ŚFiNiA

rafal3006

Credo algebry Kubusia
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).

Nowa teoria implikacji
Matematyka języka mówionego

Algebra Kubusia
Część I
Operatory OR i AND

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !
Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję oraz Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji algebry Kubusia.

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu.

Literatura uzupełniająca:
Część I NTI - Operatory AND i OR
Część II Nowa teoria implikacji

Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Algebra Kubusia w telegraficznym skrócie
2.1 Operatory OR i AND
2.2 Operatory implikacji
2.3 Operator równoważności
2.4 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w algebrze Kubusia
2.5 Algebra Kubusia w praktyce

3.0 Algebra Boole’a
3.1 Podstawowe definicje i prawa algebry Boole’a
3.2 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
3.3 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
3.4 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

4.0 Algebra Kubusia
4.1 Definicja algebry Kubusia
4.2 Parametry formalne i aktualne
4.3 Logika dodania i ujemna
4.4 Równania algebry Boole’a
4.5 Operatory logiczne OR i AND
4.6 Operatory OR i AND w technice bramek logicznych
4.7 Operator OR w naturalnej logice człowieka
4.8 Operator AND w naturalnej logice człowieka
4.9 Operatory OR i AND w obsłudze determinizmu

Wstęp:

W naturalnym języku mówionym każdy człowiek, od 5-cio latka po starca, biegle posługuje się matematyką ścisłą, algebrą Kubusia. To jest matematyka pod którą człowiek podlega a nie którą tworzy. Dzięki niej język człowieka nie jest chaotyczny, człowiek z człowiekiem może się porozumieć. Algebra Kubusia jest nieprawdopodobnie prosta, jej naturalnymi ekspertami są wszystkie dzieci w przedszkolu. Cała filozofia prostoty to akceptacja przez matematyków banalnej logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a … o której jak na razie nie mają bladego pojęcia.

W operatorach OR i AND mamy zdania ze spójnikiem „lub” oraz zdania ze spójnikiem „i” w logice dodatniej albo ujemnej. Operator OR to złożenie zdania twierdzącego ze spójnikiem „lub” w logice dodatniej i zdania ze spójnikiem „i” w logice ujemnej. Operator AND to złożenie zdania twierdzącego ze spójnikiem „i” w logice dodatniej i zdania ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej.

Identycznie jest w implikacji i równoważności.

Fundamentem implikacji i równoważności są warunki wystarczające i konieczne mogące występować w logice dodatniej albo ujemnej. Operatory logiczne implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz równoważności <=> to złożenie odpowiednich warunków wystarczających => i koniecznych ~>, zawsze jeden w logice dodatniej a drugi w logice ujemnej.

Implikacja prosta =>:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Implikacja odwrotna ~>:
Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Równoważność <=>:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Warunki wystarczające i konieczne definiowane są zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej co jest twardym dowodem, że w implikacji oraz równoważności człowiek nigdy nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a !
Algebra Kubusia jest odpowiednikiem języka asemblera ze świata mikroprocesorów, operuje na zmiennych binarnych i stałych w zapisie symbolicznym a nie na zerach i jedynkach, jak to jest w dzisiejszej logice.

1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

Funkcja logiczna
Funkcja logiczna Y to funkcja zmiennych binarnych mogących przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 1 (prawda) albo 0 (fałsz).
Przykład:
Y=A+B*~C
gdzie:
Y - funkcja logiczna
A, B, ~C - zmienne binarne

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
gdzie:
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie)

Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Zmienna binarna:
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów (tu ich nie ma):
~Y=~K
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa
Jak widzimy w przyszłości zmienna może przyjąć dowolną wartość (brak determinizmu).

Stała w zapisie symbolicznym
1.
To jest pies (pokazuję na psa)
Y=P
Y=1 <=> P=1
2.
To nie jest pies (pokazuję na osła)
~Y=~P
~Y=1 <=> ~P=1
W tym przypadku może wystąpić wyłącznie 1 albo 2 czyli mamy 100% determinizm, bo żaden pies nie może stać się osłem i odwrotnie.

Przejście z tabeli zero-jedynkowej do tabeli operatorowej na przykładzie OR

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:

rafal3006

4.0 Algebra Kubusia

4.1 Definicja algebry Kubusia

Definicja algebry Boole’a według Kubusia:
Dwuelementowa algebra Boole’a (wyłącznie cyfry 0 i 1) to algebra bramek logicznych

Poprawna algebra Boole’a musi być zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, wtedy:
Algebra Boole’a = Algebra Kubusia

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to matematyka naturalnego języka mówionego

4.2 Parametry formalne i aktualne

Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
W matematyce operujemy na zmiennych formalnych oznaczanych zwykle literkami p i q.

W zapisie ogólnym powyższe zdanie przybierze postać:
Y=p+q
Dla konkretnego przykładu pod parametry formalne p i q podstawiamy wartości aktualne.
Dla naszego zdania mamy:
p=K
q=T
stąd:
Y=K+T - zapis matematyczny dla konkretnego przykładu

4.3 Logika dodania i ujemna

W logice występują tylko i wyłącznie dwa stany:
1 = prawda
0 = fałsz

Z tego powodu nie da się poprawnie matematycznie obsłużyć naturalnej logiki człowieka bez akceptacji logiki dodatniej i ujemnej.

Zobaczmy na przykładzie gdzie leży problem.

Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
A.
Dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina (K)
Y=1 <=> K=1
Znaczenie zmiennych w logice dodatniej (bo Y):
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
K=1 - jutro pójdę do kina
K=0 - jutro nie pójdę do kina
… a kiedy skłamię ?
Przechodzimy do logiki ujemnej negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne (tu ich nie ma).
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1
Znaczenie zmiennych w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa
~K=1 - jutro nie pójdę do kina
~K=0 - jutro pójdę do kina

Matematyczny związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy:
K = ~(~K) = K - na mocy prawa podwójnego przeczenia
… czyli wszystko się zgadza.

Zauważmy, że dzięki logice dodatniej i ujemnej opisaliśmy aż cztery różne przypadki:
dotrzymam słowa (Y) # skłamię (~Y)
czyli:
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
~Y=1 - skłamię (prawdą jest że skłamałem)
~Y=0 - dotrzymam słowa

Inny przykład:
Stawiam na stole psa i mówię:
To jest pies
czyli:
P=1 - prawda, to jest pies
P=0 - to nie jest pies
a teraz stawiam na stole osła i mówię:
To nie jest pies
czyli:
~P=1 - prawda, to nie jest pies
~P=0 - to jest pies

Logika która nie akceptuje logiki dodatniej i ujemnej nie odróżnia psa od osła.
Zauważmy, że informację w jakiej logice zakodowana jest zmienna binarna mamy zapisaną w nazwie zmiennej:
P=1 - logika dodatnia (brak przeczenia)
~P=1 - logika ujemna (jest przeczenie)

4.4 Równania algebry Boole’a

Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.

Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.