ŚFiNiA

rafal3006

Nowa algebra Boole’a
Matematyczny Raj: 2021-08-15

Kompletna algebra Kubusia to dwa podręczniki:

Część I.
Nowa algebra Boole’a

Część II.
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego

Dodatek do algebry Kubusia dostępny wyłącznie w wersji pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/tnbrf4kocp84ly0/Algebra%20Kubusia%20-%20Elementarz%20Mikroelektroniki.pdf?dl=0
W dodatku znajdziemy odpowiedź na pytanie:
Jaki jest matematyczny fundament działania wszelkich komputerów?

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.

Nowa algebra Boole’a

Części:
1.0 Podstawowa algebra Boole’a
2.0 Algebra Boole’a w języku potocznym
3.0 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a
4.0 Nieznana algebra Boole’a
5.0 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych

Wstęp

Algebra Kubusia to matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie kluczową rolę odgrywają spójniki implikacyjne {~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($)}, natomiast algebra Boole’a to wyłącznie 5 znaczków {1, 0, (~), „i”(*), „lub”(+)}.
Kluczowe pojęcia algebry Kubusia:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - element wspólny zbiorów (zdarzenie możliwe)
są niedostępne z poziomu algebry Boole’a.
Jak widzimy „Algebra Kubusia” (spójniki =>, ~>, ~~>, <=>, „albo”($)) i „Algebra Boole’a” (wyłącznie spójniki „i”(*) i „lub”(+)) to wiedza rozłączna co oznacza, że można zrozumieć „Algebrę Kubusia” bez znajomości algebry Boole’a.

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.

Fragment dyskusji z Irbisolem, znakomitym testerem końcowej algebry Kubusia, który za wszelką cenę chciał ją zniszczyć przy pomocy Klasycznego Rachunku Zdań.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3625.html#634671

Jak 5-cio letni inżynierowie biją na głowę ziemskich matematyków!

Czy ktoś ma nadzieję że Irbisol przeczyta niniejszy post ze zrozumieniem i się do niego odniesie zarzucając mu przynajmniej jeden matematyczny fałsz?
Ja już nie mam takiej nadziei.
Irbisol jest do bólu przewidywalny i napisze to:
„Niezamówionego gówna nie czytam”
Wszyscy za chwilkę zobaczą iż mam rację, chociaż chciałbym się mylić.

rafal3006

Nowa algebra Boole’a
1.0 Podstawowa algebra Boole’a

Spis treści
1.0 Podstawowa algebra Boole’a 1
1.1 Zmienna binarna i stała binarna 2
1.2 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej 4
1.2.1 Definicja dowodu „nie wprost” 6
1.3 Prawa Prosiaczka 7
1.3.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 8
1.3.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 9
1.3.3 Wyprowadzenie logiki symbolicznej 10
1.3.4 Definicja funkcji logicznej algebry Boole’a 12
1.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 13
1.5 Algorytm Wuja Zbója 17
1.5.1 Prawo Małpki 18
1.5.2 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 20

1.0 Podstawowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Dlaczego niniejszy podręcznik nosi nazwę nowej algebry Boole’a?

Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna pojęcia logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Klasyczna algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y, co udowodnimy w punkcie 5.0.

Definicja algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

1.1 Zmienna binarna i stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona
Przykład:
~Y=1 - pani nie (~) dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)

Wróćmy do definicji podstawowej zmiennej binarnej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło

Zapiszmy sensowny program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY.

Program dodawania:

rafal3006

Nowa algebra Boole’a
2.0 Algebra Boole’a w języku potocznym

Spis treści
2.0 Algebra Boole’a w języku potocznym 1
2.1 Operator „lub”(|+) Y=p|+q w logice dodatniej (bo Y) 1
2.1.1 Operator „lub”(|+) Y=K|+T na przykładzie 3
2.1.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+) 5
2.2 Operator „i”(|*) Y=p|*q w logice dodatniej (bo Y) 7
2.2.1 Operator „i”(|*) Y=K|*T na przykładzie 9
2.2.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) 11
2.3 Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## 14

2.0 Algebra Boole’a w języku potocznym

Zacznijmy od operatorów „lub”(|+) i „i”(|*)

2.1 Operator „lub”(|+) Y=p|+q w logice dodatniej (bo Y)

Definicja operatora „lub”(|+) Y=p|+q w logice dodatniej (bo Y):
Operator „lub”(+) Y=p|+q w logice dodatniej (bo Y) to układ równań logicznych 1: Y i 2: ~Y dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y oraz kiedy zajdzie ~Y:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

… kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z funkcją w logice dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi tu definicja dziedziny:
A: Y+~Y =D =1 - funkcja logiczna ~Y jest zaprzeczeniem do dziedziny D dla funkcji logicznej Y
B: Y*~Y =[] =0 - funkcje logiczne Y i ~Y są rozłączne

Dowód dla A:
Y+~Y = (p+q)+(~p*~q) = (p+q)+ ~(p+q) =1
bo prawo De Morgana:
~p*~q = ~(p+q)
oraz prawo algebry Boole’a:
x+~x =1
gdzie:
x=p+q
cnd

Dowód dla B:
Y*~Y = (p+q)*(~p*~q) = (p+q)*~(p+q) =[] =0
bo prawo De Morgana:
~p*~q = ~(p+q)
oraz prawo algebry Boole’a:
x*~x =[] =0
gdzie:
x=p+q
cnd

Zauważmy, że znajomość dowolnej funkcji logicznej Y albo ~Y wymusza znajomość funkcji przeciwnej, jak również znajomość definicji operatora „i”(|*)

Powyższą sytuację możemy opisać następująco:

rafal3006

Nowa algebra Boole’a
3.0 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Spis treści
3.0 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 1
3.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 2
3.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 3
3.3 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer 4
3.3.1 Prawo Małpki 4
3.3.2 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 4
3.4 Dlaczego ziemscy matematycy dali ciała przy udowadnianiu prawa Małpki? 5
3.5 Dlaczego Wikipedia bredzi w temacie mintermów i makstermów? 8
3.5.1 Algebra Kubusia powiązana z definicjami mintermów i makstermów 9
3.5.2 Co zawiera Wikipedia w temacie mintermów i makstermów 12
3.6 Geneza błędu czysto matematycznego prof. Newelskiego 16
3.6.1 Geneza błędu czysto matematycznego prof. Newelskiego w oryginale 18
3.6.2 Poprawny dowód przykładu prof. Newelskiego w algebrze Kubusia 19

3.0 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}

Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q:

rafal3006

Nowa algebra Boole’a
4.0 Nieznana algebra Boole’a

Spis treści
4.0 Nieznana algebra Boole’a 1
4.1 Prawa Prosiaczka w tabeli wszystkich możliwych spójników logicznych 5
4.2 Wyprowadzenie definicji znaczków # i ## 7
4.2.1 Algebra Kubusia w przedszkolu 8
4.2.2 Dowód wewnętrznej sprzeczności rachunku zero-jedynkowego ziemian 12
4.3 Prawo Irbisa 13
4.3.1 Spektakularny przykład działania prawa Irbisa w zapisach formalnych 15
4.3.2 Spójnik równoważności p<=>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 18
4.3.3 Spójnik „albo”($) wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 19
4.4 Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 20
4.5 Znaczki # i ## w teorii bramek logicznych 22
4.5.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności rachunku zero-jedynkowego ziemian 26

4.0 Nieznana algebra Boole’a

Dlaczego nieznana?
W tabeli wszystkich możliwych spójników logicznych TS (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(p,q) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Przykład to omówienie definicji znaczków # i ## w bramkach logicznych (punkt 4.5)

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc

Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.

Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:

rafal3006

Nowa algebra Boole’a
5.0 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych

Spis treści
5.0 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych 1
5.1 Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) 6
5.2 Grupa spójników implikacyjnych 11
5.3 Grupa spójników jednoargumentowych 20

5.0 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych

Fundamentalne definicje logiki matematycznej totalnie nieznane ziemskim matematykom, bez których mogą zapomnieć iż kiedykolwiek uda im się opisać matematycznie język potoczny człowieka jak w przykładzie wyżej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(p,q) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y
Przykład to omówienie definicji znaczków # i ## w bramkach logicznych (punkt 4.5)

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc

Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.

Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej:
1.
Y = p+q - funkcja w logice dodatniej (bo Y)
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez dwustronną negację funkcji logicznej 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
Stąd:
2.
~Y = ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Przykład:
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
D = K+T - logika dodatnia (bo D)
co w logice jedynek oznacza:
D=1 <=> K=1 lub T=1 - logika dodatnia (bo D)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (D=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)

… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~D=1)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej poprzez negację stronami równania 1
2D: ~D = ~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
czyli:
2.
~D = ~K*~T - logika ujemna (bo ~D)
co w logice jedynek oznacza:
~D=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~D=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani dotrzyma słowa (D=1)?
Przejście z równaniem 2 do logiki przeciwnej poprzez negację stronami
3.
3D: D = ~(~K*~T) = K+T - prawo De Morgana
Stąd:
D = K+T - logika dodatnia (bo D)
Interpretacja - idź do punktu 1.

Wnioski:
1.
Prawo De Morgana działa doskonale zarówno w logice dodatniej (punkt 3D), jak i w logice ujemnej (Punkt 2D).
2.
Prawem De Morgana nie da się przejść z logiki dodatniej (bo D) do logiki ujemnej (bo ~D i z powrotem - to jest fizycznie niewykonalne.

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to: