ŚFiNiA

wujzboj

Taki "wiadomy wynik" znaczy, Konrado, że są braki w definicji. Należy wobec tego dojść do przyczyny tej nieoznaczoności i tak uzupełnić definicję, żeby nie obejmowała ona tego, co na skutek tej przyczyny nie jest nieoznaczone.

Można na przykład powiedzieć, że cecha cechy nie jest cechą.

Pytasz, co sądzę o tej definicji. O której?

Eremita

Czy można wiedzieć co to jest cecha bycia cechą :think:

A jeśli nie jest cechą, to po kiego grzyba nazywać to cechą :shock:

może własność, czy jak ..

konrado5

wujzboj

Po prostu jeśli coś jest w pełni określone, to nie powinno być czasami nieokreślone

. A z praktycznego punktu widzenia: chcesz wprowadzić pojęcie matematyczne, musisz więc zabezpieczyć je przed dowolnościami nieokreślonościami, bo matematyka nie jest ani dowolna ani nieokreślona. Definicja powinna być taka, żeby nie można było - pozostając z nią w zgodzie - powiedzieć czegoś niezrozumiałego.

Jeśli "X jest cechą" oznacza, że "X posiada cechę bycia cechą", to mamy - przynajmniej na pierwszy rzut oka - problem z porządnym zdefiniowaniem zbioru jako cechy (bo w tej sytuacji trudno tak ograniczyć dziedzinę, na której zdefiniowana jest cecha, aby wyłączyć przypadek "cecha bycia cechą niebędącą swoją własną cechą"). Ale czy bycie cechą jest rzeczywiście POSIADANIEM cechy? Samoodniesienia można tutaj spokojnie obciąć, i w tej sytuacji "X jest cechą" NIE oznacza, że "X posiada cechę bycia cechą", co zgadza się z ograniczeniem mówiącym, że cecha cechy nie jest cechą.

Czy w twoim pytaniu chodzi ci o definicję "Zbiór jest tym, co umożliwia posługiwanie się symbolami", czy o definicję "Zbiór to symbole, którymi można się posługiwać"?

konrado5

Eremita

rafal3006

wujzboj

macjan

Wybaczcie, że się wtrącam, ale problem definicji zbioru, to chyba pytanie z gatunku "Co było pierwsze - jajko, czy kura?". Musimy w matematyce mieć jakieś pojęcia pierwotne, bo każda definicja korzysta z jakichś pojęć - musi więc istnieć choć jedno takie, które nie korzysta z żadnego - a więc definicji nie ma. Za pomocą zbioru da się zdefiniować wszystko, dlatego wygodnie jest właśnie zbiór przyjąć jako pojęcie pierwotne. Natomiast to, co tutaj próbujecie sformułować, to jest jakiś intuicyjny opis, a nie ścisła definicja - bo w momencie definiowania zbioru nie mamy jeszcze żadnych ścisłych pojęć, więc i ścisłej definicji nie da się skonstruować.

konrado5

wujzboj

W jakim celu? Chociażby po to, żeby (a) można było stosować teorię automatycznie, bez doszukiwania się ukrytych znaczeń, oraz (b) żeby można było się zorientować, skąd tak naprawdę wziął się paradoks (to pozwoli na przykład lepiej zrozumieć, na czym polega użyte tu pojęcie "cecha"). No i po to, żeby uzyskać coś na kształt zalążka teorii matematycznej. Teorie matematyczne tym różnią się od nie-matematycznych, że są zaksjomatyzowane.

"Cecha bycia krzesłem" nie jest tym samym, co "krzesło".

konrado5

wujzboj

Trzeba właśnie określić, w jakich warunkach określone jest posiadanie cechy, a w jakich - nie. Jeśli zrobisz to prawidłowo (tak, żeby na skutek tego paradoks zniknął), będziesz miał także od razu wyjaśnienie przyczyny paradoksu. Będziesz miał bowiem jasno wypisane warunki powodujące jego powstanie.

Przy definicji "Każdy zbiór jest w pełni określony przez bezpośrednie lub rekursywne wypisanie symboli, którymi można się posługiwać" paradoksu Russella chyba nie ma, bo sytuacja paradoksalna występuje dla symboli tak wypisanych, że posługiwać się nimi nie da. Problem polega raczej na tym, że ta definicja jest zbyt mało precyzyjna. Ale tak na oko to w tym kierunku idą niektóre z aksjomatycznych teorii mnogości. Zdaje się, że teoria zbiorów Quine'a ([link widoczny dla zalogowanych]) jest tego rodzaju; tyle, że Quine porządnie zdefiniował, co znaczy, że "można się posługiwać" ([link widoczny dla zalogowanych]). Ale nie dam głowy, bo specjalistą od teorii mnogości nie jestem.

konrado5

wujzboj

Odnoszę się do tego, że jeśli jakiś sposób wypisania symboli jest paradoksalny, to nie da się z niego korzystać. Tak na oko, każdy ze zbiorów w sensie Quine'a spełnia to kryterium; nie wiem jednak, czy jest odwrotnie (tj., czy każdy ze zbiorów w sensie zdefiniowanym powyżej spełnia kryterium Quine'a).

macjan

Czy dobrze rozumiem, że definicja, nad którą pracujecie, krąży wokół tego, by należeniem do zbioru nazwać posiadanie jakiejś cechy? Jeśli tak, to miałbym pytanie:

Jaką wspólną cechę posiadają elementy np. takiego zbioru: {∅, {∅}, {∅, {∅}}} (wg standardowej konstrukcji odpowiadającego liczbie naturalnej 3)
(∅ - zbiór pusty - dla tych, którym nie wyświetla znaczku)

Według mnie sprowadzanie zbioru do pojęcia "cechy", to rażące uproszczenie pojęcia zbioru.

Ponadto - spytałbym o definicję "cechy", ale skoro została już podana:

konrado5

macjan

konrado5

macjan

OK. Intuicja dobra, ale moim zdaniem ścisłej definicji chyba nie uda się z tego sformułować. Poza tym tutaj pojęciem pierwotnym jest "cecha" i w zasadzie wiele to nie zmienia (z punktu widzenia matematyki tylko niepotrzebnie komplikuje). Ale co kto lubi.

konrado5

wujzboj

konrado5

wujzboj

Problem z tą definicją polega na tym, że traktuje cechę jako obiekt sam w sobie. Tymczasem cecha jest związana z obiektami: cecha x() to takie odwzorowanie elementów zbioru X w wartości, które dzieli zbiór X na rozłączne podzbiory (warstwy), przy czym każdej warstwie jest przyporządkowana jedna z tych wartości. Cecha może być dobrze określona tylko na niektórych zbiorach.

W powyższym pojawiło się słowo "zbiór". Aby tego słowa uniknąć, można powiedzieć, że zbiór X jest tymi elementami, dla których zdefiniowana jest cecha x(). Czyli tymi elementami X_i, dla których wartość cechy x(X_i) jest określona. Cecha jest zaś odwzorowaniem przyporządkowującym elementowi wartość.

Innymi słowy, bierzemy odwzorowanie, wkładamy do niego elementy i wybieramy te elementy, dla których odwzorowanie daje dobrze określony wynik. Te elementy tworzą zbiór wyznaczony przez dane odwzorowanie.

Przy czym można teraz zapytać, co to jest odwzorowanie

. Odwzorowanie jest czymś, co elementowi przypisuje wartość. Jakąkolwiek, byle tylko jedną.