ŚFiNiA

rafal3006

Nadmierna precyzja

Autor: Kubuś - Wirtualny Internetowy Miś

Kubuś jest wreszcie zadowolony z podpisu, został "dopieszczony" do granic możliwości (Kubusia oczywiście). To wszystko jest tak nieprawdopodobnie proste i inne od dzisiejszej logiki, że być może nikt tego nie zauważy ? :think:

Trudno, będzie co ma być ...

Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego

W punkcie 7.0 powyższego linku jest pewien mały problem z niejednoznacznością symbolu implikacji prostej => o którym za chwilę. Usunięcie tej niejednoznaczności to trywiał (albo i nie) … jednak za cenę znacznego pogorszenia czytelności podpisu. Oczywiście gra nie jest warta świeczki bo mózg człowieka to nie komputer. Przeciętny mózg czuje wstręt do nadmiernej precyzji.

Zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności

Algebra Kubusia to nieznany dzisiejszym matematykom symboliczny język asemblera, czyli naturalna logika 5-cio letniego dziecka mająca 100% przełożenia na algebrę Boole’a czyli zera i jedynki.

W technice mikroprocesorowej człowiek myślał w zerach i jedynkach zaledwie przez mgnienie oka, natychmiast wynalazł symboliczny język asemblera izolując się od idiotycznych zer i jedynek czyli … skopiował działanie własnego mózgu. Język asemblera dla dowolnego mikroprocesora jest jeden (to algebra Boole’a), natomiast języków wysokiego poziomu zbudowanych na jego bazie może być nieskończenie wiele.

O co chodzi z tą nadmierna precyzją ?

Sięgnijmy do historii.
Pierwszy przyzwoity 8-bitowy mikroprocesor, Intel 8080 pojawił się w 1974 roku. Na jego podstawie powstał w 1978 roku mikroprocesor 16-bitowy Intel 8086, będący bazą dzisiejszych Pentium X. Ciekawostką jest fakt, że programy napisane w języku asemblera dla procesora I8086 (z 1978 roku !) będą pracowały poprawnie na najnowszych Pentiumach.

Tuż po pojawieniu się pierwszego przyzwoitego mikroprocesora (rok 1974), ludzie usiłowali opisać język asemblera w sposób absolutnie precyzyjny. Doszło do tego, że „fachowa” literatura pełna była niesamowitych krzaków ciężko zrozumiałych nawet dla fachowców.

Drobny przykład nadmiernej precyzji.

A - nazwa rejestru procesora
(A) - zawartość rejestru procesora o nazwie A (konkretna liczba)
PC - nazwa rejestru licznika rozkazów
(PC) - zawartość rejestru licznika rozkazów o nazwie PC (konkretna liczba)
((PC)) - zawartość komórki pamięci wskazywanej przez zawartość rejestru o nazwie PC

(A) -> ((PC))
Operacja przesłania zawartości rejestru o nazwie A do komórki pamięci wskazywanej przez zawartość rejestru na nazwie PC (licznik rozkazów).

Ludzie szybko się opamiętali i w katalogach znajdziemy taki uproszczony zapis:
A -> (PC)
Przesłanie rejestru A do komórki pamięci wskazywanej przez PC

Zauważmy, że brak tu absolutnej jednoznaczności bo nazwy rejestrów A i PC utożsamiane są z zawartością tych rejestrów … jednak czytelność całości zdecydowanie się poprawiła.

Precyzja musi być wystarczająco jednoznaczna a nie absolutnie jednoznaczna

Zaczynamy od spornego punktu podpisu …

7.0 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”

Poprawne są tylko i wyłącznie takie definicje implikacji.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Warunki wystarczający w implikacji prostej => i konieczny w implikacji odwrotnej ~> wynikają bezpośrednio z dziewiczych definicji zero-jedynkowych tych implikacji.

Spójniki zdaniowe:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”:

Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p musi być wystarczające dla q

Stwierdzenie warunku wystarczającego w p=>q determinuje zdanie prawdziwe które może być:
1.
Implikacją prostą p=>q jeśli po stronie ~p stwierdzimy warunek konieczny czyli:
~p~>~q
Czasami prościej jest wykluczyć warunek wystarczający w stronę ~p=>~q, to wystarczy aby udowodnić że zdanie p=>q jest implikacją prostą.
2.
Równoważnością p<=>q, gdy po stronie ~p również stwierdzimy warunek wystarczający czyli
~p=>~q.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)=1*1=1
3.
Jeśli zdanie jest implikacją prostą to w stronę p=>q zachodzi warunek wystarczający, natomiast w stronę q~>p musi zachodzić warunek konieczny. Jeśli w stronę q=>p stwierdzimy warunek wystarczający to zdanie jest na pewno równoważnością, nigdy implikacją.
Definicja równoważna równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
Stąd mamy kolejną możliwość stwierdzenia czy zdanie jest implikacją. Po stwierdzeniu warunku wystarczającego w stronę p=>q wystarczy wykluczyć warunek wystarczający w stronę q=>p.

Implikacja odwrotna:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być konieczne dla q

Stwierdzenie warunku koniecznego w p~>q determinuje implikację odwrotną:
p~>q
ale ….
Zdanie może być prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) i nie być implikacją odwrotną np.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
P8 nie jest konieczne dla P3 bo 3, nie jest to zatem implikacja odwrotna.

Koniec, to jest cała filozofia kodowania zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”

Zauważmy coś bardzo ciekawego.
A.
Jeśli trójkąt ma boki równe to na pewno => jest równoboczny
BR=>R =1
B.
Jeśli trójkąt nie ma boków równych to na pewno => nie jest równoboczny
~BR=>~R =1
Stąd na podstawie definicji równoważności możemy zapisać:
C.
Trójkąt ma boki równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR<=>R = (BR=>R)*(~BR=>~R) = 1*1=1 - ewidentna równoważność

Aby stwierdzić równoważność musimy zapisać i zbadać czy zachodzą warunki wystarczające jak wyżej w A i B. Wszystkie trzy zdania są matematycznie poprawne bowiem w definicji równoważności chodzi tylko i wyłącznie o warunki wystarczające, nigdy o implikacje (dowód pkt. 6.9)

Zauważmy, że gdybyśmy nie mieli prawa zapisać zdań A i B jako prawdziwych to niemożliwe byłoby stwierdzenie równoważności !

W zdaniach A, B i C nie ma niejednoznaczności bo:
1.
Fizycznie niemożliwym jest zrobienie implikacji z równoważności (zdania A i B) i odwrotnie (dowód pkt. 6.9)
2.
Twierdzenia matematyczne zwykle ujęte są w spójnik „Jeśli…to…”, pomimo że praktycznie 100% twierdzeń to równoważności. W twierdzeniach matematycznych spójnik „Jeśli…to…” jest domyślną równoważnością.
3.
Zdania A, B i C można zakodować superprecyzyjnie jako:
BR<=>R
To jest oczywistość mimo zapisania jej w formie A lub B.

Wniosek:
Zdanie „Jeśli … to …” może być implikacją prostą, implikacją odwrotną lub równoważnością co zależy od treści zdania.

Nadmierna precyzja czyli ….

Czy jest sens wprowadzania nowego symbolu |=> ?

Jeśli trójkąt ma boki równe to na pewno |=> jest równoboczny
BR |=> R =1
gdzie:
|=> - symbol warunku wystarczającego, nie implikacji !!!

Oczywiście zdanie jest prawdziwe bo zachodzi warunek wystarczający |=>, nie jest to implikacja.
Tu dopiero przymierzamy się do rozstrzygnięcia co to jest ! … w ogólnym przypadku może to być implikacja prosta, implikacja odwrotna lub równoważność. W pierwszym kroku założyliśmy, że to jest implikacja prosta lub równoważność … ale wobec nowego symbolu założyliśmy że to jest równoważność i badamy warunek wystarczający. Oczywiście w ogólnym przypadku możemy się mylić.

Kurde, tu jest problem bo jak założymy że to implikacja to zapiszemy:
BR=>R ?

W implikacji też formalnie badamy warunek wystarczający p |=> q, jeśli zachodzi to sprawdzamy czy po stronie ~p jest warunek konieczny:
~p~>~q
Wtedy i tylko wtedy zdanie p=>q jest implikacją prostą.

… czyli formalnie implikację trzeba by pisać tak ???

Definicja implikacji:
p=>q = (p |=>q)*(~p~>~q) = 1*1 =1

To jest bez sensu bo w implikacji obowiązuje prawo Kubusia na jednej definicji !

Definicja operatorowa:

rafal3006

Rezerwa