ŚFiNiA

rafal3006

Kubusiowa szkoła logiki na żywo

Sprawy organizacyjne.
Ten temat to normalna dyskusja na dowolne tematy z logiki, w nagłówku zawsze będzie Dyskusja.
Offtopikiem będzie tu szkoła w której na bieżąco będę wyjaśniał fundamenty logiki w danym momencie niejasne, w nagłówku zawsze będzie tu Lekcja
Zarówno w szkole jak i dyskusji można zadawać dowolne pytania i dyskutować o wszystkim. Zapraszam wszystkich chętnych.

rafal3006

Lekcja 1

Spis treści:
1.0 Notacja
1.1 Prawa algebry Boole’a
1.2 Najważniejsze prawa w całej algebrze Boole’a
1.3 Prawa de’Morgana
1.4 Definicja implikacji prostej
1.5 Definicja implikacji odwrotnej
1.6 Prawa Kubusia
1.7 Dowód praw Kubusia metodą równań logicznych

Wstęp.
W lekcji 1 zawarto absolutne fundamenty algebry Boole’a. Tylko tyle i aż tyle należy się nauczyć i przede wszystkim zrozumieć.
Przy okazji dowodu praw Kubusia pokażemy ideę udowadniania dowolnych zależności w logice przy pomocy równań logicznych. Wszelkie tabele zero-jedynkowe zakopujemy w głębokim dole, zasypujemy i stawiamy krzyżyk z napisem „Koniec epoki dinozaurów w logice” … co nie wyklucza ich chwilowego odkopania na życzenie czytelników.

1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnej logice człowieka spójnik "musi" między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka spójnik "może" między p i q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.

Nowa definicja algebry Boole'a

Definicja:
Algebra Boole’a to algebra legalnych operatorów matematycznych

Lista operatorów logicznych

Eremita

Znalazłem błąd :mrgreen:

(na czerwono zaznaczyłem)

rafal3006

Kurcze, chyba powinienem robić wiecej takich błędów, przynajmniej wiedziałmbym, że ludzie to czytają i rozumieją :think:

rafal3006

Eremita

Przyznam się, że to Twój pierwszy wątek, który dokładnie czytam :oops:

rafal3006

Historia pewnego trójkąta i pralnia mózgów

Notacja:
* - AND (i)
+ - OR (lub)
~ - przeczenie
<=> - równoważność
=> - implikacja prosta (materialna)
~> - implikacja odwrotna

To jest sensacja na skalę światową. :grin:

Istnieje na świecie logika która z ewidentnej równoważności potrafi zrobić implikację, nazywa się Klasyczny Rachunek Zdań. Gdyby to była prawda, to byłby to niezbity dowód na istnienie Boga, bo cud zostałby udowodniony matematycznie.

Niestety to jest tylko błąd czysto matematyczny …

rafal3006

W algebrze Boole’a nie ma i nie może być żadnych paradoksów

Spis treści:
1.0 Pozorny paradoks w implikacji
2.0 Bezradność rachunku zero-jedynkowego w obliczu pozornego paradoksu w algebrze Boole’a
3.0 Jawny błąd Klasycznego Rachunku Zdań w definicji implikacji prostej (materialnej)

Paradoksy w algebrze Boole’a są wyłącznie pozorne, wszystko da się wyjaśnić na gruncie czysto matematycznym.

W rachunku zero-jedynkowym zera i jedynki w definicjach operatorów AND(*), OR(+), implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~> oznaczają:
1 = prawda
0=fałsz

1.0 Pozorny paradoks w implikacji

W języku asemblera zera i jedynki w definicji implikacji informują kiedy przy parametrze formalnym postawić przeczenie a kiedy nie !

Człowiek używa tylko i wyłącznie implikacji na zmiennych, nigdy na stałych. Nikt nie zacytuje choćby jednej implikacji z literatury, prasy, RTV, w której p i q byłyby z góry znane i niezależne od siebie, tak jak to jest w definicji implikacji materialnej. Bezpośrednio z definicji implikacji wynika warunek wystarczający (implikacja prosta) i konieczny (implikacja odwrotna).

Definicja implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Symboliczna definicja implikacji prostej (język asemblera):
p q p=>q
p q =1
p ~q =0
~p ~q =1
~p q =1
Logika dodatnia:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

W definicji symbolicznej wprowadzamy parametry formalne (p i q) które dla konkretnego zdania zastępujemy parametrami aktualnymi zgodnymi z wypowiedzianym zdaniem. Zauważmy, że zero w definicji zero-jedynkowej sygnalizuje nam, iż przed parametrem formalnym należy postawić znak przeczenia.

Definicję implikacji tworzymy zawsze dla p i dowolnego q. Z dwóch pierwszych linii definicji symbolicznej wynika definicja implikacji prostej.

p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
=> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „musi” między p i q
Z powyższego wynika, że p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej druga linia nie będzie twardym fałszem, czyli zdanie nie jest implikacją prostą. Oczywiście o tym czy zdanie jest implikacją prostą decyduje zawartość spójnika „Jeśli…to…”. Treść zawarta w tym spójniku generuje taki a nie inny układ wynikowych zer i jedynek, nigdy odwrotnie !

Przykład:

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8
p=~P2
q=~P8
Niepodzielność liczby przez 2 jest warunkiem wystarczającym jej niepodzielności przez 8. Jest to zatem piękna implikacja prosta.

Na tym przykładzie pokażę piękno i siłę operowania symboliczną definicją implikacji zamiast idiotycznymi zerami j jedynkami.

p q p=>q
(~P2) (~P8) =1
(~P2) ~(~P8) =0
~(~P2) ~(~P8) =1
~(~P2) (~P8) =1

Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia A = ~(~A):

Tabela A:
p q p=>q
~P2 ~P8 =1
~P2 P8 =0
P2 P8 =1
P2 ~P8 =1

Z powyższego w sposób naturalny otrzymujemy genialną, operatorową definicję implikacji:

A: ~P2=>~P8 =1 - Jeśli ~P2 to na pewno ~P8 ! Twarda prawda.
B: ~P2=>P8 =0 - oczywisty fałsz wobec powyższej twardej prawdy.
Prawo Kubusia:
~P2=>~P8 = P2~>P8
C: P2~>P8 =1 - jeśli P2 to „może” ~> zajść P8 np. 8,16,24…
LUB
D: P2 ~>~P8 =1 - jeśli P2 to może zajść ~P8 np. 2,4,6…

W dwóch ostatnich liniach nie można użyć operatora implikacji prostej „musi” => z oczywistego powodu, oba zdania natychmiast stały by się fałszywe, gdy tymczasem stoi jak wół że muszą być prawdziwe. Prawdę może tu zapewnić tylko i wyłącznie operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q.

Jak widać zdanie wypowiedziane ustawiło nam powyższy szablon implikacyjny. Teraz dla dowolnej liczby N może zajść dowolna linia z wyjątkiem linii B. Ta gwarancja powoduje, że mamy do czynienia z implikacją. Bez gwarancji zdanie nie jest implikacją, ani prostą, ani odwrotną !
Zauważmy, że jeśli pod wszystkie linie wyżej podstawimy pudełka na losowane liczby, to wszystkie po odpowiednio długim czasie będą pełne z wyjątkiem linii B. Pudełko z napisem „Linia B” pozostanie puste na wieki, obojętnie jak długo będziemy losować liczby.

W przypadku zdań A (warunek wystarczający) lub C (warunek konieczny) sprawa jest oczywista, oba zdania to poprawne implikacje, przy czym zdanie A jest gwarancją dla implikacji odwrotnej C. To jest ta nowość o której dzisiejsza logika nie ma pojęcia. To jest nowość gwarantująca poprawną obsługę wszelkich obietnic i gróźb.

Zajmijmy się teraz implikacją odwrotną.

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej (język asemblera):
p q p~>q
p q =1
p ~q =1
~p ~q =1
~p q =0
gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

W definicji symbolicznej przyjmujemy parametry formalne p i q które dla konkretnego przykładu zastępujemy parametrami aktualnymi z wypowiedzianego zdania.

Słowną definicje implikacji tworzymy dla p i dowolnego q czyli na podstawie dwóch pierwszych linii powyższej definicji symbolicznej.
Mamy:
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p~>q
LUB
Jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q
p~>~q

Druga linia jest zbędna w definicji implikacji odwrotnej bo wynika z pierwszej. Zauważmy, że w tym przypadku p musi być warunkiem koniecznym dla q inaczej pierwsza linia będzie twardym fałszem, nie będzie to implikacja odwrotna np.

Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem
S~>P =0 - twardy fałsz
Skrzydła nie są konieczne dla psa

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 bo 8,16,24 …
Implikacja odwrotna bo P2 jest konieczne dla P8
p=P2
q=P8
Podstawiamy powyższe parametry aktualne do symbolicznej tabeli implikacji odwrotnej i otrzymujemy.

Tabela B.
p q p~>q
P2 P8 =1
P2 ~P8 =1
~P2 ~P8 =1
~P2 P8 =0

Porównajmy tabelę A z tabelą B. Widać, że są identyczne co jest dowodem poprawności prawa Kubusia. Kolejność linii jest nieistotna.
p~>q (tabela B) = ~p~>~q (tabela A)

Tabelę B odczytujemy w sposób naturalny, piszemy to co widzimy:

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
A: P2~>P8 =1 bo 8,16,24 …
P2 jest konieczne dla P8
LUB
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być niepodzielna przez 8
B: P2~>~P8 =1 bo 2,4,6…
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to „na pewno” => nie jest podzielna przez 8
C: ~P2=>~P8 =1 - twarda prawda
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to „na pewno” jest podzielna przez 8
D: ~P2=>P8 =0 - twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy

Oczywiście użycie w ostatnich liniach konsekwentnie operatora implikacji odwrotnej byłoby błędem czysto matematycznym, musi nastąpić przejście na implikację prostą =>. Warunek konieczny w implikacji odwrotnej wymusza twardą prawdę w linii C co z kolei wymusza twardy fałsz w linii D.

Zauważmy że w liniach A i C zachodzą prawa Kubusia:
P2~>P8 = ~P2 =>~P8 - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważna implikację prostą

Prawa Kubusia zachodzą w całej algebrze Boole’a więc zachodzą także dla linii B i D.
P2~>~P8 = ~P2=>P8
Mamy tu pozorny paradoks bowiem w linii wynikowej mamy 1 w B i 0 w D !

Zauważmy, że przechodzimy z operatora ~> na operator =>. Paradoks zniknie jeśli potraktujemy zdanie C jako nowo wypowiedziane, któremu z definicji przypisujemy wartość startowa 1 1 =1.

1 1 =1 - zdanie nowo wypowiedziane
C: ~P2=>~P8 =1
1 0 =0 - na podstawie definicji implikacji prostej
D: ~P2 P8 =0

Identyczny, pozorny paradoks mamy w naturalnym języku mówionym przy przejściu do logiki przeciwnej. Rachunek zero-jedynkowy nie może sobie z tym poradzić i stosuje zawiły opis słowny zamiast prościutkiej matematyki na poziomie I klasy LO.

2.0 Bezradność rachunku zero-jedynkowego w obliczu pozornego paradoksu w algebrze Boole’a

Eremita

Przestałem czytać wątek, bo znowu zajadle walczysz z KRZ

Uświadomiłem sobie także, że walczysz z wiatrakami, albowiem coż znaczy KRZ - Klasyczny Rachunek Zdań. To znaczy że rachunek ten zajmuje się zdaniami, prawdziwością zdań. KRZ nie interesuje czy prawdziwość zdania odpowiada prawdzie w rzeczywistości. Tu chodzi o to czy zdanie jest prawdziwe i tylko w zakresie matematycznym.

Rafal, zapomnij że KRZ istnieje, odłóż to do mitologii i przestań z tym walczyć. Inaczej utwierdzę się, że to obsesja

macjan

rafal3006

rafal3006

rafal3006

Wolrath, jeśli cokolwiek piszesz to poprzyj to najprostszym przykładem, operowanie w technice cyfrowej zerami i jedynkami to pisanie programu w kodzie maszynowym, czyli koszmar. Najlepiej by było gdybyś nauczył się operować językiem symbolicznym czyli asemblerem, ja nim operuję, jeśli czegoś nie rozumiesz to pytaj. Zamiast tabel zero jedynkowych zdecydowanie polecam tabele symboliczne, to jest to samo ale czyta się nieporównywalnie prościej.

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Zgadzam się, moje końcowe wnioski były błędne. Najwyraźniej popatrzyłem na swoją tablicę i popełniłem błąd - zapomniałem, że p i q dotyczą obietnicy, a nie groźby (~p i ~q).

Mi wygodniej jest operować 0 i 1. Bo widząc tabelkę potrafię ustalić sobie zapis symboliczny zdania. Od razu widzę o co chodzi w danym operatorze logicznym.

Co do p~>q to jak rozumiem jest równoważne ~q => ~p?

Na razie jestem na wykładzie, więc tylko tyle odpiszę.

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Muszę to sobie uporządkować, bo pewnie czegoś istotnego nie rozumiem.

Chyba jednak dobrze wcześniej rozumiałem, że p ~> q to q => p (w sensie logicznej równoważności, chociaż ~> jest bliższe tego jak w języku mówimy, q => p brzmi bezsensownie jeśli w grę wchodzą relacje temporalne).

Co to znaczy, że coś obiecuję? Że muszę wykonać przedmiot obietnicy jeśli zajdą jej warunki. Jeśli nie zajdą - to mogę, ale nie muszę. Czyli tablica jest taka:

rafal3006

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

macjan

rafal3006

Wielkie brawa volrath, mam nadzieję że będziesz piątym człowiekiem na ziemi który załapie SFINIOWĄ teorię implikacji prostej i odwrotnej. Brawa za zaakceptowanie symbolu ~>, dalej jest proste.

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Aha, myślę, że rozumiem już problem.
Polega on na tym, że logika matematyczna jest atemporalna.

Rozumiem, że na przykład:

"Jeśli w poniedziałek zdasz test to w środę dostaniesz nagrodę"

miałoby być równoważne

"Jeśli w środę nie dostaniesz nagrody to w poniedziałek nie zdasz testu"

Sugeruje to, że poniedziałkowe (wcześniejsze) nie zdanie testu wynika z środowego (późniejsze) nie otrzymania nagrody.

Ale rozważmy dokładniej sens, opierając się o rachunek predykatów pierwszego rzędu:

Jeśli w poniedziałek zdasz test to w środę dostaniesz nagrodę.

Można to bardziej formalnie zapisać tak (z użyciem kwantyfikatorów i określeń momentów czasowych):

Jeśli istnieje moment czasowy m taki, że w tym momencie zdasz test, to istnieje moment czasowy n taki, że n > m i w momencie n dostaniesz nagrode.

Przechodzi to na:

Jeśli ~(istnieje moment czasowy n taki, że n > m i w momencie n dostaniesz nagrode) to ~(istnieje moment czasowy m taki, że w tym momencie zdasz test).

To z kolei poprzez eliminację jednego ~ (zmiana kwantyfikatorów, i na lub itd.):

Jeśli dla każdego momentu czasowego n zachodzi, że n *< m lub w momencie n nie dostaniesz nagrody, to nie istnieje taki moment czasowy m, że w tym momencie zdasz test.

*< - mniejsze lub równe.

Czyli tłumacząc na bardziej ludzkie: jeśli nie dostaniesz nagrody po momencie zdawania testu, to znaczy, że nie zdałeś testu.

Formalnie:

Równoważne z:

Co jest równoważne z:

* w 2 pierwszych rysunkach formalnie powinno być FnN zamiast N.

FnX oznacza, że X zajdzie w przyszłości w momencie n.

** Opis tego typu zapisu w logice temporalnej: [link widoczny dla zalogowanych]

Jednak w tym zapisie logika nadal pozostaje w pewnym sensie aczasowa, to znaczy opisuje już relacje temporalne, ale operacja logiczna => nie jest w żaden sposób równoważna z wynikaniem przyczynowo-skutkowym. Zapis temporalnej składowej jest niezależny.

rafal3006

Zaprezentowany wyżej rachunek predykatów to dla Kubusia o bardzo małym rozumku koszmar …
Logika człowieka jest na poziomie dziecka w przedszkolu, wymaga wyłącznie akceptacji implikacji prostej i odwrotnej na równych prawach plus prawa Kubusia.

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Moim zdaniem T=>N <=> ~N=>~T <=> N~>T <=> ~T ~> ~N.

Czemu?

Bo wszystkie te operacje są opisane tą samą tabelką, z punktu widzenia logiki formalnej są równe sobie.

Zauważ, że chociaż gwarancja jest różna w implikacji T=>N i T~>N, to prawo Kubusia nie stawia równości między tymi implikacjami, a między T=>N a ~T~>~N. I gwarancja dla T => N jest taka jak dla ~T ~> ~N.

Problemem jest to, że standardowo matematycznie pojmowane "jeśli" nie uwzględnia ani prawdopodobieństwa, ani tego co jest wcześniej, a co później, ani też tego czy świat jest zdeterminowany, czy nie.

Jeśli A to B = Jeśli nie A to może nie B.
Jeśli nie B to nie A = Jeśli B to może A.

Ty nie stawiasz równości między parami, bo kolejność w nich jest różna. Jedna para - dla pewnych zdań - prowadzi do "prawidłowej" kolejności (z przeszłości wynika przyszłość, która może okazać się inna). Druga para - odwrotnej (z tego co w dalszej przyszłości wynika to, co w wcześniejszej, sugeruje zdeterminowanie).

Problemem jest chyba sposób w jaki ludzie myślą - wiele kwestii w ludzkim myśleniu, wyrażanym poprzez myśli w postaci zdań, jest "domyślna", nie wyrażana explicite.
Dosłowne branie zdań z codziennego życia i wrzucanie w logikę formalną w formie, w jakiej występują nie ma sensu, bo nie uwzględnia 2 rzeczy:
- Formalny zapis niektórych zdań wymagałby użycia kwantyfikatorów by zbudować poprawne ich zaprzeczenia (kwantyfikatory ukryte w znaczeniach niektórych słów lub w relacjach)
- Logika formalna nie uwzględnia podziału zdeterminowany-niezdeterminowany ani związków czasowych (z punktu widzenia formalnej logiki nie ma różnicy czy czytamy od lewej do prawej czy od prawej do lewej)

Człowiek myśląc oczywiście nie buduje sobie w głowie świadomie zdań takich jak ja wyżej w poprzednim poście - z kwantyfikatorami i uwzględnieniem relacji czasowej. Nie używa świadomie (co nie wyklucza występowania czegoś podobnego na poziomie nieuświadamianym, postrzeganym jako intuicja) logiki wielowartościowej ani temporalnej ani niczego podobnego. To, co z własnego rozumowania zauważa, przypomina nieco podstawową logikę formalną (są zdania i kilka operatorów typu "AND", "OR" czy "IF THEN"). Jednak na poziomie nieuświadamianym dzieje się więcej. I z tego poziomu do świadomości przebijają się pewne intuicyjne przeświadczenia, które są często sprzeczne z formalną logiką, zgodne z nią dopiero wtedy gdy bardzo sformalizuje się zdania z użyciem algebry na zbiorach i predykatów pierwszego rzędu oraz po zastosowaniu do "jeśli" zasady wymagania związku (relacji) między p, a q w p => q (bo intuicja widzi paradoksy w logice matematycznej - np. intuicyjnie wydaje się, że "jeśli niebo jest zielone to 2+2=5" powinno być uznane za nieprawdziwe).

rafal3006

Wielkie dzięki Volrath, właśnie wróciłem z kolejnej delegacji i miałem kolejne fajne przemyślenia. Zamierzam zmodyfikować podpis. Kluczowym odkryciem dzięki dyskusji z Tobą jest powiązanie wektorowego opisu implikacji prostej i odwrotnej które doskonale działa od ponad roku z równaniami algebry Booole’a.

p=>q = q<=p = ~p+q=q+~p - definicja implikacji prostej

Obojętnie które z powyższych zapiszemy np.
q<=p = q+~p
To w odczycie musi być zachowana zgodność ze strzałką czyli zawsze najpierw poprzednik p (podstawa wektora) a następnie q (strzałka wektora)
Dotyczy to obu stron równoważności !!!

To ma absolutnie fundamentalne znaczenie bo:
A.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej zapisana naturalnie (obie strony czytamy z lewa do prawa)
Powyższe czytamy:
~p+q - jeśli zajdzie ~p to może zajść q LUB ~q
~p+q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie p i nie zajdzie q
Powyższe jest zgodne z definicją operatorową implikacji prostej:
p=>q =1
p=>~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q =1
~p~>q =1

Po zamianie p i q mamy oczywiście implikację odwrotną !!!
B.
q~>p = q +~p = ~p+q - definicja implikacji odwrotnej przy p i q ustalonym sztywno zdaniem A (nie ma tego w języku mówionym).

Porównując prawe strony A i B dochodzimy do absolutnego IDIOTYZMU że:
p=>q = q~>p
bo prawe strony są równe.

Tymczasem wektor implikacji odwrotnej w B pokazuje w jakiej kolejności należy czytać prawą stronę, jedyny poprawny odczyt to:
C:
q~>p = q +~p
Oczywiście A#C bo w implikacji nie wolno zamieniać p i q. Po zamianie p i q mamy do czynienia z fundamentalnie różną definicją.
Powyższe czytamy:
q+~p - jeśli zajdzie q to może zajść ~p LUB p
q+~p = ~(~q*p) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie ~q i zajdzie p
Powyższe jest zgodne z definicją operatorową implikacji odwrotnej:
q~>p =1
q~>~p=1
Prawo Kubusia:
q~>p = ~q=>~p
~q=>~p =1
~q=>p =0

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) =1 bo 8,16,24 ….
Po zamianie p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8) =1 bo 1,3,5…
Widać że:
P8=>P2 # P2~>P8 !!!

Geneza równań algebry Boole’a w implikacji

Symboliczna tabela implikacji prostej (= zero-jedynkowa):
p=1 ~p=0
q=1 ~q=0