Algebra Kubusia - nowa teoria zbiorów - beta 2.0

ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.

FAQ

Szukaj

Użytkownicy

Grupy

Galerie

Rejestracja

Profil

Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości

Zaloguj

Algebra Kubusia - nowa teoria zbiorów - beta 2.0

Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35368
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Sob 5:34, 11 Maj 2013 Temat postu: Algebra Kubusia - nowa teoria zbiorów - beta 2.0

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia - nowa teoria zbiorów
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia
Najważniejsze definicje:
Kompendium algebry Kubusia
Podręcznik w wersji skróconej zawierający wyłącznie część I:
Algebra Kubusia - nowa teoria zbiorów

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych], [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych]. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita i Yorgina.

Wstęp.

Fundamentem algebry Kubusia jest nowa teoria zbiorów. Algebra Kubusia w rozszerzonej wersji zawiera dodatkowo techniczną algebrę Boole’a oraz algebrę Kubusia w służbie lingwistyki.

Algebra Kubusia to matematyka pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy, człowiek nie jest tu wyjątkiem. Z punktu widzenia logiki teoria zbiorów to zaledwie dwa zbiory p i q we wszystkich możliwych wzajemnych położeniach z których wynikają zero-jedynkowe definicje znanych człowiekowi operatorów logicznych.

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

W świecie techniki inżynierowie przyjmują za aksjomat zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa logiczne.
Takie podejście jest poprawne jeśli interesuje nas fizyczne zbudowanie komputera (hardware), jednak sprzęt bez oprogramowania (software) to tylko bezużyteczna kupa złomu. Software (naturalna logika człowieka) to zupełnie co innego niż hardware, mimo że w obu przypadkach fundamentem jest ta sama, symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia).

Jest oczywistym, że jeśli istnieje matematyka pod którą podlega człowiek, to musi być ona absolutnie banalna, na poziomie 5-cio latka. Ta maksyma przyświecała Kubusiowi od samego początku walki o rozszyfrowanie matematycznych podstaw naturalnej logiki człowieka.

W nowej teorii zbiorów znaczenie zer i jedynek wewnątrz operatorów logicznych jest inne niż w aktualnej logice matematycznej. Algebra Kubusia jest totalnie odwrotna w stosunku do logiki matematycznej Ziemian. Z tego powodu praktycznie niemożliwa jest dyskusja na rzeczowe argumenty. Warunkiem koniecznym zrozumienia nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia jest odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z logiki matematycznej uczonej w ziemskich szkołach i zaczęcie wszystkiego od zera.

Nowa teoria zbiorów jest banalna bo tu nigdy nie wychodzimy poza trzy podstawowe operacje na zbiorach, alternatywę zbiorów, koniunkcję zbiorów i różnicę zbiorów. Naturalna logika człowieka to tyko i wyłącznie to, absolutnie nic więcej.

Techniczna algebra Boole’a to już zupełnie inna bajka, tu trzeba czuć dwuelementową algebrę Boole’a a to jest bardzo trudne dla matematyka przyzwyczajonego do funkcji liniowych, kwadratowych etc. Oczywistym szokiem dla przeciętnego matematyka będzie zabranie mu tych nieskończonych zbiorów i pozostawienie zaledwie dwu cyferek 0 i 1. Na szczęście techniczna algebra Boole’a to w obecnej chwili czasy epoki kamiennej, nie jest potrzebna nikomu, ani matematykom, ani inżynierom. Ci ostatni w dniu dzisiejszym operują wyłącznie w technice mikroprocesorowej gdzie nie ma śladu fizycznych bramek logicznych. Tak więc techniczną algebrę Boole’a można traktować jako ciekawostkę. Polecam ją czytelnikom których pasjonuje matematyka, mam nadzieję, że napisana jest prostym i łatwym do zrozumienia językiem.

Najśmieszniejsze sytuacje w historii 7-letniej walki o rozszyfrowanie matematycznych fundamentów naturalnej logiki człowieka to te, w których bardzo dobrzy ziemscy matematycy próbowali udowadniać Kubusiowi iż się myli, powołując się na analogię do klasycznych funkcji operujących na nieskończonych zbiorach liczb. Problem w tym, że tu nie ma żadnej analogii.
Matematyka klasyczna to fundamentalnie co innego niż algebra Boole’a. Fundamentalnie inna jest wizualizacja funkcji logicznych. W matematyce klasycznej mamy układ kartezjański który w algebrze Boole’a jest najzwyklejszym idiotyzmem. Wykresy funkcji logicznych w algebrze Boole’a to fundamentalnie co innego, to zmiany zmiennych binarnych w funkcji czasu. Przykładowe, piękne wykresy czasowe mamy w tym [link widoczny dla zalogowanych] Aby zrozumieć symboliczną algebrę Boole’a (algebrę Kubusia) trzeba szukać analogii do naturalnej logiki 5-cio Latków, a nie do matematyki klasycznej, co Kubuś przez te lata czynił.

Jakie jest największe marzenie Kubusia?
Mam nadzieję że kiedyś będzie to podstawowy podręcznik logiki matematycznej w I klasach LO.
Nie może być tak jak to jest w dniu dzisiejszym, iż niewinnym dzieciom pierze się mózgi z naturalnej logiki człowieka zdaniami prawdziwymi typu.

[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi
Zdanie prawdziwe w dzisiejszej „matematyce”.

Pisząc ten podręcznik starałem się aby zupełnie nowa wiedza, jaką jest algebra Kubusia, została podana po równi pochyłej od najprostszych pojęć poczynając. Proszę o sygnały w którym miejscu są ewentualne schody, będziemy je wspólnie likwidować.

Spis treści:

Część I
Nowa teoria zbiorów

1.0 Notacja

2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.1 Techniczna algebra Boole’a
2.2 Definicje operatorów logicznych w zbiorach

3.0 Nowa teoria zbiorów
3.1 Podstawowe operacje na zbiorach
3.2 Prawo podwójnego przeczenia
3.3 Zdanie w algebrze Kubusia
3.4 Czym różni się zdanie twierdzące od zdania warunkowego?

4.0 Operatory jednoargumentowe
4.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego
4.2 Operator transmisji w zbiorach
4.3 Operator negacji w zbiorach

5.0 Operatory implikacji i równoważności
5.1 Operator chaosu w zbiorach
5.2 Implikacja prosta w zbiorach
5.3 Najważniejsze prawa algebry Kubusia
5.3.1 Prawa Prosiaczka
5.3.2 Geneza praw Prosiaczka
5.3.3 Zastosowanie praw Prosiaczka
5.3.4 Czym różni się tożsamość od równoważności?
5.3.5 Budowa tabeli prawdy w algebrze Kubusia
5.4 Implikacja odwrotna w zbiorach
5.5 Równoważność w zbiorach
5.6 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ
5.7 Alternatywne definicje implikacji i równoważności
5.8 Równania Fiklita
5.9 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

6.0 Operatory OR i AND
6.1 Operator OR w zbiorach
6.2 Operator AND w zbiorach
6.3 Prawo przejścia do logiki przeciwnej
6.4 Operator XOR
6.5 Nietypowa równoważność
6.6 Nietypowa implikacja prosta
6.7 Samodzielny warunek wystarczający
6.8 Pseudo-operator Słonia
6.9 Obietnice i groźby

Cześć II
Techniczna algebra Boole’a

Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

Część IV
Kompendium algebry Kubusia

Część V
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Część I
Nowa teoria zbiorów

1.0 Notacja

Zera i jedynki w nowej teorii zbiorów (NTZ) oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

~ - symbol negacji

= - tożsamość
Zbiory:
p=q - zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q
Rachunek zero-jedynkowy:
Kolumny wynikowe w tabeli zero-jedynkowej są tożsame (identyczne)
p<=>q = ~p<=>~q

# - różne
Zbiory:
p#q - zbiór p jest różny od zbioru q
Rachunek zero-jedynkowy:
Kolumny wynikowe w tabeli zero-jedynkowej są różne
p=>q = ~p~>~q =1 # p~>q = ~p=>~q =0
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q

## - różne na mocy definicji
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q =1 ## p~>q = ~p=>~q =1
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p i q
W przypadku implikacji zdanie po drugiej stronie znaku ## będzie prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zamienimy miejscami p i q.

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego. Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych zapisane w równaniach algebry Boole’a (nowa teoria zbiorów).

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1

Prawa Prosiaczka:
I. p=0 <=> ~p=1
II. p=1 <=> ~p=0
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli ~p=0 to p=1
<=> - wtedy i tylko wtedy
Prawa Prosiaczka umożliwiają:
A.
Utworzenie równania algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej
B.
Utworzenie tabeli zero-jedynkowej z dowolnego równania algebry Boole’a

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
A: Jestem uczciwy
A: U
B: Jestem nieuczciwy
B: ~U
C: Nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy
C: ~(~U) = A: U
Zdania A i C znaczą dokładnie to samo
cnd

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

W tabelach zero-jedynkowych operatorów logicznych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.

Kod:

p q SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP Q NQ
1 1 p* q 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 p*~q 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1
0 1 ~p* q 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 ~p*~q 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1

gdzie:
* - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń)

Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu:
1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe
0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe

Definicja zdania w algebrze Kubusia:
Zdanie to funkcja logiczna zbiorów wejściowych

Przykład zdania:
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0
P=1 - zbiór psów
~4L=1 - zbiór zwierząt nie mających 4 łap (kura, wąż …)
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) ale są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe.

Maszynowa definicja operatora logicznego (algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q

Symboliczna definicja operatora logicznego (algebra Kubusia):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani q. Wynika to bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora i prawa Sowy.

Definicja logiki w algebrze Kubusia = definicja algebry Kubusia:
Logika to przewidywanie przyszłości lub rozwiązywanie nieznanego np. nieznanej przeszłości.
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy

Matematyka:
Logika to formułowanie i udowadnianie twierdzeń matematycznych

2.1 Techniczna algebra Boole’a

Fundamentem technicznej algebry Boole’a jest rachunek zero-jedynkowy gdzie cyfry 0 i 1 nie mają żadnego odniesienia do naturalnej logiki człowieka typu:
1 - prawda
0 - fałsz
… to po prostu cyfry 0 i 1 i kropka.

W technicznej algebrze Boole’a chodzi wyłącznie o fizyczną realizację zero-jedynkowej definicji operatora X na wszelkie możliwe sposoby oraz o minimalizację złożonych funkcji logicznych.

W technicznej algebrze Boole’a dysponując dowolnym z operatorów:
NAND, NOR, => albo ~>
można zbudować tabele zero-jedynkowe wszystkich pozostałych operatorów.
Oczywiście zupełnie nie o to chodzi w naturalnej logice człowieka, algebrze Kubusia.

Zauważmy, że w technicznej algebrze Boole’a cyfry 0 i 1 nie mają żadnego znaczenia, natomiast w zasygnalizowanej wyżej, nowej teorii zbiorów (algebrze Kubusia) cyfry 0 i 1 mają ściśle określone znaczenie.

Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

W przełożeniu na świat komputerów techniczna algebra Boole’a to hardware (sprzęt), natomiast nowa teoria zbiorów to software (program).
Oczywiście hardware to zupełnie co innego niż software, mimo iż fundamentem w obu przypadkach jest ta sama, symboliczna algebra Boole’a.

2.2 Definicje operatorów logicznych w zbiorach

Nowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:

OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Implikacja prosta:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2], q=[1,2,3,4,5,6]

Implikacja odwrotna:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2]

Równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i być tożsamy ze zbiorem q
p=q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,3,4]

XOR
Y = p*~q + ~p*q
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
p=[1,2], q=[3,4]

Algebra Kubusia to matematyczny opis naszego Wszechświata, w tym nieznanego. Dla potrzeb tej algebry wystarczą nam definicje prostych operacji na zbiorach.

3.0 Nowa teoria zbiorów

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Uniwersum to najszersza dziedzina w której człowiek może się poruszać.

Definicja zbioru:
Zbiór to dowolnie wybrany zbiór, uniwersum lub podzbiór uniwersum.

Człowiek może tworzyć dowolne podzbiory uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Przy tej definicji uniwersum można uznać za zbiór wszystkich zbiorów. Oczywiście uniwersum jest dynamiczne, żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza uniwersum. W praktyce rzadko odwołujemy się do uniwersum ale to pojecie jest dla logiki bezcenne.

W logice można ustawić punkt odniesienia na dowolnym zbiorze.
Taki zbiór nosi nazwę dziedziny.

Definicja dziedziny:
Dziedzina to zbiór główny w obrębie którego działamy, poza ramy którego nie wychodzimy

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1

Zbiór pusty nie zawiera żadnych elementów:
p=[] =0 - zbiór pusty

Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Poprzednik precyzyjnie wyznacza tu dziedzinę:
Zbiór wszystkich zwierząt

… a interesujące nas podzbiory to:
P - zbiór jednoelementowy pies [P] =1
~P - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa [ZWZ-P] =1
4L - zbiór zwierząt z czteroma łapami [4L]=1
~4L - zbiór zwierząt nie mających czterech łap [ZWZ-4L]=1

Oczywiście w obrębie zwierząt z czteroma łapami można tworzyć kolejny podzbiór np.
- zwierzęta dzikie
- zwierzęta domowe

… albo zwierzęta szczekające, miauczące, beczące itp.

3.1 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] =0 - zbiór pusty

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=[3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~0=1
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~1=0
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
~0=1
~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być uniwersum

Definicja uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Podsumowanie:
Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.

Twierdzenie Pitagorasa:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
W poprzedniku mamy tu precyzyjnie zdefiniowaną dziedzinę:
Dziedzina = zbiór wszystkich trójkątów
… i nie ma tu najmniejszego sensu rozpatrywanie jakichkolwiek innych wielokątów, że o takich pojęciach z uniwersum jak pies czy galaktyka nie wspomnę.

Twierdzenie Pitagorasa w wersji idioty mogłoby brzmieć:
A.
Jeśli coś jest trójkątem prostokątnym to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK
W tym przypadku możemy przyjąć:
Dziedzina = uniwersum
To bez żadnego znaczenia poza tym że napracujemy się jak bury osioł. Zauważmy bowiem iż jeśli to „coś” nie jest trójkątem (jest np. galaktyką), to w poprzedniku będziemy mieli zbiór pusty.
A1.
Jeśli galaktyka jest trójkątem prostokątnym to na pewno => zachodzi suma kwadratów
[galaktyka]*TP=>SK = ([galaktyka]*TP)*SK = 0*x =0
Zbiory [galaktyka] i [zbiór trójkątów prostokątnych] to zbiory rozłączne, zatem ich koniunkcja jest zbiorem pustym.
Zdanie fałszywe bo galaktyka nie jest trójkątem prostokątnym (w poprzedniku mamy zbiór pusty).
Koniec końców i tak nam wyjdzie że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe wyłącznie dla trójkątów prostokątnych.

Na gruncie algebry Kubusia fałszywe są także takie zdania:
A2.
Jeśli trójkąt nie prostokątny jest trójkątem prostokątnym to zachodzi suma kwadratów
(~TP*TP) =>SK = 0*x =0
Poprzednik jest tu zbiorem pustym co wymusza fałszywość całego zdania.
Prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
0*x =0

Oczywistym jest, że logika Ziemian zwana KRZ leży tu i kwiczy bowiem twierdzi ona, że zdanie A jest prawdziwe dla trójkątów nie prostokątnych, co na mocy praw algebry Boole’a jest czysto matematycznym fałszem.

3.2 Prawo podwójnego przeczenia

Prawo podwójnego przeczenia to najważniejsze prawo nowej teorii zbiorów (i algebry Boole’a):
p=~(~p)

Rozważmy zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Stąd mamy:
~p=[3,4]

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p) = ~[3,4] = [1,2] = p

W naszej ustalonej dziedzinie:
D=[1,2,3,4]
Zbiór przeciwny (negacja „~”) do zbioru ~p to oczywiście zbiór p (dopełnienie do dziedziny)

3.3 Zdanie w algebrze Kubusia

Definicja zdania w algebrze Kubusia:
Zdanie to funkcja logiczna zbiorów wejściowych

Na mocy powyższego w algebrze Kubusia mamy naturalne znaczenie wartości logicznej zdania:
1 - zbiór wynikowy niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór wynikowy pusty, zdanie fałszywe

Najmniejszym możliwym zdaniem w naturalnej logice człowieka jest zdanie twierdzące.

Budowa zdanie twierdzącego:
Podmiot => orzeczenie = Y (wartość logiczna zdania)

Zapis ogólny zdania twierdzącego:
Y = p=>q
gdzie:
Y = wartość logiczna zdania
p - podmiot (poprzednik)
=> - spójnik „na pewno”
q - orzeczenie (następnik)
Podmiot i orzeczenie to zbiory wejściowe.
Sam podmiot lub samo orzeczenie na mocy definicji nie jest zdaniem.

Definicja spójnika „na pewno” => (warunek wystarczający):
=> - zbiór zdefiniowany na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze zdefiniowanym przez strzałkę wektora =>
W logice spójnik „na pewno” jest spójnikiem domyślnym i nie musi być wypowiadany.

Przykład zdania twierdzącego prawdziwego:
A1: Pies ma cztery łapy
A2: Pies na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = P*4L = 1*1 =1
Zbiór „pies” zawiera się w zbiorze „zwierząt z czteroma łapami” stąd:
P=>4L = P*4L = P =1 - zbiór wynikowy niepusty, zdanie prawdziwe.
A1 = A2 - zdania tożsame

Przykład zdania twierdzącego fałszywego:
B1: Pies nie ma czterech łap
B2: Pies na pewno => nie ma czterech łap
B3: Pies może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = P*~4L = 1*1 =0
P - zbiór jednoelementowy „pies”
~4L - zbiór zwierząt „nie mających czterech łap” (kura, wąż ..)
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) lecz są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
gdzie:
Ogólna definicja znaczka ~~>:
p~~>q
~~> naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów p i q

B1 = B2 - zdania tożsame
Oczywiście jeśli zdanie B3 jest fałszem to tym bardziej zdanie B1=B2 jest fałszem.
Doskonale widać, że zdanie fałszywe uzyskujemy poprzez zaprzeczenie orzeczenia (następnika).

Pełna definicja zdania twierdzącego prawdziwego:
A: p=>q = p*q =p =1 - zbiór p zawiera się w zbiorze q
B: p~~>~q =p*~q =1*1 =0 - zbiory p i ~q są rozłączne, co wynika ze zdania A
Dowolne zdanie twierdzące jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest pełna definicja prawdziwości tego zdania jak wyżej.

Przykład zdania fałszywego:
A1: Pies miauczy
A2: Pies na pewno => miauczy
A1 = A2 - zdania tożsame
A3: Pies może ~~> miauczeć
P~~>M = P*M = 1*1 =0
P - zbiór „pies”
M - zbiór „zwierząt miauczących”
Oba zbiory istnieją (P=1 i M=1) lecz są rozłączne co wymusza w wyniku 0
Oczywiście jeśli zdanie A3 jest fałszywe, to tym bardziej fałszywe jest zdanie A1 = A2.

Dowolne pojęcie znane człowiekowi ma wartość logiczną 1 bo istnieje, także zaprzeczenie tego pojęcia ma wartość logiczną 1, bo też istnieje i jest zrozumiałe.

Przykład:
p=[pies] =1 - zbiór niepusty

~P = ~[pies] = ???
Pojecie ~[ pies] ( nie-pies) może być czymkolwiek, w skrajnym przypadku dowolnym pojęciem zrozumiałym dla człowieka jakie przyjdzie mu do głowy, czyli zbiorem uniwersum pomniejszonym o zbiór „pies”.
~P=~[pies] = [uniwersum-pies]
gdzie:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia znane człowiekowi

Oczywiście najczęściej pod pojęciem „nie pies” rozumiemy dowolne zwierzę z wyłączeniem „psa”, zawężając dziedzinę do zbioru zwierząt, ale w ogólnym przypadku nie musimy tego robić.

~p = ~[pies] = [krowa, drzewo, samochód, galaktyka …] =1
Jeśli coś „nie jest psem” to może być czymkolwiek

Świadczy o tym prawdziwość zdań typu:
A.
Pies to nie galaktyka
Pies na pewno => nie jest galaktyką
P => ~G = P*~G = P =1
Bycie psem wystarcza => aby nie być galaktyką
Przyjmujemy dziedzinę:
Uniwersum - wszelkie możliwe pojęcia znane człowiekowi
Oba zbiory istnieją:
P = [pies]=1
G = [galaktyka] =1
~G = [uniwersum - galaktyka]
~G - wszelkie możliwe pojęcia (uniwersum) z wykluczeniem „galaktyki”
Oczywiście zbiór „pies” mieści się w zbiorze ~G, dlatego:
P=>~G = P*~G = P =1 - zbiór niepusty

Prawo nowej teorii zbiorów dla zbiorów rozłącznych p i q:
p*~q =p =1 - zbiór niepusty p

B.
Pies jest galaktyką
Pies na pewno => jest galaktyką
P=>G = P*G =1*1 =0
Pies może ~~> być galaktyką
P~~>G = P*G = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 i G=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

Oczywiście jeśli:
P~~>G =0
to tym bardziej:
P=>G =0

Zdania A i B razem, to definicja warunku wystarczającego dla zbiorów rozłącznych p i q:
A: p=>~ q = p*~q = p =1 - zbiór niepusty
B: p~~>q = p*q =1*1 =0 - bo zbiory p i q są rozłączne

Ogólne definicje znaczków => i ~~>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w całości w zbiorze wskazywanym przez strzałką wektora =>
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Jak widzimy, zaprzeczenie zdania A w warunku wystarczającym to zaprzeczenie orzeczenia (q).
Zauważmy, że minimalną jednostką komunikacji człowieka z człowiekiem jest zdanie a nie goły zbiór.

Nikt nie wymawia gołych słów (zbiorów) typu:
krowa, cztery nogi, samochód, mgła, galaktyka …
Oczywiście to nie są zdania, zdanie minimalne musi zawierać podmiot i orzeczenie.

3.4 Czym różni się zdanie twierdzące od zdania warunkowego?

Budowa zdania warunkowego:
Jeśli p to q
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Wypowiadając zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w poprzedniku p ustalamy precyzyjnie dziedzinę:
Dziedzina = zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory:
P=>4L = P*4L = P =1
W naszym przypadku definicja znaczka => jest spełniona bo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czteroma łapami (4L).
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = 1*1 =0
Zbiory:
P~~>~4L = P*~4L =1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Naturalnym pytaniem 5-cio latka będzie tu:
Tata, a jeśli zwierzę nie jest psem?
Tata:
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L = 1 bo kura, wąż ..
Ogólne znaczenie znaczka ~> (warunek konieczny, w implikacji spójnik „może”):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Zbiory:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zabieram zbiór „nie psów” i znika mi zbiór zwierząt nie mających czterech łap (~4L)
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo koń, słoń …
Zbiory:
~P~~>4L = ~P*4L = 1*1 =1 bo słoń
Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

W analogicznym zdaniu twierdzącym mamy dokładnie to samo:
A.
Pies ma cztery łapy
Pies na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
W zdaniu twierdzącym dajemy do zrozumienia, iż (póki co) chodzi nam wyłącznie o zbiór „psów”, że nie interesują nas inne zwierzęta.
Zbiory:
P=>4L = P*4L = P =1
Definicja znaczka => jest spełniona bo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czteroma łapami (4L).

Nie oznacza to oczywiście iż 5-cio latkowi nie wolno zadać pytania:

… tata, a nie pies?
Tata:
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
stąd:
C.
Nie pies może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż ..
Zbiory:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zabieram zbiór „nie psów” i znika mi zbiór zwierząt nie mających czterech łap (~4L)
lub
D.
Nie pies może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń, koń
Zbiory:
~P~~>4L = ~P*4L = 1*1 =1 bo słoń
Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Zauważmy, że zdania twierdzącego A nie wolno nam kodować ani tak:
A.
Pies ma cztery łapy
P = 4L
Tu zbiór „pies” jest tożsamy ze zbiorem zwierząt mających cztery łapy (4L), co jest oczywistym fałszem

ani też tak:
A.
Pies ma cztery łapy
p =1 - zdanie prawdziwe

Bowiem w obu przypadkach leżymy i kwiczymy w banalnym pytaniu każdego 5-cio latka.
… tata, a nie pies?

4.0 Operatory jednoargumentowe

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Możliwe są dwa takie operatory:
Y=p - operator transmisji
Y=~p - operator negacji

4.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę w której pracuje dwóch krasnoludków, Transmiterek i Negatorek.
Na przedniej ściance skrzynki zamontowany jest najzwyklejszy wyłącznik światła sterujący lampką człowieka typu zaświeć/zgaś. Po przeciwnej stronie skrzynki znajduje się lampka sterowana wyłącznie przez krasnoludka pracującego w środku skrzynki.

Po stronie człowieka dostępne są jeszcze dwa tajemnicze przyciski z opisem:
A - zezwalaj na pracę Transmiterka
A=1 - zezwalaj
A=0 - zabroń
B - zezwalaj na pracę Negatorka
B=1 - zezwalaj
B=0 - zabroń

Ustawmy na początek krasnoludkowe przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
1.
Jak widzimy lampką człowieka możemy sterować zaświecając ją i gasząc przełącznikiem, jednak lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona.
2.
Pozwólmy na pracę wyłącznie Transmiterka ustawiając przełączniki:
A=1 i B=0
Jak widzimy, jeśli zaświecimy lampkę człowieka to automatycznie zapali się lampka krasnoludka, jeśli ją zgasimy to lampka krasnoludka również zgaśnie.
3.
Ustawmy teraz przełączniki w pozycję:
A=0 i B=1
pozwalając pracować wyłącznie Negatorkowi
Tym razem każde zaświecenie lampki człowieka skutkuje wygaszeniem lampki krasnoludka i odwrotnie.
4.
Ostatnia możliwość to zezwolenie na jednoczesną pracę obu krasnoludków poprzez ustawienie przełączników w pozycję:
A=1 i B=1
Ajajaj!
Jak widzimy możemy bez problemów zapalać i gasić lampkę człowieka jednak żarówka krasnoludka ledwie się pali, na dodatek z pudła wydobywa się czarny dym co jest dowodem walki na śmierć i życie między Tansmiterkiem a Negatorkiem. Jeden za wszelką cenę chce zaświecić lampkę, a drugi za wszelką cenę ją zgasić.
Ustawmy szybko przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
Nie możemy przecież dopuścić do zagłady krasnoludków, bo co powiedzą nasze dzieci?

W naszym abstrakcyjnym modelu wejściową zmienną binarną p jest lampka człowieka.
Wyjściem w tym modelu jest lampka krasnoludka którą oznaczamy Y.

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Definicja operatora transmisji:
Y=p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka też się świeci (Y=1)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to również lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)

Stąd mamy zero-jedynkową definicje operatora transmisji:
Y=p

Kod:

p Y=p
1 =1
0 =0

Definicja operatora negacji:
Y=~p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to lampka krasnoludka się świeci (Y=1)

Stąd mamy zero-jedynkową definicję operatora negacji:
Y=~p

Kod:

p Y=~p
1 =0
0 =1

… a jeśli nie wiemy który krasnoludek aktualnie pracuje, to czy możemy rozszyfrować który?
Oczywiście że tak.
Na wejściu p wymuszamy wszystkie możliwe stany. Odpowiedź na wyjściu Y jednoznacznie definiuje nam operator. Najważniejsze operatory jednoargumentowe właśnie poznaliśmy.

Definicja operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zer i jedynek na wejściu układu.

Nie jest prawdą, że możemy zdefiniować wyłącznie dwa operatory jednoargumentowe jak wyżej.

Dwa kolejne operatory jednoargumentowe to:
1.
Jednoargumentowy operator chaosu o definicji:

Kod:

p Y=1
1 =1
0 =1

Jak widzimy, tu lampka krasnoludka pali się cały czas, bez względu na stan wejściowej lampki człowieka p. Materia istnieje (Y=1) ale jest w kompletnym chaosie, wszystko może się zdarzyć.
2.
Jednoargumentowy operator śmierci:

Kod:

p Y=0
1 =0
0 =0

Tu lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona, bez wzglądu na to co też ten człowiek na wejściu p sobie wyprawia. To jest stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem, materia nie istnieje, żadne pojęcie rodem z naszego Wszechświata nie jest zdefiniowane.

Definicja operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia zer i jedynek na wejściu układu.

W logice wyróżniamy:
1.
Operatory jednoargumentowe o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
2.
Operatory dwuargumentowe o dwóch wejściach p i q i jednym wyjściu Y.
Przy dwóch wejściach p i q możliwe są cztery różne wymuszenia na wejściach p i q.

Ogólna definicja operatora dwuargumentowego:

Kod:

p q Y=?
1 1 =x
1 0 =x
0 1 =x
0 0 =x

Jak widzimy przy dwóch wejściach p i q możemy zdefiniować 16 różnych stanów na wyjściu Y, czyli 16 różnych na mocy definicji operatorów logicznych.

Najważniejsze operatory dwuargumentowe to:

Kod:

p q OR AND => ~> <=> XOR ~~>
1 1 1 1 1 1 1 0 1
1 0 1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 1 0 1

Znaczenie znaczków =>, ~> i ~~> już poznaliśmy.

4.2 Operator transmisji w zbiorach

Operator transmisji to funkcja niezanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=p

Operator transmisji w zbiorach:

Kod:

Tożsamość kolumn wynikowych AB4 i AB8 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Symboliczna definicja operatora transmisji to układ równań logicznych A i B:
A.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
Definicja symboliczna w linii A123, zero-jedynkowa w linii A45
W obsłudze zdania:
Y=p
bierze udział wyłącznie linia A (A123 + A45), linia B jest martwa.

B.
~Y=~p
co matematycznie oznacza
~Y=1 <=> ~p=1
Definicja symboliczna w linii B123, zero-jedynkowa w linii B67
W obsłudze zdania:
~Y=~p
bierze udział wyłącznie linia B (B123 + B67), linia A jest martwa

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)

Przykład:
Dany jest zbiór
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd przeczenie (uzupełnienie do dziedziny):
~p=[3,4]

Y = p= [1,2]
~Y = ~p = [3,4]
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y=~(~Y)
[1,2] = ~[3,4] = [1,2]
Negacja zbioru [3,4] do dziedziny to zbiór [1,2]

Przykład przedszkolaka:
A1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
B3.
… a kiedy skłamię?
Przechodzimy z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami:
~Y=~K
Stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla funkcji logicznej Y:
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y - skłamię, logika ujemna bo ~Y

Oczywiście matematyczne zachodzi:
Y # ~Y - bo kolumny wynikowe są różne
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia (Y) to zanegowana logika ujemna ~(~Y)
Y=~(~Y)
Podstawiając A1 i B3 mamy:
Y=K = ~(~K)
Stąd zdanie równoważne do A1:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro nie pójdę do kina
Y=~(~K)

4.3 Operator negacji w zbiorach

Operator negacji to funkcja zanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=~p

Operator negacji w zbiorach:

Pełna definicja operatora negacji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=~p
~Y=p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.

Tabela prawdy operatora negacji:

Kod:

Tożsamość kolumn wynikowych AB7 i AB8 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Symboliczna definicja operatora negacji to układ równań logicznych A i B:
A.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Definicja symboliczna w linii A123, zero-jedynkowa w linii A45
W obsłudze zdania:
Y=~p
bierze udział wyłącznie linia A (A123 + A45), linia B jest martwa.
B.
~Y= p
co matematycznie oznacza
~Y=1 <=> p=1
Definicja symboliczna w linii B123, zero-jedynkowa w linii B67
W obsłudze zdania:
~Y= p
bierze udział wyłącznie linia B (B123 + B67), linia A jest martwa

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia (Y) to zanegowana logika ujemna ~(~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy:
~p = ~(p)
Prawo podwójnego przeczenia otrzymujemy ze związku:
Logika ujemna ~Y to zanegowana logika dodatnia ~(Y)
~Y = ~(Y)
p = ~(~p)

Przykład:
Y=~p = [3,4]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4]
~Y=~(~p) = p = [1,2]
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
[3,4] = ~[1,2] = [3,4]
Uzupełnieniem zbioru ~[1,2] do dziedziny jest zbiór [3,4]

Przykład przedszkolaka:
A1.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=1 <=> ~K=1
B3.
… a kiedy skłamię?
Przechodzimy z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację stronami:
~Y=K
Stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Szczegółowo czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla funkcji logicznej Y:
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y - skłamię, logika ujemna bo ~Y

Oczywiście matematyczne zachodzi:
Y # ~Y - bo kolumny wynikowe są różne
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając B3 mamy:
Y= ~(K)
Stąd zdanie równoważne do A1:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro pójdę do kina (K=1)
Y=~(K)

5.0 Operatory implikacji i równoważności

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, gdzie nie ma ani jednej tabeli zero-jedynkowej. Cała logika zakodowana jest w równaniach algebry Boole’a (zbiorach) izolowanych od tabel zero i jedynkowych. Oczywiście w dowolnej chwili można przejść z równania algebry Boole’a do tabeli zero-jedynkowej i odwrotnie.

Cała tajemnica implikacji i równoważności to zaledwie trzy znaczki =>, ~> i ~~>.

1.
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = P*4L =P =1 bo pies
Zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czteroma łapami
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L
2.
Ogólna definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 4L*P =P =1 bo pies
Zbiór zwierząt z czteroma łapami zawiera w sobie zbiór „pies”
4L jest konieczne dla P
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
3.
Ogólna definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”):
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń, koń …
Wystarczy znaleźć jeden element należący do zbiorów 4L i ~P

Związek operatorów implikacji prostej i odwrotnej w technicznej algebrze Boole’a.

Techniczna definicja implikacji prostej:

Kod:

p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1

Dokładnie ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a (algebrze Kubusia):
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q). Po obu stronach tożsamości muszą być te same parametry p i q.

Techniczna definicja implikacji odwrotnej:

Kod:

p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0

Dokładnie ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a (algebrze Kubusia):
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q). Po obu stronach tożsamości muszą być te same parametry p i q.

Matematycznie zachodzi:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - rożne na mocy definicji
W tym przypadku po obu stronach znaku ## mogą być dowolne parametry p i q, nie muszą być te same.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej w równaniach algebry Boole’a to jednocześnie prawa Kubusia.

I prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - implikacja prosta w logice dodatniej (bo q)
Oczywiście powyższe prawo możemy zapisać tak:
~p~>~q = p=>q - implikacja odwrotna w logice ujemnej (bo ~q)
Implikacja prosta w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie.

Dowód formalny I prawa Kubusia:

Kod:

p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A: 1 1 =1 0 0 =1
B: 1 0 =0 0 1 =0
C: 0 0 =1 1 1 =1
D: 0 1 =1 1 0 =1
1 2 3 4 5 6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym I prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.

II prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q - implikacja prosta w logice ujemnej (bo ~q)
Implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie.

Dowód formalny II prawa Kubusia:

Kod:

p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
A: 1 1 =1 0 0 =1
B: 1 0 =1 0 1 =1
C: 0 0 =1 1 1 =1
D: 0 1 =0 1 0 =0
1 2 3 4 5 6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym II prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.

… zacznijmy jednak od operatora chaosu.

5.1 Operator chaosu w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu ~~>:

Kod:

p q p~~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =1

Ta sama definicja w równaniu algebry Kubusia:
p~~>q =1

Definicja operatora chaosu w zbiorach:

Definicja operatora chaosu:
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
p~~>q =1
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Ogólne znaczenie znaczka ~~> (naturalnego spójnika „może”):
p~~>q
~~> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> ma przynajmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Zauważmy, że na mocy definicji zachodzi:
Operator chaosu ## naturalny spójnik „może” ~~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden element należący do zbiorów p i q, wystarczy sama możliwość zajścia.
Nie ma tu wymagania, aby zbiory p i q były ze sobą w takiej czy nie innej korelacji.

Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>.
Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt.
Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Korzystając z prawa Prosiaczka:
p=0<=>~p=1
dokładniej z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu to teorii zbiorów.

Symboliczna definicja operatora chaosu:

Kod:

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD67 z definicji zero-jedynkowej ABCD12 na mocy prawa Prosiaczka:
1.
Jeśli na wybranek pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek kolumny
2.
Jeśli na wybranej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
3.
Wiersze w obszarze ABCD67 łączymy spójnikiem „i”(*):
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja zbiorów).

W operatorze chaosu wszystkie wyjścia (kolumna 8) muszą mieć wartość logiczną 1
Stąd:
p~~>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q, wystarczy sama możliwość zaistnienia

Prosty przykład operatora chaosu w zbiorach:

Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Na mocy definicji musi to być operator chaosu.

Na gruncie nowej teorii zbiorów można łatwo udowodnić iż nasz przykład spełnia definicję operatora chaosu, nawet nie znając definicji symbolicznej operatora chaosu.

Symboliczna definicja operatora logicznego w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Zacznijmy od zapisania wszystkich możliwych przeczeń p i q:
A: p~~>q = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1 - zbiór niepusty
B: p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
C: ~p~~>~q = ~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] =[7,8] =1 - zbiór niepusty
D: ~p~~>q = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] =[5,6] =1 zbiór niepusty
stąd:
Symboliczna definicja operatora:

Kod:

A: p~~> q = p* q =1
B: p~~>~q = p*~q =1
C:~p~~>~q =~p*~q =1
D:~p~~> q =~p* q =1

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu.
A: p~~>q = p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd otrzymujemy:

Kod:

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD678 z definicji symbolicznej ABCD125 (ABCD345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne p i q łączymy w wierszach spójnikiem „i”(*)

Mając tabelę zero-jedynkową zaglądamy do definicji wszystkich możliwych operatorów logicznych (jest ich 16) gdzie rozstrzygamy, iż uzyskana tabela zero-jedynkowa to definicja operatora chaosu.

Zauważmy, że w teorii zbiorów wystarczy rozstrzygnąć iż zbiory wynikowe A, B, C i D nie są puste.

Twierdzenie:
W dowolnym zdaniu z dwoma parametrami p i q z naturalnego języka mówionego, dla rozstrzygnięcia definicję jakiego operatora logicznego spełnia to zdanie wystarczy rozpatrzyć cztery przypadki uwzględniające wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Przykład wyżej.

To jest metoda najprostsza, ale zarazem najgorsza, nie pozwalająca operować prawami zakodowanymi wewnątrz tabeli zero-jedynkowej każdego operatora, zgodnymi z naturalną logiką człowieka. Akurat w przypadku operatora chaosu wewnątrz definicji zero-jedynkowej nie zachodzą żadne prawa logiczne, w przeciwieństwie do innych operatorów: OR, AND, =>, ~>, <=>, co za chwilę zobaczymy.

Przykład z matematycznego przedszkola:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3

Wystarczy znaleźć po jednym elemencie wspólnym dla A, B, C, D i mamy rozstrzygnięcie.
Zdanie A jest zawsze prawdziwe, niezależnie od przeczeń p i q, zatem jest to matematyczny śmieć.
Komu potrzebne są twierdzenia tego typu w matematyce?

Twierdzenie:
W operatorze chaosu argumenty są przemienne, zatem jeśli zdanie p~~>q spełnia definicję operatora chaosu to zdanie q~~>p również spełnia definicję operatora chaosu.

Nasze zdanie A po zamianie p i q przyjmuje postać:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24

Dowód formalny przemienności argumentów w operatorze chaosu:

Kod:

p q p~~>q q~~>p
1 1 =1 =1
1 0 =1 =1
0 1 =1 =1
0 0 =1 =1

Tożsamość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem formalnym przemienności argumentów w operatorze chaosu.

5.2 Implikacja prosta w zbiorach

Zapiszmy definicję implikacji prostej w zbiorach, korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1

Kod:

Wejścia p i q |Wejścia p i q
zero-jedynkowo |Symbolicznie
p q p=>q | p q
A: 1 1 =1 | p* q =1*1=1
B: 1 0 =0 | p*~q =1*1=0
C: 0 0 =1 |~p*~q =1*1=1
D: 0 1 =1 |~p* q =1*1=1
1 2 3 4 5 6

Algorytm tworzenia symbolicznych wejść p i q:
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 1 to przepisujemy nagłówek kolumny (do ABCD45)
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny (do ABCD45)

Jak widzimy wszystkie zmienne wejściowe p i q w tabeli ABCD456 zostały sprowadzone do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
Z obszaru AB456 doskonale widać, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q, bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie w zbiorach:
p*~q =0
Z obszaru CD456 widzimy, że zbiory p i q nie mogą być tożsame, bowiem jak zajdzie ~p to może zajść cokolwiek ~q (C456)albo q (D456).
Stąd mamy definicję implikacji prostej w zbiorach.

Definicja implikacji prostej w zbiorach:

Definicja implikacji prostej w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q

Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja tożsama to definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
~p~>~q
Zbiór ~p musi zawierać w sobie zbiór ~q i nie być tożsamy ze zbiorem ~q

Ogólna definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
~p~>~q
Zabieram ~p i musi zniknąć ~q
Zajście ~p jest konieczne dla zajścia ~q

Symboliczna definicja implikacji prostej:

Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
D:~p~~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w A i B.
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
~p~>~q = p=>q
Ogólna definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~p~>~q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.

~p~>~q = p=>q
Z powyższej tożsamości wynika, że aby dowieść zachodzący warunek konieczny między ~p~>~q wystarczy dowieść warunek wystarczający p=>q zdefiniowany wyłącznie w liniach A i B w powyższej definicji.
… ale uwaga!
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego p=>q w liniach A i B o niczym nie rozstrzyga, bowiem ten sam warunek wystarczający może wchodzić w skład definicji implikacji prostej, albo w skład definicji równoważności, to musimy dopiero udowodnić.
Równoważność, gdzie „rzucanie monetą” nie występuje, to zupełnie inna bajka niż implikacja, gdzie „rzucanie monetą” zawsze występuje.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q - to jest identyczny warunek wystarczający wchodzący w skład definicji implikacji prostej albo równoważności.
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## równoważność
p=>q ## p=>q=~p~>~q ## p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Ogólna definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”):
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 23:12, 13 Cze 2013, w całości zmieniany 29 razy

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35368
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Sob 5:42, 11 Maj 2013 Temat postu:

Zauważmy, iż na powyższym diagramie definicja znaczka => spełniona jest wyłącznie w linii A, zatem tu i tylko tu mamy go prawo użyć:
A: p=>q = p*q = p =1
Podobnie, definicja znaczka ~> spełniona jest wyłącznie w linii C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
C: ~p~>~q = ~p*~q = ~q =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bo nic innego nie mamy już do dyspozycji:
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =0 - bo zbiory p i ~q istnieją, ale są rozłączne
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =1 - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~p i q.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A mamy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

Algorytm tworzenia zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => na podstawie definicji symbolicznej AB125 (AB345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
=> - zbiór p zawiera się w zbiorze q
Jeśli dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame (p#q) to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q):
p=>q = ~p~>~q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek wystarczający w zbiorach plus pokazać że zbiory p i q są różne (p#q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie p=>q wchodzi w skład definicji implikacji prostej w logice dodatniej (bo q):
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => w linii A determinuje warunek konieczny ~> w linii C.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C mamy zero-jedynkową definicję warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd otrzymujemy:
~p=[3,4,5,6]
~q=[5,6]

Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Na mocy definicji musi to być implikacja prosta.

Na gruncie nowej teorii zbiorów można łatwo udowodnić iż nasz przykład spełnia definicję operatora implikacji prostej, nawet gdy nie znamy definicji implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q

Symboliczna definicja operatora logicznego w algebrze Kubusia:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Zacznijmy od zapisania wszystkich możliwych przeczeń p i q.

Symboliczna definicja operatora w zbiorach:
A: p*q = [1,2]*[1,2,3,4] =[1,2] =1 - zbiór niepusty
B: p*~q = [1,2]*[3,4,5,6] =[] =0 - zbiór pusty
C: ~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] =[5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~p*q = [3,4,5,6]*[1,2,3,4] =[3,4] =1 zbiór niepusty
stąd:
Symboliczna definicja operatora:

Kod:

A: p* q =1
B: p*~q =0
C:~p*~q =1
D:~p* q =1

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
A: p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd otrzymujemy:

Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja |Kodowanie
implikacji prostej |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p=>q=~p~>~q |
p q | p q p=>q
---------------------------------------------
A: p* q = 1*1 =1 | 1 1 =1
B: p*~q = 1*1 =0 | 1 0 =0
C:~p*~q = 1*1 =1 | 0 0 =1
D:~p* q = 1*1 =1 | 0 1 =1
1 2 3 4 5 6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne p i q łączymy w wierszach spójnikiem „i”(*)

Mając tabelę zero-jedynkową zaglądamy do definicji wszystkich możliwych operatorów logicznych (jest ich 16) gdzie rozstrzygamy, iż uzyskana tabela zero-jedynkowa to definicja implikacji prostej.

Zauważmy, że w teorii zbiorów wystarczy rozstrzygnąć iż zbiory wynikowe A, C i D nie są puste, natomiast zbiór wynikowy B jest zbiorem pustym.
B: p*~q = [1,2]*[5,6]=[] =0

Twierdzenie:
W dowolnym zdaniu z dwoma parametrami p i q z naturalnego języka mówionego, dla rozstrzygnięcia definicję jakiego operatora logicznego spełnia to zdanie wystarczy rozpatrzyć cztery przypadki uwzględniające wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Przykład wyżej.

To jest metoda najprostsza, ale zarazem najgorsza, nie pozwalająca operować prawami zakodowanymi wewnątrz tabeli zero-jedynkowej każdego operatora, zgodnymi z naturalną logiką człowieka.

O co tu chodzi?
Wróćmy do naszego przykładu.

Posiłkując się diagramem implikacji prostej wyżej przeanalizujmy nasz przykład.

Zdanie p=>q w przełożeniu na naturalną logikę człowieka ma postać:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
co oznacza, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Jeśli weźmiemy dowolny element zbioru p to na pewno => będzie on należał do zbioru q.
czyli:
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q

Przeanalizujmy nasz przykład według schematu przedstawionego na diagramie.

p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[5,6]

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4] =[1,2] =p
p=>q = p*q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
[1,2]=>[1,2,3,4] =1
Zbiór p zawiera się w zbiorze q

Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego) jest następująca:
p=>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
p=>q
Zajście p jest wystarczające dla zajścia q bo na mocy definicji znaczka => zbiór p zawiera się w zbiorze q.
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to na mocy definicji mamy do czynienia z implikacją prostą - nasz przykład.

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = [1,2]*[5,6]= [] =0
p~~>~q = p*~q=1*1=0
[1,2]~~>[5,6] = [1,2]*[5,6] = [] =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Zauważmy, że zapis:
p=>~q=0
[1,2]=>[5,6]
Jest błędny matematycznie na mocy definicji znaczka =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Taki przypadek opisujemy matematycznie znaczkiem ~~>:
p~~>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - będące jednocześnie definicją implikacji prostej w równaniu logicznym
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zbiory:
~p~>~q = ~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] = [5,6]= 1
~p~>~q = ~p*~q=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Ogólna definicja znaczka ~> (warunku koniecznego):
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.

Doskonale widać że w zdaniu C warunek konieczny ~> jest spełniony, czyli:
~p~>~q = ~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] = [5,6] = ~q =1
[3,4,5,6]~>[5,6]
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym dla zajścia ~q.
Zabieramy zbiór ~p i znika nam zbiór ~q, czyli ~p jest konieczne ~> dla ~q
Dodatkowo widzimy iż zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, co na mocy definicji wymusza nam implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~q), jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C.

Ostatnia możliwość przeczeń p i q to:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =1
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = [3,4,5,6]*[1,2,3,4] = [3,4] =1
~p~~>q = ~p*q = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Sprawdźmy czy spełniony jest tu warunek konieczny:
~p~>~q
[3,4,5,6]~>[1,2,3,4]
Doskonale widać, że zbiór ~p nie zawiera w sobie zbioru ~q zatem warunek konieczny ~> tu nie zachodzi.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy sama możliwość takiego zajścia.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej w logice dodatniej (bo q).
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

Kod:

Zauważmy, że algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej z definicji symbolicznej i odwrotnie jest identyczny jak wyżej.

Zauważmy, że zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> występuje wyłącznie w obszarze CD678, zatem wyłącznie linie C i D obsługują warunek konieczny w definicji implikacji prostej. Linie A i B w obsłudze warunku koniecznego są „martwe”.

Wniosek:
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero- jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli.
Wszelkie zmienne w definicji symbolicznej to zmienne sprowadzone do jedynek.

Tabela 1:
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu A:
A: p=>q
(p=1) => (q=1)
stąd:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Tabela 2:
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu C:
C: ~p~>~q
(~p=1)~>(~q=1)
stad:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Zauważmy, że dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C, zgodnie z oczekiwaniem dostaliśmy tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.

Zauważmy, że treść wszystkich czterech zdań A, B, C i D nie zmieniła się, to są identyczne zdania jak w implikacji prostej p=>q=~p~>~q (tabela 1) z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - implikacja prosta w logice dodatniej (bo q - tabela 1)
Jest tożsama z:
~p~>~q = p=>q - implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2)

Dowód formalny prawa Kubusia to tożsamość kolumn wynikowych ABCD8 w tabelach 1 i 2.

Prawo Kubusia mówi, że implikacja prosta w logice dodatniej (bo q - tabela 1), jest tożsama z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2)

Przykład przedszkolaka:

Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Nasz przykład spełnia tą definicję.

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór „pies” (P) zawiera się w zbiorze „zwierząt z czterema łapami” (4L)
Jeśli wymusimy P to na pewno pojawi się 4L
Zajście P jest warunkiem wystarczającym dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami i nie jest z nim tożsamy
P#4L
co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L =P
P=>4L=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0 - bo wszystkie psy mają cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~4L = P*~4L =0
P~~>~4L =1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1, ~4L=1), lecz są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)
Zauważmy, że zapis:
P=>~4L=0
Jest błędny matematycznie na mocy definicji znaczka =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Taki przypadek opisujemy matematycznie znaczkiem ~~>:
P~~>~4L
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Z diagramu doskonale widać co może się wydarzyć, jeśli zwierzę nie będzie psem.
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L, co doskonale widać na diagramie.
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zabieramy zbiór ~P i znika nam zbiór ~4L, czyli ~P jest konieczne ~> dla ~4L
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L
~P~>~4L = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo koń, słoń, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L
~P~~>4L= 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

Zauważmy, że słownie użyliśmy tu „identycznego” spójnika „może” jak w zdaniu C.
W zdaniu D definicja znaczka ~> nie jest spełniona bo:
Zbiór ~P nie zawiera w sobie całego zbioru 4L, poza tym zbiorem jest zbiór P, czyli pies z czterema łapami. Stąd w zdaniu D nie wolno nam użyć znaczka ~>.

Oczywistym antidotum jest tu znaczek ~~> o definicji:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Brak warunku koniecznego ~> w zdaniu D można też łatwo udowodnić na drodze czysto matematycznej metodą nie wprost.
Załóżmy że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny ~>:
Prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd

Kodowanie zero-jedynkowe:
Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej.
A: P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie C to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej.
C: ~P~>~4L
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0

Kod:

|P=>4L |~P~>~4L
Zapis | |Kodowanie |Kodowanie
symboliczny| Zbiory |zero-jedynkowe |zero-jedynkowe
| | P 4L P=>4L |~P ~4L ~P~>~4L
A: P=> 4L = P* 4L=1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: P~~>~4L= P*~4L=0 | 1 0 =0 | 0 1 =0
C:~P~>~4L =~P*~4L=1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~P~~>4L =~P* 4L=1 | 0 1 =1 | 1 0 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
| P=1, ~P=0 |~P=1, P=0
|4L=1, ~4L=0 |~4L=1, 4L=0

Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo 4L):
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo 4L) widzimy wyłącznie w obszarze AB456, zatem warunek wystarczający w definicji implikacji prostej obsługują wyłącznie linie A i B.

Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~4L):
Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~4L) widzimy wyłącznie w obszarze CD789, zatem warunek konieczny w definicji implikacji prostej obsługują wyłącznie linie C i D.

Zastanówmy się jaka będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka.

1.
Załóżmy, że wylosowaliśmy: psa

Dla psa mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano psa to na pewno => pies jest psem i ma cztery łapy
P=>P*4L = 1*1=1
Dla psa nasz świat jest zdeterminowany:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:

Kod:

P=>P*4L
A: P=> P* 4L = 1*1 =1
B: P~~> P*~4L = 1*0 =0
C: P~~>~P*~4L = 0*0 =0
D: P~~>~P* 4L = 0*1 =0

Jak widzimy, dla psa wyłącznie zdanie A jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

2.
Załóżmy, że wylosowaliśmy: kurę
Dla kury mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano kurę to na pewno => kura nie jest psem i nie ma czterech łap
K=>~P*~4L = 1*1=1
Dla kury nasz świat jest zdeterminowany:
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:

Kod:

K=>~P*~4L
A: K~~> P* 4L = 0*0 =0
B: K~~> P*~4L = 0*1 =0
C: K=> ~P*~4L = 1*1 =1
D: K~~>~P* 4L = 1*0 =0

Jak widzimy, dla kury wyłącznie zdanie C jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

3.
Załóżmy, że wylosowaliśmy: słonia
Dla słonia mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano słonia to na pewno => słoń nie jest psem i ma cztery łapy
S=>~P*4L = 1*1=1
Dla słonia nasz świat jest zdeterminowany:
~P=1, P=0
4L=1,~ 4L=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:

Kod:

S=>~P*4L
A: S~~> P* 4L = 0*1 =0
B: S~~> P*~4L = 0*0 =0
C: S~~>~P*~4L = 1*0 =0
D: S=> ~P* 4L = 1*1 =1

Jak widzimy, dla słonia wyłącznie zdanie D jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

Oczywistym jest, że zwierzaka któryby spełniał linię B nie jesteśmy w stanie wylosować, bo nie istnieje pies który nie ma czterech łap, dlatego w tej linii mamy twardy fałsz.
Jak widzimy po zaledwie trzech iterowaniach mamy odpowiedź iż zdanie A: P=>4L spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, jednak tylko w żargonie matematycznym możemy powiedzieć iż zdanie A jest implikacją prostą.
W rzeczywistości zdanie A to tylko warunek wystarczający o definicji wyłącznie w liniach A i B.
P=>4L
Zbiór P zawiera się => w zbiorze 4L, dodatkowo zbiór P nie jest tożsamy ze zbiorem 4L co wymusza implikację prostą:
P=>4L = ~P~>~4L
Linie C i D to warunek konieczny:
~P~>~4L
Zbiór ~P zawiera w sobie ~> zbiór ~4L, dodatkowo zbiór ~P nie jest tożsamy ze zbiorem ~4L co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~q):
~P~>~4L = P=>4L

Nasza analiza to dowód iż zdanie A spełnia definicję implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
P=>4L = ~P~>~4L
W ogólnym przypadku po stronie ~p możemy mieć kolejny warunek wystarczający:
C: ~p=>~q (na przykład twierdzenie Pitagorasa C: ~TP=>~SK =1)
Wtedy zdanie A: p=>q, to warunek wystarczający, wchodzący w skład operatora równoważności o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Oczywiście równoważność to fundamentalnie co innego niż implikacja prosta. W równoważności mamy 100% determinizm (warunek wystarczający =>) zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.
W implikacji prostej natomiast:
p=>q = ~p~>~q
mamy 100% determinizm (warunek wystarczający =>) po stronie p i totalny brak determinizmu (warunek konieczny ~> = „rzucanie monetą”) po stronie ~p.
Równoważnym dowodem prawdziwości zdania A jest sprawdzenie czy każdy element zbioru P zawiera się w zborze 4L, przypadki ~P (zdania C i D) nas w ogóle nie interesują, bo nie mają nic do prawdziwości zdania A.

Operator logiczny to suma logiczna wszystkich wynikowych jedynek, gdzie zmienne wejściowe zakodowane są względem konkretnego punktu odniesienia.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie A: P=>4L to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L).
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C: ~P~>~4L to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~4L).

Z naszej analizy wynika że wynikowe jedynki będą wyłącznie w liniach A, C i D.

Kod:

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego
Prawo Sowy potwierdzają nasze trzy tabele cząstkowe wyżej, dla psa, kury i słonia.

Podsumowując:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q nie istnieje żaden operator logiczny poza operatorem AND. W świecie zdeterminowanym gdzie znamy wartości logiczne dosłownie wszystkiego nie ma żadnej logiki, niczego nie jesteśmy w stanie zmienić!

Przykład filozoficzny:
Bóg filozofów to taki Bóg który wie że wszystko wie od minus do plus nieskończoności ale nie wie skąd wie.

Bóg filozofów ma dostęp do każdej stop-klatki z filmu „Nasz Wszechświat” od minus do plus nieskończoności ale nie może niczego w scenariuszu tego filmu zmienić, jest niezdolny do jakiegokolwiek twórczego działania, jego wolna wola nie istnieje, na pewno nie On jest autorem tego filmu.

Z algebry Kubusia wynika, że w naszym punkcie odniesienia człowiek ma matematyczną wolną wolę (warunek konieczny ~> w definicji implikacji = „rzucanie monetą”). Nie da się zatem przewidzieć przyszłych zachowań człowieka ze 100% dokładnością.

5.3 Najważniejsze prawa algebry Kubusia

Najważniejszymi prawami algebry Kubusia są oczywiście prawa Kubusia:
I. p=>q = ~p~>~q
II. p~>q = ~p=>~q

Tuż za nimi podążają prawa Prosiaczka:
I. p=0 <=> ~p=1
II. p=1 <=>~p=0

Bez praw Prosiaczka nie byłoby zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych, nie byłoby komputerów.

5.3.1 Prawa Prosiaczka

Twierdzenie:
Naturalną logikę człowieka obsługują równania algebry Boole’a, nigdy tabele zero-jedynkowe

Twierdzenie Krowy:
Wspólnym punktem odniesienia w równaniach algebry Boole’a są wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek na mocy prawa Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
Równoważność to wynikanie w dwie strony, czyli:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli ~p=1 to p=0

II prawo Prosiaczka:
p=1 <=>~p=0
Równoważność to wynikanie w dwie strony, czyli:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli ~p=0 to p=1

Dowód praw Prosiaczka pokażemy na przykładzie.

Rozważmy zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K - funkcja zapisana w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1

.. a kiedy skłamię?
Negujemy równanie A dwustronnie:
~Y=~K - funkcja zapisana w logice ujemnej (bo ~Y)
stąd:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

Tabela prawdy dla naszego zdania:

Kod:

Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
… bo kolumny wynikowe AB5 i AB7 są różne

Znaczenie zer i jedynek w logice dodatniej (Y) w kolumnie AB5:
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię

Znaczenie zer i jedynek w logice ujemnej (~Y) w kolumnie AB7:
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa

Matematycznie wynika z tego.

I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
Prawda (=1) w logice dodatniej (Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (~Y)
(Y=A5=1) = (~Y=A7=0)
To jest wynikanie w dwie strony, zachodzi zatem równoważność:
Y=1 <=> ~Y=0
Jeśli Y=1 to ~Y=0
Jeśli ~Y=0 to Y=1

oraz:
II prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Prawda (=1) w logice ujemnej (~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (Y)
(~Y=B7=1) = (Y=B5=0)
To jest wynikanie w dwie strony, zachodzi zatem równoważność:
~Y=1 <=> Y=0
Jeśli ~Y=1 to Y=0
Jeśli Y=0 to ~Y=1

Prawa Prosiaczka mówią o matematycznych tożsamościach zachodzących między logiką dodatnią (Y) i ujemną (~Y) i nie mają nic wspólnego z definicją operatora negacji.

Definicja naturalnej logiki człowieka:
Naturalna logika człowieka to funkcja logiczna gdzie wszystkie zmienne wejściowe sprowadzone są do jedynek (do nowej teorii zbiorów)

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a, czyli do nowej teorii zbiorów.

W naturalnej logice człowieka wszystkie zmienne w tabeli zero-jedynkowej sprowadzamy do jedynek korzystając z tych praw Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli ~p=0 to p=1

W logice zero (traktujmy to jako ciekawostkę) równoważnej do logiki człowieka, lecz totalnie do niej przeciwnej (lustrzane odbicie), wszystkie zmienne tabeli zero-jedynkowej sprowadzamy do zera używając tych praw Prosiaczka:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli ~p=1 to p=0

Zauważmy że w tabeli zero-jedynkowej implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

Sprowadzenie wszystkich zmiennych do jedynek przy pomocy prawa Prosiaczka to po prostu powrót do korzeni, do nowej teorii zbiorów gdzie jeszcze nie wybrano żadnego punktu odniesienia.
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L

Analiza skrócona:
A: P=>4L = P*4L = P =1 bo pies
B: P~~>~4L = P*~4L =0
C: ~P~>~4L = ~P*~4L =~4L =1 bo kura
D: ~P~~>4L = ~P*4L = 1 bo koń

W poprzednim punkcie skupialiśmy się na dwóch zdaniach A i C kodując tabele zero-jedynkowe względem tych dwóch punktów odniesienia.

Definicja:
Punkt odniesienia to zdanie wypowiedziane przez człowieka.

Oczywiście nikt nie zabroni 5-cio latkowi wypowiedzieć zdania B czy też D.

Załóżmy że 5-cio latek wypowiada zdanie D.
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo pies

Skrócona analiza matematyczna wraz z kodowaniem zero-jedynkowym.

Kod:

Zauważmy że:
D: ~P~~>4L = ~P*4L =1 bo koń
B: P~~>~4L = P*~4L =0 - zbiory rozłączne

Matematycznie zachodzi zatem:
D: ~P~~>4L=1 # B: P~~>~4L =0

Nie jest prawdą, że nasze nowe punkty odniesienia nie niosą żadnej informacji.

Twierdzenie:
Jeśli kiedykolwiek spotkamy się ze zdaniem prawdziwym D gdzie po negacji p i q otrzymujemy zdanie fałszywe B (zbiory rozłączne) to możemy być pewni, iż zdania te wchodzą w skład definicji implikacji.
Jeśli kiedykolwiek spotkamy się z sytuacją iż zdanie fałszywe B (zbiory rozłączne) przechodzi w zdanie fałszywe D (zbiory rozłączne) to możemy być pewni, iż zdania te wchodzą w skład definicji równoważności.

To też jest bardzo dobry algorytm udowadniania (i rozróżniania) implikacji i równoważności.
Uwaga:
Dodatkowo trzeba tu pokazać po jednym przypadku prawdziwym w zdaniach A i C ponieważ warunek wystarczający zdefiniowany w liniach A i B może istnieć samodzielnie i nie wchodzić ani w skład definicji implikacji, ani też równoważności.

Przykład równoważności.

Twierdzenie Pitagorasa:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1

Analiza skrócona:
A: Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
A: TP=>SK = TP*SK =TP =1
B: Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
B: TP~~>~SK = TP*~SK =0
C: Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
C: ~TP=>~SK = ~TP*~SK =~TP =1
D: Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> być spełniona suma kwadratów
D: ~TP~~>SK = ~TP*SK =0

Jak widzimy zdanie fałszywe B po negacji p i q przechodzi w zdanie fałszywe D, co jest dowodem zachodzącej równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Oczywiście nie ma tu żadnego problemu z pokazaniem po jednym przykładzie spełniającym A i C.

Czym jest zdanie wypowiedziane A:
A: TP=>SK
Precyzyjnie i matematycznie zdanie wypowiedziane A: TP=>SK to tylko warunek wystarczający prawdziwy o definicji wyłącznie w liniach A i B.
Matematycznie zachodzi:
TP=>SK ## TP<=>SK
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Warunek wystarczający TP=>SK jest implikacją prostą fałszywą, bowiem z powodu tożsamości zbiorów:
TP=SK i ~TP=~SK
nie ma tu mowy o jakimkolwiek rzucaniu monetą zarówno po stronie TP jak i po stronie ~TP.

Nie ma „rzucania monetą” = nie ma implikacji.

Przykład implikacji prostej to nasz sztandarowy przykład:
A: P=>4L = ~P~>~4L
Tu po stronie ~P mamy ewidentne „rzucanie monetą”.

5.3.2 Geneza praw Prosiaczka

Definicja zdania w algebrze Kubusia:
Zdanie to funkcja logiczna zbiorów wejściowych

Prawa Prosiaczka:
I. p=0 <=> ~p=1
II. p=1 <=> ~p=0

Twierdzenie Krowy:
We wszelkich równaniach algebry Boole’a (prawach algebry Boole’a) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek na mocy praw Prosiaczka.

Dowód:
Patrz geneza tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej autorstwa [link widoczny dla zalogowanych]

Zobaczmy jak genialnie działają prawa Prosiaczka.

Rozważmy równanie algebry Boole’a (pełna definicja spójnika „lub”(+)):
A.
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
B.
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

Oczywiście możemy tu zastosować prawa Prosiaczka losowo i zrobić z tego sieczkę np.
C.
~Y=0 <=> (p=1 i q=1) lub (~p=0 i ~q=1) lub (p=0 i q=1)

Na mocy praw Prosiaczka zapisy B i C są matematycznie tożsame, z tym że zapis B jest piękny, bo to jest to samo co zapis A, symboliczna algebra Boole’a wolna od idiotycznych zer i jedynek.

Zapis C to niezdatna do przetwarzania prawami algebry Boole’a sieczka, co z tego że tożsama ze zdaniem B?

… ale zapis C można udoskonalić poprzez sprowadzenie wszystkich zmiennych do zera.
Zróbmy to!
D.
~Y=0 <=> (~p=0 i ~q=0) lub (~p=0 i q=0) lub (p=0 i ~q=0)

Teraz spokojnie zamieniamy wszystkie spójniki na przeciwne z wymianą 0 na 1:
E.
~Y=1 <=> (~p=1 lub ~q=1) i (~p=1 lub q=1) i (p=1 lub ~q=1)

Witamy w nowym równaniu algebry Boole’a przeciwnym do równania A, gdzie wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek.

Stąd na mocy twierdzenia Krowy mamy:
F.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Oczywiście matematycznie zachodzi:
A: Y = ~(F:~Y)

Dowód:
Przechodzimy z równaniem F do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
G.
Y = (p*q)+(p*~q)+(~p*q)

Doskonale widać że:
A = G
cnd

Zauważmy, że manewr przejścia z D do E wynika bezpośrednio z definicji spójników „lub”(+) i „i”(*) oraz z praw Prosiaczka.

Definicja spójnika „lub”(alternatywy) w naturalnej logice człowieka:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
A.
Y = A1+A2 + … An
co matematycznie oznacza:
B.
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
W przeciwnym wypadku Y=0 czyli:
C.
Y=0 <=> A1=0 i A2=0 i … An=0
Teraz korzystamy z prawa Prosiaczka i mamy:
D.
~Y=1 <=> ~A1=1 i ~A2=1 i … ~An=1

Oczywiście to jest nic innego jak definicja spójnika „i”(*), stąd mamy równanie przeciwne do A:
E.
~Y = ~A1*~A2* … ~An

Pełna definicja operatora logicznego OR to komplet równań:
A: Y = A1+A2 + … An
E: ~Y = ~A1*~A2* … ~An
… a nie tylko samo A lub samo E.

Definicja spójnika „i” (koniunkcji) w naturalnej logice człowieka:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
A.
Y=A1*A2*…An
co matematycznie oznacza:
B.
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
W przeciwnym wypadku Y=0 czyli:
Y=0 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa zeru.
C.
Y=0 <=> A1=0 lub A2=0 lub … An=0
Teraz korzystamy z prawa Prosiaczka i mamy:
D.
~Y=1 <=> ~A1=1 lub ~A2=1 lub … ~An=1

Oczywiście to jest nic innego jak definicja spójnika „i”(*), stąd mamy równanie przeciwne do A:
E.
~Y = ~A1+~A2+ … ~An

Pełna definicja operatora logicznego AND to komplet równań:
A: Y = A1*A2 * … An
E: ~Y = ~A1+~A2+ … ~An
… a nie tylko samo A lub samo E.

5.3.3 Zastosowanie praw Prosiaczka

Definicja zdania w algebrze Kubusia:
Zdanie to funkcja logiczna zbiorów wejściowych

Twierdzenie:
Z funkcją logiczną zbiorów wejściowych mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy po stronie wejścia mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.

Weźmy przykładową funkcję logiczną:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

To i tylko to co wyżej jest teorią zbiorów, bowiem wszystkie zmienne mamy tu sprowadzone do jedynek.

Kubuś to ekspert technicznej algebry Boole’a. Prawa Prosiaczka to prawa rodem z technicznej algebry Boole’a gdzie 0 i 1 nie ma żadnej interpretacji, to jest matematyka w czystej postaci nie powiązana ani z teorią zbiorów, ani z naturalnym językiem mówionym.

W technicznej algebrze Boole’a nie ma pojęć typu:
1 - zdanie prawdziwe
0 - zdanie fałszywe
ani też tego:
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Matematycznie w technicznej algebrze Boole’a są tylko gołe cyfry 0 i 1 bez żadnego znaczenia.

Wyobraźmy sobie taki banalny test dla studentów I roku matematyki.
… e-tam, co ja plotę, w 100-milowym lesie to test dla uczniów I klasy LO po jednej godzinie zajęć z algebry Boole’a!

Zapisz kompletną tabelę zero-jedynkową w równaniach algebry Boole’a wiedząc że:
Zadanie 1:
~Y=0 <=> p=1 lub (~q=0 i r=1)
Zadanie 2:
Y=1 <=> ~p=0 lub (q=1 i ~r=0)
….
Zadanie 16:
~Y=0 <=> ~p=0 lub (~q=0 i r=1)

Prawa Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0

Dla czterech zmiennych można wygenerować 16 pozornie różnych równań algebry Boole’a w zapisie zero-jedynkowym jak wyżej.
Oczywiście na mocy praw Prosiaczka wszystkie te 16 zapisów to matematyczne tożsamości bo dają identyczne równania algebry Boole’a, jedno dla ~Y i drugie dla Y.

Weźmy zadanie 16.
~Y=0 <=> ~p=0 lub (~q=0 i r=1)

Na mocy praw Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub (q=1 i r=1)
Stąd mamy równanie algebry Boole’a:
A.
Y = p+(q*r) - logika dodatnia (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub (q=1 i r=1)

Przechodzimy z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
B.
~Y = ~p*(~q+~r) - logika ujemna (bo ~Y)
Mnożymy wielomian przez zmienną:
B.
~Y = ~p*~q + ~p*~r
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*r)=1

Kompletna tabela zero-jedynkowa w równaniach algebry Boole’a to równania A i B, nigdy samo A, czy też samo B - tego nie widzi logika Ziemian!

Zdanie w algebrze Kubusia to wyłącznie A albo B, bo mamy tu wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub pójdę na basen (B=1) i do parku (P=1)
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1
czyli:
Jeśli byłem w kinie (K=1) to dotrzymałem słowa (Y=1), drugiego członu (B*P) nie muszę sprawdzać
lub
Jeśli byłem na basenie i w parku (B*P=1) to dotrzymałem słowa (Y=1), drugiego członu (K) nie muszę sprawdzać

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
B.
~Y = ~K*(~B+~P)
stąd:
~Y = ~K*~B + ~K*~P
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę na basen (~K*~B=1) lub nie pójdę do kina i nie pójdę do parku (~K*~P=1).
~Y = ~K*~B + ~K*~P
czyli:
Jeśli nie byłem w kinie i nie byłem na basenie (~K*~B=1) to skłamałem, drugiego członu (~K*~P) nie muszę sprawdzać
lub
Jeśli nie byłem w kinie i nie byłem w parku (~K*~P=1) to skłamałem, drugiego członu (~K*~B) nie muszę sprawdzać

Witamy w nowej teorii zbiorów, naturalnej logice człowieka, algebrze Kubusia!

Teoria zbiorów to równania A i B bo tu wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek. Jak ktokolwiek uzyska inne równania algebry Boole’a niż powyższe A i B na podstawie dowolnego z 16 zapisów zero-jedynkowych wyżej to natychmiast kasuję algebrę Kubusia.

Prawa Prosiaczka są więc w logice genialne, bez nich nie istnieje żadna logika bo w idiotycznych zerach i jedynkach nie ma żadnej logiki, logika zaszyta jest w równaniach algebry Boole’a!

Bez praw Prosiaczka umożliwiających absolutnie banalne przejście z tabel zero-jedynkowych do równań algebry Boole’a skazani jesteśmy na logikę w idiotycznych zerach i jedynkach, czyli zero związku z naturalną logiką człowieka, zero związku z jakąkolwiek sensowną logiką.

5.3.4 Czym różni się tożsamość od równoważności?

Przypomnijmy sobie operator transmisji w zbiorach.

Definicja:
Operator transmisji to funkcja niezanegowanej zmiennej wejściowej p
Y=p

Operator transmisji w zbiorach:

Pełna definicja operatora transmisji to układ dwóch równań logicznych opisujących dwa rozłączne obszary Y i ~Y:
Y=p
~Y=~p
Jak widzimy, suma logiczna zbiorów Y i ~Y definiuje nam dziedzinę.

Definicja tożsamości dwóch funkcji logicznych w zbiorach:
Funkcja logiczna A jest tożsama z funkcją logiczną B wtedy i tylko wtedy gdy opisuje ten sam obszar w zbiorach.

Przykładowa tożsamość w powyższym diagramie:
A: Y=p
B: Y=~(~p)
Y=Y
stąd:
p=~(~p)

W przełożeniu na naturalną logikę człowieka:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
B.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K)
Y=~(~K)

Przypomnijmy sobie tabelę prawdy operatora transmisji:

Kod:

Zapis |Kodowanie
symboliczny |zero-jedynkowe
| Q R
| p Y=p ~p ~Y=~p Y=~(~Y)=~(~p)
A: Y= p | 1 1 0 0 1
B:~Y=~p | 0 0 1 1 0
1 2 4 5 6 7 8

Definicja tożsamości funkcji logicznych Q i R w tabelach zero-jedynkowych:
Dwie funkcje logiczne Q i R są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczne kolumny wynikowe Y

Tożsamość kolumn wynikowych Y=Y (AB4 i AB8) jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Do tej pory rozpatrywaliśmy tożsamości, które z definicji są także równoważnościami.

Spójrzmy na ostatnią tabelę z innej strony.

Kod:

Matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
… bo kolumny wynikowe AB5 i AB7 są różne

W powyższej tabeli zachodzi też równoważność, czyli wynikanie w dwie strony w pionie:
A.
Jeśli wiem kiedy dotrzymam słowa (Y=A123) to na pewno => wiem kiedy skłamię (~Y=B123)
Y =>~Y
co matematycznie oznacza:
Y=1 =>~Y=1
C.
Jeśli wiem kiedy skłamię (~Y=B123) to na pewno => wiem kiedy dotrzymam słowa (Y=A123)
~Y=>Y
co matematycznie oznacza:
~Y=1 => Y=1

Równoważność to wynikanie w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Dla naszego przykładu mamy:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście definicja równoważności to zupełnie co innego niż definicja transmitera Y=p.

Zauważmy, że kolumny wynikowe Y=AB5 i ~Y=AB7 są różne (Y#~Y) a mimo to równoważność zachodzi.

Nasz przykład:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
gdzie:
Y # ~Y
Y=1 # ~Y=1
Korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli ~Y=1 to Y=0
możemy zapisać:
Y # ~Y
Y=1 # Y=0

Twierdzenie:
Dowolna tożsamość to jednocześnie matematyczna równoważność, natomiast nie każda równoważność jest tożsamością

Twierdzenie o rozpoznawalności obiektów:
Jeśli znamy definicję obiektu X to automatycznie wiemy co to jest ~X i odwrotnie.

Przykład z obszaru figur płaskich w matematyce:
A.
Jeśli wiem co to jest trapez (T=1) to automatycznie wiem co to jest nie trapez (~T=1)
T=>~T
C.
Jeśli wiem co to jest nie trapez (~T=1) to automatycznie wiem co to jest trapez (T=1)
~T=>T
Równoważność to wynikanie w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Dla naszego przykładu mamy:
T<=>~T = (T=>~T)*(~T=>T)

Człowiek X może pokazywać nam dowolne figury płaskie (a nawet dowolne pojęcia z obszaru uniwersum) i pytać:
Czy to jest trapez?
Jednoznaczność matematyczna (rozpoznawalność obiektów) to bezbłędne rozpoznanie trapezu o jednoznacznej definicji matematycznej.

Definicja trapezu w algebrze Kubusia:
Trapez to czworokąt mający jedną parę boków równoległych, ale nie równych.

Oczywiście definicje czworokątów podawane dzieciom w szkole podstawowej są błędne matematycznie bo nie są jednoznaczne. W dzisiejszej „matematyce” trapez może być kwadratem, prostokątem, rombem albo równoległobokiem … z czego wynika iż uczeń może bawić się z panią matematyczką w ciuciubabkę.

Udajmy się do przedszkola:
Pani:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K

Czy Pani musi mówić 5-cio latkom kiedy skłamie?
Oczywiście NIE, bo wszyscy podlegamy pod banalną matematykę ścisłą, teorię zbiorów z algebry Kubusia. Chyba nikt nie ma wątpliwości że człowiek wypowiadający za każdym razem kiedy w przyszłości dotrzyma słowa i kiedy skłamie to idiota, nie znający matematyki pod którą sam podlega.

Pani przedszkolanka nie znająca matematyki pod którą sama podlega:
A.
Drogie dzieci, jutro pójdziemy do kina
Y=K
… co oznacza że:
B.
Skłamię jeśli jutro nie pójdziemy do kina.
~Y=~K

Doskonale widać, że samo zdanie A nie jest kompletnym operatorem transmisji.
Kompletny operator transmisji to zdanie A wypowiedziane w logice dodatniej (bo Y) plus zdanie B wypowiedziane w logice ujemnej (bo ~Y),

Twierdzenie:
Żadne zdanie z naturalnego języka mówionego nie jest odpowiednikiem kompletnego operatora logicznego.

Wypowiadając zdanie A nie jesteśmy w stanie wymówić równocześnie zdania B.
Zdania A i B to dwa różne zdania bo:
Y # ~Y
Wypowiadając dowolne ze zdań A albo B automatycznie DOMYŚLNIE wymawiamy drugie.

Dotyczy to wszystkich operatorów:
Spójnik logiczny ## operator logiczny
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wyjątkiem jest tu równoważność której jednak nie można dowieść w sposób bezpośredni.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Aby dowieźć prawdziwości równoważności musimy dowieźć prawdziwości dwóch niezależnych zdań wchodzących w skład równoważności: p=>q i q=>p.

Błędem jest mówienie, że spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego (z naturalnej logiki człowieka) to kompletny operator OR.
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
~Y = ~K*~T
stąd:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Operator logiczny OR to zdanie A plus zdanie B a nie tylko samo zdanie A (czy też samo zdanie B).
Definicja operatora OR:
Y=K+T
~Y=~K*~T

5.3.5 Budowa tabeli prawdy w algebrze Kubusia

Tabela prawdy to szczegółowy opis matematyczny wypowiedzianego zdania.
Zobaczmy to na przykładach.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L

Po stronie poprzednika mamy dwa zbiory niepuste:
P = zbiór jednoelementowy „pies” (pies)
~P - zbiór „nie psów” (wszystkie inne zwierzaki)
Dziedzina:
Zbiór wszystkich zwierząt

Po stronie następnika mamy dwa zbiory niepuste:
4L - zbiór zwierząt z czteroma łapami (słoń, koń ..)
~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap (kura, mrówka ..)
Dziedzina:
Zbiór wszystkich zwierząt

Logika (AK) to relacje między zbiorami

Wyznaczenie wszystkich możliwych relacji między zbiorami wyżej:
A: P=>4L = P*4L = P =1 bo pies
B: P~~>~4L = P*~4L = 0 - zbiory rozłączne
C: ~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1 bo kura
D: ~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń

Definicja zdania w algebrze Kubusia:
Zdanie to funkcja logiczna zbiorów

Na wejściu funkcji logicznej mamy konkretne zbiory niepuste, ich wzajemne relacje wyznaczają wartość logiczną zdań A, B, C i D.

Dla naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów p i q:
1 - zbiory p i q mają część wspólną, zdanie prawdziwe
0 - zbiory p i q są rozłączne, zdanie fałszywe

Oczywiście w spójnikach => (warunek wystarczający) i ~> (warunek konieczny) nie wystarczy znaleźć jednego elementu wspólnego.

Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora

KONIEC!
Te trzy definicje to fundament nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia.

Weźmy teraz nasze zdanie w tabeli zero-jedynkowej:

Kod:

P 4L P=>4L P 4L Yx
A: 1 1 =1 | P=> 4L = P* 4L =1* 1 =1
B: 1 0 =0 | P~~>~4L= P*~4L =1* 1 =0
C: 0 0 =1 |~P~>~4L =~P*~4L =1* 1 =1
D: 0 1 =1 |~P~~>4L =~P* 4L =1* 1 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

Oczywistym jest że w linii C zbiory ~P i ~4L są niepuste.
Więc co tu robią zera (C12) po stronie wejścia p i q?
Czy coś jest nie tak?

Oczywiście wszystko jest w porządku, bo jak operujemy na zbiorach to po stronie wejścia mamy same jedynki a wynika to z faktu, iż wszystkie zmienne (zbiory) sprowadzamy do jedynek.

Tabela „zero-jedynkowa” dla zbiorów po stronie wejścia p i q to obszar ABCD89 a nie obszar ABCD12.
Dlaczego ostatnią kolumnę opisano Yx?
Bo wartości logiczne w kolumnie Yx wyznaczają funkcje cząstkowe w poszczególnych liniach.
Gdybyśmy zapisali:
Yx = P=>4L
To byłby to poprawny opis wyłącznie pierwszej linii bo wyłącznie w tej linii mamy spełniony warunek wystarczający w zbiorach =>.

STOP!
Wszystko co wyżej jest prawdą, jednak kolumna Yx musi być opisana zdaniem:
Yx = P=>4L
Co oznacza opis:
P=>4L
w nagłówku kolumny Yx
Zapis:
P=>4L
wyznacza punkt odniesienia, zdanie wypowiedziane przez człowieka i nic więcej.

Podsumowując:
Wartość logiczna zdania w linii B:
B: P~~>~4L = P*~4L =0
To nie jest wartość logiczna zdania: A: P=>4L (linia A)
… ale kompletnie innego zdania!
Tego zdania:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0
Zbiory:
P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0
Wartość logiczna zdania jest równa 0 bo zbiory P i ~4L są rozłączne.

Natomiast zdanie A brzmi w ten sposób:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies
Zbiory:
P=>4L = P*4L =P =1

Uwaga!
Dokładnie to samo mamy we wszystkich operatorach logicznych:
OR, AND, =>, ~>, <=>, <=>

Weźmy przykładowe zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T

Po stronie wejścia mamy dwa możliwe stany w parametrze K.
K=1 - jutro pójdę do kina
~K=1 - jutro nie pójdę do kina

Oraz dwa możliwe stany w parametrze T.
T=1 - juro pójdę do teatru
~T=1 - jutro nie pójdę do teatru

Wspólna dziedzina:
Wszystkie możliwe sytuacje na symbolicznych stanach wyżej

Tabela zero-jedynkowa:

Kod:

K T Y=K+T K T Y=K+T - zdanie wypowiedziane
A: 1 1 =1 | Ya = K* T =1* 1 =1
B: 1 0 =1 | Yb = K*~T =1* 1 =1
C: 0 1 =1 | Yc =~K* T =1* 1 =1
D: 0 0 =0 |~Yd =~K*~T =1* 1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Symboliczna tabela „zero-jedynkowa” w zbiorach (stanach) to obszar ABCD78 a nie obszar ABC12.
Oczywiście wszystkie stany na wejściach p i q mogą zaistnieć, stąd same jedynki w obszarze ABCD78.

Układ równań opisujący powyższą tabelę
Y = Ya+Yb+Yc = K*T + K*~T + ~K*T
~Y = ~Yd = ~K*~T

Przykładowe zdanie Yc brzmi:
Yc =~K* T
Jutro nie pójdę do kina i pójdę do teatru (dotrzymam słowa Yc=1)

Oczywiście to jest inne zdanie niż w dowolnej linii różnej od Yc.

Zdanie w linii D brzmi:
~Yd=~K*~T
Skłamię (~Yd)wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru

Zauważmy, że w tym przypadku zdanie wypowiedziane:
Y=K+T
w ogóle nie pokrywa się z jakimkolwiek zdaniem cząstkowym!

5.4 Implikacja odwrotna w zbiorach

Zapiszmy definicję implikacji odwrotnej w zbiorach, korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1

Kod:

Wejścia p i q |Wejścia p i q
zero-jedynkowo |Symbolicznie
p q p~>q | p q
A: 1 1 =1 | p* q =1*1=1
B: 1 0 =1 | p*~q =1*1=1
C: 0 0 =1 |~p*~q =1*1=1
D: 0 1 =0 |~p* q =1*1=0
1 2 3 4 5 6

Algorytm tworzenia symbolicznych wejść p i q:
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 1 to przepisujemy nagłówek kolumny (do ABCD45)
Jeśli na wybranej pozycji w tabeli ABCD12 widnieje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny (do ABCD45)

Jak widzimy wszystkie zmienne wejściowe p i q w tabeli ABCD456 zostały sprowadzone do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
Z obszaru CD456 doskonale widać, że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q, bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie w zbiorach:
~p*q =0
Z obszaru AB456 widzimy, że zbiory p i q nie mogą być tożsame, bowiem jak zajdzie p to może zajść cokolwiek q (A456)albo ~q (B456).
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej w zbiorach.

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka ~> (warunku koniecznego):
p~>q
~> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywanym przez strzałkę wektora ~>.
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to mamy do czynienia z definicją implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
Dokładnie tą definicję ilustruje powyższy diagram.

Tożsama definicja implikacji odwrotnej to implikacja prosta w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q = p~>q
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora
Jeśli dodatkowo zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q (nasz diagram) to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q).

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:

Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q
A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
o definicji wyłącznie w C i D
C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w C i D.
Ogólna definicja znaczka =>:
~p=>~q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Ogólna definicja znaczka ~>:
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q = ~p=>~q
Z powyższej tożsamości wynika, że aby dowieść zachodzący warunek konieczny między p~>q wystarczy dowieść warunek wystarczający ~p=>~q zdefiniowany wyłącznie w liniach C i D w powyższej definicji.
… ale uwaga!
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego ~p=>~q w liniach C i D o niczym nie rozstrzyga, bowiem ten sam warunek wystarczający może wchodzić w skład definicji implikacji odwrotnej, albo w skład definicji równoważności, to musimy dopiero udowodnić. Równoważność ( gdzie „rzucanie monetą” nie występuje) to zupełnie inna bajka niż implikacja (gdzie „rzucanie monetą” zawsze występuje).
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
~p=>~q - to jest identyczny warunek wystarczający wchodzący w skład definicji implikacji odwrotnej albo równoważności.
Matematycznie zachodzi:
~p=>~q ## p~>q=~p=>~q ## p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## równoważność
gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Zauważmy, iż na powyższym diagramie definicja znaczka ~> spełniona jest wyłącznie w linii A, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
A: p~>q = p*q = p =1
Podobnie, definicja znaczka => spełniona jest wyłącznie w linii C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
C: ~p=>~q = ~p*~q = ~p =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bo nic innego nie mamy już do dyspozycji:
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =1 - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i ~q.
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =0 - oba zbiory istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A: p~>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =1

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A mamy zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q):
A: p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

Algorytm tworzenia zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => na podstawie definicji symbolicznej AB125 (AB345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q):
p~>q
~> - zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Jeśli dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame (p#q) to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek konieczny w zbiorach plus pokazać że zbiory p i q są różne (p#q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie p~>q wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> w linii A determinuje warunek wystarczający => w linii C.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C mamy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35368
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Sob 5:46, 11 Maj 2013 Temat postu:

Definicja warunku koniecznego ~> w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q
Zamiast dowodzić trudny w dowodzeniu warunek konieczny p~>q możemy udowodnić łatwy w dowodzeniu warunek wystarczający ~p=>~q. Prawdziwość prawej strony tożsamości gwarantuje prawdziwość lewej strony tożsamości. Warunek wystarczający => dowodzi się dużo prościej ze względu na kontrprzykład.

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q= ~p*~q = ~p =1 - zbiory ~p i ~q mają część wspólną (~q)
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =0 - zbiory ~p i q istnieją, ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q= ~p*~q = ~p =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbiorów ~p i q:
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

Prosty przykład implikacji odwrotnej w zbiorach:

Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]]
q=[1,2]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6]
~q=[3,4,5,6]

Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Na mocy definicji musi to być implikacja odwrotna.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza naszego przykładu:
A.
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
Zbiory:
p~>q = p*q = [1,2,3,4]*[1,2] =[1,2] =p
p~>q = p*q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
[1,2,3,4]~>[1,2] =1
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q.

Ogólna definicja znaczka ~> (warunku koniecznego) jest następująca:
p~>q
~> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywanym przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
[1,2,3,4]~>[1,2]
Doskonale widać, iż definicja warunku koniecznego w zdaniu A jest spełniona.
Zajście p jest konieczne dla zajścia q
Zabieram p i musi zniknąć q
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to na mocy definicji mamy do czynienia z implikacją odwrotną - nasz przykład.

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =1
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6]= [3,4] =1
p~~>~q = p*~q=1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
p~~>~q
[1,2,3,4]~~>[3,4,5,6]
Doskonale widać, ze zbiór p nie zawiera w sobie zbioru q, zatem nie zachodzi warunek konieczny ~> w zdaniu B
p~>~q =0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i ~q.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - będące jednocześnie definicją implikacji odwrotnej
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q = [5,6]*[3,4,5,6] = [5,6]= 1
~p=>~q = ~p*~q=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.

W zdaniu C warunek wystarczający jest spełniony:
~p=>~q
[5,6]=>[3,4,5,6]
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia ~q.
Dodatkowo widzimy iż zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, co na mocy definicji wymusza nam implikację prostą w logice ujemnej (bo ~q), jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C.
C: ~p=>~q = p~>q

Ostatnia możliwość przeczeń p i q to:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =0
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = [5,6]*[1,2] = [] =0
~p~~>q = ~p*q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q).
A: p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

Kod:

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej z definicji symbolicznej i odwrotnie jest identyczny jak w tabeli 1.
Wniosek:
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero- jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli.
Wszelkie zmienne w definicji symbolicznej to zmienne sprowadzone do jedynek.

Zauważmy, że zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q) występuje wyłącznie w obszarze CD678, zatem wyłącznie linie C i D obsługują warunek wystarczający w definicji implikacji prostej. Linie A i B w obsłudze warunku wystarczającego są „martwe”.

Tabela 1:
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu A:
A: p~>q
(p=1) ~> (q=1)
stąd:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Tabela 2:
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu C:
C: ~p=>~q
(~p=1)=>(~q=1)
stad:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C, zgodnie z oczekiwaniem dostaliśmy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej.

Zauważmy, że treść wszystkich czterech zdań A, B, C i D nie zmieniła się, to są identyczne zdania jak w implikacji odwrotnej p~>q=~p=>~q (tabela 1) z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q - tabela 1)
Jest tożsama z:
~p=>~q = p~>q - implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2)

Dowód formalny prawa Kubusia to tożsamość kolumn wynikowych ABCD8 w tabelach 1 i 2

Prawo Kubusia mówi, że implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q - tabela 1), jest tożsama z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q - tabela 2)

Na koniec nasz sztandarowy przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie zbiór pies
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną

Analiza zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies, miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Cztery łapy są konieczne ~> aby być psem
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
Zbiory:
4L~>P = 4L*P=P
4L~>P = 4L*P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń, słoń .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
4L~~>~P = 4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 bo kura, wąż .. , twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P
Brak czterech łap wystarcza => aby nie być psem
Zbiory:
~4L=>~P = ~4L*~P = ~4L
~4L=>~P = ~4L*~P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P=0 bo każdy pies ma cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C
Zbiory:
~4L~~>P = ~4L*P = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia

Dwa dowody nie wprost iż w zdaniu B nie jest spełniony warunek konieczny ~>:
1.
Załóżmy że w zdaniu B zachodzi warunek konieczny:
Prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~>
2.
Dokładnie to samo wynika z definicji znaczka ~>:
4L~>~P
Zbiór 4L musi zawierać w sobie zbiór ~P
Z diagramu widać, że zbiór ~P to także zbiór ~4L.
Definicja znaczka ~> nie jest wiec spełniona, warunek konieczny ~> tu nie zachodzi.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Kodowanie zero-jedynkowe:
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową tabelę implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q).
A: 4L~>P
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C to otrzymamy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q).
C: ~4L=>~P
~4L=1, 4L=0
~P=1, P=0

Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo P):
Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo P) widzimy wyłącznie w obszarze AB456, zatem warunek konieczny w definicji implikacji odwrotnej obsługują wyłącznie linie A i B.

Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~P):
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~P) widzimy wyłącznie w obszarze CD789, zatem warunek wystarczający w definicji implikacji odwrotnej obsługują wyłącznie linie C i D.

5.5 Równoważność w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja równoważności sprowadzona do teorii zbiorów na mocy prawa Prosiaczka:
p=0<=>~p=1
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1

Kod:

Definicja |Definicja symboliczna
zero-jedynkowa|Zbiory po stronie p i q
p q p<=>q |
A: 1 1 =1 | p* q =1*1=1
B: 1 0 =0 | p*~q =1*1=0
C: 0 0 =1 |~p*~q =1*1=1
D: 0 1 =0 |~p* q =1*1=0
1 2 3 4 5 6

Algorytm tworzenie definicji symbolicznej ABCD456 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
1.
Jeśli na wybranej pozycji jest jeden to przepisujemy nagłówek kolumny
2.
Jeśli na wybranej pozycji jest zero to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

A.
Z obszaru AB456 wynika że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q, bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie:
p*~q =0 - zbiory p i ~q rozłączne
Zajście p wystarcza => do tego aby zaszło q
B.
Analogicznie, z obszaru CD456 wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie:
~p*q =0 - zbiory ~p i q rozłączne
Zajście ~p wystarcza => do tego aby zaszło ~q

Jednoczesne zajście A i B wymusza tożsamość zbiorów p i q (p=q) co pociąga za sobą tożsamość zbiorów ~p i ~q (~p=~q)

Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia wynikająca bezpośrednio z powyższej definicji zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Diagram równoważności:

Kod:

RA:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
… a jeśli zajdzie ~p?
RC:
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Zauważmy, iż na powyższym diagramie definicja znaczka => spełniona jest w liniach A i C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
A: p=>q = p*q = p =1
C: ~p=>~q = ~p*~q = ~p =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bo nic innego nie mamy już do dyspozycji:
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =0 - oba zbiory istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =0 - oba zbiory istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A mamy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

Algorytm tworzenia zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => na podstawie definicji symbolicznej AB125 (AB345):
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
=> - zbiór p zawiera się w zbiorze q
Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame (p=q) to mamy do czynienia z równoważnością w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (p=>q) *(~p=>~q)
p=>q
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek wystarczający w zbiorach plus pokazać że zbiory p i q są tożsame (p=q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie p=>q wchodzi w skład definicji równoważności w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (p=>q) *(~p=>~q)
Warunek wystarczający => w linii A determinuje warunek wystarczający => w linii C.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu C mamy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Algorytm tworzenia definicji zero-jedynkowej CD678 z tabeli symbolicznej CD125 (CD345) jest identyczny jak wyżej:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
=> - zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli dodatkowo zbiory ~p i ~q są tożsame (~p=~q) to mamy do czynienia z równoważnością w logice ujemnej (bo ~q):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Zauważmy, że gdyby nam się udało udowodnić warunek wystarczający w zbiorach plus pokazać że zbiory ~p i ~q są tożsame (~p=~q) to mamy wszystko i nic więcej nie musimy udowadniać.
Analizowane zdanie ~p=>~q wchodzi w skład definicji równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający => w linii C determinuje warunek wystarczający => w linii A.

Zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => są stałe, niezależne od tego czy występują w operatorze implikacji prostej, implikacji odwrotnej, czy też w równoważności.
Zauważmy, że w równoważności nie występuje rzeczywisty warunek konieczny ~> bo nie jest dostępna jego zero-jedynkowa definicja. W równoważności występuje wirtualny warunek konieczny [~>], nie jest to „rzucanie monetą” znane z implikacji.

Zauważmy, że warunki wystarczające => w logice dodatniej i ujemnej nie są operatorami logicznymi, to tylko połówki odpowiednich operatorów logicznych.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q= p*q = p =1 - zbiory p i q istnieją i są tożsame, co wymusza w wyniku 1
B: p~~>~q=p*~q =1*1 =0 - zbiory p i ~q istnieją, ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
p=>q = p*q = p =1
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbiorów p i ~q:
B: p~~>~q= p*~q =1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q= ~p*~q = ~p =1 - zbiór niepusty
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =0 - oba zbiory istnieją ~p=1 i q=1, ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
~p=>~q= ~p*~q = ~p =1
Jeśli tak to:
~p=>~q =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbiorów ~p i q:
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

Matematycznie zachodzi:
Równoważność ## warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji w A i B ## warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji w C i D
p<=>q ## p=>q ## ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Diagram równoważności:

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Aksjomatyczna definicja równoważności wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
A.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q, jeśli każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p.
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q, jeśli każdy element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q i każdy element zbioru ~q zawiera się => w zbiorze ~p.

Stąd dwie równoważne definicje równoważności:
B.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
C.
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Twierdzenie o tożsamości zbiorów:
Jeśli zbiory p i q są tożsame (p=q) to tożsame są również zbiory ~p i ~q (~p=~q)

Odwrotnie też zachodzi zatem jest to równoważność:
p=q <=> ~p=~q

Stąd mamy prawo algebry Boole'a:
D.
p<=>q = ~p<=>~q

Dowód równoważny w równaniach algebry Boole’a:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Wyłącznie negujemy wszystkie zmienne:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawe strony są tożsame, co kończy dowód.

Wyżej mamy udowodnione:
D: p<=>q = ~p<=>~q
C: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Stąd otrzymujemy tożsamość:
E.
p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z A i B mamy pierwsze prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
B: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
A i B to tożsamość, zatem musi zachodzić:
q=>p = ~p=>~q

Z A i E mamy drugie prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
E: p<=>q = (~q=>~p)* (~p=>~q)
A i E to tożsamość, zatem musi zachodzić:
p=>q = ~q=>~p

Definicja równoważności wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Prawa kontrapozycji poprawne w równoważności:
p=>q= ~q=>~p
~p=>~q =q=>p
Pełna definicja równoważności z uwzględnieniem praw kontrapozycji.
p<=>q = {(p=>q)=(~q=>~p)}*{(~p=>~q)=(q=>p)}
Stąd możliwe równoważne definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q = (q=>p)*(~q=>~p)
etc

W równoważności wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q zachodzą wirtualne prawa Kubusia:
p=>q = [~p~>q]
[p~>q] = ~p=>~q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności
Wirtualny warunek konieczny [~>] istnieje, ale nie jest to znane nam z implikacji „rzucanie monetą” ~> bowiem wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q jest to fizycznie niemożliwe, stąd konieczność innej nazwy i innego symbolu warunku koniecznego w równoważności.

Pełna definicja równoważności z uwzględnieniem praw Kubusia:
p<=>q = {(p=>q)=[~p~>~q]}*{(~p=>~q)=[p~>q]}
stąd:
Przykładowe definicje równoważne:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
p<=>q = [p~>q]*[~p~>~q]
etc

Oczywiście prawa kontrapozycji i wirtualne prawa Kubusia można dowolnie mieszać skąd otrzymujemy kilkadziesiąt tożsamych definicji równoważności. Na gruncie nowej teorii zbiorów wszystkie te definicje są oczywistością i z każdej można korzystać (definicje znaczków => i [~>]). Najpopularniejsze są trzy definicje:
I. p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
II. p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
III. p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*[TR~>KR] =1*1=1
Do tego aby w trójkącie kąty były równe potrzeba [~>] i wystarcza => aby był on równoboczny.
Dowód na mocy definicji znaczków [~>] i =>:
Wymuszam dowolny TR i pojawia mi się KR
TR=>KR=1
Zabieram (wszystkie) TR i znika mi zbiór KR
[TR~>KR]=1

Dla porównania implikacja:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Sprawdzamy czy zachodzi równoważność:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*[P8~>P2] =1*0 =0
Wymuszam dowolne P8 i pojawia się P2
P8=>P2 =1 ok.
Zabieram (wszystkie) P8 i nie znika mi P2
P8~>P2 =0 bo 2

Spójrzmy na definicję implikacji i równoważności w równaniach Kubusia.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Doskonale widać, że warunki wystarczające => w implikacji i równoważności są identyczne.
Zatem jeśli udowodnimy dowolny warunek wystarczający np.
p=>q=1
to wiem ze nic nie wiem, bo nie wiem czy to jest warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji, czy też to jest warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności.

Rozważmy prosty przykład równoważności w zbiorach

Przyjmijmy zbiory p i q:
p=[1,2,3,4,5,6]
q=[1,2,3,4,5,6]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[7,8]
~q=[7,8]
Zauważmy że dziedzinę możemy dowolnie poszerzać kończąc na zbiorze liczb naturalnych … a nawet na uniwersum, to bez znaczenia.
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p =~q

Na początek podejdźmy do naszego przykładu z siekierą, czyli z prymitywną teorią zbiorów przy założeniu, iż w ogóle nie znamy definicji równoważności przedstawionej w diagramie wyżej.

Symboliczna definicja operatora logicznego w NTZ:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Na mocy tej definicji badamy wszystkie możliwe przeczenia p i q

A: p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór wynikowy niepusty
B: p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] = [] =0 - zbiór wynikowy pusty
C: ~p*~q = [7,8]*[7,8] = [7,8] =1 - zbiór wynikowy niepusty
D: ~p*q = [7,8]*[1,2,3,4,5,6] =0 - zbiór wynikowy pusty

Symboliczna definicja naszego operatora:

Kod:

A: p* q =1*1=1
B: p*~q =1*1=0
C:~p*~q =1*1=1
D:~p* q =1*1=0

Wszystkie zbiory na wejściach p i q są niepuste (=1), jednak w liniach C i D są rozłączne co wymusza w wyniku 0.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora równoważności.
A: p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd otrzymujemy:

Kod:

Symboliczna definicja |Kodowanie
równoważności |zero-jedynkowe
w logice dodatniej bo q |definicji symbolicznej
p<=>q (zbiory) |
p q | p q p<=>q
---------------------------------------------
A: p* q =1*1=1 | 1 1 =1
B: p*~q =1*1=0 | 1 0 =0
C:~p*~q =1*1=1 | 0 0 =1
D:~p* q =1*1=0 | 0 1 =0
1 2 3 4 5 6

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli

Mając tabelę zero-jedynkową zaglądamy do definicji wszystkich możliwych operatorów logicznych (jest ich 16) gdzie rozstrzygamy, iż uzyskana tabela zero-jedynkowa to równoważność.

Zauważmy, że w teorii zbiorów wystarczy rozstrzygnąć iż zbiory wynikowe A i C nie są puste, natomiast zbiory wynikowe B i D są zbiorami pustymi.
B: p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] = [] =0 - zbiór wynikowy pusty
D: ~p*q = [7,8]*[1,2,3,4,5,6] = [] =0 - zbiór wynikowy pusty

Twierdzenie:
W dowolnym zdaniu z dwoma parametrami p i q z naturalnego języka mówionego, dla rozstrzygnięcia definicję jakiego operatora logicznego spełnia to zdanie wystarczy rozpatrzyć cztery przypadki uwzględniające wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Przykład wyżej.

To jest metoda najprostsza, ale zarazem najgorsza, nie pozwalająca operować prawami zakodowanymi wewnątrz tabeli zero-jedynkowej każdego operatora, zgodnymi z naturalną logiką człowieka.

Skorzystajmy z diagramu równoważności .

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4,5,6]
q=[1,2,3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd:
~p=[7,8]
~q=[7,8]

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
RA:
Definicja równoważności w logice dodatniej (bo q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w liniach A i B niżej.
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zbiory:
p=>q = p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]=1
p=>q =1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku 1
Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
p=>q
[1,2,3,4,5,6]=>[1,2,3,4,5,6]
Doskonale widać, że definicja warunku wystarczającego między p i q jest spełniona

Ogólna definicja znaczka [~>] (warunku koniecznego):
[p~>q]
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora [~>] musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
[p~>q]
[1,2,3,4,5,6]~>[1,2,3,4,5,6]
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p i q.
Z powodu tożsamości zbiorów w równoważności p=q i ~p=~q wykluczone jest „rzucanie monetą” znane z definicji implikacji, dlatego warunek konieczny ma w równoważności specjalną nazwę i symbol.

[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności, gdzie wobec tożsamości zbiorów wykluczone jest jakiekolwiek „rzucanie monetą” (spójnik „może”).

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] =[] =0
p~~>~q = p*~q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

… a jeśli zajdzie ~p?
RC:
Definicja równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w C i D.

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q = [7,8]*[7,8] = [7,8] =1
~p=>~q = ~p*~q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku 1
Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
=> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
~p=>~q
[7,8]=>[7,8]
Doskonale widać, że definicja warunku wystarczającego między ~p i ~q jest spełniona

Ogólna definicja znaczka [~>] (warunku koniecznego):
[p~>q]
~> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora [~>] musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
[~p~>~q]
[7,8]~>[7,8]
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~p i ~q.
Gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności, gdzie wobec tożsamości zbiorów wykluczone jest jakiekolwiek „rzucanie monetą” (spójnik „może”).

Ostatnia możliwa kombinacja przeczeń p i q:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =0
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = [7,8]*[1,2,3,4,5,6] =[] =0
~p~~>q = ~p*q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu RA otrzymujemy zero-jedynkowa definicję równoważności w logice dodatniej (bo q):
RA: p<=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

Kod:

Algorytmy tworzenia tabeli zero-jedynkowej na podstawie tabeli symbolicznej i odwrotnie są identyczne jak wyżej.

Zauważmy, że zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) występuje wyłącznie w obszarze CD678, zatem wyłącznie linie C i D obsługują ten warunek wystarczający w definicji równoważności. Linie A i B w obsłudze warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q) są „martwe”.

Zdania A ,B, C i D zapisane w tabelach 1 i 2 są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Prawo algebry Kubusia:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód formalny tego prawa to tożsamość kolumn wynikowych ABCD8 w tabelach 1 i 2.

Rozważmy na koniec twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zbiory TP i SK są tożsame co wymusza definicję równoważności.

TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
TP=>SK
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK)
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
TP=>SK = TP*SK = TP =1
Zbiory TP i SK są tożsame
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0
Zbiory:
TP~~>~SK = TP*~SK = 1*1=0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Warunek wystarczający o definicji wyłącznie w A i B spełniony

~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
~TP=>~SK
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo (~SK)
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby nie zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
~TP=>~SK = ~TP*~SK = ~TP =1
Zbiory ~TP i ~SK są tożsame.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0
Zbiory:
~TP~~>SK = ~TP*SK = 1*1=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Warunek wystarczający o definicji wyłącznie w C i D spełniony

Definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi o definicjach w A i B oraz w C i D. To nie są operatory logiczne.

Kodowanie zero-jedynkowe:

Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK):
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo SK) widzimy wyłącznie w obszarze AB456, zatem ten warunek wystarczający obsługują wyłącznie linie A i B.

Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~SK):
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~SK) widzimy wyłącznie w obszarze CD789, zatem ten warunek wystarczający w definicji równoważności obsługują wyłącznie linie C i D.

Matematycznie zachodzi:
Równoważność ## warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK) o definicji wyłącznie w A i B ## warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~SK) o definicji wyłącznie w C i D
TP<=>SK ## TP=>SK ## ~TP=>~SK
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Z definicji równoważności wynika, że nie można jej dowieść w sposób bezpośredni. Dowieść prawdziwości równoważności możemy wyłącznie w sposób pośredni dowodząc prawdziwości niezależnych twierdzeń (warunków wystarczających) p=>q i ~p=>~q.

Błędne są zatem wszystkie zadania matematyczne zaczynające się od frazy:
„Wiemy że równoważność p<=>q jest prawdziwa …”
Jeśli wiemy że jest prawdziwa to uprzednio musieliśmy dowieść dwóch warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q czyli wiemy wszystko i matematycznie nie mamy szans na cokolwiek więcej.

Podobnie bez sensu jest twierdzenie iż z prawdziwości równoważności wynika prawdziwość zdań p=>q i ~p=>~q, bowiem aby udowodnić prawdziwość równoważności musimy uprzednio udowodnić właśnie te warunki wystarczające p=>q i ~p=>~q.

Sensowne jest więc wyłącznie twierdzenie, iż z prawdziwości warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q wynika prawdziwość równoważności. Odwrotnie to bezsens, bowiem nie da się udowodnić równoważności w sposób bezpośredni.

5.6 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia:

Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora

Definicja implikacji prostej:

Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Dokładnie ta sama definicja w pełnym równaniu logicznym:
A: p=>q = ~p~>~q

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q

Definicja implikacji odwrotnej:

Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Dokładnie ta sama definicja w pełnym równaniu logicznym:
B: p~>q = ~p=>~q

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q

Równanie ogólne implikacji:
A: p=>q = ~p~>~q ## B: p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Ustalmy sztywny punkt odniesienia na zdaniu A zakładając jego prawdziwość:
A: p=>q = ~p~>~q =1
czyli:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q

Jeśli zdanie A: p=>q jest prawdziwe to zdanie B jest oczywistym fałszem:
B: p~>q = ~p=>~q =0
p~>q
bowiem zbiór p z założenia zawiera się w zbiorze q (A: p=>q), natomiast zdanie B wymaga czegoś dokładnie odwrotnego, aby zbiór p zawierał w sobie zbiór q.

Nasze równanie implikacji dla sztywnego punktu odniesienia A: p=>q przyjmuje więc postać:
A: p=>q = ~p~>~q =1 ## B: p~>q = ~p=>~q =0
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Oczywistym jest że aby uczynić zdanie B prawdziwym musimy zamienić parametry p i q w zdaniu A:
B: q~>p = ~q=>~p =1
q~>p
Definicja implikacji odwrotnej spełniona bo zbiór q zawiera w sobie zbiór p i nie jest tożsamy ze zbiorem p.
Punkt odniesienia: A: p=>q =1 (to bardzo ważne)

Podstawiamy to do naszego równania ogólnego implikacji:
A: p=>q = ~p~>~q =1 ## B: q~>p = ~q=>~p =1
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Oczywistym jest, że jeśli cokolwiek jest różne na mocy definicji to pod parametry p i q po obu stronach znaku ## możemy sobie podstawiać co nam dusza zagra, w szczególności możemy zamienić p i q, co właśnie zrobiliśmy. Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi, pomiędzy którymi nie występują żadne tożsamości matematyczne.

Na mocy nowej teorii zbiorów fałszywe są następujące „prawa” rachunku zero-jedynkowego.

1.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
A: p=>q =1
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: p=>q = ~p~>~q ## B: q~>p = ~q=>~p
Stąd na gruncie nowej teorii zbiorów leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:

Kod:

A: p=> q ## q~> p
B: p=> q ## ~q=>~p
C:~p~>~q ## q~> p
D:~p~>~q ## ~q=>~p

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje błędny w implikacji znak tożsamości.

2.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
B: p~>q =1
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: q=>p = ~q~>~p ## B: p~>q = ~p=>~q
Stąd na gruncie nowej teorii zbiorów leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:

Kod:

E: q=> p ## p~> q
F: q=> p ## ~p=>~q
G:~q~>~p ## p~> q
H:~q~>~p ## ~p=>~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje błędny w implikacji znak tożsamości.

Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w implikacji wygląda zatem tak:
p=>q ## ~q=>~p
q=>p ## ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład:
Wzorcowa implikacja prosta:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą o definicji.
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L

Wzorcowa implikacja odwrotna:
AO:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P
CO:
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P

Jeśli przyjmiemy za poprawne definicje znaczków => i ~> w zbiorach (oczywistość), to konsekwencją tego faktu jest takie a nie inne równanie ogólne implikacji.

A: P=>4L = C: ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dlaczego?
Bo tylko i wyłącznie w tym przypadku spełnione są definicje znaczków => i ~> po obu stronach znaku ##.

Prawa kontrapozycji w formie tożsamości są fałszywe w implikacji i prawdziwe w równoważności.

Dlaczego nawet w implikacji możemy stosować prawo kontrapozycji?

Definicja równoważności wynikła z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Jeśli udowodnimy warunek wystarczający p=>q o definicji:
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0

To mamy prawo założyć, że to jest warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności.
Na podstawie takiego założenia możemy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego => wynikłego z prawa kontrapozycji:
~q=>~p

Problem w tym, że w implikacji zachodzi prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q ## ~q=>~p
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu p=>q zajście p=>q wymusza zajście ~q=>~p, ale w implikacji nie możemy tu postawić znaku tożsamości z powodu trzeciego zbioru, który jest poza wszelką logiką:
~p~~>q = q~~>~p

Natomiast w równoważności zachodzi prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q =~q=>~p
bo tu mamy wyłącznie dwa zbiory, nie ma tego trzeciego, paskudnego, poza wszelką logiką.

Zauważmy, że prawem kontrapozycji niczego sensownego nie udowodnimy.

Jeśli mamy udowodniony warunek wystarczający p=>q to bez sensu jest dowodzenie prawdziwości warunku wystarczającego ~q=>~p, bo ten warunek wystarczający zachodzi zarówno w implikacji jak i równoważności (i odwrotnie).

W matematyce szukamy warunków wystarczających wchodzących w skład definicji równoważności między dowolnymi przeczeniami p i q.

Równoważność udowodnimy wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy warunki wystarczające wzdłuż dowolnego boku kwadratu równoważności.

Kwadrat logiczny równoważności:

Kod:

A1: p=> q =1 A2: q=> p =1
B1: p~~>~q=0 B2: q~~>~p=0

C1:~p=>~q =1 C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =0 D2:~q~~>p =0

Definicje równoważności w pionach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q= (q=>p)*(~q=>~p)
Definicje równoważności w poziomach:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q= (~p=>~q)*(~q=>~p)

Porównanie kwadratów logicznych równoważności i implikacji.

Kwadrat logiczny implikacji ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q

Kod:

A1: p=> q =1 ## A2: q~> p =1
B1: p~~>~q=0 ## B2: q~~>~p=1

Prawo Kubusia: ## Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p

C1:~p~>~q =1 ## C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =1 ## D2:~q~~>p =0

W implikacji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji.

Warunki wystarczające => w punktach A1 i C2 są identyczne w implikacji i równoważności.
W implikacji zbiory p i q nie są tożsame, natomiast w równoważności zbiory p i q są tożsame.

Oczywiście nie wykryjemy równoważności udowadniając dowolny w warunków wystarczających po przekątnych.
A1: p=> q =1
B1: p~~>~q=0
czy też:
C2: ~q=>~p =1
D3: ~q~~>p=0
bo te warunki są identyczne w równoważności gdzie zachodzi tożsamość zbiorów, i w implikacji gdzie tożsamość zbiorów nie zachodzi.

Aby dowieść iż zdanie A1: p=>q jest implikacją prostą musimy dodatkowo udowodnić C1:D1 albo A2:B2
C1: ~p~>~q =1
D1: ~p~~>q =1
Oczywiście w tym przypadku wystarczy znaleźć jeden przypadek spełniający C1 i jeden przypadek spełniający D1.

Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że zdanie:
A1: p=>q
spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą prawdziwą.

5.7 Alternatywne definicje implikacji i równoważności

Alternatywna definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego miedzy p i q:
A: p=>q=1
B: p~>q = ~p=>~q=0

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
A: p=>q=1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => aby mieć cztery łapy
Warunek wystarczający => spełniony

Na mocy tej definicji badamy warunek konieczny ~> między P i 4L
B: p~>q = ~p=>~q=0
Jeśli zwierze jest psem to może~> mieć cztery łapy
P~>4L = ~P=>~4L =0 bo kontrprzykład: koń
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie zdanie A możemy nazwać implikacją prostą.
Dlaczego w żargonie?
… bo samo zdanie A bez dowodu jak wyżej to tylko i wyłącznie warunek wystarczający => wchodzący w skład definicji implikacji prostej:
P=>4L = ~P~>~4L
Definicja warunku wystarczającego:
A: P=>4L=1
B: P~~>~4L=0
cnd

Alternatywna definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q:
A: p~>q = ~p=>~q =1
B: p=>q=0

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Sprawdzamy warunek konieczny ~>:
4L~>P= ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
Prawa strona jest prawdą, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
Sprawdzamy warunek wystarczający:
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P=0 bo kontrprzykład: koń
Warunek wystarczający nie zachodzi.
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej, w żargonie możemy powiedzieć że zdanie A jest implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
… bo samo zdanie A bez dowodu jak wyżej to wyłącznie zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Alternatywna definicja równoważności
Równoważność to jednoczesna zachodzenie warunku wystarczającego => i wirtualnego warunku koniecznego [~>]
A: p=>q=1
B: [p~>q] = ~p=>~q =1

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
A: p=>q=1
Warunek wystarczający A zachodzi.

Sprawdzamy zachodzenie wirtualnego warunku koniecznego:
B: [p~>q] = ~p=>~q =1
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to „może” [~>] zachodzić suma kwadratów
[TP~>SK] =?
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Wniosek:
Zdanie A i zdanie B to warunki wystarczające wchodzące w skład równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1

5.8 Równania Fiklita

Równania Fiklita to operatory logiczne zapisane w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+).

Operator chaosu

Zero-jedynkowa i symboliczna definicja operatora chaosu ~~>:

Kod:

Prawo Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
Na wejściach p i q (ABCD45 i ABCD67) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek, czyli do nowej teorii zbiorów.

Definicja operatora chaosu w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
p~~>q =1
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden element należący do zbiorów p i q.
Nie ma tu wymagania, aby zbiory p i q były ze sobą w takiej czy nie innej korelacji.

Zauważmy, że na mocy definicji zachodzi:
Operator chaosu ## naturalny spójnik „może” ~~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Równanie logiczne opisujące powyższą tabelę otrzymujemy łącząc wynikowe jedynki w kolumnie ABCD8 spójnikiem „lub”(*).

p~~>q = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q

Zdanie p~~>q wchodzi w skład operatora chaosu wtedy i tylko wtedy gdy w równaniu wystąpią wszystkie wyżej wymienione człony.

Stąd otrzymujemy równanie Fiklita:
p~~>q = (p*q)*(p*~q)*(~p*~q)*(~p*q)

Zdanie wchodzi w skład operatora chaosu wtedy i tylko wtedy gdy spełnia definicję operatora chaosu w równaniu Fiklita.

Przykład operatora chaosu:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza matematyczna:
A: P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
B: P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
C: ~P8~~>~P3 =~P8*~P3 =1 bo 5
D: ~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3

Oczywiście zdanie A wchodzi w skład operatora chaosu:
P8~~>P3 = (P8*P3)*(P8*~P3)*(~P8*~P3)*(~P8*P3) = 1*1*1*1 =1

Operator implikacji prostej

Definicja implikacji prostej w równaniach Kubusia:

Kod:

Prawo Prosiaczka:
Jeśli ~p=1 to p=0

Tym razem postąpiliśmy odwrotnie, wygenerowaliśmy zero-jedynkową definicje implikacji prostej z równań Kubusia. Oczywiście bez znaczenia jest jaki kierunek wybierzemy, czyli co z czego wynika, ale naturalna logika człowieka równania Kubusia (symboliczna algebra Boole’a)

Definicja implikacji prostej w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =0

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q

Kod:

Zauważmy, że twardy fałsz w linii B wynika tu wyłącznie z linii A, jest kompletnie bez znaczenia co się dzieje w liniach C i D.
W linii A mamy twardą jedynkę (gwarancję matematyczną) z której wynika iż zbiór p musi zawierać się w zbiorze q, czyli linia B musi być twardym fałszem. Wynika z tego że jeśli zanegujemy twardy fałsz w linii B to musimy otrzymać twardą prawdę w linii A.

Mamy linię B:
B: p~~>~q = p*~q =0
Po zanegowaniu tej linii musimy otrzymać linię A czyli gwarancję matematyczną:
A: p=>q = ~(p*~q) =1

Kompletny operator implikacji prostej w równaniu Fiklita przybiera postać:
p=>q = A: (p*q)*A:~(p*~q)*C: (~p*~q)*D: (~p*q)
Jedynka w równaniu A to bezcenna, to twarda jedynka, gwarancja matematyczna.
Jedynki w równaniach C i D to jedynki miękkie, rzucanie monetą.
Operator OR ze swej natury nie odróżnia jedynki twardej (A) od jedynek miękkich (C i D).
Zauważmy, że twarda jedynka w równaniu A to …
A: p=>q = ~(p*~q) =1
Nie ma sensu dublowanie informacji, zatem możemy usunąć zdanie A z równania Fiklita, dzięki temu zostawiamy wyłącznie dwie miękkie jedynki ze zdań C i D..

Stąd:
Równanie Fiklita po minimalizacji opisujące operator implikacji prostej:
p=>q =~p~>~q = ~(p*~q)*(~p*~q)*(~p*q)

To równanie działa genialnie, popatrzmy:

Implikacja prosta:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 bo 16 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P8 zawiera się => w zbiorze P2
Dodatkowo mamy P8#P2 co wymusza implikację prostą

Analiza skrócona:
A: P8=>P2 = P8*P2 = P8 =1 - zbiór P8 zawiera się => w zbiorze P2
B: P8~~>~P2 = P8*~P2 = 1*1=0 - zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C: ~P8~>~P2 = ~P8*~P2 = ~P2 =1 - zbiór ~P8 zawiera w sobie ~> zbiór ~P2
D: ~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 bo 2

Równanie Fiklita dla operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q = ~(p*~q)*(~p*~q)*(~p*q)

P8=>P2 = ~(P8*~P2)*(~P8*~P2)*(~P8*P2) = ~(0)*1*1 = 1*1*1 =1
Jak widzimy, równanie Fiklita bezbłędnie rozpoznaje operator implikacji prostej.

Operator implikacji odwrotnej

Równanie Fiklita dla implikacji prostej:
p=>q=~p~>~q = ~(p*~q)*(~p*~q)*(~p*q)
stąd:
Równanie Fiklita dla zanegowanych p i q:
~p=>~q = p~>q = ~(~p*q)*(p*q)*(p*~q)
Wyłącznie zanegowaliśmy p i q zatem równania nie są tożsame.
Stąd:
Równanie Fiklita dla implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q = (p*q)*(p*~q)* ~(~p*q)

Zauważmy, że w logice bezdyskusyjnie zachodzi:
Operator implikacji prostej ## Operator implikacji odwrotnej
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - rożne na mocy definicji

Przykład implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór P2 zawiera w sobie zbiór P8
Dodatkowo P2#P8 co wymusza implikację odwrotną.

Analiza skrócona przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A: P2~>P8 = P2*P8 = P8 =1 - zbiór P2 zawiera w sobie ~> zbiór P8
B: P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 bo 2
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
C: ~P2=>~P8 = ~P2*~P8 = ~P2 =1 - zbiór ~P2 zawiera się w zbiorze ~P8
D: ~P2~~>P8 = ~P2*P8 =1*1=0 - bo zbiory ~P2 i P8 są rozłączne

Równanie Fiklita dla implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q = (p*q)*(p*~q)* ~(~p*q)
Nasz przykład:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = (P2*P8)*(P2*~P8) ~(~P2*P8) = 1*1*~(0)=1*1*1 =1
ok.

Operator równoważności

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Kod:

Gwarancja w logice dodatniej z linii A i B wyrażona spójnikiem „i”(*) jest tu identyczna jak w implikacji:
A: p=>q = ~(p*~q)

Równanie Fiklita dla implikacji prostej:
p=>q = A:~(p*~q)*C: (~p*~q)*D: (~p*q)

Zauważmy, że w równoważności w liniach C i D mamy kolejny warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q), zatem o żadnym rzucaniu monetą nie może być mowy.

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q= ~p*~q = ~p =1 - zbiór niepusty
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =0 - oba zbiory istnieją ~p=1 i q=1, ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Twardy fałsz w linii C wynika tylko i wyłącznie z twardej prawdy w linii A, bowiem na mocy definicji znaczka => (warunek wystarczający) zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q. Wynika z tego że zbiory ~p i q są rozłączne.

Jeśli zatem zanegujemy twardy fałsz w linii D to musimy wylądować w twardej prawdzie, linia C.
D: ~p~~>q = ~p*q =0
Negujemy wszystko stronami otrzymując równanie opisujące linię C:
C: ~p=>~q = ~(~p*q) =1

Stąd równanie Fiklita dla równoważności przybiera postać:
p<=>q = A:~(p*~q)*C:~(~p*q)

To jest nic innego jak definicja równoważności wyrażona koniunkcją warunków wystarczających => (gwarancjami matematycznymi).
p<=>q = A: (p=>q)*C: (~p=>~q)

Gwarancja I w równoważności:
A: p=>q = ~(p*~q)

C: Gwarancja II w równoważności
C: ~p=>~q = ~(~p*q)

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1

Gwarancja I w spójniku „i”(*):
TP=>SK = ~(TP*~SK)
A1.
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt jest prostokątny i zachodzi suma kwadratów
~(TP*~SK)

C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1

Gwarancja II w spójniku „i”(*):
~TP=>~SK = ~(~TP*SK)
C1.
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt nie jest prostokątny i zachodzi suma kwadratów
~(~TP*SK)

Zauważmy że równanie Fiklita bez problemu rozpozna równoważność:
TP<=>SK = ~(TP*~SK)*~(~TP*SK) = 1*1 =1

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 6:05, 23 Maj 2013, w całości zmieniany 12 razy

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35368
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Sob 5:48, 11 Maj 2013 Temat postu:

5.9 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

... z przymrużeniem oka, czyli prosty sposób na zapamiętanie najważniejszych definicji operatorów logicznych.

Na początku było:

Kod:

1=1

i stał się cud:

Kod:

(p+~p)=(q+~q)

p+~p=1 - prawo algebry Boole’a
q+~q=1 - prawo algebry Boole’a
czyli:

Kod:

A: p=>(q+~q)
C: ~p=>(~q+q)

stąd mamy …

Równoważność

Operatorowa definicja równoważności:

Kod:

p q p<=>q
A: p=> q =1 /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q=0 /o definicji w A i B
C:~p=>~q =1 /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =0 /o definicji w C i D

Definicja operatorowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

p q p<=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0

Implikacja prosta

W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja powstała przez rozczepienie dwóch ostatnich linii w definicji równoważności. Możliwe jest rozczepienie linii A i B albo linii C i D.

Implikacja prosta to rozczepienie linii C i D w definicji równoważności.

Operatorowa definicja implikacji prostej:

Kod:

p q p=>q
A: p=> q =1 /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p~>~q =0 /o definicji w A i B
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1 /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1

Implikacja odwrotna

Implikacja odwrotna to rozczepienie linii A i B w definicji równoważności.

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:

Kod:

p q p~>q
A: p~> q =1 /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=> ~q =1 /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~> q =0 /o definicji w C i D

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0

Operator chaosu

Możliwe jest totalne rozczepienie definicji równoważności, zarówno po stronie p jak i ~p.
Nie ma wtedy żadnej gwarancji, mamy tu zdanie ZAWSZE PRAWDZIWE, pełną przypadkowość

Operator chaosu, czyli definicja naturalnego spójnika „może” ~~>

Kod:

p q p~~>q
A: p~~> q =1 /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
B: p~~>~q =1 /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
C:~p~~>~q =1 /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
D:~p~~> q =1 /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q

p~~>q=1
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q

Definicja zero-jedynkowa operatora chaosu ~~> dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

p q p~~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1

Operator śmierci

Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem.
Wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi:
p=0
~p=0
q=0
~q=0
Nie istnieje totalnie NIC, nie ma zdefiniowanego ani jednego pojęcia.

Operator śmierci, wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi.

Kod:

p q p~~>q
A: p~~> q =0 /zbiór pusty
B: p~~>~q =0 /zbiór pusty
C:~p~~>~q =0 /zbiór pusty
D:~p~~> q =0 /zbiór pusty

Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Kod:

p q p~~>q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =0
C: 0 0 =0
D: 0 1 =0

6.0 Operatory OR i AND

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Relacje między dwoma zbiorami, ich wzajemne położenie, generują ściśle określone definicje operatorów logicznych.

OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

Prawo Prosiaczka:
Z dowolnej tabeli zero-jedynkowej można ułożyć dwa podstawowe równania algebry Kubusia w spójnikach „i”(*) i „lub”(+), jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera.

Rozważmy przykładową tabelę zero-jedynkową i jej równoważny opis równaniami algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Zero-jedynkowa definicja równoważności:

Kod:

Kompletny opis powyższej tabeli w równaniach algebry Boole’a to:
Równanie opisujące wynikowe jedynki w tabeli ABCD123:
Y = Ya+Yc = p*q + ~p*~q
Równanie opisujące wynikowe jedynki w tabeli ABCD789:
~Y = ~Yb+~Yd = p*~q + ~p*q

Techniczny algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD456 z dowolnej tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
Zmienne w liniach po stronie wejścia p i q łączymy spójnikiem „i”(*)
4.
Po stronie wyjścia Y tworzymy sumę logiczną (alternatywę) z funkcji cząstkowych Yx uzyskując równanie opisujące wynikowe jedynki w tabeli zero-jedynkowej ABCD123
Y = Ya+Yc = p*q + ~p*~q
5.
Po stronie wyjścia Y tworzymy sumę logiczną (alternatywę) z funkcji cząstkowych ~Yx uzyskując równanie opisujące wynikowe zera w tabeli zero-jedynkowej ABCD123
~Y = ~Yb+~Yd = p*~q + ~p*q
Na mocy prawa Prosiaczka:
Y=0 <=>~Y=1
Jeśli Y=0 to ~Y=1
Opis wynikowych zer w tabeli ABCD123 jest tożsamy z opisem wynikowych jedynek w tabeli ABCD789.

Podstawa matematyczna

Algorytm tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej:
1.
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Prawo Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
stąd:
Jeśli p =0 to ~p=1
2.
Po stronie wejścia p i q stosujemy spójnik „i”(*) o definicji:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Zero jedynkowa definicja spójnika „i”(*):

Kod:

p q Y=p*q
1 1 =1

Punkt 2 to sprowadzenie wszystkich zmiennych do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
Spójnik „i”(*) to nic innego jak iloczyn logiczny (koniunkcja) zbiorów na wejściach p i q, nie jest to operator logiczny AND.
3.
Równanie opisujące wynikowe jedynki w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Funkcje cząstkowe dla samych jedynek (Y) łączymy spójnikiem „lub”(+) o definicji:
Y=Ya+Yc
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yc=1
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):

Kod:

Ya Yc Y=Ya+Yc
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1

Spójnik „lub”(+) to nic innego jak suma logiczna (alternatywa) zbiorów wynikowych Yx w pionach dla wynikowych jedynek.
4.
Równanie opisujące wynikowe zera w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Funkcje cząstkowe dla jedynek w logice ujemnej (bo ~Y) łączymy spójnikiem „lub”(+) o definicji:
~Y=~Yb+~Yd
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~Yb+~Yd
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):

Kod:

~Yb ~Yd ~Y=~Yb+~Yd
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1

Spójnik „lub”(+) to nic innego jak suma logiczna (alternatywa) zbiorów wynikowych ~Yx w pionach dla wynikowych zer.

Zero-jedynkowa i symboliczna definicja operatora OR

Kod:

Kompletna definicja operatora OR w równaniach algebry Boole’a to:
Y = Ya+Yb+Yc = p*q + p*~q + ~p*q
W powyższej tabeli doskonale wydać że powyższe równanie opisuje zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) w obszarze ABC123. Linia D123 jest w tym przypadku „martwa” i nie bierze udziału w obsłudze spójnika „lub”(+).
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd mamy pełną definicję spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Linię D w powyższej tabeli opisuje równanie algebry Boole’a:
~Y=~p*~q
Definicję spójnika „i”(*) widzimy wyłącznie w linii D789, zatem tylko i wyłącznie tą linię opisuje powyższe równanie. Obszar ABC789 jest tu „martwy”.
Stąd:
Minimalny układ równań logicznych opisujących pełną definicję operatora OR:
Y=p+q
~Y=~p*~q
W definicji operatora OR parametry p i q muszą być identyczne.

Związek logiki dodatniej (Y) i ujemnej (~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Identycznie postępujemy z operatorem AND

Zero-jedynkowa i symboliczna definicja operatora AND

Kod:

Linię A123 w powyższej tabeli opisuje równanie algebry Boole’a:
Y=p*q
Definicje spójnika „i”(*) widzimy wyłącznie w linii A123, zatem tylko i wyłącznie tą linię opisuje powyższe równanie. Obszar BCD123 jest tu „martwy”.

Obszar BCD123 opisuje równanie algebry Boole’a:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd = ~p*~q + ~p*q + p*~q
W powyższej tabeli doskonale wydać że powyższe równanie opisuje zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) w obszarze BCD789. Linia A789 jest w tym przypadku „martwa” i nie bierze udziału w obsłudze spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y).

W obszarze BCD789 łatwo lokalizujemy definicje spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Dokładnie ten sam obszar opisuje równanie algebry Boole’a:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Stąd mamy pełną definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Stąd:
Minimalny układ równań logicznych opisujących pełną definicję operatora AND:
Y=p*q
~Y=~p+~q
W definicji operatora AND parametry p i q muszą być identyczne.

Związek logiki dodatniej (Y) i ujemnej (~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd mamy prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Równanie ogólne operatorów OR i AND:

Kod:

Operator OR ## Operator AND
Y=p+q ## Y=p*q
~Y=~p*~q ## ~Y=~p+~q
W pionie parametry p i q ## W pionie parametry p i q
muszą być identyczne ## muszą być identyczne

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli lewa strona znaku ## nie ma nic wspólnego z prawą strona znaku ##
Parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne (nie muszą być identyczne).

Przykład:
Jeśli wypowiem obietnicę bezwarunkową:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
~Y=~K*~T
stąd:
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T

To ta obietnica nie ma nic wspólnego z taką obietnicą:
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
… a kiedy skłamię?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
~Y=~K+~T
stąd:
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K+~T

6.1 Operator OR w zbiorach

Definicja operatora OR w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y=~p*~q

Definicja operatora OR w zbiorach.

Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y = ~(p+q)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora OR:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Sprawdzenie definicji operatora OR:
A: Y=p+q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1
B: ~Y=~(p+q) = ~[1,2,3,4,5,6] = [7,8] =1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Dziedzina:
Y+~Y = [1,2,3,4,5,6]+[7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1

Równoważny diagram operatora OR:

Y=p*q+p*~q+~p*q
~Y=~p*~q

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
Y = Ya+Yb+Yc
stąd:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
~Y=~(p+q) = ~p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora OR:
Y=p+q = ~(~p*~q)

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem:
A: Ya = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: Yb = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty
C: Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty

Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora OR:
Y = Ya+Yb+Yc
Y=p*q+p*~q+~p*q = [3,4]+[1,2]+[5,6]=[1,2,3,4,5,6]=1
~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8]=[7,8]=1

Na mocy definicji operatora logicznego zapisujemy symboliczną definicje operatora OR w korelacji z naszym diagramem.

Symboliczna definicja operatora OR:

Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A: p* q= Ya
B: p*~q= Yb
C: ~p* q= Yc
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q - wyłącznie obszar ABC123
~Y = ~p*~q - wyłącznie linia D123

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR.
W: Y=p+q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Zero-jedynkowa definicja operatora OR w logice dodatniej (bo Y)

Kod:

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne wejściowe łączymy spójnikiem „i”(*)

Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora OR.

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1

Definicja ta dla dwóch zmiennych spełniona jest wyłącznie w obszarze ABC456, co w tabeli symbolicznej odpowiada zdaniom A, B i C (obszar ABC123):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Ten sam obszar ABC456 (symbolicznie ABC123) opisuje równanie tożsame:
Y=p*q+p*~q+~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już funkcja logiczna Y=1.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora AND.
U: ~Y=~p*~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0
Zero-jedynkowa definicja operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y)

Kod:

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123 jest identyczny jak wyżej.

Zauważmy, że treść zdań A, B, C i D w definicji symbolicznej w tabelach 1 i 2 jest identyczna z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. W tabelach 1 i 2 zmienił się tylko punkt odniesienia w patrzeniu na zdania w zapisie symbolicznym.

Jak widzimy dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
W: Y=p+q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456 - tabela 1)
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
U: ~Y=~p*~q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456 - tabela 2)

Matematycznie zachodzi:
Y=p+q (obszar ABC123) # ~Y=~p*~q (linia ABC123)
bo kolumny wynikowe 6 w tabelach 1 i 2 są różne
gdzie:
# - różne

To jest dowód, iż spójnik logiczny „lub”(+) to tylko połówka operatora OR.
Spójnik „lub”(+) ## Operator OR
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y - obszar ABC456, tabela 1) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y - linia D456, tabela 2).

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora OR:

Kod:

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika “lub”(+) bierze udział wyłącznie obszar ABC456, bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “lub”(+).
W obsłudze zdania wypowiedzianego W:
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
Linia D nie bierze w ogóle udziału, jest „martwa”.

Linia D jest aktywna wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p*~q
Zauważmy że w linii D poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) mamy wyłącznie w linii D789 i tylko ta część całej powyższej tabeli jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Definicję spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) widzimy wyłącznie w linii D789:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Przykład przedszkolaka:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

6.2 Operator AND w zbiorach

Definicja operatora AND w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicja operatora AND w zbiorach.

Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
~Y = ~(p*q)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora AND:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Sprawdzenie definicji operatora AND:
A: Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1
B: ~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]= [1,2,5,6,7,8]=1
C: ~Y=~(p*q) = ~[3,4] = [1,2,5,6,7,8] =1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
bo to dwa rozłączne obszary
Dziedzina:
Y+~Y = [3,4]+[1,2,5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1

Równoważny diagram operatora AND:

Y=p*q
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
~Y = ~Ya+~Yb+~Yc
stąd:
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora AND:
Y=p*q = ~(~p+~q)

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem:
A: Y = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: ~Yb =~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty
C: ~Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Yd = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty

Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora AND:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
~Y = [7,8]+[5,6]+[1,2]= [1,2,5,6,7,8] =1
~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]=[1,2,5,6,7,8]]=1

Na mocy definicji operatora logicznego zapisujemy symboliczną definicje operatora AND.

Symboliczna definicja operatora AND:

Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A: p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Yb
C: ~p* q=~Yc
D: p*~q=~Yd

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q - wyłącznie linia A
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q - wyłącznie linie B, C, D

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND.
W: Y=p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Zero-jedynkowa definicja operatora AND w logice dodatniej (bo Y)

Kod:

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1
2.
Jeśli na danej pozycji występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0

Algorytm odwrotny jest oczywisty.

Algorytm tworzenia definicji symbolicznej ABCD123 na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD456:
1.
Jeśli na danej pozycji występuje 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji występuje 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
3.
W naturalnej logice człowieka zmienne wejściowe łączymy spójnikiem „i”(*)

Tabela ABCD456 to zero-jedynkowa definicja operatora AND.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Definicja ta dla dwóch zmiennych spełniona jest wyłącznie w linii A456, co w tabeli symbolicznej odpowiada zdaniu A (linia A123):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 * q=1

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora OR.
U: ~Y=~p+~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0
Zero-jedynkowa definicja operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y)

Kod:

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ABCD456 z definicji symbolicznej ABCD123 jest identyczny jak wyżej.

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1

Definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) widzimy w obszarze BCD456:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Ten sam obszar BCD456 (symbolicznie BCD123) opisuje równanie tożsame:
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1 lub (p*~q)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już funkcja logiczna ~Y=1.

Zauważmy, że treść zdań A, B, C i D w definicji symbolicznej w tabelach 1 i 2 jest identyczna z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. W tabelach 1 i 2 zmienił się tylko punkt odniesienia w patrzeniu na zdania w zapisie symbolicznym.

Jak widzimy dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
W: Y=p*q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456 - tabela 1)
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem:
U: ~Y=~p+~q
otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456 - tabela 2)

Oczywiście zdania z nagłówka tabel zero-jedynkowych 1 i 2 nie są tożsame czego dowodem formalnym jest brak tożsamości kolumn wynikowych ABCD6
Y=p*q # ~Y=~p+~q
Y# ~Y
gdzie:
# - różne w znaczeniu
Jeśli Y=1 to ~Y=0 - dotrzymam słowa
Jeśli Y=0 to ~Y=1 - kłamstwo

To jest dowód, iż spójnik logiczny „i”(*) to tylko połówka operatora AND.
Spójnik „i”(*) ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja operatora AND:
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y - linia A456, tabela 1) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y - obszar BCD456, tabela 2).

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora AND:

Kod:

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika “i”(*) w logice dodatniej (bo Y) bierze udział wyłącznie linia A456 bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “i”(*).
W obsłudze zdania wypowiedzianego W:
W: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Linie B, C i D nie biorą w ogóle udziału, są „martwe”.

Linie B, C i D są aktywne wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zauważmy, że poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) mamy wyłącznie w obszarze BCD789 i tylko ta część całej powyższej tabeli jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

6.3 Prawo przejścia do logiki przeciwnej

Prawo przejścia do logiki przeciwnej to jedno z najważniejszych praw logiki z którego każdy człowiek korzysta milion razy na dobę.

Obowiązuje ono w całej logice matematycznej, niezależnie od użytego spójnika logicznego.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1.
Operator OR:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
Y = p+q = ~(~p*~q)
2.
Operator AND:
Y=p*q
~Y=~p+~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
Y = p*q = ~(~p+~q)

Wniosek:
W operatorach OR i AND prawo De Morgana mówi o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej dla funkcji logicznej z dowolną ilością zmiennych wyrażonej spójnikami „lub”(+) oraz „i”(*).

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A: Y=p+q(r+~s)
B: Y = p+[q*(r+~s)]
C: ~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
D: ~Y = ~p*(~q+~r*s)
Kolejność wykonywania działań:
„i”(*), „lub”(+)

Algorytm Wuja Zbója:
B: Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
C: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
D: Opuszczamy zbędne nawiasy

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i D mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]

Prawo przejścia do logiki przeciwnej w implikacji prostej:
1.
Implikacja prosta
p=>q
~p~>~q
2.
Złożona implikacja prosta:
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)
W implikacji prostej zachodzi prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
… a to co wyżej to nic innego jak prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej w implikacji odwrotnej:
1.
Implikacja odwrotna
p~>q
~p=>~q
2.
Złożona implikacja odwrotna:
(p+q) ~> (r*s)
(~p*~q)=>(~r+~s)
W implikacji odwrotnej zachodzi prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
… a to co wyżej to nic innego jak prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.

6.4 Operator XOR

Operator XOR opisuje właściwości zbiorów rozłącznych.

Możliwe są tu dwa przypadki:
1.
Istnieje część wspólna zbiorów ~p*~q.
Dziedzina:
p*~q + ~p*q + ~p*~q
2.
Nie istnieje cześć wspólna zbiorów ~p*~q.
Dziedzina:
p*~q + ~p*q

Przypadek 1.
Definicja XOR1 w zbiorach:

Zbiory p i q są rozłączne i istnieje zbiór ~p*~q:
~p*~q=1
Z czego wynika dziedzina:
D=p*~q + ~p*q + ~p*~q

Definicja XOR1 w równaniu algebry Kubusia:
Y=p$q = p*~q+~p*q
~Y=~(p$q)=~p*~q
Gdzie:
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Przykład:
Zdefiniujmy dwa zbiory rozłączne:
p=[1,2]
q=[3,4]
Oraz dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[1,2,5,6]

Prawa nowej teorii zbiorów dla zbiorów rozłącznych:
1.
p*~q =p
Dowód:
p*~q = [1,2]*[1,2,5,6] =[1,2] =p
cnd
2.
~p*q =q
Dowód:
~p*q = [3,4,5,6]*[3,4] = [3,4] =q
cnd

Stąd otrzymujemy:
p$q = p*~q + ~p*q := p+q
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów

Wniosek:
W przypadku XOR1 nie ma znaczenia czy użyjemy spójnika „albo”($) czy też spójnika „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka.
Na mocy nowej teorii zbiorów oba te spójniki znaczą dokładnie to samo.

Realny przykład z życia:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy
P+K=>4L
Oczywiście zbiory pies i kot są rozłączne, ale należą do tej samej dziedziny, tu:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Oczywiście zachodzi:
P*K=1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1 i K=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0.

Zobaczmy co się zmieni jak w naszym przykładowym zdaniu zmienimy P+K na precyzyjne P$K:
A.
Jeśli zwierzę jest psem albo kotem to na pewno ma cztery łapy
P$K=>4L
Oczywiście zbiory pies i kot są rozłączne, ale należą do tej samej dziedziny, tu:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Na mocy definicji spójnika „albo”($) zapisujemy:
P$K = P*~K + ~P*K
ale!
Na mocy nowej teorii zbiorów mamy:
P*~K = P
~P*K = K
stąd:
P$K = P*~K + ~P*K := P+K
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów

Jak widzimy jest rybka, czyli wszystko jedno czy w zdaniu A wyżej, użyjemy spójnika „albo”($), czy też spójnika „lub”(+).
Z tego powodu większość ludzi (prawie wszyscy) używa spójnika „lub”(+) w znaczeniu „albo”($).

Rozważmy zdanie gdzie zbiór ~p*~q jest zbiorem pustym, a nie jak wyżej zbiorem niepustym.
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną albo kobietą
Y = M$K
gdzie:
$ - symbol spójnika „albo” w algebrze Kubusia
Oczywiście nie ma więcej możliwości, bo wykluczony jest przypadek, aby człowiek był jednocześnie kobietą i mężczyzną.
Tu dziedzina:
D=K+M
Nie ma innych możliwości.
Oczywiście dwa zbiory i brak trzeciej możliwości wymusza równoważność o której będzie za chwilę.

Zauważmy, że prawa nowej teorii zbiorów również tu obowiązują:
M$K = M*~K + ~M*K := M+K
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy NTZ

Z tego względu większość ludzi powie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną lub kobietą
Y=M+K
Zauważmy, że tu również obowiązuje prawo przejścia do logiki ujemnej.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~Y=~M*~K
czyli:
Zdanie będzie fałszywe (~Y=1) gdy powiemy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną i nie jest kobietą
~Y=~M*~K

Prawa przejścia do logiki ujemnej w obu przypadkach są niezależne od tego czy użyjemy spójnika „albo”($) czy też spójnika „lub”(+), w obu przypadkach działają doskonale.

Zauważmy, że spójnik „albo”($) jest podzbiorem spójnika „lub”(+).

Definicja spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q

Stąd definicja spójnika „lub”(+) zapisana z wykorzystaniem „albo”($)
Y= p+q = p$q + p*q

Oczywiście mózg człowieka doskonale wyłapie że w przypadku naszego zdania:
K*M=0
p*q=0

Zauważmy, że dla określenia przypadku kiedy zachodzi:
Y=p*q
Mamy specjalny, precyzyjny spójnik „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Z tego powodu nasz mózg używa prawie zawsze spójnika „lub”(+) i prawie zawsze rozumie go jako spójnik „albo”($).

„Prawie” … bo w przykładowym zdaniu wzorcowym dla spójnika „lub”(+) może zajść p*q=1 o czym wszyscy wiemy.
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) mamy:
Y=K+T = K*T + K*~T +~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1

Wszyscy doskonale wiemy, iż tu możliwy jest przypadek pójścia i do kina i do teatru i nie ma tu mowy o żadnym kłamstwie.
Y=K*T =1*1 =1 - przypadek możliwy (oczywiście nie skłamię jak pójdę i tu i tu)

Podobny przykład z naturalnej logiki człowieka:
A.
Jan wszedł i padł martwy
Y=W*P
Spójnik „i”(*) jest w logice przemienny zatem zdanie tożsame:
B.
Jan padł martwy i wszedł
Y=P*W
W zdaniu A mamy następstwo czasowe gdzie nie zachodzi przemienność argumentów. Nasz mózg o tym doskonale wie i używa spójnik krótkiego „i”(*) zamiast długiego „po czym”.

6.5 Nietypowa równoważność

Przypadek 2.
Zbiory p i q są rozłączne z dziedziną:
D=p+q
czyli:
Nie istnieje zbiór ~p*~q:
~p*~q=0

Z założenia mamy tu wyłącznie dwa zbiory p i q, co wymusza nietypową równoważność:
p<=>~q = (p=>~q)*(~p=>q)

Przykład takiego zdania to oczywiście klasyka:
Każdy człowiek jest mężczyzną albo kobietą
M$K = M*~K+~M*K
Nie ma innych możliwości!

Diagram nietypowej równoważności:

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Zamiast założonych zbiorów jak w diagramie zrobimy to od razu na przykładzie z życia, będzie ciekawiej.

RA.
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~M=>K)
Sprawdzamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~K):
M=>~K
A.
Jeśli człowiek jest mężczyzną to na pewno => nie jest kobietą
M=>~K=1
Zbiory:
M=>~K = M*~K=M
M=>~K = M*~K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (M=1 i ~K=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Zbiór M zawiera się w zbiorze ~K
Z czego wynika że bycie mężczyzną jest warunkiem wystarczającym => aby nie być kobietą
stąd:
B.
Jeśli człowiek jest mężczyzną to może ~~> być kobietą
M~~>K =0
Zbiory:
M~~>K = M*K=1*1=0
Oba zbiory istnieją (M=1 i K=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 1

… a jeśli człowiek nie jest mężczyzną.
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Wyłącznie negujemy zmienne w równaniu RA:
~M<=>K = (~M=>K)*(M=>~K)
Prawe strony tożsame, co kończy dowód.
RC
~M<=>K = (~M=>K)*(M=>~K)
Sprawdzamy warunek wystarczający w logice dodatniej (bo K):
~M=>K
C.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną, to na pewno => jest kobietą
~M=>K =1
Zbiory:
~M=>K = ~M*K = ~M = K
~M=>K = ~M*K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~M=1 i K=1) i maja część wspólną co wymusza w wyniku 1
Dodatkowo zbiór ~M zawiera się w zbiorze K bo:
~M=K - zbiory tożsame
Co oznacza że:
Nie bycie mężczyzną wystarcza => aby być kobietą
stąd:
D.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną to może ~~> nie być kobietą
~M~~>~K =0
Zbiory:
~M~~>~K = ~M*~K = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~M=1 i ~K=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0
Dowód:
~M=K
~K=M
stąd:
~M~~>~K = ~M*~K = K*M = 1*1=0
cnd

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem RA otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
RA:
M<=>~K
stąd:
M=1, ~M=0
~K=1, K=0

Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja |Kodowanie
równoważności |zero-jedynkowe
w logice ujemnej bo ~K |definicji symbolicznej
M<=>~K |
M ~K | M ~K M<=>~K
---------------------------------------------
A: M=> ~K =1 | 1 1 =1
B: M~~> K =0 | 1 0 =0
C:~M=> K =1 | 0 0 =1
D:~M~~> ~K =0 | 0 1 =0
1 2 3 4 5 6

6.6 Nietypowa implikacja prosta

Przykład:

Załóżmy dwa zbiory:
p=[1,2]
q=[3,4]
Oraz dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[1,2,5,6]

Przeanalizujmy zdanie:
p=>~q
zakładając że mamy do czynienia z implikacją o definicji:
p=>~q = ~p~>q

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
p=>~q=1
Zbiory:
p=>~q = p*~q = [1,2]*[1,2,5,6]=[1,2] =p
p=>~q = p*~q =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Ogólna definicja znaczka => spełniona bo:
[1,2]=>[1,2,5,6]
Zbiór p zawiera się w zbiorze ~q
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
stad:
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q=0
Zbiory:
p~~>q = p*q = [1,2]*[3,4] =0
p~~>q = p*q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

… a jeśli nie zajdzie p?
Z założenia mamy do czynienia z implikacją, zatem stosujemy prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>q
stąd:
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p~>q =1
Zbiory:
~p~>q = ~p*q = [3,4,5,6]*[3,4] =~p
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
[3,4,5,6]~>[3,4]
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór q
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym dla zajścia q
Zabieram ~p i znika mi q
lub (ostatnia możliwość przeczeń)
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q =1
Zbiory:
~p~~>~q = ~p*~q = [3,4,5,6]*[1,2,5,6] = [5,6] =1
~p~~>~q = ~p*~q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1
Warunek konieczny ~> nie jest tu spełniony bo:
[3,4,5,6]~>[1,2,5,6]
Zbiór ~p nie zawiera w sobie zbioru ~q
stąd:
~p~>~q=0
cnd
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów ~p i ~q.

Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1 bo pies
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory:
P=>~K = P*~K=P
P=>~K = P*~K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~K=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1
Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze „nie kot”
stąd:
Bycie psem wystarcza => aby nie być kotem

Uzasadnienie:
K=1 - istnieje zbiór kotów
~K = ZWZ-K
Oczywiście w takim zbiorze zawiera się zbiór „pies”
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> jest kotem
P~~>K=0 - zbiory rozłączne
Zbiory:
P~~>K = P*K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i K=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

... a jak zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~K = ~P~>K
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> być kotem
~P~>K=1 bo kot
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby być kotem
Zbiory:
~P~>K = ~P*K = K
~P~>K = ~P*K=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i K=1) i maja cześć wspólną (K) co wymusza w wyniku 1
Zbiór ~P*K jest konieczny dla K bo zabieram ~P*K i znika mi zbiór K
Uzasadnienie:
P=1 - istnieje zbiór „pies”
~P = ZWZ-P - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o zbiór psów
~P*K = K
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> nie być kotem
~P~~>~K=1 bo koń, mrówka, wąż..
Zbiory:
~P~~>~K = ~P*~K = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~K=1) i mają część wspólną (ogromną!) co wymusza w wyniku 1
Zbiór ~P nie jest konieczny dla ~K bo zabieram zbiór ~P i zostaje mi jeden element … „pies” który mieści się w zbiorze ~K.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.

Kod:

|P ~K P=>~K
A: P=>~K=1 |1 1 =1
B: P~~>K=0 |1 0 =0
C:~P~> K=1 |0 0 =1
D:~P~~>~K=1 |0 1 =1
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
|P=1, ~P=0
|~K=1, K=0

Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej, w skrócie „jest implikacją prostą”

6.7 Samodzielny warunek wystarczający

Definicja:
Samodzielny warunek wystarczający => to warunek wystarczający => nie wchodzący ani w skład implikacji, ani też w skład równoważności.

Ciekawy jest wyjątek w implikacji zbiorów rozłącznych:
p=>~q
gdzie q jest zbiorem pustym:

Przeanalizujmy przez definicję implikacji następujące zdanie:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
Pies nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
stąd zbiory:
P=>~ML = P*~ML = P
P=>~ML = P*~ML=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~ML=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku 1
Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze ~ML
czyli:
Bycie psem wystarcza aby nie mieć miliona łap

Wyjaśnienia:
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
ML=0 - zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym
~ML = 1 - zbiór wszystkich zwierząt
Uzupełnienie zbioru pustego do dziedziny to zbiór wszystkich zwierząt
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć milion łap
P~~>ML=0
Zbiory:
P*ML=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

... a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~ML= ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML=0
bo zbiory:
~P~>ML = ~P*ML=1*0=0
Zbiór ~P istnieje (~P=1), natomiast zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0), co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A mamy taką sekwencje zer i jedynek:

Kod:

Zdanie A nie może być ani implikacją, ani równoważnością, bo nie ma sekwencji C: (0 0 =0) ani w implikacji, ani w równoważności.
Czym jest zatem zdanie A?
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym prawdziwym o definicji w liniach A i B.
Warunek wystarczający, w przeciwieństwie do warunku koniecznego, może istnieć samodzielnie.

6.8 Pseudo-operator Słonia

Pseudo-operator Słonia umożliwia matematyczny opis figury geometrycznej X przy pomocy definicji figury Y. Pseudo operator Słonia to odpowiednik makro rozkazu w języku asemblera.

Definicja pseudo operatora Słonia:
(~p*r)&p = p&(~p*r) = p*r
Algorytm działania pseudo operatora Słonia:
Ustawiamy polaryzację zmiennych w nawiasie na zgodną z polaryzacją po przeciwnej stronie znaku &

Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR

Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR=(KW)&~BR = (KR*BR)&~BR = KR*~BR

Każda nowa teoria matematyczna potrzebuje jakiegoś spektakularnego zastosowania, zrozumiałego dla przeciętnie zdolnego matematyka.

Przykład zastosowania algebry Kubusia znajdziemy w V części podręcznika:
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia

W dzisiejszej matematyce definicje banalnych czworokątów rodem z pierwszych klas szkoły podstawowej są matematycznie do bani, bo nie są jednoznaczne.

6.9 Obietnice i groźby

Zastosowanie algebry Kubusia w służbie lingwistyki to oddzielny rozdział podręcznika. Myślę, że możemy wyprzedzić czas i zapoznać się z istotą problemu już teraz, bowiem to jest najważniejsze zastosowanie algebry Kubusia na naszej planecie, Ziemi.

Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obsługujące obietnice i groźby.
Podlegają pod nie wszystkie stworzenia żywe od bakterii poczynając.
Zwierzątka które nie posługują się w praktyce tymi definicjami dawno wyginęły.

Definicje obietnicy i groźby

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Znaczenie znaczków => i ~>:
W=>N - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę, z powodu że spełniłeś warunek nagrody
~W~>~N - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~> nie dostać nagrody lub możesz ~~> dostać nagrodę
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)
Jak widzimy znaczenie znaczka => jest identyczne w obu definicjach.

Znaczenie znaczków ~> i =>:
W~>K - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~> zostać ukarany, lub możesz ~~> nie zostać ukarany.
~W=>~K - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli nie spełnisz warunku kary to na pewno => nie zostaniesz ukarany, z powodu że nie spełniłeś warunku kary
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Wyprowadzenie definicji groźby

Definicja obietnicy jest we współczesnej logice poprawna i bezdyskusyjna:
Obietnica = implikacja prosta
To jest nasz pierwszy aksjomat.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
1.
Nagroda to brak kary
N=>~K
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~K=>N
stąd:
N<=>~K = (N=>~K)*(~K=>N)=1*1=1 - równoważność

2.
Kara to brak nagrody
K=>~N
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~N=>K
stąd:
K<=>~N = (K=>~N)*(~N=>K)=1*1=1 - równoważność

Z powyższego mamy:
N=~K
K=~N

Definicja obietnicy:
W=>N = ~W~>~N

Transformujemy definicję obietnicy do definicji groźby:
1.
Zamieniamy w następniku nagrodę na karę
N=~K
~N=K
stąd:
1: W=>~K = ~W~>K

2.
Zamieniamy w poprzedniku warunek dostania nagrody na warunek wykonania kary.
W obietnicy odbiorca pragnie spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => dla otrzymania nagrody.
W groźbie odbiorca pragnie NIE spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => uniknięcia kary.
Stąd mamy:
W (obietnicy) = ~W (groźby)
Wynika z tego że w naszej niedokończonej definicji 1 musimy zanegować W.
~W=>~K = ~(~W)~>K
~W=>~K = W~>K

Stąd:
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~N
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania czekolady.
stąd:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0 - złamanie obietnicy

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C

C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach spójnik „może” ~> jest domyślny i z reguły jest pomijany.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości = akt łaski
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować.

Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje warunek wystarczający =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.

Kod:

p q p~>q p<=q
1 1 =1 =1
1 0 =1 =1
0 0 =1 =1
0 1 =0 =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 6:05, 23 Maj 2013, w całości zmieniany 5 razy

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35368
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Sob 6:20, 11 Maj 2013 Temat postu:

.

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35368
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Sob 6:28, 11 Maj 2013 Temat postu:

..

Powrót do góry

Wyświetl posty z ostatnich:

	Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia	Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

Skocz do:

Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

Regulamin