ŚFiNiA

rafal3006

2013-09-16
Algebra Kubusia pisana na żywo i od początku jest w tym linku:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-start-od-nowa-2013-11-04,6924.html#201652

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Kopernik - zatrzymał słońce, ruszył Ziemię
Kubuś - zatrzymał cyfry, ruszył symbole

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych], [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych]. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita, Yorgina i Pana Baryckiego.

Wstęp.

Algebra Kubusia to matematyka pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy, człowiek nie jest tu wyjątkiem. Fundamentem algebry Kubusia jest nowa teoria zbiorów. Z punktu widzenia dwuargumentowych operatorów logicznych teoria zbiorów to zaledwie dwa zbiory p i q we wszystkich możliwych wzajemnych położeniach z których wynikają zero-jedynkowe definicje znanych człowiekowi operatorów logicznych.

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

W świecie techniki inżynierowie przyjmują za aksjomat zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa logiczne.
Takie podejście jest poprawne jeśli interesuje nas fizyczne zbudowanie komputera (hardware), jednak sprzęt bez oprogramowania (software) to tylko bezużyteczna kupa złomu. Software (naturalna logika człowieka) to zupełnie co innego niż hardware, mimo że w obu przypadkach fundamentem jest ta sama, symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia).

Jest oczywistym, że jeśli istnieje matematyka pod którą podlega człowiek, to musi być ona absolutnie banalna, na poziomie 5-cio latka. Ta maksyma przyświecała Kubusiowi od samego początku walki o rozszyfrowanie matematycznych podstaw naturalnej logiki człowieka.

W nowej teorii zbiorów znaczenie zer i jedynek wewnątrz operatorów logicznych jest inne niż w aktualnej logice matematycznej Ziemian zwanej Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ). Żadne pojęcie i żadna definicja z KRZ nie pasuje do algebry Kubusia, wszystko mamy totalnie inne. Z tego powodu praktycznie niemożliwa jest dyskusja na rzeczowe argumenty. Warunkiem koniecznym zrozumienia nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia jest odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z logiki matematycznej uczonej w ziemskich szkołach i zaczęcie wszystkiego od zera.

Spis treści:

Część I
Fundamenty matematyczne

1.0 Notacja
1.1 Trzęsienie ziemi w logice

2.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia
2.1 Pełna lista operatorów dwuargumentowych w algebrze Boole’a
2.2 Rachunek zero-jedynkowy
2.3 Prawa De Morgana

3.0 Najważniejsze prawa rachunku zero-jedynkowego
3.1 Prawa Prosiaczka
3.2 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych
3.3 Tworzenie równań logicznych w logice zero
3.4 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) w logice zero

4.0 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
4.1 O Kubusiu który zatrzymał cyfry i ruszył symbole
4.2 Twierdzenie Kłapouchego
4.3 Twierdzenie Śfini

5.0 Pozostałe operatory logiczne wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
5.1 Operator równoważności wyrażony spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
5.2 Operator XOR wyrażony spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
5.3 Operator implikacji prostej wyrażony spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
5.4 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
5.5 Operatory jednoargumentowe w tabeli operatorów dwuargumentowych

Część II
Nowa teoria zbiorów

6.0 Nowa teoria zbiorów
6.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów
6.2 Podstawowe operacje na zbiorach
6.3 Prawo podwójnego przeczenia
6.4 Zdanie w algebrze Kubusia
6.5 Czym różni się zdanie twierdzące od zdania warunkowego?
6.6 Definicje operatorów logicznych w zbiorach

7.0 Operatory jednoargumentowe
7.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego
7.2 Operator transmisji w zbiorach
7.3 Operator negacji w zbiorach
7.4 Prawa Prosiaczka w zbiorach
7.5 Czym różni się tożsamość od równoważności?

8.0 Operatory OR i AND w zbiorach
8.1 Równania logiczne opisujące operator OR
8.2 Równania logiczne opisujące operator AND
8.3 Prawa przejścia do logiki przeciwnej
8.4 Operatory OR i AND w praktyce
8.5 Definicja operatora OR w zbiorach
8.6 Operator AND w zbiorach
8.7 Funkcja logiczna n-argumentowa w zbiorach

9.0 Operatory implikacji i równoważności w zbiorach
9.1 Operator chaosu w zbiorach
9.2 Implikacja prosta w zbiorach
9.3 Implikacja odwrotna w zbiorach
9.4 Równoważność w zbiorach
9.5 Alternatywne definicje implikacji i równoważności
9.6 Budowa tabeli prawdy w algebrze Kubusia
9.7 Implikacja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
9.8 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ
9.9 Obalenie prawa eliminacji implikacji w logice Ziemian
9.10 Zdanie zawsze prawdziwe w algebrze Kubusia, właściwości zbioru pustego
9.11 Równania Fiklita
9.12 Obietnice i groźby
9.13 Prawa przejścia z implikacji prostej do implikacji odwrotnej (i odwrotnie)
9.14 Prawo Sowy
9.15 Matematyczna historia powstania Wszechświata

10.0 Pozostałe operatory logiczne w zbiorach
10.1 Operator XOR w zbiorach
10.2 Nietypowa równoważność
10.3 Nietypowa implikacja prosta
10.4 Samodzielny warunek wystarczający
10.5 Pseudo-operator Słonia
10.6 Definicje operatorów w bramkach logicznych

Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

11.0 Obietnice i groźby
11.1 Definicje obietnicy i groźby
11.2 Obietnica
11.3 Groźba
11.4 Obietnica w równaniach logicznych
11.5 Groźba w równaniach logicznych
11.6 Analiza złożonej obietnicy
11.7 Analiza złożonej groźby
11.8 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
11.9 Rodzaje obietnic

12.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
12.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
12.2 Złożona implikacja prosta
12.3 Złożona implikacja odwrotna

1.0 Notacja

Znaczenie 0 i 1 w matematycznych fundamentach algebry Kubusia:
1 - prawda
0 - fałsz

Zera i jedynki w nowej teorii zbiorów (NTZ) oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

~ - symbol negacji

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

= - tożsamość
Zbiory:
p=q - zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q
Prawami tożsamościowymi w logice matematycznej są prawa De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Y = p*q = ~(~p+~q)
Zbiory p+q i ~(~p*~q) to zbiory tożsame.
Zbiory p*q i ~(~p+q) to również zbiory tożsame.

Każda tożsamość to automatycznie równoważność.
Prawa De Morgana możemy zatem zapisać w formie równoważności:
p+q <=> ~(~p*~q)
p*q <=> ~(~p+~q)

# - różne
Zbiory:
p#q - zbiór p jest różny od zbioru q (zbiory rozłączne)

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p+q # ~Y=~p*~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
A: Y=p*q
B: ~Y=~p+~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

## - różne na mocy definicji
Operator OR ## Operator AND
Y = p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład:
Y = p+q - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*~q - logika ujemna bo ~Y
Zastosowanie:
Jeśli wiem kiedy dotrzymam słowa (Y=1) to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiem kiedy skłamię (~Y=1) i odwrotnie.
Mamy tu wynikanie w dwie strony, zatem zachodzi równoważność:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Spełniona jest tu definicja dziedziny:
Y+~Y =1 - zdarzenie (zbiór) ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zdarzenia Y
Y*~Y=0 - zdarzenia Y i ~Y są rozłączne
Tej równoważności nie możemy zapisać w postaci tożsamości.
Tożsamość wynika tu z prawa podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Y = Y
Oczywiście każda tożsamość to automatycznie równoważność:
Y<=>Y

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja znaczka => (warunek wystarczający, gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami

Na mocy definicji zachodzi:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
W równoważności musi zachodzić definicja dziedziny:
p+~p =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Uwaga:
Zbiory p i ~p musza być niepuste
Dowód:
Jest fizycznie niemożliwe abyśmy znając definicję p nie wiedzieli co to jest ~p
Przykład:
p = pies
~p = ~[pies] = [słoń, kura, wąż ..]

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

1.1 Trzęsienie ziemi w logice

Każda rewolucja powinna zaczynać się od trzęsienia ziemi, czyli zniszczenia starego porządku, by na gruzach budować nowe.

Dowód wewnętrznej sprzeczności systemu logicznego zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań.

Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q:
p=>q
Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Stąd:
W przełożeniu na teorię zbiorów mamy:
p=>q = p*q =p
Wtedy i tylko wtedy zdanie p=>q jest prawdziwe.
Doskonale widać że zbiór ~p nie ma nic do prawdziwości zdania p=>q.

Dowód:
Zdanie p=>q wyrażone kwantyfikatorem dużym przybiera postać:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli należy on do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x).

Aby obalić to twierdzenie musimy znaleźć kontrprzykład.
Kontrprzykład to znalezienie jednego elementu należącego do zbioru p(x) i nie należącego do zbioru q(x).
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
p~~>~q =p*~q =1
gdzie:
~~> - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i ~q
Oczywiście to jest sprzeczne z definicją zdania p=>q wyrażonego kwantyfikatorem dużym, zatem nie mamy żadnych szans na znalezienie kontrprzykładu.
cnd

Powyższy dowód jest poprawny zarówno w KRZ jak i AK, bowiem zachodzi tożsamość matematyczna kwantyfikatorów dużych w obu tych systemach co za chwilę udowodnimy.

Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ:
Załóżmy, że zbiór p jest zbiorem pustym:
p=[]
Na podstawie twierdzenia o prawdziwości zdania p=>q mamy:
p=>q = p*q = []*q = []
Zauważmy, że w tym przypadku następnik jest kompletnie bez znaczenia. Takie zdanie jest fałszywe bo wynik iloczynu logicznego poprzednika i następnika w zbiorach jest zbiorem pustym, czyli całe zdanie jest fałszywe.

Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q jest dowodem wewnętrznej sprzeczności całego KRZ. Zauważmy bowiem, że jeśli w poprzedniku mamy zbiór pusty (p=[]) to zdanie p=>q jest fałszywe bez względu na zawartość następnika co jest w jawnej sprzeczności z tym, co twierdzi KRZ: „z fałszu wynika cokolwiek”
cnd

Dlaczego KRZ działa?
KRZ działa bo zachodzi tożsamość matematyczna kwantyfikatorów dużego i małego w AK i KRZ. Definicje kwantyfikatorów małych w obu systemach są identyczne, istotna różnica jest w kwantyfikatorze dużym.

Definicja kwantyfikatora dużego w AK i KRZ:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli należy on do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x).
KRZ iteruje tu po wszystkich obiektach p(x) i ~p(x), natomiast w algebrze Kubusia iterujemy wyłącznie po obiektach p(x).

Twierdzenie o tożsamości kwantyfikatorów:
Kwantyfikator duży z KRZ = kwantyfikator duży w AK

Dowód:
Matematycznie kwantyfikator duży z AK jest tożsamy z kwantyfikatorem dużym z KRZ bowiem oba te kwantyfikatory wypluwają identyczne rozstrzygnięcia o prawdziwości/fałszywości zdania p=>q.
Zauważmy, że w KRZ, w dowodzie prawdziwości zdania p=>q możemy zignorować wszelkie zdania w których poprzednik jest fałszem (p=0), bowiem dla p=0 forma zdaniowa zwróci nam prawdę niezależnie od wartości logicznej następnika. Takie zdania możemy natychmiast wyrzucać do kosza bo nie mają one żadnego wpływu na prawdziwość/fałszywość zdania p=>q.

Jeśli z góry wiemy iż dla p=0 zawsze dostaniemy prawdę bez wzglądu na wartość logiczną następnika q, to bez sensu jest „pytać” formę zdaniową o prawdziwość/fałszywość takiego zdania.

Wniosek:
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Kwantyfikator duży z KRZ = kwantyfikator duży w AK
cnd

Twierdzenie o matematycznym żółtodziobie:
Matematyk, który rozumie jak działa kwantyfikator duży w KRZ i mimo wszystko iteruje po obiektach ~p(x) w celu udowodnienia prawdziwości zdania p=>q jest matematycznym żółtodziobem.
Dowód wyżej.

Przykład:
Weźmy klasyczną implikację prostą prawdziwą.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno=> jest podzielna przez 2
P8=>P2

Zdanie tożsame zapisane kwantyfikatorowo:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x)

Nasz przykład:
/\x P8(x) =>P2(x)
Dla każdego x jeśli x należy do zbioru P8 to na pewno => należy do zbioru P2

Aby obalić to twierdzenie z reguły szukamy kontrprzykładu, bo to najprostsze.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
P8~~>~P2 =P8*~P2 =0
Szukamy jednej liczby należącej do zbioru P8 i nie należącej do zbioru P2
Oczywiście tu kontrprzykładu nie znajdziemy co oznacza, że zbiór P8 zawiera się w P2.

W ten sposób wyskoczyła nam poprawna definicja znaczka => w zbiorach:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Stąd mamy równanie prawdziwości zdania P8=>P2:
P8=>P2 = P8*P2 = P8
Zauważmy że liczby niepodzielne przez 8 (~P8 ) nie maja NIC do prawdziwości zdania P8=>P2.
W definicji znaczka => istotne jest aby zbiór P8 zawierał się w zbiorze P2, wszystko inne jest bez znaczenia.

Stąd mamy kluczową definicję o prawdziwości zdania p=>q.

Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi poniższe równanie w zbiorach:
p=>q = p*q =p
Zbiór ~p nas kompletnie nie interesuje bo nie ma nic do prawdziwości zdania p=>q

2.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego. Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych zapisane w równaniach algebry Boole’a.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
A: Jestem uczciwy
A: U
B: Jestem nieuczciwy
B: ~U
C: Nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy
C: ~(~U) = A: U
Zdania A i C znaczą dokładnie to samo
cnd

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y

2.1 Pełna lista operatorów dwuargumentowych w algebrze Boole’a

Definicja operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q

Definicja operatora OR:

rafal3006

4.0 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja naturalnej logiki człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Naturalną logiką człowieka są postaci: alternatywna, koniunkcyjna, alternatywno-koniunkcyjna

Postać alternatywna:
Y = A1+A2+ … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub … An=1

Postać koniunkcyjna:
Y = A1*A2* … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 i A2=1 i … An=1

Postać alternatywno-koniunkcyjna to suma logiczna iloczynów cząstkowych:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1

Aksjomat:
W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)

Definicja logiki sprzecznej z naturalną logiką człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Logiką sprzeczną z naturalną logiką człowieka jest postać koniunkcyjno-alternatywna.

Postać koniunkcyjno-alternatywna to iloczyny logiczne sum cząstkowych:
Y = (p+q)*(r+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p+q)=1 i (r+~q)=1

Twierdzenie:
Przejście z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej to po prostu wymnożenie wielomianów.

Przykład:
Y = (p+q)*(r+~q)
Y = p*r + p*~q + q*r + q*~q
Y = p*r + p*~q + q*r
Prawa algebry Boole’a:
q*~q=0
x+0 =x

Dowód sprzeczności poprzez znalezienie kontrprzykładu.

Rozważmy zdanie:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y = K+B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już dotrzymałem słowa, wartości logicznej drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U.
~Y = ~K*(~B+~P)
Mnożymy zmienną przez wielomian:
~Y = ~K*~B + ~K*~P
Ostatnie równanie to postać alternatywno-koniunkcyjną, naturalna logika człowieka.
Stąd:
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę na basem lub nie pójdę do kina i nie pójdę do parku
~Y = ~K*~B + ~K*~P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*~B)=1 lub (~K*~P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już dotrzymałem słowa, drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

Załóżmy że jest pojutrze i zaszło:
~Y = ~K*~B = 1*1 =1 - nie byłem w kinie (~K=1) i nie byłem na basenie (~B=1)
czyli:
Skłamałem (~Y=1), drugiego członu alternatywy nie muszę sprawdzać

Natomiast postać koniunkcyjno-alternatywna, mimo że prosta, dla normalnego człowieka będzie niezrozumiała.
U1.
~Y=~K*(~B+~P)

Dowód:
U2.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)

W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)
Każdy normalny człowiek słysząc zdanie U2 zrozumie i zapisze je jako:
~Y=~K*~B + ~P
Dostaliśmy zapis kompletnie inny niż w równaniu U1, co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka.
cnd

Nawet jak wstawimy tu nawiasy kwadratowe:
U2.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i [nie pójdę na basen lub nie pójdę do parku (~B+~P)=1]
~Y = ~K*[~B+~P]
… to i tak żaden normalny człowiek tego nie zrozumie, mimo że funkcja jest banalnie prosta.

Jeśli zdanie U2 przekształcimy do postaci U poprzez wymnożenie zmiennej przez wielomian to zrozumie je każdy 5-cio latek.

Rozważmy problem postaci alternatywno-koniunkcyjnej i koniunkcyjno-alternatywnej na przykładzie ogólnym, gdzie w tabeli zero-jedynkowej występuje więcej niż jedna linia z jedynkami w wyniku i więcej niż jedna linia z zerami w wyniku.

Zbadajmy funkcję logiczną:
A: Y=p+q*r

Jeśli w powyższym równaniu wymienimy wyłącznie spójniki to te równania nie będą tożsame.
Y=p*q+r

Matematycznie zachodzi:
Y=p+q*r## Y=p*q+r
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Po obu stronach znaku ## możemy stosować dowolne prawa algebry Boole’a, jednak nigdy nie zajdzie przypadek tożsamości matematycznej wiążącej obie strony znaku ##.

Zadanie:
Znaleźć wszystkie możliwe postaci funkcji logicznej:
A: Y=p+q*r

Krok 1
Wszystkie możliwe funkcje minimalne:
A: Y=p+q*r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice dodatniej (bo Y)
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
D: ~Y=~p*(~q+~r) - postać koniunkcyjno-alternatywna w logice ujemnej (bo ~Y)
Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymujemy:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice ujemnej (bo ~Y)

Wyłącznie postaci alternatywno-koniunkcyjne są doskonale rozumiana przez każdego człowieka.

Z równaniem C przechodzimy z powrotem do logiki dodatniej otrzymując minimalną postać koniunkcyjno- alternatywną, oczywiście sprzeczną z logiką człowieka.
B: Y = (p+q)*(p+r)

Matematycznie zachodzą tożsamości w postaciach minimalnych:
Y = Y
A: Y = p+q*r = B: Y = (p+q)*(p+r)
~Y = ~Y
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r = D: ~Y = ~p*(~q+~r)

A i C to postaci alternatywno-koniunkcyjne.
B i D to postaci koniunkcyjno-alternatywne

Dowód sprzeczności równania B z naturalną logiką człowieka:
A.
Jutro pójdę do kina lub pójdę na basen i do parku
Y = K+B*P
To rozumie każdy 5-cio latek.
Zdanie matematycznie tożsame:
B.
Y = (K+B)*(K+P)
Wypowiedzmy zdanie B w naturalnej logice człowieka:
B1.
Jutro pójdę do kina lub pójdę na basen i pójdę do kina lub pójdę do parku

Kolejność spójników w naturalnej logice człowieka to:
„i”(*), „lub”(+)
Stąd każdy normalny człowiek zrozumie i zapisze zdanie jako:
B1: Y = K + B*K + P
Oczywiście funkcja logiczna B1 to zupełnie co innego niż funkcja B co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjnej z naturalną logiką człowieka
cnd

Podsumowując, postaci minimalne dla naszej funkcji logicznej A to:
A: Y = p+q*r - postać alternatywno-koniunkcyjna (naturalna logika człowieka)
B: Y = (p+q)*(p+r) - postać koniunkcyjno- alternatywna (funkcja sprzeczna z naturalną logiką człowieka)

Postaci minimalne dla naszej funkcji A w logice ujemnej (bo ~Y):
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r - postać alternatywno koniunkcyjna (naturalna logika człowieka)
D: ~Y = ~p*(~q+~r) - postać koniunkcyjno- alternatywna (funkcja sprzeczna z naturalną logiką człowieka)

Naturalna logika człowieka

Zbudujmy tabelę zero-jedynkową dla naszej funkcji logicznej w naturalnej logice człowieka:
A: Y = p+q*r

rafal3006

5.0 Pozostałe operatory logiczne wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*)

W tym rozdziale omówimy następujące operatory logiczne wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*)

rafal3006

6.0 Nowa teoria zbiorów

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego. Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych zapisane w równaniach algebry Boole’a (nowa teoria zbiorów).

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
A: Jestem uczciwy
A: U
B: Jestem nieuczciwy
B: ~U
C: Nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy
C: ~(~U) = A: U
Zdania A i C znaczą dokładnie to samo
cnd

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Y - zmienna wyjściowa (funkcja logiczna)
p, q, ~p, ~q - zmienne wejściowe

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli ~p=0 to p=1

II prawo Prosiaczka
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli ~p=1 to p=0
Jeśli p=0 to ~p=1

Prawa Prosiaczka umożliwiają:
A.
Utworzenie równania algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej
B.
Utworzenie tabeli zero-jedynkowej z dowolnego równania algebry Boole’a

Definicja:
W dowolnym równaniu algebry Boole’a (funkcji logicznej) wszelkie zmienne wejściowe sprowadzone są do jedynek na mocy prawa Prosiaczka

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów po stronie wejścia p i q.

Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

W tabelach zero-jedynkowych operatorów logicznych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do nowej teorii zbiorów.

rafal3006

8.0 Operatory OR i AND w zbiorach

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Y - zmienna wyjściowa (funkcja logiczna)
p, q, ~p, ~q - zmienne wejściowe

Fundamentem operatorów OR i AND są definicje dwóch spójników „lub”(+) oraz „i”(*) z naturalnej logiki człowieka.

Twierdzenie:
W dowolnym równaniu algebry Boole’a mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek na mocy praw Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli ~p=0 to p=1

II prawo Prosiaczka
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Dowolna tożsamość to także matematyczna równoważność, wynikanie w dwie strony:
Jeśli ~p=1 to p=0
Jeśli p=0 to ~p=1

8.1 Równania logiczne opisujące operator OR

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:

rafal3006

9.0 Operatory implikacji i równoważności w zbiorach

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, gdzie nie ma ani jednej tabeli zero-jedynkowej. Cała logika zakodowana jest w równaniach algebry Boole’a (zbiorach) izolowanych od tabel zero-jedynkowych.

Tajemnica implikacji i równoważności to zaledwie trzy znaczki =>, ~> i ~~>.

1.
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = P*4L =P =1 bo pies
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czteroma łapami
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => aby mieć cztery łapy
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L

2.
Ogólna definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 4L*P =P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czteroma łapami zawiera w sobie zbiór „pies”
4L jest konieczne ~> dla P
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P

3.
Ogólna definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”):
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Przykład:
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń, koń …
Wystarczy znaleźć jeden element należący do zbiorów 4L i ~P
Warunek konieczny ~> tu nie zachodzi bo prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0
stąd:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P =0 - bo kontrprzykład: kura
Prawa strona prawa Kubusia jest fałszem, zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~>:
4L~>~P =0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbioru 4L*~P (słoń).

To co wyżej to praktycznie kompletna teoria implikacji w algebrze Kubusia, czyli cały czas będziemy się kręcić wokół powyższego.

Związek operatorów implikacji prostej i odwrotnej w technicznej algebrze Boole’a.

Techniczna definicja implikacji prostej:

rafal3006

9.4 Równoważność w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja równoważności sprowadzona do teorii zbiorów na mocy prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1

rafal3006

9.10 Zdanie zawsze prawdziwe w algebrze Kubusia, właściwości zbioru pustego

W poprzednim punkcie padło pojęcie „zdania zawsze prawdziwego”, zdefiniujmy zatem to pojęcie na gruncie algebry Kubusia.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Definicja zdania zawsze prawdziwego w algebrze Kubusia:
Zdanie zawsze prawdziwe to zdanie prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q

Wniosek:
Nie może być mowy o zdaniu zawsze prawdziwym w operatorach logicznych które nie mają samych jedynek w wyniku. Jedynym operatorem logicznym mającym same jedynki w wyniku jest operator chaosu.

Przykład zdania zawsze prawdziwego, spełniającego definicję operatora chaosu:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Analiza skrócona:
A: P8~~>P3 =1 bo 24
B: P8~~>~P3 =1 bo 8
C: ~P8~~>~P3 =1 bo 2
D:~P8~~>P3 =1 bo 3

Przykład najprostszego zdania zawsze prawdziwego:
A.
Możliwe że jutro pójdę do kina
co matematycznie oznacza:
A.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y=K+~K =1
Oczywiście tu negacja zmiennej K nie ma żadnego znaczenia bo spójnik „lub”(+) jest przemienny:
Y = ~(K)+ ~(~K) = ~K+K = K+~K

Przykłady zdań nie będących zdaniami zawsze prawdziwymi w świetle definicji wyżej.

Przykład 1.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem lub nie jest psem
4L=>(P+~P)
Zdanie A w zbiorach:
4L=>(P+~P) = 4L*(P+~P) = 4L*1 = 4L
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór 4L zawiera się w zbiorze wszystkich zwierząt.
Dziedzina:
D = P+~P =1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zdanie prawdziwe dla wszystkich zwierząt z czterema łapami, o żadnych innych zwierzętach to zdanie nie mówi, zatem jest fałszywe dla wszelkich innych zwierząt.
Dowód:
Dla słonia nasze zdanie przybiera postać:
AS:
Jeśli słoń ma cztery łapy to na pewno => jest psem lub nie jest psem
S*4L=>P+~P
Adanie AS w zbiorach:
S*4L=>(P+~P) = (S*4L)*(P+~P) = S*4L*1 = S*4L = S
Dla kury nasze zdanie przybiera postać:
AK:
Jeśli kura ma cztery łapy to na pewno jest psem lub nie jest psem
K*4L=>(P+~P)
Zdanie K w zbiorach:
K*4L=>(P+~P) = (K*4L)*(P+~P) = K*4L =0*4L =0
bo:
Kura ma cztery łapy = fałsz
stąd:
K*4L = 0*4L = 0
Fałszywość poprzednika wymusza fałszywość zdania A w zbiorach, niezależnie od zawartości następnika.

Przekształcenie zanegowanego następnika do postaci koniunkcyjnej, zrozumiałej przez człowieka (brak konieczności użycia nawiasów):
~(P+~P) = ~P*P - prawo De Morgana
stąd:
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem i być psem
4L~~>~P*P
Zdanie B w zbiorach:
4L~~>~P*P = 4L*(~P*P) = 4L*0 =0
Definicja warunku wystarczającego => o definicji w A i B spełniona.

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L=>(P+~P) = ~4L~>~(P+~P)
~4L~>~(P+~P) = ~P*P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~> nie być psem i być psem
~4L~>~P*P
Zdanie C w zbiorach:
~4L~>~P*P = ~4L*(~P*P) = ~4L*0 =0
Fałszywość tego zdania wyklucza zarówno implikację prostą, jak i równoważność.
Definicja znaczka ~> nie jest spełniona bo zdanie C jest fałszywe, zatem zbiór ~4L nie może zawierać w sobie zbioru ~P*P=0.

To jest dowód fałszywości kolejnego dogmatu Ziemian, jakoby zbiór pusty zawierał się w każdym zbiorze!

Zdanie C jest fałszem, zatem zdanie A jest tylko samodzielnym warunkiem wystarczającym o definicji w A i B. Zdanie A nie wchodzi ani w skład definicji implikacji prostej, ani w skład definicji równoważności z powodu fałszywości zdania C. Zdanie A nie jest zdaniem zawsze prawdziwym w sensie logiki, wyklucza to już zdanie B.

Dlaczego zdanie C jest fałszem?
C.
~4L ~> ~(P+~P) = ~4L*(~P*P) = ~4L*0 =0
Zauważmy że:
P+~P=1
W obrębie dziedziny wszystkich zwierząt nie istnieje zbiór przeciwny do P+~P bowiem:
P+~P = 1 - dziedzina, zbiór wszystkich zwierząt
natomiast:
~(P+~P) = ~(1)=0 - nie ma takiego zbioru, ten zbiór jest pusty.

Zauważmy, że w myśl naszej definicji nie jest zdaniem zawsze prawdziwym nawet takie zdanie.
Przykład 2.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub nie jest psem to na pewno => ma cztery łapy lub nie ma czterech łap
(P+~P) => (4L+~4L)
Prawo algebry Boole’a:
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór (P+~P) zawiera się w zbiorze (4L+~4L).
Zdanie A w zbiorach:
(P+~P) => (4L+~4L) = (P+~P)*(4L+~4L) =1*1 =1
Dodatkowo zbiory p i q są tożsame:
(P+~P) = (4L+~4L) - dziedzina t zbiór wszystkich zwierząt
co wymusza „równoważność”.
Obliczenie ~(4L+~4L) dla potrzeb zdania B.
~(4L+~4L) = ~4L*4L - prawo De Morgana
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub nie jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap i mieć cztery łapy
(P+~P) ~~>~4L*4L
Zdanie B w zbiorach:
(P+~P) ~~>~4L*4L = (P+~P)*(~4L*4L) = 1*0 =0

Obliczenie ~(P+~P) dla potrzeb zdania C.
~(P+~P) = ~P*P - prawo De Morgana
Ponieważ to jest „równoważność”, zatem po stronie ~p musi być kolejny warunek wystarczający.
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i jest psem to na pewno => nie ma czterech łap i ma cztery łapy
~P*P => ~4L*4L
Zdanie w zbiorach:
~P*P => ~4L*4L = (~P*P)*(~4L*4L) = 0*0=0
Definicja znaczka => nie jest spełniona, bo mamy w wyniku fałsz.

Wynika z tego że zbiór pusty nie zawiera się w zbiorze pustym!

D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i jest psem to może ~~> mieć cztery łapy lub nie mieć czterech łap
P*~P ~~>(4L+~4L)
Zdanie D w zbiorach:
P*~P ~~>(4L+~4L) = (P*~P)*(4L+~4L) = 0*1 =0

Zdanie C jest fałszem, zatem zdanie A jest tylko samodzielnym warunkiem wystarczającym. Zdanie A nie wchodzi ani w skład definicji implikacji prostej, ani w skład definicji równoważności z powodu fałszywości zdania C. Zdanie A nie jest zdaniem zawsze prawdziwym w sensie logiki, wyklucza to już zdanie B.

Dlaczego zdanie C jest fałszem?
C.
~(P+~P)=~P*P => ~(4L+~4L) =~4L*4L
Zauważmy że:
P+~P=1
W obrębie dziedziny wszystkich zwierząt nie istnieje zbiór przeciwny do (P+~P) bowiem:
P+~P = 1 - dziedzina, zbiór wszystkich zwierząt
natomiast:
~(P+~P) =~(1) =0 - nie ma takiego zbioru w obrębie wszystkich zwierząt, ten zbiór jest pusty.

Identycznie mamy w następniku:
4L+~4L =1
W obrębie dziedziny wszystkich zwierząt nie istnieje zbiór przeciwny do (4L+~4L) bowiem:
(4L+~4L) =1 - dziedzina, zbiór wszystkich zwierząt
natomiast:
~(4L+~4L) = ~(1) =0 - nie ma takiego zbioru w obrębie wszystkich zwierząt, ten zbiór jest pusty.

Jak widzimy zdanie C jest tu „podwójnie” fałszywe, raz z powodu zbioru pustego w poprzedniku P*~P i drugi raz z powodu pustego zbioru w następniku ~4L*4L.

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór nie zawierający ani jednego elementu

Na mocy powyższych analiz możemy zdefiniować właściwości zbioru pustego:
1.
Zbiór pusty nie zawiera się w zbiorze niepustym
2.
Zbiór pusty nie zawiera w sobie zbioru niepustego
3.
Zbiór pusty nie zawiera się w zbiorze pustym
4.
Zbiór pusty nie zawiera w sobie zbioru pustego

Zauważmy na koniec, że równoważnością prawdziwą jest takie zdanie.

Przykład 3.
W.
Pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P)
W tym przypadku istnieją zbiory niepuste zarówno w poprzedniku jak i następniku:
P=1 - pies
~P=1 - kura, słoń, wąż
Równoważność jest tu zatem bezdyskusyjna.

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W naszym przykładzie zbiory p i q są tożsame p=q zatem zdanie W to oczywista równoważność.
p=P
q=P
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

Analiza matematyczna.
Warunek wystarczający:
P=>P
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest psem
P=>P =1 =1 bo pies
Zbiory:
P=>P = P*P = P =1
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze „nie pies”.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie być psem
P~~>~P =0
Zbiory:
P~~>~P = P*~P =0
Nasze zdanie to równoważność zatem badamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~P):
~P=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie jest psem
~P=>~P =1 bo nie pies
Zbiory:
~P=>~P = ~P*~P = ~P =1
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~P zawiera się w zbiorze ~P, oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~P=~P.
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> być psem
~P~~>P =0
Zbiory:
~P~~>P = ~P*P =0

Oczywistym jest że nie uzyskamy tabeli zero-jedynkowej równoważności posługując się jednym symbolem P.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
dla naszego przykładu mamy:
p=P
q=P
Stąd dla kodowania zgodnego ze zdaniem W mamy zero-jedynkową definicje równoważności.

rafal3006

10.0 Pozostałe operatory logiczne w zbiorach

Najciekawszym wśród pozostałych operatorów logicznych jest operator XOR, który może być spójnikiem „albo”($) z naturalnej logiki człowieka lub też nietypową równoważnością.

10.1 Operator XOR w zbiorach

Operator XOR opisuje właściwości zbiorów rozłącznych.

Możliwe są tu dwa przypadki:
1.
Istnieje część wspólna zbiorów ~p*~q.
Dziedzina:
p*~q + ~p*q + ~p*~q
2.
Nie istnieje cześć wspólna zbiorów ~p*~q.
Dziedzina:
p*~q + ~p*q

Przypadek 1.
Definicja XOR1 w zbiorach:

Zbiory p i q są rozłączne i istnieje zbiór ~p*~q:
~p*~q=1
Z czego wynika dziedzina:
D=p*~q + ~p*q + ~p*~q

Definicja XOR1 w równaniu algebry Kubusia:
Y=p$q = p*~q+~p*q
~Y=~(p$q)=~p*~q
Gdzie:
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Przykład:
Zdefiniujmy dwa zbiory rozłączne:
p=[1,2]
q=[3,4]
Oraz dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[1,2,5,6]

Prawa nowej teorii zbiorów dla zbiorów rozłącznych:
1.
p*~q =p
Dowód:
p*~q = [1,2]*[1,2,5,6] =[1,2] =p
cnd
2.
~p*q =q
Dowód:
~p*q = [3,4,5,6]*[3,4] = [3,4] =q
cnd

Stąd otrzymujemy:
p$q = p*~q + ~p*q := p+q
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów

Wniosek:
W przypadku XOR1 nie ma znaczenia czy użyjemy spójnika „albo”($) czy też spójnika „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka.
Na mocy nowej teorii zbiorów oba te spójniki znaczą dokładnie to samo.

Realny przykład z życia:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy
P+K=>4L
Oczywiście zbiory pies i kot są rozłączne, ale należą do tej samej dziedziny, tu:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Oczywiście zachodzi:
P*K=1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1 i K=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0.

Zobaczmy co się zmieni jak w naszym przykładowym zdaniu zmienimy P+K na precyzyjne P$K:
A.
Jeśli zwierzę jest psem albo kotem to na pewno ma cztery łapy
P$K=>4L
Oczywiście zbiory pies i kot są rozłączne, ale należą do tej samej dziedziny, tu:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Na mocy definicji spójnika „albo”($) zapisujemy:
P$K = P*~K + ~P*K
ale!
Na mocy nowej teorii zbiorów mamy:
P*~K = P
~P*K = K
stąd:
P$K = P*~K + ~P*K := P+K
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów

Jak widzimy jest rybka, czyli wszystko jedno czy w zdaniu A wyżej, użyjemy spójnika „albo”($), czy też spójnika „lub”(+).
Z tego powodu większość ludzi (prawie wszyscy) używa spójnika „lub”(+) w znaczeniu „albo”($).

Rozważmy zdanie gdzie zbiór ~p*~q jest zbiorem pustym, a nie jak wyżej zbiorem niepustym.
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną albo kobietą
Y = M$K
gdzie:
$ - symbol spójnika „albo” w algebrze Kubusia
Oczywiście nie ma więcej możliwości, bo wykluczony jest przypadek, aby człowiek był jednocześnie kobietą i mężczyzną.
Tu dziedzina:
D=K+M
Nie ma innych możliwości.
Oczywiście dwa zbiory i brak trzeciej możliwości wymusza równoważność o której będzie za chwilę.

Zauważmy, że prawa nowej teorii zbiorów również tu obowiązują:
M$K = M*~K + ~M*K := M+K
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy NTZ

Z tego względu większość ludzi powie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną lub kobietą
Y=M+K
Zauważmy, że tu również obowiązuje prawo przejścia do logiki ujemnej.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~Y=~M*~K
czyli:
Zdanie będzie fałszywe (~Y=1) gdy powiemy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną i nie jest kobietą
~Y=~M*~K

Prawa przejścia do logiki ujemnej w obu przypadkach są niezależne od tego czy użyjemy spójnika „albo”($) czy też spójnika „lub”(+), w obu przypadkach działają doskonale.

Zauważmy, że spójnik „albo”($) jest podzbiorem spójnika „lub”(+).

Definicja spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q

Stąd definicja spójnika „lub”(+) zapisana z wykorzystaniem „albo”($)
Y= p+q = p$q + p*q

Oczywiście mózg człowieka doskonale wyłapie że w przypadku naszego zdania:
K*M=0
p*q=0

Zauważmy, że dla określenia przypadku kiedy zachodzi:
Y=p*q
Mamy specjalny, precyzyjny spójnik „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Z tego powodu nasz mózg używa prawie zawsze spójnika „lub”(+) i prawie zawsze rozumie go jako spójnik „albo”($).

„Prawie” … bo w przykładowym zdaniu wzorcowym dla spójnika „lub”(+) może zajść p*q=1 o czym wszyscy wiemy.
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) mamy:
Y=K+T = K*T + K*~T +~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1

Wszyscy doskonale wiemy, iż tu możliwy jest przypadek pójścia i do kina i do teatru i nie ma tu mowy o żadnym kłamstwie.
Y=K*T =1*1 =1 - przypadek możliwy (oczywiście nie skłamię jak pójdę i tu i tu)

Podobny przykład z naturalnej logiki człowieka:
A.
Jan wszedł i padł martwy
Y=W*P
Spójnik „i”(*) jest w logice przemienny zatem zdanie tożsame:
B.
Jan padł martwy i wszedł
Y=P*W
W zdaniu A mamy następstwo czasowe gdzie nie zachodzi przemienność argumentów. Nasz mózg o tym doskonale wie i używa spójnik krótkiego „i”(*) zamiast długiego „po czym”.

10.2 Nietypowa równoważność

Przypadek 2.
Zbiory p i q są rozłączne z dziedziną:
D=p+q
czyli:
Nie istnieje zbiór ~p*~q:
~p*~q=0

Z założenia mamy tu wyłącznie dwa zbiory p i q, co wymusza nietypową równoważność:
p<=>~q = (p=>~q)*(~p=>q)

Przykład takiego zdania to oczywiście klasyka:
Każdy człowiek jest mężczyzną albo kobietą
M$K = M*~K+~M*K
Nie ma innych możliwości!

Diagram nietypowej równoważności:

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Zamiast założonych zbiorów jak w diagramie zrobimy to od razu na przykładzie z życia, będzie ciekawiej.

RA.
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~M=>K)
Sprawdzamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~K):
M=>~K
A.
Jeśli człowiek jest mężczyzną to na pewno => nie jest kobietą
M=>~K=1
Zbiory:
M=>~K = M*~K=M
M=>~K = M*~K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (M=1 i ~K=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Zbiór M zawiera się w zbiorze ~K
Z czego wynika że bycie mężczyzną jest warunkiem wystarczającym => aby nie być kobietą
stąd:
B.
Jeśli człowiek jest mężczyzną to może ~~> być kobietą
M~~>K =0
Zbiory:
M~~>K = M*K=1*1=0
Oba zbiory istnieją (M=1 i K=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 1

… a jeśli człowiek nie jest mężczyzną.
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Wyłącznie negujemy zmienne w równaniu RA:
~M<=>K = (~M=>K)*(M=>~K)
Prawe strony tożsame, co kończy dowód.
RC
~M<=>K = (~M=>K)*(M=>~K)
Sprawdzamy warunek wystarczający w logice dodatniej (bo K):
~M=>K
C.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną, to na pewno => jest kobietą
~M=>K =1
Zbiory:
~M=>K = ~M*K = ~M = K
~M=>K = ~M*K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~M=1 i K=1) i maja część wspólną co wymusza w wyniku 1
Dodatkowo zbiór ~M zawiera się w zbiorze K bo:
~M=K - zbiory tożsame
Co oznacza że:
Nie bycie mężczyzną wystarcza => aby być kobietą
stąd:
D.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną to może ~~> nie być kobietą
~M~~>~K =0
Zbiory:
~M~~>~K = ~M*~K = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~M=1 i ~K=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0
Dowód:
~M=K
~K=M
stąd:
~M~~>~K = ~M*~K = K*M = 1*1=0
cnd

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RA otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
RA:
M<=>~K
stąd:
M=1, ~M=0
~K=1, K=0

rafal3006 · Raj, 2013-07-15

Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

11.0 Obietnice i groźby

Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obsługujące obietnice i groźby.
Podlegają pod nie wszystkie stworzenia żywe od bakterii poczynając.
Zwierzątka które nie posługują się w praktyce tymi definicjami dawno wyginęły.

11.1 Definicje obietnicy i groźby

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Znaczenie znaczków => i ~>:
W=>N - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę, z powodu że spełniłeś warunek nagrody
~W~>~N - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~> nie dostać nagrody lub możesz ~~> dostać nagrodę
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)
Jak widzimy znaczenie znaczka => jest identyczne w obu definicjach.

Znaczenie znaczków ~> i =>:
W~>K - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~> zostać ukarany, lub możesz ~~> nie zostać ukarany.
~W=>~K - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli nie spełnisz warunku kary to na pewno => nie zostaniesz ukarany, z powodu że nie spełniłeś warunku kary
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Wyprowadzenie definicji groźby

Definicja obietnicy jest we współczesnej logice poprawna i bezdyskusyjna:
Obietnica = implikacja prosta
To jest nasz pierwszy aksjomat.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
1.
Nagroda to brak kary
N=>~K
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~K=>N
stąd:
N<=>~K = (N=>~K)*(~K=>N)=1*1=1 - równoważność

2.
Kara to brak nagrody
K=>~N
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~N=>K
stąd:
K<=>~N = (K=>~N)*(~N=>K)=1*1=1 - równoważność

Z powyższego mamy:
N=~K
K=~N

Definicja obietnicy:
W=>N = ~W~>~N

Transformujemy definicję obietnicy do definicji groźby:
1.
Zamieniamy w następniku nagrodę na karę
N=~K
~N=K
stąd:
1: W=>~K = ~W~>K

2.
Zamieniamy w poprzedniku warunek dostania nagrody na warunek wykonania kary.
W obietnicy odbiorca pragnie spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => dla otrzymania nagrody.
W groźbie odbiorca pragnie NIE spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => uniknięcia kary.
Stąd mamy:
W (obietnicy) = ~W (groźby)
Wynika z tego że w naszej niedokończonej definicji 1 musimy zanegować W.
~W=>~K = ~(~W)~>K
~W=>~K = W~>K

Stąd:
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~N
Implikacja odwrotna na mocy definicji

11.2 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania czekolady.
stąd:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0 - złamanie obietnicy

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C

C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach spójnik „może” ~> jest domyślny i z reguły jest pomijany.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości = akt łaski
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować.

11.3 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje warunek wystarczający =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.

rafal3006

rafal3006

rafal3006