|
ŚFiNiA ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35576
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna
|
Wysłany: Wto 4:18, 17 Maj 2016 Temat postu: Algebra Kubusia - opratory OR(|+) i AND(|*) |
|
|
Algebra Kubusia - operatory OR(|+) i AND(|*)
Wstęp:
Wewnętrzną budowę wszystkich operatorów logicznych najłatwiej zrozumieć na bazie diagramów podstawowej teorii zbiorów. Operatory logiczne opisują właściwości dwóch zbiorów p i q we wszelkich możliwych, wzajemnych położeniach.
Alternatywnie można skorzystać z naturalnej logiki matematycznej człowieka, bo wszyscy, od 5-cio latka po prof. matematyki podlegamy pod symboliczną algebrę Boole’a, czyli algebrę równań logicznych.
Związek równań logicznych z tabelami zero-jedynkowymi i odwrotnie opisują prawa Prosiaczka, które doskonale zna każdy 5-cio latek. Zaczniemy zatem od praw Prosiaczka, a następnie skorzystamy z naturalnej logiki matematycznej człowieka. Zbiory, póki co, sobie darujemy.
Spis treści
1.0 Prawa Prosiaczka 1
2.0 Operatory OR(|+) i AND(|*) 2
2.1 Operator OR(|+) 3
2.2 Operator AND(|*) 5
3.0 Prawa spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*): 6
3.1 Spójnik „lub”(+): 6
3.2 Spójnik „i”(*) 7
3.3 Prawa Prosiaczka w tabeli zero-jedynkowej 8
3.4 Prawo Bociana 10
3.5 Twierdzenie Pitagorasa 13
1.0 Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka:
Prawa Prosiaczka to jedne z najważniejszy praw logicznych, bez nich komputery nigdy by nie zaistniały. Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z logiki zero-jedynkowej (rachunku zero-jedynkowego) to logiki równań algebry Boole’a i odwrotnie.
I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)
II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
2.0 Operatory OR(|+) i AND(|*)
Wiedzę na temat operatorów logicznych możemy podzielić na:
- wiedzę prymitywną, gdzie nie interesuje nas wewnętrzna budowa operatora logicznego
- wiedzę zaawansowaną, gdzie znamy wewnętrzną budowę każdego operatora logicznego
Póki co ludzkość dysponuje wyłącznie wiedzą prymitywną, nie potrafi opisać poprawnie w równaniach algebry Boole’a przekształceń zero-jedynkowych, bo nie zna kluczowej tu logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y). Zadaniem Kubusia na ziemi jest przekazanie ziemianom zaawansowanej wiedzy w temacie wewnętrznej budowy operatorów logicznych.
Definicja operatora logicznego w wersji prymitywnej:
Operator logiczny to odpowiedź układu (Y) na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach p i q układu
Prymitywna definicja operatora OR(|+):
Kod: |
p q Y=p|+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
|
Jeśli na wyjściu Y dostaniemy kolumnę wynikową Y jak wyżej, to jest to operator OR(|+) o definicji:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
Y=0
Prymitywna definicja operatora AND(|*):
Kod: |
p q Y=p|*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
|
Jeśli na wyjściu Y dostaniemy kolumnę wynikową Y jak wyżej, to jest to operator AND(|*) o definicji:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0
2.1 Operator OR(|+)
Pełna definicja operatora OR(|+):
Kod: |
Definicja operatora |Definicja spójnika |Symboliczna definicja
OR(|+) |„lub”(+) |operatora OR(|+)
p q ~p ~q Y=p|+q ~Y | p q Y=p+q | | Y=Ya+Yb+Yc
A: 1 1 0 0 =1 =0 | 1 1 =1 | Ya= p* q | Y=p*q+p*~q+~p*q
B: 1 0 0 1 =1 =0 | 1 0 =1 | Yb= p*~q | Y=p+q
C: 0 1 1 0 =1 =0 | 0 1 =1 | Yc=~p* q |
D: 0 0 1 1 =0 =1 | |~Yd=~p*~q |~Y=~p*~q
1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c
|
Spójniki „lub”(+) i „i”(*) mamy wyłącznie w funkcjach cząstkowych, czyli wszędzie z wyjątkiem nagłówka kolumny 5.
Spójnik „lub”(+) w logice matematycznej to co innego niż operator logiczny OR(|+).
Matematycznie zachodzi:
p|+q ## p+q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ziemscy matematycy doskonale o tym wiedzą (tylko nie są tego świadomi) bo umieją przejść z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w równaniu algebry Boole’a.
Symboliczna definicja operatora OR to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
Y = p+q = p*q+p*~q+~p*q (zobacz obszar ABC125)
~Y=~p*~q (zobacz linia D346)
Fakt sprowadzenia wszystkich zmiennych do jedynek doskonale widać w definicji symbolicznej operatora OR(|+) - obszar ABCDabc
Podstawowa definicja operatora OR(|+) w układzie równań logicznych Y i ~Y:
A: Y = p+q
co matematycznie oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B: ~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
B: ~Y=1<=>~p=1 i ~q=1
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Przykład:
Pani przedszkolanka:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Zdanie matematycznie tożsame:
A.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y=1)
… a kiedy Pani skłamie?
Przejście z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
stąd:
B.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Pani skłamie (~Y=1) gdy jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru.
2.2 Operator AND(|*)
Pełna definicja operatora AND(|*):
Kod: |
Definicja operatora |Definicja spójnika |Symboliczna definicja
AND(|*) |„i”(*) |operatora AND(|*)
p q ~p ~q Y=p|*q ~Y | p q Y=p*q | | Y=p*q
A: 1 1 0 0 =1 =0 | 1 1 =1 | Ya= p* q | Y=p*q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | |~Yb= p*~q |~Y=~Yb+~Yc+~Yd
C: 0 1 1 0 =0 =1 | |~Yc=~p* q |~Y=p*~q+~p*q+~p*~q
D: 0 0 1 1 =0 =1 | |~Yd=~p*~q |~Y=~p+~q
1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c
|
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) mamy wyłącznie w funkcjach cząstkowych, czyli wszędzie z wyjątkiem nagłówka kolumny 5.
Spójnik „i”(*) w logice matematycznej to co innego niż operator logiczny AND(|*).
Matematycznie zachodzi:
p|*q ## p*q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ziemscy matematycy doskonale o tym wiedzą (tylko nie są tego świadomi) bo umieją przejść z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w równaniu algebry Boole’a.
Symboliczna definicja operatora AND to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
Y = p*q (linia A125)
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
~Y = B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*~q
~Y=~p+~q (zobacz obszar BCD346)
Fakt sprowadzenia wszystkich zmiennych do jedynek doskonale widać w definicji symbolicznej operatora AND(|*) - obszar ABCDabc
Podstawowa definicja operatora AND(|*) w układzie równań logicznych Y i ~Y:
Y = p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)
Przykład:
Pani przedszkolanka:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Musimy iść w oba miejsca, aby dotrzymać słowa (Y=1)
… a kiedy Pani skłamie?
Przejście z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
stąd:
B.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Wystarczy że nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie.
3.0 Prawa spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*):
3.1 Spójnik „lub”(+):
Pełna definicja operator OR(|+):
Kod: |
Tabela 1
|Funkcje
p q ~p ~q Y=p|+q ~Y=~p|*~q |cząstkowe |co matematycznie oznacza
A: 1 1 0 0 =1 =0 | p* q = Ya |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B: 1 0 0 1 =1 =0 | p*~q = Yb |( Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C: 0 1 1 0 =1 =0 |~p* q = Yc |( Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D: 0 0 1 1 =0 =1 |~p*~q =~Yd |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
1 2 3 4 6 7 8 9 0
|
Y=Ya+Yb+Yc
Po podstawieniu funkcji cząstkowych mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
~Y=~Yd
Stąd:
~Y = D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Spójniki logiczne „lub”(+) i „i”(*) mamy wyłącznie w funkcjach cząstkowych.
Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki
Prawo Sowy obowiązuje w naturalnej logice matematycznej człowieka, w logice totalnie przeciwnej do naturalnej logiki człowieka nagłówek tabeli opisuje wynikowe zera. Żaden człowiek nie potrafi myśleć w logice przeciwnej do swojej logiki wyssanej z mlekiem matki, możemy więc zapomnieć o tym badziewiu, mimo że matematycznie są to logiki tożsame.
Bezmyślne, mechaniczne zakodowanie dowolnej tabeli zero-jedynkowej w logice przeciwnej do naturalnej logiki człowieka jest łatwe, ale nie ma związku z naturalną logiką matematyczną człowieka.
Na mocy prawa Sowy powyższą tabelę możemy zapisać w ten sposób.
Tabela prawdy dla spójnika „lub”(+):
Kod: |
Tabela 2
|Funkcje
p q ~p ~q Y=p+q ~Y=~p*~q |cząstkowe |co matematycznie oznacza
A: 1 1 0 0 =1 =0 | p* q = Ya |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B: 1 0 0 1 =1 =0 | p*~q = Yb |( Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C: 0 1 1 0 =1 =0 |~p* q = Yc |( Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D: 0 0 1 1 =0 =1 |~p*~q =~Yd |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
1 2 3 4 6 7 8 9 0
|
Jedyna różnica w tabeli 2 to spójniki logiczne „lub”(+) i „i’(*) w nagłówkach kolumn 6 i 7 zamiast operatorów logicznych OR(|+) i AND(|*).
Na mocy prawa Sowy spójnik „lub”(+) nie opisuje kompletnej tabeli zero-jedynkowej ABCD126 lecz wyłącznie fragment tej tabeli z wynikowymi jedynkami ABC126.
Podobnie:
Na mocy prawa Sowy spójnik „i”(*) nie opisuje kompletnej tabeli zero-jedynkowej ABCD347 lecz wyłącznie fragment tej tabeli z wynikowymi jedynkami D347.
Wniosek:
Na mocy prawa Sowy mamy prawo używać w rachunku zero-jedynkowym w nagłówkach tabel zero-jedynkowych spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*), pamiętając o tym, iż spójniki te dotyczą wyłącznie wynikowych jedynek.
W przypadku klasycznego rachunku zero-jedynkowego interesują nas wyłącznie nagłówki tabel zero-jedynkowych, znaczenie prymitywnie przemiatanych zer i jedynek kompletnie nas nie interesuje.
3.2 Spójnik „i”(*)
Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki
Sytuacja jest tu identyczna jak w spójniku „lub”(+), zatem od razu narysujmy tabelę prawdy dla spójnika „i”(*).
Tabela prawdy dla spójnika „i”(*):
Kod: |
Tabela 3
|Funkcje
p q ~p ~q Y=p*q ~Y=~p+~q |cząstkowe |co matematycznie oznacza
A: 1 1 0 0 =1 =0 | p* q = Ya |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B: 1 0 0 1 =0 =1 | p*~q =~Yb |(~Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C: 0 1 1 0 =0 =1 |~p* q =~Yc |(~Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D: 0 0 1 1 =0 =1 |~p*~q =~Yd |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
1 2 3 4 6 7 8 9 0
|
Na mocy prawa Sowy spójnik „i”(*) nie opisuje kompletnej tabeli zero-jedynkowej ABCD126 lecz wyłącznie fragment tej tabeli z wynikowymi jedynkami A126.
Podobnie:
Na mocy prawa Sowy spójnik „lub”(+) nie opisuje kompletnej tabeli zero-jedynkowej ABCD347 lecz wyłącznie fragment tej tabeli z wynikowymi jedynkami BCD347.
Wniosek:
Na mocy prawa Sowy mamy prawo używać w rachunku zero-jedynkowym w nagłówkach tabel zero-jedynkowych spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*), pamiętając o tym, iż spójniki te dotyczą wyłącznie wynikowych jedynek.
3.3 Prawa Prosiaczka w tabeli zero-jedynkowej
I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)
II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Przyjrzyjmy się tabeli 2:
Tabela prawdy dla spójnika „lub”(+):
Kod: |
Tabela 2
|Funkcje
p q ~p ~q Y=p+q ~Y=~p*~q |cząstkowe |co matematycznie oznacza
A: 1 1 0 0 =1 =0 | p* q = Ya |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B: 1 0 0 1 =1 =0 | p*~q = Yb |( Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C: 0 1 1 0 =1 =0 |~p* q = Yc |( Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D: 0 0 1 1 =0 =1 |~p*~q =~Yd |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
1 2 3 4 6 7 8 9 0 a b c d e f
|
Zauważmy, że symbolicznej definicji spójnika „lub”(+), widocznej w obszarze ABCD890 wszystkie zmienne z tabeli ABCD126 sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka.
Przykłady:
B1: (p=1) = B8 (p=1) - tu prawo Prosiaczka nie ma nic do roboty bo w pkunkcie B1 mamy p=1
B2: (q=0) = B9: (~q=1)
D6: (Y=0) = D0: (~Yd=1)
etc
Prawa Prosiaczka to tożsamości matematyczne.
Korzystając z tej tożsamości możemy w tabeli symbolicznej ABCDabcdef zrobić potworą sieczkę zer i jedynek nic nie tracąc na matematycznej jednoznaczności.
Ciekawym będzie sprowadzenie wszystkich zmiennych do zera, oraz zamiana w tabeli symbolicznej ABCDabcdef spójników „i”(*) na spójniki „lub”(+).
Zróbmy to:
Kod: |
Tabela 2A
|Funkcje
p q ~p ~q Y=p+q ~Y=~p*~q |cząstkowe |co matematycznie oznacza
A: 1 1 0 0 =1 =0 | p* q = Ya |(~Ya=0)<=>(~p=0)+(~q=0)
B: 1 0 0 1 =1 =0 | p*~q = Yb |(~Yb=0)<=>(~p=0)+( q=0)
C: 0 1 1 0 =1 =0 |~p* q = Yc |(~Yc=0)<=>( p=0)+(~q=0)
D: 0 0 1 1 =0 =1 |~p*~q =~Yd |( Yd=0)<=>( p=0)+( q=0)
1 2 3 4 6 7 8 9 0 a b c d e f
|
Z tabeli symbolicznej ABCDabcdef zapisujemy:
~Y=~Ya*~Yb*~Yc
Zauważmy, że to równanie opisuje wynikowe zera w kolumnie ~Y, operujemy zatem w logice totalnie sprzecznej z naturalną logiką człowieka.
Podstawiamy równania cząstkowe z tabeli ABCDabcdef:
1: ~Y = A: (~p+~q)* B: (~p+q)* C: (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Zauważmy, że to równanie opisuje jedynki w kolumnie 6, wróciliśmy zatem do świata normalnych, gdzie wszystko jest zgodne z naturalną logiką człowieka.
Dokładnie to samo dla ostatniej linii w tabeli ABCDabcdef:
Y=Yd
3: Y= D: (p+q)
Zauważmy, że to równanie opisuje wynikowe zero w kolumnie 6.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: ~Y = ~p*~q
Matematycznie zachodzi:
3: Y = 2: Y
Stąd otrzymujemy:
R1: Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Matematycznie zachodzi:
4: ~Y = 1: ~Y
Stąd otrzymujemy:
R2: ~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Równanie typu:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Nosi nazwę równania alternatywno koniunkcyjnego i jest doskonale rozumiane przez każdego człowieka, to jest jego naturalna logika matematyczna.
Równanie typu:
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Nosi nazwę równania koniunkcyjno-alternatywnego i jest kompletnie niezrozumiałe przez człowieka, dlatego trzeba tu wymnożyć wielomiany otrzymując funkcję minimalną:
~Y=~p*~q
To równania zrozumie już każdy 5-cio latek.
Przykład:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Zdanie tożsame:
A1.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=q
Z równania R1 mamy zdanie tożsame:
Y= A: K*T + B: K*~T + C: ~T*K
Czyli:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Czyli:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzymała słowa.
Doskonale widać, że postać alternatywno-koniunkcyjna jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka.
… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
stąd:
B1.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
To zdanie w logice ujemnej (postać alternatywno-koniunkcyjna) zrozumie każdy 5-cio latek.
Sprawdźmy tożsamą postać koniunkcyjno-alternatywną z równania R2.
R2: ~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Stąd zdanie tożsame:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K+~T =1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
i
~K+T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
i
K+~T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Doskonale widać, że tego zdania żaden normalny człowiek nie jest w stanie zrozumieć w przeciwieństwie do banalnego zdania B1.
3.4 Prawo Bociana
Prawo Bociana:
W dowolnym operatorze logicznym prawa na poziomie operatorów przenoszą się na prawa spójników logicznych wewnątrz operatora.
Prawo Bociana dotyczy wszystkich operatorów:
Oznaczmy:
## - różne na mocy definicji
1.
p|+q - operator OR
p+q - spójnik logiczny „lub”(+)
Na mocy definicji zachodzi:
p|+q ## p+q
2.
p|*q - operator AND
p*q - spójnik logiczny „i”(*)
Na mocy definicji zachodzi:
p|*q ## p*q
3.
p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q - warunek wystarczający
Na mocy definicji zachodzi:
p|=>q ## p=>q
4.
p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p~>q - warunek konieczny
Na mocy definicji zachodzi:
p|~>q ## p~>q
5.
p|~~>q - operator chaosu
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>
Na mocy definicji zachodzi:
p|~~>q ## p~~>q
6.
Definicja równoważności:
p<=|=>q = (p|=>q)*(q|=>p) - równoważność na poziomie operatorów logicznych
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) - równoważność na poziomie warunków wystarczających
Na mocy definicji zachodzi:
p<=|=>q ## p<=>q
Aktualnie jesteśmy przy operatorach OR(|+) i AND(|*).
Prawo Bociana dotyczy absolutnie wszystkich tabel zero-jedynkowych wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Czyli:
W dowolnej funkcji logicznej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) z dowolną ilością zmiennych w nagłówkach tabel zero-jedynkowych mamy prawo używać spójników „lub”(+) i „i”(*) pamiętając o tym iż dowolny nagłówek nie opisuje w tym przypadku całej tabeli zero-jedynkowej a jedynie jej fragment, z jedynkami w wyniku.
Zobaczmy to na przykładzie operatora równoważności w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Kod: |
Y=
p q ~p ~q Y=? ~Y=? | | p<=>q
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya= p* q |( p=1)*( q=1) =1
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb= p*~q |( p=1)*(~q=1) =0
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=~p*~q |(~p=1)*(~q=1) =1
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=~p* q |(~p=1)*( q=1) =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e
|
Zauważmy, że algorytm tworzenia funkcji logicznej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) jest nieprawdopodobnie trywialny, nie musimy tu nawet korzystać z praw Prosiaczka!
Zapisujemy tu po prostu dokładnie to co widzimy na rysunku, czyli opisujemy w równaniach cząstkowych ABCD789 wyłącznie jedynki w tabeli zero-jedynkowej.
Matematycznie mamy:
Y = Ya+Yc
1. Y = p*q + ~p*~q
Matematycznie mamy:
~Y = ~Yb+~Yc
3. ~Y = p*~q + ~p*q
Matematyczne przekształcenia:
1: Y=(p*q)+(~p*~q) - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2: ~Y=(~p+~q)*(p+q)
3: ~Y=(p*~q) + (~p*q) - logika ujemna (bo ~Y)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
4: Y = (~p+q) * (p+~q)
Matematycznie zachodzi:
1: Y = 4: Y
Stąd:
14: Y = p*q + ~p*~q = (~p+q)*(p+~q)
gdzie:
p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna doskonale rozumiana przez człowieka
(~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna kompletnie niezrozumiała dla człowieka
Matematycznie zachodzi także:
3: ~Y = 2: ~Y
stąd:
32: ~Y = p*~q + ~p*q = (~p+~q)*(p+q)
Gdzie:
p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna zrozumiała dla człowieka
(~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna niezrozumiała dla człowieka
Przykład:
Pani w przedszkolu:
RA.
Pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatr
K<=>T = K*T + ~K*~T
co matematycznie oznacza:
K<=>T=1 <=> (K*T)=1 lub (~K*~T)=1
W zdaniu RA uznajemy pojęcia K i T za logicznie tożsame, co oznacza, że jest nam wszystko jedno czy pójdziemy do kina czy do teatru.
… kiedy pani skłamie?
K<=>T = (K*T) + (~K*~T)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~(K<=>T) = (~K+~T)*(K+T)
Prawa strona tu funkcja koniunkcyjno-alternatywna kompletnie niezrozumiała dla człowieka
Co zatem robić?
Wymnożyć wielomiany lub prościej, skorzystać z prawa 32 wyprowadzonego wyżej.
Korzystając z prawa 32 wyprowadzonego wyżej mamy:
~(K<=>T) = K*~T + ~T*K
co matematycznie oznacza:
~(K<=>~T)=1 <=> (K*~T)=1 lub (~T*K)=1
Pani skłamie ~(K<=>T)=1 wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*~T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~K*T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Zauważmy że odpowiedzi na pytanie kiedy pani w przyszłości dotrzyma słowa a kiedy skłamie są tu bajecznie proste, na poziomie 5-cio latka
3.5 Twierdzenie Pitagorasa
Weźmy definicję operatora równoważności w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Kod: |
Y=
p q ~p ~q Y=? ~Y=? | | p<=>q
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya= p* q |( p=1)*( q=1) =1
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb= p*~q |( p=1)*(~q=1) =0
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=~p*~q |(~p=1)*(~q=1) =1
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=~p* q |(~p=1)*( q=1) =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Zauważmy, że algorytm tworzenia funkcji logicznej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) jest nieprawdopodobnie trywialny, nie musimy tu nawet korzystać z praw Prosiaczka!
Zapisujemy tu po prostu dokładnie to co widzimy na rysunku, czyli opisujemy w równaniach cząstkowych ABCD789 wyłącznie jedynki w tabeli zero-jedynkowej.
Twierdzenie Pitagorasa w formie równoważności:
AR.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1 =1
Podstawmy:
p=TP
q=SK
i przepiszmy powyższa tabelę prawdy:
Kod: |
Y=
TP SK ~TP ~SK Y=? ~Y=? | | TP<=>SK
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya= TP* SK |( TP=1)*( SK=1) =1
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb= TP*~SK |( TP=1)*(~SK=1) =0
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=~TP*~SK |(~TP=1)*(~SK=1) =1
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=~TP* SK |(~TP=1)*( SK=1) =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e
|
Zauważmy, że definicja równoważności mówi tu o zbiorach TP i SK!
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
TP i SK to są zbiory!
Matematycznie zachodzi tu:
TP=SK # ~TP=~SK
gdzie:
# - zbiory rozłączna
Zatem wolno nam do definicji formalnej równoważności podstawić:
p=TP
q=SK
co właśnie wyżej zrobiliśmy.
Weźmy te dwie pierwsze linie:
A: ( TP=1)*( SK=1) =1 - zbiór niepusty
B TP=1)*(~SK=1) = [] =0 - zbiór pusty
Wniosek:
Definicje formalne wszelkich operatorów logicznych są dowodem iż zbiory mają wartości logiczne!
[]=0 - bo zbiór pusty
[x]=1 - bo zbiór niepusty
Ostatnia, wytłuszczona linia jest dowodem, iż w logice matematycznej może zaistnieć przypadek:
B: TP*~SK = 1*1 =0
oraz przypadek:
A: TP*SK = 1*1 =1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 20:21, 26 Maj 2016, w całości zmieniany 3 razy
|
|
Powrót do góry |
|
|
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów Nie możesz odpowiadać w tematach Nie możesz zmieniać swoich postów Nie możesz usuwać swoich postów Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|