ŚFiNiA

konrado5

Słyszałem, że pojęcie "zbiór" jest niedefiniowalne. Czy nie jest dobrą definicją zbioru to, że "coś należy do zbioru" oznacza "coś jest danego rodzaju"? Można też wyjaśnić co to znaczy, że jakiś zbiór jest niezmienny. To oznacza, że nie ma takich rzeczy, które teraz są rzeczami danego rodzaju, a wcześniej nie były rzeczami danego rodzaju i nie ma takich rzeczy, które wcześniej były rzeczami danego rodzaju, a teraz nie są rzeczami danego rodzaju. Wynika z tego, że "zbiór" to tylko pewien skrót myślowy na wyrażenie pewnych zależności. Jednak moja definicja musiałaby oznaczać, że zbiór wszystkich zbiorów istnieje, a słyszałem, że nieistnienie zbioru wszystkich zbiorów jest ściśle udowodnione. A jednak każdy zbiór jest czymś rodzaju "zbiór", czyli należy do zbioru wszystkich zbiorów. A jeżeli pojęcie "zbiór" jest niedefiniowalne to czym się różni od przypadkowego ciągu liter "ssasas"? Tym, że wiemy do czego to pojęcie wykorzystujemy? Ale to tak jakby wykorzystywać "ssaasas".

malachi · Dołączył: 31 Mar 2008 Posty: 472 Przeczytał: 0 tematów

Zależy od definicji, można twierdzić, że najwłaściwsza jest definicja funkcjonalna. Czyli że istotą zbioru jest 'zbieranie'.

wujzboj

Pojęcie zbioru jest definiowane poprzez aksjomaty, jakie musi zbiór spełniać, żeby był zbiorem. Patrz na przykład aksjomaty najczęściej używanej teorii zbiorów, [link widoczny dla zalogowanych].

konrado5

Czyżby te aksjomaty zaprzeczały mojemu rozumieniu pojęcia "zbiór"? Bo skoro "należenie do zbioru" to "bycie rzeczą danego rodzaju", to zbiór wszystkich zbiorów istnieje, bo jest rzeczą rodzaju "zbiór".

Poza tym czy aksjomaty to nie są twierdzenia, które mają wartość logiczną? Czyli są kwestią umowy podobnie jak to, że komputerem nazywamy to urządzenie, a nie inne? Czy podana przeze mnie definicja zbioru czyni zbiór pojęciem mniej użytecznym niż ta aksjomatyczna?

wujzboj

Aksjomaty zazwyczaj uściślają rozumienie w taki sposób, żeby posuwać sprzeczności.

Eremita

konrado5

wujzboj

Tak, miałem na myśli "pousuwać" :oops:

.

Potoczne rozumienie zbioru (takie zrobione z codziennych przykładów, chociażby z przykładu "zbiór krzeseł w klasie") zgadza się z aksjomatami. Problemy zaczynają się, gdy potrzeba odnosić się do bardziej abstrakcyjnych konstrukcji. Na przykład, do konstrukcji w rodzaju "zbiory zawierające siebie" (przykładem takiej konstrukcji jest właśnie "zbiór wszystkich zbiorów"). Aby się do takich konstrukcji ustosunkować w niesprzeczny sposób, trzeba pojęcie zbioru uściślić aksjomatami. Zależnie od tego, jak się te aksjomaty wybierze, obiekt uzyskany przez "wzięcie do kupy" wszystkich zbiorów albo jest zbiorem, albo zbiorem nie jest.

konrado5

wujzboj

konrado5

Wydaje mi się, że można zbiór zdefiniować jako "cechę", a należenie do zbioru jako "posiadanie tej cechy". Przykładowo, gdy mówię o zbiorze krzeseł w klasie to mówimy o cesze "bycia krzesłem w klasie", a gdy mówię, że coś należy do zbioru krzeseł w klasie, to mam na myśli nic innego jak to, że to coś jest krzesłem w klasie, czyli posiada cechę bycia krzesłem w klasie. Ktoś może zapytać o to jak zdefiniuję "cechę". Otóż to pojęcie można zdefiniować jedynie ostensywnie tzn. przez odwołanie się do doświadczenia np. pokazując 2 różne przedmioty i mówiąc, że to co pozwala je odróżnić to cechy. Jednak aksjomaty teorii mnogości zdają się zaprzeczać tej definicji, bo z aksjomatów wynika, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje, a z mojej definicji wręcz przeciwnie. Zbiór wszystkich zbiorów musi istnieć, bo gdy mówimy, że coś jest zbiorem to mówimy o tym, że to coś posiada cechę bycia zbiorem, czyli według mojej definicji należy do zbioru wszystkich zbiorów. W mojej definicji paradoks Russerla jest sprowadzony do pseudoparadoksu. Załóżmy, że istnieje zbiór wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem. Powstaje pytanie: czy "zbiór wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem" jest elementem "zbioru wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem". Gdy odpowiedź brzmi "tak", to wtedy nie jest to zbiór tylko tych zbiorów, które nie są elementami samego siebie. Gdy odpowiedź brzmi "nie", to nie jest to znów zbiór wszystkich zbiorów, które nie są elementami samego siebie. Według mojej definicji "zbiór wszystkich zbiorów, których elementem nie jest on sam" to nic innego jak "cecha bycia cechą nie będącą cechą siebie samej". Co znaczy, że "zbiór wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem" jest elementem "zbioru wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem"? To znaczy nic innego jak to, że "cecha bycia cechą nie będącą cechą siebie samej" posiada cechę "bycia cechą nie będącą cechą siebie samej", czyli jednak nie jest "cechą bycia cechą nie będącą cechą siebie samej". A jeżeli powiemy, że "zbiór wszystkich zbiorów, których on sam nie jest elementem" jest elementem siebie samego, to nie mówimy o niczym innym jak o tym, że "cecha bycia cechą nie będącą cechą siebie samej" nie posiada "cechy bycia cechą nie będącą cechą siebie samej", czyli nie jest "cechą bycia cechą nie będącą cechą siebie samej". W związku z tym pytanie o to "czy zbiór wszystkich zbiorów nie będących elementami samego siebie" jest elementem samego siebie jest pozbawione sensu i dlatego to jest pseudoparadoks.

wujzboj

Jak rozumiem, zdefiniowałeś zbiór jako "klasę równoważności ze względu na cechę". Uzasadniasz następnie, że "należenie do zbioru" nie jest cechą. I rzeczywiście w tej sytuacji nie powinno być to cechą, bowiem w przeciwnym wypadku test przynależności do zbioru się nam zapętla: aby ustalić, czy coś należy do zbioru, trzeba ustalić, czy element posiada pewną cechę, ale aby ustalić, czy element ten posiada ową cechę, trzeba ustalić, czy element ten należy do zbioru. Na pierwszy rzut oka, rozwiązuje to problem.

Co jednak powiesz na cechę j(Y,X): "Jaś nazwał Y elementem zbioru X"? Jaś nazywa wedle swojego widzimisię, dzieli sobie na zbiory i elementy jak mu się podoba, rozpatrując przy tym wszystkie możliwe kombinacje. Zupełnie jak każdy z nas: tworzymy sobie bez trudu zbiory typu "ołówek, gumka, krokodyl, czerwone światło, dobry humor" lub "wszystko, co nie jest portfelem". Jaś nazywa zbiorem wszystko, co jest jakkolwiek poskładane do kupy, traktując zbiór naiwnie jako pojęcie podstawowe. Takie naiwne pojęcie zbioru definiuje zbiór przez cechę "podczepiono do tego symbol 'zbiór'" i wobec tego każda konstrukcja podpada pod tak rozumiany zbiór, bo w końcu symbol można sobie podczepiać dowolnie. Błędne koło jest w ten sposób usunięte. Co jednak z paradoksem Russella? Czy zniknie (bo korzystamy z cech), czy zostanie?

Spróbujmy skonstruować zbiór wszystkich zbiorów niezawierających samych siebie, korzystając z cechy j(Y,X) - czyli pytając Jasia.

Rzeczywiście, dla każdego konkretnego obiektu możemy sprawdzić, czy posiada on Jasiową cechę, czy nie; po prostu pytamy Jasia, czy konkretne Y należy do konkretnego X. Możemy więc pokusić się o skonstruowanie zbioru W zawierającego wszystkie takie obiekty, które same siebie nie zawierają - i tylko takie obiekty, żadnych innych. Innymi słowy, chcemy skonstruować taki zbiór W, aby każdy E należący do W miał cechę j(E,E) = FALSE (czyli cechę "Jaś nie nazywa E elementem E"). Zbiór W jest klasą równoważności ze względu na cechę j(E,E) = FALSE.

Nawiasem mówiąc, przykładem zbioru T posiadającego cechę j(T,T) = TRUE może być wszystko, co nie jest portfelem. Zbiór wszystkiego, co nie jest portfelem, niewątpliwie także nie jest portfelem, jest więc ten zbiór elementem samego siebie. Natomiast zbiór F wszystkich portfeli nie jest portfelem: j(F,F) = FALSE.

Aby skonstruować W, bierzemy jakiś obiekt Y i prosimy Jasia: wymień mi zbiory Xi, do których ten obiekt Y należy. Dla każdego Xi pytamy Jasia, czy Y = Xi. Jeśli dla każdego Xi Jaś zaprzeczy, jakoby Y = Xi, to dołączamy Y do naszego wielkiego zbioru W, mającego zawrzeć wszystkie elementy nie zawierające (Jasiowo) samych siebie. Operację tę powtarzamy dla wszystkich możliwych obiektów Y; kiedy skończymy przeglądać wszystko, co możliwe, będziemy mieli zbiór W jak na dłoni. Mówiąc krótko: każdy element E zbioru W posiada cechę j(E,E) = FALSE.

Jeśli W jest zbiorem, to rzecz jasna, dla każdego elementu E zachodzi także, że j(E,W) = TRUE . Jaś bowiem potwierdza, że E jest elementem W, bo przecież W jest zbiorem, do którego dodawaliśmy E, i Jaś doskonale o tym wie.

Sprawdźmy teraz, czy wyszło nam z sensem. Poprośmy więc Jasia, aby wymienił zbiory Zi, do których W należy. Dla każdego Zi pytamy, czy W = Zi.

Jeśli dla każdego Zi Jasio odpowie, że Zi jest różny od W, to nasz W sam siebie nie zawiera (Jaś nie nazwał tego zbioru swoim własnym elementem). Wobec tego zbiór W spełnia warunek "W jest elementem zbioru określonego cechą 'Jaś nie nazywa tego elementem zbioru W'": j(W,W) = FALSE. Oznacza to, że W trzeba dołączyć do zbioru W, bowiem W miał być zbiorem wszystkich takich elementów, których Jasio nie nazywa swoimi elementami: j(E,E) = FALSE. Jasio nie ma więc prawa tak odpowiedzieć, jeśli tylko ma odpowiadać uczciwie. Mówiąc krótko: istnieje takie E, dla którego j(E,W) = TRUE oraz j(E,E) = FALSE. Co, rzecz jasna, nie ma sensu, bowiem są to warunki sprzeczne: dla E=W, pierwszy z nich mówi, że j(W,W) = TRUE, a drugi, że j(W,W) = FALSE.

Jeśli zaś dla jednego Zi Jasio odpowie, że Zi = W, to nasz W sam siebie zawiera (Jaś nazwał ten zbiór swoim własnym elementem). Zgodnie z poprzednim akapitem, Jaś musi w pewnym momencie udzielić takiej odpowiedzi. Wobec tego zbiór W zawiera element W, który jest swoim własnym elementem. A to z kolei oznacza, że nasza konstrukcja się nie powiodła: W zawiera nie tylko takie elementy, dla których j(E,E) = FALSE, ale także i jeden element, dla którego j(E,E) = TRUE. A przecież do W mieliśmy dodawać tylko takie elementy, dla których j(E,E) = FALSE. Taka sytuacja jest wobec tego także niemożliwa, jeśli tylko Jasio odpowiadał uczciwie.

Samo operowanie cechami nie usuwa więc paradoksu Russella. Wynik naiwnego "zbierania do kupy" nie tylko definiuje cechę, ale i zachowuje paradoks Russella.

Paradoks ten jednak zniknie, jeśli na pytanie o cechę j(E,W), czyli na pytanie, czy E jest elementem zbioru W, Jasio odpowie, że W nie jest zbiorem i że wobec tego prosi, by mu nie zadawać głupich pytań. Obiekt W daje się więc co prawda skonstruować - bo podczas konstruowania W nie musimy wcale pytać, czy E jest elementem zbioru W, myśmy tylko naiwnie sobie wyobrazili, że odpowiedź Jasia na pytanie j(E,W) będzie twierdząca. Jednak W nie spełnia warunków czyniących go zbiorem. Nie spełnia aksjomatów bycia zbiorem. A jakie są to konkretnie aksjomaty, to już zależy od Jasia. W każdym razie Jasio z nich korzystał odpowiadając na zadawane mu pytania.

konrado5

wujzboj

konrado5

wujzboj

Chodzi o to, że obiekt W nie jest zbiorem, a nie o to, że jest pojęciem bezsensownym.

Jeśli zrobiliśmy zbiór krzeseł, to do zbioru tego należą tylko krzesła.

Klasa równoważności ze względu na cechę to wszystkie elementy posiadające daną cechę. Nazwa bierze się stąd, że jeśli interesuje nas jedynie ta cecha, to możemy uważać wszystkie te elementy za równoważne.

konrado5

wujzboj

Ależ pojęcie należenia W do siebie samego nie jest bezsensowne. Jest bezsensowne, jeśli W jest rozumiane jako "tradycyjny" zbiór.

Wydaje mi się, że definiując zbiór jako cechę, albo mocno zawężasz pojęcie zbioru, albo poszerzasz pojęcie cechy. Bo weź na przykład taką kolekcję: "krowa, niebo, liczby zespolone, dobry humor". Trudno znaleźć inną wspólną ich cechę poza tym, że wujowi przyszło do głowy, żeby zebrać je do kupy. Albo więc to nie jest zbiór (według twojej definicji), albo cechą tych elementów można nazwać to, że wuj zebrał je do kupy. Tyle, że jest to nowa cecha każdego z tych elementów... Zanim wuj zebrał je do kupy, to cechy tej nie miały. Powiedziałbym więc, że jest to raczej cecha zbioru (a nie elementów!): zbiór ten został zebrany przez wuja właśnie tak, bo wujowi odbiło tak, a nie inaczej.

Intuicyjnie rzecz biorąc, elementy można dołączać do zbioru i wyłączać ze zbioru, nie zmieniając przy tym samych elementów, lecz tylko zbiory. Pomysł z cechą może być tu więc kłopotliwy.

konrado5

wujzboj

Cecha bycia krzesłem nie jest krzesłem, ale cecha nie bycia krzesłem także nie jest krzesłem. Wobec tego zbiór zdefiniowany przez cechę nie bycia krzesłem zawiera siebie samego.

Jeśli zbiór definiujesz jako cechę, to co to jest cecha?

Ja powiedziałbym raczej, że cecha jest to symbol przypisany do zbioru.

konrado5

wujzboj

konrado5

wujzboj

konrado5