ŚFiNiA

rafal3006

Aksjomat matematyki języka mówionego:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).

Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego

Części:
Część I Operatory AND i OR
Część II Nowa teoria implikacji

Część I
Operatory AND i OR

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi za inspirację do napisania końcowej wersji NTI oraz Windziarzowi za postawienie kropki nad „i”.

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu, rzeczywiści autorzy wymienieni są wyżej.

Wstęp:

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, odpowiednik języka asemblera ze świata mikroprocesorów, gdzie praktycznie w 100% izolujemy się od kodu zero-jedynkowego, operując naturalną logiką człowieka. Celem tego podręcznika jest udowodnienie związku naturalnej logiki człowieka z zero-jedynkową algebrą Boole’a w obszarze operatorów AND(*) i OR(+).

Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych. Fundamentem całego świata techniki są zaledwie dwie bramki logiczne AND(*) i OR(+) plus negator. Fundamentem naturalnego języka mówionego są operatory AND i OR znane ze świata techniki, oraz przede wszystkim zupełnie w technice nieprzydatne (z powodu „rzucania monetą”) operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus prawa Kubusia.

Matematyka języka mówionego zbudowana jest na bardzo prostym aksjomacie rodem z teorii układów cyfrowych.

Aksjomat matematyki języka mówionego:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).

Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce
1.2 Genialna matematyka 5-cio latka w operatorach AND i OR
1.3 Lista legalnych operatorów logicznych

2.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a
2.1 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
2.2 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
2.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
2.4 Definicja algebry Kubusia

3.0 Kubuś na tropie logiki człowieka
3.1 Podstawowe pojęcia i definicje
3.2 zdania twierdzące zdeterminowane
3.3 Funkcja logiczna jednej zmiennej
3.3.1 Bezwarunkowa obietnica
3.3.2 Bezwarunkowa groźba
3.3.3 Przyszłość niezależna od człowieka
3.4 Funkcja logiczna dwu zmiennych - suma logiczna
3.5 Funkcja logiczna dwu zmiennych - iloczyn logiczny
3.6 Logika dodatnia i ujemna w operatorach AND i OR
3.7 Definicja sumy logicznej
3.8 Prawo Prosiaczka
3.9 Definicja iloczynu logicznego

4.0 Logika dodatnia i ujemna w bramkach logicznych
4.1 Prawa de’Morgana w bramkach logicznych
4.2 Laboratorium cyfrowych układów logicznych
4.3 Operatory AND i OR w logice człowieka
5.0 Operatory dodatnie i operatory ujemne

1.0 Notacja

Notacja w algebrze Kubusia jest identyczna jak notacja technicznej algebry Boole’a czyli tej, której używają praktycy.

1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

1.1 Definicje i prawa algebry Kubusia w pigułce

… czyli wszystko co najważniejsze w tym podręczniku.

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1

Definicja równoważna:
Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=1*1*1*0*1 =0

Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0

Definicja równoważna:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.
Y=1+1+1+0+1 =1

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C) ….

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
gdzie:
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie)

Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.

Przykładowa funkcja logiczna:
A.
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
B.
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
C.
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana:
A+(B*~C) = ~A*(~B+C)

Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)

Zasada czytania funkcji logicznej:
Wartość funkcji logicznej z operatorami AND i OR to wartość logiczna zdania.
Y =1 - prawda, dotrzymam słowa (Y - logika dodatnia)
~Y=1 - fałsz, skłamię (~Y - logika ujemna)
gdzie:
Y - zarezerwowany symbol funkcji logicznej

Znaczenie zmiennych w logice dodatniej:
Y=A*B - funkcja logiczna
gdzie:
A, B - zmienne binarne, mogące przyjmować w osi czasu wyłącznie 0 albo 1.
Zasada czytania:
Y=1 <=> A=1 i B=1
inaczej Y=0.
czyli:
Wystąpi prawda (Y=1) jeśli zajdzie A=1 i B=1
Logika dodatnia:
Y=1, ~Y=0
A=1, ~A=0
B=1, ~B=0

Znaczenie zmiennych w logice ujemnej:
Kiedy powyższa funkcja będzie fałszem (kłamstwem) ?
Przejście do logiki ujemnej metodą przedszkolaka poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~A+~B
Zasada czytania jest tu identyczna:
~Y=1 <=> ~A=1 lub ~B=1
inaczej ~Y=0
Czyli:
Wystąpi fałsz (~Y=1) jeśli zajdzie ~A=1 lub ~B=1
Logika ujemna:
~Y=1, Y=0
~A=1, A=0
~B=1, B=0

Zauważmy, że znaczenie zmiennych w logice dodatniej jest fundamentalnie inne niż w logice ujemnej. W szczególności w operatorach AND i OR zdanie prawdziwe w logice dodatniej (Y=1) nie jest równoważne zdaniu prawdziwemu w logice ujemnej (~Y=1), czyli mamy sytuację: oba zdania prawdziwe, ale nie równoważne !

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Matematycznie oznacza to:
A.
Dotrzymam słowa (Y), jeśli jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T
czyli:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Stan faktyczny pojutrze:
Y=1 - dotrzymałem słowa
K=1 - byłem w kinie
i
T=1 - byłem w teatrze

Tata, a kiedy skłamiesz ?
Przejście do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów.
~Y=~K+~T
B.
Skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Stan faktyczny pojutrze:
~Y=1 - skłamałem
~K=1 - nie byłem w kinie
lub
~T=1 - nie byłem w teatrze

Zdanie B to dla wszystkich oczywistość, wypowiadana najczęściej jako odpowiedź na pytanie dziecka (Tata, kiedy skłamiesz ?), które dopiero uczy się języka. W języku mówionym „dotrzymam słowa (Y)” jest domyślne i nie musi być wypowiadane, natomiast „skłamię (~Y)” nie jest domyślne i zawsze jest wypowiadane.

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana
Y = K*T = ~(~K+~T)
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
Y = ~(~K+~T)
czyli:
Y=1 <=> ~(~K=1 lub ~T=1)
Dotrzymam słowa (Y=1), jeśli nie zdarzy się ~(…) że jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.

Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.

rafal3006 · Zakopane 2010-02-09

4.0 Logika dodatnia i ujemna w bramkach logicznych

Podstawowe pojęcia w teorii układów logicznych.

Sygnał cyfrowy (zmienna binarna) to sygnał mogący przyjmować w osi czasu wyłącznie dwa stany 0 albo 1.
Wyjście cyfrowe (funkcja logiczna) to wyjście układu logicznego, dowolnie złożonego, zbudowanego z bramek logicznych typu OR(+) lub AND(*) oraz negatorów.

Bramki logiczne to domena elektroników logików. Już na pierwszym wykładzie z „Teorii układów logicznych” dowiadujemy się, że w dowolną linię układu logicznego zbudowanego na bramkach logicznych możemy wstawić dwa negatory (na schemacie kółka) i nic się nie zmieni zgodnie z prawem podwójnego przeczenia.
A=~(~A)

rafal3006

Rezerwa