ŚFiNiA

rafal3006

Błędy współczesnej matematyki

Autor: Kubuś, wirtualny Internetowy Miś

Kim jest Kubuś ?
Kubuś to Miś kosmita, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji. W mniemaniu Kubusia zadanie zostało wykonane, ale wcale nie jest pewne czy ludzie to załapią …. cóż, będzie co ma być, niebo albo piekło.

cytaty głównie z:
[link widoczny dla zalogowanych]

Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Nowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~>

2.0 Geneza klęski dzisiejszej logiki w obszarze implikacji
2.1 Kwantyfikatory w implikacji są nieporozumieniem

3.0 Fundamentalny błąd współczesnej matematyki
4.0 Artykuł refleksyjny z dyskusji na matematyce.pl
5.0 Równoważność nie jest iloczynem dwóch implikacji
6.0 Co wiedzą uczniowie o implikacji …
7.0 Kiedy jeden matematyk nie rozumie co pisze drugi matematyk …

Wstęp.
Logika to jeden z działów matematyki. Błędy w logice odbijają się mniejszym lub większym echem we wszystkich działach matematyki bo nie ma matematyki bez logiki. Algebra Kubusia, czyli symboliczna algebra Boole’a, wraz z nowymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>, stawia całą logikę na nogi. Kubuś jest pewien, że po przyjęciu nowych definicji znikną wszelkie paradoksy generowane przez definicje implikacji materialnej, logicznej, ścisłej etc.

1.0 Notacja

~ - przeczenie NIE (NOT)
* - operator logiczny AND, spójnik „i”
+ - operator logiczny OR, spójnik „lub”
=> - operator implikacji prostej
~> - operator implikacji odwrotnej

1.1 Nowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~>

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Warunki wystarczający w implikacji prostej => i konieczny w implikacji odwrotnej ~> wynikają bezpośrednio z dziewiczych definicji zero-jedynkowych tych implikacji.

Spójniki zdaniowe:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Najważniejsze prawa algebry Kubusia.
Prawa Kubusia - fundament logiki człowieka:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na =>
Prawami Kubusia każdy człowiek posługuje się milion razy na dobę.

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Dotychczas rozpoznane błędy matematyczne to:
1.
Brak poprawnych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz praw Kubusia

2.
W implikacji na mocy definicji iloczynu logicznego i pojęcie funkcji nie zachodzi przemienność argumentów, co przenosi się na brak przemienności argumentów w implikacyjnej sumy logicznej wynikającej z definicji.
Implikacja - brak przemienności argumentów:
p=>q = ~p+q # q+~p = q~>p
p~>q = p+~q # ~q+p = q=>p
Czyli:
p=>q # q~>p
p~>q # q=>p
Równoważność - jest przemienność argumentów:
p=>q = ~p+q = q+~p = q~>p
p~>q = p+~q = ~q+p = q=>p
czyli:
p=>p = q~>p
p~>q = q=>p

3.
Matematycy błędnie sądzą, iż większość twierdzeń matematycznych to implikacje, podczas gdy w rzeczywistości zdecydowana większość to równoważności. Błąd jest kosmetyczny bo nie da się zrobić implikacji z równoważności poprzez użycie spójnika „Jeśli…to…”, to fizycznie niemożliwe, ale to jest błąd czysto matematyczny.

4.
Definicje równoważności:
A.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
B.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W obu definicjach równoważności po prawej stronie mamy do czynienie z warunkami wystarczającymi między p=>q i q=>p albo p=>q i ~p=>~q, to nie są implikacje.
To też jest błąd czysto kosmetyczny, ale jednak błąd matematyczny z powodu jak wyżej.

5.
Prawa Kubusia są prawdziwe w implikacji i fałszywe w równoważności
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - zamiana implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

6.
Istnieją dwa rodzaje implikacji, natomiast współczesna matematyka zna jeden rodzaj.

Istnieją dwa rodzaje implikacji, implikacja z gwarancją (prawa Kubusia) i implikacja bez gwarancji (prawa kontrapozycji). Wyprzedzimy trochę czas, nie należy się przejmować jeśli poniższe definicje i prawa nie będą zrozumiałe. Można spokojnie przejść do następnego punktu.

Definicja:
Implikacja z gwarancją, to implikacja w której występuje tożsamość gwarancji i nie występuje tożsamość operatorów (w prawach Kubusia).

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>

W prawach Kubusia po obu stronach zachowana jest tożsamość gwarancji, oczywisty brak tożsamości operatorów widać doskonale.

Definicja:
Implikacja bez gwarancji to implikacja, w której występuje tożsamość operatorów bez zachowania tożsamości gwarancji (w prawach kontrapozycji).

Prawo Kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
p~>q = ~q~>~p

W prawach kontrapozycji zachowana jest tożsamość operatorów co widać wyżej, ale nie jest zachowana tożsamość gwarancji o czym dowiemy się … w swoim czasie.

2.0 Geneza klęski dzisiejszej logiki w obszarze implikacji

Weźmy teraz najsłynniejszą tabelkę zero-jedynkową dzisiejszej logiki, przyczynę jej klęski w poszukiwaniu implikacji, którą posługuje się człowiek.

rafal3006

Rezerwa