ŚFiNiA ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.    FAQ   Szukaj   Użytkownicy   Grupy   Galerie   Rejestracja   Profil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości   Zaloguj  Algebra Kubusia w pigułce          Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 9:05, 05 Lut 2013    Temat postu: Algebra Kubusia w pigułce … wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie … Ewangelia Mateusza 7:12 Podręcznik w oryginale: Algebra Kubusia: Logika człowieka Szczególne podziękowania dla: www.śfinia.fora.pl Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej. Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję Macjan - prekursor Algebry Kubusia [link widoczny dla zalogowanych] Fizyka, Windziarza, Sogorsa i Quebaba - za długą i ciekawą dyskusję [link widoczny dla zalogowanych] Daggera, Ducha i Fiklita (szczególnie) - za najważniejszą, bo stawiającą kropkę nad „i” dyskusję Na forum [link widoczny dla zalogowanych] zapisano po raz pierwszy ogólne definicje znaczków =>, ~> i ~~>. Finałowa dyskusja z Fiklitem dzięki której algebra Kubusia przybrała postać końcową: [link widoczny dla zalogowanych] Kim jest Kubuś? Kubuś, to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata. Zadaniem Kubusia na Ziemi było rozpracowanie matematycznych fundamentów logiki człowieka. Po siedmiu latach zmagań, z wielką pomocą przyjaciół ze śfinii.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych] zadanie zostało wykonane. Algebra Kubusia to podręcznik logiki matematycznej do I klasy LO w 100-milowym lesie, mam nadzieję, że wkrótce trafi także do ziemskich szkół. Uczeń powinien znać matematyczne definicje: p=>q - warunku wystarczającego p~>q - warunku koniecznego p=>q = ~p~>~q - implikacji prostej p~>q = ~p=>~q - implikacji odwrotnej p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - równoważności Współczesna logika matematyczna Ziemian nie odróżnia warunku wystarczającego (kwantyfikatora dużego) od implikacji prostej, co jest błędem czysto matematycznym: Warunek wystarczający: p=>q ## implikacja prosta: p=>q = ~p~>~q gdzie: ## - różne na mocy definicji Interpretacja tabel zero-jedynkowych operatorów logicznych w algebrze Kubusia jest totalnie inna niż obowiązująca we współczesnej logice. Algebra Kubusia to także nowa teoria zbiorów opisana operatorami logicznymi, gdzie zbiory mają wartości logiczne 0 (zbiór pusty) albo 1 (zbiór niepusty). Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po profesora. Najważniejszymi prawami w logice matematycznej są prawa Kubusia i prawa Prosiaczka. Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q p~>q = ~p=>~q Prawa Prosiaczka: p=0 <=> ~p=1 p=1 <=> ~p=0 Dlaczego najważniejsze? Bo tylko i wyłącznie dzięki nim możliwy jest matematyczny opis naturalnej logiki człowieka, jego naturalnego języka mówionego. Ludzkość wreszcie poznała to, o czym marzy od 2500 lat. Myślę, że nikt nie umrze z powodu spojrzenia na logikę człowieka z punktu odniesienia Kosmitów, fundamentalnie innego niż aktualnie obowiązujący. Przyjaciel Ziemian, Kubuś - kosmita Spis treści: 1.0 Notacja 2.0 Kubusiowa teoria zbiorów 2.1 Operacje na zbiorach 2.2 Właściwości zbiorów 2.3 Diagramy Kubusia 3.0 Operatory logiczne OR i AND 3.1 Spójniki logiczne „i”(*) oraz „lub”(+) 3.2 Tworzenie równań algebry Boole’a z tabel zero-jedynkowych 3.3 Operator OR w zbiorach 3.4 Operator AND w zbiorach 3.5 Minimalizacja funkcji logicznych 4.0 Implikacja o równoważność w pigułce 4.1 Definicje znaczków =>, ~> i ~~> 4.2 Implikacja prosta 4.3 Implikacja odwrotna 4.4 Równoważność 4.5 Implikacja i równoważność w zbiorach i gwarancjach matematycznych Dodatek A Definicje czworokątów w algebrze Kubusia 1.0 Notacja Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1 Zmienna binarna: Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 Przykłady: p, q, r ~ - symbol przeczenia NIE Fundament algebry Kubusia: 1=~0 0=~1 Stąd: Jeśli p=1 to ~p=0 Jeśli p=0 to ~p=1 Odwrotnie też zachodzi, stąd kluczowe prawa algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej. Prawa Prosiaczka: p=1 <=> ~p=0 p=0 <=> ~p=1 Prawo podwójnego przeczenia: p=~(~p) Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają: 1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe 0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz. # - różne Zbiór niepusty # zbiór pusty Prawda # Fałsz 1 # 0 ## - różne na mocy definicji Prawa de’Morgana: Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Kubusia. p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q) Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND Prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q p~>q = ~p=>~q Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Kubusia. Na mocy definicji zachodzi: p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. ”=” - znak tożsamości Tożsamość zbiorów: A = B - identyczne elementy w zbiorach A i B Tożsamość bramek logicznych: Y = p*q = ~(~p+~q) - identyczne bramki logiczne W dowolnym układzie logicznym w miejsce bramki: Y=p*q można wstawić bramkę: Y = ~(~p+~q) Takie bramki z punktu widzenia logiki są nierozróżnialne (tożsame), czyli generują identyczne tabele zero-jedynkowe (funkcje logiczne). := - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy teorii zbiorów Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi: p*~q := p Spójniki logiczne w algebrze Kubusia W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych. Operatory OR i AND: * - spójnik „i” w mowie potocznej + - spójnik „lub” w mowie potocznej Operatory implikacji i równoważności: => - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki ~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji [~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może” ~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy <=> - wtedy i tylko wtedy $ - spójnik „albo” z naturalnego języka mówionego Kolejność wykonywania działań: nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~> W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) Zdanie: Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać prawdę lub fałsz, zrozumiałe dla człowieka. Zdanie warunkowe: Jeśli p to q gdzie: p - poprzednik q - następnik W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym =>, warunkiem koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>. Symboliczna definicja operatora logicznego: Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q Prawo Sowy: W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND. Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego. Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy. Zmienna binarna: Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1. Przykłady zmiennych binarnych: p, q, Y Funkcja logiczna: Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych. Y - funkcja logiczna Przykład: Y=p*q+p*~q+~p*q Definicja logiki dodatniej i ujemnej: W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana. Y=p*q - logika dodatnia bo Y ~Y=p*q - logika ujemna bo ~Y W operatorach implikacji funkcja logiczna p=>q zapisana jest w logice dodatniej gdy q jest niezanegowane. p=>q - logika dodatnia bo q ~p~>~q - logika ujemna bo ~q Prawo przejścia do logiki przeciwnej: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne 1. Y=p+q ~Y=~p*~q 2. p=>q ~p~>~q 3. (p+q) => (r*s) (~p*~q)~>(~r+~s) Fundament algebry Kubusia: p+~p=1 p*~p=0 Kubusiowa teoria zbiorów: W algebrze Kubusia rozróżniamy: p=[1,2,3,4] Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy. od wartości logicznej zbioru! W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną: p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych. p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu p=0 - wartość logiczna zbioru pustego p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego Dziedzina: Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia: p+~p=1 p*~p=0 2.0 Kubusiowa teoria zbiorów Zmienna binarna: Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 Przykłady: p, q, r ~ - symbol przeczenia NIE Fundament algebry Kubusia: 1=~0 0=~1 Stąd: Jeśli p=1 to ~p=0 Jeśli p=0 to ~p=1 Odwrotnie też zachodzi, stąd jedno z najważniejszych praw algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej. Prawa Prosiaczka: p=1 <=> ~p=0 p=0 <=> ~p=1 Prawo podwójnego przeczenia: p=~(~p) Funkcja logiczna: Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych. Y - funkcja logiczna Przykład: Y=p*q+p*~q+~p*q Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów. Znaczenie 0 i 1 w Kubusiowej teorii zbiorów: 1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe 0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz. W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy: 1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana 0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana Korzystając z prawa algebry Kubusia: Jeśli p=0 to ~p=1 Jeśli q=0 to ~q=1 sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów. Kod: p q  SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ 1 1  p* q 1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0 1 0  p*~q 1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1 0 1 ~p* q 1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0 0 0 ~p*~q 0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1 gdzie: * - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń) Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu: 1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe 0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe Logika człowieka to równania algebry Kubusia, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Kubusia i odwrotnie. Maszynowa definicja operatora logicznego: Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q Maszynowa definicja operatora logicznego to epoka kamienna, to zatrzymanie czasu na momencie wynalezienia bramek logicznych z zakazem dalszego rozwoju techniki cyfrowej. Oczywiście żaden inżynier nie projektuje czegokolwiek w zerach i jedynkach, żaden programista nie pisze programu komputerowego bezpośrednio w zerach i jedynkach. Symboliczna definicja operatora logicznego: Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q Prawo Sowy: W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND. Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego. Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy. Definicja logiki w algebrze Kubusia = definicja algebry Kubusia: Logika to przewidywanie przyszłości lub rozwiązywanie nieznanego np. nieznanej przeszłości. Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy Matematyka: Logika to formułowanie i udowadnianie twierdzeń matematycznych Kubusiowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to: OR: Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim. Y=p+q ~Y=~p*~q Przykład: p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6] AND: Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim. Y=p*q ~Y=~p+~q Implikacja prosta: Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q p=>q = ~p=>~q p=[1,2], q=[1,2,3,4,5,6] Implikacja odwrotna: Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q p~>q = ~p=>~q Przykład: p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2] Równoważność: Zbiór p musi być tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2,3,4,5,6] XOR Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q Y = p*~q + ~p*q p=[1,2], q=[3,4] Algebra Kubusia to matematyczny opis naszego Wszechświata, w tym nieznanego. Dla potrzeb tej algebry wystarczą nam definicje prostych operacji na zbiorach. 2.1 Operacje na zbiorach 1. Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń Y=p*q gdzie: „*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka Przykład: p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6] Y=p*q=[3,4] 2. Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń Y=p+q gdzie: „+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka Przykład: p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6] Y=p+q = [1,2,3,4,5,6] 3. Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q Y=p - q gdzie: „-„ - różnica zbiorów Przykład: p=[1,2,3,4] q=[1,2] Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] - zbiór niepusty Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] - zbiór pusty 2.2 Właściwości zbiorów Definicja zbioru niepustego Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką, zdanie prawdziwe Definicja zbioru pustego Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów W logice zbiór pusty jest utożsamiany z logicznym zerem, zdanie fałszywe W algebrze Kubusia rozróżniamy: p=[1,2,3,4] Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy. od wartości logicznej zbioru! W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną: p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych. p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu p=0 - wartość logiczna zbioru pustego p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego Dziedzina: Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia: p+~p=1 p*~p=0 p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element Dziedzina: Zbiór liczb naturalnych p=[1,2,3,4] ~p = [5->oo] 5->oo - zbiór liczb naturalnych od 5 do nieskończoności p+~p = 1*1 = 1 - zbiór pełny, tu zbiór liczb naturalnych Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do dziedziny zbioru liczb naturalnych p*~p = 1*1 = 0 Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0 Nasz Wszechświat: P= pies (zbiór jednoelementowy) Dziedzina: Zbiór wszystkich zwierząt P - zbiór psów ~P - zbiór pozostałych zwierząt (kura, wąż, słoń …) P+~P=1 - zbiór wszystkich zwierząt Zbiory P i ~P istnieją (P=1 i ~P=1), zbiór ~P jest dopełnieniem zbioru P do dziedziny zbioru wszystkich zwierząt, stąd w wyniku 1 P*~P=0 Iloczyn logiczny psów i NIE psów jest równy 0, zbiory rozłączne Właściwości zbioru pustego 1. Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym Suma logiczna zbioru pustego z czymkolwiek jest tym czymkolwiek Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym [] - zbiór pusty Prawa algebry Kubusia: p*[] = p*0 = 0 p+[] = p+0 = p W algebrze Kubusia zbiór pusty [] to po prostu logiczne zero. 2. Zbiór pusty to także brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji). p=[1,2], q=[3,4] Y=p*q=1*1=0 Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty). Zaprzeczenie zbioru pustego to Uniwersum Uniwersum = wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka Przykład: A. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest galaktyką Pies to nie galaktyka P=>~G =1 Zbiory: P*~G = P Zbiór zwierząt będących galaktyką jest zbiorem pustym Zaprzeczenie zbioru pustego to Uniwersum, zatem „pies” mieści się w tym zbiorze. B. Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być galaktyką P~~>G=0 Zbiory: P*G = 1*0 =0 A i B to definicja warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia, szczegóły wkrótce. W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną. Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają: 1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe 0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz. Przykład. Słońce jest żółte 1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe Słońce nie jest żółte 0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe Zbiory tożsame to zbiory identyczne Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach 2.3 Diagramy Kubusia Diagramy Kubusia to zupełnie co innego niż znane matematykom, prymitywne diagramy Venna. Zobaczmy to na przykładzie spójnika „lub”(+). Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y): Zbiory p i q mają część wspólną: Y=p*q i żaden z nich nie zawiera się w drugim. W diagramie widzimy tożsamość obszarów: W: Y = p+q W1: Y = p*q + p*~q +~p*q co jest dowodem tożsamości powyższych definicji spójnika „lub”(+): Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q Jak powstały kolorowe obszary opisujące tak szczegółowo definicję spójnika „lub”(+)? W pierwszej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem: p*q To po prostu iloczyn logiczny zbiorów p i q, czyli wspólna część kolorowych obszarów W drugiej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem: p*~q To po prostu iloczyn logiczny zbiorów p i ~q, czyli wspólna część kolorowych obszarów W trzeciej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem: ~p*q To po prostu iloczyn logiczny zbiorów ~p i q, czyli wspólna część kolorowych obszarów 3.0 Operatory logiczne OR i AND Decydująca o wszystkim dyskusja na temat algebry Kubusia zaczęła się od pewnego [link widoczny dla zalogowanych] i przyciągnięcia z forum [link widoczny dla zalogowanych] jednego z najlepszych autorytetów ziemskiej logiki z jakim zdarzyło się Kubusiowi dyskutować - Fiklita. Myślę, że jeśli ludzie zauważą AK to będzie to w decydującej części jego zasługą. W czasie dyskusji Fiklit podał link do wykładów [link widoczny dla zalogowanych] dowodząc, że Ziemianie umieją tworzyć równania algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej. Owszem, umieją, tylko dlaczego nie ma tych banałów w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO? Przecież to równania algebry Boole’a, a nie tabele zero-jedynkowe są naturalną logiką każdego człowieka! Tak więc nieoczekiwanie Kubuś znalazł popierający go autorytet w temacie tworzenia równań algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z dowolnej tabeli zero-jedynkowej. W równaniach [link widoczny dla zalogowanych] wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek na mocy kluczowych praw algebry Boole’a. Prawa Prosiaczka: p=0 <=> ~p=1 p=1 <=> ~p=0 Dlaczego te prawa są najważniejsze? Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z naturalnej logiki człowieka (równania algebry Boole’a) do tabel zero-jedynkowych i odwrotnie, bez nich matematyczny opis logiki człowieka po prostu nie istnieje. Dlaczego tych kluczowych praw algebry Boole’a nie ma w żadnym podręczniku ani w Wikipedii? Oto jest pytanie. Operatory OR i AND opisują właściwości dwóch zbiorów p i q które mają część wspólną i nie zawierają się jeden w drugim. Zmienna binarna: Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1. Przykłady zmiennych binarnych: p, q, r Funkcja logiczna: Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych. Y - funkcja logiczna Przykład: Y=p*q+p*~q+~p*q Definicja logiki dodatniej i ujemnej: W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana. Y=p+q - logika dodatnia bo Y ~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y 3.1 Spójniki logiczne „i”(*) oraz „lub”(+) Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji. Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1 Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1 Analogia w celu łatwego zapamiętania: 1*1*1…*1 =1 1*0*1…*1 =0 Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego. Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „i”(*): 1*1 =1 1*0 =0 p*1 =p p*0 =0 p*p =p p*~p=0 Dla dwóch zmiennych p i q mamy: Y=p*q Co matematycznie oznacza: Y=1 <=> p=1 i q=1 Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*): Kod: p q Y=p*q 1 1  =1 gdzie: „*” - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1 Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1 Analogia w celu łatwego zapamiętania: 0+0+0….+0 =0 1+1+0….+0 =1 Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego. Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika ‘lub”(+): 1+1 =1 1+0 =1 p+0 =p p+1 =1 p+p =p p+~p =1 Fundament algebry Kubusia: p*~p =0 p+~p =1 Dowód: Kod: p ~p p*~p p+~p 1  0  =0   =1 0  1  =0   =1 Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p (pierwsza kolumna). Ostatnie dwie kolumny są dowodem poprawności fundamentu algebry Kubusia. Dla dwóch zmiennych p i q mamy: Y=p+q Co matematycznie oznacza: Y=1 <=> p=1 lub q=1 Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+): Kod: p q Y=p+q 1 1  =1 1 0  =1 0 1  =1 gdzie: „+” - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej 3.2 Tworzenie równań algebry Boole’a z tabel zero-jedynkowych Algorytm poznamy na przykładzie operatora OR. Zero-jedynkowa definicja operatora OR: Kod:    p q Y=p+q A: 1 1  =1 B: 1 0  =1 C: 0 1  =1 D: 0 0  =0    1 2   3 W algebrze Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa podstawowe i nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera. Kompletny algorytm to zaledwie trzy kroki. Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki: 1. Spis z natury: A: Y=1 <=> p=1 i q=1 lub B: Y=1 <=> p=1 i q=0 lub C: Y=1 <=> p=0 i q=0 2. Korzystając z prawa algebry Boole’a: Jeśli p=0 to ~p=1 Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek: A: Y=1 <=> p=1 i q=1 lub B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub C: Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 3. Stąd na podstawie definicji spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionie mamy końcowe równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową: Y = p*q + p*~q + ~p*~q Oczywiście równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 powyżej tabeli. Dokładnie ten sam obszar ABC123 opisuje nagłówek tabeli: Y=p+q na mocy definicji spójnika „lub”(+). Stąd mamy tożsamość matematyczną: Y = p+q Y = p*q + p*~q + ~p*~q Y=Y stąd równoważna definicja spójnika „lub”(+): ABC123: Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*~q Powyższe równanie opisuje obszar ABC123. Jeśli je zanegujemy dwustronnie korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne to otrzymamy równanie algebry Boole’a opisujące linię D123! Algorytm Wuja Zbója: 1. Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki: Y = p+q = (p*q) + (p*~q) + (~p*~q) 2. Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne ~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+q) oczywiście równania ABC123 i D123 nie są tożsame. W technice układów cyfrowych oznacza to że jeśli zbudujemy układy 1 i 2 w bramkach logicznych i połączymy wyjścia Y i ~Y to zobaczymy kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze. Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe zera: Zero-jedynkowa definicja operatora OR: Kod:    p q Y=p+q A: 1 1  =1 B: 1 0  =1 C: 0 1  =1 D: 0 0  =0    1 2   3 Postępujemy identycznie jak wyżej. 1. Spis z natury dla wynikowych zer (tu mamy tylko jedno w linii D123): Y=0 <=> p=0 i q=0 2. Korzystając z prawa algebry Boole’a: Jeśli p=0 to ~p=1 Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 3. Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie końcowe opisujące linię D123: ~Y=~p*~q co matematycznie oznacza: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 Oczywiście, negując linię D123 musimy otrzymać definicje spójnika „lub”(+) w równaniu algebry Boole’a opisującą wyłącznie obszar ABC123. Równanie opisujące linię D123: ~Y=~p*~q co matematycznie oznacza: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 Przejście do logiki przeciwnej (Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne. Równanie opisujące obszar ABC123: Y=p+q co matematycznie oznacza: Y=1 <=> p=1 lub q=1 Nanieśmy nasze równania na definicję operatora OR: Kod:    p q Y=p+q A: 1 1  =1    / Y= p* q B: 1 0  =1    / Y= p*~q C: 0 1  =1    / Y=~p* q D: 0 0  =0    /~Y=~p*~q    1 2   3 Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni. Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny. Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny Ostatnią tabelę możemy też zapisać w ten sposób … Pełna definicja operatora OR: Kod: Symboliczna  |Kodowanie              |Kodowanie definicja    |zero-jedynkowe         |zero-jedynkowe operatora OR |dla punktu             |dla punktu W: Y=p+q     |odniesienia Y=p+q      |odniesienia ~Y=~p*~q              | p q Y=p+q             | ~p ~q ~Y=~p*~q A: p* q= Y   | 1 1  =1    / Y= p* q  |  0  0   =0 B: p*~q= Y   | 1 0  =1    / Y= p*~q  |  0  1   =0 C:~p* q= Y   | 0 1  =1    / Y=~p* q  |  1  0   =0 D:~p*~q=~Y   | 0 0  =0               |  1  1   =1  /~Y=~p*~q    1 2   3   | 4 5   6               |  7  8    9 Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek              |p=1, ~p=0              |~p=1, p=0              |q=1, ~q=0              |~q=1, q=0              |Y=1, ~Y=1              |~Y=1, Y=0 Doskonale widać definicję zero-jedynkową spójnika „lub”(+) w obszarze ABC456 oraz definicję zero-jedynkową spójnika „i”(*) w linii D789 Gdzie: + - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC123 w powyższej tabeli. * - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię D789 w powyższej tabeli Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni. Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny. Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny Operator OR odpowiada na pytania: A. Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)? Y=1 Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456, bowiem tylko tu widzimy Y=1. Y=p+q Y=1 <=> p=1 lub q=1 B. Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)? ~Y=1 Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1. ~Y=~p*~q ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelą zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD789). Równanie logiczne: Y=p+q jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać. W następnym punkcie pokażemy działania dokładnie odwrotne, czyli wygenerowanie symbolicznej definicji operatora OR z nowej teorii zbiorów po czym przejście do tabeli zero jedynkowej. 3.3 Operator OR w zbiorach Definicja operatora OR: Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q ~Y=~p*~q Definicja operatora OR w zbiorach. Definicja operatora w równaniach logicznych: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q ~Y=~p*~q Zbiory p i q mają część wspólną: Y=p*q i żaden z nich nie zawiera się w drugim. Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y): W: Y = p+q co matematycznie oznacza: W: Y=1 <=> p=1 lub q=1 W: Y = p*q + p*~q +~p*q co matematycznie oznacza: W: Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1 Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste. W funkcji Y wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1. Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy Y, zatem są to definicje tożsame: W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y): U: ~Y=~p*~q Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę. Kompletny operator OR opisuje więc układ równań logicznych: W: Y=p+q U: ~Y=~p*~q Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar Y to otrzymamy obszar ~Y i odwrotnie. Prawo przejścia do logiki przeciwnej: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne A: Y=p+q(r+~s) B: Y = p+[q*(r+~s)] C: ~Y = ~p*[~q+(~r*s)] Algorytm Wuja Zbója: B: Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki C: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie. Zauważmy, że w naszym diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia: Y = ~(~Y) będące najważniejszym prawem w logice, z którego będziemy korzystać non-stop. Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+): Y = p+q = ~(~p*~q) Zauważmy, że jak zanegujemy wszystkie zmienne w prawie de’Morgana to otrzymamy definicję operatora AND. 1. Negujemy wyłącznie sygnały wejściowe p i q: y = ~p+~q = ~[~(~p)*~(~q)] = ~(p*q) 2. Negujemy sygnał wyjściowy y: ~y=~(~p+~q) = p*q Ostatni zapis to prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*). Przy okazji doskonale widać, że operator AND jest logiką ujemną w stosunku do operatora OR (albo odwrotnie) Y = p+q = ~(~p*~q) ## ~y = ~(~p+~q) = p*q Operator OR ## Operator AND gdzie: ## - różne na mocy definicji Dokładnie to samo musimy uzyskać w układzie równań Kubusia opisujących kompletny operator OR. Definicja operatora OR w układzie równań Kubusia: A: Y=p+q B: ~Y=~p*~q Na mocy prawa de’Morgana negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać operator AND: C: ~y=~p+~q D: y=p*q To jest poprawna definicja operatora AND w układzie równań logicznych. Zauważmy, że znaczek „+” nie może być kompletnym operatorem OR bo negujemy zmienne w równaniu A i otrzymujemy wyłącznie równanie C, brakuje B i D. Symboliczna definicja operatora OR: Kod: Kiedy wystąpi Y? (Y - dotrzymam słowa) Funkcja w logice dodatniej bo Y W: Y=p+q W: Y=p*q+p*~q+~p*q A:  p* q= Y B:  p*~q= Y C: ~p* q= Y Kiedy wystąpi ~Y? (~Y - skłamię) Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników Funkcja w logice ujemnej bo ~Y U: ~Y=~p*~q D: ~p*~q=~Y Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y): Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q ~Y = ~p*~q Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji: Kod: Tabela 1 Definicja symboliczna|Zbiory    |Bramki logiczne |Bramkilogiczne Zbiory!              |Logika    |Technika        |Technika W: Y=p+q             |czlowieka |                | W: Y= p*q+p*~q+~p*q  |          |p q Y=p+q       |~p ~q ~Y=~p*~q A: p* q= Y           |1*1=1     |1 1 =1 /Y= p* q | 0  0   =0 B: p*~q= Y           |1*1=1     |1 0 =1 /Y= p*~q | 0  1   =0 C:~p* q= Y           |1*1=1     |0 1 =1 /Y=~p* q | 1  0   =0 U: ~Y=~p*~q          | D:~p*~q=~Y           |1*1=1     |0 0 =0          | 1  1   =1 /~Y=~p*~q    1  2  3            a b c     |4 5  6          | 7  8    9 Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:                                 |p=1, ~p=0       |~p=1, p=0                                 |q=1, ~q=0       |~q=1, q=0                                 |Y=1, ~Y=0       |~Y=1, Y=0 Gdzie: + - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC456 w powyższej tabeli. * - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię D789 w powyższej tabeli Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni. Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny. Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny Operator OR odpowiada na pytania: A. Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)? Y=1 Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456, bowiem tylko tu widzimy Y=1. Y=p+q Y=1 <=> p=1 lub q=1 B. Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)? ~Y=1 Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1. ~Y=~p*~q ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelą zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD789). Równanie logiczne: Y=p+q jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać. Przykład przedszkolaka W. Jutro pójdę do kina lub do teatru Y = K+T ... a kiedy skłamię? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników ~Y=~K*~T Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1 Czytamy! Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) Analiza równoważna: Pełna definicja spójnika „lub”(+): Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q Dla naszego zdania mamy: W. Jutro pójdę do kina lub do teatru Y=K+T - logika dodatnia (bo Y) Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co: Y=K*T + K*~T + ~K*T Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy: A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1) lub B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) lub C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1) ... a kiedy skłamię? Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y) ~Y=~K*~T Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy: D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) Definicja operatora logicznego: Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q Świat zdeterminowany Świat zdeterminowany to świat w którym znamy z góry wartości logiczne zmiennych p i q W informatyce takie zmienne nazywane są stałymi zapisanymi symbolicznie. Prawo Sowy: W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND. Załóżmy, że jest już pojutrze i nie byłem w kinie (~K=1) oraz byłem w teatrze (T=1), czyli dotrzymałem słowa (Y=1): Y=~K*T co matematycznie oznacza: Y=1 <=> ~K=1 i T=1 Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych: ~K=1, K=0 T=1, ~T=0 Definicja operatora logicznego: Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q stąd: Kod:             Y=~K*T A: K* T= 0*1 =0 B: K*~T= 0*0 =0 C:~K* T= 1*1 =1 D:~K*~T= 1*0 =0 Dotrzymałem słowa (Y=1) bo: Wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1) Y=1 <=> ~K=1 i T=1 Doskonale widać działanie prawa Sowy. W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND. Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego to: A. Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze Y=~K*T=1*1=1 Y=1 - dotrzymałem słowa Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe. Znając naszą obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć: B. Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze Y = ~K+T=0 C. Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze Y=K+T=0 D. Jeśli wczoraj nie byłem w kinie to byłem w teatrze ~K=>T =0 E. Nie byłem w kinie wtedy i tylko wtedy gdy byłem w teatrze ~K<=>T =0 etc Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe! Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki które w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B, C, D lub E Wniosek: Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę. 3.4 Operator AND w zbiorach Definicja operatora AND: Operator AND to złożenie spójnika „i”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) Y=p*q ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q Definicja operatora AND w zbiorach: Definicja operatora AND w układzie równań logicznych: Y=p*q ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q Zbiory p i q mają część wspólną: Y=p*q i żaden z nich nie zawiera się w drugim. Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y): W: Y=p*q Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y): U: ~Y = ~p+~q U: ~Y = ~p*~q + ~p*q +p*~q Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy ~Y, zatem są to definicje tożsame: U: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q +p*~q co matematycznie oznacza: U: ~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1 lub (p*~q=1) Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste. W funkcji ~Y wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość 1. Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę, którą w naszym przykładzie jest zbiór liczb naturalnych. Kompletny operator AND opisuje więc układ równań logicznych: W: Y=p*q U: ~Y=~p+~q Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar Y to otrzymamy obszar ~Y i odwrotnie. Zauważmy, że w naszym diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia: Y = ~(~Y) Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*): Y = p*q = ~(~p+~q) Zauważmy, że jak zanegujemy wszystkie zmienne w prawie de’Morgana to otrzymamy definicję operatora OR. 1. Negujemy wyłącznie sygnały wejściowe p i q: y = ~p*~q = ~[~(~p)+~(~q)] = ~(p+q) 2. Negujemy sygnał wyjściowy y: ~y=~(~p*~q) = p+q Ostatni zapis to prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+). Przy okazji doskonale widać, że operator OR jest logiką ujemną w stosunku do operatora AND (albo odwrotnie) Y = p*q = ~(~p+~q) ## ~y = ~(~p*~q) = p+q Operator AND ## Operator OR gdzie: ## - różne na mocy definicji Dokładnie to samo musimy uzyskać w układzie równań Kubusia opisujących kompletny operator AND. Definicja operatora AND: A: Y=p*q B: ~Y=~p+~q Negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać operator OR: C: ~y=~p*~q D: y=p+q To jest poprawna definicja operatora OR w układzie równań logicznych. Zauważmy, że znaczek „*” nie może być kompletnym operatorem AND bo negujemy zmienne w równaniu A i otrzymujemy wyłącznie równanie C, brakuje B i D. Symboliczna definicja operatora AND: Kod: Kiedy wystąpi Y? (Y - dotrzymam słowa) Funkcja w logice dodatniej bo Y W: Y=p*q A:  p* q= Y Kiedy wystąpi ~Y? (~Y - skłamię) Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników Funkcja w logice ujemnej bo ~Y U:~Y=~p+~q U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q B: ~p*~q=~Y C: ~p* q=~Y D:  p*~q=~Y Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y): Y=p*q ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji: Kod: Tabela 1 Definicja symboliczna|Zbiory    |Bramki logiczne |Bramki logiczne Zbiory!              |Logika    |Technika        |Technika                      |czlowieka |                | W: Y= p*q            |          |p q Y=p*q       |~p ~q ~Y=~p*~q A: p* q= Y           |1*1=1     |1 1 =1 /Y= p* q | 0  0   =0 U:~Y=~p+~q           | U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q | B:~p*~q=~Y           |1*1=1     |0 0 =0          | 1  1   =1 /~Y=~p*~q C:~p* q=~Y           |1*1=1     |0 1 =0          | 1  0   =1 /~Y=~p* q D: p*~q=~Y           |1*1=1     |1 0 =0          | 0  1   =1 /~Y= p*~q    1  2  3           |a b c     |4 5  6          | 7  8    9 Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:                                 |p=1, ~p=0       |~p=1, p=0                                 |q=1, ~q=0       |~q=1, q=0                                 |Y=1, ~Y=0       |~Y=1, Y=0 Gdzie: „*” - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię A456 w powyższej tabeli „+” - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar BCD789 w powyższej tabeli. Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni. Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny. Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny Operator AND odpowiada na pytania: A. Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)? Y=1 Odpowiedź symboliczną mamy w linii A123, zaś zero-jedynkową w linii A456, bowiem tylko tu widzimy Y=1. Y=p*q Y=1 <=> p=1 i q=1 B. Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)? ~Y=1 Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze BCD123, zaś zero-jedynkową w obszarze BCD789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1. ~Y=~p+~q ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD789). Równanie logiczne: Y=p*q jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwszą linię. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać. Przykład przedszkolaka W. Jutro pójdę do kina i do teatru Y = K*T ... a kiedy skłamię? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników ~Y=~K+~T Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1) ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1 Czytamy! Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1) Definicja operatora logicznego: Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q Analiza równoważna: Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej: Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q Negujemy wszystkie zmienne otrzymując definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q Dla naszego zdania mamy: W. Jutro pójdę do kina i do teatru Y=K*T - logika dodatnia (bo Y) Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy: A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10 ... a kiedy skłamię? Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y) U: ~Y=~K+~T U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy: B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) lub C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1) lub D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) Prawo Sowy: W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND. Załóżmy, że jest już pojutrze i zaszło: Nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1), czyli skłamałem (~Y=1): ~Y=~K*T co matematycznie oznacza: ~Y=1 <=> ~K=1 i T=1 Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych: ~K=1, K=0 T=1, ~T=0 Definicja operatora logicznego: Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q stąd: Kod:              ~Y=~K*T A: K* T= 0*1 =0 B: K*~T= 0*0 =0 C:~K* T= 1*1 =1 D:~K*~T= 1*0 =0 Skłamałem (~Y=1) bo: Wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1) ~Y=1 <=> ~K=1 i T=1 Doskonale widać działanie prawa Sowy. W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND. Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego to: A. Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze ~Y=~K*T=1*1=1 Oczywiście skłamałem (~Y=1). Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe. Znając naszą obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć: B. Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze Y = ~K+T=0 C. Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze Y=K+T=0 D. Jeśli nie byłem w kinie to byłem w teatrze ~K=>T =0 E. Nie byłem w kinie wtedy i tylko wtedy gdy byłem w teatrze ~K<=>T =0 etc Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe! Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki które w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B, C, D lub E Wniosek: Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę. 3.5 Minimalizacja funkcji logicznych Geniuszem w minimalizacji funkcji logicznych jest nasz mózg, który w praktyce zawsze operuje funkcjami minimalnymi. Minimalizacja jest przydatna przy projektowaniu złożonych automatów cyfrowych w bramkach logicznych, tyle że w dobie mikroprocesorów to epoka kamienna. Można zatem ten rozdział traktować jako ciekawostkę, lub pominąć. Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji. Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1 Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1 Dla dwóch zmiennych p i q mamy: Y=p*q Co matematycznie oznacza: Y=1 <=> p=1 i q=1 Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1 Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1 Dla dwóch zmiennych p i q mamy: Y=p+q Co matematycznie oznacza: Y=1 <=> p=1 lub q=1 Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji Spójnik „i”(*): 1*1 =1 1*0 =0 p*1 =p p*0 =0 p*p =p p*~p=0 Spójnik „lub”(+): 1+1 =1 1+0 =1 p+0 =p p+1 =1 p+p =p p+~p =1 Fundament algebry Kubusia: p*~p =0 p+~p =1 Przydatne prawa dodatkowe Łączność: p+(q+r) = (p+q)+r p*(q*r)=(p*q)*r Przemienność: p+q=q+r p*q=q*r Mnożenie logiczne wielomianów: (p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s Wyciąganie zmiennej przed nawias: p*q+p*r = p*(q+r) Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych. Prawo przejścia do logiki przeciwnej: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne 1. Y=p+q ~Y=~p*~q 2. p=>q ~p~>~q 3. (p+q) => (r*s) (~p*~q)~>(~r+~s) Przykład minimalizacji funkcji logicznej: Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q Dowód tożsamości: Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q Wykorzystane prawa: 1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias 2. q+~q=1 3. p*1=p Mamy: Y=p+(~p*q) Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników: ~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q Wykorzystane prawa 1. Przejście do logiki ujemnej 2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian 3. p*~p=0 4. 0+x=x Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y): ~Y=~p*~q Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y) Y = p+q cnd Oczywiście układ równań minimalnych: Y=p+q ~Y=~p*~q to nic innego jak definicja operatora OR. Metody minimalizacji funkcji logicznej Nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi. Absorpcja: p*(p+q)=p 1. Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki: Y=p*(p+q)=p Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p Wykorzystane prawa: Mnożenie wielomianu przez zmienną p p*p=p p=p*1 Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias 1+q=1 p*1=p cnd 2. Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego: p*(p+q)=p Kod: p q p+q p*(p+q) 1 1 =1   =1 1 0 =1   =1 0 1 =1   =0 0 0 =0   =0 Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji: p*(p+q) = p 3. Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y): Y=p*(p+q) Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1 Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0 niezależnie od wartości q. stąd: Y=p*(p+q)=p cnd Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:21, 05 Lut 2013, w całości zmieniany 18 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 19:19, 05 Lut 2013    Temat postu: 4.0 Implikacja i równoważność w pigułce Definicja operatora logicznego: Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q Prawo Sowy: W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND. Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego. Fundament algebry Kubusia: Definicje operatorów logicznych AND, OR, =>, ~>, <=> zbudowane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q. Wszelkie prawa algebry Kubusia obowiązują dla świata niezdeterminowanego. W przypadku determinacji poprzednika lub następnika jedyną poprawną metodą analizy matematycznej jest analiza wszystkich możliwych przeczeń p i q zgodnie z definicją operatora logicznego. Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają: 1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe 0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz. 4.1 Definicje znaczków =>, ~> i ~~> Fundamentem operatorów implikacji i równoważności są zaledwie trzy znaczki => , ~> i ~~> Diagram implikacji prostej: Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia: p=>q = ~p~>~q p=>q Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q Ogólna definicja znaczka =>: => - warunek wystarczający Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>. Wymuszam p i musi pojawić się q p=>q Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q Definicja znaczka => spełniona bo: Zbiór p zawiera się w zbiorze q W mowie potocznej warunek wystarczający => to spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki. Diagram implikacji odwrotnej: Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia: p~>q = ~p=>~q p~>q Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q Ogólna definicja znaczka ~>: ~> - warunek konieczny Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>. p~>q Jeśli zajdzie p to „może” zajść q Definicja znaczka ~> spełniona bo: Zbiór p zawiera w sobie zbiór q Zabieram zbiór p i musi zniknąć q W mowie potocznej, w implikacji, warunek konieczny ~> to spójnik „może” między p i q. W równoważności <=> warunek konieczny ~> istnieje na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” z powodu tożsamości zbiorów p i q. Ogólna definicja znaczka ~~>: ~~> - naturalny spójnik „może” między p i q Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~> p~~>q Zbiory: p*q =1 Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q Matematyczny związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> opisują prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q p~>q = ~p=>~q Prawa Kubusia działają wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q. Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego i prawa Sowy. Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności: W implikacji i równoważności zdanie zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane. p=>q - logika dodatnia bo q ~p~>~q - logika ujemna bo ~q Definicja warunku koniecznego ~> w całym obszarze logiki: Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik. Prawa Kubusia: p~>q = ~p=>~q ~p~>~q = p=>q W świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q zachodzi: Jeśli z prawej strony tożsamości udowodnimy warunek wystarczający =>, to tym samym udowodnimy warunek konieczny ~> z lewej strony (albo odwrotnie). Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej. Z praw Kubusia wynika, że całą logikę w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do dowodzenia banalnych warunków wystarczających. Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q): A: p=>q=1 B: p~~>~q=0 p=>q Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego: 1. A: p=>q Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q Jeśli tak to: p=>q=1 cnd 2. Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego: B: p~~>~q=1 Kontrprzykład znaleziony to: A: p=>q =0 cnd Kontrprzykład wykluczony to: A: p=>q =1 cnd Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q): C: ~p=>~q=1 D: ~p~~>q=0 ~p=>~q Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego: 1. C: ~p=>~q Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q Jeśli tak to: ~p=>~q=1 cnd 2. Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego: D: ~p~~>q=1 Kontrprzykład znaleziony to: C: ~p=>~q =0 cnd Kontrprzykład wykluczony to: C: ~p=>~q =1 cnd 4.2 Implikacja prosta Diagram implikacji prostej: Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia: p=>q = ~p~>~q p=>q Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q) Symboliczna definicja implikacji prostej: Kod: Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna B: p~~>~q=0 - twardy fałsz wynikający wyłącznie z A … a jeśli zajdzie ~p Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D D:~p~~>q =1 = miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C Gdzie: => - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki ~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji: ~p~>~q = p=>q ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p~>~q p=>q Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q Alternatywna definicja implikacji prostej: Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między p i q p=>q =1 p~>q = ~p=>~q =0 Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji prostej: Kod: Definicja symboliczna   |Zbiory  |Kodowanie         |Kodowanie Warunek wystarczający =>|        |zero-jedynkowe    |zero-jedynkowe w logice dodatniej (q)  |        |p q p=>q          |~p ~q ~p~>~q A: p=> q=1              | p* q=1 |1 1 =1 / p=> q =1 | 0  0   =1 B: p~~>~q=0             | p*~q=0 |1 0 =0 / p~~>~q=0 | 0  1   =0 ..a jeśli zajdzie ~p Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (~q) C: ~p~>~q=1             |~p*~q=1 |0 0 =1            | 1  1   =1 /~p~>~q=1 D: ~p~~>q=1             |~p* q=1 |0 1 =1            | 1  0   =1 /~p~~>q=1     1   2 3               a  b c  4 5  6              7  8    9 Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej:                                  |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0                                  |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0 Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia: p=>q = ~p~>~q Operator implikacji prostej odpowiada na pytania: A. Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)? Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q): p=>q p=1 Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1. B. Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)? Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q): ~p~>~q ~p=1 Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1. Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q (logika dodatnia bo q) otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456. Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q (logika ujemna bo ~q) otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD789. Przykład: A. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy P=>4L=1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna Definicja znaczka => spełniona bo: Zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami Zajście P jest warunkiem wystarczającym dla zajścia 4L Jeśli wymusimy P to na pewno pojawi się 4L Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami i nie jest z nim tożsamy P#4L co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji: P=>4L = ~P~>~4L Zdanie A w zbiorach: P=>4L = P*4L =P P=>4L=1*1=1 Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe) stąd: B. Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap P~~>~4L =0 - bo wszystkie psy mają cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A Zdanie B w zbiorach: P~~>~4L = P*~4L =0 P~~>~4L =1*1=0 Oba zbiory istnieją (P=1, ~4L=1), lecz są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe) Zauważmy, że zapis: P=>~4L=0 Jest błędny matematycznie na mocy definicji znaczka =>: Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora => Taki przypadek opisujemy matematycznie znaczkiem ~~>: P~~>~4L ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia. … a jeśli zwierzę nie jest psem? Prawo Kubusia: P=>4L = ~P~>~4L Z diagramu doskonale widać co może się wydarzyć, jeśli zwierzę nie będzie psem. C. Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap ~P~>~4L =1 bo kura, wąż .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D Definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona bo: Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L, co doskonale widać na diagramie. Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap Zabieramy zbiór ~P i znika nam zbiór ~4L, czyli ~P jest konieczne ~> dla ~4L Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji: ~P~>~4L = P=>4L Zdanie C w zbiorach: ~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L ~P~>~4L = 1*1=1 Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe) LUB D. Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy ~P~~>4L=1 bo koń, słoń .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C Zdanie D w zbiorach: ~P~~>4L = ~P*4L ~P~~>4L= 1*1=1 Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe) Zauważmy, że słownie użyliśmy tu „identycznego” spójnika „może” jak w zdaniu C. W zdaniu D definicja znaczka ~> nie jest spełniona bo: Zbiór ~P nie zawiera w sobie całego zbioru 4L, poza tym zbiorem jest zbiór P, czyli pies z czterema łapami. Stąd w zdaniu D nie wolno nam użyć znaczka ~>. Oczywistym antidotum jest tu znaczek ~~> o definicji: ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia. Brak warunku koniecznego ~> w zdaniu D można też łatwo udowodnić na drodze czysto matematycznej metodą nie wprost. Załóżmy że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny ~>: Prawo Kubusia: ~P~>4L = P=>~4L =0 Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>. cnd Kodowanie zero-jedynkowe: Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej. A: P=>4L P=1, ~P=0 4L=1, ~4L=0 Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie C to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej. C: ~P~>~4L ~P=1, P=0 ~4L=1, 4L=0 Kod: Zapis symboliczny |Kodowanie      |Kodowanie                   |zero-jedynkowe |zero-jedynkowe                   | P 4L P=>4L    |~P ~4L ~P~>~4L A: P=> 4L =1      | 1  1  =1      | 0   0   =1 B: P~~>~4L=0      | 1  0  =0      | 0   1   =0 C:~P~>~4L =1      | 0  0  =1      | 1   1   =1 D:~P~~>4L =1      | 0  1  =1      | 1   0   =1 Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:                   | P=1, ~P=0     |~P=1, P=0                   |4L=1, ~4L=0    |~4L=1, 4L=0 Zastanówmy się jaka będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka. Załóżmy, że wylosowaliśmy: kurę Dla kury mamy 100% determinizm. Jeśli wylosowano kurę to na pewno => kura nie jest psem i nie ma czterech łap K=>~P*~4L = 1*1=1 Dla kury nasz świat jest zdeterminowany: ~P=1, P=0 ~4L=1, 4L=0 Definicja operatora logicznego: Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy: Kod:                     K=>~P*~4L A: K=> P* 4L = 0*0 =0 B: K=> P*~4L = 0*1 =0 C: K=>~P*~4L = 1*1 =1 D: K=>~P* 4L = 1*0 =0 Jak widzimy, dla kury wyłącznie zdanie C jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe. Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND. Prawo Sowy: W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND Prawo Sowy potwierdza nasza tabela wyżej. Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek w implikacji prostej. 4.3 Implikacja odwrotna Diagram implikacji odwrotnej: Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia: p~>q = ~p=>~q p~>q Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q) Symboliczna definicja implikacji odwrotnej: Kod: Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo B B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo A … a jeśli zajdzie ~p Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w C i D C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z C Gdzie: ~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji: p~>q = ~p=>~q => - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy Alternatywna definicja implikacji odwrotnej: Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między p i q p~>q= ~p=>~q =1 p=>q=0 Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji odwrotnej: Kod: Definicja symboliczna |        |Kodowanie        |Kodowanie Warunek konieczny ~>  |Zbiory  |zero-jedynkowe   |zero-jedynkowe w logice dodatniej (q)|        |p q p~>q         |~p ~q ~p=>~q A: p~>q=1             | p* q=1 |1 1 =1 / p~> q=1 | 0  0   =1 B: p~~>~q=1           | p*~q=1 |1 0 =1 /p~~>~q=1 | 0  1   =1 .. a jeśli zajdzie ~p Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Warunek wystarczający => w logice ujemnej (~q) C: ~p=>~q=1           |~p*~q=1 |0 0 =1           | 1  1   =1 /~p=>~q=1 D: ~p~~>q=0           |~p* q=0 |0 1 =0           | 1  0   =0 /~p~~>q=0     1   2 3             a  b c  4 5  6             7  8    9 Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:                                |p=1, ~p=0        | ~p=1, p=0                                |q=1, ~q=0        | ~q=1, q=0 Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia: p~>q = ~p=>~q Operator implikacji odwrotnej odpowiada na pytania: A. Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)? Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q): p~>q p=1 Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1. B. Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)? Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q): ~p=>~q ~p=1 Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1. Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD456. Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD789. Przykład: A. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem 4L~>P=1 bo pies, miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B Definicja znaczka ~> spełniona bo: Zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P Cztery łapy są konieczne ~> aby być psem Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P Definicja implikacji odwrotnej spełniona bo zbiory 4L i P są różne: 4L#P Co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P) o definicji: 4L~>P = ~4L=>~P Zbiory: 4L*P=P 4L*P=1*1=1 Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe) LUB B. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem 4L~~>~P=1 bo koń, słoń .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A Zbiory: 4L*~P = 1*1=1 Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe) … a jeśli zwierzę nie ma czterech łap? Prawo Kubusia: 4L~>P = ~4L=>~P stąd: C. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem ~4L=>~P =1 bo kura, wąż .. , twarda prawda, gwarancja matematyczna Definicja znaczka => spełniona bo: Zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P Brak czterech łap wystarcza => aby nie być psem Dodatkowo zbiory ~4L i ~P są różne, co wymusza implikacje prostą w logice ujemnej (bo ~P) o definicji: ~4L=>~P = ~4L~>P Zbiory: ~4L*~P = ~4L ~4L*~P=1*1=1 Oba zbiory istnieją (~4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe) D. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem ~4L~~>P=0 bo każdy pies ma cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C Zbiory: ~4L*P = 1*1=0 Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe) Gdzie: => - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki ~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji: p~>q = ~p=>~q ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia Dwa dowody nie wprost iż w zdaniu B nie jest spełniony warunek konieczny ~>: 1. Załóżmy że w zdaniu B zachodzi warunek konieczny: Prawo Kubusia: 4L~>~P = ~4L=>P =0 Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~> 2. Dokładnie to samo wynika z definicji znaczka ~>: 4L~>~P Zbiór 4L musi zawierać w sobie zbiór ~P Z diagramu widać, że zbiór ~P to także zbiór ~4L. Definicja znaczka ~> nie jest wiec spełniona, warunek konieczny ~> tu nie zachodzi. Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy. Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P): A: 4L~>P 4L=1, ~4L=0 P=1, ~P=0 Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P): C: ~4L=>~P ~4L=1, 4L=0 ~P=1, P=0 Kod: Zapis symboliczny |Kodowanie      |Kodowanie                   |zero-jedynkowe |zero-jedynkowe                   | 4L P 4L~>P    |~4L ~P ~4L~>~p A: 4L~> P =1      |  1 1  =1      |  0  0   =1 B: 4L~~>~P=1      |  1 0  =1      |  0  1   =1 C:~4L=> ~P=1      |  0 0  =1      |  1  1   =1 D:~4L~~> P=0      |  0 1  =0      |  1  0   =0 Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli                   |4L=1, ~4L=0    |~4L=1, 4L=0                   | P=1, ~P=0     |~P=1, P=0 Doskonale widać tabele implikacji odwrotnej. Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej, w żargonie możemy powiedzieć iż zdania A jest implikacją odwrotną. Dlaczego w żargonie? Precyzyjnie zdanie A to tylko i wyłącznie warunek konieczny ~> wchodzący w skład definicji implikacji odwrotnej: 4L~>P = ~4L=>~P Dopóki nie udowodnimy prawej strony nie mamy prawa mówić iż zdanie A jest implikacją odwrotną. Zastanówmy się teraz jak będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka. Załóżmy że wylosowaliśmy: kota Dla kota mamy 100% determinizm. Jeśli wylosowano kota to na pewno => kot ma cztery łapy i nie jest psem K=>4L*~P = 1*1=1 Dla kota nasz świat jest zdeterminowany: 4L=1, ~4L=0 ~P=1, P=0 Definicja operatora logicznego: Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy: Kod:                     K=>4L*~P A: K=> 4L* P = 1*0 =0 B: K=> 4L*~P = 1*1 =1 C: K=>~4L*~P = 0*1 =0 D: K=>~4L* P = 0*0 =0 Jak widzimy, dla kota wyłącznie zdanie B jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe. Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND. Prawo Sowy: W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND Prawo Sowy potwierdza nasza tabela wyżej. Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek w implikacji prostej. 4.4 Równoważność Diagram równoważności: Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) W równoważności zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q). Definicja symboliczna równoważności: Kod: p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z A ~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q) Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w C i D C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z C gdzie: => - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) gdzie: Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) A: p=>q=1 B: p~~>~q=0 p=>q Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q Wymuszam p i musi pojawić się q Definicja znaczka => spełniona bo: Zbiór p zawiera się w zbiorze q Dodatkowo zbiory p i q są tożsame co wymusza równoważność: p=q Tożsamość p i q wymusza tożsamość ~p i ~q: ~p=~q Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q): C: ~p=>~q =1 D: ~p~~>q =0 ~p=>~q Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q Wymuszam ~p i musi pojawić się ~q Definicja znaczka => spełniona bo: Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q Dodatkowo zbiory ~p i ~q są tożsame co wymusza równoważność: ~p=~q Tożsamość ~p i ~q wymusza tożsamość p i q: p=q W równoważności, i tylko tu, obowiązuje prawo kontrapozycji: ~p=>~q = q=>p stąd definicja równoważności uwielbiana przez matematyków: p<=>q = (p=>q)*(q=>p) Z powodu tożsamości zbiorów spełniona jest definicja wirtualnego warunku koniecznego [~>]: [p~>q] Zbiór p zawiera w sobie zbiór q bo zbiory p i q są tożsame. Zabieram p i musi zniknąć q W równoważności spełnione są ogólne definicje warunku koniecznego [~>]: [p~>q] = ~p=>~q [~p~>~q] = p=>q gdzie: [~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji, bo mamy tożsamość zbiorów p i q i o żadnym „rzucaniu monetą” nie może być mowy => - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki stąd: Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia: p<=>q = (p=>q)*[p~>q] Gdzie: <=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” między p i q => - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki [~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji, bo mamy tożsamość zbiorów p i q i o żadnym „rzucaniu monetą” nie może być mowy Alternatywna definicja równoważności: Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i wirtualnego koniecznego [~>] między p i q p<=>q = (p=>q)*[p~>q] p=>q =1 [p~>q] = ~p=>~q =1 Kodowanie zero-jedynkowe: W równoważności kodowanie zero-jedynkowe nie zależy od przyjętego punktu odniesienia. Obojętne jest, czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie: p<=>q czy też ~p<=>~q ponieważ zawsze otrzymamy tabelę zero-jedynkową równoważności. Symboliczna i zero-jedynkowa definicja równoważności: Kod: Definicja        |Zbiory       |Definicja     |Definicja symboliczna      |             |zero-jedynkowa|zero-jedynkowa -------------------------------------------------------------    p   q  p<=>q  | p  q  p<=>q | p  q  p<=>q  | ~p ~q ~p<=>~q ------------------------------------------------------------- Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) A: p=> q   =1    | p* q   =1   | 1  1   =1    |  0  0   =1 B: p~~>~q  =0    | p*~q   =0   | 1  0   =0    |  0  1   =0 Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) C:~p=>~q   =1    |~p*~q   =1   | 0  0   =1    |  1  1   =1 D:~p~~> q  =0    |~p* q   =0   | 0  1   =0    |  1  0   =0    1   2    3      a  b    c     4  5    6    |  7  8    9 Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli                                |p=1, ~p=0     |~p=1, p=0                                |q=1, ~q=0     |~q=1, q=0 Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości: p<=>q = ~p<=>~q Dowód równoważny: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Wyłącznie negujemy wszystkie zmienne: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q) Prawe strony są tożsame zatem zachodzi prawo algebry Kubusia: p<=>q = ~p<=>~q cnd Operator równoważności odpowiada na pytania: A. Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)? Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q): p=>q p=1 Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1. B. Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)? Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q): ~p=>~q ~p=1 Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1. Przykład - twierdzenie Pitagorasa: RA. Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) Dowodzimy warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo SK) TP=>SK A. Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów TP=>SK =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A Oczywiście zbiory TP i SK są tu tożsame: TP=SK Definicja znaczka => spełniona bo: Zbiór TP zawiera się w zbiorze SK Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP i SK B. Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów TP~~>~SK=0 - twardy fałsz wynikający tylko i wyłącznie z linii A Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 … a jeśli trójkąt nie jest prostokątny? RC: ~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK) Dowodzimy warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~SK) ~TP=>~SK C. Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów ~TP=>~SK =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C Także zbiory ~TP i ~SK są tożsame: ~TP=~SK Definicja znaczka => spełniona bo: Zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP i ~SK D. Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów ~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie z linii C. Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 Kodowanie zero-jedynkowe nie zależy od tego czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie RA czy też RC. Zawsze otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora równoważności. Symboliczna i zero-jedynkowa definicja równoważności: Kod: Definicja           |Definicja         |Definicja symboliczna         |zero-jedynkowa    |zero-jedynkowa -------------------------------------------------------------    TP   SK  TP<=>SK | TP  SK  TP<=>SK  | ~TP ~SK ~TP<=>~SK ------------------------------------------------------------- Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK) A: TP=> SK   =1     |  1  1   =1       |  0  0   =1 B: TP~~>~SK  =0     |  1  0   =0       |  0  1   =0 Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~SK) C:~TP=>~SK   =1     |  0  0   =1       |  1  1   =1 D:~TP~~> SK  =0     |  0  1   =0       |  1  0   =0    1   2    3          4  5    6       |  7  8    9 Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli                     |TP=1, ~TP=0       |~TP=1, TP=0                     |SK=1, ~SK=0       |~SK=1, SK=0 Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości: TP<=>SK = ~TP<=>~SK 4.5 Implikacja i równoważność w zbiorach i gwarancjach matematycznych Definicje implikacji i równoważności w zbiorach: Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne Zbiory tożsame w równoważności: p=q ~p=~q Definicje implikacji i równoważności w gwarancjach matematycznych: Gwarancja matematyczna = warunek wystarczający => Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q): A: p=>q =1 B: p~~>~q =0 Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q): C: ~p=>~q=1 D: ~p~~>q=0 Implikacja to zawsze jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna =>: Definicja implikacji prostej: p=>q = ~p~>~q = ~(p*~q) Definicja implikacji odwrotnej: p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q) Równoważność to zawsze dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne =>: Definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) p=>q = ~(p*~q) ~p=>~q = ~(~p*q) Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:28, 05 Lut 2013, w całości zmieniany 1 raz Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 19:27, 05 Lut 2013    Temat postu: Dodatek A Definicje czworokątów w algebrze Kubusia Każda nowa idea potrzebuje jakiegoś spektakularnego zastosowania. Z algebrą Kubusia jest ten kłopot że nie jest w stanie nikogo zaskoczyć, bowiem algebrę Kubusia doskonale znają wszyscy ludzie na Ziemi od 5-cio latka po profesora. Myślę, że nowe definicje czworokątów w algebrze Kubusia w 100% jednoznaczne, oraz prawa matematyczne zachodzące pomiędzy tymi definicjami to piękny przykład realnego zastosowania algebry Kubusia, który mam nadzieję przekona wielu matematyków. Dla zrozumienia artykułu konieczne jest zapoznanie się z algebrą Kubusia w pigułce, odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z zakresu logiki wykładanej w Ziemskich uczelniach oraz włączenie na czas czytania naturalnej logiki człowieka, algebry Kubusia, którą wszyscy doskonale znamy. Aktualnie ludzkość zna wyłącznie logiki formalne z definicji totalnie sprzeczne z naturalną logiką człowieka. Przykład: Jeśli kura ma trąbę to świnie latają w kosmosie Zdanie prawdziwe w logice formalnej zwanej Klasyczny Rachunek Zdań. Spis treści: 1.0 Notacja 2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia 3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów 3.1 Grupa trapezów 3.2 Grupa równoległoboków 3.3 Grupa prostokątów 3.4 Grupa rombów 4.0 Grupa deltoidów 5.0 Twierdzenie prostokątów 6.0 Równoważnościowe definicje grup czworokątów 1.0 Notacja Spójniki logiczne w algebrze Kubusia W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych. Operatory OR i AND: * - spójnik „i” w mowie potocznej + - spójnik „lub” w mowie potocznej Operatory implikacji i równoważności: => - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki ~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji ~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy <=> - wtedy i tylko wtedy Komentarz: Logika matematyczna naszego Wszechświata jest jedna. Nie może być tak że do obsługi matematycznej zbiorów w matematyce obowiązuje logika X, a poza matematyką zbiory obsługiwane są logiką Y. Podejrzyjmy zatem jak zbiory obsługują eksperci algebry Kubusia, humaniści i 5-cio latki … bo nie ma nic prostszego pod słońcem. Dziedzina: Zbiór zwierząt Kryterium tworzenia zbiorów: Ilość nóg Zwierzęta dzielimy na zwierzęta bez nóg (wąż..), z dwiema nogami (kura ..), z czterema nogami (pies, kot ..) i pozostałe (np. mrówka) Zwierzęta z czterema łapami to: pies, kot, słoń i pozostałe Implikacja prosta: Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy P+K+S =>4L Definicja znaczka => spełniona bo: Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami Każdy pies zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami Każdy pies ma cztery łapy Każdy kot zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami Każdy kot ma cztery łapy Prawo Kłapouchego: W implikacjach bezczasowych implikacja prosta po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną (i odwrotnie). Implikacja odwrotna: Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem, kotem lub słoniem Definicja znaczka ~> spełniona bo: Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie ~> zbiór P+K+L 4L~>P+K+S Zbiór psów, zbiór kotów i zbiór słoni to zbiory rozłączne. Pies nie jest podzbiorem kota, ani odwrotnie. Pies nie jest szczególnym przypadkiem kota ani odwrotnie. Nie istnieje zwierzę pieso-kot, które by było jednocześnie psem i kotem. Identycznie mamy w matematyce, co za chwilę zobaczymy. 2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia Znaczenie zmiennych: KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów) ~KR - nie wszystkie kąty równe BR - wszystkie boki równe (grupa rombów) ~BR - nie wszystkie boki równe PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków) JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła) PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów) Grupa czworokątów: Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych. CZ = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez + deltoid + pozostałe czworokąty gdzie: Pozostałe czworokąty to np. czworokąty o losowej długości boków Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia Kwadrat Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe KW=KR*BR W logice Ziemian mamy precyzyjnie zdefiniowany kwadrat którego nie sposób pomylić z innym czworokątem. Możemy go zatem łatwo użyć do utworzenia ścisłej definicji prostokąta i rombu. Prostokąt Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach PR =KR*~BR Romb Romb to kwadrat o nie równych kątach ROMB = ~KR*BR Równoległobok Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe Trapez Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych. Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi: ~KR=1 i ~BR=1 Deltoid Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych Deltoid=PKP*~KR*~BR 3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów Ziemska definicja równoległoboku: [link widoczny dla zalogowanych] Równoległobok Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe. Ziemska definicja równoległoboku to definicja GRUPY równoległoboków a nie konkretnego, tego jedynego w swoim rodzaju równoległoboku o definicji INNEJ niż pozostałych równoległoboków. Powinno być! GRUPA równoległoboków Grupa równoległoboków to czworokąty w których przeciwległe boki są parami równe i równoległe. Definicja GRUPY równoległoboków w równaniu algebry Boole’a: GR = ROWNOLEGŁOBOK + kwadrat + prostokąt + romb GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe Definicja równoległoboku (tego jedynego o definicji INNEJ niż pozostałe czworokąty): Równoległobok Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, nie mający kątów prostych i nie mający boków równych ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR Oczywiście równanie algebry Boole’a opisujące grupę równoległoboków mamy prawo zminimalizować. Zadanie na poziomie I klasy LO: Zminimalizować funkcję logiczną opisującą grupę równoległoboków GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR Znaczenie zmiennych: KR = wszystkie kąty równe ~KR - nie wszystkie kąty równe BR - wszystkie boki równe ~BR - nie wszystkie boki równe PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe Podstawmy: r = PBPRiR p=KR q=BR stąd nasze równanie przybiera postać: GR = r*~p*~q + p*q +p*~q +~p*q GR = r*~p*~q + p*(q+~q) + ~p*q Zastosowane prawo algebry Boole’a: wyciągnięcie zmiennej przed nawias GR = r*~p*~q + p + ~p*q Użyte prawa: q+~q=1 p*1=p Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników. Oczywiście możemy to prawo stosować lokalnie, co wyjaśni dalsze działanie Kubusia o bardzo małym rozumku. W powyższym równaniu zajmiemy się na razie dwoma ostatnimi wyrażeniami. ~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*(p+~q)] ~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*p+~p*~q] Prawo: mnożenie zmiennej przez wielomian ~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*~q] Wykorzystane prawa: p*~p=0 p+0=p … a teraz to sobie ruszymy ten pierwszy człon. ~GR = [~r+p+q]*[~p*~q] … i mnożymy zmienną ~p*~q przez wielomian. ~GR = ~r*~p*~q + p*~p*~q + q*~p*~q ~GR = ~r*~p*~q Wykorzystane prawa: p*~p=0 0*p=0 0+x=x Przechodzimy do logiki przeciwnej: GR = r + p + q Przywracając znaczenie zmiennych: GR = PPBRiR + KR + BR Znaczenie zmiennych: KR = wszystkie kąty równe ~KR - nie wszystkie kąty równe BR - wszystkie boki równe ~BR - nie wszystkie boki równe PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a? GR = PBPRiR + KR + BR Matematycznie to równanie oznacza: GR=1 <=> PBPRiR=1 lub KR=1 lub BR=1 1. Losujemy dowolny czworokąt: równoległobok ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR Stwierdzamy: PBPRiR=1 STOP! Dalszych zmiennych nie musimy sprawdzać! Równoległobok (ten konkretny, jedyny w swoim rodzaju!) należy do grupy równoległoboków 2. Losujemy: kwadrat lub prostokąt Stwierdzamy: KR=1 STOP! Nic więcej nie musimy sprawdzać! Kwadrat i prostokąt należy do grupy równoległoboków! 3. Losujemy: romb lub kwadrat Stwierdzamy: BR=1 STOP! Nic więcej nie musimy sprawdzać! Kwadrat i romb należy do grupy równoległoboków! 4. Losujemy: Trapez Stwierdzamy: DPBRiR=0 KR=0 BR=1 Trapez należy do grupy równoległoboków?! Czy trapez ma przeciwległe boki parami równe i równoległe? W ostatnim przypadku od razu wyszła tragiczna definicja trapezu w logice Ziemian. [link widoczny dla zalogowanych] Trapez: Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Poprawna definicja trapezu rozumiana jako ten JEDYNY w swoim rodzaju czworokąt różny od innych czworokątów musi być taka. Algebra Kubusia: Trapez Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma DOKŁADNIE jedną parę boków równoległych, ale nie równych. Trapez = JPBRiNR JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych Dopiero przy tej definicji nasza matematyczna definicja grupy równoległoboków jest GENIALNA! Powtórzmy punkt 4. 4A. Losujemy: Trapez Stwierdzamy: DPBRiR=0 KR=0 BR=0 Czyli: Wszystkie boki równe = 0 Ziemska definicja trapezu tego nie wyklucza, czyli wedle Ziemian trapez może być: kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem, trapezem Ziemska definicja trapezu: [link widoczny dla zalogowanych] Trapez: Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Jak widzimy, jak bumerang wraca tu koszmar ziemskich matematyków. Trapez to: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez Czyli: Trapez to trapez Oczywiście chodzi tu o grupę trapezów! Grupa trapezów to: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez Zapis grupy trapezów w równaniu algebry Boole’a: GT = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez czyli: GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBRiNR*~KR*~BR Do definicji trapezu z AK dokładamy człon: ~KR*~BR oczywiście to jest człon nieszkodliwy bo dla trapezu zachodzi: ~KR=1 ~BR=1 Wolno nam! stąd końcowe równanie grupy trapezów jest takie: GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + (PBPRiR + JPBRiNR)*~KR*~BR Jest oczywistością że po minimalizacji równanie logiczne dla GRUPY trapezów przyjmie postać! GT = PBPRiR + KR + BR + JPBRiNR czyli: GT = GRUPA równoległoboków + trapez (ten konkretny trapez= JPBRiNR!) 5. Losujemy: równoległobok Sprawdzamy: PBPRiR=1 STOP! Nic więcej nie musimy sprawdzać! Równoległobok należy do grupy trapezów! 6. Losujemy: trapez Sprawdzamy: JPBRiNR=1 JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych STOP! Nic więcej nie musimy sprawdzać! Trapez (ten konkretny trapez!) należy do grupy trapezów! Czyż algebra Kubusia nie jest genialna? Oczywiście nie Kubuś jest jej autorem bo … algebra Kubusia działała już w chwili Wielkiego Wybuchu! Twierdzenie: Autorem żadnego z praw fizyczno- matematycznych nie jest człowiek, człowiek to tylko odkrywca. Czy człowiek mógłby odkryć jakiekolwiek prawo fizyczno-matematyczne gdyby nie działało ono od zawsze? … czyli od wystarczająco długiego okresu. Czy możliwy byłby Internet bez praw fizycznych działających od zawsze? 3.1 Grupa trapezów I. Grupa trapezów: Trapez Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Definicja grupy trapezów: JPBR JPBR - jedna para boków równoległych Grupa trapezów to: GT = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBR*~KR*~BR W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące trapezami: Każdy kwadrat (KR*BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR) Każdy prostokąt (KR*~BR) jest trapezem ( w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR) Każdy trapez (ten konkretny: JPBR*~KR*~BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR) itd. Równanie logiczne dla grupy trapezów po minimalizacji przyjmuje postać: GT = KR + BR + PBPRiR (równoległobok) + JPBR (trapez) gdzie: Prostokąt (grupa prostokątów): KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt) Romb (grupa rombów): BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb) Równoległobok (grupa równoległoboków): PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok) Trapez (grupa trapezów): JPBR - przynajmniej jedna para boków równoległych (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez) Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy trapezów użyliśmy liczby pojedynczej (trapez) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę trapezów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji. Podobnie mamy z prostokątem, rombem i równoległobokiem. Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe: 1. Prostokąt jest trapezem co matematycznie oznacza: Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR) 2. Trapez jest trapezem Trapez (ten jednoznacznie zdefiniowany: JPBR*~KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR) itd Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych to wszystko jest w porządku. Mamy tu przypadek identyczny jak w implikacji: A. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 To też jest powszechnie używany skrót myślowy który matematycznie oznacza: B. /\x P8(x)=>P2(x) Dla dowolnej liczby naturalnej x, jeśli liczba x jest podzielna przez 8 to na pewno => liczba x jest podzielna przez 2 Matematycznie zdania A i B są tożsame. 3.2 Grupa równoległoboków II. Grupa równoległoboków: Równoległobok Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe Definicja grupy równoległoboków: PBPRiR PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe Grupa równoległoboków to: GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące równoległobokami: Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR) Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem ( w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR) Każdy równoległobok (ten konkretny: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR) itd Równanie logiczne dla grupy równoległoboków po minimalizacji przyjmuje postać: GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok) gdzie: Prostokąt (grupa prostokątów): KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt) Romb (grupa rombów): BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb) Równoległobok (grupa równoległoboków): PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok) Matematycznie zachodzi. Implikacja prosta: Jeśli czworokąt jest kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR) to na pewno => zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR) KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR => PBPRiR Każdy kwadrat (KR*BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR) Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (PBPRiR) Każdy prostokąt (KR*~BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR) Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR) Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR) Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR) Implikacja odwrotna: Jeśli czworokąt jest równoległobokiem (PBPRiR) może [~>] być kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR) Oczywiście zbiory równoległoboków ściśle zdefiniowanych są rozłączne: Kwadrat ## prostokąt ## romb ## równoległobok KR*BR ## KR*~BR ## ~KR*BR ## PBPRiR*~KR*~BR gdzie: ## - różne na mocy definicji Przykładowy dowód dla kwadratu i prostokąta: Badamy czy istnieje część wspólna kwadratu (KR*BR) i prostokąta (KR*~BR) Część wspólna = kwadrat * prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0 Wykorzystane prawa algebry Boole’a: p*p=p p*~p=0 p*0=0 Brak części wspólnej kwadratu i prostokąta jest dowodem iż te czworokąty są rozłączne. Identycznie dowodzimy rozłączność wszystkich pozostałych równoległoboków. Wynika z tego że: Zbiór kwadratów (KR*BR) jest rozłączny ze zbiorem prostokątów (KR*~BR) Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być prostokątem (KR*~BR) i odwrotnie. Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem prostokąta (KR*~BR) i odwrotnie. itd. 3.3 Grupa prostokątów III. Grupa prostokątów Prostokąt Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste. Definicja alternatywna: Prostokąt to czworokąt o wszystkich kątach równych Cechy charakterystyczne: Wszystkie kąty proste Definicja grupy prostokątów: GP=KR Grupa prostokątów to: GP = kwadrat + prostokąt GP = KR*BR + KR*~BR W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące prostokątami (należące do grupy prostokątów). Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych Kwadrat = KR*BR Prostokąt to czworokąt o kątach równych i nie równych bokach Prostokąt = KR*~BR Równanie logiczne opisujące grupę prostokątów po minimalizacji to: GP=KR Dowód: GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 = KR Wykorzystane prawa algebry Boole’a: Wyciagnięcie zmiennej przed nawias p+~p=1 p*1=p Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy prostokątów użyliśmy liczby pojedynczej (prostokąt) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę prostokątów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji. Każdy kwadrat (KR*BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR) Każdy prostokąt (ten ściśle zdefiniowany: KR*~BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR) Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe: 1. Każdy kwadrat jest prostokątem co matematycznie oznacza: Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR) 2. Każdy prostokąt jest prostokątem co matematycznie oznacza: Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR) 3. Dopuszczalne jest także stwierdzenie (choć to jest bardzo naciągane): Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta co matematycznie oznacza: Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR) Nigdy nie może być! Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) jest podzbiorem prostokąta (tego jednoznacznie zdefiniowanego: KR*~BR) bo to są zbiory rozłączne! Dowód: badamy czy istnieje część wspólna tych zbiorów: Kwadrat* prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0 bo prawa algebry Boole’a: p*p=p p*~p=0 p*0=0 Brak części wspólnej jest dowodem rozłączności ściśle zdefiniowanych czworokątów: kwadratu i prostokąta Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych jak wyżej to wszystko jest w porządku. 3.4 Grupa rombów IV. Grupa rombów Romb Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe. Cechy charakterystyczne: Boki równe, przekątne przecinają się pod kątem prostym Definicja grupy rombów: GR=BR Grupa rombów to: GR = kwadrat, romb GR = KR*BR + ~KR*BR W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty należące do grupy rombów. Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych Kwadrat = KR*BR Romb to czworokąt o kątach nie równych i równych bokach Romb = ~KR*BR Równanie logiczne opisujące grupę rombów po minimalizacji to: GR=BR Dowód: GR = kwadrat + romb = KR*BR + ~KR*BR = BR*(KR+~KR) = BR*1 = BR Wykorzystane prawa algebry Boole’a: Wyciagnięcie zmiennej przed nawias p+~p=1 p*1=p Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy rombów użyliśmy liczby pojedynczej (romb) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę rombów (więcej niż jeden czworokąt), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji. Każdy kwadrat (KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR) Każdy romb (ten ściśle zdefiniowany: ~KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR) Oczywiście zbiory kwadratów (KR*BR) i rombów (~KR*BR) są rozłączne czyli: Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być rombem (KR*~BR) i odwrotnie. Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem rombu (~KR*BR). Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) nie jest też szczególnym przypadkiem równoległoboku ściśle zdefiniowanego (PBPRiR*~KR*~BR) gdzie: PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe Dowód: Badamy czy istnieje cześć wspólna: ROMB*równoległobok = (~KR*BR)*(PBPRiR*~KR*~BR) = 0 bo prawo algebry Boole’a: p*~p=0 0*x =0 cnd Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) zawiera się w grupie równoległoboków o definicji. Grupa równoległoboków: GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR Po minimalizacji: GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok) Możemy zatem powiedzieć że: Każdy romb (~KR*BR) zawiera się w grupie (zbiorze) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR) W skrócie: Każdy romb (~KR*BR) jest równoległobokiem (o definicji: KR+BR+PBPRiR) Zauważmy także że: 1. Grupa rombów (o definicji: BR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR) W żargonie: Każdy romb (BR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR) 2. Grupa prostokątów (o definicji: KR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR) W żargonie: Każdy prostokąt (KR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR) 4.0 Grupa deltoidów [link widoczny dla zalogowanych] Cytat: Deltoid – czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii. Oś ta jest wówczas symetralną drugiej przekątnej. W takim czworokącie pewne dwa sąsiednie boki mają równą długość „a”, a pozostałe dwa boki mają także równą długość “b”. Niektórzy autorzy żądają też, aby deltoid był wypukły. Według niektórych, np. Jana Zydlera[1] deltoid dodatkowo nie może mieć wszystkich boków równych[2]. Większość źródeł nie tworzy jednak takich wyjątków i uważa romb za szczególny przypadek deltoidu[3]. W deltoidzie kąty między bokami różnej długości są równe. Każdy deltoid wypukły jest sumą (mnogościową) dwóch trójkątów równoramiennych [link widoczny dla zalogowanych] Cytat: Deltoid Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych, w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe. Jak widać wyżej minęło 2500 lat a Ziemianie nie mogą ustalić jednoznacznych definicji banalnych czworokątów … Jest absolutną oczywistością że czerwone definicje przedstawione wyżej to są dwie różne definicje. Definicja z Wikipedii dotyczy grupy czworokątów zwanych deltoidami (więcej niż jeden), natomiast definicja z math.edu.pl to hiper precyzyjna definicja deltoidu (definicja ścisła) którego nie można pomylić ani z kwadratem, ani z rombem (czy też dowolnym innym czworokątem!). Czyli: 1. Jaś poproszony o narysowanie deltoidu o definicji z Wikpedii może sobie rzucać kostką i narysować cokolwiek: kwadrat, romb albo deltoid w ścisłym tego słowa znaczeniu jak w definicji z math.edu.pl. Ta matematyka nie jest jednoznaczna! 2. W myśl definicji z math.edu.pl Jaś poproszony o narysowanie deltoidu musi narysować deltoid zdefiniowany ściśle w tej definicji, czyli czworokąt różny od kwadratu, różny od rombu, różny od jakiegokolwiek innego czworokąta zdefiniowanego ściśle. Ta matematyka jest jednoznaczna! Definicja z math.edu.pl genialna! To jedyna definicja ścisła (obok kwadratu) definiująca pewien czworokąt (deltoid) pozwalająca go odróżnić od jakichkolwiek innych czworokątów. Zauważmy że: „Żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe” eliminuje wszelkie trapezy czyli eliminuje: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez Dwie sąsiednie pary boków równych wymuszają przecięcie się przekątnych pod kątem prostym! Zdefiniujmy grupę deltoidów. Definicja grupy deltoidów: Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym. PKP - przekątne przecinają się pod kątem prostym Definicja tożsama grupy deltoidów to definicja z Wikipedii: Deltoid to czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii. Definicja tożsama grupy deltoidów z math.edu.pl: Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych Oczywiście do tak zdefiniowanej grupy czworokątów należeć będą ściśle (czyli jednoznacznie) zdefiniowane czworokąty: kwadrat (KR*BR), romb (~KR*BR) i deltoid (PKP*~KR*~BR) Ścisłe definicje czworokątów: 1. Kwadrat to czworokąt mający kąty równe i boki równe Kwadrat=KR*BR 2. Romb to czworokąt nie mający kątów równych ale mający boki równe Romb=~KR*BR 3. Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych Deltoid=PKP*~KR*~BR gdzie: KR - wszystkie kąty równe ~KR - nie wszystkie kąty równe BR - wszystkie boi równe ~BR - nie wszystkie boki równe PKP - przekątne przecinają się pod kątem prostym Grupa deltoidów: GD = kwadrat + romb + deltoid (o definicji ścisłej!) GD = KR*BR + ~KR*BR + PKP*~KR*~BR Podstawiamy: p=KR q=BR r=PKP GD = p*q + ~p*q + r*~p*~q GD = q*(p+~p) + r*~p*~q Prawo algebry Boole’a: Wyciągnięcie zmiennej q przed nawias GD = q +( r*~p*~q) Prawa algebry Boole’a: p+~p=1 q*1=q Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników ~GD = ~q*(~r+p+q) ~GD = ~q*~r + ~q*p + ~q*q Mnożenie zmiennej ~q przez wielomian ~GD = ~q*~r + ~q*p Prawo algebry Boole’a: ~q*q =0 0+x = x ~GD = ~q*(~r+p) Wyciągnięcie zmiennej ~q przed wielomian Przechodzimy do logiki przeciwnej GD = q+(r*~p) = r*~p + q Przywracamy znaczenie zmiennych w oryginale GD = PKP*~KR + BR stąd: Równanie opisujące grupę deltoidów po minimalizacji: GD = PKP*~KR + BR co matematycznie oznacza: GD=1 <=> (PKP*~KR)=1 lub BR=1 Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a? A. Losujemy: kwadrat lub romb Stwierdzamy: BR=1 STOP! Nic więcej nie musimy sprawdzać. Kwadrat (KR*BR) i romb (~KR*BR) należą do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR) B. Losujemy: Deltoid Stwierdzamy: (PKP*~KR)=1*1=1 STOP! Deltoid w ścisłym (PKP*~KR*~BR) znaczeniu należy do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR) Wszelkie inne czworokąty ściśle zdefiniowane nie mają prawa należeć do grupy deltoidów i nie należą do grupy deltoidów. Równanie opisujące grupę deltoidów po minimalizacji: GD = PKP*~KR + BR co matematycznie oznacza: GD=1 <=> (PKP*~KR)=1 lub BR=1 C. Losujemy: Prostokąt (KR*~BR) Stwierdzamy: PKP*~KR = 0*0=0 Drugi człon definicji grupy deltoidów: BR=0 - prostokąt nie ma wszystkich boków równych Wniosek: Prostokąt (KR*~BR) nie należy do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR) GD = (PKP*~KR)=(0*0)=0 lub BR=0 GD=0 itd. Podsumowanie: Poprawne matematycznie są stwierdzenia: Kwadrat (KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR) bo BR=1 czyli: Każdy kwadrat (KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR) gdzie: Deltoid w tym przypadku to grupa deltoidów o definicji GD=PKP*~KR + BR … a nie ściśle zdefiniowany deltoid (Deltoid=PKP*~KR*~BR)! Podobnie: Romb (~KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR) bo BR=1 czyli: Każdy romb (~KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR) gdzie: Deltoid w tym przypadku to grupa deltoidów o definicji GD=PKP*~KR + BR … a nie ściśle zdefiniowany deltoid (Deltoid=PKP*~KR*~BR)! Logika naszego Wszechświata jest jedna czyli identyczna logika musi obowiązywać zarówno w świecie humanistów i 5-cio Latków jak i w matematyce. Weźmy zbiory obsługiwane logiką 5-cio Latków: A. Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy P+K+S => 4L Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo: Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałką wektora =>. Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami Sensowne jest mówienie że: Pies należy do zbioru zwierząt z czterema łapami Każdy pies ma cztery łapy Bezsensem jest twierdzenie iż: Pies jest szczególnym przypadkiem czterech łap Pies jest szczególnym przypadkiem grupy zwierząt z czterema łapami itp. IDENTYCZNIE mamy w matematyce! Sensowne jest mówienie że: Romb (~KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR) bo BR=1 czyli: Każdy romb (~KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR) gdzie: deltoid = grupa deltoidów o definicji GD=PKP*~KR + BR … a nie ściśle zdefiniowany deltoid (deltoid=PKP*~KR*~BR)! Bezsensem jest twierdzenie iż: 1. Romb (~KR*BR) jest szczególnym przypadkiem deltoidu (tego zdefiniowanego ściśle: PKP*~KR*~BR) Ten przypadek w świecie zwierzaków wyżej to stwierdzenie iż: Pies jest szczególnym przypadkiem słonia! … czyli bezsens absolutny. 2. Romb (~KR*BR) jest szczególnym przypadkiem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR) itp. 5.0 Twierdzenie prostokątów Twierdzenie prostokątów: Jeśli czworokąt jest prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów PR=>GP Implikacja prosta: PR=>GP = ~PR~>~GP Twierdzenie odwrotne prostokątów: Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~> być prostokątem GP~>PR Implikacja odwrotna: GP~>PR = ~GP=>~PR Dowód: Ścisłe definicje kwadratu i prostokąta: Kwadrat to czworokąt o równych kątach i równych bokach KW=KR*BR Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach PR=KR*~BR - kąty równe i boki nie równe Zauważmy, że dopiero z precyzyjnych definicji kwadratu i prostokąta możemy wyprowadzić równanie opisujące grupę prostokątów. GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 =KR Prawa algebry Boole’a: wyciagnięcie zmiennej przed nawias p+~p=1 p*1=p Grupa prostokątów o definicji: GP=KR to dwa ściśle zdefiniowane czworokąty: Grupa prostokątów = kwadrat + prostokąt Kwadrat = KR*BR Prostokąt = KR*~BR Oczywiście matematycznie zachodzi: Grupa prostokątów ## kwadrat ## prostokąt KR ## KR*BR ## KR*~BR gdzie: ## - różne na mocy definicji Grupa prostokątów (o definicji KR) nie definiuje zatem żadnego konkretnego czworokąta! cnd Zobaczmy to wszystko na diagramie: Twierdzenie: A. Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów KW+PR=>GP =1 bo kwadrat + prostokąt Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo: Zarówno kwadrat jak i prostokąt zawiera się grupie prostokątów Zbiory: KW+PR=GD (KW+PR)*GD =1*1=1 Oba zbiory istnieją (KW+PR=1 i GD=1) i mają część wspólną (są tożsame), co wymusza w wyniku 1 Tożsamość zbiorów (KW+PR) i GP wymusza równoważność, ale załóżmy, że o tym nie wiemy. B. Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to może ~~> nie należeć do grupy prostokątów KW+PR~~>~GP=0 Zbiory: (KW+PR)*~GP =1*1=0 Oba zbiory istnieją (KW+PR=1 i ~GP=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0 … a jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem? Negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy spójniki ~KW*~PR ~>~GP To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty. Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q stąd mamy: C. Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów ~KW*~PR ~>~GP=1 D. Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów ~KW*~PR~~>GP=0 STOP! Zdanie D jest dowodem iż zdanie C spełnia warunek wystarczający =>, nie ma tu miejsca na warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą” charakterystyczne dla implikacji. Zdania C i D muszą zatem brzmieć. C. Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to na pewno => nie należy do grupy prostokątów ~KW*~PR =>~GP=1 bo deltoid, romb, równoległobok, trapez Definicja znaczka => spełniona bo: Zbiór ~KW*~PR zawiera się w zbiorze ~GP, co jest oczywistością z powodu tożsamości tych zbiorów Zbiory: (~KW*~PR)*~GP = 1*1=1 Oba zbiory istnieją (~KW*~PR)=1 i ~GP=1) i mają część wspólną (są tożsame), co wymusza w wyniku 1 D. Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów ~KW*~PR~~>GP=0 Zbiory: (~KW*~PR)*GP = 1*1=0 Oba zbiory istnieją (~KW*~PR=1 i GP=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 Całość to oczywiście równoważność. AR. Grupa prostokątów wtedy i tylko wtedy gdy czworokąt jest kwadratem lub prostokątem GP<=>KW+PR Na tej podstawie możemy użyć tu znaku tożsamości: GP=KW+PR Rozważmy teraz zdanie: A. Jeśli czworokąt jest prostokątem to należy do grupy prostokątów PR=>GP=1 Definicja znaczka => spełniona bo: Prostokąt zawiera się w grupie prostokątów Dodatkowo zbiór PR nie jest tożsamy ze zbiorem GP co wymusza implikację prostą o definicji: PR=>GP = ~PR~>~GP - definicja implikacji prostej Zbiory: PR*GP =PR PR*GP=1*1=1 Oba zbiory istnieją (PR=1 i GP=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 B. Jeśli czworokąt jest prostokątem to może ~~> nie zawierać się w grupie prostokątów PR~~>~GP=0 Zbiory: PR*GP=1*1=1 Oba zbiory istnieją (PR=1 i ~GP=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 … a jeśli czworokąt nie jest prostokątem? Prawo Kubusia na skróty, czyli w równaniu A negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne ~PR~>~GP stąd: C. Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów ~PR~>~GP=1 bo deltoid Definicja znaczka ~> spełniona bo: Zbiór ~PR zawiera w sobie zbiór ~GP Dodatkowo zbiór ~PR nie jest tożsamy ze zbiorem ~GP co wymusza implikację odwrotną: ~PR~>~GP = PR=>GP - definicja implikacji odwrotnej Zbiory: ~PR*~GP=~GP ~PR*~GP=1*1=1 Oba zbiory istnieją (~PR=1 i ~GP=1) i mają cześć wspólną (~GP), co wymusza w wyniku 1 lub D. Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~~> należeć do grupy prostokątów ~PR~~>GP=1 bo kwadrat Zbiory: ~PR*GP=KW ~PR*GP=1*1=1 Oba zbiory istnieją (~PR=1 i GP=1) i mają część wspólną (KW), co wymusza w wyniku 1 Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy dero-jedynkową definicję implikacji prostej. A: PR=>GP PR=1, ~PR=0 GP=1, ~GP=0 Dla kodowania zero-jedynkowego zgodnego ze zdaniem C otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q): C: ~PR~>~GP ~PR=1, PR=0 ~GP=1, GP=0 Kod: Zapis symboliczny |Kodowanie                   |zero-jedynkowe                   | PR GP PR=>GP  |~PR ~GP ~PR~>~GP A: PR=> GP =1     |  1  1   =1    |  0   0   =1 B: PR~~>~GP=0     |  1  0   =0    |  0   1   =0 C:~PR~>~GP =1     |  0  0   =1    |  1   1   =1 D:~PR~~>GP =1     |  0  1   =1    |  1   0   =1     1    2  3        4  5    6       7   8    9 Wniosek: Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie zdanie A jest implikacją prostą. Dlaczego w żargonie? .. bo ściśle matematycznie zdanie A to wyłącznie warunek wystarczający => o definicji wyłącznie w A i B. W powyższej tabeli mamy przy okazji dowód formalny prawa Kubusia - tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9: PR=>GP = ~PR~>~GP Prawo Kubusia w zapisie formalnym: p=>q = ~p~>~q Prawo Kłapouchego: W implikacjach bezczasowych implikacja prosta przechodzi w implikację odwrotną (i odwrotnie). Rozważmy implikacje odwrotną do zdania A wyżej. Implikacja odwrotna: A. Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~> być prostokątem GP~>PR =1 bo prostokąt Definicja znaczka ~> spełniona bo: Zbiór GP zawiera w sobie zbiór PR Dodatkowo zbiór GP nie jest tożsamy ze zbiorem PR co wymusza implikacje odwrotną o definicji: GP~>PR = ~GP=>~PR Zbiory: GP*PR = PR GP*PR=1*1=1 Oba zbiory istnieją (GP=1 i PR=1) i mają część wspólną (PR), co wymusza w wyniku 1 lub B. Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~~> nie być prostokątem GP~~>~PR=1 bo kwadrat Zbiory: GP*~PR=KW GP*~PR=1*1=1 Oba zbiory istnieją (GP=1 i ~PR=1) i mają część wspólną (KW), co wymusza w wyniku 1 … a jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów? Prawo Kubusia: GP~>PR = ~GP=>~PR stąd: C. Jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów to na pewno => nie jest prostokątem ~GP=>~PR=1 bo romb, równoległobok, trapez, deltoid Definicja znaczka => spełniona bo: Zbiór ~GP zawiera się w zbiorze ~PR Dodatkowo zbiór ~GP nie jest tożsamy ze zbiorem ~PR co wymusza implikację prostą o definicji: ~GP=>~PR = GP~>PR Zbiory: ~GP*~PR = ~GP ~GP*~PR=1*1=1 Oba zbiory istnieją (~GP=1 i ~PR=1) i mają część wspólną (~GP) co wymusza w wyniku 1 D. Jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów to może ~~> być prostokątem ~GP~~>PR =0 Zbiory: ~GP*PR = 1*1=0 Oba zbiory istnieją (~GP=1 i PR=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0 Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej: A: GP~>PR GP=1, ~GP=0 PR=1, ~PR=0 Dla kodowania zero-jedynkowego zgodnego ze zdaniem C otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q): C: ~GP=>~PR ~GP=1, GP=0 ~PR=1, PR=0 Kod: Zapis symboliczny |Kodowanie                   |zero-jedynkowe                   | GP PR GP~>PR  |~GP ~PR ~GP=>~PR A: GP~> PR =1     |  1  1   =1    |  0   0    =1 B: GP~~>~PR=1     |  1  0   =1    |  0   1    =1 C:~GP=>~PR =1     |  0  0   =1    |  1   1    =1 D:~GP~~>PR =0     |  0  1   =0    |  1   0    =0     1    2  3        4  5    6       7   8     9 Wniosek: Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w matematycznym żargonie zdanie A jest implikacją odwrotną. Dlaczego w żargonie? .. bo ściśle matematycznie zdanie A to wyłącznie warunek konieczny ~> o definicji : GP~>PR = ~GP=>~PR W powyższej tabeli mamy przy okazji dowód formalny prawa Kubusia - tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9: GP~>PR = ~GP=>~PR Prawo Kubusia w zapisie formalnym: p~>q = ~p=>~q 6.0 Równoważnościowe definicje grup czworokątów Znaczenie zmiennych: KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów) ~KR - nie wszystkie kąty równe BR - wszystkie boki równe (grupa rombów) ~BR - nie wszystkie boki równe PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków) JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła) PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów) Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia Kwadrat Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe KW=KR*BR Prostokąt Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach PR =KR*~BR Romb Romb to kwadrat o nie równych kątach ROMB = ~KR*BR Równoległobok Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe Trapez Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych. Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi: ~KR=1 i ~BR=1 Deltoid Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych Deltoid=PKP*~KR*~BR W poprzednim punkcie omówiliśmy równoważnościową definicję grupy prostokątów. I. Grupa prostokątów Grupa prostokątów = kwadrat + prostokąt GP = KW + PR GP = KR*BR+ KR*~BR Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości. Jeśli usuniemy jeden zbiór, KW lub PR to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”. Otrzymamy wówczas. Implikację prostą: KW=>GP = ~KW~>~GP albo Implikację odwrotną: GP~>KW = ~GP=>~KW Szczegółowe omówienie problemu przedstawione zostało w poprzednim punkcie. Identycznie mamy z pozostałymi grupami czworokątów. II. Grupa rombów Grupa rombów = kwadrat + romb GRombów = KR*BR + ~KR*BR Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości. Jeśli usuniemy jeden zbiór, KW lub ROMB to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”. Otrzymamy wówczas. Implikację prostą: KW=>GRombów = ~KW~>~Grombów albo Implikację odwrotną: GRombów~>KW = ~GRombów=>~KW III. Grupa równoległoboków GR = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości. Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”. Definicja implikacji prostej: KW+PR => GR = ~KW*~PR~>~GR Definicja implikacji odwrotnej: GR~>KW+PR = ~GR=>~KW*~PR IV. Grupa trapezów GT = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + PKP*~KR*~BR Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości. Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”. Definicja implikacji prostej: KW+TRAPEZ => GT = ~KW*~TRAPEZ~>~GR Definicja implikacji odwrotnej: GT~>KW+TRAPEZ = ~GT=>~KW*~TRAPEZ V. Grupa deltoidów GD = kwadrat + romb + deltoid GD = KR*BR + ~KR*BR + PKP*~KR*~BR Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości. Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”. Definicja implikacji prostej: KW+DELTOID => GD = ~KW*~DELTOID~>~GD Definicja implikacji odwrotnej: GD~>KW+DELTOID = ~GD=>~KW*~DELTOID Czyż algebra Kubusia nie jest bajecznie prosta i piękna? Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:30, 05 Lut 2013, w całości zmieniany 1 raz Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 19:29, 05 Lut 2013    Temat postu: ... Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 19:31, 05 Lut 2013    Temat postu: .. Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 19:49, 05 Lut 2013    Temat postu: ...... Powrót do góry Wyświetl posty z ostatnich: Wszystkie Posty1 Dzień7 Dni2 Tygodnie1 Miesiąc3 Miesiące6 Miesięcy1 Rok Najpierw StarszeNajpierw Nowsze         Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa) Strona 1 z 1   Skocz do: Wybierz forum Biuro----------------RegulaminFAQSamoocena - jak śfinie widzą ŚfinięPubliczne testowanie skryptówTest skryptu do KretowiskaKosmosZgłoszenia naruszeń RegulaminuJak zakończyć wojnę CDLM? Komentarze do artykułów----------------ArtykułyNotatkiFelietonyFilipikiKomentarze: Otwarte Referarium Filozoficzne (ORF)Komentarze: Anty(k)wariat WujauserDummyBlog: Biuro KretowiskagetblogKomentarze: Kretowisko (blogosfera)Blog: wujzbojBlog: Michał DyszyńskiBlog: Mirosław GalczakBlog: luzikBlog: KoriBlog: malaaviBlog: hushekBlog: IroBBlog: skrobipiórekBlog: v2Blog: SemeleBlog: bronmus45Blog: JanelleLBlog: Piotr RokubungiBlog: MimozaBlog: MMMEmulacja Działu Regulaminowego - niczego tu nie przenosimy!Blog: jesterPogaduchy luźne u MMMŻURNAL JanelleLNotatnik szkolny 18 JanelleLBlog: evaj23Blog: ApoloniaBlog: towarzyski.pelikanBlog: NetlisBlog: Kruchy04Blog: chryzjanBlog: Czytanki starożytneBlog: AnboBlog: Andy72 Światopogląd----------------FilozofiaRozbieranie irracjonalizmuApologia kontra krytyka teizmuŚwięte KsięgiKatolicyzmReligie i wyznaniaGenesisNauka a światopoglądSztuka a światopogląd Nauka----------------Świat nieożywionyŚwiat ożywionyŚwiat skomputeryzowanyMetodologiaNauki społeczne3: Sprawy ostateczne2: Genesis1: Wiara a wiedzaSprawy techniczneForum Kubusia Sztuka----------------WydarzeniaGaleria twórczościSeriale - utwory w odcinkach Towarzystwo----------------PowitaniaKretowiskoKawiarniaAktualnościLinkowniaGwiezdne WojnyWięzienieKrzyknikŚmietnikMagiel więzienny Stopka----------------Statystyka strony głównej - zliczenia od 1 lutego 2006Zaprzyjaźnione portale  Nie możesz pisać nowych tematów Nie możesz odpowiadać w tematach Nie możesz zmieniać swoich postów Nie możesz usuwać swoich postów Nie możesz głosować w ankietach fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group Regulamin Na skróty:BiuroKomentarze do artykułówŚwiatopoglądNaukaSztukaTowarzystwoStopkaFilozofiaWięzienieKretowiskoKawiarniaApologia kontra krytyka teizmuMetodologiaForum KubusiaRozbieranie irracjonalizmuBlog: hushekKatolicyzmGwiezdne WojnyNauki społeczneBlog: Michał DyszyńskiReligie i wyznaniaŚwięte KsięgiBlog: IroBKosmosGenesisBlog: MMMPowitaniaNauka a światopoglądŚmietnikRegulamin