ŚFiNiA

rafal3006

Implikacja według Prosiaczka
Logika matematyczna 5-cio latków i humanistów

Wykład Prosiaczka dla matematyków.
Każdy człowiek (w tym ziemscy matematycy) doskonale posługuje się w praktyce logiką matematyczną 5-cio latków i humanistów, algebrą Kubusia, to warunek sine qua non komunikacji człowieka z człowiekiem.

Spis treści
1.0 Implikacja według Prosiaczka 1
1.1 Teoria spójników implikacyjnych 1
1.2 Definicje spójników implikacyjnych w zdarzeniach 2
1.3 Prawo Kobry 2
1.4 Operator implikacji prostej |=> 4
1.5 Operator implikacji odwrotnej |~> 9

1.0 Implikacja według Prosiaczka

Pewnego razu Prosiaczek rzekł do Kubusia:
Widzę Kubusiu, że dwoisz się i troisz i dupa, do ziemskich matematyków nie potrafisz dotrzeć.
Kubuś:
To może ty spróbujesz?
Prosiaczek:
Chętnie, daj mi tą klawiaturę.
Kubuś:
Proszę.

Prosiaczek:
Wszelkie poczynania istot żywych determinowane są przez obietnice (marzenia pozytywne) i groźby (marzenia negatywne). Człowiek bez marzeń to martwy człowiek. Jako 5-cio letni Prosiaczek skupię się na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” operujących na zdarzeniach, obsługujących obietnice i groźby. Twierdzenia matematyczne, to zdania pod kwantyfikatorem dużym operujące na zbiorach nieskończonych, mnie to zupełnie nie interesuje - tym zajmie się za chwilę Kubuś.

1.1 Teoria spójników implikacyjnych

Definicja zdania warunkowego Jeśli p to q” wszystkich ludzi jest niesłychanie trywialna:
A.
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q

W logice matematycznej między p i q mogą być tylko i wyłącznie trzy spójniki implikacyjne.
I.
p=>q - warunek wystarczający =>, wymuszam dowolne p i pojawia się q (kwantyfikator duży =>)
II.
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie możliwe p i znika q
III.
p~~>q =p*q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q

1.2 Definicje spójników implikacyjnych w zdarzeniach

I
p=>q - warunek wystarczający =>, wymuszam dowolne p i pojawia się q
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Warunek wystarczający => spełniony bo wymuszam deszcz i pojawiają się chmury
Warunek wystarczający => spełniony bo zawsze gdy pada, są chmury

II
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Warunek konieczny ~> spełniony bo zabieram chmury i znika mi możliwość padania

III
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
B2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Kwantyfikator mały ~~> spełniony bo możliwa jest sytuacja „są chmury” i „nie pada”
B2’.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> nie padać
CH~>~P =0
Warunek konieczny ~> nie jest tu spełniony bo zabieram „chmury” nie wykluczając sytuacji „nie pada”
B2’’.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
CH=>~P =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony wymuszam chmury nie wymuszając sytuacji „nie pada” (może padać)

1.3 Prawo Kobry

Prawo Kobry (roznoszące w puch totalnie całą logikę „matematyczną” ziemian):
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>

Dowód na przykładach.
W prawie Kobry należy udowodnić iż nie jest możliwy dowód zdania z warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> bez uprzedniego dowodu tego samego zdania pod kwantyfikatorem małym ~~>.

I.
Warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Warunek wystarczający => spełniony bo wymuszam deszcz i pojawiają się chmury
A1’.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Kwantyfikator mały ~~> spełniony bo możliwa jest sytuacja „pada” i „są chmury”

Prawa matematyczne:
1.
Prawdziwość zdania A1 jest warunkiem wystarczającym => dla prawdziwości zdania A1’
A1=>A1’
2.
Prawdziwość zdania A1’ jest warunkiem koniecznym ~> dla prawdziwości zdania A1
A1’~>A1 =1
Zauważmy, że nie da się udowodnić prawdziwości zdania A1 bez uprzedniego dowodu prawdziwości zdania A1’.
cnd

Ciekawostki:
A.
Prawo 1 znane jest ziemianom jak prawo subalternacji, natomiast prawo 2 jest im zupełnie nieznane.
Prawo 2 roznosi w puch totalnie całą logikę „matematyczną” ziemian.
B.
Prawo 2 niby znane jest matematykom o czym świadczy podręcznik matematyki dla I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
”Jeżeli będziesz grzeczny, to dostaniesz czekoladę”
Zdanie to jest implikacją. Zdanie to składa się z dwóch zdań prostych:
zdania p: „Będziesz grzeczny”
zdania q: „Dostaniesz czekoladę”
Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym => do tego, by zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym ~> do tego, by zaszło p.

Ostatnim zdaniem autor podręcznika rozniósł w puch totalnie całą logikę matematyczną ziemian.
Powiedział bowiem że:
1. p jest warunkiem wystarczającym => do tego, by zaszło q
2. q jest warunkiem koniecznym ~> do tego, by zaszło p

W prawie 2 stoi jak byk:

W przełożeniu na podręcznik:
Musi istnieć czekolada by zdanie:
Jeśli będziesz grzeczny to dostaniesz czekoladę
… miało szansę być prawdziwe.

W przełożeniu na nasz przykład:
Musi być prawdziwe zdanie A1’ aby mogło być prawdziwe zdanie A1
cnd

II.
Warunek konieczny ~>
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Warunek konieczny ~> spełniony bo zabieram chmury i znika mi możliwość padania
A2’.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Kwantyfikator mały ~~>spełniony bo możliwa jest sytuacja „są chmury” i „pada”

Prawa matematyczne:
1.
Prawdziwość zdania A2 jest warunkiem wystarczającym => dla prawdziwości zdania A2’
A2=>A2’ =1
2.
Prawdziwość zdania A2’ jest warunkiem koniecznym ~> dla prawdziwości zdania A2
A2’~>A2 =1
Zauważmy, że nie da się udowodnić prawdziwości zdania A2 bez uprzedniego dowodu prawdziwości zdania A2’.
cnd

1.4 Operator implikacji prostej |=>

Udajmy się do przedszkola, to jest właściwe miejsce do poznania logiki matematycznej 5-cio latków.
A.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
co matematycznie oznacza:
(P=1) => (CH=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam deszcz i na pewno => pojawią się chmury
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padnie deszczu daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego => A:
A: p=>q
Nazywamy zdanie B z zanegowanym następnikiem, kodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>:
B: p~~>~q = p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza fałszywość kontrprzykładu B
Fałszywość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość kontrprzykładu B
Zachodzi też odwrotnie:
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego A
Zdanie A w naszym przykładzie to spełniony warunek wystarczający, zatem mus być fałszywy kontrprzykład B.
B.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
co matematycznie oznacza:
(P=1)~~>(~CH=1) = (P=1)*(~CH=1) =0
Zdanie B pod kwantyfikatorem małym ~~> jest fałszywe bo niemożliwy jest przypadek „pada” i „nie ma chmur”

.. a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
A: P=>CH = C: ~P~>~CH
W zdaniu A jest spełniony warunek wystarczający =>, zatem w zdaniu C musi być spełniony warunek konieczny ~>
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
co matematycznie oznacza:
(~P=1) ~> (~CH=1) =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno ~> bo jak pada to na pewno są chmury.
C: ~P~>~CH = A: P=>CH
W zdaniu A zachodzi warunek wystarczający =>, zatem musi zachodzić warunek konieczny ~> w zdaniu C.
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1
co matematycznie oznacza:
(~P=1)~~>(CH=1) = (~P=1)*(CH=1) =1
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> prawdziwe, bo możliwa jest sytuacja „nie pada” i „są chmury”
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
D: ~P~>CH = P=>~CH =0
Zdanie B mamy fałszywe:
B: P~~>~CH =0
Na mocy prawa Kobry musi być fałszywe zdanie:
P=>~CH =0
co oznacza że w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Doskonale widać, że w naszej analizie zmienne P=”pada” i CH=”chmury” w dowolnych przeczeniach sprowadzone są do jedynek. Sformułowanie „zmienne sprowadzone do jedynek” dla klasycznego matematyka będzie co najmniej dziwne. W algebrze Kubusia to jednak fakt potwierdzony analizą matematyczną zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia P i CH (zdania A,B,C i D). Oczywiście nie chodzi tu o rzeczywistą wartość zmiennych P i CH w przyszłości, bo tej nie znamy, ale o założoną wartość zmiennych P i CH we wszystkich możliwych przeczeniach (zdania A,B,C i D).

Prawo Jeża:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” zakładamy prawdziwość poprzednika i następnika, bowiem wtedy i tylko wtedy możemy orzekać o prawdziwości/fałszywości zdania warunkowego „Jeśli p to q”

Inaczej nie da się wypowiedzieć ani jednego zdania warunkowego „Jeśli p to q”.

Dowód:
Weźmy zdanie D.
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH=1
co matematycznie oznacza:
(~P=1)~~>(CH=1) = (~P=1)*(CH=1) =1
Szczegółowo zdanie D czytamy:
Jeśli prawdą będzie (=1) że jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być prawdą (=1) że jutro będzie pochmurno.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, którego wartości logicznej nie znamy

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to symbol, którego wartość logiczna jest nam znana

W opisie nieznanego, przyszłości lub nieznanej przeszłości, używamy zmiennych binarnych których wartości logicznych nie znamy, które na mocy założenia mają wartość logiczną 1 - patrz nasza analiza zdań A,B,C i D wyżej.
Zmienne te przechodzą w twardą prawdę lub twardy fałsz po rozwiązaniu problemu. Jeśli opisujemy nieznaną przyszłość to zmienne z naszych zdań zostaną zdeterminowane w czasie przeszłym. Jeśli opisujemy nieznaną przeszłość (np. poszukiwanie mordercy) to zmienne z naszych zdań zostaną zdeterminowane po rozwiązaniu problemu.

Zobaczmy to w tabeli:

rafal3006

Spis treści
2.0 Operatory implikacyjne w rachunku zero-jedynkowym 1
2.1 Obietnice i groźby 6
2.2 Obietnica: Implikacja prosta |=> w równaniach algebry Boole’a 8
2.3 Groźba: Implikacja odwrotna |~> w równaniach algebry Boole’a 12

2.0 Operatory implikacyjne w rachunku zero-jedynkowym

Operatory implikacyjne obsługują zdania warunkowe typu „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q

Tożsame definicje zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli zajdzie założenie p to zajdzie skutek q
Jeśli zajdzie założenie p to prawdziwa będzie teza q

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w logice człowieka jest niesłychanie trywialna:
A.
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q

W logice matematycznej między p i q mogą być tylko i wyłącznie trzy spójniki implikacyjne.
I
p=>q - warunek wystarczający =>, wymuszam dowolne p i pojawia się q (kwantyfikator duży)
II
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
III
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q

W zdaniu warunkowym stawiamy prawdziwe założenie p i prawdziwą tezę q zakładając że z prawdziwego założenia wynika postawiona przez nas teza.

Uwaga!
Dopiero po skonstruowaniu zdania warunkowego „Jeśli p to q” jak wyżej możemy cokolwiek dowodzić matematycznie, czyli dowodzić prawdziwości/fałszywości takiego zdania.

Przykład:
Przyjmuję założenie prawdziwe:
Jeśli jutro będzie padało (P=1)…
Przyjmuję tezę prawdziwą:
to może ~~> być pochmurno (CH=1)

Do spięcia założenia i tezy użyliśmy tu kwantyfikatora małego:
P~~>CH = P*CH =1
Kompletne zdanie jest tu prawdziwe bo możliwe jest zdarzenie „pada” i „są chmury”

rafal3006