ŚFiNiA

konrado5

Czy Wuj Zbój mógłby zdefiniować pojęcie punktu (tego, który występuje w geometrii)? Słyszałem, że to pojęcie pierwotne (niedefiniowalne).

wujzboj

Ja zdefiniowałbym punkt, korzystając z intuicji pochodzących z geometrii analitycznej. W sumie sprowadzi się to do tego, że punkt jest elementem zbioru.

Zacznijmy od ogólnego pojęcia przestrzeni, czyli zbioru, w którym określone są pewne relacje i działania pomiędzy jego elementami. Potem przejdźmy z tego pojęcia krok po kroku do codziennego pojęcia przestrzeni i poszukajmy punktu. Na koniec powróćmy do ogólnego pojęcia przestrzeni i zobaczmy, jak będzie wyglądało uogólnienie punktu.

Zawężeniem ogólnego pojęcia przestrzeni (zbioru, w którym określone są pewne relacje i działania pomiędzy jego elementami) jest przestrzeń metryczna. W przestrzeni takiej określono odległość między dowolnymi dwoma jej elementami. Aby była to odległość, musi ona spełniać parę prostych aksjomatów, np. prawo trójkąta: odległość z A do B nie może być większa od sumy odległości z A do C i C do B.

Innym przydatnym dla nas zawężeniem pojęcia przestrzeni jest przestrzeń wektorowa. Mamy w niej zbiór obiektów nazywanych wektorami, dla których określono dwa działania - dodawanie wektorów i mnożenie wektorów przez skalary, czyli przez elementy pewnej innej struktury algebraicznej, zwanej "ciałem". Może to być np. ciało liczb rzeczywistych. (Ciało to struktura, w której dla dowolnej pary elementów da się wykonywać dodawanie, odejmowanie, i mnożenie elementów, oraz dzielenie elementów z wyjątkiem dzielenia przez element zerowy; jakieś działanie jest nazywane dodawaniem lub mnożeniem, jeśli spełnia pewne proste aksjomaty, zaś odejmowanie i dzielenie są zdefiniowane jako operacje odwrotne do dodawania i mnożenia). Operacje dodawania wektorów i mnożenie ich przez skalar muszą spełniać kilka prostych aksjomatów, np. przemienność dodawania czy rozdzielność mnożenia względem dodawania.

Przestrzeń wektorową możemy na przykład zbudować sobie, mając do dyspozycji przestrzeń metryczną. Zobaczmy, jak to działa, przyglądając się przestrzeni rozumianej potocznie. Przy okazji zobaczymy, gdzie kryją się punkty.

W przestrzeni rozumianej potocznie wiemy, jak zmierzyć odległość pomiędzy dowolnymi miejscami; odpowiednikiem przestrzeni metrycznej będzie zbiór miejsc z określonymi odległościami pomiędzy nimi. Wiemy też, co znaczy w niej kierunek; odpowiednikiem przestrzeni wektorowej będzie zbiór odcinków łączących miejsca, posiadających kierunek w przestrzeni i takich, że można je przesuwać równolegle, wydłużać i skracać, oraz dodawać i odejmować.

Każde miejsce w naszej przestrzeni da się opisać poprzez wskazanie:

- jakiegoś umownego miejsca początkowego, np. lewy dolny róg twojego ekranu);

- trzech umownych kierunków, np. (1) wzdłuż listwy podłogowej przy ścianie z drzwiami na korytarz, (2) wzdłuż listwy podłogowej przy ścianie nierównoległej do tej ściany, oraz (3) wzdłuż linii biegnącej w kącie między ścianami od podłogi do sufitu;

- trzech liczb odpowiadającym długościom trzech odcinków najkrótszej drogi, jaka łączy opisywane miejsce z tym umownym miejscem początkowym i biegnie najpierw po linii prostej wzdłuż jednego kierunku umownego (to pierwszy odcinek i pierwsza liczba), potem po linii prostej wzdłuż drugiego kierunku, a na koniec wzdłuż trzeciego kierunku.

Te trójki liczb (trójki odległości) zachowują się jak wektory przestrzeni wektorowej.

Teraz chcielibyśmy zapewne wyobrażać sobie, że oba miejsca (to opisywane i to umowne, początkowe) mają być w punktami. Nie bardzo jednak wiemy, jak wysłowić ideę punktu, bo przecież każde miejsce ma swoje rozmiary, natomiast punkt powinien rozmiarów nie posiadać.

Zauważmy więc, że jeśli miejsce ma być czymś dobrze określonym, to odległość od miejsca do niego samego musi wynosić zero. Miejscu początkowemu odpowiada więc wektor - trójka liczb (0,0,0). Miejscu końcowemu odpowiada, jak już wspomnieliśmy, trójka odległości od miejsca początkowego. Innymi słowy: PUNKTOWI odpowiada w naszym obrazie TRÓJKA LICZB. W zależności od tego, jakimi własnościami tej trójki się zajmujemy, otrzymujemy w ten sposób przestrzeń metryczną, przestrzeń wektorową ("wektory swobodne", które nie są nigdzie zaczepione na stałe), albo obiekty bardziej skomplikowane, jak przestrzeń w której określona jest względna lokalizacja wszystkich obiektów, jakie tę przestrzeń tworzą. PUNKTOWI odpowiada zaś po prostu OBIEKT takiej przestrzeni. Czyli - najogólniej - element zbioru.

Naturalnie, nie każdy element zbioru chciałoby się nazwać punktem. Na przykład, nazwa "wektor" raczej kłóci się z nazwą "punkt", lepiej więc wektorów punktami nie nazywać

. Innymi słowy, jeśli nadana przez nas struktura zbioru powoduje, że poszczególne elementy wyobrażamy sobie zbytnio przestrzennie, wtedy lepiej nie nazywać tych elementów punktami. Ale - pamiętając o tym czysto językowym ograniczeniu - w ogólności jako punkt możemy rozumieć obiekt, który bez utraty istotnej informacji da się opisać poprzez konkretne wartości parametrów. Nie poprzez parametry przyjmujące wartości "od-do", lecz poprzez konkretne liczby. Tak właśnie, jak konkretny element zbioru.

Wróćmy teraz jeszcze na koniec na moment do naszej analogii z geometrią. Otóż jeśli wszystkie POZA JEDNYM parametry danego elementu przyjmują konkretne wartości, zaś ten jeden parametr może przyjmować dowolne wartości, jakie w danym zbiorze wolno mu przyjmować, wtedy powinniśmy mówić o linii! Innymi słowy: linia jest jednowymiarowa (jeden parametr jest swobodny, może przyjmować dowolną wartość), a punkt jest zerowymiarowy (nie ma parametrów swobodnych). Idąc dalej: jeśli dwa parametry mogą przyjmować dowolne wartości, to mamy uogólnienie płaszczyzny, a jeśli trzy - uogólnienie przestrzeni trójwymiarowej.

krowa

(wykasowano)

wujzboj

A czy punkt jest tylko jeden? Bo "obiekt najmniejszy z możliwych" to raczej coś pojedynczego. Może raczej powiedzieć, że obiektem punktowym nazywamy obiekt o najmniejszych możliwych rozmiarach?

Ale obiektem punktowym nazywa się raczej obiekt o rozmiarach zerowych, a nie o rozmiarach najmniejszych z możliwych. Chyba, że zero nazwać najmniejszą możliwą nieujemną liczbą.

Jeśli zaś o najmniejszej własności mowa, to nie bardzo wiem, co masz na myśli. W jaki sposób mierzysz i porównujesz rozmiary własności?

krowa

(wykasowano)

wujzboj

Jaką?

krowa

(wykasowano)

rafal3006

To była moja propozycja:
punkt = NIC

Ogólna teoria NICZEGO:
[link widoczny dla zalogowanych]

Mimoza

Nie zgadzam sie z ustaleniem, ze punkt =nic.

Punkt jest elementem przestrzeni geometrycznej. Te definicje mozna rozwinac: Punkt jest bezwymiarowym elementem niepodzielnym w przestrzeni geometrycznej.