ŚFiNiA

rafal3006

Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów
Część I

Autorzy:
Kubuś i przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizzona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt dziesięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Warunkiem koniecznym powstania algebry Kubusia było wolne od wszelkiej cenzury forum śfinia oraz kluczowe dyskusje z Rafalem3006, Wujem Zbójem i Fiklitem. Śfinia to hlefik Kubusia z zapisem pełnej historii narodzin algebry Kubusia.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do powstania algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek i inni.
Kubuś

Spis treści
1.0 Definicje podstawowe 2
1.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
1.2 Spójniki implikacyjne 3
1.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej 3
2.0 Definicja definicji 4
2.1 Definicja minimalna 5
3.0 Podstawowe działania na zbiorach 6
3.1 Iloczyn logiczny zbiorów: 6
3.2 Suma logiczna zbiorów: 6
3.4 Definicja zaprzeczenia zbioru: 7
4.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” 8
4.1 Budowa szczegółowa zdania warunkowego „Jeśli p to q” 10
4.1.1 Prawo Czarnej Mamby 12
4.2 Aksjomaty Kubusia 12
4.3 Kwantyfikator mały ~~> 14
4.3.1 Kwantyfikator mały ~~> w zbiorach 14
4.3.2 Kwantyfikator mały ~~> w zdarzeniach 15
4.4 Warunek wystarczający => 16
4.4.1 Warunek wystarczający => w zbiorach 17
4.4.2 Definicja kontrprzykładu dla zbiorów 18
4.4.3 Warunek wystarczający => w zdarzeniach 19
4.4.4 Definicja kontrprzykładu dla zdarzeń 20
4.5 Warunek konieczny ~> 20
4.5.1 Warunek konieczny ~> w zbiorach 22
4.5.2 Warunek konieczny ~> w zdarzeniach 22

1.0 Definicje podstawowe

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć z obszaru Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
W szczególności dziedziną może być Uniwersum.

Definicja zbioru niepustego i pustego:
Zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
p =[x] - zbiór niepusty
Zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów
p =[] - zbiór pusty

Wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz

Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty

1.1 Podstawowe operacje na zbiorach

„~” - symbol negacji (przeczenia), słówko „NIE” z naturalnego języka mówionego człowieka

Podstawowe operacje na zbiorach:

„-„ - różnica zbiorów p-q
Y=p-q - wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

„i”(*) - symbol iloczynu logicznego zbiorów p*q, spójnik „i”(*) w naturalnej logice człowieka
Y=p*q - wspólna część zbiorów p*q

„lub”(+) - symbol sumy logicznej zbiorów p+q, spójnik „lub”(+) w naturalnej logice człowieka
Y=p+q - wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Wartościowanie podstawowych operacji na zbiorach:
1 (prawda) - zbiór wynikowy jest niepusty
0 (fałsz) - zbiór wynikowy jest pusty

1.2 Spójniki implikacyjne

Spójniki implikacyjne:
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
p<=>q - równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Wartościowanie spójników implikacyjnych:
1 (prawda) - dany warunek jest spełniony
0 (fałsz) - dany warunek nie jest spełniony

1.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej

W logice matematycznej mamy do czynienia z trzema rodzajami tożsamości:
1. Tożsamość definiująca
2. Tożsamość wartościująca
3. Tożsamość logiczna (tożsama z równoważnością)

Pojęcie tożsamości w logice jest wystarczająco precyzyjne, bowiem rodzaj tożsamości wynika z konkretnego zapisu matematycznego.

Zbiory:
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (=[x]) definiuje zbiór, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).
Przykład:
p =[pies, kot] =1
p - nazwa zbioru
[pies, kot] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
=1 - wartość logiczna zbioru 1, bo zbiór niepusty

Tożsamość logiczna „=” (inaczej zwana równoważnością <=>)

Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1).
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
Na mocy prawa Kubusia mamy matematyczną pewność prawdziwości zdania C.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1)

Doskonale tu widać poprawność prawa Kubusia:
Prawdziwość zdania A: CH~>P daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości zdania C: ~CH=>~P i odwrotnie.

Prawa Kubusia w zapisie ogólnym:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
p=>q = ~p~>~q
W logice matematycznej tożsamość logiczna „=” jest tożsama z równoważnością <=>:
„=” = „<=>”

Prawa Kubusia możemy więc zapisać w sposób matematycznie tożsamy:
p=>q <=> ~p~>~q
p~>q <=> ~p=>~q

2.0 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając. Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw

2.1 Definicja minimalna

Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest przyjacielem człowieka?
TAK (PC =1)

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.

Definicja definicji minimalnej:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojęcie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1)
etc

3.0 Podstawowe działania na zbiorach

W logice matematycznej dostępne są zaledwie cztery podstawowe operacje na zbiorach.

3.1 Iloczyn logiczny zbiorów:
Iloczyn logiczny zbiorów p*q to wspólna część tych zbiorów
p*q
Wartościowanie:
p*q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p*q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
r=[7,8]
p*q =q*p =[1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p*r =r*p =[1,2,3,4]*[7,8] =[] =0 - bo zbiór wynikowy jest pusty
Wnioski:
1.
Jeśli iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem pustym to zbiory p i q są rozłączne (i odwrotnie)
2.
Iloczyn logiczny zbiorów jest przemienny: p*q = q*p

3.2 Suma logiczna zbiorów:
Suma logiczna zbiorów p+q to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
p+q
Wartościowanie:
1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
Z IV aksjomatu Kubusia (punkt 4.2) wnioskujemy, iż wynikiem sumy logicznej zbiorów może być wyłącznie zbiór niepusty.

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

3.3 Różnica zbiorów p-q:
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p-q
Wartościowanie:
p-q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p-q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
Zdefiniujmy zbiory:
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - zbiór wejściowy niepusty
r=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
s=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
q-p =[3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p-r =[1,2,3,4]-[1,2] =[3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
r-p =[1,2]-[1,2,3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
r-s =[1,2]-[1,2] =[] =0
Wnioski:
1.
Jeśli zbiory p i q są nie są tożsame ~[p=q] to różnica zbiorów nie jest przemienna, bo zbiór wynikowy p-q jest różny od q-p
Jeśli zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] to nie jest wszystko jedno który zbiór nazwiemy p a który q
2.
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów p-q jest zbiorem pustym [] (i odwrotnie)
p-q = q-p =[]
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów jest przemienna, co oznacza iż wszystko jedno jest który zbiór nazwiemy p a który q.

3.4 Definicja zaprzeczenia zbioru:

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje

Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczenie zbioru to różnica dziedziny D i dowolnego zbioru x wewnątrz dziedziny (w tym D)
Oznaczmy:
D - dziedzina
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty []:
~D=[D-D] =[] =0 - zbiór pusty
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D =1 - zbiór pełny (dziedzina)

Przykład:
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór pełny
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
~p =[D-p] =[1,2,3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru”
Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru” to „uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny”
W naszym przykładzie zbiór ~p=[5,6] jest uzupełnieniem do dziedziny D=[1,2,3,4,5,6] dla zbioru p=[1,2,3,4]

4.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q

W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” między p i q mogą być tylko i wyłącznie trzy spójniki implikacyjne:
I. p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
II. p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
III. p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Wartościowanie zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
Jeśli dany warunek jest spełniony (=1) to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest prawdziwe (=1), inaczej jest fałszywe (=0)

I.
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1*1 =1
Kwantyfikator mały ~~>spełniony bo możliwa jest (=1) sytuacja „są chmury” (CH=1) i „nie pada” (~P=1)
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> nie padać (~P=1)
CH~>~P = 1*1 =0
Warunek konieczny ~> w zdaniu A2 nie jest spełniony (=0) bo zabieram chmury (CH=1) nie wykluczając sytuacji „nie pada” (~P=1)

II.
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
A3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = 1*1 =1
Warunek wystarczający => spełniony (=1) bo zawsze gdy wymuszam deszcz (P=1), pojawiają się chmury (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH=1)
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

III
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
A4.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => braku opadów (~P=1)
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>

Przykłady:
A5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH = 1*1 =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona (=1) bo możliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „są chmury” (CH=1)
A6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Doskonale widać, że warunkiem koniecznym prawdziwości zdania A6: P=>CH jest prawdziwość tego samego zdania pod kwantyfikatorem małym A5: P~~>CH
A7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH = 1*1 =[] =0
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest fałszywe (=0) bo niemożliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „nie ma chmur” (~CH=1)

Na mocy prawa Kobry, jeśli w zdaniu A7 wymienimy spójnik na warunek wystarczający => lub konieczny ~> to zdanie A7 na pewno będzie fałszywe:
A7’.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie być pochmurno
P=>~CH =0 - na mocy prawa Kobry
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zdarzenia „pada” i „nie ma chmur” są rozłączne.
A7’’.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> nie być pochmurno
P~>~CH =0 - na mocy prawa Kobry
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona zdarzenia „pada” i „nie ma chmur” są rozłączne.

4.1 Budowa szczegółowa zdania warunkowego „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q

Twierdzenie Pitagorasa - pełne brzmienie:
A.
Jeśli wylosowany trójkąt x ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) jest prostokątny (TP) to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów
x*ZWT*TP=>SK =1
Dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Bycie trójkątem prostokątnym daje nam gwarancję matematyczną => iż zachodzi w nim suma kwadratów.
Jeśli w zdaniu A pod x podstawimy TP to wszystko jest w porządku:
x=TP
stąd:
TP*ZWT*TP =>SK
Prawa teorii zbiorów:
TP*TP = TP - bo iloczyn logiczny zbiorów tożsamych jest dowolnym ze zbiorów
ZWT*TP = TP - bo ZWT jest nadzbiorem zbioru TP
Stąd zapis matematycznie tożsamy:
TP=>SK
Wniosek:
Doskonale widać, że zdanie A jest prawdziwe tylko i wyłącznie dla trójkątów prostokątnych i fałszywe dla trójkątów nieprostokątnych (~TP).
Dowód:
Podstawiamy:
x=~TP - trójkąt nieprostokątny
Stąd:
~TP*ZWT*TP => SK
Prawa teorii zbiorów:
~TP*TP =[] - bo zbiory ~TP i TP są rozłączne
[]*ZWT=[] - iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
stąd otrzymujemy:
A: [] =>SK =0
Dla trójkątów nieprostokątnych twierdzenie Pitagorasa jest fałszywe bo prawo Kobry.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>

Dla trójkątów nieprostokątnych zdanie A pod kwantyfikatorem małym ~~> brzmi:
A: [] ~~>SK = []*SK =[] =0
Wniosek:
Dla trójkątów nieprostokątnych zdanie A jest fałszywe.

Stąd mamy jak na dłoni, szczegółową budowę zdania warunkowego „Jeśli p to q”.
Zapiszmy jeszcze raz nasze zdanie:
A.
Jeśli wylosowany trójkąt x ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) jest prostokątny (TP) to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów
x*ZWT*TP=>SK

To samo w zapisie ogólnym:
AOG.
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny X jest [p=wybrany element] to [q=konkretna cecha tego elementu]
x*X*p=>q
Tłumaczymy AOG na nasz przykład A:
Jeśli dowolny element x = Jeśli wylosowany trójkąt x
z przyjętej dziedziny x = ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT)
jest [p=wybrany element] = jest prostokątny (TP)
to [q=konkretna cecha tego elementu] = to w trójkącie tym zachodzi suma kwadratów

Zauważmy, że w schemacie ogólnym zdania warunkowego „Jeśli p to q” pod p i q nie możemy podstawić ani zbioru pustego (zabrania prawo Kobry), ani też zbioru pełnego (wybranej dziedziny).

Dowód:
1.
Spróbujmy podstawić pod p zbiór pusty:
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny X jest […] to [q=konkretna cecha tego elementu]

W zbiorze pustym nie ma żadnego elementu, zatem nie jesteśmy w stanie opisywać konkretnej cechy elementu którego nie widzimy (nie znamy).

2.
Spróbujmy podstawić pod zbiór p dziedzinę.
Załóżmy najszerszą możliwą dziedzinę: Uniwersum
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny [Uniwersum] jest [Uniwersum] to [q=konkretna cecha tego elementu]
x*U*U =x
Prawa teorii zbiorów:
U*U =U - bo iloczyn logiczny zbiorów tożsamych jest dowolnym z tych zbiorów
x*U=x - bo x jest podzbiorem U
czyli poprzednik urywa nam się na zdaniu:
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny U (ale jaki element!) to [q=konkretna cecha tego elementu]

Wnioski:
W algebrze Kubusia dziedzina jest zawsze kluczowa i najważniejsza, w AK operujemy tylko i wyłącznie w obrębie wybranej dziedziny.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie możemy pod p lub q podstawić ani zbioru pustego [..], ani też dziedziny (w szczególności Uniwersum)
Co udowodniono wyżej.

4.1.1 Prawo Czarnej Mamby

Prawo Czarnej Mamby wynika ze szczegółowej budowy zdania warunkowego „Jeśli p to q” omówionej wyżej.

Prawo Czarnej Mamby
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” pod p lub q nie możemy podstawić ani zbioru pustego [..], ani też dziedziny D na której operujemy (w szczególności Uniwersum).

Przykład bezsensu:
Jeśli […] to ?
Jeśli Uniwersum to …?

Podzbiorem prawa Czarnej Mamby jest prawo Kobry.
Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>

4.2 Aksjomaty Kubusia

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć z obszaru Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
W szczególności dziedziną może być Uniwersum.

Aksjomaty Kubusia
I.
Człowiek może operować wyłącznie na pojęciach dla niego zrozumiałych
pies - pojęcie zrozumiałe
blebleku - pojęcie niezrozumiałe
II.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” wartości logiczne p i q nie mogą być znane z góry
Wniosek:
Logika, będąca zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” to matematyczny opis nieznanego
III.
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem
W szczególności będzie to zbiór jednoelementowy
IV.
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” pod p i q możemy podstawiać wyłącznie zbiory (pojęcia) niepuste będące podzbiorem właściwym dziedziny na której operujemy.
Definicja podzbioru właściwego |=>:
Zbiór p jest podzbiorem właściwym |=> dziedziny D wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => dziedziny D i nie jest tożsamy z dziedziną D, co matematycznie zapisujemy ~[p=D]
p|=>D = (p=>D)*~[p=D]
Zobacz też prawo Czarnej Mamby (pkt.4.1.1)
V.
Zbiór pusty w logice matematycznej może powstać wyłącznie w matematycznych operacjach na zbiorach niepustych
Aksjomat V to wniosek z aksjomatu IV

Ad. II
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” wartości logiczne p i q nie mogą być znane z góry
Dowód:
W całym obszarze języka mówionego, we wszelkich środkach masowego przekazu, nie istnieje ani jedno zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w którym wartości logiczne p i q znane byłyby z góry.

Wniosek:
Definicja logiki matematycznej:
Logika to matematyczny opis nieznanego, czyli przyszłości lub nieznanej przeszłości

Wbrew pozorom przeszłość nie musi być znana.
Przykład :
Poszukiwanie mordercy
Założenia:
1. Morderstwa dokonano w Warszawie
2. Podejrzany Kowalski
A.
Jeśli Kowalski był w Warszawie w dniu morderstwa to mógł ~> zamordować
W~>Z =1
Bycie Kowalskiego w Warszawie w dniu morderstwa było warunkiem koniecznym ~>, aby był on mordercą.

Jeśli znamy rozwiązanie np. Kowalski jest mordercą to zdanie A wyżej traci sens, wiemy wszystko i żadna logika matematyczna nie jest nam tu potrzebna.

Ad. III
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem

Przykład matematyczny:
Zdefiniujmy dziedzinę:
LR - zbiór liczb rzeczywistych
Utwórzmy zbiór p zbudowany z jednej liczby tego zbioru:
p=[2]
Zaprzeczenie zbioru p to:
~p=[LR-2] - zbiór liczb rzeczywistych z wykluczeniem liczby 2
Matematycznie zachodzi:
p+~p = [2]+[LR-2] = LR =1 (dziedzina)
Zbiór ~p=[LR-2] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p=[2]
oraz:
p*~p = [2]*[LR-2] = [] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne

Matematycznie zachodzi również:
p ## ~p
[2] ## [LR-2]
gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji

Przykład nie matematyczny
Zdefiniujmy zbiór zawierający jedno pojęcie z obszaru Uniwersum:
C = [kolor czerwony]
Przyjmijmy dziedzinę:
Uniwersum (U) - wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Na mocy definicji zaprzeczenia zapisujemy:
~C = [U-C] - dowolne pojęcie z palety Uniwersum z wykluczeniem „koloru czerwonego”

Zaprzeczeniem „koloru czerwonego” jest dowolne pojęcie z Uniwersum różne od pojęcia „kolor czerwony”, w szczególności może to być dowolny inny kolor.
Wypiszmy kilka pojęć wchodzących do zbioru ~C.
~C =[kolor biały, krowa, krasnoludek, miłość, Wszechświat …]
Dowolne z tych pojęć jest zaprzeczeniem koloru czerwonego.

W tym ujęciu „kolor czerwony” to zbiór jednoelementowy:
C = [kolor czerwony]

Stąd mamy III aksjomat Kubusia:
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem
W szczególności będzie to zbiór jednoelementowy

Ad. IV
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” pod p i q możemy podstawiać wyłącznie zbiory (pojęcia) niepuste będące podzbiorem właściwym dziedziny na której operujemy.
Aksjomat IV wynika bezpośrednio z prawa Czarnej Mamby (pkt. 4.1.1)

Prawo Czarnej Mamby
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” pod p lub q nie możemy podstawić ani zbioru pustego [..], ani też dziedziny D na której operujemy (w szczególności Uniwersum).

Przykład bezsensu:
Jeśli […] to ?
Jeśli Uniwersum to …?

4.3 Kwantyfikator mały ~~>

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Dla udowodnienia prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q

4.3.1 Kwantyfikator mały ~~> w zbiorach

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zbiory:
Dla udowodnienia zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q
Wartościowanie dla zbiorów:
Kwantyfikator mały p~~>q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*q (Inaczej: p~~>q =0)
Przemienność argumentów:
Argumenty w kwantyfikatorze małym ~~> są przemienne bo argumenty w iloczynie logicznym zbiorów p*q są przemienne:
p*q = q*p
Zapis tożsamy kwantyfikatora małego ~~> dla zbiorów:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Przykłady w zbiorach:
Dziedzina: LN
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P2 =[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 =P8*P2 =1 bo 8
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona (=1) bo istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8 ..] np. 8
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 = [] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne.
Kwantyfikator mały jest przemienny bo argumenty w iloczynie logicznym są przemienne:
P8*P2 = P2*P8
P8*~P2 = ~P2*P8

4.3.2 Kwantyfikator mały ~~> w zdarzeniach

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zdarzenia:
Dla udowodnienia prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia zdarzeń p i q
Wartościowanie dla zdarzeń:
Kwantyfikator mały p~~>q =1 jest spełniony (=1) gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q (Inaczej: p~~>q =0)
Przemienność argumentów:
Argumenty w kwantyfikatorze małym ~~> są przemienne bo argumenty w iloczynie logicznym zbiorów p*q są przemienne:
p*q = q*p
Zapis tożsamy kwantyfikatora małego ~~> dla zdarzeń:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Możliwe jest (Vx) jednoczesne zajście zdarzeń p(x) i q(x)

Przykłady w zdarzeniach:
A.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona, bo możliwa jest (=1) sytuacja „pada” i „są chmury”
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =[] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0), bo niemożliwa jest sytuacja „pada” i „nie ma chmur”
Wniosek:
Dla prawdziwości kwantyfikatora małego ~~> wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia zdarzenia p i q
Kwantyfikator mały ~~> jest przemienny bo iloczyn logiczny zbiorów (zdarzeń) jest przemienny:
P*CH = CH*P
P*~CH = ~CH*P

4.4 Warunek wystarczający =>

Definicja warunku wystarczającego =>
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Definicja warunku wystarczającego p=>q spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza zajście zdarzenia q

Przemienność argumentów w warunku wystarczającym =>:
Warunek wystarczający => nie jest przemienny, gdy zbiory (zdarzenia) p i q nie są tożsame ~[p=q]
LUB
Warunek wystarczający => jest przemienny gdy zbiory (zdarzenia) p i q są tożsame [p=q]

Przykład warunku wystarczającego => nieprzemiennego:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zdanie odwrotne brzmi:
AO.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(p<=q)

Nasz przykład:
RA.
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P8<=P2) = 1*0 =0
Wniosek:
Warunek wystarczający A: P8=>P2 nie wchodzi w skład definicji równoważności.

Przykład warunku wystarczającego => przemiennego:
A.
Jeśli dowolna liczba jest liczbą naturalną to na pewno => ta sama dowolna liczba jest liczbą naturalną
LN=>LN =1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo poprzednik jest tu identyczny z następnikiem, co gwarantuje prawdziwość warunku wystarczającego w dwie strony, co gwarantuje przemienność argumentów w zdaniu warunkowym „Jeśli p to p”
LN<=>LN = (LN=>LN)*(LN<=LN) = 1*1 =1
Wniosek:
Warunek wystarczający A: LN=>LN wchodzi w skład definicji równoważności.

4.4.1 Warunek wystarczający => w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego =>
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Wnioski:
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru p jest warunkiem wystarczającym => na to, by ta liczba należała do zbioru q
Wylosowane dowolnej liczby ze zbioru p daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba jest z zbiorze q
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

Wartościowanie:
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem zbioru q (Inaczej: p=>q =0)

Definicja warunku wystarczającego => w kwantyfikatorze dużym
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x)

Definicja podzbioru właściwego =>:
Zbiór p jest podzbiorem właściwym |=> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Argumenty w podzbiorze właściwym p|=>q nie są przemienne.

Przykład 1.
Przyjmijmy zbiory p i q nie tożsame ~[p=q]
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, stąd
p=>q =1
Zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p, stąd:
q=>p =0
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku wystarczającym => nie są przemienne, zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] (i odwrotnie)

Definicja podzbioru niewłaściwego p<=>q:
Zbiór p jest zbiorem niewłaściwym <=> dla zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Argumenty w podzbiorze niewłaściwym <=> są przemienne co oznacza, że wszystko jedno co nazwiemy p a co q.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów [p=q]

Przykład 2.
Przyjmijmy zbiory p i q tożsame [p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2,3,4]
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =1 - zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku wystarczającym => są przemienne, to zbiory p i q są tożsame [p=q] (i odwrotnie)

Stąd mamy matematyczną definicję tożsamości zbiorów p i q [p=q]:
Zbiory p i q są tożsame [p=q], wtedy i tylko wtedy <=> gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
[p=q] = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1

4.4.2 Definicja kontrprzykładu dla zbiorów

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q

Rozstrzygnięcia:
A.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam pewność => fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
B.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam pewność => prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)

Przykład warunku wystarczającego => w zbiorach
Dziedzina: LN
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P2 =[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru P8=[8,16,24..] jest warunkiem wystarczającym => na to aby ta liczba należała do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru P8=[8,16,24..] daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie należała do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna

Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: P8=>P2 jest zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym B: P8~~>~P2
Prawdziwość warunku wystarczającego A: P8=>P2 =1 daje nam gwarancję matematyczną fałszywości kontrprzykładu B: P8~~>~P2 =0
Sprawdzamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Definicja kwantyfikatora nie jest spełniona (=0), bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Fałszywość kwantyfikatora małego B: P8~~>~P2 =0 daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości warunku wystarczającego A: P8=>P2 =1

Przemienność argumentów:
Argumenty w warunku wystarczającym A: P8=>P2 nie są przemienne bo:
A: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
AO: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

4.4.3 Warunek wystarczający => w zdarzeniach
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zdarzenia:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p gdy zajście zdarzenia p wymusza => zdarzenie q

Wnioski:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => na to, by zaszło zdarzenie q
Zajście zdarzenie p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia zdarzenia q
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

Wartościowanie:
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza zajście zdarzenia q. (Inaczej: p=>q =0)

Definicja warunku wystarczającego => w kwantyfikatorze dużym
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego zdarzenia x, jeśli zajdzie p(x) to zajdzie q(x)

4.4.4 Definicja kontrprzykładu dla zdarzeń

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q

Rozstrzygnięcia:
A.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam pewność => fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
B.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam pewność => prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)

Przykład warunku wystarczającego => w zdarzeniach
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy „pada”, „są chmury”
Padanie deszczu daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Z prawdziwości warunku wystarczającego A: P=>CH =1 wynika fałszywość kontrprzykładu B: P~~> ~CH=0 (i odwrotnie).
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH = [] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0), bo niemożliwa jest sytuacja „pada” i „nie ma chmur”
Z fałszywości kontrprzykładu B: P~~>~CH=0 wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A: P=>CH =1 (i odwrotnie)

Przemienność argumentów:
Warunek wystarczający A: P=>CH nie jest przemienny bo zdanie odwrotne jest fałszywe:
AO.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
CH=>P =0
Warunek wystarczający AO: CH=>P nie jest spełniony (=0) bo prawdziwy jest kontrprzykład:
B: CH~~>~P= CH*~P =1 - może się zdarzyć, że są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)

4.5 Warunek konieczny ~>

Definicja warunku koniecznego ~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q

Zbiory:
Warunek konieczny ~> jest spełniony, jeśli zbiór p zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (Inaczej: p~>q =0)

Zdarzenia:
Warunek konieczny p~>q jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zabierając zdarzenie p wykluczamy zajście zdarzenia q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zabierając zdarzenie p wykluczamy zdarzenie q (Inaczej: p~>q =0)

Definicja nadzbioru właściwego |~>:
Zbiór p jest nadzbiorem właściwym |~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Argumenty w nadzbiorze właściwym p|~>q nie są przemienne.

Przykład 1.
Przyjmijmy zbiory p i q nie tożsame ~[p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, stąd
p~>q =1
Zbiór q nie jest nadzbiorem ~> zbioru p, stąd:
q~>p =0
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku koniecznym ~> nie są przemienne, tonzbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] (i odwrotnie)

Definicja nadzbioru niewłaściwego p<=>q:
Zbiór p jest nadzbiorem niewłaściwym <=> dla zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p~>q)*[p=q]
Argumenty w nadzbiorze niewłaściwym <=> są przemienne co oznacza, że wszystko jedno co nazwiemy p a co q.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów [p=q]

Przykład 2.
Przyjmijmy zbiory p i q tożsame [p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2,3,4]
p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
q~>p =1 - zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku koniecznym ~> są przemienne, to zbiory p i q są tożsame [p=q] (i odwrotnie)

Stąd mamy matematyczną definicję tożsamości zbiorów p i q [p=q]:
Zbiory p i q są tożsame [p=q], wtedy i tylko wtedy <=> gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i jednocześnie zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
[p=q] = (p~>q)*(q~>p) = 1*1 =1

4.5.1 Warunek konieczny ~> w zbiorach

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Warunek konieczny ~> jest spełniony, jeśli zbiór p zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (Inaczej: p~>q =0)

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem zbioru P8=[8,16,24..]
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> jej podzielności przez 8, bo jak liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8
Ostatnie zdanie to matematyczny związek warunku koniecznego P2~>P8 z warunkiem wystarczającym ~P2~>~P8
Prawdziwość dowolnej strony powyższej tożsamości wymusza prawdziwość drugiej strony.

4.5.2 Warunek konieczny ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Zabieram zdarzenie p wykluczając zajście zdarzenia q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury wykluczając padanie.
Istnienie chmur jest warunkiem koniecznym ~> dla deszczu, bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
CH~>P = ~CH=>~P
Ostatnie zdanie to matematyczny związek warunku koniecznego CH~>P z warunkiem wystarczającym ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony powyższej tożsamości wymusza prawdziwość drugiej strony.