ŚFiNiA

rafal3006

Bramy Raju
Algebra Kubusia w praktyce

To jest algebra Kubusia na poziomie gimnazjum.
Mam nadzieję, że już niedługo zagości tu na dobre.
Kubuś

Spis treści
1.0 Definicje spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~> 1
1.1 Definicje operatorów logicznych 3
2.0 Rozróżnianie operatorów implikacyjnych 4
2.1 Implikacja prosta 4
2.2 Implikacja odwrotna p|~>q 5
2.3 Równoważność p<=>q 6
2.4 Operator chaosu p|~~>q 6
3.0 Operatory implikacyjne w zbiorach 7
3.1 Operator implikacji prostej p|=>q 7
3.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 11
3.3 Operator równoważności p<=>q 15
3.4 Operator chaosu p|~~>q 20
4.0 Operatory implikacyjne w praktyce 21
4.1 Operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 21
4.2 Operator równoważności p<=>q 25
4.3 Obietnice i groźby 27
4.3.1 Klasyka obietnicy 27
4.3.2 Klasyka groźby 28
4.3.3 Obietnica w równaniach logicznych 29
4.3.4 Groźba w równaniach logicznych 31

1.0 Definicje spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~>

Definicja podzbioru:
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
Przykład:
P8=>P2
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]

Definicja nadzbioru ~>:
p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Przykład:
P2~>P8
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja zdania warunkowego "Jeśli p to q":
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q

Fundament algebry Kubusia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do tej samej dziedziny

Podstawowe definicje algebry Kubusia:

Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące na wspólnej dziedzinie.

1.
Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
p~~>q =p*q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe ~~> jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Definicja kwantyfikatora małego spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem P3=[3,6,9..24..]

2.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q
Zbiory:
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia i zbiory:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]

3.
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q
Zbiory:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zdarzenia i zbiory:
Zabieram wszystkie p i musi zniknąć q

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Na mocy definicji zachodzi:
p~~>q ## p~>q ## p=>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

1.1 Definicje operatorów logicznych

1.
Definicja implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>:
1A: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p =1
1B: p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p =0
1C: p~~>q =1

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Definicja tożsama implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach implikacyjnych ~>, => i ~~>:
2A: p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p =1
2B: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p =0
2C: p~~>q =1

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]

Definicja tożsama implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem => zbioru q i nie podzbiorem => zbioru q
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

3.
Definicja równoważności p<=>q

Definicja równoważności p<=>q w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>:
3A: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p =1
3B: p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p =1
3C: p~~>q =1

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]

Definicja tożsama równoważności p<=>q:
Zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => zbioru q i nadzbiorem ~> zbioru q
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Podstawiając 3A i 3B uzyskamy 16 tożsamych definicji równoważności.
Oto one:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) = (p=>q)*(~q~>~p)
p<=>q = (~p~>~q)*(p~>q) = (~p~>~q)*(~p=>~q) = (~p~>~q)*(q=>p) = (~p~>~q)*(~q~>~p)
p<=>q = (q~>p)*(p~>q) = (q~>p)*(~p=>~q) = (q~>p)*(q=>p) = (q~>p)*(~q~>~p)
p<=>q = (~q=>~p)*(p~>q) = (~q=>~p)*(~p=>~q) = (~q=>~p)*(q=>p) = (~q=>~p)*(~q~>~p)

4.
Definicja operatora chaosu p|~~>q (zdanie zawsze prawdziwe)

Definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>:
4A: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p =0
4B: p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p =0
4C: p~~>q =1

Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p) =1*~(0)*~(0) = 1*1*1=1

Na mocy definicji zachodzi:
p|=>q ## p|~>q ## p<=>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

2.0 Rozróżnianie operatorów implikacyjnych

2.1 Implikacja prosta

Dane jest zdanie prawdziwe pod kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~> prawdziwe bo istnieje co najmniej jeden wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..]
Zbadaj w skład jakiego operatora wchodzi to zdanie nie zmieniając położenia p i q.
Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q nie jest przemienna, natomiast kwantyfikator mały ~~> jest przemienny stąd powyższe zastrzeżenie.

Rozwiązanie:
B.
Badamy warunek wystarczający P8=>P2:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
C.
Badamy warunek konieczny P8~>P2:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]

Wniosek:
Zdania prawdziwe A i B wchodzą w skład definicji implikacji prostej P8|=>P2
Matematycznie zachodzi:
P8|=>P2=1
Wykluczone jest aby zdania A i B wchodziły w skład jakiegokolwiek innego operatora logicznego, stąd:
P8|~>P2 =0
P8<=>P2 =0
P8|~~>P2 =0

2.2 Implikacja odwrotna p|~>q

Dane jest zdanie prawdziwe pod kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1 bo 8
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~> prawdziwe bo istnieje co najmniej jeden wspólny element zbiorów P8=P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..]
Zbadaj w skład jakiego operatora wchodzi to zdanie nie zmieniając położenia p i q.
Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q nie jest przemienna, natomiast kwantyfikator mały ~~> jest przemienny stąd powyższe zastrzeżenie.

Rozwiązanie:
B.
Badamy warunek wystarczający P2=>P8:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
C.
Badamy warunek konieczny P2~>P8:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Warunek konieczny ~> jest spełniony bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Wniosek:
Zdania prawdziwe A i C wchodzą w skład definicji implikacji odwrotnej P2|~>P8
Matematycznie zachodzi:
P2|~>P8 =1
Wykluczone jest aby zdania A i C wchodziły w skład jakiegokolwiek innego operatora logicznego, stąd:
P2|=>P8 =0
P2<=>P8 =0
P2|~~>P8=0

2.3 Równoważność p<=>q

Dane jest zdanie prawdziwe pod kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK = TP*SK =1
Dal prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden taki trójkąt np. [3,4,5].
Zbadaj w skład jakiego operatora wchodzi to zdanie nie zmieniając położenia p i q.
Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q nie jest przemienna, natomiast kwantyfikator mały ~~> jest przemienny stąd powyższe zastrzeżenie.

Rozwiązanie:
B.
Badamy warunek wystarczający TP=>SK:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam dowolny trójkąt prostokątny (TP=1) i musi w nim zachodzić suma kwadratów (SK=1)
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK wymuszającej tożsamość zbiorów ~TP=~SK
C.
Badamy warunek konieczny TP~>SK:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram zbiór TP i znika mi zbiór SK.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK wymuszającej tożsamość zbiorów ~TP=~SK

Wniosek:
Zdania prawdziwe A, B i C wchodzą w skład definicji równoważności TP<=>SK:
Matematycznie zachodzi:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP~>SK) = 1*1 =1
Wykluczone jest aby zdania A, B i C wchodziły w skład jakiegokolwiek innego operatora logicznego, stąd:
TP|=>SK =0
TP|~>SK =0
TP|~~>SK=0

2.4 Operator chaosu p|~~>q

Dane jest zdanie prawdziwe pod kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~> prawdziwe bo istnieje co najmniej jeden wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..]
Zbadaj w skład jakiego operatora wchodzi to zdanie nie zmieniając położenia p i q.
Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q nie jest przemienna, natomiast kwantyfikator mały ~~> jest przemienny stąd powyższe zastrzeżenie.

Rozwiązanie:
B.
Badamy warunek wystarczający P8=>P3:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest nie podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
C.
Badamy warunek konieczny P8~>P3:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]

Wniosek:
Zdanie prawdziwe A wchodzi w skład definicji operatora chaosu P8|~~>P3:
Matematycznie zachodzi:
P8|~~>P3 =1
Wykluczone jest aby zdanie A wchodziło w skład jakiegokolwiek innego operatora logicznego, stąd:
P8|=>P3 =0
P8|~>P3 =0
P8<=>P3 =0

3.0 Operatory implikacyjne w zbiorach

3.1 Operator implikacji prostej p|=>q

Definicja operatora implikacji prostej |=>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Diagram implikacji prostej |=> w zbiorach:

Definicję symboliczną operatora implikacji prostej odczytujemy z diagramu:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p jest podzbiorem zbioru q
p=>q = [p*q=p] =1
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~p i q
Warunek konieczny ~p~>q tu nie zachodzi bo prawo Kubusia:
~p~>q = p=>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: p=>q nazywamy zdanie B: p~~>~q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
A: p=>q
B: p~~>~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B: p~~>~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A: p=>q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu B: p~~>~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: p=>q =0 (i odwrotnie)

Zauważmy, że w implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>:
A.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Natomiast po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q (zdanie C) lub może ~~> zajść q (zdanie D)

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = P*CH =1
W zapisie formalnym:
p=>q = p*q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)=>(q=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam padanie i na pewno pojawią się chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
co matematycznie oznacza:
(p=1) ~~> (~q=1) =0
… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH = ~P*~CH =1
W zapisie formalnym:
~p~>~q = ~p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~>(~q=1) =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak są opady to na pewno => są chmury
Zauważmy że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) =1
Warunek konieczny ~> nie jest tu spełniony bo prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH = P*~CH =0
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Logika matematyczna człowieka ma tą piękną cechę, że przekłada się w stosunku 1:1 na zapisy formalne (zwyczajowo p, q i Y) niezależne od konkretnego zdania.
Dla naszego przykładu wystarczy podstawić:
p=P
q=CH
i lądujemy w zapisach formalnych.

Kodowanie zero-jedynkowe analizy symbolicznej implikacji prostej p|=>q:

rafal3006