ŚFiNiA

rafal3006

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia - pogrom logiki matematycznej Ziemian
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Kopernik - zatrzymał słońce, ruszył Ziemię
Kubuś - zatrzymał cyfry, ruszył symbole

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych], [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych]. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita, Yorgina i Pana Baryckiego.

Wstęp.

Największą tragedią Ziemian w logice matematycznej jest grzebanie się non-stop w tabelach zero-jedynkowych, podczas gdy cały świat w programowaniu komputerów już wieki temu uciekł do symbolicznej algebry Boole’a. W programowaniu komputerów człowiek myślał w zerach i jedynkach przez mgnienie oka, praktycznie natychmiast skopiował działanie własnego mózgu uciekając do języków symbolicznych, izolowanych od idiotycznych zer i jedynek. Fundamentem wszelkich języków wysokiego poziomu w programowaniu komputerów jest język asemblera, będący w swej istocie 100% symboliczną algebrą Boole’a, czyli algebrą Kubusia. Poza tym każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora biegle posługuje się logiką dodatnią i ujemną w algebrze Boole’a, o czym Ziemianie nie mają bladego pojęcia.

Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Operatory OR i AND w zbiorach i tabelach zero-jedynkowych
2.1 Definicja operatora OR w zbiorach i tabelach zero-jedynkowych
2.2 Definicja operatora AND w zbiorach i tabelach zero-jedynkowych
2.3 Operatory OR i AND - dwa izolowane układy logiczne
2.4 Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
2.5 Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND
2.6 Twierdzenia o funkcjach logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
2.7 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ

1.0 Notacja

Znaczenie 0 i 1 w matematycznych fundamentach algebry Kubusia:
1 - prawda
0 - fałsz

Zera i jedynki w nowej teorii zbiorów (NTZ) oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

~ - symbol negacji

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej

= - tożsamość
Zbiory:
p=q - zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q
Prawami tożsamościowymi w logice matematycznej są prawa De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Y = p*q = ~(~p+~q)
Zbiory p+q i ~(~p*~q) to zbiory tożsame.
Zbiory p*q i ~(~p+q) to również zbiory tożsame.

Każda tożsamość to automatycznie równoważność.
Prawa De Morgana możemy zatem zapisać w formie równoważności:
p+q <=> ~(~p*~q)
p*q <=> ~(~p+~q)

# - różne
Zbiory:
p#q - zbiór p jest różny od zbioru q (zbiory rozłączne)

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p+q # ~Y=~p*~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
A: Y=p*q
B: ~Y=~p+~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

## - różne na mocy definicji
Operator OR ## Operator AND
Y = p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład:
Y = p+q - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*~q - logika ujemna bo ~Y

Zastosowanie:
Jeśli wiem kiedy dotrzymam słowa (Y=1) to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiem kiedy skłamię (~Y=1) i odwrotnie.
Mamy tu wynikanie w dwie strony, zatem zachodzi równoważność:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Spełniona jest tu definicja dziedziny:
Y+~Y =1 - zdarzenie (zbiór) ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zdarzenia Y
Y*~Y=0 - zdarzenia Y i ~Y są rozłączne
Tej równoważności nie możemy zapisać w postaci tożsamości.
Tożsamość wynika tu z prawa podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Y = Y
Oczywiście każda tożsamość to automatycznie równoważność:
Y<=>Y

2.0 Operatory OR i AND w zbiorach i tabelach zero-jedynkowych

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Algorytm Wuja Zbója:
Y = p+q(r+~s)
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~Y = ~p*[~q+~r*s]
Mnożymy wielomiany:
~Y = ~p*~q + ~p*~r*s

Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Uniwersum to najszersza dziedzina w której człowiek może się poruszać.

Definicja zbioru:
Zbiór to dowolnie wybrany zbiór, uniwersum lub podzbiór uniwersum.

Człowiek może tworzyć dowolne podzbiory uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Przy tej definicji uniwersum można uznać za zbiór wszystkich zbiorów. Oczywiście uniwersum jest dynamiczne, żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza uniwersum. W praktyce rzadko odwołujemy się do uniwersum ale to pojecie jest dla logiki bezcenne.

W logice można ustawić punkt odniesienia na dowolnym zbiorze.
Taki zbiór nosi nazwę dziedziny.

Definicja dziedziny:
Dziedzina to zbiór główny w obrębie którego działamy, poza ramy którego nie wychodzimy

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1

Zbiór pusty nie zawiera żadnych elementów:
p=[] =0 - zbiór pusty

Podstawowe operacje na zbiorach
1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] =0 - zbiór pusty

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
~0=1
~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być uniwersum

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

2.1 Definicja operatora OR w zbiorach i tabelach zero-jedynkowych

Definicja operatora OR w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y=~p*~q

Definicja operatora OR w zbiorach.

Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y = ~(p+q)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora OR:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Równoważny diagram operatora OR:

Y=p*q+p*~q+~p*q
~Y=~p*~q

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
Y = Ya+Yb+Yc
stąd:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
~Y=~(p+q) = ~p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora OR:
Y=p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy że zbiór Y=p+q jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór Y=~(~p*~q), zatem prawo De Morgana jest ewidentną tożsamością.
Oczywiście każda tożsamość to automatyczna równoważność, stąd prawo De Morgana można zapisać tak:
(p+q) <=>~(~p*~q)

Zauważmy, że w powyższym diagramie zachodzi też równoważność nie będąca tożsamością.
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q =[1,2,3,4,5,6] =1
to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y = ~p*~q = [7,8] =1 - dopełnienie zbioru Y do dziedziny.
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
i odwrotnie.
Zachodzi zatem równoważność:
Y <=> ~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Zatem nie każda równoważność jest tożsamością.

Ta równoważność zachodzi tylko i wyłącznie dlatego, że zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, czyli spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Na mocy definicji dwa rozłączne zbiory uzupełniające się wzajemnie do dziedziny to równoważność, trzy rozłączne zbiory uzupełniające się nawzajem do dziedziny to implikacja.

Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:

rafal3006

rafal3006

rafal3006