ŚFiNiA

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Kompletna, nieprawdopodobnie banalna algebra Kubusia na jednej stronie A4!
Oczywiście ograniczymy się tu do omówienia kluczowych dla logiki matematycznej operatorów implikacji i równoważności.

… postaram się nie atakować KRZ bo algebra Kubusia i KRZ to logiki totalnie rozłączne.
KRZ opisuje świat zdeterminowany gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych natomiast algebra Kubusia opisuje świat niezdeterminowany gdzie nie znamy z góry wartości logicznej wszystkich zmiennych.

Uwaga:
Jak znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych to nie ma żadnej matematyki!
Na mocy prawa Sowy wszystko redukuje się wówczas do operatora AND co pokazałem w ostatnim poście.

Przykład świata totalnie niezdeterminowanego:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T

Przykład świata totalnie zdeterminowanego:
Wczoraj byłem w kinie i w teatrze
Y=K*T

Świat totalnie zdeterminowany to także równoważność matematyczna co pokażemy na przykładzie twierdzenia Pitagorasa. W świecie totalnie zdeterminowanym nie ma miejsca na „rzucanie monetą”.

Zaczniemy od świata częściowo zdeterminowanego, implikacji, gdzie na mocy definicji w jednej połówce mamy świat totalnie zdeterminowany (warunek wystarczający =>), natomiast w drugiej połówce definicji mamy świat totalnie niezdeterminowany („rzucanie monetą” = warunek konieczny ~>)

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
1 - zbiór niepusty, zawierający co najmniej jeden element

Symboliczna algebra Kubusia w definicjach

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja znaczka => (warunek wystarczający, gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami

Na mocy definicji zachodzi:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Definicja implikacji prostej w zbiorach:

p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Przykład świata częściowo niezdeterminowanego = implikacja prosta:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L = 1 - gwarancja matematyczna, zdanie zawsze prawdziwe wyłącznie dla psów.
P=>4L
Zbiór psów zawiera się => (warunek wystarczający =>) w zbiorze zwierząt z czterema łapami i nie jest tożsamy ze zbiorem zwierząt z czterema łapami.
Bycie psem wystarcza => aby mieć cztery łapy
Zbiory:
P=>4L = P*4L = P =1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i mają część wspólną (P), stąd w wyniku mamy zbiór niepusty o wartości logicznej =1
Na mocy definicji to jest implikacja prosta w logice dodatniej (bo 4L) ze 100% pewnością (warunek wystarczający =>) po stronie P oraz z „rzucaniem monetą” (warunek konieczny ~>) po stronie ~P:
P=>4L = ~P~>~4L
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0 - zdanie zawsze fałszywe, skolerowane wyłącznie ze zdaniem A!
Zbiory:
P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0
Zbiory P i ~4L istnieją (P=1 i ~4L=1) ale są rozłączne, stąd w wyniku mamy zbiór pusty o wartości logicznej =0.

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż ..
Zbiory:
~P~~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1) i mają cześć wspólną (~4L), stąd w wyniku mamy zbiór niepusty o wartości logicznej =1
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L i nie jest tożsamy ze zbiorem ~4L
Zajście ~P jest konieczne ~> dla ~4L
Zabieram ~P i znika mi ~4L
Na mocy definicji to jest implikacja odwrotna w logice ujemnej (bo ~4L)
~P~>~4L = P=>4L
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L = 1 bo słoń
Zbiory:
~P~~>4L = ~P*4L = ~P*4L = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i maja część wspólną (np.słoń) stąd w wyniku mamy zbiór niepusty o wartości logicznej =1.

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L=0
Prawa strona jest fałszem, zatem wykluczony jest warunek konieczny ~> w zdaniu D
cnd

Koniec analizy matematycznej zdania A!

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy definicję implikacji prostej:
A: P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej:
C: ~P~>~4L
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0

rafal3006