś. Na początek Kubuś postanowił sprawdzić jak reagują dzieci na implikację odwrotną. Poprosił je, aby przy określaniu czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe brały pod uwagę wyłącznie psy zdrowe, z czterema łapami. Kubuś: A1: Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem 4L~>P = 1 - zdanie prawdziwe bo pies, tu żaden przedszkolak nie miał wątpliwości. Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa LUB A2: Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem 4L~~>~P = 1 - zdanie prawdziwe bo słoń, koń, kot, lis, hipopotam …. przekrzykiwały się dzieci Kubuś: … a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ? Prawo Kubusia: 4L~>P = ~4L=>~P Dzieciaki: A3: Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem ~4L=>~P =1 - zdanie oczywiście prawdziwe Kubuś: A4: Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem ~4L=>P = 0 - kłamstwo, fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy … zgodnym chórem krzyknęły dzieci Hmm … pomyślał Kubuś, dzieciaki doskonale znają matematyczną wersję implikacji odwrotnej, aby upewnić się czy to prawda, zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy. Dzieci ani razu nie popełniły błędu ! Zauważmy, że w zdaniu A1 cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem. Mamy tu bezpośredni dowód prawa Kubusia. A1: 4L~>P= A3: ~4L=>~P Zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) ale na pewno nie jest implikacją. Dlaczego ? Wyrocznią są tu prawa Kubusia, prawdziwe wyłącznie w implikacji (fałszywe w równoważności). Dowód nie wprost. Załóżmy, że zdanie A2: 4L~>~P jest implikacją odwrotną prawdziwą. Prawo Kubusia: A2: 4L~>~P = A4: ~4L=>P czyli: Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem A4: ~4L=>P =0 Zdanie A4 jest na pewno fałszywe, zatem wobec zachodzącej tożsamości implikacja A2 musi być także fałszywa, czyli nie zachodzi tu warunek konieczny. Prawdziwość zdania A2 opisuje wzór: (4L~>~P) +( 4L~~>~P) = 0+1=1 Implikacja odwrotna (4L~>~P) na mocy prawa Kubusia jest tu oczywiście fałszywa, ale zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda, tu np. słoń). 2.1 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej Zapiszmy teraz powyższe zdania wyłącznie w postaci operatorowej, czyli przy pomocy operatorów „musi” (=>) i „może” (~> lub ~~>) Kod:  4L    P   Y=4L~>P ~Y=~(4L~>P)  4L ~> P = 1        0  4L~~>~P = 1        0 ~4L=> ~P = 1        0 ~4L => P = 0        1 gdzie: 1 - zdanie prawdziwe 0 - zdanie fałszywe W matematyce nie operujemy na konkretnych przykładach, lecz na zapisach formalnych. Powszechnie przyjętym standardem są w implikacji literki p i q. Jeśli p to q p - poprzednik q - następnik Przepiszmy zatem powyższą tabelę podstawiając: 4L=p, P=q Operatorowa definicja implikacji odwrotnej: Kod:  p    q   Y=p~>q ~Y=~(p~>q)  p ~> q = 1       0  p~~>~q = 1       0 ~p=> ~q = 1       0 ~p => q = 0       1 Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q gdzie: ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p musi być konieczne dla q, inaczej pierwsza linia definicji operatorowej jest twardym fałszem, zdanie na pewno nie jest implikacją odwrotną. Przykład: Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem S~>P=0 Oczywisty twardy fałsz bo skrzydła nie są warunkiem koniecznym dla psa. Po opuszczeniu operatorów w powyższej definicji otrzymujemy symboliczną definicję implikacji odwrotnej . Symboliczna definicja implikacji odwrotnej: Kod:  p  q   Y=p~>q ~Y=~(p~>q)  p  q = 1       0  p ~q = 1       0 ~p ~q = 1       0 ~p  q = 0       1 Najprostszą definicję implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a otrzymujemy z ostatniej linii tabeli. Wystąpi fałsz (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p i zajdzie q. ~Y= ~p*q Kiedy wystąpi prawda ? Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+). Y=p+~q stąd … Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a: Y= p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana Wystąpi prawda (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że zajdzie ~p i zajdzie q. 2.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej Zero jedynkowa definicja implikacji odwrotnej to w dniu dzisiejszym zabytek klasy zerowej. Wszyscy ludzie na ziemi od przedszkolaka po profesora posługują się biegle operatorową definicją implikacji odwrotnej. Nie ma potrzeby przechodzenia do zero-jedynkowej definicji implikacji odwrotnej. Operatorowa definicja implikacji odwrotnej: Kod:  p    q   Y=p~>q ~Y=~(p~>q)  p ~> q = 1       0  p~~>~q = 1       0 ~p=> ~q = 1       0 ~p => q = 0       1 Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Zauważmy, że prawo Kubusia obowiązuje w obrębie samej definicji implikacji, zatem implikacja odwrotna to w pierwszej części rzucanie monetą p~>q, zaś w drugiej części pewne wynikanie ~p=>~q. Zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej otrzymujemy opuszczając operatory oraz przyjmując: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej: Kod: p q  Y=p~>q ~Y=~(p~>q) 1 1  1       0 1 0  1       0 0 0  1       0 0 1  0       1 Najprostsze równanie algebry Boole’a zapiszemy dla ostatniej linii bo tu w wyniku mamy samotne zero (Y=0). Y=0 <=> p=0 i q=1 Przejście z takiego zapisu do równania algebry Boole’a możemy uzyskać na dwa sposoby. Sposób 1 Definicja iloczynu logicznego: Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równy jest jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden. Mamy: Y=0 <=> p=0 i q=1 czyli: Y=0, ~Y=1 p=0, ~p=1 q=1 Sprowadzamy wszystkie sygnały do jedynki i stosujemy definicję iloczynu logicznego. ~Y=~p*q Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne Y = p+~q Sposób 2 Definicja sumy logicznej: Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru. Mamy: Y=0 <=> p=0 i q=1 czyli: Y=0 p=0 q=1,~q=0 Sprowadzamy wszystkie sygnały do zera i stosujemy definicję sumy logicznej. Y=p+~q Jak widać, w tym przypadku końcowe równanie implikacji odwrotnej mamy natychmiast. Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a: Y = p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla ostatniej linii tabeli gdzie w wyniku było samotne zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież. Prawo Prosiaczka: Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych. Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej przybierze zatem postać końcową. Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej: Kod: p q  Y=p~>q=p+~q=~(~p*q) ~Y=~(p~>q)=~[~(~p*q)]=~p*q 1 1  1                    0 1 0  1                    0 0 0  1                    0 0 1  0                    1 Wystąpi prawda (Y=1) jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie ~p i q Wystąpi fałsz (~Y=1) jeśli zajdzie ~p i q 2.3 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna. Poza gwarancją wszystko może się zdarzyć czyli mamy rzucanie monetą. Gwarancją w implikacji odwrotnej jest wynikająca z prawa Kubusia implikacja prosta: Y=p~>q = ~p=>~q Gwarancja: Jeśli nie zajdzie p to na pewno nie zajdzie q ~p=>~q Przykład: Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem Y=4L~>P Gwarancja: Y=4L~>P = ~4L=>~P - prawo Kubusia G1: Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem Y=~4L=>~P Gwarantowane zwierzaki to kura, mrówka, stonoga, wąż … Gwarancja dotyczy zwierząt które nie mają czterech łap, te na pewno nie są psami, poza tą gwarancją wszystko może się zdarzyć czyli jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem (tu pies), lub nie być psem (np. słoń) czyli mamy tu rzucanie monetą. Gwarancję równoważną otrzymujemy z definicji implikacji odwrotnej zapisanej w równaniu algebry Boole’a. Definicja implikacji odwrotnej: Y=p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana stąd: Y=4L~>P = ~(~4L*P) czyli: G2: Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem Y=~(~4L*P) Oczywiście gwarantowane zwierzaki to kura, mrówka, stonoga, wąż … - te na pewno nie są psami. … a kiedy wystąpi fałsz ? Negujemy powyższe równanie dwustronnie: ~Y=~4L*P Wystąpi fałsz (~Y) jeśli zwierzę nie będzie miało czterech łap i będzie psem. Zauważmy coś bardzo ważnego. Człowiek mając do wybory dwie równoważne gwarancje G1 i G2 praktycznie na 100% zawsze wybierze G1 bo ta jest zdecydowanie bardziej klarowna. Wniosek: W naturalnym języku mówionym człowiek posługuje się przede wszystkim operatorową definicją implikacji odwrotnej. Z definicji równoważnej, zapisanej w równaniu algebry Boole’a: p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q) w praktyce nikt nie korzysta, co nie oznacza że przedszkolak miałby tu jakiekolwiek kłopoty. Jaś: G1: Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem Y=~4L=>~P Kubuś: … a czy może się zdarzyć że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem ? p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa Kubusia i definicji implikacji odwrotnej stąd: ~4L=>~P = ~(~4L*P) Jaś: Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem ~(~4L*P) Zauważmy, że przeanalizowaliśmy implikację odwrotną: Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem 4L~>P na wszelkie możliwe sposoby wyłącznie w symbolicznej algebrze Kubusia nie mając bezpośredniej styczności z kodem maszynowym czyli zerami i jedynkami po stronie p i q. 3.0 Kubuś na tropie implikacji prostej Dzieci w przedszkolu są doskonałym testerem dowolnej logiki roszczącej sobie miano matematycznego opisu języka mówionego. Nowa, nieznana człowiekowi definicja implikacji odwrotnej ~> przeszła taki test bez najmniejszego problemu. Kubuś postanowił sprawdzić czy również nowa definicja implikacji prostej => przejdzie „test przedszkolaka”. Druga wizyta Kubusia w przedszkolu. Drogie dzieci, będę wypowiadał różne zdania o piesku i jego czterech łapach. Waszym zadaniem będzie rozstrzygnięcie czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe. Proszę Was, abyście uwzględniali wyłącznie pieski zdrowe które mają cztery łapy. B1: Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy P=>4L=1 Zdanie prawdziwe, zgodnym chórem krzyknęły dzieci, bo każdy pies ma cztery łapy. Implikacja prosta prawdziwa bo bycie psem jest wystarczające, aby mieć cztery łapy. B2: Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap P=>~4L=0 Fałsz, kłamstwo, bo każdy pies ma cztery łapy, żaden przedszkolak nie miał tu wątpliwości Jaś: … a jeśli zwierzę nie jest psem ? Prawo Kubusia: P=>4L = ~P~>~4L Kubuś: B3: Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap ~P~>~4L=1 Prawda czy fałsz ? Dzieci: Prawda bo mrówka, stonoga, kura, wąż …. lub B4: Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy ~P~~>4L=1 Prawda bo koń, słoń, wilk, hipopotam … przekrzykiwały się dzieci Na wszelki wypadek by upewnić się czy nowa teoria matematyczna jest prawdziwa Kubuś zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy. Dzieci nie pomyliły się ani razu ! Nie ma zatem wątpliwości, symboliczna algebra Kubusia przeszła „test przedszkolaka” pomyślnie. Zauważmy, że zdanie B4 nie może być implikacją odwrotną. Dlaczego ? Najprostszą wyrocznią jest tu oczywiście prawo Kubusia. Dowód nie wprost. Załóżmy że B4 jest implikacją odwrotną, wtedy musi być spełnione prawo Kubusia: B4: ~P~>4L = B2: P=>~4L Prawa strona tożsamości: Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap P=>~4L=0 .. to oczywisty fałsz, zatem fałszywa musi być tez implikacja po lewej stronie czyli: B4: ~P~>4L=0 Prawdziwość zdania B4 określa wzór: (~P~>4L)+(~P~~>4L) = 0+1 =1 gdzie: ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda (tu np. koń), na pewno nie jest to implikacja odwrotna. 3.1 Operatorowa definicja implikacji prostej Przepiszmy powyższy przykład wyłącznie w postaci operatorowej. Kod:     P   4L   Y=(P=>4L) ~Y=~(P=>4L) B1: P=> 4L = 1          0 B2: P=>~4L = 0          1 B3:~P~>~4L = 1          0 B4:~p~~>4L = 1          0 Prawo Kubusia: P=>4L = ~P~>~4L Oczywiście w matematyce nie operujemy na konkretnym przykładzie lecz na parametrach formalnych którymi w implikacji są literki p i q. Podstawiamy zatem: P=p i 4L=q i otrzymujemy operatorową definicję implikacji prostej. Operatorowa definicja implikacji prostej: Kod:  p   q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)  p=> q = 1         0  p=>~q = 0         1 ~p~>~q = 1         0 ~p~~>q = 1         0 Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q gdzie: => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Po opuszczeniu operatorów w powyższej definicji otrzymujemy symboliczną definicję implikacji prostej. Symboliczna definicja implikacji prostej: Kod:  p  q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)  p  q = 1         0  p ~q = 0         1 ~p ~q = 1         0 ~p  q = 1         0 Stąd dla drugiej linii zapisujemy najprostsze równanie algebry Boole’a. Wystąpi fałsz (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i ~q czyli: ~Y=p*~q Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+): Y=~p+q stąd: Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a Y = p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana 3.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej Operatorowa definicja implikacji prostej: Kod:  p   q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)  p=> q = 1         0  p=>~q = 0         1 ~p~>~q = 1         0 ~p~~>q = 1         0 Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Zauważmy, że prawo Kubusia obowiązuje w obrębie samej definicji implikacji, zatem implikacja prosta to w pierwszej części pewne wynikanie p=>q, natomiast w drugiej części to najzwyklejsze rzucanie monetą ~p~>~q. Po opuszczeniu operatorów w operatorowej definicji implikacji prostej i przyjęciu: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 otrzymujemy … Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej: Kod: p q  Y=(p=>q)=~p+q=~(p*~q) ~Y=~(p=>q)=~[~(p*~q)]=p*~q 1 1  1                      0 1 0  0                      1 0 0  1                      0 0 1  1                      0 Wystąpi prawda (Y=1) jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie p i ~q Wystąpi fałsz (~Y=1) jeśli zajdzie p i ~q 3.3 Gwarancja w implikacji prostej Na mocy definicji gwarancją jest sama definicja implikacji prostej …. G1: Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy P=>4L Gwarantowany zwierzak to pies, który na pewno ma cztery łapy … poza tym wszystko może się zdarzyć czyli jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap (np. mrówka) lub jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy (np. słoń). Równoważną gwarancję, lecz w praktyce nigdy nie używaną mamy z równań algebry Boole’a. Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a. Y = p=>q = ~p~>~q =~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana stąd: P=>4L = ~P~>~4L = ~(P*~4L) czyli: G2: Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap ~(P*~4L) Gwarantowany zwierzak to pies, poza tym wszystko może się zdarzyć. Oczywiście nie oznacza to że przedszkolak będzie miał jakiekolwiek problemy z wypowiedzeniem gwarancji G2 … jeśli się go do tego zmusi. Jaś: Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy P=>4L Kubuś: … a czy może się zdarzyć że zwierze jest psem i nie ma czterech łap ? P=>4L = ~(P*~4L) - na mocy definicji implikacji prostej Jaś: Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap. ~(P*~4L) 4.0 Fundamenty algebry Boole’a Matematycznym fundamentem algebry Boole’a jest definicja iloczynu kartezjańskiego i pojęcie funkcji. 4.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji W drugiej klasie szkoły podstawowej Pani na kartkówce zadała uczniom napisanie tabliczki mnożenia do 100. Wszystkie dzieci zrobiły to w sposób uporządkowany, łatwy do sprawdzenia. Jedynie dowcipny Jaś oddał kartkę pozornie bez sensu, bo poszczególne działania poustawiane były w sposób losowy, taki groch z kapustą. Jak sprawdzić czy Jaś wykonał poprawnie zadanie ? Oczywiście należy wykreślać po kolei jedno działanie z kartki uporządkowanej, odszukać identyczne w Jasiowym bałaganie i też je skreślić. Jeśli na końcu okaże się że Jaś zapisał wszystkie działania poprawnie i żadnego nie brakuje to Jaś wykonał zadanie poprawnie, powinien dostać 6 za fajny dowcip. Ogólnie na obu kartkach z tabliczką mnożenia może być dowolny bałagan byleby zawierały wszystkie mnożenia do 100, co wynika z definicji iloczynu kartezjańskiego i pojęcia funkcji. Zobaczmy to na przykładzie budując tabelę mnożenia do dziewięciu. 4.2 Funkcja iloczynu algebraicznego Iloczynem kartezjańskim zbiorów A = {1, 2, 3} i B = {1, 2, 3} jest zbiór C = AxB składający się z par liczb (a,b), gdzie a jest liczbą ze zbioru A, zaś b jest liczbą ze zbioru B. Innymi słowy, zbiór C wygląda tak: C = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}. Wobec tego zadanie, jakie otrzymały dzieci, polegało na tym, żeby każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B przyporządkować liczbę całkowitą równą iloczynowi algebraicznemu liczb zawartych w tym elemencie. Oznaczmy: * - matematyczny operator iloczynu algebraicznego, funkcja mnożenia algebraicznego (nie mylić z iloczynem logicznym AND !) Kod: a b  a*b 1*1 =1 1*1 =2 1*3 =3 2*1 =2 2*2 =4 2*3 =6 3*1 =3 3*2 =6 3*3 =9 Jest oczywistym, że linie można dowolnie poprzestawiać i dalej będzie to tabela mnożenia do 9 czyli znajdziemy w niej wynik dowolnego mnożenia. Pary liczb po lewej stronie znaku „=” tworzą zbiór będący iloczynem kartezjańskim dwóch zbiorów liczb, z których każdy zawiera liczby od 1 do 3, zaś po prawej stronie znaku „=” mamy liczby ze zbioru liczb od 1 do 9, stanowiące wynik odwzorowania tego iloczynu kartezjańskiego (czyli zbioru) w zbiór liczb całkowitych od 1 do 9. Jako ciekawostkę można zauważyć, że niektóre liczby w wyniku pojawiają się tylko jeden raz (1,4,9), niektóre pojawiają się dwukrotnie (2,3,6), a niektóre nie pojawiają się w ogóle (np. liczba 5,7,8). Każdej parze liczb z lewej strony „=” odpowiada jednak tylko jedna liczba z prawej strony „=” (każde mnożenie algebraiczne ma tylko jeden prawidłowy wynik) - takie jednoznaczne odwzorowanie jednego zbioru w drugi zbiór nazywa się funkcją. Zauważmy, że funkcja iloczynu algebraicznego „*” jest przemienna tzn. można zamieniać argumenty i wynik nie ulegnie zmianie. a*b = b*a 4.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*) Weźmy teraz algebrę Boole’a gdzie znane są wyłącznie cyfry 0 i 1. Mamy tu dwa zbiory A=(0,1) i B=(0,1) bo inne cyfry są nielegalne. Iloczyn kartezjański tych zbiorów to C={(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}. Oczywiście pary cyfr ze zbioru C można dowolnie przestawiać. Definicja iloczynu logicznego (funkcja logiczna): Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden Tabela zero-jedynkowa iloczynu logicznego: Kod: Tabela A p q  p*q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =0 0 1 =0 gdzie: * - operator iloczynu logicznego AND(*), funkcja logiczna. W iloczynie logicznym zachodzi przemienność argumentów Czyli: p*q=q*p Dowód formalny: Zamieniamy p i q miejscami. Kod: Tabela B q p  q*p 1 1 =1 0 1 =0 0 0 =0 1 0 =0 Identyczność kolumn wynikowych tabel A i B jest dowodem przemienności iloczynu logicznego: p*q = q*p 4.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności Wyżej udowodniliśmy, iż operator iloczynu logicznego AND(*) jest przemienny. Sprawdźmy teraz pozostałe kluczowe operatory czyli te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym. Kod: p q p+q  q+p  p=>q  q=>p  p~>q  q~>p p<=>q  q<=>p 1 1  1    1    1     1     1     1     1      1 1 0  1    1    0     1     1     0     0      0 0 0  0    0    1     1     1     1     1      1 0 1  1    1    1     0     0     1     0      0 p=>q=0 <=> p=1 i q=0 p~>q=0 <=> p=0 i q=1 Doskonale widać, że operatory OR(+) i <=> są przemienne, natomiast operatory implikacji nie są przemienne bo kolumny wynikowe są różne: p=>q # q=>p p~>q # q~>p Oczywistym jest, że implikacja jest implikacją prawdziwą wtedy i tylko wtedy gdy spełnia odpowiednią tabelę zero-jedynkową. Wynika z tego że: Jeśli p=>q=1 to q=>p=0 Jeśli p~>q=1 to q~>p=0 … bo to jest algebra Boole’a. p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej Brak przemienności argumentów w implikacji przenosi się oczywiście na brak przemienności implikacyjnej sumy logicznej wynikającej z odpowiednich definicji. p=>q = ~p+q # q+~p = q~>p p~>q = p+~q # ~q+p = q=>p 4.5 Równoważność Dziewicza tabela zero-jedynkowa równoważności: Kod: p q p<=>q 1 1   1 1 0   0 0 0   1 0 1   0 Z tabeli zero-jedynkowej widać, że równoważność jest przemienna, czyli wszystko jedno którą cześć zdania nazwiemy p a którą q. Algebra Kubusia to algebra symboliczna. W zabawie implikacją w przedszkolu przeszliśmy z naturalnego języka mówionego do definicji operatorowej po czym do definicji symbolicznej na końcu lądując w tabeli zero-jedynkowej. Tym razem zrobimy dokładnie odwrotnie. Przechodzimy z powyższą tabelą do symbolicznej definicji równoważności przyjmując: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Symboliczna definicja równoważności: Kod:  p q p<=>q  p  q  1  p ~q  0 ~p ~q  1 ~p  q  0 Dla linii z jedynkami w wyniku układamy równanie algebry Boole’a Definicja równoważności w równaniu algebry Boole’a: A: p<=>q = p*q+~p*~q Bardzo łatwo udowodnić poprawność równoważnych definicji równoważności, wynikających z przemienności argumentów oraz powyższej definicji: B: ~p<=>~q C: q<=>p D: ~q<=>~p Udowodnimy tylko B bo pozostałe dowody są analogiczne. Korzystamy z definicji równoważności A: E: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q + ~p*~q Prawe strony równań A: i E: są identyczne, zatem są to równoważne definicje. Z pierwszej linii definicji symbolicznej widać, że jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q bo druga linia tabeli jest fałszem. Podobnie z trzeciej linii widać, że jeśli zajdzie ~p to „musi” => zajść ~q bo ostatnia linia jest fałszem. Stąd pełna definicja operatorowa równoważności przybierze postać: Kod:  p=> q =1  p=>~q =0 ~p=>~q =1 ~p=> q =0 Mamy tu zatem doskonale nam znane z definicji implikacji warunki wystarczające zachodzące między p i q oraz między ~p i ~q. Stąd operatorowa definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1 gdzie: p=>q - warunek wystarczający między p i q, nigdy implikacja prosta p=>q ~p=>~q - warunek wystarczający między ~p i ~q, nigdy implikacja prosta ~p=>~q Dlaczego powyższe zapisy nie mogą być implikacją ? Wynika to bezpośrednio z definicji operatorowych implikacji prostej i równoważności. Definicja operatorowa implikacji prostej z uwzględnieniem kodu zero-jedynkowego: Kod:  p=> q =1  1 1 =1  p=>~q =0 1 0 =0 Prawo Kubusia: p=>q=~p~>~q ~p~>~q =1  0 0 =1 ~p~~>q =1  0 1 =1 Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Doskonale też widać, że prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, czyli implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie. Definicja operatorowa równoważności z uwzględnieniem kodu zero-jedynkowego: Kod:  p=> q =1  1 1 =1  p=>~q =0  1 0 =0 ~p=>~q =1  0 0 =1 ~p=> q =0 0 1 =0 Doskonale tu widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1=1 czyli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Oczywista definicja operatorowa równoważności z powyższej tabeli: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1 Jak widzimy, w definicji operatorowej równoważności nie ma śladu prawa Kubusia widniejącego w definicji operatorowej implikacji prostej => wyżej. Oczywistym jest że w równoważności chodzi wyłącznie o warunki wystarczające między p=>q i ~p=>~q, to nie są implikacje bowiem w definicji operatorowej równoważności nie ma śladu operatora implikacji odwrotnej ~>. Przykład: Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy P=>4L Bycie psem jest wystarczające aby mieć cztery łapy, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa Definicja operatorowa dla powyższego zdania: Kod:  P=>4L =1  P=>~4L=0 ~P~>~4L=1 ~P~~>4L=1 Aby w powyższej tabeli ostatnia linia wyzerowała się, musiałaby być prawdziwa implikacja prosta: ~P=>~4L czyli: Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap ~P=>~4L=0 - oczywisty fałsz bo słoń Zatem równoważność nie może być iloczynem dwóch implikacji prostych p=>q i ~p=>~q bo takowe są niemożliwe do zaistnienia. Można to udowodnić jeszcze prościej …. Oczywistym jest na podstawie definicji implikacji prostej => że: p=>q=~p+q # ~p=>~q= ~(~p)+(~q) = p+~q To jest algebra Boole’a, zatem: Jeśli implikacja prosta p=>q=1 to implikacja prosta ~p=>~q=0 (albo odwrotnie) bo: p=>q # ~p=>~q Stąd definicja równoważności nie może być iloczynem logicznym dwóch implikacji prostych bo: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*0=0 Dowód nie wprost: Zauważmy, że gdyby to była prawda matematyczna to przekształcenia musiałyby być odwracalne, czyli dowolną równoważność można by rozbić na dwie implikacje proste, co jest oczywistą bzdurą. Kamikaze mogą próbować. Wniosek: Twierdzenie co niektórych dzisiejszych matematyków jakoby równoważność była iloczynem dwóch implikacji prostych można między bajki włożyć. CND 5.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata Z przymrużeniem oka, … czyli jak w prosty sposób zapamiętać najważniejsze definicje w logice klasycznej, zarówno w wersji operatorowej, jak i zero-jedynkowej. Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Tabele zero-jedynkowe odpowiednich definicji wynikają z logiki dodatniej: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Na początku było: 1=1 i stał się cud: (p+~p)=(q+~q) p+~p=1 - prawo algebry Boole’a czyli: p=>(q+~q) ~p=>(~q+q) Równoważność: Definicja operatorowa: Kod:  p   q p<=>q  p=> q =1  p=>~q =0 ~p=>~q =1 ~p=> q =0 Stąd definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania w logice dodatniej: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod: p q p<=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =0 Definicje podstawowe równoważności w równaniach algebry Boole’a: p<=>q = p*q + ~p*~q - na podstawie kodu zero-jedynkowego p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności: ~p=>~q = q=>p stąd odprysk definicji równoważności: p<=>q - (p=>q)*(q=>p) W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja, zatem ostatnie dwie linie ulegają rozczepieniu: Operatorowa definicja implikacji prostej: Kod:  p   q p=>q  p=> q =1  p=>~q =0 ~p~>~q =1 ~p~~>q =1 Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Stąd definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania w logice dodatniej: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod: p q p=>q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a: p=>q = ~p+q lub pierwsze dwie linie z definicji równoważności ulegają rozczepieniu: Operatorowa definicja implikacji odwrotnej: Kod:  p    q p~>q  p~>  q =1  p~~>~q =1 ~p=> ~q =1 ~p=>  q =0 Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Stąd definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania w logice dodatniej: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod: p q p~>q 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =1 0 1 =0 Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a: p~>q = p+~q 6.0 Najciekawsze fragmenty dyskusji o NTI Cytat z: [link widoczny dla zalogowanych] Rexerex napisał: A czy zdanie "jeśli liczba jest podzielna przez dwa to może być podzielna przez dwa" ma jakikolwiek sens logiczny? Chyba każdy się zgodzi, że taka liczba MUSI być podzielna przez 2 i nie ma tu żadnego miejsca na "może". Tymczasem wydaje mi się, że Twoja logika dopuszcza taką możliwość Mylisz się … rafal3006 napisał: Fundament algebry Kubusia w zakresie implikacji Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p+q Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q p musi być warunkiem wystarczającym dla q => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = p+~q Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q p musi być warunkiem koniecznym dla q ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym Spójniki zdaniowe => - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym ~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą => 1. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3 P8~~>P3 =1 bo 24 P8 nie jest ani wystarczające ani też konieczne dla tego aby zaszło P3, zatem na mocy definicji: P8=>P3 =0 - implikacja prosta fałszywa P8~>P3=0 - implikacja odwrotna fałszywa 2. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2 W języku mówionym spójnik „musi” jest domyślny zatem ściśle jest jak niżej: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to musi => być podzielna przez 2 P8=>P2 =1 P8 jest wystarczające dla P2, zatem implikacja prosta prawdziwa Twoje zdanie w NTI wygląda tak: 3. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno jest podzielna przez 2 P2=>P2 P2 jest wystarczające dla P2 … ale to nie jest implikacja !!! Dlaczego ? Twierdzenia matematyczne wypowiedziane w formie „Jeśłi…to…” to oczywiste warunki wystarczające, nie są to ani implikacje ani równoważności. Fakt udowodnienia twierdzenia w stronę p=>q o niczym nie rozstrzyga, bowiem identyczny warunek wystarczający p=>q występuje zarówno w implikacji jak i równoważności. Aby rozstrzygnąć czym jest wypowiedziane twierdzenie konieczne są dodatkowe działania. Najpewniej przeanalizować twierdzenie przez dowolna definicję implikacji albo równoważności - wtedy dopiero „wyjdzie szydło z worka”. Załóżmy że zdanie wyżej to implikacja. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno jest podzielna przez 2 P2=>P2 =1 1 1 =1 stąd: Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 2 P2=>~P2 =0 1 0 =0 …. a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ? Jeśli to implikacja to obowiązuje prawo Kubusia: P2=>P2 = ~P2~>~P2 STOP ! ~P2 jest wystarczające dla ~P2 zatem jest to warunek wystarczający =>, nigdy konieczny ~> czyli: Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 2 ~P2=>~P2 =1 0 0 =1 stąd: Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno jest podzielna przez 2 ~P2=>P2 =0 0 1 =0 Doskonale widać wyżej tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli: P2=1, ~P2=0 Tak wiec jeśli jakikolwiek nauczyciel twierdzi że P2=>P2 jest implikacją to jest w fundamentalnym błędzie, niech trochę pobiega i wytrzeźwieje. Dowód wyżej. Równoważność: Liczba jest podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna prze 2 P2<=>P2 =1 Oczywiście tego typu zdania funkcjonują wyłącznie w świecie absurdów czyli w Klasycznym Rachunku Zdań. W świecie normalnych nikt tak nie powie: Jeśli zwierzę jest psem to jest pasm Na bazie definicji symbolicznej jak wyżej mamy jak na dłoni podstawową definicję równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) W równoważności poprawne jest prawo kontrapozycji: ~p=>~q = q=>p stąd odprysk definicji równoważności: p<=>q = (p=>q)*(q=>p) Oczywiście z prawej strony definicji mamy do czynienia z warunkami wystarczającymi zachodzącymi między p=>q, ~p=>~q, q=>p. To nie są implikacje ! Dowód w podpisie pkt. 1.8 P.S. W kontekście powyższych przykładów bardzo ciekawe jest takie zdanie ... Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2 P8~~>P2 =1 bo 8, 16 Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego może ~~> wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi. Jak to udowodnić ? Oczywiście korzystając z definicji warunku koniecznego: 1 1 =1 1 0 =1 Dowód nie wprost: Załóżmy, że powyższe zdanie spełnia warunek konieczny czyli … Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2 P8~>P2 =1 bo 8, 16 .. 1 1 =1 LUB Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2 P8~~>~P2 =0 1 0 =0 Oczywisty fałsz, zatem nie ma mowy aby między P8 a P2 zachodził warunek konieczny, czyli: P8~>P2 =0 - implikacja odwrotna fałszywa ! Zdanie P8~~>P2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, warunek konieczny tu nie zachodzi. Sekwencja zero-jedynkowa wyżej: 1 1 =1 1 0 =0 to definicja warunku wystarczającego, zatem … Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2 P8=>P2 =1 P8 jest wystarczające dla P2, zatem to jest implikacja prosta prawdziwa Cytat z: http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nti-dyskusja-z-ateisty-pl,4867-25.html#105295 Gwóźdź do trumny Klasycznego Rachunku Zdań Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś Artykuł powstał na bazie dyskusji z Fizykiem na forum ateista.pl: [link widoczny dla zalogowanych] Dzięki Fizyku ! Fizyk napisał: Patrz, mam propozycję. Jeśli wyślesz mi 100 zł, to ja Tobie wyślę 10 zł. Dopóki nie wyślesz tych 100 zł i nie okaże się, że ja tych 10 zł wcale nie miałem zamiaru wysyłać, nie masz prawa nazywać mnie kłamcą - mimo, że jestem przekonany, że nigdy z mojej propozycji nie skorzystasz. Owszem nie mam prawa nazwać cie kłamcą ale ... Ogłoszenie w prasie: Kto wyśle mi 100zł dostanie 10zł To oczywista implikacja idioty na która nikt się nie nabierze, bo ludzie to nie idioci. Drugie ogłoszenie: Kto wyśle mi 10zł dostanie 100zł Ta implikacja jest sensowna i możliwa do zaistnienia tzn. sensowne jest tu wejście do gry, jeśli ta gra będzie miała w miarę sensowne piórka Rasowy oszust na Allegro działa tak: Na początku jego firma jest uczciwa, zbiera pochlebne recenzje (od kolesiów oczywiście) i dopiero jak wyrobi sobie bardzo dobra markę uderza ... czyli wszelkie pieniądze do kieszeni i zwiewamy stąd fizyk napisał: Wyobraź sobie taką sytuację. Jedziemy pociągiem i czytam gazetę. Ty prosisz, żebym Ci ją potem dał, bo też chcesz poczytać. Ja mówię "Ok, dam Ci ją jak będziemy w Skierniewicach". Jedziemy właśnie z Warszawy do Gdańska i szansa, że przejedziemy przez Skierniewice wynosi 0, więc gazety nigdy nie otrzymałeś. Czy to, co powiedziałem, było prawdą, czy fałszem? Fizyku, przykład który podałeś jest absurdalny. Jak dojedziemy do Skierniewic dam ci gazetę S=>G Dojazd do Skierniewic jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania gazety, GWARANCJA MATEMATYCZNA … ale tych Skierniewic nie ma na trasie Warszawa-Gdańsk. Równie dobrze mogę powiedzieć … Jeśli zamienisz sie w słonia dostaniesz gazetę ZS=>G Czy może tu zajść kluczowa linijka definicji implikacji, gwarancja matematyczna ? Zamieniłem sie w słonia, dostałem gazetę =1 1 1 =1 ? Czy żarty można podpinać pod matematykę ? Myślę, że w temacie obietnic trzeba odróżnić trzy rzeczy: 1. Żarty jak wyżej 2. Fałszywe obietnice mające na celu zniszczenie mojego wroga (tu wszystkie chwyty dozwolone) 3. Obietnice dawane przyjaciołom czy nawet obcym ludziom (ale nie wrogom) Są to obietnice dobrowolne z warunkiem nagrody możliwym do spełnienia NTI rości sobie miano tylko do matematycznej obsługi przypadku 3. Fizyk napisał: rafal3006 napisał: Tu chodzi o to że nadawca dał obietnicę która nie ma szans się spełnić w 100%, bo tych Skierniewic nie ma po drodze, czyli nie mam żadnej gwarancji dostania tej gazety … Co nie zmienia faktu, że nie możesz powiedzieć, że ten człowiek skłamał, dopóki nie dojedziecie do Skierniewic (co się nie stanie). Owszem, nie mogę powiedzieć że skłamał, ale na pewno jego obietnica nie jest implikacją. Jak dojedziemy do Skierniewic dam ci gazetę S=>G Dojazd do Skierniewic jest warunkiem wystarczającym dostania nagrody (tu gazety), GWARANCJA MATEMATYCZNA Załóżmy że Skierniewice są na trasie Warszawa-Gdańsk, wtedy mamy tabele zero jedynkową: Kod: S G S=>G 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Piękna implikacja prosta, zgadza się ? … ale do tych Skierniewic nigdy nie dojedziemy bo jedziemy z Warszawy do Gdańska. Na tej trasie będzie: S=0 - twardy fałsz, zatem tabelka wyżej przybierze postać: Kod: S G S=>G 0 1 =1 0 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Oczywiście powyższa tabela nie jest definicja implikacji czyli ta implikacja jest fałszywa. Twierdzenie: Zdanie jest implikacja wtedy i tylko wtedy gdy spełnia CAŁĄ tabele zero-jedynkową implikacji Z powyższego widać że jeśli znamy z góry wartość poprzednika lub następnika to takie zdanie „Jeśli…to…” nie jest implikacją, bo na pewno nie spełnia tabeli zero-jedynkowej implikacji. Dowód wyżej. NTI: To co wyżej to obalenie kolejnego mitu w Klasycznym rachunku zdań. Credo NTI: Zabicie gwarancji = zabicie implikacji Fizyk napisał: To jest całkiem częsta sytuacja, kiedy ktoś chce się wymigać od zrobienia czegoś. Mówi, że to zrobi, kiedy zostaną spełnione jakieś nieprawdopodobne lub wręcz niemożliwe warunki - i nikt nie może powiedzieć, że złamał obietnicę, dopóki te warunki nie zostaną spełnione. Jeżeli NTI pretenduje do "opisu naturalnej logiki człowieka", to takie rzeczy też powinny być w jej ramach opisane, a jak widać nie są. Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek to nagroda W=>N Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dostania nagrody, GWARANCJA MATEMATYCZNA Mylisz fizyku dwie rzeczy: 1. Warunek nagrody może być baaaardzo trudny do spełnienia ale nie niemożliwy np. Jeśli wygram milion w totka to kupię ci samochód MT=>S Jakie jest tu prawdopodobieństwo spełnienia warunku nagrody ? … oczywiście bliskie zeru ale nie niemożliwe, dlatego to jest piękna implikacja 2. Przykład warunku niemożliwego do spełnienia: Jeśli zamienisz się w słonia dostaniesz gazetę S=>G Tu możliwość zamiany w słonia jest oczywistym fałszem zatem: S=0 - twardy fałsz Tabela prawdy dla tego przypadku: Kod: S G S=>G 0 1 =1 0 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 Oczywiście ta tabela jest fałszywą definicją implikacji, zatem wypowiedziane zdanie jest implikacja fałszywą. Oczywiście każdy normalny człowiek uzna powyższe zdanie za żart i co najwyżej pośmieje się. Kabarety to właśnie zbiór takich nonsensów, z których wszyscy się śmieją Tak więc Fizyku odwołuję to co powiedziałem wcześniej ! Nowa teoria implikacji obsługuje tego typu przypadki. NTI: Zdanie „Jeśli …to…” w których poprzednik lub następnik mają z góry znaną wartość nie są implikacjami ! To gwóźdź do trumny Klasycznego Rachunku Zdań Cytat z: http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nti-dyskusja-z-ateisty-pl,4867-25.html#105515 Fizyk napisał: Kod: p q p=>q ~q ~p ~q=>~p 1 1   1   0  0    1 1 0   0   1  0    0 0 1   1   0  1    1 0 0   1   1  1    1 Proszę. Nic nie zakładam o p, nic nie zakładam o q, a jakoś się zgadza. I co to znaczy "prawdziwe w implikacji", "prawdziwe w równoważności"? Wiesz co, może lepiej zdefiniuj najpierw, co to jest wg Ciebie implikacja, bo nie wygląda na to, żeby Twoje jej rozumienie miało cokolwiek wspólnego z operatorem w algebrze Boole'a - np. określenia typu "prawdziwe w implikacji" są bełkotem w odniesieniu do implikacji jako operatora. Po prostu napisz krótko, co to jest, np. "implikacja to operator", albo coś tego typu. Prawa Kubusia są prawdziwe w implikacji i fałszywe w równoważności. Oznacza to że tylko w implikacji maja szansę być prawdziwe, jeśli zastosujesz je do równoważności to natychmiast wyjdzie ci że sa fałszywe, czyli w tym obszarze nigdy nie będą prawdziwe. Sama implikacja tez może być fałszywa tzn. zdanie ujęte w „Jeśli…to…” jest implikacją fałszywą jeśli między p i q nie zachodzą warunki konieczny/wystarczający. Przykład: Jeśli krowa śpiewa w operze to pies ma cztery nogi KS=>P4N =0 Implikacja fałszywa bo śpiewająca krowa nie jest ani warunkiem wystarczającym ani też koniecznym do tego by pies miał 4 nogi CND Oczywiście poprawne prawo matematyczne nigdy nie wygeneruje ci z fałszu prawdy. Zastosujmy prawo Kubusia do powyzszego fałszu. KS=>P4N = ~KS~>~P4N =0 Brak zwiazku między p i q zatem nie ma tu mowy o warunku wystarczającym/koniecznym. Obie implikacje wyżej sa fałszywe. Miejsce logiki która z fałszu potrafi wyprodukowac prawdę (KRZ) jest w koszu na śmieci Co do prawa kontrapozycji to niżej rafal3006 napisał: Cytat z: [link widoczny dla zalogowanych] Podsumowując tą bardzo ciekawą dyskusję fakty są takie: 1. Prawa de’Morgana: p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+) p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*) Prawa Kubusia (analogia do praw de’Morgana jest tu 100%): p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej =>na implikacje odwrotną ~> p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą => Prawa Kubusia są prawdziwe w Klasycznym Rachunku Zdań i NTI z czym zgadzają się: Fizyk, Uczy, Wuj, Rafal3006, Volrath (wykładowca logiki) Kto dołączy do tej listy ? 2. p=>q # p~>q Powyższe prawo jest prawdziwe w KRZ i NTI z czym zgadzają się: Fizyk, Uczy, Wuj, Rafal3006, Volrath (wykładowca logiki) Kto dołączy do tej listy ? Szczegóły … Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej: Kod: p q  Y = p=>q = ~p~>~q 1 1 =1 1 0 =0 0 0 =1 0 1 =1 To samo w równaniu: p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) - prawo Kubusia plus prawo de’Morgana Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej: Kod: p q  Y = p~>q = ~p=>~q 1 1 =1 1 0 =1 0 0 =1 0 1 =0 To samo w równaniu: p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) - prawo Kubusia plus prawo de’Morgana Fizyk napisał: Kod: p q  p=>q  p~>q 1 1    1     1 1 0    0     1 0 0    1     1 0 1    1     0 Stąd prawo KRZ: p=>q # p~>q Poprawne prawo matematyczne w algebrze Boole'a musi obowiązywać dla wszystkich możliwych przypadków, żadne przypadki szczególne typu p=q nie wchodzą tu w grę ! Na podstawie powyższego zapisujemy równanie ogólne implikacji prawdziwe na gruncie Klasycznego Rachunku Zdań i NTI. p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) Pozostaje tylko drobiazg, rozszyfrowanie tego równania. Prawidłowe rozwiązanie jest w podpisie … Ze wszystkim co wyżej zgodził się Fizyk. Brawa dla Fizyka ! Pozdrawiam, Kubuś Nie możesz się fizyku wycofać z tego co wyżej bo te tabele są identyczne w KRZ i NTI. … a czy słyszałeś o równaniu ogólnym implikacji jak wyżej ? Zapiszę dla ciebie lewą stronę a ty uzupełnisz prawą. Jak to zrobisz będziesz miał dowód że prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) Oczywiście zrobimy to na przykładzie dwóch zdań. A. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 =1 P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa B. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 =1 P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa Dla lewej strony zaczynam od równania A. P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) Poproszę cie teraz o zapisanie prawej strony powyższej nierówności. Podpowiem, musisz wystartować od zdania B Pozdrawiam, Kubuś Cytat z: http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nti-dyskusja-z-ateisty-pl,4867-25.html#105519 Fizyk napisał: Jak zacznę od zdania B, to będzie: P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8 ), co, tak się składa, jest tym samym co po lewej stronie, więc chyba nie o to Ci chodziło ;) BTW, jeśli zgadzasz się, że p=>q = (~p )+q, to co powiesz na to? p=>q = (~p )+q = q+(~p ) = ~(~q )+(~p ) = (~q )=>(~p ) Fizyku, robisz banalne błędy przedszkolaka. Po pierwsze: Miałeś uzupełnić nierówność czego nie zrobiłeś, czyżbyś myślał że Kubuś nie zauważy ? P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2 ) # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8 ) Widzisz czerwony znak nierówności, zaakceptowany przez ciebie w kluczowym poście wyżej ? Zatem: P8=>P2 # ~P2=>~P8 czyli: p=>q # ~q=>~p czyli: Prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji Po drugie: Z tej samej nierówności odczytujemy: ~P8+P2 = ~(P8*~P2 ) # P2+~P8 = ~(~P2*P8 ) Superważny wniosek: W implikacyjnych AND i OR nie zachodzi prawo przemienności argumentów ! Jak to zinterpretować ? Lewa strona nierówności: P8=>P2 = ~(P8*~P2) Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 =1 Gwarantowane liczby: 8,16,24 … Ta sama gwarancja w operatorach AND i OR: Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2 ~(P8*~P2 ) Gwarantowane liczby: 8, 16, 24 … # Prawa strona nierówności: P2~>P8 = ~P2=>~P8 = ~(~P2*P8 ) Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8 ~P2=>~P8 Gwarantowane liczby: 3,5,7… Ta sama gwarancja w operatorach AND i OR: ~(~P2*P8 ) Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8 Gwarantowane liczby: 3,5,7 … Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, wszystko inne jest bez znaczenia. Gwarancja dla lewej strony nierówności (8,16,24..) jest fundamentalnie inna od prawej strony nierówności (3,5,7…). Dlaczego to nie jest równoważność ? … bo poza tymi gwarancjami są liczby podzielne przez 2 i niepodzielne przez 8 (2,4,6…) CND Po trzecie: Fizyk napisał: BTW, jeśli zgadzasz się, że p=>q = (~p )+q, to co powiesz na to? p=>q = (~p )+q = q+(~p ) = ~(~q)+(~p ) = (~q)=>(~p) Powiem że robisz błąd przedszkolaka, jak zwykle W implikacyjnych AND i OR nie zachodzi przemienność argumentów co dowiedziono wyżej. Zatem powinieneś zapisać tak: p=>q = ~p+q … KONIEC, dalszy twój dowód jest w implikacji błędny. Wniosek: prawo kontrapozycji jest w implikacji fałszywe Oczywiście w równoważności zachodzi przemienność argumentów i tu twój dowód jest poprawny. Zrobię to odwrotnie niż Ty: ~q=>~p = ~(~q)+~p = q+~p = ~p+q = p=>q Wniosek: prawo kontrapozycji jest w równoważności prawdziwe Po czwarte: Ten sam banalny błąd zrobiłeś w tabeli zero-jedynkowej która udowodniłeś poprawność prawa kontrapozycji … tyle że w równoważności. Fizyk napisał: Kod: p q p=>q ~q ~p ~q=>~p 1 1   1   0  0    1 1 0   0   1  0    0 0 1   1   0  1    1 0 0   1   1  1    1 W implikacji musisz trzymać fason czyli w czasie dowodu zero-jedynkowego nie wolno ci zamieniać p i q bo w implikacji nie zachodzi przemienność argumentów. Twój dowód wyżej jest poprawny dla równoważności bo tu możesz zamieniać argumenty. Twoja tabelka dla implikacji powinna wyglądać tak: Kod: p q p=>q ~p ~q  ~p~>~q = ~p<=~q 1 1   1   0  0    1 1 0   0   0  1    0 0 1   1   1  0    1 0 0   1   1  1    1 Oczywiście: ~p~>~q = ~p<=~q wtedy i tylko wtedy jeśli operator <= będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym, wałkowaliśmy to wyżej. CND P.S. Fizyku, myślę że możemy otwierać szampana Przyjecie nowych definicji implikacji to pogrom całej dzisiejszej logiki w zakresie implikacji, nie tylko KRZ. Strach pomyśleć co się będzie działo jak ludzie to załapią … Naszym dzieciom dedykuję Kubuś Bo cała NTI to naturalna logika 5-cio letniego dziecka ! Powrót do góry Wyświetl posty z ostatnich: Wszystkie Posty1 Dzień7 Dni2 Tygodnie1 Miesiąc3 Miesiące6 Miesięcy1 Rok Najpierw StarszeNajpierw Nowsze         Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa) Strona 1 z 1   Skocz do: Wybierz forum Biuro----------------RegulaminFAQSamoocena - jak śfinie widzą ŚfinięPubliczne testowanie skryptówTest skryptu do KretowiskaKosmosZgłoszenia naruszeń RegulaminuJak zakończyć wojnę CDLM? Komentarze do artykułów----------------ArtykułyNotatkiFelietonyFilipikiKomentarze: Otwarte Referarium Filozoficzne (ORF)Komentarze: Anty(k)wariat WujauserDummyBlog: Biuro KretowiskagetblogKomentarze: Kretowisko (blogosfera)Blog: wujzbojBlog: Michał DyszyńskiBlog: Mirosław GalczakBlog: luzikBlog: KoriBlog: malaaviBlog: hushekBlog: IroBBlog: skrobipiórekBlog: v2Blog: SemeleBlog: bronmus45Blog: JanelleLBlog: Piotr RokubungiBlog: MimozaBlog: MMMEmulacja Działu Regulaminowego - niczego tu nie przenosimy!Blog: jesterPogaduchy luźne u MMMŻURNAL JanelleLNotatnik szkolny 18 JanelleLBlog: evaj23Blog: ApoloniaBlog: towarzyski.pelikanBlog: NetlisBlog: Kruchy04Blog: chryzjanBlog: Czytanki starożytneBlog: AnboBlog: Andy72 Światopogląd----------------FilozofiaRozbieranie irracjonalizmuApologia kontra krytyka teizmuŚwięte KsięgiKatolicyzmReligie i wyznaniaGenesisNauka a światopoglądSztuka a światopogląd Nauka----------------Świat nieożywionyŚwiat ożywionyŚwiat skomputeryzowanyMetodologiaNauki społeczne3: Sprawy ostateczne2: Genesis1: Wiara a wiedzaSprawy techniczneForum Kubusia Sztuka----------------WydarzeniaGaleria twórczościSeriale - utwory w odcinkach Towarzystwo----------------PowitaniaKretowiskoKawiarniaAktualnościLinkowniaGwiezdne WojnyWięzienieKrzyknikŚmietnikMagiel więzienny Stopka----------------Statystyka strony głównej - zliczenia od 1 lutego 2006Zaprzyjaźnione portale  Nie możesz pisać nowych tematów Nie możesz odpowiadać w tematach Nie możesz zmieniać swoich postów Nie możesz usuwać swoich postów Nie możesz głosować w ankietach fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group Regulamin Na skróty:BiuroKomentarze do artykułówŚwiatopoglądNaukaSztukaTowarzystwoStopkaFilozofiaWięzienieKretowiskoKawiarniaApologia kontra krytyka teizmuMetodologiaForum KubusiaRozbieranie irracjonalizmuBlog: hushekKatolicyzmGwiezdne WojnyNauki społeczneBlog: Michał DyszyńskiReligie i wyznaniaŚwięte KsięgiBlog: IroBKosmosGenesisBlog: MMMPowitaniaNauka a światopoglądŚmietnikRegulamin