 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Śro 9:52, 18 Maj 2011 Temat postu: Kompendium algebry Kubusia |
|
|
Historia poprawek:
21-05-2011 – pkt. 1.0 - dualizm symboli *, +, =>, ~> w algebrze Kubusia
22-05-2011 – zmodyfikowano punkty 2.0 i 5.0
27-05-2011 – zmodyfikowano pkt. 1.8, 1,9, 1.10
… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12
[link widoczny dla zalogowanych]
Algebra Kubusia
Matematyka przedszkolaków
Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję
Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia – matematyka przedszkolaków
Zastosowanie algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
W pracach nad podręcznikiem bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Barah (sfinia), Barycki (śfinia), Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Jeremiasz Szary (sfinia), Krowa (śfinia), Krystkon (śfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Marcin Kotasiński (śfinia), Michał Dyszyński (śfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Paloma (ateista.pl), Quebaab (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl), zbigniewmiller (sfinia) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !
Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Volrathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi, Windziarzowi i Sogorsowi za fantastyczną dyskusję na ateiście.pl oraz Palomie za jedno zdanie, dzięki któremu Kubuś postawił kropkę nad „i”.
Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Spis treści:
1.0 Kompendium algebry Kubusia
1.1 Notacja
1.2 Spójniki zdaniowe i operatory logiczne
1.3 Dualne znaczenie symboli *, +, =>, ~> w algebrze Kubusia
1.4 Budowa operatorów OR i AND
1.5 Bodowa operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>
1.6 ŚFIŃSKIE definicje implikacji
1.7 ŚFIŃSKIE definicje równoważności
1.8 Klasyczna definicja implikacji prostej w algebrze Kubusia
1.9 Klasyczna definicja implikacji odwrotnej w algebrze Kubusia
1.10 Klasyczna definicja równoważności w algebrze Kubusia
2.0 Operatory OR i AND
2.1 Spójniki i operatory w OR i AND
2.2 Operator OR w przedszkolu
2.3 Operator AND w przedszkolu
2.4 Gród krasnoludka Orandka
2.5 Operator OR w tabelach zero-jedynkowych
2.6 Gród krasnoludka Andorka
2.7 Operator AND w tabelach zero-jedynkowych
2.8 Twierdzenie Prosiaczka
3.0 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych
3.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
3.2 Operatory logiczne FILL i NOP
3.3 Operatory P i Q
3.4 operatory negacji NP i NQ
3.5 Prawa wynikające z definicji AND
3.6 Prawa wynikające z definicji OR
3.7 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
3.8 Operatory OR i AND w świecie zdeterminowanym
3.9 Twierdzenie Tygryska
4.0 Przedszkole implikacji i równoważności
4.1 Implikacja odwrotna
4.2 Implikacja prosta
4.3 Dualne znaczenie praw Kubusia
4.4 Spójniki i operatory logiczne w implikacji i równoważności
4.5 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności
4.6 Równoważność
4.7 Definicje kwantyfikatorów w algebrze Kubusia
5.0 Implikacja w tabelach zero-jedynkowych
5.1 Zero-jedynkowe i bramkowe definicje implikacji
5.2 Warunki wystarczający i konieczny w implikacji
5.3 ŚFIŃSKIE definicje operatorów logicznych
5.4 Definicja operatora implikacji odwrotnej
5.5 Pałac księżniczki implikacji odwrotnej
5.6 Definicja operatora implikacji prostej =>
5.7 Pałac księżniczki implikacji prostej
5.8 Prawo braku przemienności argumentów w implikacji
5.9 Związek operatorów OR i AND z operatorami implikacji
6.0 Definicja równoważności <=>
6.1 Zamek księcia równoważności
6.3 Metody dowodzenia twierdzeń matematycznych
6.4 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice
7.0 Algebra Kubusia w zbiorach
7.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w algebrze Kubusia
7.2 Implikacja prosta w zbiorach
7.3 implikacja odwrotna w zbiorach
7.4 Równoważność w zbiorach
7.5 Naturalny spójnik „może’ ~~> w zbiorach
8.0 Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
8.1 Obietnica
8.2 Groźba
Wstęp.
Algebra Kubusia to matematyczny opis naturalnego języka mówionego, niezależny od języka czyli działa zarówno w Chińskim jak i Polskim. W technice implikacja nigdy nie była i nigdy nie będzie wykorzystywana ze względu na 100% przypadkowość w każdej połówce definicji implikacji.
Algebrę Kubusia można porównać do koncepcji Wielkiego Wybuchu, przy czym jej sprawdzalność jest banalna, po pierwsze działa, a po drugie jej poprawność można łatwo udowodnić w laboratorium techniki cyfrowej. Algebra Kubusia to matematyka naszego Wszechświata, działa zarówno w świecie martwym jak i żywym.
Algebra Kubusia to wywrócenie aktualnej logiki matematycznej do góry nogami i to będzie jej największe osiągnięcie, na pewno zmieni się też postrzeganie naszego Wszechświata w sensie filozoficznym.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Paloma napisał: | Uff, przeczytałam. 
Czy w czwartej lub piątej ramce od dołu nie ma błędu? |
Jak wytłumaczyć kobiecie że wszystko jest w porządku ?
To jedno jedyne zdanie wywołało burzę w małym rozumku Kubusia, dzięki niemu powstał ten podręcznik. Myślę, że nikt z czytelników nie ma ochoty na oglądanie schematu połączeń między 100 mld neuronów w naszym mózgu. Nieporównywalnie ciekawszy jest fundament matematyczny wszelkich jego poczynań.
Mało kto wie, że w naszym mózgu pracują najprawdziwsze krasnoludki: Orandek i Andorek, księżniczka Implikacji Prostej, księżniczka Implikacji Odwrotnej oraz książę Równoważności.
… dowód za chwilę.
Stosowana notacja w podręczniku jest zgodną z techniczną algebrą Boole’a, jednak znaczenie symboli jest tu fundamentalnie inne niż w Klasycznym Rachunku Zdań. Z tego powodu kompletne znaczenie symboli zawarto w punkcie 1.0 Kompendium wiedzy o algebrze Kubusia.
Właściwy podręcznik od zera zaczyna się od punktu 2.0 i jest tak pomyślany, że czytając nie powinniśmy spotkać nowego pojęcia, które wcześniej nie byłoby omówione.
Największy udział w powstaniu algebry Kubusia miały dwa fora dyskusyjne, ŚFINIA Wuja Zbója i [link widoczny dla zalogowanych]. ŚFINIA to Ojczyzna Kubusia, to Hlefik w którym się urodził i gdzie od 5-ciu lat dokumentuje historię powstawania algebry Kubusia krok po kroku.
1.0 Kompendium algebry Kubusia
Algebra Kubusia to matematyka ścisła, którą doskonale znają i posługują się w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od przedszkolaka po profesora. Kompendium to istota tej algebry, to streszczenie całości do minimum.
1.1 Notacja
Skróty:
AK = Algebra Kubusia
KRZ= Klasyczny Rachunek Zdań
1 = prawda
0 = fałsz
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
# - różne w znaczeniu jak niżej
Fundament logiki:
1 = prawda
0 = fałsz
1# 0
prawda # fałsz
0 # 1
fałsz # prawda
A – zmienna binarna mogąca przyjmować w osi czasu wartości wyłącznie 0 albo 1
A#~A
Jeśli A=1 to ~A=0
Jeśli ~A=1 to A=0
Jedno z kluczowych praw algebry Boole’a:
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U
Spójniki logiczne w operatorach OR i AND:
+ - spójnik „lub” (ang. OR)
* - spójnik „i” (ang. AND)
Spójniki w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
Jeśli p to q
p – poprzednik
q – następnik
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
Czyli p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika, że druga linia musi być fałszem
Przykład:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Czyli ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika, że druga linia musi być fałszem
Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0
Ogólna definicja warunku koniecznego:
W zdaniu „Jeśli p to q” warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą) między p i q ze spełnionym prawem Kubusia.
~~> - naturalny spójnik „może” miedzy p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny nas tu kompletnie nie interesują
Przykład:
Jeśli jutro będzie padać to może być pochmurno
P~~>CH=1 – sytuacja możliwa
Jeśli jutro będzie padać to może nie być pochmurno
P~~>~CH=0 – sytuacja niemożliwa
Z czego wynika poprawne matematycznie zdanie:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – gwarancja matematyczna
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
Najważniejsza interpretacja praw Kubusia:
Udowodnienie warunku wystarczającego => z prawej strony równania Kubusia jest dowodem zachodzenia warunku koniecznego ~> z lewej strony równania Kubusia.
Wynika z tego, że całą logikę możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających.
ŚFIŃSKA definicja implikacji prostej:
Zdanie „Jeśli p to q” jest implikacja prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający =>.
p=>q=1
p~>q=0
ŚFIŃSKA definicja implikacji odwrotnej:
Zdanie „Jeśli p to q” jest implikacja odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek konieczny ~>.
p~>q=1
p=>q=0
Spójniki zdaniowe w równoważności:
<=> - wtedy i tylko wtedy
=> - symbol równoważności w zdaniu „Jeśli p to q” o ile spełnia poniższą definicję
ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli p to q” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy miedzy p i q zachodzą jednocześnie warunki wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q (identyczny jak w implikacji)
~> - warunek konieczny, w równoważności nie jest to spójnik „może” (rzucanie monetą) znany z implikacji !
Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia zdanie to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.
Zdanie musi mieć sens w danym języku.
Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym lub koniecznym albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek, Absolutnie nikt, począwszy od 5-cio latka po profesora nie wymawia zdań „Jeśli…to…” w których p i q są ze sobą bez związku lub mają z góry znane wartości logiczne.
Przykłady zdań prawdziwych:
Implikacja prosta:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda
Deszcz jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur
Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
Cztery łapy są konieczne aby być psem
Definicja warunku koniecznego:
Zabieramy poprzednik i musi zniknąć następnik
Zabieramy wszystkie zwierzęta z czterema łapami , wśród pozostałych zwierząt nie ma prawa być psa
Naturalny spójnik „może” ~~>:
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo kura, wąż, mrówka …
Warunek konieczny tu nie zachodzi bo:
Zabieramy poprzednik i nie znika nam następnik
Zabieramy zwierzęta z czteroma łapami a następnik „nie pies” może wystąpić np. kura, wąż
Przykłady zdań fałszywych:
1.
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
PR=>KS=0 bo brak związku między p i q
W algebrze Kubusia wszelkie zdania bezsensowne jak wyżej są fałszywe, w szczególności fałszywe są wszystkie zdania w których poprzednik jest bez związku z następnikiem.
2.
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli pies ma osiem łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
8L=>KK=1 – zdanie prawdziwe w dzisiejszej logice KRZ
W algebrze Kubusia powyższe zdanie jest fałszywe z dwóch powodów:
A. bezsensowne bo brak związku poprzednika z następnikiem
B. wartości logiczne p i q są z góry znane
1.2 Spójniki zdaniowe i operatory logiczne
W języku mówionym zawsze mamy do czynienia wyłącznie z czteroma, precyzyjnie zdefiniowanymi spójnikami:
1.
+ - spójnik logiczny „lub”
2.
* - spójnik logiczny „i”
Zdania warunkowe:
Jeśli p to q
3.
=> - warunek wystarczający, spójnik logiczny „musi” między p i q, w mowie potocznej domyślny i nie musi być wypowiadany
Zdania równoważne:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
CH=>P=1 – twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
4.
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny miedzy p i q nas tu kompletnie nie interesują
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
Spójniki te mogą mieć dodatkowe matematyczne znaczenie, co wymaga analizy matematycznej.
1.3 Dualne znaczenie symboli +, *, =>, ~> w algebrze Kubusia
1. OR
1. „lub”(+) – spójnik logiczny (+), w mowie potocznej znaczenie podstawowe
1A: OR(*) – operator logiczny (+)
Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i” w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p+q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~p*~q – skłamię (bo ~Y)
gdzie:
+ - spójnik “lub” w logice dodatniej (bo Y)
* - spójnik “I” w logice ujemnej (bo ~Y)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
2. AND
2. „i” (*) – spójnik logiczny (*), w mowie potocznej znaczenie podstawowe
2A: AND(*) – operator logiczny (*)
Definicja operatora AND:
Operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p*q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~p+~q – skłamię (bo ~Y)
gdzie:
* - spójnik „i” w logice dodatniej (bo Y)
+ - spójnik „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
3. Implikacja odwrotna ~>
3. Warunek konieczny ~>, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q
3A: implikacja odwrotna (~>), operator logiczny
Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>:
Operator implikacji odwrotnej ~> to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym w logice ujemnej (bo ~q)
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
4. Implikacja prosta =>
4. => - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
4A: implikacja prosta (=>), operator logiczny
Definicja operatora implikacji prostej =>:
Operator implikacji prostej => to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym w logice ujemnej (bo ~q)
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
5. Równoważność
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
5. => - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
5A. równoważność (<=>), operator logiczny
Definicja operatora równoważności <=>:
Równoważność to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i ponownie warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
=> - warunek wystarczający =>, spójnik „musi” między p i q
W naturalnym języku mówionym, tym spotykanym na co dzień, analiza matematyczna implikacji jest z reguły trywialna, na poziomie 5-cio letniego dziecka.
W matematyce tak nie musi być, udowodnienie iż dane twierdzenie jest implikacją prostą albo czymś fundamentalnie innym, równoważnością, wcale nie musi być proste.
Jak widzimy, znaczenie symboli w algebrze Kubusia jest dualne. W naturalnym języku mówionym zawsze mamy do czynienia ze spójnikami, a nie z operatorami.
## - różne funkcje logiczne !
Operatory OR i AND
Równanie ogólne dla operatorów AND i OR:
p+q = ~(~p*~q)=1 ## p*q = ~(~p+~q) =1 – prawa de’Morgana
Implikacja prosta => i odwrotna ~>
Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q=1 ## p~>q = ~p=>~q=1 – prawa Kubusia
Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech niezależnych zdań z tego wynikająca.
Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny – względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !
Po stronie p i q nie są to prawdy i fałsze bezwzględne, jak to jest w Klasycznym Rachunku Zdań. Różnica między algebrą Kubusia i KRZ jest wiec fundamentalna i dotyczy absolutnie każdego pojęcia i każdej definicji – totalnie NIC nie jest tu wspólne, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny.
1.4 Budowa operatorów OR i AND
Operatory implikacji i równoważności są z definicji operatorami dwuargumentowymi.
W operatorach OR i AND nie ma żadnych ograniczeń.
Przykładowa funkcja logiczna z operatorami AND i OR:
Y=A+B(C+~D)…
gdzie:
Y – funkcja logiczna
A,B,C,~D – zmienne binarne mogące w osi czasu przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1
W naszych rozważaniach ograniczymy się do dwuargumentowych AND i OR, gdyż rozpatrywanie większej liczby argumentów nie wnosi absolutnie nic nowego do istoty zagadnienia.
Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
p+q = ~(~p*~q)=1 ## p*q = ~(~p+~q) =1 – prawa de’Morgana
Prawo de Morgana zapisane w postaci funkcji logicznej Y.
Lewa strona znaku ##:
Y=p+q = ~(~p*~q)
stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Prawa strona znaku ##:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p*q
~Y=~p+~q
stąd budowa operatorów OR i AND:
| Kod: |
Y=p+q ## Y=p*q
~Y=~p*~q ## ~Y=~p+~q
|
Operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i” w logice ujemnej (bo ~Y).
Operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej (bo ~Y).
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Logika dodatnia to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1)
Y=p+q
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p=1 lub q=1
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Logika ujemna to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y=1)
~Y=~p*~q
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 i ~q=1
Prawo przejścia do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
Przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne
Y=p+q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y=~p*~q – skłamię (bo ~Y)
stąd:
Budowa operatorów OR i AND
| Kod: |
Operator OR(+) Operator AND(*)
--------------------- --------------------
| Y=p+q | | Y=p*q |
|+ - spójnik <lub> | |* - spójnik <i> |
|Y - logika dodatnia | |Y - logika dodatnia |
|Y - dotrzymam slowa | |Y - dotrzymam slowa |
---------------------- ## --------------------
| ~Y=~p*~q | | ~Y=~p+~q |
|* - spójnik <i> | |+ - spójnik <lub> |
|~Y - logika ujemna | |~Y - logika ujemna |
|~Y - sklamię | |~Y - sklamię |
---------------------- ---------------------
Związek logik: Związek logik:
Y=~(~Y) Y=~(~Y)
Stąd prawo de’Morgana Stąd prawo de’Morgana
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
|
Prawo de’Morgana na poziomie operatorów logicznych:
+ - operator OR
* - operator AND
p+q=~(~p*~q) – prawo zamiany operatora OR na AND (bramki logicznej OR na bramkę AND)
p*q = ~(~p+~q) – prawo zamiany operatora AND na OR (bramki logicznej AND na bramkę OR)
Zauważmy, że prawa de’Morgana zachodzą w obrębie jednej i tej samej definicji OR albo AND - lewa i prawa strona na powyższym schemacie blokowym. Ta forma praw de’Morgana jest przydatna w technice cyfrowej, w języku mówionym jest praktycznie nie używana.
Definicja spójnika „lub” niezależna od logiki:
Suma logiczna (spójnik „lub”) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q – logika dodatnia (bo Y)
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Równoważnie:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q – logika ujemna bo (~Y)
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Równoważnie:
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
Definicja spójnika „i” niezależna od logiki:
Iloczyn logiczny (spójnik ‘i”) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q – logika dodatnia (bo Y)
Y=1 <=> p=1 i q=1
~Y=~p*~q – logika ujemna (bo ~Y)
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Prawa de’Morgana na poziomie spójników logicznych
+ - spójnik „lub”
* - spójnik „i”
Prawo de’Morgana w obrębie operatora OR:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y = ~p*~q – skłamię bo (~Y)
Prawo de’Morgana w obrębie operatora AND:
Y=p*q – dotrzymam słowa (bo Y)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q – logika ujemna (bo ~Y)
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Równoważnie:
Y=1 <=> (K=1 i T=1) lub (K=1 i ~T=1) lub (~K=1 i T=1)
gdzie:
X – zmienna w logice dodatniej
~X – zmienna w logice ujemnej (bo negacja sygnału)
Znaczenie zmiennych:
Y=1 – dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y=1 – skłamię, logika ujemna bo ~Y
K=1 – jutro pójdę do kina, logika dodatnia bo K
~K=1 – jutro nie pójdę do kina, logika ujemna bo ~K
T=1 – jutro pójdę do teatru, logika dodatnia (bo T)
~T=1 – jutro nie pójdę do teatru, logika ujemne (bo ~T)
Oczywiście jutro wyłącznie jeden z członów połączonych spójnikiem „lub” ma szansę być prawdą, pozostałe będą fałszem.
… a kiedy skłamię ?
Prawo przedszkolaka:
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~K*~T
czyli:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~Y=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Jak widzimy, wyłącznie z użyciem logiki dodatnie i ujemnej, oraz porzuceniem zer i jedynek na rzecz logiki w 100% symbolicznej mamy pełną zgodność matematyki z naturalnym językiem mówionym.
Popatrzmy teraz na coś ciekawego.
Budowa operatorów OR i AND w równaniach logicznych:
| Kod: |
Tabela A
Y=p+q ## Y=p*q
~Y=~p*~q ## ~Y=~p+~q
|
Negujemy wszystkie zmienne z lewej strony:
| Kod: |
Tabela B
~Y=~p+~q ## Y=p*q
Y=p*q ## ~Y=~p+~q
|
… i otrzymaliśmy prawą stronę, bo wiersze w algebrze Kubusia można dowolnie zamieniać.
Oczywiście oznacza to że w tabeli A lewa strona znaku ## to fundamentalnie co innego niż prawa strona znaku ##, bowiem w układzie tylko zanegowaliśmy zmienne, takie układy logiczne nigdy nie będą równoważne.
Budowa operatorów OR i AND:
| Kod: |
Tabela A
Y=p+q ## Y=p*q
~Y=~p*~q ## ~Y=~p+~q
|
Weźmy prosty przykład :
Jutro pójdę do kina lub do teatru ## Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K+T ## Y=K*T
Oczywiście to Y z lewej strony nie ma nic wspólnego z Y z prawej strony
Gdy będziemy wiązać ze sobą lewa i prawą stronę znaku ## to otrzymamy taki kwiatek …
Jeśli zdanie:
Y=K+T
jest prawdziwe, to zdanie
Y=K*T
jest fałszywe
Jeśli Y=K+T=1 to Y=K*T=0
Co trzeba zrobić aby oba zdania były prawdziwe ?
Oczywiście uznać zdanie Y=K*T jako zdanie nowo wypowiedziane, totalnie niezależne od Y=K+T, czyli lewa strona znaku ## jest totalnie niezależna od prawej strony.
Na mocy definicji mamy wówczas:
Y=K+T=1 ## Y=K*T=1
Matematycznym błędem jest tu jakiekolwiek mieszanie lewej i prawej strony znaku ##.
Poprawnie dla lewej strony mamy tak:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów.
~Y=~K*~T
czyli:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Absolutnie nie wolno tu brać Y (dotrzymam słowa) z lewej strony znaku ## i ~Y (skłamię) z prawej strony znaku ##, czyli nie wolno robić tak.
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię ?
Biorę sobie ~Y z prawej strony znaku ##:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Bo to jest mieszanie dwóch różnych definicji operatorów logicznych, błąd czysto matematyczny.
Analogicznie jest z operatorami implikacji prostej => i odwrotnej ~>.
1.5 Bodowa operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>
Implikacja to zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Padanie deszczu wystarcza dla istnienia chmur
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q
Chmury są konieczne aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno nie będzie padać
W sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Najważniejsza interpretacja prawa Kubusia:
Spełniony warunek wystarczający=> z prawej strony równania Kubusia wymusza spełniony warunek konieczny ~> z lewej strony prawa Kubusia.
Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q =1 ## p~>q = ~p=>~q =1 – prawa Kubusia
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Budowa operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>
| Kod: |
Operator Operator
implikacji prostej => implikacji odwrotnej ~>
--------------------- ----- ---------------------------
| p=>q | | p~>q |
|=> - spójnik <musi> | |~> - spójnik <może> |
|=> - warunek wystarczający| |~> - warunek konieczny |
|w logice dodatniej bo q | |w logice dodatniej bo q |
--------------------------- ## --------------------------
| ~p~>~q | | ~p=>~q |
|~> - spójnik <może> | |=> - spójnik <musi> |
|~> - warunek konieczny | |=> - warunek wystarczający|
|w logice ujemnej bo ~q | |w logice ujemnej bo ~q |
--------------------------- --------------------------
Prawo Kubusia: Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
|
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
gdzie w implikacji:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi”
~> - warunek konieczny, spójnik „może”
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji
Zdanie jest wypowiedziane w logice ujemnej gdy następnik jest zaprzeczony (~q), inaczej zdanie jest w logice dodatniej (bo q).
p=>q – logika dodatnia bo q
~p~>~q – logika ujemna bo ~q
Prawo przejście do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
W operatorach implikacji przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne (identycznie jak w OR i AND !)
p=>q =1
… a jeśli nie zajdzie p ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatora na przeciwny:
p=>q = ~p~>~q – prawo Kubusia
Prawo przedszkolaka działa w całym obszarze algebry Kubusia.
Dana jest funkcja logiczna:
A*(~B+C) => D+~E
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~A+(B*~C) ~> ~D*E
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND, OR, =>, ~>
Dualizm symboli => i ~> w algebrze Kubusia:
1.
Prawa Kubusia na poziomie operatorów logicznych:
=> - operator implikacji prostej
~> - operatora implikacji odwrotnej
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>
2.
Prawa Kubusia na poziomie warunków wystarczających => i koniecznych ~>
=> - warunek wystarczający między p i q, spójnik „musi” w naturalnym języku mówionym
~> - warunek konieczny między p i q, spójnik „może” w naturalnym języku mówionym
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany warunku wystarczającego => na warunek konieczny ~>
Implikacja prosta => to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany warunku koniecznego ~> na warunek wystarczający =>
Implikacja odwrotna ~> to złożenie warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
Interpretacja warunków koniecznych
~> - warunek konieczny między p i q
=> - warunek wystarczający między p i q
1.
Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q)
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Zabieram poprzednik (~p) i musi zniknąć następnik(~ q)
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1
Prawo Kubusia:
CH~>P=~CH=>~P
Zabieramy chmury (~CH) i musi zniknąć możliwość padania (~P)
~CH=>~P=1
Tu oczywistość, zatem warunek konieczny w zdaniu A spełniony:
CH~>P=1
2.
Definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q = p=>q
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (p) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (q)
Przykład:
A.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (P) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (CH)
Wymuszamy padanie deszczu (P) z czego muszą wynikać chmury (CH)
Oczywista prawda:
P=>CH=1
Zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny:
~P~>~CH=1
ale …
B.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~>CH=0
bo:
Prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH
Wymuszamy zaprzeczony poprzednik (P) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (~CH)
Wymuszamy padanie deszczu (P) z czego musi wynikać brak chmur (~CH)
Oczywisty fałsz:
P=>~CH=0
Zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny:
~P~>CH=0
ale …
Zdanie B jest bezdyskusyjnie prawdziwe !
Stąd konieczność wprowadzenia do logiki nowego symbolu:
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
p~~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny miedzy p i q nas tu kompletnie nie interesują
stąd poprawne matematycznie kodowanie zdania B:
B.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH=1 – istnieje taka możliwość
Definicja warunku koniecznego
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
Jeśli prawa strona jest prawdą (zachodzi warunek wystarczający =>), to lewa strona także musi być prawdą (zachodzi warunek konieczny ~>), inaczej algebra Kubusia leży w gruzach.
W implikacji i tylko tu warunek konieczny to spójnik „może” (nie w równoważności !):
~> - warunek konieczny, spójnik ”może” między p i q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
czyli:
Może zajść ale nie musi, miękka prawda, „rzucanie monetą”
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – miękka prawda, może padać ale nie musi, „rzucanie monetą”
Z twierdzenia ŚFINII wynika, że całą logikę możemy sprowadzić do badania łatwych w analizie warunków wystarczających.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
| Kod: |
p=>q =1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
|
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Powyższe zdanie traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
| Kod: |
~p=>~q =1
1 1 =1
~p=>q=0
1 0 =0
|
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Powyższe zdanie traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Definicja warunku wystarczającego to zaledwie dwie linie tabeli zero-jedynkowej, nie jest to zatem operator logiczny, bo ten musi być definiowany wszystkimi czteroma liniami.
1.6 ŚFIŃSKIE definicje implikacji
ŚFIŃSKIE definicje operatorów logicznych to majstersztyk algebry Kubusia. Umożliwiają one rozstrzyganie czym jest wypowiedziane zdanie bez koniczności analizy tego zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
ŚFIŃSKA definicja implikacji prostej:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający
p=>q =1
p~>q=0
Wynika to bezpośrednio z prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
Jeśli p=>q=1 to nie może być p~>q=1
Bo wówczas zachodziłoby:
p~>q = ~p~>~q
co w implikacji jest fałszem
ŚFIŃSKA definicja implikacji odwrotnej:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacja odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek konieczny
p~>q =1
p=>q=0
Wynika to bezpośrednio z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Dowód:
Jeśli p~>q=1 to nie może być p=>q=1
Bo wówczas zachodziłoby:
p=>q = ~p=>~q
co w implikacji jest fałszem
W równoważności zachodzi:
p=>q = ~p=>~q
Stąd
ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi jednocześnie warunek wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
gdzie:
~> - symbol warunku koniecznego między p i q, w równoważności nie jest to spójnik „może”, bowiem w równoważności nie ma mowy o „rzucaniu monetą” (~>=”może”) charakterystycznym dla implikacji.
Darujmy sobie na razie równoważność bo to zupełnie inna bajka matematyczna i weźmy pod uwagę wyłącznie implikacje.
Przykład implikacji prostej => prawdziwej
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Deszcz jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur
Badamy warunek konieczny:
P~>CH = ?
A1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> być pochmurno
P~>CH=?
Prawo Kubusia:
P~>CH = ~P=>~CH=0
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0 – bo może nie padać i może być pochmurno
Prawa strona równania Kubusia jest fałszem zatem z lewej stronie wykluczony jest warunek konieczny ~>:
P~>CH=0
Interpretacja potoczna braku warunku koniecznego w A1:
Zabieramy możliwość padania a sytuacja „są chmury” jest możliwa, zatem w A1 warunek konieczny nie zachodzi.
Zdanie A1 jest oczywiście prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”
A1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH=1 – sytuacja możliwa, poprawne kodowanie matematyczne zdania A1
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunek konieczny nas tu nie interesuje.
Wnioski:
Dla zdania wypowiedzianego A mamy:
P=>CH=1 – warunek wystarczający spełniony
P~>CH=0 – warunek konieczny niespełniony
Zdanie A spełnia zatem ŚFIŃSKĄ definicję implikacji prostej, możemy w skrócie powiedzieć że zdanie A jest implikacją prostą.
Przykład implikacji odwrotnej prawdziwej
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P = ?
Interpretacja potoczna warunku koniecznego:
Zabieramy chmury i musi zniknąć możliwość padania, co jest oczywistością, zatem w zdaniu B zachodzi warunek konieczny
To samo matematycznie.
Twierdzenie ŚFINII:
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Sprawdzamy czy w zdaniu B zachodzi warunek konieczny:
CH~>P = ~CH=>~P – prawo Kubusia
B1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem po lewej stronie musi zachodzić warunek konieczny ~>.
CH~>P=1
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P = 1 – warunek konieczny spełniony
Sprawdzamy czy w zdaniu B zachodzi warunek wystarczający:
B2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
CH=>P=0 – oczywisty fałsz
Zatem dla zdania B mamy:
CH~>P=1 – warunek konieczny spełniony
CH=>P=0 – warunek wystarczający nie zachodzi
Wniosek:
Zdanie B spełnia ŚFIŃSKĄ definicje implikacji odwrotnej, czyli zdanie B jest implikacją odwrotną prawdziwą.
Nasz przykład naniesiony na schemat blokowy budowy operatorów implikacji z poprzedniego punktu:
| Kod: |
Operator Operator
implikacji prostej => implikacji odwrotnej ~>
--------------------- ----- ---------------------------
| P=>CH=1 | | CH~>P=1 |
|=> - spójnik <musi> | |~> - spójnik <może> |
|=> - warunek wystarczający| |~> - warunek konieczny |
|w logice dodatniej bo q | |w logice dodatniej bo q |
--------------------------- ## --------------------------
| ~P~>~CH=1 | | ~CH=>~P=1 |
|~> - spójnik <może> | |=> - spójnik <musi> |
|~> - warunek konieczny | |=> - warunek wystarczający|
|w logice ujemnej bo ~q | |w logice ujemnej bo ~q |
--------------------------- --------------------------
Prawo Kubusia: Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH ## CH~>P = ~CH=>~P
|
Podobnie jak w operatorach OR i AND po obu stronach znaku ## mamy w implikacji dwie fundamentalnie inne funkcje logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne.
Oczywiście z prawej strony musieliśmy zamienić p i q (w stosunku do lewej strony) bowiem wtedy i tylko wtedy zdanie CH~>P jest prawdziwe. Zdanie CH~>P traktujemy jako zdanie nowo wypowiedziane, nie mające nic wspólnego ze zdaniem P=>CH, to zupełnie nowa definicja !
Równanie ogólne implikacji dla naszego przykładu:
P=>CH = ~P~>~CH ## CH~>P = ~CH=>~P
czyli:
P=>CH ## ~CH=>~P
Po ustawieniu sztywnego punktu odniesienia na zdaniu P=>CH:
p=P
q=CH
mamy poprawne prawo kontrapozycji w implikacji w takiej formie:
p=>q ## ~q=>~p
Znane matematykom prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q = ~q=>~p
jest poprawne, i owszem, ale tylko i wyłącznie w równoważności.
Zauważmy, że argumenty w implikacji nie są przemienne:
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
co oznacza:
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0 – odwrotnie nie zachodzi !
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0 – odwrotnie nie zachodzi !
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno będzie padać
CH=>P=0
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1
Jeśli jutro będzie padać to może być pochmurno
P~>CH=0
Warunek konieczny nie zachodzi bo zabieramy możliwość padania a i tak może być pochmurno
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
… ale odwrotnie nie zachodzi !
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać
~CH=>P=0
Jeśli p=>q=0 to q=>p=0
B.
Jeśli jutro będzie padać to może nie być pochmurno
P~>~CH=0
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
~CH~>P=0
Jeśli p~>q=0 to q~>p=0
Identyczna ciekawostka jak w operatorach OR i AND.
| Kod: |
Definicja => Definicja ~>
p=>q ## p~>q
~p~>~q ## ~p=>~q
|
Oczywiście negując zmienne po lewej stronie otrzymamy prawą stronę. Takie układy logiczne nigdy nie będą równoważne, stąd znak:
## - różne funkcje logiczne, fundamentalnie inne definicje
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 11:19, 27 Maj 2011, w całości zmieniany 10 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35502
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 10:44, 27 Maj 2011 Temat postu: |
|
|
1.7 ŚFIŃSKIE definicje równoważności
Równoważność to opis tego samego przy pomocy innych parametrów, zatem zawsze będzie tu zachodził zarówno warunek wystarczający jak i konieczny.
ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli… to” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzą jednocześnie warunki wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
gdzie:
p=>q – warunek wystarczający miedzy p i q, spójnik „musi”
p~>q – warunek konieczny miedzy p i q, w równoważności nie jest to spójnik „może” („rzucanie monetą”) znany z implikacji !
Definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny w zdaniu „Jeśli p to q” zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
~> - warunek konieczny, w równoważności nie jest to spójnik „może” !
Równoważność to opis tego samego przy pomocy innych parametrów, dlatego warunek konieczny jest tu zawsze spełniony.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
=> - warunek wystarczający spełniony, spójnik „musi” między p i q
Badamy warunek konieczny:
TR~>KR = ~TR=>~KR =1
Prawa strona jest prawdą zatem lewa strona również musi być prawdą, warunek konieczny spełniony
Potocznie:
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem koniecznym aby kąty były równe, bowiem jeśli zabierzemy trójkąty równoboczne, to znikną nam trójkąty o równych kątach
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
Bycie trójkątem równobocznym wystarcza, aby kąty były równe
Sprawdzamy warunek konieczny.
TR~>KR = ~TR=>~KR
czyli:
A1.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, warunek wystarczający
Wniosek:
TR~>KR=1
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem koniecznym aby kąty były równe
Interpretacja potoczna:
TR~>KR = ~TR=>~KR
Zabierając wszystkie trójkąty równoboczne wykluczamy znalezienie trójkąta o równych kątach
Dla zdania A mamy zatem:
TR=>KR=1 – warunek wystarczający spełniony
TR~>KR=1 – warunek konieczny spełniony (nie jest to spójnik „może” !)
Wniosek:
Zdanie A spełnia ŚFIŃSKĄ definicję równoważności, w skrócie możemy powiedzieć że zdanie A jest równoważnością.
Oczywiście zdanie A możemy wypowiedzieć w równoważnej formie:
A2.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR
Na podstawie powyższego mamy taką definicję równoważności:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(TR~>KR)
czyli w zapisie ogólnym:
p<=>q =(p=>q)*(p~>q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q
Związek warunku koniecznego z warunkiem wystarczającym:
p~>q = ~p=>~q
stąd kolejna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny dwóch warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q, to nie są implikacja proste.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
| Kod: |
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
|
KONIEC !
To jest absolutnie wystarczająca i jedyna poprawna definicja warunku wystarczającego.
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Zdanie p=>q traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
| Kod: |
~p=>~q=1
1 1 =1
~p=>q=0
1 0 =0
|
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Zdanie ~p=>~q traktujemy jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), stąd kodowanie zero-jedynkowe:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Zauważmy, że na gruncie definicji warunku koniecznego w równoważności poprawna jest również taka definicja równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)
bowiem z powyższego na mocy definicji warunku koniecznego otrzymujemy:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
czyli równoważność to iloczyn logiczny dwóch warunków wystarczających p=>q i ~p=>~ q
Dla naszego przykładu mamy:
TR<=>KR = (TR~>KR)*(~TR~>~KR) = 1*1=1
Interpretacja potoczna warunków koniecznych.
1.
Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q)
p~>q = ~p=>~q
Zabieram poprzednik (~p) i musi zniknąć następnik(~ q)
Dla naszego przykładu:
TR~>KR = ~TR=>~KR
Zabieram trójkąty równoboczne (~TR) i musi zniknąć możliwość znalezienia trójkąta który ma kąty równe - oczywistość, zatem warunek konieczny TR~>KR spełniony
2.
Definicja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q = p=>q
Wymuszam zaprzeczony poprzednik (p) z czego musi wynikać zaprzeczony następnik (q)
Dla naszego przykładu:
~TR~>~KR = TR=>KR
Wymuszam zaprzeczony poprzednik (TR) z którego musi wynikać zaprzeczony następnik (KR)
czyli biorę pod uwagę wyłącznie trójkąty równoboczne i każdy taki trójkąt musi mieć kąty równe.
Oczywistość, zatem w zdaniu ~TR~>~KR zachodzi warunek konieczny.
W równoważności zachodzi prawo kontrapozycji w tej formie:
~p=>~q = q=>p
bowiem w równoważności zachodzi przemienność argumentów.
Stąd definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność to równoczesne zachodzenie warunków wystarczających w dwie strony.
Twierdzenie Rexerexa:
Jeśli równoważność jest udowodniona to zachodzi wszystko co tylko możliwe
p=>q = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = ~p<=>~q = ~p=>~q = (p=>q)*(q=>p) = q=>p
Zauważmy, że w równoważności zawsze będą spełnione jednocześnie warunki wystarczając i konieczne między p i q w dowolnym z powyższych zdań, zatem wszystkie powyższe zdania połączone znakiem tożsamości „=” to równoważności, bo spełniają ŚFIŃSKĄ definicje równoważności.
Oczywiście o zdaniu p=>q możemy też powiedzieć, że to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Budowa operatora równoważności.
Kwadrat logiczny równoważności:
| Kod: |
Operator Operator
równoważności p<=>q równoważności q<=>p
--------------------- ----- ---------------------------
| p=>q | | q=>p |
|=> - spójnik <musi> | |=> - spójnik <musi> |
|=> - warunek wystarczający| |=> - warunek wystarczający|
|w logice dodatniej bo q | |w logice dodatniej bo q |
--------------------------- = --------------------------
| ~p=>~q | | ~q=>~p |
|=> - spójnik <musi> | |=> - spójnik <musi> |
|=> - warunek wystarczający| |=> - warunek wystarczający|
|w logice ujemnej bo ~q | |w logice ujemnej bo ~q |
--------------------------- --------------------------
p=>q = ~p=>~q = q=>p = ~q=>~p
|
W równoważności jest wszystko jedno co nazwiemy p a co q, bowiem argumenty w równoważności są przemienne:
p=>q = q=>p
Zauważmy, że tożsamości po przekątnych to prawo kontrapozycji w równoważności:
p=>q = ~q=>~p
Prawo kontrapozycji nie jest dowodem równoważności, bowiem identyczne warunki wystarczające występują po przekątnych w implikacji.
Prawo Kontrapozycji w implikacji:
p=>q=1 ## ~q=>~p=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji implikacji
Przykład:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH = ~p~>~CH=1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=~CH=>~P=1
Równanie ogólne implikacji:
P=>CH = ~P~>~CH =1 ## CH~>P = ~CH=>~P =1
stąd:
P=>CH=1 ## ~CH=>~P=1
dla sztywnego punktu odniesienia:
p=P
q=CH
mamy poprawne prawo kontrapozycji w implikacji:
p=>q=1 ## ~q=>~p=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowodem równoważności są zachodzące warunki wystarczające wzdłuż dowolnego boku kwadratu logicznego równoważności.
1.8 Klasyczna definicja implikacji prostej w algebrze Kubusia
Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech niezależnych zdań z tego wynikająca.
Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny - względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !
Definicja implikacji prostej w równaniu logicznym to po prostu prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
Klasyczna definicja operatora implikacji prostej =>
| Kod: |
Symboliczna definicja implikacji prostej =>
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q =1
p=>~q=0
a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo q)
~p~>~q=1
~p~~>q=1
|
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej p=>q z warunkiem koniecznym w logice ujemnej ~p~>~q
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny nas tu zupełnie nie interesują.
Definicja implikacji prostej:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Plus musi być spełnione prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Wtedy i tylko wtedy zdanie jest implikacja prostą
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
|
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia p=>q:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Definicja słowna:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Prawo Kubusia nas tu zupełnie nie interesuje.
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
1 1 =1
~p=>q=0
1 0 =0
|
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia ~p=>~q:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Definicja słowna:
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi => zajść q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Prawo Kubusia nas tu zupełnie nie interesuje.
Zero-jedynkowo definicję implikacji prostej możemy zakodować z trzech różnych punktów odniesienia:
1.
Punkt odniesienia naszego mózgu w którym zdania wynikające z prawa Kubusia traktowane są jako dwa niezależne zdania wypowiedziane 1 1 =1.
| Kod: |
Tabela 1
Symboliczna definicja implikacji prostej =>
Punkt odniesienia: mózg człowieka
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
p=>q =1 /1 1 =1
p=>~q=0 /1 0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q=1 /1 1 =1
~p~~>q=1 /1 0 =1
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia ~p~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
|
W laboratorium techniki cyfrowej łatwo udowodnić, że tak właśnie widzi w zerach i jedynkach implikację prostą mózg człowieka. W zerach i jedynkach definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są tu zawsze stałe i niezmienne.
Z punktu widzenia świata zewnętrznego mamy tak:
2.
Jeśli ustawimy punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) na zdaniu p=>q to musimy otrzymać zero-jedynkową definicje implikacji prostej => zgodnie z użytym operatorem.
3.
Jeśli ustawimy punkt odniesienia na zdaniu ~p~>~q to musimy otrzymać definicję zero-jedynkową implikacji odwrotnej ~> zgodnie z użytym operatorem.
2.
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu wypowiedzianym p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
| Kod: |
Tabela 2
Symboliczna definicja implikacji prostej =>
Punkt odniesienia: zdanie p=>q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
p=>q =1 /1 1 =1
p=>~q=0 /1 0 =0
a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q=1 /0 0 =1
~p~~>q=1 /0 1 =1
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
|
3.
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu wypowiedzianym ~p~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
| Kod: |
Tabela 3
Symboliczna definicja implikacji prostej =>
Punkt odniesienia: zdanie ~p~>~q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
p=>q =1 /0 0 =1
p=>~q=0 /0 1 =0
a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q=1 /1 1 =1
~p~~>q=1 /1 0 =1
a jeśli zajdzie p ?
~p~>~q = p=>q
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia ~p~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
|
Doskonale widać, że mimo różnych punktów odniesienia (tabele 1,2 i 3) zdania analizowane są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia na poziomie operatorowym.
Przykład implikacji prostej
Zdanie wypowiedziane:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Klasyczna analiza matematyczna w algebrze Kubusia, przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – Gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi bez wyjątków
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 – twardy fałsz wynikły z powyższego
1 0 =0
… a jeśli jutro nie będzie padało ?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH =1
czyli:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~CH)
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – przypadek możliwy, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 0 =1
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH=1 – przypadek możliwy, miękka prawda, może zajść ale nie musi
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P=1, ~P=0
CH=1, ~CH=0
Zdanie D nie może być implikacja odwrotna bo prawo Kubusia:
D: ~P~>CH = B: P=>~CH=0
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny nas tu nie interesuje.
Matematyczne znaczenie zer i jedynek mamy w przykładzie wyżej:
W algebrze Kubusia zera i jedynki w tabeli zero-jedynkowej to prawdy względne i fałsze względne, względem zdania wypowiedzianego 1 1 =1 !
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
| Kod: |
P CH P=>CH
1 1 =1 /P=>CH=1
1 0 =0 /P=>~CH=0
0 0 =1 /~P~>~CH=1
0 1 =1 /~P~~>CH=1
|
1.9 Klasyczna definicja implikacji odwrotnej w algebrze Kubusia
Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech niezależnych zdań z tego wynikająca.
Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny - względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu logicznym to po prostu prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
Klasyczna definicja operatora implikacji odwrotnej.
| Kod: |
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej.
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
p~>q =1
p~~>~q=1
a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo q)
~p=>~q=1
~p=>q=0
|
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego w logice dodatniej p~>q z warunkiem wystarczającym w logice ujemnej ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny nas tu zupełnie nie interesują.
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
Bo druga linia w powyższej tabeli też może wystąpić
Plus musi być spełnione prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Z czego wynika że p musi być konieczne dla q
Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q)
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q)
p~>q=1
1 1 =1
p~~>~q=1
1 0 =1
|
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia p~>q:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Plus dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny nas tu zupełnie nie interesują.
Definicja słowna:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
Bo druga linia w powyższej tabeli też może wystąpić
Plus musi być spełnione prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Z czego wynika że p musi być konieczne dla q
Z powyższego wynika że warunek konieczny nie może istnieć samodzielnie, dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia.
Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~P=>~q
W zdaniu „Jeśli p to q” warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.
Interpretacja warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
Zabieramy p i musi zniknąć q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Zabierając chmury wykluczamy możliwość padania
CH~>P = ~CH=>~P
Definicja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q):
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q=1
1 1 =1
~p~~>q=1
1 0 =1
|
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia ~p~>~q:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Plus dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, warunki wystarczający i konieczny nas tu zupełnie nie interesują.
Definicja słowna:
~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
Bo druga linia w powyższej tabeli też może wystąpić
Plus musi być spełnione prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Z czego wynika, że ~p musi być konieczne dla ~q
Z powyższego wynika że warunek konieczny nie może istnieć samodzielnie, dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia.
Definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
W zdaniu „Jeśli p to q” warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.
Interpretacja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q):
Wymuszając p automatycznie wymuszamy q
Przykład:
Jeśli jutro nie będzie padać to może nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Wymuszając padanie deszczu automatycznie wymuszamy chmury
~P~>~CH = P=>CH
Zero-jedynkowo definicję implikacji odwrotnej możemy zakodować z trzech różnych punktów odniesienia:
1.
Punkt odniesienia naszego mózgu w którym zdania wynikające z prawa Kubusia traktowane są jako dwa niezależne zdania wypowiedziane 1 1 =1.
| Kod: |
Tabela 1
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej ~>
Punkt odniesienia: mózg człowieka
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
p~>q =1 /1 1 =1
p~~>~q=0 /1 0 =1
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1 /1 1 =1
~p=>q=0 /1 0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
|
W laboratorium techniki cyfrowej łatwo udowodnić, że tak właśnie widzi w zerach i jedynkach implikację odwrotną mózg człowieka. W zerach i jedynkach definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są zawsze stałe i niezmienne.
Z punktu widzenia świata zewnętrznego mamy tak:
2.
Jeśli ustawimy punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) na zdaniu p~>q to musimy otrzymać zero-jedynkową definicje implikacji odwrotnej ~> zgodnie z użytym operatorem.
3.
Jeśli ustawimy punkt odniesienia na zdaniu ~p=>~q to musimy otrzymać definicję zero-jedynkową implikacji prostej => zgodnie z użytym operatorem.
2.
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu wypowiedzianym p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
| Kod: |
Tabela 2
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej ~>
Punkt odniesienia: p~>q
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
p~>q =1 /1 1 =1
p~~>~q=0 /1 0 =1
a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1 /0 0 =1
~p=>q=0 /0 1 =0
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
|
Zgodnie z oczekiwanie, doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej.
3.
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu wypowiedzianym ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
| Kod: |
Tabela 3
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej ~>
Punkt odniesienia: ~p=>~q
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
p~>q =1 /0 0 =1
p~~>~q=0 /0 1 =1
a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1 /1 1 =1
~p=>q=0 /1 0 =0
a jeśli zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p=>q
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
|
Ten punkt odniesienia wymusza tabele zero-jedynkowa implikacji prostej.
Doskonale widać, że mimo różnych punktów odniesienia (tabele 1,2 i 3) zdania analizowane są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, co jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia na poziomie operatorowym.
Przykład implikacji odwrotnej
Zdanie wypowiedziane:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Klasyczna analiza matematyczna w algebrze Kubusia, przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 1 =1
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa, miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 0 =1
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
czyli:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi zawsze, bez wyjątków
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
CH=1, ~CH=1
P=1, ~P=0
Zdanie B nie może być implikacją odwrotną bo prawo Kubusia:
B: CH~>~P = D:~CH=>P=0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny nas tu nie interesuje.
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla naszego przykładu:
| Kod: |
CH P CH~>P
1 1 =1 /CH~>P=1
1 0 =1 /CJ~~>P=1
0 0 =1 /~CH=>~P=1
0 1 =0 /~CH=>P=0
|
1.10 Klasyczna definicja równoważności w algebrze Kubusia
Ogólna definicja operatora w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to analiza zdania wypowiedzianego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, czyli analiza serii czterech zdań z tego wynikająca.
Interpretacja zer i jedynek w algebrze Kubusia:
Zera i jedynki po stronie p i q to po prostu wszystkie możliwe przeczenia p i q w stosunku do zdania wypowiedzianego 1 1 =1, zatem dalsze zera i jedynki można interpretować jako prawda względna i fałsz względny – względem zdania wypowiedzianego !
Wynikowe zera i jedynki są generowane dla każdego z czterech zdań wynikłych z wszystkich możliwych przeczeń p i q w sposób niezależny !
Klasyczna definicja równoważności w algebrze Kubusia:
| Kod: |
Definicja symboliczna równoważności <=>
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1
p=>~q=0
… a jeśli zajdzie ~p ?
p<=>q = ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
~p=>q=0
|
Definicja słowna:
p<=>q
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” miedzy p i q
Podobnie jak w implikacji zero-jedynkowo powyższa definicje możemy zakodować z trzech różnych punktów odniesienia.
1.
Punkt odniesienia: mozg człowieka
W tym przypadku zdania p=>q i ~p=>~q traktowane są jako dwa nowo wypowiedziane zdania 1 1 =1
| Kod: |
Tabela 1
Definicja symboliczna równoważności <=>
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1 /1 1 =1
p=>~q=0 /1 0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
… a jeśli zajdzie ~p ?
p<=>q = ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1 /1 1 =1
~p=>q=0 /1 0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
|
2.
Punkt odniesienia: zdanie p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
| Kod: |
Tabela 2
Definicja symboliczna równoważności <=>
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1 /1 1 =1
p=>~q=0 /1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
p<=>q = ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1 /1 1 =1
~p=>q=0 /1 0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
|
3.
Punkt odniesienia: ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
| Kod: |
Tabela 3
Definicja symboliczna równoważności <=>
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q=1 /0 0 =1
p=>~q=0 /0 1 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
p<=>q = ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1 /1 1 =1
~p=>q=0 /1 0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
|
Doskonale widać, że tabela zero-jedynkowa równoważności jest zawsze identyczna, niezależna od przyjętego punktu odniesienia co jest dowodem twierdzenia Rexerexa. Poszczególne zdania składowe tez sa identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.
Twierdzenie Rexerexa:
Jeśli równoważność jest udowodniona to zachodzi wszystko co tylko możliwe:
p=>q = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = ~p<=>~q itd.
Analiza dowolnego zdania wyżej przez wszystkie przeczenia p i q daje tabele zero-jedynkową równoważności, co pokazano w tabelach 1,2 i 3.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
O zdaniach p=>q i ~p=>~q możemy precyzyjnie powiedzieć że są to tylko warunki wystarczające definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej co widać wyżej.
Możemy tez powiedzieć, że zdania p=>q i ~p=>~q to równoważności bowiem analiza tych zdań przez wszystkie możliwe przeczenia p i q daje nam definicję zero-jedynkową równoważności.
O zdaniach p=>q i ~p=>~q absolutnie nie możemy powiedzieć iż są to implikacje proste, bowiem z analizy tych zdań przez wszystkie możliwe przeczenia p i q nigdy nie uzyskamy tabeli zero-jedynkowej implikacji prostej.
Przykład równoważności
Zdanie wypowiedziane:
A.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR
Klasyczna analiza równoważności w algebrze Kubusia przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>KR)
Analiza matematyczna I
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>KR)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodząca zawsze
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
TR<=>KR = ~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodząca zawsze
0 0 =1
stąd:
D,
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0 – twardy fałsz wynikły z powyższej twardej prawdy
0 1 =0
Doskonale widać definicje zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0
Definicja zero-jedynkowa równoważności dla naszego przykładu:
| Kod: |
TR KR TR<=>KR
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0
|
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
