ŚFiNiA

rafal3006

AK2 Algebra Kubusia - zdania warunkowe

Uwaga 1:
Brakujące części: implikacja, operator chaosu, obietnice i groźby
Zostaną dopisane wkrótce

Uwaga 2
Rozumiem już w 100% co oznacza ta definicja implikacji prostej |=>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = ~p*q
Wyprowadzenie:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
cnd

Powyższe odkrycie uważam za najważniejsze w całej historii rozszyfrowywania algebra Kubusia bo jest ostatnim z niezliczonej liczby wielkich odkryć.
Szczegóły wkrótce jak znajdę czas na dokończenie AK - na razie muszę w firmie harować jak wół.

Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata

Zachodzi matematyczna tożsamość:
Kubuś, stwórca naszego Wszechświata = algebra Kubusia pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

W skład algebry Kubusia wchodzą części:
AK1 Algebra Kubusia - rachunek zero-jedynkowy
AK2 Algebra Kubusia - zdania warunkowe

Podręczniki AK1 i AK2 napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość drugiego, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to AK1, AK2.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuje w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006 - medium
2.
Wuj Zbój
W dyskusji z Wujem zapisałem po raz pierwszy prawa Kubusia mówiące o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> których nie ma ani na studiach technicznych, ani też na studiach matematycznych.
3.
Fiklit, który poświęcił 7 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat w krzywym zwierciadle zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol, końcowy tester algebry Kubusia próbujący udowodnić, że algebra Kubusia to gówno a Rafal3006 to debil - lepszego testera nie można sobie wymarzyć.
Rzeczywistość jest dokładnie odwrotna - to Klasyczny Rachunek Zdań jest gównem, a ludzie się nim posługujący to (niedomówienie).

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020

Spis treści
1.0 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych 2
1.1 Kubusiowa teoria zbiorów w pigułce 2
1.1.1 Definicje podzbioru => i nadzbioru ~> 3
1.1.2 Prawa Pustułki 3
1.1.3 Definicja tożsamości zbiorów 4
1.1.4 Równoważność Kukułki 4
1.1.5 Równoważność „albo”($) 5
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 6
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 7
1.2.2 Prawo Kobry dla zbiorów 7
1.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 7
1.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 8
1.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 8
1.4 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 8
1.4.1 Prawa Kubusia 11
1.4.2 Prawa Tygryska 11
1.4.3 Prawa kontrapozycji 11
1.5 Operatory implikacyjne 11
1.6 Matematyczne relacje między spójnikami i operatorami implikacyjnymi 15

2.0 Równoważność
2.4 Fizyczna realizacja równoważności w zdarzeniach
2.5 Fizyczna realizacja równoważności z zbiorach

1.0 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego

Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” to podstawowe definicje znaczków ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu.

1.1 Kubusiowa teoria zbiorów w pigułce

Matematyka klasyczna operuje wyłącznie na zbiorach nieskończonych gdzie logika matematyczna to zdania warunkowe „Jeśli p to q” opisujące wzajemne relacje zbiorów p i q.
Dokładnie dlatego musimy znać podstawowe pojęcia dotyczące teorii zbiorów wykorzystywane w logice matematycznej.

1.1.1 Definicje podzbioru => i nadzbioru ~>

Definicja podzbioru =>:
p=>q =1
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Innymi słowy:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Relacja podzbioru => = warunek wystarczający =>

Definicja warunku wystarczającego => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q

Przykład:
p=[pies, kot] => q=[pies, kot, kura] =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Losuję dowolny element ze zbioru p i mam 100% pewność =>, że ten element będzie w zbiorze q

Definicja nadzbioru ~>
p~>q =1
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Zajście p jest konieczne ~> do tego aby zaszło q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Inaczej:
p~>q =0
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Relacja nadzbioru ~> = warunek konieczny ~>

Definicja nadzbioru ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = p+~q

Przykład:
p~>q =1
p=[pies, kot, kura] ~> q=[pies, kot] =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zbiór p jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru q

1.1.2 Prawa Kukułki

Prawa Kukułki:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Prawa Kukułki wynikają bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
Dowód na przykładzie:
Zdefiniujmy zbiór p
p=[pies, kot]
W oczywisty sposób spełniony tu jest zarówno podzbiór => siebie samego:
p=[pies, kot] => p=[pies, kot] =1 - definicja podzbioru => jest spełniona (=1)
jak i spełniona jest definicja nadzbioru ~> siebie samego:
p=[pies, kot] ~> p=[pies, kot] =1 - definicja nadzbioru ~> jest spełniona (=1)

1.1.3 Definicja tożsamości zbiorów

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame (=) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i odwrotnie.
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)

Przykład:
p=[pies,kot]
q=[pies,kot]
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =1 - zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
cnd

Bezpośrednio z powyższej definicji wynikają równoważności Kukułki.

1.1.4 Równoważność Kukułki

Matematyczna definicja równoważności w zbiorach (używana w matematyce):
Dwa zbiory są równoważne <=> wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i odwrotnie
p<=>q = (p=>q)(q=>p)

Twierdzenie proste Kukułki:
TPK:
Jeśli zachodzi równoważność p<=>q to na 100% => zachodzi tożsamość zbiorów p=q
p<=>q => p=q =1
Zachodzenie równoważności p<=>q jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła tożsamość zbiorów p=q
Innymi słowy:
Każda równoważność p<=>q prawdziwa wymusza => tożsamość zbiorów p=q

Dowód w zapisach ogólnych:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Dla p=q mamy:
p=>p = ~p+p =1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
cnd

Twierdzenie odwrotne Kukułki:
TOK:
Jeśli zachodzi tożsamość zbiorów p=q to na 100% => zachodzi równoważność p<=>q
p=q => p<=>q =1
Zachodzenie tożsamości zbiorów p=q jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła równoważność p<=>q
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów p=q wymusza => równoważność p<=>q

Dowód:
Dla p=q mamy:
p=p => p<=>p =1
cnd

Stąd mamy:
Równoważność Kukułki dla równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi tożsamość zbiorów p=q
(p<=>q)<=>(p=q) = [TPK: p<=>q => (p=q)]*[TOK: (p=q)=>p<=>q)]
oraz:
Równoważność Kukułki dla zbiorów tożsamych p=q:
Dwa zbiory są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi równoważność p<=>q
(p=q) <=> (p<=>q) = [TOK: (p=q)=>(p<=>q)]*[TPK: p<=>q=>(p=q)]

1.1.5 Równoważność „albo”($)

Równoważność „albo”($) nazywana jest przez ziemian „alternatywą wykluczającą” (XOR) lub sumą „modulo 2”
Zachodzi matematyczna tożsamość:
p$q = ~(p<=>q)
Spójnik „albo”($) jest zatem szczególnym przypadkiem równoważności.
Dowód:
Definicja równoważności <=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q = p$q
cnd

Definicja równoważności „albo”($):
Z równoważnością „albo”($) mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy mamy do czynienia z dwoma stanami p i ~p wzajemnie się wykluczającymi lub dwoma zbiorami p i q uzupełniającymi się wzajemnie do dziedziny
p$q = (p=>~q)*(~p=>q)
Gdzie:
$ - symbol spójnika „albo”($)

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Stąd mamy równoważność „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
p$q = (p=>~q)*(~p=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
p$q = (p=>~q)*(~p=>q) = p*~q + ~p*q

Przykład w zbiorach:
A.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo ($) kobietą (K=1)
M$K = (A: M=>~K)*(C: ~M=>K)
Mamy tu do czynienia z dwoma zbiorami M i K uzupełniającymi się wzajemnie do dziedziny C (człowiek):
M+K = C - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla zbioru M (i odwrotnie)
M*K =[] - zbiory M i K są rozłączne
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~M=[C-M] = [M+K-M] = K
Podobnie:
~K=[C-K] = [M+K-K] = M

Stąd mamy:
M$K = (A: M=>M)*(C: K=>K) = 1*1 =1
Bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego:
M=>M =1
K=>K =1

Skorzystajmy z definicji spójnika „albo”($):
M$K = M*~K + ~M*K
Odczytajmy prawą stronę tożsamości:
M$K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) i nie jest kobietą (~K=1) lub nie jest mężczyzną (~M=1) i jest kobietą (K=1)
M$K = M*~K +~M*K
Powyższe zdanie rozumie każdy 5-cio latek.
Doskonale tu widać 100% zgodność matematyki z językiem potocznym.

W języku potocznym zamiast spójnika „albo”($) najczęściej używamy spójnika „lub”(+).
Dla naszego mózgu jest to bez znaczenia bowiem pełna definicja spójnika „lub”(+) jest następująca:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając nasz przykład mamy:
M+K = M*K + M*~K + ~M*K := M*~K + ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - minimalizacja równania na mocy teorii zbiorów
M*K =[] =0 - bo żaden człowiek nie jest równocześnie mężczyzną i kobietą (zbiory M i K są rozłączne)

1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.2.2 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.

1.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

1.4 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dowolne definicje mamy prawo przyjmować wedle swego „widzi mi się” - ważne jest jak to moje „widzi mi się” pasuje do otaczającej nas rzeczywistości.
Przyjęte niżej zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> pasują perfekcyjnie do otaczającej nas rzeczywistości co oznacza, że nikt nie znajdzie kontrprzykładu, gdzie definicje te się załamują (źle działają). Prawda jest taka, że kluczowe definicje spójników => i ~> wyprowadziłem z ich definicji zero-jedynkowych, co wkrótce zobaczymy.
Póki co przyjmijmy poniższe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na zasadzie mojego „widzi mi się”