ŚFiNiA

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Aha, myślę, że rozumiem już problem.
Polega on na tym, że logika matematyczna jest atemporalna.

Rozumiem, że na przykład:

"Jeśli w poniedziałek zdasz test to w środę dostaniesz nagrodę"

miałoby być równoważne

"Jeśli w środę nie dostaniesz nagrody to w poniedziałek nie zdasz testu"

Sugeruje to, że poniedziałkowe (wcześniejsze) nie zdanie testu wynika z środowego (późniejsze) nie otrzymania nagrody.

Ale rozważmy dokładniej sens, opierając się o rachunek predykatów pierwszego rzędu:

Jeśli w poniedziałek zdasz test to w środę dostaniesz nagrodę.

Można to bardziej formalnie zapisać tak (z użyciem kwantyfikatorów i określeń momentów czasowych):

Jeśli istnieje moment czasowy m taki, że w tym momencie zdasz test, to istnieje moment czasowy n taki, że n > m i w momencie n dostaniesz nagrode.

Przechodzi to na:

Jeśli ~(istnieje moment czasowy n taki, że n > m i w momencie n dostaniesz nagrode) to ~(istnieje moment czasowy m taki, że w tym momencie zdasz test).

To z kolei poprzez eliminację jednego ~ (zmiana kwantyfikatorów, i na lub itd.):

Jeśli dla każdego momentu czasowego n zachodzi, że n *< m lub w momencie n nie dostaniesz nagrody, to nie istnieje taki moment czasowy m, że w tym momencie zdasz test.

*< - mniejsze lub równe.

Czyli tłumacząc na bardziej ludzkie: jeśli nie dostaniesz nagrody po momencie zdawania testu, to znaczy, że nie zdałeś testu.

Formalnie:

Równoważne z:

Co jest równoważne z:

* w 2 pierwszych rysunkach formalnie powinno być FnN zamiast N.

FnX oznacza, że X zajdzie w przyszłości w momencie n.

** Opis tego typu zapisu w logice temporalnej: [link widoczny dla zalogowanych]

Jednak w tym zapisie logika nadal pozostaje w pewnym sensie aczasowa, to znaczy opisuje już relacje temporalne, ale operacja logiczna => nie jest w żaden sposób równoważna z wynikaniem przyczynowo-skutkowym. Zapis temporalnej składowej jest niezależny.

rafal3006

Zaprezentowany wyżej rachunek predykatów to dla Kubusia o bardzo małym rozumku koszmar …
Logika człowieka jest na poziomie dziecka w przedszkolu, wymaga wyłącznie akceptacji implikacji prostej i odwrotnej na równych prawach plus prawa Kubusia.

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Moim zdaniem T=>N <=> ~N=>~T <=> N~>T <=> ~T ~> ~N.

Czemu?

Bo wszystkie te operacje są opisane tą samą tabelką, z punktu widzenia logiki formalnej są równe sobie.

Zauważ, że chociaż gwarancja jest różna w implikacji T=>N i T~>N, to prawo Kubusia nie stawia równości między tymi implikacjami, a między T=>N a ~T~>~N. I gwarancja dla T => N jest taka jak dla ~T ~> ~N.

Problemem jest to, że standardowo matematycznie pojmowane "jeśli" nie uwzględnia ani prawdopodobieństwa, ani tego co jest wcześniej, a co później, ani też tego czy świat jest zdeterminowany, czy nie.

Jeśli A to B = Jeśli nie A to może nie B.
Jeśli nie B to nie A = Jeśli B to może A.

Ty nie stawiasz równości między parami, bo kolejność w nich jest różna. Jedna para - dla pewnych zdań - prowadzi do "prawidłowej" kolejności (z przeszłości wynika przyszłość, która może okazać się inna). Druga para - odwrotnej (z tego co w dalszej przyszłości wynika to, co w wcześniejszej, sugeruje zdeterminowanie).

Problemem jest chyba sposób w jaki ludzie myślą - wiele kwestii w ludzkim myśleniu, wyrażanym poprzez myśli w postaci zdań, jest "domyślna", nie wyrażana explicite.
Dosłowne branie zdań z codziennego życia i wrzucanie w logikę formalną w formie, w jakiej występują nie ma sensu, bo nie uwzględnia 2 rzeczy:
- Formalny zapis niektórych zdań wymagałby użycia kwantyfikatorów by zbudować poprawne ich zaprzeczenia (kwantyfikatory ukryte w znaczeniach niektórych słów lub w relacjach)
- Logika formalna nie uwzględnia podziału zdeterminowany-niezdeterminowany ani związków czasowych (z punktu widzenia formalnej logiki nie ma różnicy czy czytamy od lewej do prawej czy od prawej do lewej)

Człowiek myśląc oczywiście nie buduje sobie w głowie świadomie zdań takich jak ja wyżej w poprzednim poście - z kwantyfikatorami i uwzględnieniem relacji czasowej. Nie używa świadomie (co nie wyklucza występowania czegoś podobnego na poziomie nieuświadamianym, postrzeganym jako intuicja) logiki wielowartościowej ani temporalnej ani niczego podobnego. To, co z własnego rozumowania zauważa, przypomina nieco podstawową logikę formalną (są zdania i kilka operatorów typu "AND", "OR" czy "IF THEN"). Jednak na poziomie nieuświadamianym dzieje się więcej. I z tego poziomu do świadomości przebijają się pewne intuicyjne przeświadczenia, które są często sprzeczne z formalną logiką, zgodne z nią dopiero wtedy gdy bardzo sformalizuje się zdania z użyciem algebry na zbiorach i predykatów pierwszego rzędu oraz po zastosowaniu do "jeśli" zasady wymagania związku (relacji) między p, a q w p => q (bo intuicja widzi paradoksy w logice matematycznej - np. intuicyjnie wydaje się, że "jeśli niebo jest zielone to 2+2=5" powinno być uznane za nieprawdziwe).

rafal3006

Wielkie dzięki Volrath, właśnie wróciłem z kolejnej delegacji i miałem kolejne fajne przemyślenia. Zamierzam zmodyfikować podpis. Kluczowym odkryciem dzięki dyskusji z Tobą jest powiązanie wektorowego opisu implikacji prostej i odwrotnej które doskonale działa od ponad roku z równaniami algebry Booole’a.

p=>q = q<=p = ~p+q=q+~p - definicja implikacji prostej

Obojętnie które z powyższych zapiszemy np.
q<=p = q+~p
To w odczycie musi być zachowana zgodność ze strzałką czyli zawsze najpierw poprzednik p (podstawa wektora) a następnie q (strzałka wektora)
Dotyczy to obu stron równoważności !!!

To ma absolutnie fundamentalne znaczenie bo:
A.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej zapisana naturalnie (obie strony czytamy z lewa do prawa)
Powyższe czytamy:
~p+q - jeśli zajdzie ~p to może zajść q LUB ~q
~p+q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie p i nie zajdzie q
Powyższe jest zgodne z definicją operatorową implikacji prostej:
p=>q =1
p=>~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q =1
~p~>q =1

Po zamianie p i q mamy oczywiście implikację odwrotną !!!
B.
q~>p = q +~p = ~p+q - definicja implikacji odwrotnej przy p i q ustalonym sztywno zdaniem A (nie ma tego w języku mówionym).

Porównując prawe strony A i B dochodzimy do absolutnego IDIOTYZMU że:
p=>q = q~>p
bo prawe strony są równe.

Tymczasem wektor implikacji odwrotnej w B pokazuje w jakiej kolejności należy czytać prawą stronę, jedyny poprawny odczyt to:
C:
q~>p = q +~p
Oczywiście A#C bo w implikacji nie wolno zamieniać p i q. Po zamianie p i q mamy do czynienia z fundamentalnie różną definicją.
Powyższe czytamy:
q+~p - jeśli zajdzie q to może zajść ~p LUB p
q+~p = ~(~q*p) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie ~q i zajdzie p
Powyższe jest zgodne z definicją operatorową implikacji odwrotnej:
q~>p =1
q~>~p=1
Prawo Kubusia:
q~>p = ~q=>~p
~q=>~p =1
~q=>p =0

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) =1 bo 8,16,24 ….
Po zamianie p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8) =1 bo 1,3,5…
Widać że:
P8=>P2 # P2~>P8 !!!

Geneza równań algebry Boole’a w implikacji

Symboliczna tabela implikacji prostej (= zero-jedynkowa):
p=1 ~p=0
q=1 ~q=0

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

A => B - oznacza, że A jest warunkiem wystarczającym B.
A ~> B - oznacza, że A jest warunkiem koniecznym B.

Jeśli A to B - to znaczy, że jeśli A, to też B, ale jeśli nie A, to może być B, a może nie być B.
Jeśli A to może B - to znaczy, że jeśli A, to może być B, ale nie musi, ale jeśli nie A, to na pewno nie B.

Mam nadzieję, że rozumiemy to tak samo?

Nie rozumiem czemu to jest idiotyzm:
p=>q = q~>p

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

rafal3006

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Prawo kontrapozycji zawodzi z prostego powodu - zamieniając kolejność zdań trzeba je zaprzeczyć, a zaprzeczenie poprzez wstawienie "nie" do zdania jest błędne.

To tak jak zaprzeczeniem "dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych istnieje takie y należące do zbioru liczb rzeczywistych, że y > x" jest "istnieje x należące do zbioru liczb rzeczywistych takie, że dla każdego y należącego do zbioru liczb rzeczywistych y <= x", a nie "dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych istnieje takie y należące do zbioru liczb rzeczywistych, że y <= x". Nie zaprzeczając kwantyfikatorów sens zaprzeczenia jest inny, nie jest to poprawne zaprzeczenie, a jakieś inne zdanie.

Tylko, że tutaj zamiast kwantyfikatorów mamy relację przyczynowo-skutkową między zdaniami (którą w sumie formalnie można zapisać przy użyciu rachunku predykatów pierwszego rzędu). I trzeba ją poprawnie zaprzeczyć przy przechodzeniu z p => q do ~q => ~p.

Człowiek potrafi poprawnie ją zaprzeczyć intuicyjnie, przynajmniej jeśli potrafi dedukować.

"Jeśli zdasz test to dostaniesz cukierka" jest równoważne "jeśli nie dostałeś cukierka (po zdaniu testu) to znaczy, że nie zdałeś testu" (bo tylko w sytuacji w której nie dostałeś cukierka mogło zajść nie zdanie testu, inaczej obietnica byłaby spełniona).
I mam na myśli tutaj implikację, a nie równoważność.

Wróćmy do wałkowanego przykładu z podzielnością, bo tam nie ma komplikacji z czasem (a więc jest to w sumie odrębna kwestia):

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Jest jeszcze prostszy przykład w którym ukryta treść języka codziennego powoduje paradoks. I nie trzeba do tego implikacji, a zwykłe zaprzeczenie.

Weźmy zdanie A = "nie lubię Cię". I zaprzeczmy, wychodzi ~A czyli "lubię Cię".

I teraz w sytuacji w której nie znam Cię i nie mam żadnych odczuć na Twój temat ani nie żywię żadnych uczuć do Ciebie, to mamy paradoks: zarówno A jak i ~A wydają się fałszywe.

Czemu tak jest? Logika zawodzi? Moim zdaniem nie - po prostu nie uwzględniliśmy ukrytej treści, którą człowiek rozumie - ukrytej w zdaniach "nie lubię Cię" i "lubię Cię", a ta treść to fakt, że oba stwierdzenia zakładają brak neutralności.
Poprawnym zaprzeczeniem zdania A jest "lubię Cię lub jesteś mi obojętny".

Moim zdaniem podobnie jest w przypadku implikacji z zdaniami uwikłanymi w zajemne relacje czasowe czy przyczynowo-skutkowe. Te relacje są domyślne, są ukrytą treścią, którą można łatwo zgubić i zmienić jeśli się na nią nie uważa przy zaprzeczaniu.

rafal3006

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

rafal3006

Lekcja 2

Dowodzenie twierdzeń implikacyjnych w algebrze Boole’a

Definicja implikacji prostej:

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Widzę pewną niekonsekwencję w znaczeniu używanego słowa "może".

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

rafal3006

Lekcja 3

Jedno z praw kontrapozycji jest martwe

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L =0
Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Dla powyższego przykładu:
P=>4L = ~4L=>~P
P=>~4L = 4L=>~P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
~4L=>~P =1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to nie jest psem
4L=>~P =0

Teraz wypowiadamy taką implikację:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
~4L=>~P =1
p=~4L
q=~P
Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
czyli:
~4L=>~P = ~(~4L)=>~(~P) = 4L=>P
czyli:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1

To jest dowód kolejnej bzdurności praw kontrapozycji w implikacji.

Niby prawo jest:
q=>p = ~p=>~q
ale jest totalnie martwe, nie ma go w żadnym oficjalnym spisie praw w żadnej logice formalnej, bo nikt i nigdy nie wykorzysta go w praktyce !!!

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

rafal3006

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów

Czyli samo "może" nie stanowi o tym, czy jest to operator "~>"?

Jeśli mamy "A ~> B" to nie koniecznie znaczy to, że zapis w języku to jest "Jeśli A to może B"?

Weźmy zdanie "Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem" - czyli 4Ł ~> ~P.

Jak zrozumiałem z postu ono jest fałszywe tylko dla ~4Ł i P?

Ale zdanie 4Ł ~> P też jest fałszywe dla ~4Ł i P, tak?

Czyli zdania 4Ł ~> ~P i 4Ł ~> P są równoważne?
Jeśli tak - to dlaczego - skoro tabelka dla ~> powinna być nie zależna od treści zdań składowych (p i q w p~>q).

Masz nieco dziwny sposób zapisu tabelek - zapisujesz w nich kolejno zdania 4L ~> ~P, 4L ~> P, ~4L => ~P i ~4L => P (chociaż mowa o zdaniu 4L ~> ~P i tylko tym).
Nie za bardzo taki zapis rozumiem, komplikuje mi on zrozumienie co masz na myśli.

Sensem tabelki jest ocena prawdziwości zdania "całościowego" (4Ł ~> ~P) od prawdziwości zdań częściowych (4Ł i P).

Czy mógłbyś - mając dwa zdania:
1. 4Ł ~> ~P
2. 4Ł ~> P

Zapisać tabelkę dla (dla obu):
A. 4Ł AND P (1 1)
B. 4Ł AND ~P (1 0)
C. ~4Ł AND P (0 1)
D. ~4Ł AND ~P (0 0)

Po prostu tylko to. W jakim celu? Bym zobaczył czy tak samo rozumiemy operator "~>" i czym on się różni w tych 2 zdaniach.

volrath · Dołączył: 05 Sty 2006 Posty: 146 Przeczytał: 0 tematów