ŚFiNiA

rafal3006

2008-08-24
Ta część zastąpiona w całości przez:
Fundamenty algebray Boole'a - Rewolucja

Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).

Fundamenty algebry Boole’a - Implikacja 1

Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja 1
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja 2

Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
1.2 Fundament logiki człowieka

2.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka
2.1 Definicje podstawowe
2.2 Definicja implikacji prostej
2.3 Definicja implikacji odwrotnej
2.4 Rodzaje implikacji
2.5 Prawa Kubusia
2.6 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

3.0 Operatorowa definicja równoważności
3.1 Operatorowa definicja implikacji prostej
3.2 Obietnice i groźby
3.3 Katastrofalne skutki pomylenia operatorów w logice
3.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

4.0 Warunki wystarczające i konieczne
4.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej
4.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej
4.3 Gwarancje w obietnicach i groźbach

5.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a

Wstęp

Istotą publikacji jest odkrycie dwóch nowych, matematycznych operatorów w naturalnym języku mówionym "musi" => (implikacja prosta) i "może" ~> (implikacja odwrotna) oraz praw Kubusia. Operatorami „musi” => i „może” ~>, podobnie jak AND(i) i OR(lub), człowiek posługuje się doskonale od czasów Adama i Ewy. Operatory te działają fenomenalnie w całej algebrze Boole'a, w szczególności obsługują obietnice (implikacja prosta) i groźby (implikacja odwrotna).

Prawa de’Morgana mówiące o związkach definicji OR(+) i AND(*) oraz prawa Kubusia mówiące o związkach definicji implikacji prostej (=>) z definicją implikacji odwrotnej (~>) to dwa najważniejsze prawa w całej logice klasycznej.

1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.

1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej

Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą matematycznie operatory „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna). Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w zakresie implikacji. Identycznie jak w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.

=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

1.2 Fundament logiki człowieka

Fundamentem działania wszelkich komputerów jest algebra Boole’a i zaledwie dwa operatory matematyczne AND(*) i OR(+) plus definicja negacji NOT(~).
Fundamentem logiki człowieka jest algebra Boole’a i zaledwie cztery operatory matematyczne AND(*), OR(+), „musi”=> i „może”~>. plus definicja negacji NOT(~). Implikacja pozwala człowiekowi i wszystkiemu co żyje przewidywać przyszłość.

Naturalna logika człowieka jest zgodna z algebrą Boole’a, tak więc jej matematyczny opis sprowadza się do zasady:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy

Przykład 1.2
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Jeśli ubrudzę spodnie to „mogę” ~> dostać lanie, gdyż nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~B=>~L - gwarancja bezpośrednia, wynikająca z definicji implikacji prostej
Jeśli nie ubrudzisz spodni to "na pewno" => nie dostaniesz lania

p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana
~p+q = ~[~(~p)*~q] = ~(p*~q) - prawo de’Morgana dla ~p i q w definicji implikacji
stąd:
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej

Dla zdania wyżej mamy:
p=~B
q=~L
Podstawiamy to do gwarancji:
~B=>~L = ~[(~B)*~(~L)] = ~(~B*L) =1
Odczytujemy gwarancję matematyczną:
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach (~B) i dostanę lanie (z powodu czystych spodni). Wszystko inne może się zdarzyć.

Kiedy nadawca zostanie kłamcą ?
~B=>~L = ~(~B*L) =1
Negujemy dwustronnie:
~(~B=>~L) = ~B*L =0
Kłamstwo (0=fałsz) wystąpi wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach (~B) i dostanę lanie (z powodu czystych spodni). W każdym innym przypadku kłamstwo nie wystąpi.

2.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka

Algebra Boole’a to matematyka ścisła. Implikacja to jeden z fundamentalnych operatorów w tej algebrze. Implikacja to zdanie złożone połączone spójnikiem „Jeśli...to...”. W całej logice istnieją tylko dwa rodzaje implikacji opisywane przez matematyczne operatory logiczne. Jeden z nich to operator implikacji prostej „musi” =>, zaś drugi to operator implikacji odwrotnej „może” ~>.

Od strony matematycznej, definicja implikacji odwrotnej jest tak samo zbędna jak zbędna jest definicja sumy logicznej (bo prawa de’Morgana)

Zobaczmy to w tabeli:

rafal3006

V Beta 3.0
Proste jest piękne

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).

Fundamenty algebry Boole’a - Rewolucja

Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja

Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści

1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

2.0 Rewolucja w logice klasycznej
2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana
2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia
2.3 Operatorowa definicja implikacji prostej
2.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej
3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
3.1.1 Obietnica
3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
3.2.1 Groźba

4.0 Kwadrat logiczny równoważności
4.1 Kwadrat logiczny implikacji
4.2 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji

5.0 Warunki wystarczające i konieczne
5.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej
5.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej

6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
7.0 Podsumowanie

Wstęp

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice