ŚFiNiA

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Implikacja i równoważność w pigułce

4.8 Implikacja i równoważność w pigułce

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

Fundament algebry Kubusia:
Definicje operatorów logicznych AND, OR, =>, ~>, <=> zbudowane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q.
Wszelkie prawa algebry Kubusia obowiązują dla świata niezdeterminowanego. W przypadku determinacji poprzednika lub następnika jedyną poprawną metodą analizy matematycznej jest analiza wszystkich możliwych przeczeń p i q zgodnie z definicją operatora logicznego.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Fundamentem operatorów implikacji i równoważności są zaledwie trzy znaczki => , ~> i ~~>

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
W mowie potocznej warunek wystarczający => to spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki.

Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q
W mowie potocznej, w implikacji, warunek konieczny ~> to spójnik „może” między p i q.
W równoważności <=> warunek konieczny ~> istnieje na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” z powodu tożsamości zbiorów p i q.

Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q
Zbiory:
p*q =1
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q

Matematyczny związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia działają wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q. Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego i prawa Sowy.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności:
W implikacji i równoważności zdanie zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q

Definicja warunku koniecznego ~> w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q

W świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q zachodzi:
Jeśli z prawej strony tożsamości udowodnimy warunek wystarczający =>, to tym samym udowodnimy warunek konieczny ~> z lewej strony (albo odwrotnie). Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej. Z praw Kubusia wynika, że całą logikę w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do dowodzenia banalnych warunków wystarczających.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

Definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Kubusia.

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)

Symboliczna definicja implikacji prostej:

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Dzięki Fiklicie,

Każda nowa Idea potrzebuje jakiegoś spektakularnego zastosowania, zrozumiałego możliwie dla jak największego grona czytelników.

Dzięki naszej dyskusji powstał sztandarowy artykuł "Definicje czworokątów w algebrze Kubusia":
[link widoczny dla zalogowanych]

Problem z algebrą Kubusia jest taki, że nie jest w stanie człowieka zaskoczyć, nie jest w stanie pokazać czegoś czego człowiek by nie znał, bo czy można człowieka zaskoczyć opisując matematycznie jego własną logikę ... którą znają absolutnie wszyscy ludzie na ziemi od 5-cio latka poczynając?

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Dodatek B
Prawo Hipcia

Jeśli ludzie załapią algebrę Kubusia zapewne wielu uzna ją za największe odkrycie w historii ludzkości.

Najważniejszy przełom w historii 7-letniej wojny:
Algebra Kubusia vs logika matematyczna Ziemian

Dlaczego najważniejszy?
Bo prawa Hipcia i techniki wypełniania tabel zero-jedynkowych dla zbiorów rozłącznych (nie ma tego w Ziemskiej matematyce) nie sposób nie zrozumieć … kto zrozumie i zaakceptuje, ten mam nadzieję zaakceptuje całą AK.

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Prawo Hipcia
Budowa tabel zero jedynkowych dla zbiorów rozłącznych (przełom w AK!)

Spis treści:

1.0 Notacja
2.0 Operatory logiczne w zbiorach

3.0 Prawo Hipcia
3.1 Pseudo operator Hipcia

4.0 Prawo Hipcia w implikacji
5.0 Prawo Hipcia w równoważności

6.0 Dowody błędności problemu „kwadrat-prostokąt” w logice Ziemian
6.1 Dowód 1 - poprzez analogię do twierdzenia Pitagorasa
6.2 Dowód 2 - budowa zbioru czworokątów
6.3 Dowód 3 - polemika z ziemską matematyką
6.4 Impresje na temat kwadratu i prostokąta

1.0 Notacja

Definicje warunków wystarczających => i koniecznych ~> podano w tym poście:
[link widoczny dla zalogowanych]
Związek między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = p~>~q - definicja implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - definicja implikacji odwrotnej

Prawa Kubusia to prawa matematyczne obowiązujące w naszym Wszechświecie.
Prawa Kubusia to po prostu definicje implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Boole’a.

Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
p=>q
Każdy element zbioru p musi zawierać się w zbiorze q

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą) między p i q:
Ogólna definicja znaczka ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
p~>q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć zbiór q

~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie siedem spójników logicznych.
Operatory AND, OR i XOR:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
$ - spójnik „albo” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Kubusiowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:

2.0 Operatory logiczne w zbiorach

OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q

AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q

Implikacja prosta:
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p=>q = ~p=>~q

Implikacja odwrotna:
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p~>q = ~p=>~q

Równoważność:
Zbiór p musi być tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

XOR
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
Y = p*~q + ~p*q

Algebra Kubusia to matematyczny opis naszego Wszechświata, w tym nieznanego.

3.0 Prawo Hipcia

Prawo Hipcia obowiązuje dla zbiorów rozłącznych

Definicja spójnika „albo’($):
(A1$A2$...An) = A1$A2$...An
co matematycznie oznacza:
(A1$A2$...An)=1 <=> A1=1 albo A2=1 albo … An=1
czyli:
(A1$A2$...An)=1 wtedy i tylko wtedy gdy wyłącznie jedna ze zmiennych A1, A2…An jest równa 1
gdzie:
$ - symbol spójnika „albo”($)

Definicja spójnika „albo”($):

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Dodatek C
Koniec!

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Dowód poprawności definicji operatora logicznego i prawa Sowy w AK
To kolejny wielki przełom w algebrze Kubusia - to wszystko jest NIEPRAWDOPODOBNIE proste!

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

W ostatnim poście padła ta historyczna analiza równoważności!

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
stąd dla naszego przykładu:
AR.
Czworokąt jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe i boki równe
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>~(KR*BR)] = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
bo prawo De Morgana:
~(p*q) = ~p+~q
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd:
~KW<=>~(KR*BR)
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
AR.
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Zbiory tożsame: KW = KR*BR
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe i boki równe
KW=>KR*BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
KW = KR*BR
Wymuszam dowolne KW i pojawia mi się KR*BR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 => KR*BR
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: KR=1, BR=0 => 1*0=0
ROMB: KR=0, BR=1=>0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 =>0*0 =0
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych lub nie mieć boków równych
KW~~>(~KR+~BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 ~~> ~KR+~BR
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1=1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0=1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1

… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Zbiory tożsame: ~KW = ~KR+~BR
C.
~KW=>(~KR+~BR)
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to na pewno => nie ma kątów równych lub nie ma boków równych
~KW=>(~KR+~BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = (~KR+~BR)
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 => ~KR+~BR
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1 =1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0 =1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> mieć kąty równe i boki równe
~KW~~>(KR*BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 ~~> KR* BR
PR: KR=1, BR=0 => 1*0 =0
ROMB: KR=0, BR=1 => 0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 => 0*0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem AR otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
KW<=>KR*BR
KW=1, ~KW=0
KR*BR=1, (~KR+~BR)=0

rafal3006

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Prawo Orła
Samodzielny warunek wystarczający

Prawo Orła

Jeśli definiujemy cokolwiek to używamy wyłącznie spójnika „i”(*).
„i”(*) - spójnik wiedzy
„lub”(+) - spójnik nieznanego

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy, ogon i nie ćwierka
P+K => 4L*O*~C
co matematycznie oznacza:
P=1 lub K=1 => 4L=1 i O=1 i ~C=1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P+K zawiera się w zbiorze zwierząt 4L*O*~C

.. a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników.
~P*~K ~> ~4L + ~O + C
To jest prawo Kubusia uzyskane metodą „na skróty”
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to na pewno => nie ma czterech łap lub nie ma ogona lub ćwierka
~P*~K ~> ~4L + ~O + C
co matematycznie oznacza:
(~P*~K)=1 ~> ~4L=1 lub ~O=1 lub C=1
Jak działa algebra Kubusia!
1.
Losujemy zwierzaka, sprawdzamy:
Nie ma ogona:
~O=1
i już wiemy że to zwierzę nie jest ani psem, ani kotem
2.
Losujemy zwierzaka, sprawdzamy:
ćwierka
C=1
i już wiemy że to zwierzę nie jest ani psem, ani kotem
itd.

.. a jak brzmi zdanie odwrotne do A?

Prawo odwracalności warunku wystarczającego => w implikacji:
Jeśli zdanie p=>q spełnia warunek wystarczający => to po zamianie argumentów na pewno => będzie spełniało warunek konieczny ~> (i odwrotnie).

Uwaga!
Prawo odwracalności w implikacji dotyczy wyłącznie zdań bezczasowych!
bo:
A.
Jeśli będzie padało to na pewno => otworzę parasolkę
P=>OP
Zdanie odwrotne jest bez sensu!
A.
Jeśli otworzę parasolkę to może ~> padać
OP~>P =1
Prawo Kubusia:
OP~>P = ~OP=>~P
czyli:
C.
Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno => nie będzie padało
~OP=>~P=1
… no i zrobił się cyrk na kółkach?
NIE!
Bo w implikacji matematycznie zachodzi!
P=>OP = ~P~>~OP ## OP~>P = ~OP=>~P
implikacja prosta ## implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonego na lewej stroni mamy:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wracając do naszego zdania złożonego:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy, ogon i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*O*~C ~> P+K
co matematycznie oznacza:
4L=1 i O=1 i ~C=1 ~> P=1 lub K=1
Losujemy zwierzaka, ma wszystkie cechy po lewej stronie
Wniosek: to może ~> być pies lub koń

… a jeśli zwierzę ma cztery łapy lub ogon lub ćwierka?
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki w zdaniu A (prawo Kubusia na skróty):
~4L+~O + C => ~P*~K
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub nie ma ogona lub ćwierka to na pewno => nie jest ani psem ani kotem
~4L+~O + C => ~P*~K
co matematycznie oznacza:
~4L=1 lub ~O=1 lub C=1 => (~P*~K)=1
Jak to działa?
Losujemy zwierzaka, stwierdzamy:
ćwierka!
C=1
Reszty zmiennych nie musimy sprawdzać, to na pewno nie jest ani pies, ani koń
itd.

Samodzielny warunek wystarczający

Twierdzenie:
Jeśli w zdaniu p=>q wartość logiczna q jest znana z góry to zdanie p=>q jest samodzielnym warunkiem wystarczającym.

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Rozważmy zdanie:
A.
p=>(q+~q) =1
Prawo algebry Boole’a:
(q+~q) =1 - wartość logiczna następnika jest znana z góry
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór p zawiera się w zbiorze q+~q
B.
p~~>q*~q =0
Zbiory:
p*(~q*q) = p*0 =0
Definicja warunku wystarczającego w A i B spełniona

… a jeśli zajdzie ~p?
W zdaniu A negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.
To jest prawo Kubusia na skróty:
p=>(q+~q) = ~p~>~q*q
C.
~p~>~q*q =0
Zbiory:
~p*(~q*q) = ~p*0 =0
Nie ma w tabeli zero-jedynkowej sekwencji 0 0 =0, zatem implikacja prosta jest tu wykluczona.

Tabela zero-jedynkowa dla zdania A:
p=>(q+~q)
p=1, ~p=0
q+~q=1, ~q*q=0

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

[img]https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSTnd4v3z2GznwFaH9Kk6umH_z1pbuY0fiTVB9e_PNUEIjlgUVd[/img]

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Algebra Kubusia działa od chwili Wielkiego Wybuchu!

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Fiklit, jestem służbowo na Litwie, mam dużo czasu jadąc samochodem i ciekawe przemyślenia. Odpowiem na twój post wkrótce.

Na razie dla FatBanthy.

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Dodatek A
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Twierdzenia prostokątów

Twierdzenie prostokątów:
Jeśli czworokąt jest prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów
PR=>GP
Implikacja prosta:
PR=>GP = ~PR~>~GP

Twierdzenie odwrotne prostokątów:
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~> być prostokątem
GP~>PR
Implikacja odwrotna:
GP~>PR = ~GP=>~PR

Dowód:

Ścisłe definicje kwadratu i prostokąta:

Kwadrat to czworokąt o równych kątach i równych bokach
KW=KR*BR
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR=KR*~BR - kąty równe i boki nie równe

Zauważmy, że dopiero z precyzyjnych definicji kwadratu i prostokąta możemy wyprowadzić równanie opisujące grupę prostokątów.

GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 =KR
Prawa algebry Boole’a:
wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p

Grupa prostokątów o definicji:
GP=KR
to dwa ściśle zdefiniowane czworokąty:
Grupa prostokątów = kwadrat + prostokąt
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt = KR*~BR

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Grupa prostokątów ## kwadrat ## prostokąt
KR ## KR*BR ## KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Grupa prostokątów (o definicji KR) nie definiuje zatem żadnego konkretnego czworokąta!
cnd

Zobaczmy to wszystko na diagramie:

Twierdzenie:
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów
KW+PR=>GP =1 bo kwadrat+prostokąt
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo:
Zarówno kwadrat jak i prostokąt zawiera się grupie prostokątów
Dodatkowo zachodzi tu tożsamość zbiorów KW+PR ze zbiorem GP co wymusza równoważność, ale załóżmy, że o tym nie wiemy.
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to może ~~> nie należeć do grupy prostokątów
KW+PR~~>~GP=0

… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem?
Negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy spójniki
~KW*~PR ~>~GP
To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
stąd mamy:
C.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR ~>~GP=1
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR~~>GP=0

STOP!
Zdanie D jest dowodem iż zdanie C spełnia warunek wystarczający =>, nie ma tu miejsca na warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą” charakterystyczne dla implikacji.
Zdania C i D muszą zatem brzmieć.
C.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to na pewno => nie należy do grupy prostokątów
~KW*~PR =>~GP=1 bo deltoid, romb, równoległobok, trapez
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~KW*~PR jest tożsamy ze zbiorem ~GP co doskonale widać na diagramie.
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR~~>GP=0

Całość to oczywiście równoważność.
AR.
Grupa prostokątów wtedy i tylko wtedy gdy czworokąt jest kwadratem lub prostokątem
GP<=>KW+PR
Na tej podstawie możemy użyć tu znaku tożsamości:
GP=KW+PR

Rozważmy teraz zdanie:
A.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to należy do grupy prostokątów
PR=>GP=1
Definicja znaczka => spełniona bo:
Prostokąt zawiera się w grupie prostokątów
Dodatkowo zbiór PR nie jest tożsamy ze zbiorem GP co wymusza implikację prostą o definicji:
PR=>GP = ~PR~>~GP - definicja implikacji prostej
B.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to może ~~> nie zawierać się w grupie prostokątów
PR~~>~GP=0
… a jeśli czworokąt nie jest prostokątem?
Prawo Kubusia na skróty, czyli w równaniu A negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~PR~>~GP
stąd:
C.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów
~PR~>~GP=1 bo deltoid
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór ~PR zawiera w sobie zbiór ~GP
Dodatkowo zbiór ~PR nie jest tożsamy ze zbiorem ~GP co wymusza implikację odwrotną:
~PR~>~GP = PR=>GP - definicja implikacji odwrotnej
lub
D.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~~> należeć do grupy prostokątów
~PR~~>GP=1 bo kwadrat

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy dero-jedynkową definicję implikacji prostej.
A: PR=>GP
PR=1, ~PR=0
GP=1, ~GP=0
Dla kodowania zero-jedynkowego zgodnego ze zdaniem C otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~PR~>~GP
~PR=1, PR=0
~GP=1, GP=0

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia: Logika człowieka

Szczególne podziękowania dla:
www.śfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macjan - prekursor Algebry Kubusia

[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza, Sogorsa i Quebaba - za długą i ciekawą dyskusję

[link widoczny dla zalogowanych]
Daggera, Ducha i Fiklita (szczególnie) - za najważniejszą, bo stawiającą kropkę nad „i” dyskusję
Na forum [link widoczny dla zalogowanych] zapisano po raz pierwszy ogólne definicje znaczków =>, ~> i ~~>.
Finałowa dyskusja z Fiklitem dzięki której algebra Kubusia przybrała postać końcową:
[link widoczny dla zalogowanych]

Kim jest Kubuś?

Kubuś, to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata. Zadaniem Kubusia na Ziemi było rozpracowanie matematycznych fundamentów logiki człowieka. Po siedmiu latach zmagań, z wielką pomocą przyjaciół ze śfinii.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych] zadanie zostało wykonane.

Algebra Kubusia to podręcznik logiki matematycznej do I klasy LO w 100-milowym lesie, mam nadzieję, że wkrótce trafi także do ziemskich szkół.

Uczeń powinien znać matematyczne definicje:
p=>q - warunku wystarczającego
p~>q - warunku koniecznego
p=>q = ~p~>~q - implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - implikacji odwrotnej
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - równoważności
Współczesna logika matematyczna Ziemian nie odróżnia warunku wystarczającego (kwantyfikatora dużego) od implikacji prostej, co jest błędem czysto matematycznym:
Warunek wystarczający: p=>q ## implikacja prosta: p=>q = ~p~>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Interpretacja tabel zero-jedynkowych operatorów logicznych w algebrze Kubusia jest totalnie inna niż obowiązująca we współczesnej logice. Algebra Kubusia to także nowa teoria zbiorów opisana operatorami logicznymi, gdzie zbiory mają wartości logiczne 0 (zbiór pusty) albo 1 (zbiór niepusty). Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po profesora.

Najważniejszymi prawami w logice matematycznej są prawa Kubusia i prawa Prosiaczka.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0
Dlaczego najważniejsze?
Bo tylko i wyłącznie dzięki nim możliwy jest matematyczny opis naturalnej logiki człowieka, jego naturalnego języka mówionego. Ludzkość wreszcie poznała to, o czym marzy od 2500 lat.

Myślę, że nikt nie umrze z powodu spojrzenia na logikę człowieka z punktu odniesienia Kosmitów, fundamentalnie innego niż aktualnie obowiązujący.

Przyjaciel Ziemian,
Kubuś - kosmita

Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Kubusiowa teoria zbiorów
2.1 Operacje na zbiorach
2.2 Właściwości zbiorów
2.3 Diagramy Kubusia

3.0 Operatory logiczne OR i AND
3.1 Spójniki logiczne „i”(*) oraz „lub”(+)
3.2 Tworzenie równań algebry Boole’a z tabel zero-jedynkowych
3.3 Operator OR w zbiorach
3.4 Operator AND w zbiorach
3.5 Minimalizacja funkcji logicznych

4.0 Implikacja o równoważność w pigułce
4.1 Definicje znaczków =>, ~> i ~~>
4.2 Implikacja prosta
4.3 Implikacja odwrotna
4.4 Równoważność
4.5 Implikacja i równoważność w zbiorach i gwarancjach matematycznych

Dodatek A
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia

1.0 Notacja

Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1
Stąd:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli p=0 to ~p=1
Odwrotnie też zachodzi, stąd kluczowe prawa algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

# - różne
Zbiór niepusty # zbiór pusty
Prawda # Fałsz
1 # 0

## - różne na mocy definicji

Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Kubusia.
Na mocy definicji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

”=” - znak tożsamości

Tożsamość zbiorów:
A = B - identyczne elementy w zbiorach A i B

Tożsamość bramek logicznych:
Y = p*q = ~(~p+~q) - identyczne bramki logiczne
W dowolnym układzie logicznym w miejsce bramki:
Y=p*q
można wstawić bramkę:
Y = ~(~p+~q)
Takie bramki z punktu widzenia logiki są nierozróżnialne (tożsame), czyli generują identyczne tabele zero-jedynkowe (funkcje logiczne).

:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy teorii zbiorów
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnego języka mówionego

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zdanie:
Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać prawdę lub fałsz, zrozumiałe dla człowieka.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym =>, warunkiem koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
~Y=p*q - logika ujemna bo ~Y
W operatorach implikacji funkcja logiczna p=>q zapisana jest w logice dodatniej gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
2.
p=>q
~p~>~q
3.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)

Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

Kubusiowa teoria zbiorów:

W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.

od wartości logicznej zbioru!

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu

Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.

p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego

Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1
Stąd:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli p=0 to ~p=1
Odwrotnie też zachodzi, stąd jedno z najważniejszych praw algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

Znaczenie 0 i 1 w Kubusiowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.

rafal3006

4.0 Implikacja i równoważność w pigułce

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

Fundament algebry Kubusia:
Definicje operatorów logicznych AND, OR, =>, ~>, <=> zbudowane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q.
Wszelkie prawa algebry Kubusia obowiązują dla świata niezdeterminowanego. W przypadku determinacji poprzednika lub następnika jedyną poprawną metodą analizy matematycznej jest analiza wszystkich możliwych przeczeń p i q zgodnie z definicją operatora logicznego.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

4.1 Definicje znaczków =>, ~> i ~~>

Fundamentem operatorów implikacji i równoważności są zaledwie trzy znaczki => , ~> i ~~>

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
W mowie potocznej warunek wystarczający => to spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki.

Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q
W mowie potocznej, w implikacji, warunek konieczny ~> to spójnik „może” między p i q.
W równoważności <=> warunek konieczny ~> istnieje na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” z powodu tożsamości zbiorów p i q.

Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q
Zbiory:
p*q =1
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q

Matematyczny związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia działają wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q. Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego i prawa Sowy.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności:
W implikacji i równoważności zdanie zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q

Definicja warunku koniecznego ~> w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q

W świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q zachodzi:
Jeśli z prawej strony tożsamości udowodnimy warunek wystarczający =>, to tym samym udowodnimy warunek konieczny ~> z lewej strony (albo odwrotnie). Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej. Z praw Kubusia wynika, że całą logikę w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do dowodzenia banalnych warunków wystarczających.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

4.2 Implikacja prosta

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)

Symboliczna definicja implikacji prostej:

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Dodatek A
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Każda nowa idea potrzebuje jakiegoś spektakularnego zastosowania. Z algebrą Kubusia jest ten kłopot że nie jest w stanie nikogo zaskoczyć, bowiem algebrę Kubusia doskonale znają wszyscy ludzie na Ziemi od 5-cio latka po profesora. Myślę, że nowe definicje czworokątów w algebrze Kubusia w 100% jednoznaczne, oraz prawa matematyczne zachodzące pomiędzy tymi definicjami to piękny przykład realnego zastosowania algebry Kubusia, który mam nadzieję przekona wielu matematyków.

Dla zrozumienia artykułu konieczne jest zapoznanie się z algebrą Kubusia w pigułce, odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z zakresu logiki wykładanej w Ziemskich uczelniach oraz włączenie na czas czytania naturalnej logiki człowieka, algebry Kubusia, którą wszyscy doskonale znamy.

Aktualnie ludzkość zna wyłącznie logiki formalne z definicji totalnie sprzeczne z naturalną logiką człowieka.
Przykład:
Jeśli kura ma trąbę to świnie latają w kosmosie
Zdanie prawdziwe w logice formalnej zwanej Klasyczny Rachunek Zdań.

Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów
3.1 Grupa trapezów
3.2 Grupa równoległoboków
3.3 Grupa prostokątów
3.4 Grupa rombów

4.0 Grupa deltoidów
5.0 Twierdzenie prostokątów
6.0 Równoważnościowe definicje grup czworokątów

1.0 Notacja

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Komentarz:
Logika matematyczna naszego Wszechświata jest jedna. Nie może być tak że do obsługi matematycznej zbiorów w matematyce obowiązuje logika X, a poza matematyką zbiory obsługiwane są logiką Y.

Podejrzyjmy zatem jak zbiory obsługują eksperci algebry Kubusia, humaniści i 5-cio latki … bo nie ma nic prostszego pod słońcem.

Dziedzina: Zbiór zwierząt
Kryterium tworzenia zbiorów: Ilość nóg

Zwierzęta dzielimy na zwierzęta bez nóg (wąż..), z dwiema nogami (kura ..), z czterema nogami (pies, kot ..) i pozostałe (np. mrówka)

Zwierzęta z czterema łapami to:
pies, kot, słoń i pozostałe
Implikacja prosta:
Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S =>4L
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies ma cztery łapy
Każdy kot zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy kot ma cztery łapy

Prawo Kłapouchego:
W implikacjach bezczasowych implikacja prosta po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną (i odwrotnie).

Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem, kotem lub słoniem
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie ~> zbiór P+K+L
4L~>P+K+S

Zbiór psów, zbiór kotów i zbiór słoni to zbiory rozłączne.
Pies nie jest podzbiorem kota, ani odwrotnie.
Pies nie jest szczególnym przypadkiem kota ani odwrotnie.
Nie istnieje zwierzę pieso-kot, które by było jednocześnie psem i kotem.

Identycznie mamy w matematyce, co za chwilę zobaczymy.

2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów)
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe (grupa rombów)
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków)
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła)
PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów)

Grupa czworokątów:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.
CZ = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez + deltoid + pozostałe czworokąty
gdzie:
Pozostałe czworokąty to np. czworokąty o losowej długości boków

Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Kwadrat
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe
KW=KR*BR
W logice Ziemian mamy precyzyjnie zdefiniowany kwadrat którego nie sposób pomylić z innym czworokątem. Możemy go zatem łatwo użyć do utworzenia ścisłej definicji prostokąta i rombu.

Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR =KR*~BR

Romb
Romb to kwadrat o nie równych kątach
ROMB = ~KR*BR

Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych
RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi:
~KR=1 i ~BR=1

Deltoid
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR

3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów

Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.

Ziemska definicja równoległoboku to definicja GRUPY równoległoboków a nie konkretnego, tego jedynego w swoim rodzaju równoległoboku o definicji INNEJ niż pozostałych równoległoboków.

Powinno być!
GRUPA równoległoboków
Grupa równoległoboków to czworokąty w których przeciwległe boki są parami równe i równoległe.

Definicja GRUPY równoległoboków w równaniu algebry Boole’a:
GR = ROWNOLEGŁOBOK + kwadrat + prostokąt + romb
GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Definicja równoległoboku (tego jedynego o definicji INNEJ niż pozostałe czworokąty):
Równoległobok
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, nie mający kątów prostych i nie mający boków równych
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR

Oczywiście równanie algebry Boole’a opisujące grupę równoległoboków mamy prawo zminimalizować.

Zadanie na poziomie I klasy LO:
Zminimalizować funkcję logiczną opisującą grupę równoległoboków

GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Podstawmy:
r = PBPRiR
p=KR
q=BR
stąd nasze równanie przybiera postać:
GR = r*~p*~q + p*q +p*~q +~p*q
GR = r*~p*~q + p*(q+~q) + ~p*q
Zastosowane prawo algebry Boole’a: wyciągnięcie zmiennej przed nawias
GR = r*~p*~q + p + ~p*q
Użyte prawa:
q+~q=1
p*1=p
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników. Oczywiście możemy to prawo stosować lokalnie, co wyjaśni dalsze działanie Kubusia o bardzo małym rozumku.
W powyższym równaniu zajmiemy się na razie dwoma ostatnimi wyrażeniami.
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*(p+~q)]
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*p+~p*~q]
Prawo: mnożenie zmiennej przez wielomian
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*~q]
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
p+0=p
… a teraz to sobie ruszymy ten pierwszy człon.
~GR = [~r+p+q]*[~p*~q]
… i mnożymy zmienną ~p*~q przez wielomian.
~GR = ~r*~p*~q + p*~p*~q + q*~p*~q
~GR = ~r*~p*~q
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
0*p=0
0+x=x
Przechodzimy do logiki przeciwnej:
GR = r + p + q

Przywracając znaczenie zmiennych:
GR = PPBRiR + KR + BR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a?
GR = PBPRiR + KR + BR
Matematycznie to równanie oznacza:
GR=1 <=> PBPRiR=1 lub KR=1 lub BR=1
1.
Losujemy dowolny czworokąt: równoległobok
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
Stwierdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Dalszych zmiennych nie musimy sprawdzać!
Równoległobok (ten konkretny, jedyny w swoim rodzaju!) należy do grupy równoległoboków
2.
Losujemy: kwadrat lub prostokąt
Stwierdzamy:
KR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i prostokąt należy do grupy równoległoboków!
3.
Losujemy: romb lub kwadrat
Stwierdzamy:
BR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i romb należy do grupy równoległoboków!
4.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=1
Trapez należy do grupy równoległoboków?!
Czy trapez ma przeciwległe boki parami równe i równoległe?

W ostatnim przypadku od razu wyszła tragiczna definicja trapezu w logice Ziemian.
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Poprawna definicja trapezu rozumiana jako ten JEDYNY w swoim rodzaju czworokąt różny od innych czworokątów musi być taka.

Algebra Kubusia:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma DOKŁADNIE jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych

Dopiero przy tej definicji nasza matematyczna definicja grupy równoległoboków jest GENIALNA!

Powtórzmy punkt 4.
4A.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=0
Czyli:
Wszystkie boki równe = 0

Ziemska definicja trapezu tego nie wyklucza, czyli wedle Ziemian trapez może być:
kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem, trapezem

Ziemska definicja trapezu:

[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Jak widzimy, jak bumerang wraca tu koszmar ziemskich matematyków.

Trapez to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez

Czyli:
Trapez to trapez

Oczywiście chodzi tu o grupę trapezów!

Grupa trapezów to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez

Zapis grupy trapezów w równaniu algebry Boole’a:
GT = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez
czyli:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBRiNR*~KR*~BR

Do definicji trapezu z AK dokładamy człon: ~KR*~BR
oczywiście to jest człon nieszkodliwy bo dla trapezu zachodzi:
~KR=1
~BR=1
Wolno nam!
stąd końcowe równanie grupy trapezów jest takie:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + (PBPRiR + JPBRiNR)*~KR*~BR

Jest oczywistością że po minimalizacji równanie logiczne dla GRUPY trapezów przyjmie postać!
GT = PBPRiR + KR + BR + JPBRiNR
czyli:
GT = GRUPA równoległoboków + trapez (ten konkretny trapez= JPBRiNR!)

5.
Losujemy: równoległobok
Sprawdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Równoległobok należy do grupy trapezów!
6.
Losujemy: trapez
Sprawdzamy:
JPBRiNR=1
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Trapez (ten konkretny trapez!) należy do grupy trapezów!

Czyż algebra Kubusia nie jest genialna?

Oczywiście nie Kubuś jest jej autorem bo … algebra Kubusia działała już w chwili Wielkiego Wybuchu!

Twierdzenie:
Autorem żadnego z praw fizyczno- matematycznych nie jest człowiek, człowiek to tylko odkrywca.

Czy człowiek mógłby odkryć jakiekolwiek prawo fizyczno-matematyczne gdyby nie działało ono od zawsze?
… czyli od wystarczająco długiego okresu.

Czy możliwy byłby Internet bez praw fizycznych działających od zawsze?

3.1 Grupa trapezów

I.
Grupa trapezów:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Definicja grupy trapezów: JPBR
JPBR - jedna para boków równoległych
Grupa trapezów to:
GT = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące trapezami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest trapezem ( w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy trapez (ten konkretny: JPBR*~KR*~BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
itd.

Równanie logiczne dla grupy trapezów po minimalizacji przyjmuje postać:
GT = KR + BR + PBPRiR (równoległobok) + JPBR (trapez)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)
Trapez (grupa trapezów):
JPBR - przynajmniej jedna para boków równoległych (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez)

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy trapezów użyliśmy liczby pojedynczej (trapez) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę trapezów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji. Podobnie mamy z prostokątem, rombem i równoległobokiem.

Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Prostokąt jest trapezem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
2.
Trapez jest trapezem
Trapez (ten jednoznacznie zdefiniowany: JPBR*~KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
itd
Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych to wszystko jest w porządku.

Mamy tu przypadek identyczny jak w implikacji:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
To też jest powszechnie używany skrót myślowy który matematycznie oznacza:
B.
/\x P8(x)=>P2(x)
Dla dowolnej liczby naturalnej x, jeśli liczba x jest podzielna przez 8 to na pewno => liczba x jest podzielna przez 2
Matematycznie zdania A i B są tożsame.

3.2 Grupa równoległoboków

II.
Grupa równoległoboków:
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe
Definicja grupy równoległoboków: PBPRiR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Grupa równoległoboków to:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące równoległobokami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem ( w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten konkretny: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
itd

Równanie logiczne dla grupy równoległoboków po minimalizacji przyjmuje postać:
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)

Matematycznie zachodzi.
Implikacja prosta:
Jeśli czworokąt jest kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR) to na pewno => zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR => PBPRiR

Każdy kwadrat (KR*BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)

Implikacja odwrotna:
Jeśli czworokąt jest równoległobokiem (PBPRiR) może [~>] być kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR)

Oczywiście zbiory równoległoboków ściśle zdefiniowanych są rozłączne:
Kwadrat ## prostokąt ## romb ## równoległobok
KR*BR ## KR*~BR ## ~KR*BR ## PBPRiR*~KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykładowy dowód dla kwadratu i prostokąta:
Badamy czy istnieje część wspólna kwadratu (KR*BR) i prostokąta (KR*~BR)
Część wspólna = kwadrat * prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej kwadratu i prostokąta jest dowodem iż te czworokąty są rozłączne.
Identycznie dowodzimy rozłączność wszystkich pozostałych równoległoboków.

Wynika z tego że:
Zbiór kwadratów (KR*BR) jest rozłączny ze zbiorem prostokątów (KR*~BR)
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być prostokątem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem prostokąta (KR*~BR) i odwrotnie.
itd.

3.3 Grupa prostokątów

III.
Grupa prostokątów
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
Definicja alternatywna:
Prostokąt to czworokąt o wszystkich kątach równych
Cechy charakterystyczne:
Wszystkie kąty proste
Definicja grupy prostokątów:
GP=KR
Grupa prostokątów to:
GP = kwadrat + prostokąt
GP = KR*BR + KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące prostokątami (należące do grupy prostokątów).
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt to czworokąt o kątach równych i nie równych bokach
Prostokąt = KR*~BR

Równanie logiczne opisujące grupę prostokątów po minimalizacji to:
GP=KR
Dowód:
GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 = KR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy prostokątów użyliśmy liczby pojedynczej (prostokąt) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę prostokątów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.

Każdy kwadrat (KR*BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)
Każdy prostokąt (ten ściśle zdefiniowany: KR*~BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)

Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Każdy kwadrat jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
2.
Każdy prostokąt jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
3.
Dopuszczalne jest także stwierdzenie (choć to jest bardzo naciągane):
Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)

Nigdy nie może być!
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) jest podzbiorem prostokąta (tego jednoznacznie zdefiniowanego: KR*~BR)
bo to są zbiory rozłączne!
Dowód:
badamy czy istnieje część wspólna tych zbiorów:
Kwadrat* prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
bo prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej jest dowodem rozłączności ściśle zdefiniowanych czworokątów: kwadratu i prostokąta

Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych jak wyżej to wszystko jest w porządku.

3.4 Grupa rombów

IV.
Grupa rombów
Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe.
Cechy charakterystyczne:
Boki równe, przekątne przecinają się pod kątem prostym
Definicja grupy rombów:
GR=BR
Grupa rombów to:
GR = kwadrat, romb
GR = KR*BR + ~KR*BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty należące do grupy rombów.
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Romb to czworokąt o kątach nie równych i równych bokach
Romb = ~KR*BR

Równanie logiczne opisujące grupę rombów po minimalizacji to:
GR=BR
Dowód:
GR = kwadrat + romb = KR*BR + ~KR*BR = BR*(KR+~KR) = BR*1 = BR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy rombów użyliśmy liczby pojedynczej (romb) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę rombów (więcej niż jeden czworokąt), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.

Każdy kwadrat (KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)
Każdy romb (ten ściśle zdefiniowany: ~KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)

Oczywiście zbiory kwadratów (KR*BR) i rombów (~KR*BR) są rozłączne
czyli:
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być rombem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem rombu (~KR*BR).
Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) nie jest też szczególnym przypadkiem równoległoboku ściśle zdefiniowanego (PBPRiR*~KR*~BR)
gdzie:
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Dowód:
Badamy czy istnieje cześć wspólna:
ROMB*równoległobok = (~KR*BR)*(PBPRiR*~KR*~BR) = 0
bo prawo algebry Boole’a:
p*~p=0
0*x =0
cnd

Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) zawiera się w grupie równoległoboków o definicji.
Grupa równoległoboków:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
Po minimalizacji:
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)

Możemy zatem powiedzieć że:
Każdy romb (~KR*BR) zawiera się w grupie (zbiorze) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W skrócie:
Każdy romb (~KR*BR) jest równoległobokiem (o definicji: KR+BR+PBPRiR)

Zauważmy także że:
1.
Grupa rombów (o definicji: BR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy romb (BR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)
2.
Grupa prostokątów (o definicji: KR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy prostokąt (KR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)

4.0 Grupa deltoidów

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

W trzech postach wyżej zrobiłem podsumowanie całego tematu.
.. łącznie z algebrą Kubusia w pigułce.

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]