ŚFiNiA

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

A => B - oznacza, że A jest warunkiem wystarczającym B.
A ~> B - oznacza, że A jest warunkiem koniecznym B.

Jeśli A to B - to znaczy, że jeśli A, to też B, ale jeśli nie A, to może być B, a może nie być B.
Jeśli A to może B - to znaczy, że jeśli A, to może być B, ale nie musi, ale jeśli nie A, to na pewno nie B.

Mam nadzieję, że rozumiemy to tak samo?

Nie rozumiem czemu to jest idiotyzm:
p=>q = q~>p

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

rafal3006

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Prawo kontrapozycji zawodzi z prostego powodu - zamieniając kolejność zdań trzeba je zaprzeczyć, a zaprzeczenie poprzez wstawienie "nie" do zdania jest błędne.

To tak jak zaprzeczeniem "dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych istnieje takie y należące do zbioru liczb rzeczywistych, że y > x" jest "istnieje x należące do zbioru liczb rzeczywistych takie, że dla każdego y należącego do zbioru liczb rzeczywistych y <= x", a nie "dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych istnieje takie y należące do zbioru liczb rzeczywistych, że y <= x". Nie zaprzeczając kwantyfikatorów sens zaprzeczenia jest inny, nie jest to poprawne zaprzeczenie, a jakieś inne zdanie.

Tylko, że tutaj zamiast kwantyfikatorów mamy relację przyczynowo-skutkową między zdaniami (którą w sumie formalnie można zapisać przy użyciu rachunku predykatów pierwszego rzędu). I trzeba ją poprawnie zaprzeczyć przy przechodzeniu z p => q do ~q => ~p.

Człowiek potrafi poprawnie ją zaprzeczyć intuicyjnie, przynajmniej jeśli potrafi dedukować.

"Jeśli zdasz test to dostaniesz cukierka" jest równoważne "jeśli nie dostałeś cukierka (po zdaniu testu) to znaczy, że nie zdałeś testu" (bo tylko w sytuacji w której nie dostałeś cukierka mogło zajść nie zdanie testu, inaczej obietnica byłaby spełniona).
I mam na myśli tutaj implikację, a nie równoważność.

Wróćmy do wałkowanego przykładu z podzielnością, bo tam nie ma komplikacji z czasem (a więc jest to w sumie odrębna kwestia):

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Jest jeszcze prostszy przykład w którym ukryta treść języka codziennego powoduje paradoks. I nie trzeba do tego implikacji, a zwykłe zaprzeczenie.

Weźmy zdanie A = "nie lubię Cię". I zaprzeczmy, wychodzi ~A czyli "lubię Cię".

I teraz w sytuacji w której nie znam Cię i nie mam żadnych odczuć na Twój temat ani nie żywię żadnych uczuć do Ciebie, to mamy paradoks: zarówno A jak i ~A wydają się fałszywe.

Czemu tak jest? Logika zawodzi? Moim zdaniem nie - po prostu nie uwzględniliśmy ukrytej treści, którą człowiek rozumie - ukrytej w zdaniach "nie lubię Cię" i "lubię Cię", a ta treść to fakt, że oba stwierdzenia zakładają brak neutralności.
Poprawnym zaprzeczeniem zdania A jest "lubię Cię lub jesteś mi obojętny".

Moim zdaniem podobnie jest w przypadku implikacji z zdaniami uwikłanymi w zajemne relacje czasowe czy przyczynowo-skutkowe. Te relacje są domyślne, są ukrytą treścią, którą można łatwo zgubić i zmienić jeśli się na nią nie uważa przy zaprzeczaniu.

rafal3006

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

rafal3006

Lekcja 2

Dowodzenie twierdzeń implikacyjnych w algebrze Boole’a

Definicja implikacji prostej:

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Widzę pewną niekonsekwencję w znaczeniu używanego słowa "może".

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

rafal3006

Lekcja 3

Jedno z praw kontrapozycji jest martwe

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L =0
Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Dla powyższego przykładu:
P=>4L = ~4L=>~P
P=>~4L = 4L=>~P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
~4L=>~P =1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to nie jest psem
4L=>~P =0

Teraz wypowiadamy taką implikację:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
~4L=>~P =1
p=~4L
q=~P
Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
czyli:
~4L=>~P = ~(~4L)=>~(~P) = 4L=>P
czyli:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1

To jest dowód kolejnej bzdurności praw kontrapozycji w implikacji.

Niby prawo jest:
q=>p = ~p=>~q
ale jest totalnie martwe, nie ma go w żadnym oficjalnym spisie praw w żadnej logice formalnej, bo nikt i nigdy nie wykorzysta go w praktyce !!!

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Czyli samo "może" nie stanowi o tym, czy jest to operator "~>"?

Jeśli mamy "A ~> B" to nie koniecznie znaczy to, że zapis w języku to jest "Jeśli A to może B"?

Weźmy zdanie "Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem" - czyli 4Ł ~> ~P.

Jak zrozumiałem z postu ono jest fałszywe tylko dla ~4Ł i P?

Ale zdanie 4Ł ~> P też jest fałszywe dla ~4Ł i P, tak?

Czyli zdania 4Ł ~> ~P i 4Ł ~> P są równoważne?
Jeśli tak - to dlaczego - skoro tabelka dla ~> powinna być nie zależna od treści zdań składowych (p i q w p~>q).

Masz nieco dziwny sposób zapisu tabelek - zapisujesz w nich kolejno zdania 4L ~> ~P, 4L ~> P, ~4L => ~P i ~4L => P (chociaż mowa o zdaniu 4L ~> ~P i tylko tym).
Nie za bardzo taki zapis rozumiem, komplikuje mi on zrozumienie co masz na myśli.

Sensem tabelki jest ocena prawdziwości zdania "całościowego" (4Ł ~> ~P) od prawdziwości zdań częściowych (4Ł i P).

Czy mógłbyś - mając dwa zdania:
1. 4Ł ~> ~P
2. 4Ł ~> P

Zapisać tabelkę dla (dla obu):
A. 4Ł AND P (1 1)
B. 4Ł AND ~P (1 0)
C. ~4Ł AND P (0 1)
D. ~4Ł AND ~P (0 0)

Po prostu tylko to. W jakim celu? Bym zobaczył czy tak samo rozumiemy operator "~>" i czym on się różni w tych 2 zdaniach.

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Wiemy, że:
P i 4Ł = 1 (pies)
P i ~4Ł = 0 (brak psów bez 4 łap)
~P i 4Ł = 1 (słoń)
~P i ~4Ł = 1 (mrówka)

Należy zdanie sprawdzić względem każdej opcji, by stwierdzić, że zdanie jest prawdziwe.

Na przykład:

Zdanie P => 4Ł.
Jest prawdziwe, ale nie dlatego "bo pies", ale także dlatego, bo reszta (mrówka, słoń i nie pies bez 4 łap).

Czy zdanie P => 4Ł jest prawdziwe dla mrówkek?

Mrówka = ~P i ~4Ł. P => 4Ł dla 0 0 (bo ~P i ~4Ł) jest prawdziwe. Więc jest spełnione dla mrówek.

Dla słoni?
Analogicznie dla 0 1 (~P i 4Ł) jest prawdziwe.

O psach? 1 1 jest prawdziwe.

O psach bez 4 łap? 1 0 jest fałszywe. Czyli zgodne z informacjami bazowymi (P i ~4Ł = 0).

Czyli w sumie zdanie P => 4Ł jest prawdziwe (bo wszystko się zgadza z bazową tabelą "wiedzy").

Teraz weźmy zdanie ~4Ł => ~P.

Mrówki (~P i ~4Ł): 1 1, Prawdziwe.
Słonie (~P i 4Ł): 0 1, Prawdziwe
Psy (P i 4Ł): 1 1, Prawdziwe
Psy bez 4 łap (P i ~4Ł): 1 0, Fałszywe

Zdanie ~4Ł => ~P mówi dokładnie to samo o mrówkach, słoniach, psach i psach bez 4 łap, co zdanie P => 4Ł (czyli tyle, że pierwsze 3 mogą istnieć, a ostatnie nie istnieją).
I tak samo jest zgodne z prawdziwym stanem rzeczy opisanym wcześniej.

Weźmy nawet P NAND (P NAND 4Ł) (p nand (q nand r) gdzie p = q = P, a r = 4Ł).

Mrówki (~P i ~4Ł): 0 0 0, Prawdziwe.
Słonie (~P i 4Ł): 0 0 1, Prawdziwe
Psy (P i 4Ł): 1 1 1, Prawdziwe
Psy bez 4 łap (P i ~4Ł): 1 1 0, Fałszywe

Też jest zgodność znaczeniowa.

Poza tym jest jeszcze problem z "może" - czy 4Ł ~> P jest równoważne 4Ł ~> ~P (pod względem tabelki)?

W moim rozumieniu ~> jako warunku koniecznego to zdania te są różne (i w konsekwencji jedno jest fałszywe):

A. 4Ł ~> P

Mrówki (~P i ~4Ł): 0 0, Prawdziwe.
Słonie (~P i 4Ł): 1 0, Prawdziwe
Psy (P i 4Ł): 1 1, Prawdziwe
Psy bez 4 łap (P i ~4Ł): 0 1, Fałszywe

Bo q ~> p jest fałszywe tylko wtedy gdy q jest fałszywe, a p prawdziwe. (taka jest definicja, czy nie?)

B. 4Ł ~> ~P

Mrówki (~P i ~4Ł): 0 1, Fałszywe.
Słonie (~P i 4Ł): 1 1, Prawdziwe
Psy (P i 4Ł): 1 0, Prawdziwe
Psy bez 4 łap (P i ~4Ł): 0 0, Prawdziwe

Użyłem tej samej definicji p ~> q co w A.
Wyszło mi, że mogą istnieć psy bez 4 łap, ale nie mogą mrówki. Bezsens.
Takie jest znaczenie tego zdania z definicji operatora ~>.

Oczywiście intuicyjnie rozumiane znaczenie jest inne, ale to może oznaczać tylko jedno z trojga:

1. Definicja operatora ~> zależy od kontekstu, tutaj musiałby być opisany dla odmiany tabelą:

p q p~>q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

jeśli miałby zachować poprawnie sens.

Zależność tabelki operatora od zawartości zdań składowych!?! :shock:

2. Słowo "jeśli ... to może ..." nie zawsze jest rozumiane jako ~>, ale czasem jako OR. :shock:

3. Rozumienie zdanie pomija część dotyczącą tego co ma się dziać jeśli zdanie p w p ~> q jest fałszywe. Nie mówi nic o sytuacji ~p = 1.

Myślę, że raczej chodzi o opcję 3 i błąd ekwiwokacji, stosowanie "może" w różnych znaczeniach:

1. raz jako definiującego warunek konieczny (w 4Ł ~> P), które jest fałszywe tylko gdy ~4Ł i P (0 1), w pozostałych prawdziwe (mrówka, słoń, pies)

2. innym razem w znaczeniu bez określania co się dzieje w sytuacji ~4Ł (w 4Ł ~> ~P) - bo jeśli potraktujemy to jako warunek konieczny, to będzie to zdanie fałszywe w ~4Ł i ~P (0 0), czyli dla mrówek :shock:

- więc wiadomo, że tak go nie traktujemy (a jeśli inaczej to znaczenie operatora ~> jest tu inne i są tylko 2 możliwości tabelek zgodnych dla prawdziwych zwierząt psa, mrówki i słonia, obie różne od definicji ~> - najlepiej pasująca jest tabelka OR)

rafal3006

Lekcja 4

1.0 Kubusiowy zapis tabelek zero-jedynkowych
2.0 Gwarancja w implikacji prostej i odwrotnej
3.0 Prawdziwość zdań w implikacji prostej i odwrotnej

1.0 Kubusiowy zapis tabelek zero-jedynkowych

Dawno temu z „makaronem czterojajecznym” była o to wojna. W sumie poprzez analogię chodziło mniej więcej o to że tabliczkę mnożenia do 100 dla dzieciaków Kubuś zapisywał w określonym systemie aby można było błyskawicznie odszukać co się chce, zaś makaron chciał drukować tą tabelkę w sposób losowy … bo to też jest matematycznie poprawne. Jak mu pokazałem na przykładzie że bardzo prosty dowód zero jedynkowy jest natychmiast widoczny gdy przestrzega się zasad praktyków, to on mi zapisał pół strony opisu słownego totalnie zagmatwanego … ale udowodnił co chciał.

Myślę, że jest to znakomita okazja by wyjaśnić różnicę między implikacją prostą i odwrotną.

Implikacja prosta:

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
A: P=>4L =1 - tu tylko i wyłącznie psy
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
B: P=>~4L
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
C: ~P~>~4L =1 np. kura, wąż …
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
D: ~P~>4L =1 np. słoń, krowa …

W implikacji prostej widzimy wszystkie zwierzaki. Wybieramy dowolnego i wrzucamy do odpowiedniego pudełka.
Pies - pudełko A
Krowa - oczywiście ląduje w pudełku D
Kura - oczywiście ląduje w pudełku C
Oczywiście pudełko B pozostanie puste, obojętnie jak długo byśmy nie losowali.

Zauważmy że poprzednik p dzieli nam zbiór wszystkich zwierzaków na dwa zbiory:
P - tu tylko i wyłącznie psy (pudełko A)
~P - tu cała reszta
stąd tabela zero jedynkowa jest taka a nie inna, grupujemy obok siebie linie gdzie zachodzi p oraz linie gdzie zachodzi ~p.
W implikacji prostej po stronie p od razu wszystko wiemy, widzimy psa który oczywiście musi mieć cztery łapy.

Implikacja odwrotna:

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
A: 4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
B: 4L~>~P =1 bo słoń, krowa …
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
C: ~4L=>~P =1 twarda prawda czyli kura, wąż, stonoga …
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to jest psem
D: ~4L=>P =0

W implikacji odwrotnej poprzednik p dzieli nam zwierzaki na dwa zbiory 4L i ~4L, dlatego taki a nie inny układ wierszy.
W implikacji odwrotnej wkładamy rękę do worka i macamy zwierzaka, jeśli nie ma czterech łap to z góry wiemy że to na pewno nie pies, wyciągamy i nawet nie oglądając wrzucamy do pudełka C.
Jeśli jednak wymacamy cztery łapy to nic nie wiemy, może to być pies lub nie pies. Musimy wyciągnąć zwierzaka i dokładnie obejrzeć. Rozstrzygnięcie następuje po stronie q.

Jeśli zwierzak jest rzeczywiście psem to ląduje w pudełku A, zaś jeśli nie jest psem to wrzucamy go do pudełka B.

Zauważmy, że obojętnie jak długo byśmy nie losowali to D pozostanie puste.

Zobaczmy teraz zawartość pudełek.

Implikacja prosta:
A = same psy
B = puste
C = kura, wąż
D = słoń, krowa

Implikacja odwrotna:
A = same psy
B = słoń, krowa
C = kura, wąż
D = puste

Zawartość pudełek jest identyczna, jednak w implikacji prostej po stronie poprzednika p widzimy psa i wszystko jest jasne, musi mieć cztery łapy.
W implikacji odwrotnej po stronie poprzednika p wiemy tylko że zwierzak ma cztery łapy lub nie ma czterech łap, dopiero po stronie q rozpoznajemy psa.

2.0 Gwarancja w implikacji prostej i odwrotnej

Fundamentalnie różna jest gwarancja w implikacji prostej i odwrotnej. Gwarancją w implikacji jest operator implikacji prostej „musi” => czyli w implikacji prostej gwarantowana jest zawartośc pudełka A, zaś w implikacji odwrotnej gwarantowana jest zawartość pudełka C.

Gwarancja w implikacji prostej:
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Ta sama gwarancja wynikająca z definicji:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
czyli:
P=>4L = ~P+4L = ~(P*~4L)
~(P*~4L)=1
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
czyli mamy gwarancję że jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy, zgodnie z P=>4L, tu pies musi mieć cztery łapy.

Gwarancja w implikacji odwrotnej:
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Ta sama gwarancja wynikająca z definicji:
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
czyli:
4L~>P = ~4L=>~P = 4L+~P = ~(~4L*P)
~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
czyli mamy gwarancję że jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem zgodnie z ~4L=>~P czyli może być kurą, wężem, stonogą ….

Zauważmy, że w implikacyjnym iloczynie logicznym nie możemy zamienić ~4L*P miejscami bo będziemy mieli zupełnie inną gwarancję !

3.0 Prawdziwość zdań w implikacji prostej i odwrotnej

rafal3006

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Ok, rozumiem, że ~> jest dla ciebie warunkiem koniecznym.

Dla danych p i q zdanie p ~> q jest fałszem wtedy i tylko wtedy gdy p jest fałszywe, a q prawdziwe, tak?

W takim razie czemu nie zgadzasz się na zgodnę z tą definicją rozumienie zdanie 4Ł ~> ~P?

p = 4Ł
q = ~P

Fałszywe wtedy i tylko wtedy gdy p jest prawdziwe (4Ł), a q fałszywe (P) - czyli dla 4Ł i P (pies). :shock:

Moim zdaniem zapis w Twoich tabelkach jest mylący, bo pisząc: