ŚFiNiA

rafal3006

Algebra Kubusia - teoria zdarzeń
2020-02-14

Część II
Teoria zdarzeń

Autor: Kubuś ze 100-milowego lasu

Spis treści
1.0 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 1
1.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 2
1.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 2
1.3 Test sprawdzający rozumienie teorii zdarzeń 3
1.3.1 Operator równoważności A<=>S 4
1.3.2 Operator implikacji prostej A|=>S 6
1.3.3 Operator implikacji odwrotnej A|~>S 9
1.3.4 Operator chaosu A|~~>S 12
1.4 Teoria zdarzeń vs teoria zbiorów 14
1.4.1 Teoria zdarzeń 14
1.4.2 Definicja operatora logicznego vs definicja obiektu fizycznego 16
1.4.3 Teoria zbiorów 19

1.0 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne A1 i B1 są różne na mocy definicji gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

1.3 Test sprawdzający rozumienie teorii zdarzeń

Twierdzenie Słonia:
Dla zrozumienia kompletnej logiki matematycznej potrzeba i wystarcza opanowanie teorii zdarzeń

Twierdzenie Krowy:
Dla zrozumienia kompletnej teorii zbiorów są potrzebne i wystarczające cztery elementy

Udowodnienie twierdzenia Krowy zostawiam oczywiście na sam koniec opowieści o algebrze Kubusia.
Dlaczego?
Bo choć wykłady są tu prościutkie, to nie mają bezpośredniego przełożenia na język potoczny człowieka, bowiem żaden człowiek nie operuje zbiorami sztucznymi, ograniczonymi do czterech elementów.

Teoria zdarzeń ma natomiast 100% przełożenie na język potoczny człowieka, dlatego jest doskonale rozumiana przez wszystkich, od 5-cio latka poczynając.
Dowód twierdzenia Konia podamy na przykładzie zadania z logiki matematycznej w I klasie LO w 100-milowym lesie.

Test sprawdzający rozumienie teorii zdarzeń:
Dane są cztery elementy, żarówka i trzy przyciski A, B, C sterujące tą żarówką które można połączyć w dowolnych konfiguracjach. Nie wszystkie przyciski muszą być używane.

W świecie rzeczywistym człowieka dostępny jest wyłącznie przycisk A i żarówka S. Pozostałe przyciski B i C mogą być dołączane do przycisku A na wszelkie możliwe sposoby.

Polecenie:
Narysuj schematy elektryczne realizujące definicje operatorów logicznych:
1.
Operator równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
2.
Operator implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1=1
3.
Operator implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S = (B1: A~>S)*~(A1: A=>S) = 1*~(0) =1*1 =1
4.
Operator chaosu A|~~>S:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Teoria niezbędna dla rozwiązania testu, podana jest w punktach 1.0 do 1.2.

Przypomnijmy najważniejsze:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego powiązane ze przyciskiem A i żarówką S.
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: s~>A = 4: ~S=>~A
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Rozwiązanie Jasia (lat 15):
Najłatwiejszy sposób rozwiązania powyższych zadań to sprowadzenie wszystkich spójników do warunku wystarczającego => zachodzącego w tą samą stronę, bowiem definicja kontrprzykładu działa tylko i wyłącznie w powiązaniu z warunkiem wystarczającym =>

1.3.1 Operator równoważności A<=>S

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1

Rozważmy przykład z żarówką sterowaną przyciskami A, B i C dowolnie połączonymi:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Dla B1 korzystamy z prawa Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stad definicja tożsama równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Wniosek bezpośredni:
A1: A=>S =1
B2: ~A=>~S =1

Analizujemy zdanie A1:
A1: A=>S =1
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to na 100% => żarówka świeci się (S)
A=>S =1
Wniosek:
Żarówka musi być w obwodzie zamkniętym z przyciskiem A

Stąd mamy schemat początkowy:

rafal3006 · Wysłany: Nie 11:10, 08 Mar 2020 Temat postu:

Spis treści
2.0 Operatory implikacyjne 1
2.1 Definicja równoważności p<=>q w zdarzeniach 1
2.1.1 Fizyczna realizacja operatora równoważności p<=>q 2
2.1.2 Analiza aksjomatycznej definicji równoważności p<=>q 4
2.1.3 Generowanie tabeli zero-jedynkowej równoważności p<=>q 6
2.1.4 Analiza równoważności w języku potocznym 7
2.1.5 Analiza równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 11

2.0 Operatory implikacyjne

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operatory zbudowany ze zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Fundamentem na którym zbudowane są definicje operatorów implikacyjnych są:
1.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
2.
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Do operatorów implikacyjnych zaliczamy:
- operator równoważności p<=>q
- operator implikacji prostej p|=>q
- operator implikacji odwrotnej p|~>q
- operator chaosu p|~~>q

2.1 Definicja równoważności p<=>q w zdarzeniach

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące równoważność p<=>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy 16 możliwych, tożsamych definicji równoważności bowiem pod A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax, zaś pod B1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Bx

2.1.1 Fizyczna realizacja operatora równoważności p<=>q