ŚFiNiA

rafal3006

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Myśląc kategoriami ziemskimi autorami „Algebry Kubusia” są:
1. Rafal3006 - medium, poprzez które Kubuś kontaktował się z Ziemianami
2. Wuj Zbój - niezapomniany, cierpliwy nauczyciel małego Kubusia
3. Fiklit - współautor 15-miesięcznej dyskusji wszech czasów z Kubusiem

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych], [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych]. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita, Yorgina, Pana Baryckiego i Zbigniewamillera.

Specjalne podziękowania dla dzieci z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie od których Kubuś nauczył się logiki matematycznej. Zawsze, gdy nie był pewien czy dobrze rozumuje udawał się do przedszkola i otrzymywał odpowiedź, maluchy nigdy go nie zawiodły.

Historia powstania algebry Kubusia

Bezpośrednim przyczynkiem do powstania algebry Kubusia było starcie z Wujem Zbójem na forum [link widoczny dla zalogowanych]
Poszło o zdanie:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Wuj twierdził że na mocy tego zdania może być zbawiony każdy, nawet ateista.
Kubuś natomiast twierdził że na mocy tego zdania wszyscy niewierzący muszą do piekła.
… tak to się zaczęło.
Musiało minąć chyba z 6 miesięcy zaciętej dyskusji, aby Kubuś zmienił zdanie.
Kiedy pierwszy raz zapisał prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Wuj od razu skomentował to tak: fajne wzorki, poprawne matematycznie.
Kubuś odpisał: to jest tak piękne, że musi być prawdziwe.
Notabene ten znaczek „~>” zaproponował Wuj jako znaczek groźby (jadowity wąż) - tak się to wtedy nazywało.
Wuj był wspaniałym nauczycielem małego Kubusia, na PW zaliczyliśmy niezliczoną ilość nocek dyskutując o algebrze Boole’a. Kubuś znał technikę bramek logicznych (operatory logiczne) perfekcyjnie z racji swego wykształcenia (elektronika na PW-wa), ale operator implikacji to było coś absolutnie nowego i mu nieznanego, coś co kompletnie nie występuje w technice bramek logicznych.
Dlaczego?
Operator implikacji to w jednej połówce 100% pewność (warunek wystarczający =>), natomiast w drugiej połówce operator implikacji to najzwyklejsze „rzucanie monetą” (warunek konieczny ~>).
Operatory implikacji prostej i odwrotnej to między innymi matematyczny opis „wolnej woli” wszystkich istot żywych. Z tego powodu w technice operatory te są totalnie bezużyteczne i nigdy nie znajdą zastosowania, trudno bowiem sobie wyobrazić aby urządzenie miało „wolną wolę”. Przykładowo kierowca hamuje, samochód prawie zawsze go słucha, ale czasami dodaje gazu zamiast hamować - to jest istota „wolnej woli” w świecie żywym.
Kiedy na matematyce.pl pierwszy raz powiązałem znaczki obietnicy => i groźby ~> z warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>, Wuj od razu skomentował: to jest dobre, idź w tym kierunku.
Wuj zawsze podpowiadał Kubusiowi co robi źle, czyli kiedy idzie w maliny, dzięki czemu AK mogła się rozwijać.
Ważnym okresem w historii powstawania algebry Kubusia była dwuletnia bijatyka na forum [link widoczny dla zalogowanych] (2800 postów), gdzie wszyscy starali się obalić powstającą, nową ideę. Tu algebra Kubusia rosła w siłę a Kubuś który nigdy nie widział nawet okładki podręcznika do logiki matematycznej poznał „logikę” Ziemian, głównie dzięki Fizykowi, Windziarzowi, Sogorsowi i Quebabowi.
Zacięta dyskusja i zdecydowana odmowa Kubusia do przejścia na jedynie słuszną wiarę, matematykę Ziemian, tak rozwścieczyła administratorów ateisty.pl że zamknęli wszystkie tematy jakie kiedykolwiek Kubuś tu założył, zakazując dyskusji na temat AK.
Chcąc nie chcąc Kubuś skorzystał z zaproszenia Sogorsa i pojawił się na forum Yrizona, będącego własnością Sogorsa (tu Daggera) i Słupka, starych znajomych z dyskusji na ateiście.pl.
Tu również zaczęło się od bijatyki, ale w pewnym momencie doszło do [link widoczny dla zalogowanych] który przyciągnął na Yrizonę tajemniczego przybysza z [link widoczny dla zalogowanych] [link widoczny dla zalogowanych] który podobnie jak Wuj w czasach małego Kubusia z wielką cierpliwością wskazywał słabe punkty algebry Kubusia, dzięki czemu ta stawała się coraz doskonalsza. Ponad roczna dyskusja z Fiklitem była decydująca, bez niej algebra Kubusia nie zostałaby zauważona.
Co jest warta idea, nawet najwspanialsza, której nikt poza jej autorem nie rozumie?

Dzięki wszystkim,
Kubuś

Spis treści:

Część I
Fundamenty matematyczne

1.0 Notacja
1.1 Definicja operatora logicznego

2.0 Nowa teoria zbiorów
2.1 Aksjomatyka algebry Kubusia w zbiorach
2.2 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów
2.3 Czy zbiór pusty istnieje?
2.4 Podstawowe operacje na zbiorach
2.5 Logika matematyczna w przedszkolu
2.6 Twierdzenie 5-cio latka
2.7 Zbiory jednoelementowe
2.8 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego
2.9 Metodyka dowodzenia twierdzeń matematycznych
2.10 Symboliczne definicje kluczowych operatorów logicznych
2.11 Samodzielny warunek wystarczający

3.0 Operatory jednoargumentowe
3.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego
3.2 Prawa Prosiaczka
3.3 Wykresy czasowe w algebrze Kubusia
3.4 Operator transmisji
3.5 Operator negacji
3.6 Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji

4.0 Rachunek zero-jedynkowy
4.1 Operatory dwuargumentowe
4.2 Maszynowe definicje operatorów logicznych
4.3 Prawa przemienności argumentów w operatorach OR i AND
4.4 Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
4.5 Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
4.6 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND
4.7 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
4.8 Twierdzenie śfinii
4.9 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
4.10 Prawo Sowy
4.11 Niejednoznaczność tabel zero-jedynkowych w logice matematycznej

5.0 Definicje operatorów OR i AND w zbiorach
5.1 Definicja symboliczna operatora OR w zbiorach
5.2 Definicja symboliczna operatora AND w zbiorach
5.3 Funkcja logiczna n-argumentowa w zbiorach
5.4 Analiza zdania ze spójnikiem „lub”(+)
5.5 Analiza zdania ze spójnikiem „i”(*)
5.6 Analiza zdania złożonego ze spójnikiem „lub”(+)
5.7 Sterowanie windą autorstwa 5-cio Latków

6.0 Operatory implikacji i równoważności
6.1 Podstawowe właściwości operatorów implikacji i równoważności
6.2 Operator chaosu w zbiorach
6.3 Najważniejsze twierdzenie w logice matematycznej
6.4 Implikacja prosta w zbiorach
6.5 implikacja odwrotna w zbiorach
6.6 Równoważność w zbiorach
6.7 Alternatywne definicje implikacji i równoważności
6.8 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ

1.0 Notacja

Znaczenie symboli 0 i 1 poza nową teoria zbiorów:
1 = prawda
0 = fałsz

Znaczenie symboli 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (istnieje)
0 - zbiór pusty (nie istnieje)
Naturalnymi ekspertami nowej teorii zbiorów są humaniści, którzy doskonale posługują się nią w praktyce nie będąc tego świadomym.

Operacje na zbiorach:
1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]
2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]
3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]

~ - symbol negacji, przeczenie „nie” w naturalnej logice człowieka

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Zmienna binarna:
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna:
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytych spójników logicznych.
Przykład funkcji logicznej:
Y=p*q+~r
gdzie:
„*”, „+” - spójniki logiczne
Y - funkcja logiczna

Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+) w algebrze Kubusia:
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów (zdarzeń)
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów (zdarzeń)

Przykłady:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce i już dotrzymam słowa, oczywiście mogę iść i tu i tu.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest zdarzenie chmury i pada stąd wartość logiczna zdania jest równa 1 (zdarzenie możliwe)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Nie jest możliwe, aby jutro nie było pochmurno i padało stąd wartość logiczna zdania jest równa 0 (zdarzenie niemożliwe)

Definicja dziedziny:
p+~p=1 - zbiór ~p jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p=0 - zbiory p i ~p muszą być rozłączne

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
zakładamy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=[3,4]
Definicja dziedziny:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =D =1 (1 - zbiór niepusty)
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (0 - zbiór pusty)

Operatory transmisji i negacji

Operatory transmisji i negacji to operatory jednoargumentowe.

Definicja operatora jednoargumentowego:
Operator jednoargumentowy to funkcja logiczna jednej zmiennej
Y= p

Logika dodatnia i ujemna w operatorach jednoargumentowych:
Y=p - logika dodatnia gdy funkcja logiczna Y nie jest zanegowana
~Y =~p - logika ujemna gdy funkcja logiczna Y jest zanegowana

Operator transmisji:
Y = p
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=~p
Matematycznie zachodzi:
Y=p # ~Y=~p
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # parametr p musi być identyczny.
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Przykład:
Jutro pójdę do kina
Y=K
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=~K
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K)
~Y=~K

Operator negacji:
Y=~p
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=p
Matematycznie zachodzi:
Y=~p # ~Y=p
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # parametr p musi być identyczny.
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Przykład:
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
~Y=K
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K)
~Y=K

Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji:
Operator transmisji ## Operator negacji
Y = p # ~Y=~p ## Y=~p # ~Y=p
gdzie:
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku # parametr p musi być identyczny.
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p)

Operatory OR i AND:

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana
Y=p+(q*~r) - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~p*(~q+r) - logika ujemna do ~Y

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
A: Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B: ~Y=~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p+q # ~Y=~p*~q
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y = ~K+~T

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
A: Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B: ~Y=~p+~q
Matematycznie zachodzi:
Y=p*q # ~Y=~p+~q
gdzie:
# - kolumny wynikowe w tabelach zero-jedynkowych są różne
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~K+~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y = ~K+~T

Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
Operator OR ## Operator AND
Y = p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q
gdzie:
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w rachunku zero-jedynkowym są różne
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku # musimy mieć identyczne p i q
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)

Operatory implikacji i równoważności:

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów to wyłącznie I, II i III:

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q = 1*1 =1
Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie ze znaczkiem ~~> jest prawdziwe, niczego innego nie musimy dowodzić.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt.
Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p=>q = ~p~>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” („rzucanie monetą”).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Warunek wystarczający =>, w mowie potocznej spójnik „na pewno”=>, to nic innego jak kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x) = p(x)*q(x) = p(x) =1
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
Na mocy definicji warunku wystarczającego => zbiór p(x) musi zawierać się w zbiorze q(x).
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór pies (P=pies) zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń ..)
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L, zajście P wystarcza => dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p*q = q

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Zauważmy, że warunku koniecznego ~> nie da się opisać ani kwantyfikatorem małym, ani kwantyfikatorem dużym, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
Bez warunku koniecznego ~> nie ma mowy o jakiejkolwiek sensownej logice matematycznej zgodnej z naturalną logiką człowieka, o matematycznym opisie naturalnej logiki człowieka możemy sobie wyłącznie pomarzyć.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór psów (P=pies)
Zabieram zbiór 4L i musi zniknąć zbiór P, zbiór 4L jest konieczny ~> dla zbioru P
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji i równoważności:
p=>q = ~p~>~q - definicje implikacji prostej w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q - definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = ~p<=>~q - równoważność w logice dodatniej gdy q

Definicja operatora chaosu:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3
Dowód:
P8~~>P3 =1 bo 24
P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3 =1 bo 5
~P8~~>P3 =1 bo 3

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
P=>4L = P*4L =P
Zbiór pies (P=pies) zawiera się => w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
P=>4L = ~P~>~4L

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 1 bo pies
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
4L~>P = 4L*P = P
Zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie ~> zbiór psów (P=pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tożsamościach „=” musimy mieć to samo p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

W równoważności zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p[~>]~q
p[~>]q = ~p=>~q
gdzie:
Wirtualny warunek konieczny [~>] o definicji:
Zbiór na podstawie wektora [~>] zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja warunku koniecznego ~> znanego z implikacji jest tu spełniona, nie ma jednak mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” charakterystycznym dla implikacji.

Stąd popularna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p[~>]q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego [~>] i wystarczającego => między p i q
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP[~>]SK)
Aby trójkąt był prostokątny potrzeba [~>] i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów.

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zauważmy, że prawdziwości równoważności nie da się udowodnić w sposób bezpośredni.
Możliwy jest wyłącznie dowód pośredni poprzez dowód prawdziwości dwóch niezależnych zdań:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1

1.1 Definicja operatora logicznego

Definicję operatora logicznego poznamy na przykładzie.

Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+) w algebrze Kubusia:
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów (zdarzeń)
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów (zdarzeń)

Przykłady:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce i już dotrzymam słowa, oczywiście mogę iść i tu i tu.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest zdarzenie chmury i pada stąd wartość logiczna zdania jest równa 1 (zdarzenie możliwe)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Nie jest możliwe, aby jutro nie było pochmurno i padało stąd wartość logiczna zdania jest równa 0 (zdarzenie niemożliwe)

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami (zdarzeniami) w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych oznacza to opis relacji między czterema zbiorami (zdarzeniami): p, ~p, q, ~q

Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce i już dotrzymałem słowa.

Wszystkie możliwe sytuacje w których dotrzymam słowa (dziedzina) to:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Ya=K*T
co matematycznie oznacza:
Ya=1 <=> K=1 i T=1
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Yb=K*~T
co matematycznie oznacza:
Yb=1 <=> K=1 i ~T=1
C.
Jutro nie pójdę do kina i pójdę do teatru
Yc=~K*T
co matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> ~K=1 i T=1
Wystarczy że jutro którekolwiek ze zdań Ya, Yb, Yc będzie prawdziwe i już dotrzymam słowa. Zauważmy, że wyłącznie jedno z powyższych zdań może być jutro prawdziwe, wykluczona jest równoczesna prawdziwość dowolnych dwóch zdań.

Suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń w których dotrzymam słowa to:
Y = Ya+Yb+Yc
Y = K*T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1
Matematycznie zachodzi:
(W: Y=p+q) = (ABC: Y=Ya+Yb+Yc)
czyli:
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do teatru i nie pójdę do kina
~Yd=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Yd=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Dziedzina dla naszego przykładu to wszystkie możliwe zdarzenia jakie jutro mogą wystąpić, wszystkie możliwe relacje między zdarzeniami K, ~K, T, ~T.
Zauważmy że zdania składowe operatora OR (Ya, Yb, Yc i Yd) to cztery różne zdania, cztery różne na mocy definicji funkcje logiczne.

Na mocy powyższego mamy:
Operator OR ## Spójnik logiczny „lub”(+)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Spójnik logiczny „lub”(+) to wyłącznie zdania Ya, Yb i Yc (bez zdania Yd):
W: Y = K+T
ABC: Y=Ya+Yb+Yc = K*T + K*~T + ~K*T
stąd:
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T
Natomiast operator logiczny OR to wszystkie cztery zdania Ya, Yb, Yc i Yd

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to zero-jedynkowe kodowanie definicji symbolicznej operatora względem dowolnie wybranego punktu odniesienia.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia.
W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach jest zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku.

Przejdźmy z naszym przykładem na zapis formalny podstawiając:
p=K
~p=~K
q=T
~q=~T

Definicja parametrów formalnych:
Parametry formalne, w logice zwykle p i q, to symboliczne nazwy zmiennych nie związane z żadnym konkretnym przykładem.

Definicja parametrów aktualnych:
Parametry aktualne to zmienne występujące w konkretnym przykładzie, podstawiamy je w miejsce parametrów formalnych p i q.

Symboliczna definicja operatora OR:

rafal3006

2.8 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego poznamy na przykładzie konkretnego zbioru.

Rozważmy zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]

Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Dowód na naszym przykładzie:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]

Definicja dziedziny (fundament algebry Kubusia):
1. p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
2. p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
1. p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
2. p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)
stąd mamy fundament algebry Kubusia (i Boole’a):
0=~1 - zbiór pusty to zaprzeczenie dziedziny
1= ~0 - zbiór pełny (dziedzina) to zaprzeczenia zbioru pustego
Wynika z tego że:
W dowolnym równaniu logicznym jedynka oznacza zbiór pełny (dziedzinę), natomiast zero oznacza zbiór pusty.

Dowód na przykładach mamy w kolejnych punktach:
3. p+0 =p
4. p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
3. p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
0 -element neutralny dla sumy logicznej
4. p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)

4. p*1=p
5. p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
5. p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
6. p*0 = [1,2]*[] = [] =0 (zbiór pusty)

Prawa maszynowe rachunku zero-jedynkowego w zbiorach.
Suma logiczna zbiorów:
7.
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
7.
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)

Iloczyn logiczny zbiorów:
8.
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
8.
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)

9. 1=~0
10. 0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
9.
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] =1 = [1,2,3,4] - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
10.
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty

11. p+p =p
12. p*p=p
Dowód na naszym przykładzie:
11. p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)
12. p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)

2.9 Metodyka dowodzenia twierdzeń matematycznych

Punkty 2.9, 2.10 i 2.11 to zastosowanie algebry Kubusia w matematyce, to streszczenie całej algebry Kubusia istotne z punktu widzenia matematyki. Nie przejmujmy się zatem jeśli nie wszystko będzie zrozumiałe za pierwszym razem.

Premiera kluczowych dla całej algebry Kubusia punktów 2.9, 2.10 i 2.11 miała miejsce na Yrizonie.

[link widoczny dla zalogowanych]

Nowa era w logice matematycznej!
Prezent od św. Mikołaja dla wszystkich Ziemskich dzieci, małych i dużych.
Po raz pierwszy opublikowano w dniu 6 grudnia roku Pańskiego 2013.

Pewne jest, że rano Ziemianie obudzą się w fundamentalnie innym, matematycznym Wszechświecie, w który nie sposób nie uwierzyć, bo algebra Kubusia to logika matematyczna wszystkich 5-cio latków i humanistów, naturalnych jej ekspertów.

Historyczne twierdzenie:
Do obsługi całej logiki matematycznej jest potrzebny [~>] i wystarczający => wyłącznie kwantyfikator mały ~~>.

W tym przypadku w dowodzeniu prawdziwości/fałszywości zdania p=>q posługujemy się wyłącznie kontrprzykładem. Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie aby alternatywnie dowodzić prawdziwości/fałszywości zdania p=>q klasycznie, z użyciem kwantyfikatora dużego.

Metodyka dowodzenia twierdzeń matematycznych w algebrze Kubusia i logice Ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]

W algebrze Kubusia bez najmniejszego problemu rozpoznajemy następujące operatory logiczne:
1.
Implikację prostą
p=>q = ~p~>~q
2.
Implikację odwrotną
p~>q = ~p=>~q
3.
Równoważność
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
4.
Operator chaosu
p~~>q =1
5.
Samodzielny warunek wystarczający p=>q, który może istnieć samodzielnie i nie wchodzi w skład ani implikacji, ani też równoważności.
Warunek wystarczający => nie jest operatorem logicznym!

Ciekawostką jest fakt, że w algebrze Kubusia dowodzimy wszystkiego co wyżej nie widząc na oczy ani jednej, zero-jedynkowej definicji jakiegokolwiek operatora logicznego. Algebra Kubusia to algebra równań logicznych, gdzie na mocy definicji mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek, czyli do nowej teorii zbiorów, w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki.

Kwantyfikator mały jest identyczny w algebrze Kubusia i aktualnej logice Ziemian, wszystko inne mamy totalnie inne, od podstawowych definicji zaczynając.

Od strony czysto matematycznej także kwantyfikator duży w logice matematycznej Ziemian jest tożsamy z kwantyfikatorem dużym w algebrze Kubusia, bo mimo błędnej definicji wypluwa identyczne wyniki.

Ziemianie żyją w złudzeniach, iż każde zdanie ujęte w spójnik „Jeśli p to q” jest implikacją prostą, czyli spełnia pełną zero-jedynkową definicję implikacji prostej.

Okrutna rzeczywistość jest fundamentalnie inna!

Matematycznie, znaczek => nie jest znaczkiem implikacji prostej ale tylko i wyłącznie warunku wystarczającego => o banalnej definicji w zbiorach.

Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Definicja warunku wystarczającego jest tylko i wyłącznie taka:

rafal3006

4.0 Rachunek zero-jedynkowy

Definicje podstawowe.

Zmienna binarna (techniczna algebra Boole’a):
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna (techniczna algebra Boole’a):
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - operatory logiczne
Y, p=>q - funkcje logiczne

Funkcja logiczna opisana spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y

Maszynowa definicja operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściach układu

Maszynowe (zero-jedynkowe) definicje operatorów logicznych to tabele zero-jedynkowe z opisem wyłącznie w nagłówkach tabel.
W rachunku zero-jedynkowym nie ma takich pojęć jak:
1 = prawda
0 = fałsz
W rachunku zero-jedynkowym porównujemy kompletne kolumny wynikowe. Jeśli są tożsame to zachodzi prawo logiczne.

Fundamentem rachunku zero-jedynkowego są maszynowe definicje dwuargumentowych operatorów logicznych (hardware). Nie interesuje nas tu znaczenie zer i jedynek wewnątrz jakiegokolwiek operatora logicznego. Symboliczne prawa algebry Boole’a (równania algebry Boole’a) zapisane są w nagłówkach porównywanych tabel zero-jedynkowych i wynikają z tożsamości odpowiednich kolumn wynikowych.

Możliwe są też symboliczne definicje operatorów logicznych (software), inne niż definicje maszynowe, gdzie znaczenie zer i jedynek wewnątrz operatora logicznego ma kluczowe znaczenie.

Kluczowym w algebrze Kubusia jest rozróżnianie maszynowych definicji operatorów logicznych (zero-jedynkowych) używanych wyłącznie w rachunku zero-jedynkowym, od definicji symbolicznych opisujących dowolne tabele zero-jedynkowe (w tym tabele operatorów) na poziomie poszczególnych linii w tabeli zero-jedynkowej.

W symbolicznej algebrze Kubusia dowolną linię tabeli zero-jedynkowej opisuje unikalne i niepowtarzalne równanie algebry Boole’a. Wynika z tego, że każda linia tabeli zero-jedynkowej to niezależna funkcja logiczna zapisana równaniem algebry Boole’a (niezależne zdanie).

4.1 Operatory dwuargumentowe

Maszynowa definicja operatora logicznego (hardware):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu.

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.

Abstrakcyjna definicja operatora dwuargumentowego:
Operator dwuargumentowy to czarna skrzynka o dwóch wejściach p i q oraz tylko jednym wyjściu Y.

Na wejściach p i q wymuszamy wszystkie możliwe stany 0 i 1 zapisując odpowiedzi na wyjściu Y.

Ogólna definicja operatora dwuargumentowego:

rafal3006

5.0 Definicje operatorów OR i AND w zbiorach

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:

rafal3006

6.0 Operatory implikacji i równoważności

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Symboliczna definicja operatora logicznego to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.
W operatorach dwuargumentowych oznacza to opis relacji między czterema zbiorami: p, ~p, q, ~q

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Algorytm tworzenia definicji maszynowej:
W miejsce symboli w tabeli symbolicznej wstawiamy 0 i 1 zgodnie z przyjętym punktem odniesienia.
W tabeli zero-jedynkowej spójnik logiczny w poszczególnych liniach musi być zgodny ze spójnikiem widniejącym w nagłówku.

Definicja maszynowa wynika z definicji symbolicznej, odwrotnie nie zachodzi tzn. nie da się na podstawie gołej tabeli zero-jedynkowej (bez opisu) odtworzyć jednoznacznie funkcji logicznej którą ta tabela opisuje.

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy tu sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów), w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki.

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów to wyłącznie I, II i III:

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q = 1*1 =1
Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie ze znaczkiem ~~> jest prawdziwe, niczego innego nie musimy dowodzić.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt.
Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p=>q = ~p~>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” („rzucanie monetą”).
Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Warunek wystarczający =>, w mowie potocznej spójnik „na pewno”=>, to nic innego jak kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x) = p(x)*q(x) = p(x) =1
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
Na mocy definicji warunku wystarczającego => zbiór p(x) musi zawierać się w zbiorze q(x), zatem ta definicja kwantyfikatora dużego jest poprawna.
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór pies (P=pies) zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń ..)
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L, zajście P wystarcza => dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p*q = q

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą).
Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Zauważmy, że warunku koniecznego nie da się opisać ani kwantyfikatorem małym, ani kwantyfikatorem dużym, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
Bez warunku koniecznego ~> nie ma mowy o jakiejkolwiek sensownej logice matematycznej zgodnej z naturalną logiką człowieka. O matematycznym opisie naturalnej logiki człowieka możemy sobie wyłącznie pomarzyć.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór psów (P=pies)
Zabieram zbiór 4L i musi zniknąć zbiór P, zbiór 4L jest konieczny ~> dla zbioru P
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji i równoważności:
p=>q = ~p~>~q - definicje implikacji prostej w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q - definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = ~p<=>~q - równoważność w logice dodatniej gdy q

Definicja operatora chaosu:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3
Dowód:
P8~~>P3 =1 bo 24
P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3 =1 bo 5
~P8~~>P3 =1 bo 3

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
P=>4L = P*4L =P
Zbiór pies (P=pies) zawiera się => w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
P=>4L = ~P~>~4L

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 1 bo pies
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
4L~>P = 4L*P = P
Zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie ~> zbiór psów (P=pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Oczywiście w tożsamościach „=” musimy mieć to samo p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

W równoważności zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p[~>]~q
p[~>]q = ~p=>~q
gdzie:
Wirtualny warunek konieczny [~>] o definicji:
Zbiór na podstawie wektora [~>] zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja warunku koniecznego ~> znanego z implikacji jest tu spełniona, nie ma jednak mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” charakterystycznym dla implikacji.

Stąd popularna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p[~>]q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego [~>] i wystarczającego => między p i q
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP[~>]SK)
Aby trójkąt był prostokątny potrzeba [~>] i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów.

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Zauważmy, że prawdziwości równoważności nie da się udowodnić w sposób bezpośredni.
Możliwy jest wyłącznie dowód pośredni poprzez dowód prawdziwości dwóch niezależnych zdań:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1

6.1 Podstawowe właściwości operatorów implikacji i równoważności

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, gdzie nie ma ani jednej tabeli zero-jedynkowej. Cała logika zakodowana jest w równaniach algebry Boole’a (zbiorach) izolowanych od tabel zero-jedynkowych. Fakty są jednak takie, że bez definicji zero-jedynkowych operatorów logicznych i rachunku zero-jedynkowego nie doszłoby do odkrycia algebry Kubusia. Podstawowe właściwości wszystkich operatorów, w tym operatorów implikacji i równoważności wynikają z rachunku zero-jedynkowego.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora logicznego:
Maszynowa definicja operatora logicznego to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach układu.

Maszynowe (zero-jedynkowe) definicje operatorów logicznych to tabele zero-jedynkowe z opisem wyłącznie w nagłówkach tabel, bez wnikania co oznaczają poszczególne linie.
W rachunku zero-jedynkowym nie ma takich pojęć jak:
1 = prawda
0 = fałsz
Porównujemy tu kompletne kolumny wynikowe, jeśli są tożsame to zachodzi prawo logiczne.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja implikacji prostej:

rafal3006

6.5 Implikacja odwrotna w zbiorach

Zapiszmy definicję implikacji odwrotnej w zbiorach, korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1

rafal3006

rafal3006

rafal3006

rafal3006

rafal3006

......

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Kompletna aksjomatyka algebry Kubusia

Poniższa aksjomatyka działa zawsze, niezależnie od korelacji zbiorów p i q (ta wyżej nie była dobra).
Zbiory p i q mogą się dowolnie zawierać jeden w drugim, mogą być rozłączne, a nawet puste [], to bez znaczenia.

Definicje:
[x] - zbiór niepusty zawierający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty nie zawierający żadnego elementu

Znaczenie zer i jedynek w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty []

I.
Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

II.
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

III.
Różnica zbiorów p i q
Y = p-q
Wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zawartych w q

KONIEC aksjomatyki algebry Kubusia!

Z tego bez problemu da się wyprowadzić zero-jedynkowe definicje wszystkich operatorów logicznych, matematyczny fundament nowej teorii zbiorów: =>, ~>, ~~>, i całą resztę, na rozszyfrowaniu matematycznych fundamentów naturalnej logiki człowieka kończąc.

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Kompletna aksjomatyka algebry Kubusia

Poniższa aksjomatyka działa zawsze, niezależnie od korelacji zbiorów p i q.
Zbiory p i q mogą się dowolnie zawierać jeden w drugim, mogą być rozłączne, a nawet puste [], to bez znaczenia.

Definicje:
[x] - zbiór niepusty zawierający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty nie zawierający żadnego elementu

Znaczenie zer i jedynek w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty []

I.
Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

II.
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

III.
Różnica zbiorów p i q
Y = p-q
Wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zawartych w q

KONIEC aksjomatyki algebry Kubusia!

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Kompletna aksjomatyka algebry Kubusia

Poniższa aksjomatyka działa zawsze, niezależnie od korelacji zbiorów p i q.
Zbiory p i q mogą się dowolnie zawierać jeden w drugim, mogą być rozłączne, a nawet puste [], to bez znaczenia.

Definicje:
[x] - zbiór niepusty zawierający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty nie zawierający żadnego elementu

Znaczenie zer i jedynek w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty []

I.
Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

II.
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

III.
Różnica zbiorów p i q
Y = p-q
Wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zawartych w q

KONIEC aksjomatyki algebry Kubusia!

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]