ŚFiNiA ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.    FAQ   Szukaj   Użytkownicy   Grupy   Galerie   Rejestracja   Profil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości   Zaloguj  Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń          Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35635 Przeczytał: 16 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 8:13, 01 Kwi 2024    Temat postu: Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń Podręcznik logiki matematycznej dla I klasy LO 2024-04-01 Premiera Linki do wszystkich części algebry Kubusia w pdf: 1. Premiera wersji końcowej: 2024-05-30 "Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego" (Stron: 1366): [link widoczny dla zalogowanych] Kod: https://www.dropbox.com/s/hy14p42kup25c32/Kompendium%20algebry%20Kubusia.pdf?dl=0 Pełna wersja algebry Kubusia zawierająca wszystkie możliwe szczegóły w tym temacie. 2. Premiera: 2024-04-01 „Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń” (stron: 160): [link widoczny dla zalogowanych] Kod: https://www.dropbox.com/scl/fi/kgktscz3uhlxdr91hdq1q/AK-Zwiastun-w-pdf.pdf?rlkey=umxrjdxmw4dhb8yh6pp01awdb&dl=0 „Elementarz teorii zdarzeń” to kompendium wiedzy w temacie teorii zdarzeń. 3. Premiera: 2024-04-16 „Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów” (stron 114) [link widoczny dla zalogowanych] Kod: https://www.dropbox.com/scl/fi/71ic2mnqn98lhwdg8cuao/Algebra-Kubusia-dla-5-cio-latk-w-w-pdf.pdf?rlkey=1mis89ihnc1b2ftratvjbt1t5&dl=0 „Elementarz teorii zbiorów” to kompendium wiedzy w temacie teorii zbiorów. 4. Premiera: 2024-08-15 „Algebra Kubusia dla matematyków” (stron 183) [link widoczny dla zalogowanych] Kod: https://www.dropbox.com/scl/fi/2d1t5a5hfd1zgu8046p8k/Algebra-Kubusia-dla-matematyk-w.pdf?rlkey=wloqlepqk810buz0b8sy5gn3d&dl=0 „Algebra Kubusia dla matematyków” to dowód schizofrenii we wszelkich ziemskich logikach Autor: Kubuś ze 100-milowego lasu Rozszyfrowali: Rafal3006 i przyjaciele ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury. Link do forum filozoficznego sfinia z jego niezwykłym regulaminem pozwalającym głosić dowolne herezje bez obawy o bana - tylko i wyłącznie dzięki temu algebra Kubusia została rozszyfrowana: http://www.sfinia.fora.pl/zaprzyjaznione-portale,60/ Na forum śfinia mamy dostęp do pełnej, 18 letniej historii rozszyfrowywania algebry Kubusia. Link do debiutu „Algebry Kubusia” na forum matematyka.pl: [link widoczny dla zalogowanych] Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia: Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Słupek, Fiklit, Yorgin, Exodim, FlauFly, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka, Zefciu i inni. Kluczowi przyjaciele Kubusia, którzy wnieśli największy wkład w rozszyfrowanie algebry Kubusia to: Rafal3006, Wuj Zbój, Volrath, Macjan, Irbisol, Fiklit (kolejność chronologiczna). Spis treści: 1.0 Nowa algebra Boole'a 2.0 Kompendium algebry Kubusia w zdarzeniach 3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach 4.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zdarzeniach 5.0 Implikacja prosta P|=>CH vs implikacja odwrotna CH|~>P 6.0 Obietnice i groźby w zapisach ogólnych 7.0 Groźby i obietnice w zapisach ogólnych Wstęp: Rozszyfrowanie algebry Kubusia to 19 lat dyskusji na forum filozoficznym w Polsce, to około 37 000 postów napisanych wyłącznie w temacie "Logika matematyczna" Algebra Kubusia to podłożenie matematyki pod język potoczny człowieka, czyli coś, o czym matematycy marzą od 2500 lat (od Sokratesa). Krótką historię rozszyfrowania algebry Kubusia znajdziemy w punkcie 37.0 Pełna wersja „Algebry Kubusia - matematyka języka potocznego” to 1363 strony publikacji w pdf, gdzie 100% definicji z zakresu logiki matematycznej jest innych niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemskim matematykom. Trudno zatem się spodziewać, by tak duża publikacja skłoniła ziemskich matematyków do jej przeczytania. Budowa podręcznika „Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń”: Rozdziały 1.0 do 1.7 „Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń” są dokładną kopią z pełnej wersji algebry Kubusia. W elementarzu pominięto aksjomatykę algebry Boole’a umożliwiającą matematyczną minimalizację złożonych funkcji logicznych algebry Boole’a. Uzasadnienie: Mózg każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając, praktycznie zawsze operuje minimalnymi funkcjami algebry Boole’a których nie da się już minimalizować. Funkcje nieminimalne które trzeba minimalizować generuje mózg inżyniera w czasie realizacji złożonych sterowań w bramkach logicznych. Sęk w tym, że takich inżynierów już nie ma, bowiem aktualnie do projektowania najprostszych nawet sterowań używa się mikroprocesorów, które są czym innym niż bramki logiczne. Myślę, że „Elementarz teorii zdarzeń” można czytać ze zrozumieniem poczynając od rozdziału 2.0, gdzie algebra Boole’a jest psu na budę potrzebna, bowiem z definicji nie obsługuje ona zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami koniecznymi ~> i wystarczającymi =>. Kwintesencja „Elementarza teorii zdarzeń” Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obietnic i gróźb sterujące wszelkimi ich poczynaniami, po raz pierwszy w historii ludzkości zaprezentowane w algebrze Kubusia. Celem niniejszej publikacji jest krótkie przedstawienie kwintesencji algebry Kubusia w temacie implikacji prostej p|=>q (obietnice) i implikacji odwrotnej p|~>q (groźby). W „Elementarzu teorii zdarzeń” mamy praktycznie w 100% naturalny język potoczny każdego 5-cio latka. Nie ma tu trudnej dla nie matematyka szczegółowej algebry Boole’a. Z tego powodu myślę, że niniejszy elementarz może być podręcznikiem logiki matematycznej dla I klasy LO. Zobaczmy to na przykładzie z Biblii. Chrystus: A1. Kto wierzy we mnie będzie zbawiony W=>Z =1 Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => Komentarz: W starej i nowej logice matematycznej Chrystus musi zbawić każdego w niego wierzącego, inaczej będzie kłamcą (co w przypadku Boga nie wchodzi w grę). W starej logice matematycznej na mocy Biblii niewierzący w Chrystusa nie mieli żadnej szansy na zbawienie - matematycznie w 100% lądowali w piekle. W nowej logice matematycznej zaprezentowanej w algebrze Kubusia Chrystus może zbawić każdego niewierzącego (nawet Hitlera) i matematycznym kłamcą nie będzie. Oczywiście może zbawić nie oznacza że musi zbawić - wszystko zależy tu od wolnej woli Chrystusa w temacie zbawiania niewierzących. Podsumowując: W algebrze Kubusia znana filozofom idea pustego piekła (Apokatastaza) matematycznie jest możliwa. W niniejszym podręczniku skupimy się na teorii zdarzeń udowadniając poniższą tożsamość pojęć: Algebra Kubusia = Biblia, napisana językiem zrozumiałym dla każdego człowieka Innymi słowy: Wszelkie obietnice i groźby Chrystusa wypowiadane w Biblii są wewnętrznie niesprzeczne i w 100% zgodne z algebrą Kubusia. 0.0 Skorowidz znaczków używanych w „Algebrze Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń” Definicje znaczków używanych w algebrze Kubusia poparto prostymi przykładami, zrozumiałymi dla każdego 5-cio latka. I. Nowa algebry Boole'a związana wyłącznie za spójnikami "lub"(+) i "i"(*) 1. Znaczki elementarne (1.1): 1 = prawda 0 = fałsz (~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym Definicja logiki dodatniej (bo p) i logiki ujemnej (bo ~p) (1.1.1) 2. Spójniki podstawowe "lub"(+) i "i"(*) zgodne z językiem potocznym: (+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym (1.9) (*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym (1.10) 3. Operatory logiczne "lub"(|+) i "i'(|*) definiowane spójnikami podstawowymi "lub"(+) i "i"(*): (|+) - operator "lub"(|+) w języku potocznym (1.9.1) (|*) - operator "i"(|*) w języku potocznym (1.10.1) II. Algebra Kubusia obsługująca zdania warunkowe "Jeśli p to q" Definicja spójnika implikacyjnego: Spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}: 1. Elementarne spójniki implikacyjne: =>, ~> ~~> - zdarzenie możliwe w teorii zdarzeń (2.2.1) => - warunek wystarczający (2.2.2) ~> - warunek konieczny (2.2.3) 2. Podstawowe spójniki implikacyjne: |=>, |~> definiowane spójnikami elementarnymi |=> - implikacja prosta (3.1 ) |~> - implikacja odwrotna (4.1) 3. Operatory implikacyjne: ||=>, ||~> definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi. ||=> - operator implikacji prostej (3.1.1) ||~> - operator implikacji odwrotnej (4.1.1) Pozostałe znaczki algebry Kubusia: # - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (2.5.1) ## - różne na mocy definicji (2.5.1) ### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia (2.12) Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 21:29, 15 Sie 2024, w całości zmieniany 58 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35635 Przeczytał: 16 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 8:16, 01 Kwi 2024    Temat postu: Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń 1.0 Nowa algebra Boole'a Spis treści 1.0 Nowa algebra Boole’a 2 1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 2 1.1.1 Definicja negacji 3 1.1.2 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych 4 1.2 Prawa Prosiaczka 5 1.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 6 1.3 Fundamenty algebry Boole'a 7 1.3.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 7 1.3.2 Prawo negacji funkcji logicznej Y 8 1.3.3 Ogólna definicja logiki matematycznej 9 1.4 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x 9 1.4.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x 10 1.4.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych 10 1.4.3 Zasady kodowania zdań twierdzących 11 1.5 Funkcje Y=x i operatory Y|=x jednoargumentowe 12 1.5.1 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p 12 1.5.2 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p 13 1.5.3 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p 14 1.5.4 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych 15 1.5.5 Prawo Sokoła 16 1.6 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 16 1.7 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka 17 1.7.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola 20 1.7.2 Prawo Sokoła 21 1.7.3 Definicja poprawnej budowy funkcji logicznej Y 21 1.8 Definicja funkcji logicznej Y=f(x) definiowanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 22 1.8.1 Definicja operatora Y|=f(x) definiowanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 22 1.9 Definicja spójnika „lub”(+) Y=K+T 22 1.9.1 Definicja operatora „lub”(|+) Y|=K+T 23 1.10 Definicja spójnika „i”(*) Y=K*T 24 1.10.1 Definicja operatora „i”(|*) Y|=K*T 24 1.0 Nowa algebra Boole’a Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki). Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka. Innymi słowy: Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>. Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków: Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków: 1 = prawda 0 = fałsz „nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym: „i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym „lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym Dlaczego nowa algebra Boole’a? 1. W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków: Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce Dowód tego faktu na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 1.9 (sterowanie windą). 2. Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1 3. Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.5.4 i 1.7) 1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 1 = prawda 0 = fałsz Gdzie: 1##0 Prawda (1) jest różna na mocy definicji ## od fałszu (0) Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0: 1 = ~0 0 = ~1 (~) - negacja Innymi słowy: Prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0) Fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1) Definicja stałej binarnej: Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1) Pani w przedszkolu: Pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K) Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe Pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K) Y = K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe Gdzie: Y - stała binarna Definicja zmiennej binarnej: Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1. Zachodzi tożsamość pojęć: zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa 1.1.1 Definicja negacji Zero-jedynkowa tabela prawdy: Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej. W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera. Kod: DN Definicja negacji:    p # ~p A: 1 #  0 B: 0 #  1    1    2 Gdzie: # - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony Definicja znaczka w logice matematycznej: Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową Definicja znaczka różne #: Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony p#~p Dowodem jest tu definicja negacji DN. Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p): Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana. Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p) Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi. Dowód: W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1). W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2) Stąd mamy: Definicja osi czasu w logice matematycznej W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zero-jedynkowa zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną. W logice matematycznej odpowiednikiem układu Kartezjańskiego są wykresy czasowe. Dowód na przykładzie (strona 5): Kod: https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn54ls193-sp.pdf 1.1.2 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwukierunkowego negatora „O”. Zachodzi tożsamość znaczków: # = O Kod: Realizacja dwukierunkowego negatora „O” w bramkach logicznych               ----- p --x-------->| ~ |o-x--> ~p     |         -----  |     |                |     | p=~(~p) -----  |     -<-------o| ~ |<-x--- ~p               ----- Gdzie: „O” - symbol dwukierunkowego negatora o budowie jak wyżej "o"(~) - symbole negacji w technice „o” i w języku potocznym „~” --->| - wejście bramki logicznej negatora (~) |o--> - wyjście bramki logicznej negatora (~) W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC) na przykład typu SN7406. Wyjście OC musi być podparte rezystorem do Vcc. W świecie rzeczywistym podajemy sygnały cyfrowe {0,1} na wejściu negatora p albo ~p obserwując co jest na jego wyjściu. Wszystko musi być zgodne z definicją DN. Matematyczne związki między p i ~p: a) Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony p#~p b) Prawo podwójnego przeczenia: p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p) c) Prawo zaprzeczenia logiki dodatniej (bo p): ~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p) Dowód w rachunku zero-jedynkowym: Kod: Matematyczne związki w definicji negacji:    p ~p ~(~p) ~(p) A: 1  0    1    0 B: 0  1    0    1    1  2    3    4 Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia: p=~(~p) Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa negacji logiki dodatniej (bo p): ~p=~(p) Uwaga: Budowa dwukierunkowego transmitera w bramkach logicznych będzie identyczna jak wyżej lecz z układem SN7407 w miejsce układu SN7406. 1.2 Prawa Prosiaczka I Prawo Prosiaczka: Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p) (p=1) = (~p=0) ## II Prawo Prosiaczka: Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~p) (p=0) = (~p=1) Gdzie: ## - różne na mocy definicji Zauważmy, że negując dwustronnie I prawo Prosiaczka dalej będziemy w I prawie Prosiaczka bez możliwości przejścia do II prawa Prosiaczka, stąd znak różne na mocy definicji ## Dowód: I prawo Prosiaczka: (p=1)=(~p=0) Negujemy dwustronnie: (~p=0)=(p=1) - dalej jesteśmy w I prawie Prosiaczka, bez możliwości dojścia do II prawa Prosiaczka ## Identycznie będziemy mieli w II prawie Prosiaczka. II prawo Prosiaczka: (p=0)=(~p=1) Negujemy dwustronnie: (~p=1)=(p=0) - dalej jesteśmy w II prawie Prosiaczka, bez możliwości dojścia do I prawa Prosiaczka Gdzie: ## - różne na mocy definicji Definicja znaczka różne na mocy definicji ##: Znaczek różne na mocy definicji ## to brak matematycznych powiązań między prawą i lewą stroną znaczka ## Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej. Uwaga: Prawa Prosiaczka mają swoją precyzyjną definicję zero-jedynkową w tabeli wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych (pkt. 1.4.2) Linie A3B3 i A4B4 w tej tabeli to bezcenne zero-jedynkowe definicje praw Prosiaczka, czego dowód mamy wyżej. 1.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki Rozważmy żarówkę istniejącą w naszym pokoju Przyjmijmy znaczenie symboli: S - żarówka świeci ~S - żarówka nie świeci Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z językiem potocznym człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie. Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie: A. S - żarówka świeci Co w logice jedynek oznacza: S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S) Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka: (S=1)=(~S=0) Czytamy: ~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S) Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni: (S=1) = (~S=0) ## Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie: B. ~S - żarówka nie świeci Co w logice jedynek oznacza: ~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S) Zdanie tożsame na mocy prawa Prosiaczka: (~S=1)=(S=0) Czytamy: S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S) Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni: (~S=1) = (S=0) Gdzie: ## - różne na mocy definicji Innymi słowy: Pojęcie "żarówka świeci" (S=1) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia "żarówka nie świeci" (~S=1) 1.3 Fundamenty algebry Boole'a Kluczowe znaczki algebry Boole’a to definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka. Kod: Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):    p* q  Y=p*q A: 1* 1  1 B: 1* 0  0 C: 0* 1  0 D: 0* 0  0 Y=1 <=> p=1 i q=1 inaczej: Y=0 Kod: Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):    p+ q  Y=p+q A: 1+ 1  1 B: 1+ 0  1 C: 0+ 1  1 D: 0+ 0  0 Y=1 <=> p=1 lub q=1 inaczej: Y=0 Gdzie: <=> - wtedy i tylko wtedy 1.3.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: Definicja wyrażenia algebry Boole'a: Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+) Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a f(x) w osi czasu. W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y. Przykład: f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a f(x)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a Stąd na mocy definicji funkcji logicznej mamy: Y = f(x) = p*q+~p*~q Zapis tożsamy: Y = p*q+~p*~q W szczególnym przypadku funkcja logiczna Y może być stałą binarną, gdy w kolumnie opisującej symbol Y są same jedynki albo same zera. Ogólna definicja dziedziny D: Pojęcie ~x jest uzupełnieniem dla pojęcia x do wspólnej dziedziny D oraz pojęcia x i ~x są rozłączne x+~x =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna) x*~x =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna) Definicja dziedziny w zbiorach: Zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D oraz zbiory p i ~p są rozłączne. Czyli: Y = p+~p =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna) Y = p*~p =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna) W algebrze Kubusia zdanie zawsze prawdziwe (Y=1) oraz zdanie zawsze fałszywe (Y=0) to bezużyteczne śmieci zarówno w matematyce, jak i w języku potocznym Dowód na przykładzie. Rozważmy dwa zbiory: TP - zbiór trójkątów prostokątnych (TP) ~TP - zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) Wspólna dziedzina: ZWT - zbiór wszystkich trójkątów Definicja dziedziny w zbiorach: Zbiór ~TP jest uzupełnieniem zbioru TP do wspólnej dziedziny ZWT oraz zbiory TP i ~TP są rozłączne w dziedzinie ZWT. Czyli: Twierdzenie T1: Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) lub nie jest prostokątny (~TP) Y = TP+~TP = ZWT =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna) Twierdzenie T2: Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) i nie jest prostokątny (~TP) Y = TP*~TP =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna) Wartość matematyczna twierdzeń T1 i T2 jest zerowa (śmieci). Analogia do programowania: Nie da się napisać najprostszego nawet programu dysponując wyłącznie stałymi binarnymi, o z góry wiadomej wartości logicznej. Definicja bramki logicznej: Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach binarnych {p,q,r..} i tylko jednym wyjściu binarnym Y Matematycznie zachodzi tożsamość: funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y Zwyczajowe zmienne binarne w technice to: p, q, r … - wejścia bramki logicznej Y - wyjście bramki logicznej Przykład: Y = p*q+~p*~q 1.3.2 Prawo negacji funkcji logicznej Y Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y): Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana. W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) Prawo negacji funkcji logicznej Y: Dowolną funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) wolno nam dwustronnie zanegować przechodząc do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie. 1.3.3 Ogólna definicja logiki matematycznej Ogólna definicja logiki matematycznej: Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanego tzn. nieznanej przyszłości albo nieznanej przeszłości. Nie wszystko w czasie przeszłym jest nam wiadome - logika matematyczna służy tu do ustalenia co się w przeszłości zdarzyło Przykład: Poszukiwanie mordercy Po długich poszukiwaniach mordercy, Kowalskiemu udowodniono zabójstwo x-a, i się do tego przyznał. Po co komu potrzebna jest tu dalsza logika matematyczna prowadząca do wykrycia znanego już wszystkim zabójcy x-a? Stąd mamy: Prawo Nietoperza: Jeśli znamy zaistniałe w przeszłości fakty to żadna logika matematyczna ich nie zmieni. Przykład: Hitler - wiemy kim był i co zrobił, to jest fakt, którego żadna logika matematyczna nie zmieni 1.4 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x Prawo Lwa: Warunkiem koniecznym zrozumienia logiki matematycznej jest jej znajomość na poziomie funkcji logicznych jednoargumentowych. Zainteresowanym polecam teorię operatorów jednoargumentowych w rachunku zero-jedynkowym zawartą w punkcie 20.0 W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej x Y=x Gdzie: x = {p, ~p, 1, 0} Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x Funkcja logiczna jednoargumentowa Y=x to odpowiedź na pytanie o Y. Kiedy zajdzie Y? A1. Y=x Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie x Gdzie: x = {p, ~p, 1, 0} Wszystkie możliwe funkcje jednoargumentowe to: Y=p - transmisja, na wyjściu Y mamy zawsze niezanegowany sygnał p Y=~p - negacja, na wyjściu Y mamy zawsze zanegowany sygnał p (~p) Y=1 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 1 Y=0 - stała binarna, na wyjściu Y mamy zawsze 0 1.4.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x: Operator logiczny jednoargumentowy Y|=x to układ równań logicznych Y=x i ~Y=~x dający odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y Kiedy zajdzie Y? A1. Y=x Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie x # .. a kiedy zajdzie ~Y? Negujemy dwustronnie jednoargumentową funkcję logiczną A1. B1. ~Y = ~x Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~x Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony 1.4.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych Zapiszmy wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe w tabeli prawdy Kod: TJ Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych Operator transmisji Y|=p A1:  Y= p         #  B1: ~Y=~p     ##                   ## Operator negacji Y=|~p A2:  Y=~p         #  B2: ~Y= p     ##                   ## Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna) A3:  Y=1          #  B3: ~Y=0     ##                   ## Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna) A4:  Y=0          #  B4: ~Y=1 Matematycznie zachodzi tożsamość: ~Y=~(Y) ~p=~(p) Stąd mamy: p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony ## - różne na mocy definicji Definicja znaczka różne #: Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony Definicja znaczka różne na mocy definicji ##: Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej Doskonale widać, że w tabeli TJ definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione. Linie A3B3 i A4B4 to bezcenne zero-jedynkowe definicje prawa Prosiaczka, czego dowód znajdziemy w punkcie 1.2. Znaczenie alternatywne: Linie A3B3 i A4B4 to stałe binarne, w logice matematycznej totalnie bezużyteczne czego dowód mieliśmy w punkcie 1.3.1. 1.4.3 Zasady kodowania zdań twierdzących Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y): Funkcja logiczna zapisana jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana. Inaczej zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y) Przykłady: tabela TJ Definicja logiki jedynek w języku potocznym: Z logiką jedynek w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie zmienne występujące w zdaniu sprowadzone są do wartości logicznej 1. Jedynki są w logice matematycznej domyślne i możemy je pominąć. Innymi słowy: Wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie Sprowadzenie wszystkich zmiennych do wartości logicznej 1 umożliwiają prawa Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej lub stałej binarnej (1.1) (p=1)=(~p=0) (p=0) = (~p=1) Przykłady: 1. Jutro nie pójdziemy do kina Y=~K Co w logice dodatniej oznacza: Y=1 <=> ~K=1 – to jest logika jedynek bo ~K=1 Prawo Prosiaczka: (~K=1) = (K=0) Stąd zapis tożsamy: Y=1 <=> K=0 – to nie jest logika jedynek bo K=0 2. Jutro pójdziemy do kina Y=K Co w logice dodatniej oznacza: Y=1 <=> K=1 – to jest logika jedynek bo K=1 Prawo Prosiaczka: (K=1)=(~K=0) Stąd zapis tożsamy: Y=1 <=> ~K=0 – to nie jest logika jedynek bo ~K=0 Prawo Żyrafy: Kodowanie zdań twierdzących w języku potocznym: Wszelkie zdania twierdzące w języku potocznym kodujemy matematycznie wyłącznie w postaci funkcji logicznych. Y=f(x) Gdzie: f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole’a np. f(x) = p*q + ~p*~q Niedozwolone jest kodowanie zdań twierdzących w postaci samego wyrażenia f(x) bowiem prowadzi to do wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej w postaci prawa Grzechotnika (pkt. 1.5.4) 1.5 Funkcje Y=x i operatory Y|=x jednoargumentowe Z tabeli wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych zajmiemy się wyłącznie liniami A1A2 i B1B2. 1.5.1 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p Definicja transmitera: Transmiter to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze niezanegowany sygnał wejściowy p (Y=p) Realizacja rzeczywista: SN7407 (Strona 1: Y=p) Kod: https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn7407.pdf Definicja matematyczna: Funkcja logiczna transmitera Y=p w logice dodatniej (bo Y) to funkcja definiowana tabelą prawdy: Kod: FT Funkcja transmisji Y=p Wejście |Wyjście         | A1: p # ~p  | Y=p 1 #  0  | 1 0 #  1  | 0 Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Na wyjściu Y mamy tu zawsze niezanegowany sygnał p (Y=p) Definicja operatora transmisji Y|=p: Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych Y=p i ~Y=~p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej: Kod: OT Definicja operatora transmisji: Y|=p Wejście    |Wyjście            | A1:   B1:    p # ~p  | Y=p # ~Y=~p A: 1 #  0  | 1   #  0 B: 0 #  1  | 0   #  1    1    2    3      4 Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Doskonale tu widać że: A1: Y=p co w logice jedynek oznacza: Y=1 <=> p=1 # … kiedy zajdzie ~Y? Negujemy dwustronnie równanie A1. B1: ~Y=~p co w logice jedynek oznacza: ~Y=1 <=> ~p=1 1.5.2 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p Definicja negatora: Negator to bramka logiczna jednowejściowa gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze zanegowany sygnał wejściowy p (Y=~p) Realizacja rzeczywista: SN7406 (strona 2: Y=~p) Kod: https://www.ti.com/lit/ds/symlink/sn7406.pdf Definicja matematyczna: Funkcja logiczna negatora Y=~p to funkcja definiowana tabelą prawdy: Kod: FN Funkcja negatora Y=~p Wejście |Wyjście         | A2: p # ~p  | Y=~p 1 #  0  | 0 0 #  1  | 1 Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Na wyjściu Y mamy tu zawsze zanegowany sygnał p (Y=~p) Definicja operatora negacji Y|=~p: Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych Y=~p i ~Y=p dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej: Kod: ON Definicja operatora negacji: Y|=~p Wejście    |Wyjście            | A2:    B2:    p # ~p  | Y=~p # ~Y=p A: 1 #  0  | 0    #  1 B: 0 #  1  | 1    #  0    1    2    3       4 Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Doskonale tu widać że: A2: Y=~p co w logice jedynek oznacza: Y=1 <=> ~p=1 # … kiedy zajdzie ~Y? Negujemy dwustronnie równanie A2. B2: ~Y=p co w logice jedynek oznacza: ~Y=1 <=> p=1 1.5.3 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p Kod: OT Zamknięty świat operatora transmisji Y|=p Definicja operatora transmisji: Y|=p Wejście |Wyjście         | A1:   B1: p # ~p  | Y=p # ~Y=~p 1 #  0  | 1   #  0 0 #  1  | 0   #  1 Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Zamknięty świat oznacza tu, że żadne zdanie z operatora negacji Y|=~p nie ma prawa znaleźć się w operatorze transmisji Y|=p ## Kod: ON Zamknięty świat operatora negacji Y|=~p Definicja operatora negacji: Y|=~p Wejście |Wyjście         | A2:    B2: p # ~p  | Y=~p # ~Y=p 1 #  0  | 0    #  1 0 #  1  | 1    #  0 Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Zamknięty świat oznacza tu, że żadne zdanie z operatora transmisji Y|=p nie ma prawa znaleźć się w operatorze negacji Y|=~p Matematycznie zachodzi tożsamość: ~Y=~(Y) ~p=~(p) Stąd mamy: Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony ## - różne na mocy definicji Zauważmy, że jeśli pominiemy nagłówki albo uwzględnimy wyłącznie prawe strony funkcji logicznych Y i ~Y to kolumna A1 będzie tożsama z kolumną B2. Jeśli uwzględnimy nagłówki to relacja kolumn A1 i B2 nie będzie tożsamościowa mimo że zero-jedynkowo kolumny te są identyczne. A1: Y=p ## B2: ~Y=p Gdzie: ## - różne na mocy definicji Zapiszmy tabele OT i ON w symbolicznej tabeli prawdy: Kod: OTON: A1: Y= p # B1: ~Y=~p     ##         ## A2: Y=~p # B2: ~Y= p Matematycznie zachodzi tożsamość: ~Y=~(Y) ~p=~(p) Stąd mamy: Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia Definicja znaczka różne #: Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony Definicja znaczka różne na mocy definicji ##: Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej Tożsama definicja znaczka różne na mocy definicji ##: Dwie funkcje logiczne w tej samej logice, dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame. Kod: A1: Y= p ## A2: Y=~p B1:~Y=~p ## B2:~Y= p Gdzie: ## - różne na mocy definicji W tabeli OTON widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione. Doskonale też widać, że wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ## 1.5.4 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć Alfred Hitchcock. Prawo Grzechotnika: Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych. Dowód: Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y. Innymi słowy: Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y. Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli OTON Kod: OTON": A1:  p # B1: ~p A2: ~p # B2:  p Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Doskonale widać, że w tabeli OTON" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych. W tabeli OTON” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y. To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych. 1.5.5 Prawo Sokoła Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła. Prawo Sokoła: Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie niesprzeczna na poziomie funkcji logicznych. W punkcie 24.0 znajdziemy dużą ilość ćwiczeń w temacie prawa Grzechotnika, które obowiązuje dla dowolnych funkcji logicznych n-argumentowych. 1.6 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka: W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań. Innymi słowy: W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka Przykład konsekwentnego stosowania standardu dodatniego w języku potocznym mamy w następnym punkcie. 1.7 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka Kod: OT Zamknięty świat operatora transmisji Y|=p Definicja operatora transmisji: Y|=p Wejście |Wyjście         | A1:   B1: p # ~p  | Y=p # ~Y=~p 1 #  0  | 1   #  0 0 #  1  | 0   #  1 Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Zamknięty świat oznacza tu, że żadne zdanie z operatora negacji Y|=~p nie ma prawa znaleźć się w operatorze transmisji Y|=p ## Kod: ON Zamknięty świat operatora negacji Y|=~p Definicja operatora negacji: Y|=~p Wejście |Wyjście         | A2:    B2: p # ~p  | Y=~p # ~Y=p 1 #  0  | 0    #  1 0 #  1  | 1    #  0 Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Zamknięty świat oznacza tu, że żadne zdanie z operatora transmisji Y|=p nie ma prawa znaleźć się w operatorze negacji Y|=~p Matematycznie zachodzi tożsamość: ~Y=~(Y) ~p=~(p) Stąd mamy: Zmienne p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony ## - różne na mocy definicji Prawo Grzechotnika: Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych. W niniejszym punkcie zajmiemy się dowodem prawa Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych Y=p i Y=~p na konkretnym przykładzie, doskonale rozumianym przez każdego 5-cio latka. Zadanko Kubusia: Dane są dwa zdania pań przedszkolanek z dwóch różnych przedszkoli A1 i A2. Pani w przedszkolu A1: A1. Jutro pójdziemy do kina Pani w przedszkolu A2: A2. Jutro nie pójdziemy do kina Treść polecenia: Zapisz w funkcjach logicznych kiedy panie dotrzymają słowa a kiedy skłamią? Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie. Niezbędna teoria: Kod: OT Definicja operatora transmisji: Y|=p Wejście |Wyjście         | A1:   B1: p # ~p  | Y=p # ~Y=~p Przykład który za chwilkę zrobimy p=K: K # ~K  | Y=K # ~Y=~K 1 #  0  | 1   #  0 0 #  1  | 0   #  1 Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Pani w przedszkolu A1: A1. Jutro pójdziemy do kina Y=K co w logice jedynek oznacza: Y=1 <=> K=1 - doskonale to widać w tabeli OT Czytamy: Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) # Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)? Negujemy równanie A1 stronami: B1. ~Y=~K co w logice jedynek oznacza: ~Y=1 <=> ~K=1 - doskonale to widać w tabeli OT Czytamy: Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) ## Niezbędna teoria: Kod: ON Definicja operatora negacji: Y|=~p Wejście |Wyjście         | A2:    B2: p # ~p  | Y=~p # ~Y=p Przykład który za chwilkę zrobimy p=K: K # ~K  | Y=~K # ~Y=K 1 #  0  | 0    #  1 0 #  1  | 1    #  0 Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Pani w przedszkolu A2: A2. Jutro nie pójdziemy do kina Y=~K co w logice jedynek oznacza: Y=1 <=> ~K=1 - doskonale to widać w tabeli ON Czytamy: Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) # Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)? Negujemy równanie A2 dwustronnie. ~Y=K Stąd mamy: B2. Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) ~Y=K co w logice jedynek oznacza: ~Y=1 <=> K=1 - doskonale to widać w tabeli ON Czytamy: Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) Gdzie: Zmienne Y i K muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi, inaczej błąd podstawienia # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony ## - różne na mocy definicji Znaczenie zmiennych Y i K w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p): Y - pani dotrzyma słowa (Y=1) ~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) K - jutro pójdziemy do kina (K=1) ~K - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) Definicja dziedziny D dla zdarzeń: Dziedzina D dla zdarzeń to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń jakie mogą wystąpić K+~K =D =1 - zdanie zawsze prawdziwe (stała binarna) K*~K =[] =0 - zdanie zawsze fałszywe (stała binarna) Zauważmy, że pojęcia K (kino) i ~K (nie kino) nie są zdaniami. Zdaniami są dopiero funkcje logiczne Y=x Matematycznie zachodzi: Kod: Zdarzenie x ## funkcja logiczna Y=x Gdzie: x={K,~K} - zmienne wejściowe dla funkcji logicznej Y=x ## - różne na mocy definicji Zapiszmy dialogi pań z przedszkola A1 i A2 w tabeli prawdy: Kod: T1 Pani w przedszkolu A1: A1: Y= K   #  B1: ~Y=~K     ##            ## Pani w przedszkolu A2: A2: Y=~K   #  B2: ~Y= K Matematycznie zachodzi tożsamość: ~Y=~(Y) ~K=~(K) Stąd mamy: K, Y muszą być wszędzie tymi samymi K, Y inaczej błąd podstawienia Definicja znaczka #: Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Definicja znaczka różne na mocy definicji ##: Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione. Jak widzimy wyżej, wprowadzenie do logiki matematycznej funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej znaczków # i ## 1.7.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola Prawo Grzechotnika: Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych. Dowód: Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y. Innymi słowy: Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y. Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli T1. Kod: T1" Pani w przedszkolu A1: A1:  K   #  B1: ~K Pani w przedszkolu A2: A2: ~K   #  B2:  K Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Doskonale widać, że w tabeli T1" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych. To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych. Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła. 1.7.2 Prawo Sokoła Prawo Sokoła: Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie niesprzeczna na poziomie funkcji logicznych. 1.7.3 Definicja poprawnej budowy funkcji logicznej Y Zapiszmy jeszcze raz początek dialogu z przedszkola A1. Pani w przedszkolu A1: A1. Jutro pójdziemy do kina Y=K co w logice jedynek oznacza: Y=1 <=> K=1 Czytamy: Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) Sprawdźmy, czy poprawny jest następujący zapis funkcji logicznej A1: A1”: Y=1 <=> K Sprawdźmy, czy możliwe jest przejście z zapisem A1" do logiki ujemnej (bo ~Y=1). 1. Negujemy dwustronnie zapis A1": B1": ~Y=0 <=> ~K Na mocy prawa Prosiaczka mamy: (~Y=0) = (Y=1) Stąd mamy: B1”: Y=1 <=> ~K Wniosek: Niemożliwe jest przejście z równaniem A1” do logiki ujemnej (bo ~Y=1) cnd Stąd mamy: Definicja poprawnej budowy funkcji logicznej Y: Funkcja logiczna Y jest poprawnie zbudowana wtedy i tylko wtedy gdy operuje na zmiennych binarnych, czyli nie zawiera choćby jednego wartościowania jakiejkolwiek zmiennej binarnej. Przykład: Y=K - to jest poprawnie zbudowana funkcja logiczna Y Y=1 <=> K - to jest fałszywa funkcja logiczna Y Identycznie będziemy mieli dla dowolnej funkcji n-argumentowej. To jest poprawnie zapisana funkcja logiczna dwuargumentowa: Y=p*q+~p*~q To jest błędnie zapisana funkcja logiczna dwuargumentowa: Y=1 <=> p*q + ~p*~q bo zawiera jedno wartościowanie zmiennej binarnej (tu Y) co wystarczy, aby uznać ją za fałszywą funkcję logiczną Y. 1.8 Definicja funkcji logicznej Y=f(x) definiowanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y): Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana. W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) Definicja funkcji logicznej Y=f(x): Funkcja logiczna Y=f(x) to odpowiedź na pytanie o Y 1. Kiedy zajdzie Y? Y=f(x) - zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie f(x) 1.8.1 Definicja operatora Y|=f(x) definiowanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) Definicja operatora Y|=f(x) definiowanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+): Operator logiczny Y|=f(x) to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y Definicja funkcji logicznej Y=f(x): Funkcja logiczna Y=f(x) to odpowiedź na pytanie o Y 1. Kiedy zajdzie Y? Y=f(x) - zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie f(x) # Kiedy zajdzie ~Y? Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1: 2. ~Y=~f(x) - zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~f(x) Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony W dalszej części omówimy na przykładach najważniejsze definicje spójników logicznych i operatorów logicznych dwuargumentowych. 1.9 Definicja spójnika „lub”(+) Y=K+T Definicja spójnika „lub”(+) Y=K+T: Spójnik „lub”(+) Y=K+T to odpowiedź na pytanie o Y (dotrzymanie słowa): Pani w przedszkolu: 1. Jutro pójdziemy do kina lub do teatru Y=K+T Czytamy: Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T) 1.9.1 Definicja operatora „lub”(|+) Y|=K+T Definicja operatora „lub”(|+) Y|=K+T: Operator „lub”(|+) Y|=K+T to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y: Definicja spójnika „lub”(+) Y=K+T: Spójnik „lub”(+) Y=K+T to odpowiedź na pytanie o Y (dotrzymanie słowa): Pani w przedszkolu: 1. Jutro pójdziemy do kina lub do teatru Y=K+T Czytamy: Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T) Innymi słowy: Wystarczy, że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y). Stąd wszystkie zdarzenia rozłączne w których pani dotrzyma słowa (Y) to: 1”: Y = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T Czytamy: Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy: Ya=A: K*T=1 - jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T) lub Yb=B: K*~T=1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T) lub Yc=C: ~K*T=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T) Wszystkie możliwe przypadki w których pani dotrzyma słowa (Y) to suma logiczna funkcji cząstkowych: Y = Ya+Yb+Yc # Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)? Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1. ~Y = ~(K+T) = ~K*~T - na mocy prawa De Morgana. Stąd mamy: 2. D: ~Y=~K*~T Czytamy: Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T). Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Kod: 1: Y=K*T # 2: ~Y=~K*~T Znaczenie zmiennej binarnej Y: Y - pani dotrzyma słowa Y ~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y Bonus: Dowód „nie wprost” serii zdarzeń rozłącznych w których pani dotrzyma słowa (Y). Zauważmy, że zdanie 2 to jedno, jedyne zdarzenie w którym pani nie dotrzyma słowa (~Y): 2: ~Y=~K*~T W pozostałych rozłącznych zdarzeniach możliwych pani na 100% dotrzyma słowa (Y). Te pozostałe rozłączne zdarzenia możliwe to: 1”: Y = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T cnd 1.10 Definicja spójnika „i”(*) Y=K*T Definicja spójnika „i”(*) Y=K*T: Spójnik „i”(*) Y=K*T to odpowiedź na pytanie o Y (dotrzymanie słowa): Pani w przedszkolu: 1. Jutro pójdziemy do kina i do teatru A: Y=K*T Czytamy: Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T) 1.10.1 Definicja operatora „i”(|*) Y|=K*T Definicja operatora „i”(|*) Y|=K*T: Operator „i”(|*) Y|=K*T to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y: Definicja spójnika „i”(*) Y=K*T: Spójnik „i”(*) Y=K*T to odpowiedź na pytanie o Y (dotrzymanie słowa): Pani w przedszkolu: 1. Jutro pójdziemy do kina i do teatru A: Y=K*T Czytamy: Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T) # Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)? Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1. ~Y = ~(K*T) = ~K+~T - na mocy prawa De Morgana Stąd mamy: 2. ~Y=~K+~T Czytamy: Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T). Wystarczy że nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani nie dotrzyma słowa (~Y). Stąd: Wszystkie możliwe przypadki w zdarzeniach rozłącznych w których pani nie dotrzyma słowa (~Y) to: 2”: ~Y = B: ~K*~T + C: ~K*T + D: K*~T Czytamy: Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy: ~Yb=A: ~K*~T=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T) lub ~Yc=C: ~K*T=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T) lub ~Yd=D: K*~T=1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T) Wszystkie możliwe przypadki w których pani nie dotrzyma słowa (~Y) to suma logiczna funkcji cząstkowych: ~Y = ~Yb+~Yc+~Yd Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Kod: 1: Y=K*T # 2: ~Y=~K+~T Znaczenie zmiennej binarnej Y: Y - pani dotrzyma słowa Y ~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y Bonus: Dowód „nie wprost” serii zdarzeń rozłącznych w których pani nie dotrzyma słowa (~Y). Zauważmy, że zdanie 1 to jedno, jedyne zdarzenie w którym pani dotrzyma słowa (Y): 1: Y=K*T W pozostałych rozłącznych zdarzeniach możliwych pani na 100% nie dotrzyma słowa (Y). Te pozostałe rozłączne zdarzenia możliwe to: 2”: ~Y = B: ~K*~T + C: ~K*T + D: K*~T cnd Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 23:15, 31 Sie 2024, w całości zmieniany 41 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35635 Przeczytał: 16 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 8:18, 01 Kwi 2024    Temat postu: Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń 2.0 Kompendium algebry Kubusia w zdarzeniach Spis treści 2.0 Kompendium algebry Kubusia w zdarzeniach 1 2.1 Skorowidz znaczków implikacyjnych w „Elementarzu teorii zdarzeń” 2 2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach 2 2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 3 2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 3 2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 3 2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4 2.3 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 5 2.4 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego 8 2.4.1 Definicje znaczków # i ## 9 2.5 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia 10 2.5.1 Prawa Sowy 11 2.5.2 Definicja tożsamości logicznej 11 2.5.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia 11 2.6 Podstawowe spójniki implikacyjne 11 2.6.1 Prawo Puchacza 13 2.7 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej 15 2.8 Prawo Słonia dla zdarzeń 16 2.9 Prawo Irbisa dla zdarzeń 17 2.9.1 Prawo Irbisa dla zdarzeń na gruncie fizyki 18 2.10 Implikacja prosta P|=>CH 19 2.10.1 Prawo Kameleona w implikacji prostej P|=>CH 20 2.10.2 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH 20 2.11 Implikacja odwrotna CH|~>P 21 2.11.1 Tabela prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P 22 2.12 Nietrywialny błąd podstawienia ### 22 2.13 Algorytm Puchacza 24 2.13.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu Puchacza 25 2.13.2 Przypadek szczególny prawdziwości zdań warunkowych „Jeśli p to q” 27 2.0 Kompendium algebry Kubusia w zdarzeniach Niniejszy punkt to kwintesencja algebry Kubusia zawierająca wszystkie potrzebne definicje i prawa algebry Kubusia konieczne i wystarczające do zrozumienia matematycznej obsługi zdań warunkowych "Jeśli p to q" na gruncie teorii zdarzeń. Matematyczna teoria zbiorów nieskończonych jest w 100% analogiczna do teorii zdarzeń (obowiązują tu te same prawa logiki matematycznej), jednak nie nadaje się do wytłumaczenia podstaw logiki matematycznej humanistom … na przykład przedszkolakom. Dowód: Równoważność Pitagorasa: Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest w nim suma kwadratów A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1 Gdzie: A1: TP=>SK =1 - twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione wieki temu B3: SK=>TP =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa również udowodnione wieki temu Czy widział kto dowolnego humanistę (nie matematyka) który w języku potocznym używa teorii zbiorów nieskończonych (np. równoważności Pitagorasa) w komunikacji człowieka z człowiekiem? Oczywiście - nie ma takiego humanisty (w tym 5-cio latka). 2.1 Skorowidz znaczków implikacyjnych w „Elementarzu teorii zdarzeń” Definicja spójnika implikacyjnego: Spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}: 1. Elementarne spójniki implikacyjne: =>, ~> ~~> - zdarzenie możliwe w teorii zdarzeń (2.2.1) => - warunek wystarczający (2.2.2) ~> - warunek konieczny (2.2.3) 2. Podstawowe spójniki implikacyjne: |=>, |~> definiowane spójnikami elementarnymi |=> - implikacja prosta (3.1 ) |~> - implikacja odwrotna (4.1) 3. Operatory implikacyjne: ||=>, ||~> definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi. ||=> - operator implikacji prostej (3.1.1) ||~> - operator implikacji odwrotnej (4.1.1) Pozostałe znaczki algebry Kubusia: # - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (2.5.1) ## - różne na mocy definicji (2.5.1) ### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia (2.12) 2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q 2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> Definicja zdarzenia możliwego ~~>: Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q p~~>q =p*q =1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q. Inaczej: p~~>q=p*q =[] =0 Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q. Uwaga: Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>. Przykład: Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P) CH~~>~P=CH*~P =1 Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P) 2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach: Jeśli zajdzie p to zajdzie q p=>q =1 Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q Inaczej: p=>q =0 Przykład: A1. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH) P=>CH =1 Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury W zapisie formalnym mamy tu: p=P (pada) q=CH (chmurka) Gdzie: p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …") q - skutek (część zdania po "to…") Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego: p=>q = ~p+q 2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach: Jeśli zajdzie p to zajdzie q p~>q =1 Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q Inaczej: p~>q =0 Przykład: B1. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) CH~>P =1 Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki. W zapisie formalnym mamy tu: p=CH (chmurka) q=P (pada) Gdzie: p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …") q - skutek (część zdania po "to…") Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego: p~>q = p+~q 2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) Przykład: A1. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH) P=>CH=1 Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie) A1' Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH) P~~>~CH = P*~CH=0 Dowód wprost: Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH) Dowód "nie wprost": Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy. Uwaga na standard w algebrze Kubusia: Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’ 2.3 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> Rachunek zero-jedynkowy dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów jest wspólny. Warunkiem koniecznym zrozumienia algebry Kubusia w teorii zbiorów jest jej znajomość na poziomie zdarzeń, która jest doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka. Innymi słowy w przenośni: Najpierw tabliczka mnożenia do 100 (teoria zdarzeń w AK), i dopiero po tym fakcie możemy zrozumieć technikę mnożenia dowolnie długich liczb (teoria zbiorów w AK) Definicja stałej binarnej Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 0 albo 1. Definicja zmiennej binarnej: Zmienna binarna to symbol, przyjmujący w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1. Zachodzi tożsamość pojęć: zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p): Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana. Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p) Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q: Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny (bramka logiczna) dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q. Zero-jedynkowa tabela prawdy: Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej. W poniższych tabelach T1 do T4 w kolumnach opisujących symbole {p, q Y} nie mamy stałych wartości 1 albo 0 co oznacza, że symbole te są zmiennymi binarnymi. Kod: T1 Definicja warunku wystarczającego =>         Y=    p  q p=>q=~p+q A: 1=>1  1 B: 1=>0  0 C: 0=>0  1 D: 0=>1  1    1  2  3 Do łatwego zapamiętania: p=>q=0 <=> p=1 i q=0 Inaczej: p=>q=1 Gdzie: Podstawa wektora => zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.." Strzałka wektora => zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.." ; Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+): p=>q =~p+q ## Kod: T2 Definicja warunku koniecznego ~>         Y=    p  q p~>q=p+~q A: 1~>1  1 B: 1~>0  1 C: 0~>0  1 D: 0~>1  0    1  2  3 Do łatwego zapamiętania: p~>q=0 <=> p=0 i q=1 Inaczej: p~>q=1 Gdzie: Podstawa wektora ~> zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.." Strzałka wektora ~> zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.." ; Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+): p~>q = p+~q ## Kod: T3 Definicja spójnika “lub”(+):         Y=    p  q p+q A: 1+ 1  1 B: 1+ 0  1 C: 0+ 0  0 D: 0+ 1  1    1  2  3 Do łatwego zapamiętania: Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek: p+q=1 <=> p=1 lub q=1 inaczej: p+q=0 ; Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer: p+q=0 <=> p=0 i q=0 Inaczej: p+q=1 Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych szybsza jest logika zer. ## Kod: T4 Definicja spójnika “i”(*)         Y=    p  q p*q A: 1* 1  1 B: 1* 0  0 C: 0* 0  0 D: 0* 1  0    1  2  3 Do łatwego zapamiętania: Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek: p*q=1 <=> p=1 i q=1 inaczej: p*q=0 Gdzie: ## - różne na mocy definicji funkcji logicznych Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y): Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q: p - w logice dodatniej (bo p) oraz q - w logice dodatniej (bo q) mają różne kolumny wynikowe Y ( w logice dodatniej bo Y) Wniosek: Funkcje logiczne definiowane tabelami T1 do T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ## Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~> Kod: Ax: Warunek wystarczający =>: p=>q = ~p+q Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym               Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=    p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0 B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1 C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0 D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0                 1     2         3     4         5             6 Gdzie: # - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony ## Kod: Bx: Warunek konieczny ~>: p~>q = p+~q Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego => w rachunku zero-jedynkowym               Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=    p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0 B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0 C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0 D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1                 1     2         3     4         5             6 Gdzie: # - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony Gdzie: ## - różne na mocy definicji "=", [=], <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Definicja tożsamości logicznej: Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza fałszywość drugiej strony "=", [=], <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej Definicja znaczka różne #: Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony Definicja znaczka różne na mocy definicji ##: Funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach {p, q} mają różne kolumny wynikowe i żadna z tych funkcji nie jest negacją drugiej. Jak widzimy, między tabelami Ax i Bx obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ## 2.4 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym. Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Na mocy powyższego zapisujemy: 1. Prawa Kubusia: Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q A1: p=>q = A2: ~p~>~q ## B1: p~>q = B2: ~p=>~q Ogólne prawo Kubusia: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 2. Prawa Tygryska: Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q A1: p=>q = A3: q~>p ## B1: p~>q = B3: q=>p Ogólne prawo Tygryska: Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 3. Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A4: ~q=>~p ## B3: q=>p = B2: ~p=>~q Ogólne prawo kontrapozycji: Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego Gdzie: ## - różne na mocy definicji 4. Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: B1: p~>q = B4: ~q~>~p ## A3: q~>p = A2: ~p~>~q Ogólne prawo kontrapozycji: Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego Gdzie: ## - różne na mocy definicji 2.4.1 Definicje znaczków # i ## Zapiszmy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem kolumny 6. Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:       Y=        Y=           Y=        Y=        Y=(p=>q)= # ~Y=~(p=>q)= A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5:~p+ q   #  6: p* ~q       ##        ##           ##        ##        ##          ##       Y=        Y=           Y=        Y=        Y=(p~>q)= # ~Y=~(p~>q)= B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q   #  6: ~p* q Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony ## - różne na mocy definicji p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego: A1=A5: p=>q = ~p+q ## Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego: B1=B5: p~>q = p+~q Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> Zapiszmy powyższe definicje wyrażone funkcjami logicznymi Y i ~Y Kod: T0" Funkcja logiczna Y warunku wystarczającego =>: A1=A5: Y=(p=>q)=~p+ q   # A6: ~Y=~(p=>q)= p*~q        ##                     ## Funkcja logiczna Y warunku koniecznego ~>: B1=B5: Y=(p~>q)= p+~q   # B6: ~Y=~(p~>q)=~p* q Gdzie: # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony ## - różne na mocy definicji p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Definicja znaczka różne #: Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony Definicja znaczka różne na mocy definicji ##: Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej Doskonale widać, że w tabeli T0" obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione 2.5 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia 2.5.1 Prawa Sowy I Prawo Sowy Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax ## II Prawo Sowy Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx Gdzie: ## - różne na mocy definicji 2.5.2 Definicja tożsamości logicznej Prawa Sowy to: Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań: Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań Tożsame znaczki tożsamości logicznej to: „=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy) 2.5.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia: Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu. 2.6 Podstawowe spójniki implikacyjne Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia I Prawo Sowy Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax ## II Prawo Sowy Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx Gdzie: ## - różne na mocy definicji Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego: Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie o p: Co się stanie jeśli zajdzie p? A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q? TAK=1/NIE=0 B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q? TAK=1/NIE=0 A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q) Gdzie: ? - symbol spójnika implikacyjnego (~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi, w zależności od wartości logicznej A1 i B1 Z definicji spójnika implikacyjnego wynika, że możliwe są cztery podstawowe spójniki implikacyjne: 1. Implikacja prosta p|=>q: Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 ## 2. Implikacja odwrotna p|~>q: Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 ## 3. Równoważność p<=>q: Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1 ## 4. Chaos p|~~>q: Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1 Gdzie: ## - różne na mocy definicji 2.6.1 Prawo Puchacza Prawo Puchacza: Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego. Innymi słowy: Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć równocześnie do dwóch spójników implikacyjnych Kot Schrödingera nie może być równocześnie żywy i martwy (pkt. 5.4.1) Dowód prawa Puchacza będzie polegał na założeniu, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika implikacyjnego x i pokazaniu iż pozostałe spójniki będą dla tego przypadku fałszem. Dowód prawa Puchacza: 1. Założenie p|=>q Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q Wtedy mamy: A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych: 2. Implikacja odwrotna p|~>q: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0=0*0=0 3. Równoważność p<=>q: A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*0=0 4. Chaos p|~~>q: A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(0)=0*1=0 c.n.d. 2. Założenie p|~>q Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q Wtedy mamy: A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych: 1. Implikacja prosta p|=>q: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(1)=0*0=0 3. Równoważność p<=>q: A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*1=0 4. Chaos p|~~>q: A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(1)=1*0=0 c.n.d. 3. Założenie p<=>q Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q Wtedy mamy: A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1 Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych: 1. Implikacja prosta p|=>q: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(1)=1*0=0 2. Implikacja odwrotna p|~>q: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*1=0*1=0 4. Chaos p|~~>q: A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(1)*~(1)=0*0=0 c.n.d. 4. Założenie p|~~>q Załóżmy że zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu p|~~>q Wtedy mamy: A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1 Badamy prawdziwość/fałszywość pozostałych, podstawowych spójników implikacyjnych: 1. Implikacja prosta p|=>q: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=0*~(0)=0*1=0 2. Implikacja odwrotna p|~>q: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*0=1*0=0 3. Równoważność p<=>q: A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*0=0 ok c.n.d. Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki I, II, III i IV pozytywnie, co kończy dowód prawa Puchacza. 2.7 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Prawo Kłapouchego: Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”: W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń. Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2). Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka. Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka: W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań. Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni. 2.8 Prawo Słonia dla zdarzeń Prawo Słonia dla zdarzeń (pkt 2.2): W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć: A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1) B1: p~>q = p+~q Prawo Tygryska: B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q Gdzie: [=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej <=> - wtedy o tylko wtedy ## - różne na mocy definicji p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia Definicja tożsamości logicznej [=]: Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zdarzeniach metodą ”nie wprost" Przykład: A1. Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno P=>CH=1 To samo w zapisach formalnych: p=>q =1 - matematyczne twierdzenie proste Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury. Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. B1. Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno P~>CH =? To samo w zapisie formalnym: p~>q =? Prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> możemy udowodnić metodą „nie wprost” korzystając z prawa Tygryska Prawo Tygryska: B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q Nasz przykład: B1: P~>CH = B3: CH=>P Zdanie B3 przyjmuje brzmienie. B3. Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało B3: CH=>P =0 To samo w zapisach formalnych: B3: q=>p =0 - matematyczne twierdzenie odwrotne (w stosunku do A1) Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada Wniosek: Na mocy prawa Tygryska w zdaniu B1 nie jest (=0) spełniony warunek konieczny ~>: B1: CH~>P =0 To samo w zapisach formalnych: B1: p~>q =0 Stąd mamy rozwiązanie końcowe: B1. Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno P~>CH =0 To samo w zapisie formalnym: p~>q =0 Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH), co udowodniliśmy wyżej metodą „nie wprost” korzystając z prawa Tygryska. 2.9 Prawo Irbisa dla zdarzeń Prawo Irbisa dla zdarzeń: Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia zdarzenia q A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Stąd mamy: A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q Przykład: Pani w przedszkolu: A1. Jutro pójdziemy do kina Y=K co w logice jedynek oznacza: Y=1 <=> K=1 Czytamy: Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość pojęć: Y=K <=> (A1: Y=>K)*(B1: Y~>K) = Y<=>K Lewą stronę czytamy: Pojęcie „pani dotrzyma słowa” (Y) jest tożsame „=” z pojęciem „pójdziemy do kina” (K) Środek czytamy: Do tego by dzieci poszły do kina (K) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by pani dotrzymała słowa (Y) Prawą stronę czytamy: Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) 2.9.1 Prawo Irbisa dla zdarzeń na gruncie fizyki Rozważmy schemat elektryczny sterowania żarówką: Kod: S1 Schemat 1              S               A               -------------       ______        -----| Żarówka   |-------o    o-----   |    -------------                 |   |                                  | ______                               |  ___    U (źródło napięcia)          |   |                                  |   |                                  |   ------------------------------------ Definicja zmiennej związanej: Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu. Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka. Definicja zmiennej wolnej: Zmienna wolna W to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu. Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka. W układzie S1 nie ma zmiennej wolnej. Definicja równoważności p<=>q: Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 Na mocy prawa Kłapouchego mamy: p=A (przycisk) q=S ( żarówka) Stąd mamy: Definicja równoważności A<=>S: Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S Stąd mamy definicję równoważności A<=>S w równaniu logicznym: A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1 A1. Jeśli przycisk A jest wciśnięty to na 100% => świeci się żarówka S A=>S =1 Wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia się żarówki S, bo nie istnieje przycisk W (zmienna wolna) połączony szeregowo z przyciskiem A Badamy spełnienie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku B1. Jeśli przycisk A jest wciśnięty to na 100% ~> świeci się żarówka S A~>S =1 Wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S, bo nie istnieje przycisk W (zmienna wolna) podłączony równolegle do A Wniosek: Układ S1 spełnia definicję równoważności A1B1: A<=>S Prawo Irbisa: Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie) Na mocy prawa Irbisa równoważność A1B1: A<=>S definiuje tożsamość pojęć A1B1: A=S: A1B1: A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A1B1: A<=>S Czytamy: Pojęcie "przycisk A wciśnięty" (A=1) jest tożsame "=" z pojęciem "żarówka S świeci" (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1) Powyższe zdanie to dowód poprawności prawa Irbisa, bowiem na mocy schematu S1 to fizyczna oczywistość. 2.10 Implikacja prosta P|=>CH Dane jest zdanie: A1. Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno Polecenie: Zbadaj w skład jakiego podstawowego spójnika implikacyjnego wchodzi to zdanie Rozwiązanie: A1. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH) P=>CH =1 To samo w zapisie formalnym: p=>q =1 Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury Na mocy prawa Kłapouchego mamy: p=P (pada) q=CH (chmury) Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku ## B1. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH) P~>CH =0 To samo w zapisie formalnym: p~>q =0 Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć. Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona. 2.10.1 Prawo Kameleona w implikacji prostej P|=>CH Prawo Kameleona: Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame. Dowód: Zdania A1 i B1 wyżej, są różne na mocy definicji bo: Warunek wystarczający A1: Y=(p=>q) =~p+q ## Warunek konieczny B1: Y=(p~>q) = p+~q Gdzie: ## - różne na mocy definicji. Definicja znaczka różne na mocy definicji ##: Dwie funkcje logiczne w tej samej logice (tu akurat dodatniej bo Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań 2.10.2 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH Nasza tabela prawdy z uwzględnieniem prawa Kłapouchego wygląda tak: Kod: T1 Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym: A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 Nasz przykład - punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to: p=P (pada) q=CH (chmury) A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1 Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> dla spełnionego warunku wystarczającego P=>CH=1    Warunek wystarczający p=>q      | Warunek konieczny p~>q    Zapis formalny:                 | Zapis formalny: 1: A1: p=>q =~p+q                 ## B1: p~>q = p+~q    Zapis aktualny (przykład):      | Zapis aktualny (przykład)    Punkt odniesienia:              | Punkt odniesienia: 2: p=P (pada)                    [=] p=P (pada) 3: q=CH (chmury)                 [=] q=CH (chmury) 4: A1: P=>CH = ~P+CH              ## B1: P~>CH = P+~CH Gdzie: ##  - różne na mocy definicji p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia 2.11 Implikacja odwrotna CH|~>P Dane jest zdanie: Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać Polecenie: Zbadaj w skład jakiego podstawowego spójnika implikacyjnego wchodzi powyższe zdanie Rozwiązanie: B1. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) CH~>P =1 To samo w zapisie formalnym: p~>q =1 Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki (CH) Na mocy prawa Kłapouchego mamy: p=CH (chmury) q=P (pada) Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie B1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. ## A1. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P) CH=>P =0 To samo w zapisie formalnym: p=>q =0 Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada. Gdzie: ## - zdania B1 i A1 to zdania różne na mocy definicji warunku koniecznego ~> i wystarczającego => Dowód: Warunek wystarczający p=>q=~p+q ## Warunek konieczny p~>q=p+~q 2.11.1 Tabela prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P Nasza tabela prawdy z uwzględnieniem prawa Kłapouchego wygląda tak: Kod: T2 Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 Nasz przykład - punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to: p=CH (chmury) q=P (pada) A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania B1: CH~>P=1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1 Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> dla spełnionego warunku koniecznego CH~>P=1    Warunek wystarczający p=>q         | Warunek konieczny p~>q    Zapis formalny:                    | Zapis formalny: 1: A1: p=>q = ~p+q                   ## B1: p~>q = p+~q    Zapis aktualny (przykład):         | Zapis aktualny (przykład)    Punkt odniesienia:                 | Punkt odniesienia: 2: p=CH (chmury)                    [=] p=CH (chmury) 3: q=P (pada)                       [=] q=P (pada) 4: CH=>P = ~CH+P                     ## CH~>P= CH+~P Gdzie: ##  - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia 2.12 Nietrywialny błąd podstawienia ### Zapiszmy nasze przykłady spełnionego warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zdarzeniach Punkt 2.10 Przykład spełnionego warunku wystarczającego =>: A1. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH) A1: P=>CH =1 To samo w zapisie formalnym: A1: p=>q =1 Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to: p=P (pada) q=CH (chmury) Punkt 2.11 Przykład spełnionego warunku koniecznego ~>: B1. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) B1: CH~>P =1 To samo w zapisie formalnym: B1: p~>q =1 Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki. Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to: p=CH (chmury) q=P (pada) Umieśćmy nasze przykłady A1 i B1 w tabeli prawdy: Kod: T12 Nietrywialny błąd podstawienia ###: Definicja warunku wystarczającego =>: | Definicja warunku koniecznego ~>: Zapis formalny:                       | Zapis formalny: 1. A1: p=>q = ~p+q                   ## B1: p~>q = p+~q    Na mocy prawa Kłapouchego          | Na mocy prawa Kłapouchego    nasz punkt odniesienia to:         | nasz punkt odniesienia to: 2. A1: p=P (pada)                    ## B1: p=CH (chmury) 3. A1: q=CH (chmury)                 ## B1: q=P (pada) 4. A1: P=>CH = ~P+CH                ### B1: CH~>P = CH+~P Gdzie: ##  - różne na mocy definicji ### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Zauważmy że: 1. Jeśli z tabeli T12 usuniemy wszystkie linie gdzie występują parametry formalne p lub q, to w linii 4 będziemy wówczas musieli wstawić znak tożsamości logicznej [=] bo spójnik „lub”(+) jest przemienny. Stąd mamy: 2. Definicja nietrywialnego błędu podstawienia ###: Nietrywialny błąd podstawienia ### to przypadek gdy w zapisach formalnych warunek wystarczający A1: p=>q=~p+q jest różny na mocy definicji ## od warunku koniecznego B1: p~>q=p+~q (linia 1), natomiast w zapisach aktualnych (przykład) zachodzi tożsamość warunku wystarczającego A1: P=>CH=~P+CH oraz warunku koniecznego B1: CH~>P = CH+~P spowodowana przemiennością argumentów w spójniku „lub”(+). Kod: T12 4. A1: P=>CH = ~P+CH       [=]  B1: CH~>P = CH+~P Gdzie: [=] - tożsamość logiczna, bo argumenty w spójniku „lub”(+) są przemienne 3. W liniach 2 i 3 doskonale widać na czym ten nietrywialny błąd podstawienia ### polega: Warunek wystarczający A1: p=>q jest tu obserwowany z punktu odniesienia p=P i q=CH Natomiast: Warunek konieczny B1: p~>q jest tu obserwowany z innego punktu odniesienia p=CH i q=P Wniosek: Prawo Kłapouchego broni nas przed niejednoznacznością logiki matematycznej, bowiem tylko i wyłącznie dzięki niemu zauważymy nietrywialny błąd podstawienia ### Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1) 2.13 Algorytm Puchacza Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia I Prawo Sowy Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax ## II Prawo Sowy Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx Gdzie: ## - różne na mocy definicji Uwaga: Na mocy praw Sowy prawdziwość podstawowego spójnika implikacyjnego p?q definiowanego kolumną A1B1 (pytanie o p) wymusza prawdziwość odpowiedniego operatora implikacyjnego p|?q definiowanego dwoma kolumnami A1B1 (pytanie o p) i A2B2 (pytanie o ~p). Prawo Kłapouchego: Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”: W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń. Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2). Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego. Algorytm Puchacza: 1. W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe. Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p. Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1) 2. Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q Definicja dziedziny D dla p: p+~p =D =1 p*~p=[] =0 Definicja tej samej dziedziny D dla q: q+~q =D =1 q*~q =[] =0 3. Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2) 4. Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe. 5. Prawo Puchacza: Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza. Rozłączne operatory implikacyjne to: a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1) b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1) c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1) d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1) e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1) 6. Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p: A1: p=>q =? 7. Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p: B1: p~>q =? W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia. Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie. 2.13.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu Puchacza Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 algorytmu Puchacza są matematycznie fałszywe z wyjątkiem zdań opisanych w punkcie 2.13.2 Ad. 1 W punkcie 1 chodzi o to, że jeśli przystępujemy do analizy matematycznej zdania "Jeśli p to q" to musimy zastosować prawo Kłapouchego, inaczej dostaniemy nietrywialny błąd podstawienia ### (pkt. 2.7.4) Ad. 2 A1. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to trójkąt może być prostokątny P2~~>TP =0 Brak wspólnej dziedziny. Stąd mamy: Zdanie A1 jest fałszywe na mocy punktu 2 algorytmu Puchacza. Ad. 3 Definicja zbioru pustego [] (pkt.12.2): Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka. B1 Jeśli 2+2=5 to 2+2=4 Zdanie tożsame (wyjaśnienie w pkt.12.2.1): B1 Jeśli zbiór pusty [] to liczba 4 []~~>[4] = []*[4] =[] =0 - twardy fałsz, bo zbiór pusty [] i jednoelementowy zbiór [4] są rozłączne Stąd mamy: Zdanie B1 jest fałszywe na mocy punktu 3 algorytmu Puchacza. Wyjątek: C1. Jeśli zbiór pusty [] to zbiór pusty [] []=>[] =1 Bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [] Wyjaśnienie w punkcie 12.2.1 w części głównej algebry Kubusia. Rozważmy zdanie: D1. Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem p=[2+2=5] =[] =0 - twarde zero q=[jestem papieżem] =[] =0 - twarde zero Stąd zapis formalny: p=>q = []=>[] =0 Z punktu widzenia algorytmu Puchacza zdanie D1 jest fałszem bo nie jest tu spełniony punkt 3 algorytmu Puchacza. Oczywiście z innego punktu odniesienia, z punktu odniesienia ogólnej teorii zbiorów (pkt. 12.2.1) zdanie D1 będzie prawdą, czego dowód mamy w zapisie C1 W matematyce nie ma w tym nic dziwnego. Dowód: A1. Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno P=>CH =1 Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada (P), są chmury (CH) ## Zbadajmy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami B1. Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno P~>CH =0 Padanie (P=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać (~P=1) a chmury mogą istnieć (CH=1) Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> Kod: T1 Definicja warunku wystarczającego =>:  ## Definicja warunku koniecznego ~>: Y = (p=>q) = ~p+q                      ## Y = (p~>q) =p+~q Definicja znaczka różne ##: Dwie funkcje logiczne w tej samej logice (tu dodatniej bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame Jak widzimy, w tabeli T1 definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona. Prawo Kameleona: Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki nie muszą być matematycznie tożsame. Dowodem są tu nasze zdania A1 i B1. Różność na mocy definicji ## zdań A1 i B1 rozpoznajmy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań. Analogia w języku polskim to: może i morze Tu różność pojęć wynika z kontekstu lub z pisowni jak wyżej. 2.13.2 Przypadek szczególny prawdziwości zdań warunkowych „Jeśli p to q” Algorytm Puchacza: 1. W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe. Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p. Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1) 2. Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q Definicja dziedziny D dla p: p+~p =D =1 p*~p=[] =0 Definicja tej samej dziedziny D dla q: q+~q =D =1 q*~q =[] =0 3. Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2) 4. Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe. Przypadek szczególny zdań warunkowych „Jeśli p to q” to zdania typu: ZS. Jeśli (p+~p) to (q+~q) Gdzie dla p i q spełniona jest definicja wspólnej dziedziny D opisana w punkcie 2. Stąd mamy: (p+~p) => (q+~q) =1 Oczywistym jest że: (p=1)=>(q=1) =1 - zdanie prawdziwe, ale nie podlegające pod algebrę Kubusia. Dlaczego zdanie szczególne ZS nie podlega pod algebrę Kubusia mimo że jest prawdziwe? Powodem jest tu brak spełnienia punktu 3 algorytmu Puchacza. Zauważmy bowiem że: jeśli następnik p jest twardą jedynką: p+~p=1 to jego negacja będzie twardym zerem: ~(p+~p) = ~p*p=0 - nie jest spełniony punkt 3 algorytmu Puchacza Identycznie: jeśli następnik q jest twardą jedynką: q+~q=1 to jego negacja będzie twardym zerem: ~(q+~q) = ~q*q=0 - nie jest spełniony punkt 3. Zobaczmy na przykładach o jakie zdania tu chodzi. Przykład 1 A1. Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) lub nie jest podzielna przez 8 (~P8) to na 100% => jest podzielna przez 3 (P3) lub nie jest podzielna przez 3 (~P3) (P8+~P8)=>(P3+~P3) =1 Ustalamy wspólną dziedzinę dla poprzednia p i następnika q: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9…] - zbiór liczb naturalnych P8+~P8 =LN P3+~P3 =LN Wspólna dziedzina jest spełniona. cnd Algorytm doprowadzenia zdania A1 do postaci spełniającej algorytm Puchacza jest trywialny: Krok 1. Rozbijamy poprzednik na dwa zdania proste: 1. Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 3 (P3) lub nie jest podzielna przez 3 (~P3) P8=>(P3+~P3)=1 =LN - relacja podzbioru => spełniona lub 2.. Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to na 100% => jest podzielna przez 3 (P3) lub nie jest podzielna przez 3 (~P3) ~P8=>(P3+~P3)=1 =LN - relacja podzbioru => spełniona Krok 2. Rozbijamy następnik na dwa zdania proste: A. Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3) P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>: P8 i P3 jest spełniona B. Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być nie podzielna przez 3 (~P3) P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>: P8 i P3 jest spełniona Badamy teraz co się dzieje po stronie liczb niepodzielnych przez 8 (~P8)? C. Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3) ~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>: ~P8 i P3 jest spełniona D. Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3) ~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 2 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>: ~P8 i ~P3 jest spełniona Wnioski: 1. Seria zdań A, B, C i D realizuje tu operatora chaosu p||~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => nie ma mowy, co pociąga za sobą brak warunku koniecznego ~> 2. Zauważmy że: Po sprowadzeniu zdania A1 do postaci serii zdań A, B, C i D dostępna jest analiza tych zdań algorytmem Puchacza. Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 16:45, 08 Cze 2024, w całości zmieniany 6 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35635 Przeczytał: 16 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 8:21, 01 Kwi 2024    Temat postu: Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń 3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach Spis treści 3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach 1 3.1 Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q dla zdarzeń 3 3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 4 3.2 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 6 3.4.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 11 3.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Definicja implikacji prostej p|=>q: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1 Czytamy: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0) Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>. Kod: IP: Implikacja prosta p|=>q: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q        A1B1:         A2B2:      |     A3B3:           A4B4: A:  1: p=>q  =1  = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p  =1  =  4:~q=>~p =1        ##             ##              ##              ## B:  1: p~>q  =0  = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p  =0  =  4:~q~>~p =0 Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax ## II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx Gdzie: ## - różne na mocy definicji Zauważmy że: 1. Definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1. A1B1: Definicja implikacji prostej p|=>q: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1 Wniosek: Implikacja prosta A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p. 2. Definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2. A2B2: Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q): Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q Stąd: A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1 Wniosek: Implikacja odwrotna A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p. Z prawa Sowy wynika, że implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) wymusza implikację odwrotną ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie. Matematycznie zachodzi więc tożsamość logiczna [=]: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) Gdzie: p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia [=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej Definicja tożsamości logicznej [=]: Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony 3.1 Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q dla zdarzeń Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>: p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) Uwagi: 1. Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax' 2. Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Bx'. A1B1: Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach: Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1 Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>. Kod: IP: Implikacja prosta p|=>q: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q        A1B1:         A2B2:      |     A3B3:           A4B4: A:  1: p=>q  =1  = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p  =1  =  4:~q=>~p =1 A': 1: p~~>~q=0                [=]                 4:~q~~>p =0        ##             ##              ##              ## B:  1: p~>q  =0  = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p  =0  =  4:~q~>~p =0 B':                2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1    Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Prawa Sowy: Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań serii Ax Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość pozostałych zdań serii Bx 3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q Definicja operatora implikacji prostej p||=>q: Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2). Kolumna A1B1: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p? Kolumna A2B2: A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p? A1B1: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p? Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1: A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1 Prawą stronę czytamy: Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0) A1B1: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p? Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1: A1. Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q p=>q =1 Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q Zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => Innymi słowy: Zawsze gdy zajdzie p, zajdzie q A1'. Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q p~~>~q=p*~q =0 Zdarzenia: Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q Dowód „nie wprost”: Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie) … a jeśli zajdzie ~p? Prawo Kubusia: A1: p=>q = A2:~p~>~q Idziemy do kolumny A2B2. A2B2: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p? Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2: A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1 Prawą stronę czytamy: Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=0). A2B2: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p? Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2: A2. Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q ~p~>~q =1 Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q Innymi słowy: Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło: A2: ~p~>~q = A1: p=>q lub Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie): B2'. Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q ~p~~>q =~p*q =1 Zdarzenia: Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q Dowód „nie wprost”: Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=1 (i odwrotnie). Podsumowanie: Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) . Zauważmy że: a) Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych: A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p? A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p? Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej A2B2: ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A1B1: p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1. b) Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia. 3.2 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego. Algorytm Puchacza: 1. W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe. Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p. Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1) 2. Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q Definicja dziedziny D dla p: p+~p =D =1 p*~p=[] =0 Definicja tej samej dziedziny D dla q: q+~q =D =1 q*~q =[] =0 3. Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2) 4. Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe. 5. Prawo Puchacza: Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza. Rozłączne operatory implikacyjne to: a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1) b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1) c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1) d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1) e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1) 6. Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p: A1: p=>q =? 7. Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p: B1: p~>q =? W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia. Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie. Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza. Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi. Zadanie W1: Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane: W1. Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno Rozwiązanie: Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktu 4 w algorytmie Puchacza. 1. Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to: p=P (pada) q=CH (chmury) Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p. 2. Istnieje związek między padaniem a chmurami, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona. Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń. Dm=|P*CH| + |P*~CH| + |~P*~CH| + |~P*CH| Gdzie: |x| - wartość bezwzględna (bez analizy prawdziwości/fałszywości Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie jutro mogą zajść. Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W1 3. Zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt. 12.2) p= P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "pada" (P) q= CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "są chmury" (CH) ~p= ~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie pada" (~P) ~q= ~CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie ma chmur" (~CH) 4. Wniosek: Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza): Prawo Słonia dla zdarzeń (pkt 2.8): W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć: A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1) bo prawo Tygryska: B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q Gdzie: [=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej <=> - wtedy o tylko wtedy ## - różne na mocy definicji p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia Definicja tożsamości logicznej [=]: Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów Nasze zdanie: W1. Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno p=P (pada) q=CH (chmury) 6. Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1. A1. Twierdzenie proste: Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH) A1: P=>CH =1 To samo w zapisie formalnym: A1: p=>q =1 Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury To jest dowód na poziomie 5-cio latka. 7. Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie W1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx. Wybieramy zdanie B1 kodowane warunkiem koniecznym ~>: B1. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH) P~>CH=0 To samo w zapisie formalnym: p~>q =0 Dowód wprost: Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć. cnd Prawo Kameleona: Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame. Dowód to zdania A1 i B1 wyżej. Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań. A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q = p+~q Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> Podsumowanie: Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>CH=1 i fałszywość warunku koniecznego B1: P~>CH=0 wymusza definicję implikacji prostej A1B1: P|=>CH. A1B1: Definicja implikacji prostej p|=>q: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q Stąd mamy: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1 Nasz przykład: A1B1: Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład): Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH) B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH) Stąd mamy: A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1 Gdzie: p = P (pada) q = CH (chmury) W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji prostej A1B1: P|=>CH uzupełnioną definicją kontrprzykładu ~~> działającą wyłącznie w warunkach wystarczających => Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) Kod: IP. Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1 Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego: p=P (pada) q=CH (chmury) Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład): A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q        A1B1:         A2B2:       |     A3B3:        A4B4: Zapis formalny: A:  1: p=>q   =1  = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p   =1 =  4:~q=>~p =1 A': 1: p~~>~q =0                [=]                 4:~q~~>p =0 Zapis aktualny (nasz przykład) p=P, q=CH A:  1: P=>CH  =1  = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P  =1 =  4:~CH=>~P=1 A': 1: P~~>~CH=0                [=]                 4:~CH~~>P=0        ##              ##               ##            ## Zapis formalny: B:  1: p~>q  =0   = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p   =0 =  4:~q~>~p =0 B':                 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1 Zapis aktualny (nasz przykład) p=P, q=CH B:  1: P~>CH =0   = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P  =0 =  4:~CH~>~P=0 B':                 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1 Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q: Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B Innymi słowy: Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia: Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu. 3.4.1 Operator implikacji prostej P||=>CH Operator implikacji prostej P||=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład): Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o padanie (P) i nie padanie (~P) Kolumna A1B1: A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)? Kolumna A2B2 A2B2: ~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może być jeśli jutro nie będzie padało (~P)? A1B1: Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)? Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1: A1: P=>CH=1 - padanie (P) jest (=1) wystarczające > dla istnienia chmur (CH) B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH) Stąd: A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1=1 Prawą stronę czytamy: Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1: P=>CH=1) , ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1: P~>CH=0) A1B1: Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)? Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1: A1. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH) P=>CH =1 To samo w zapisie formalnym: p=>q =1 Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury A1' Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH) P~~>~CH = P*~CH =0 To samo w zapisie formalnym: p~~>~q = p*~q =0 Dowód wprost: Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH) Dowód "nie wprost": Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1': P~~>~CH=0 ( i odwrotnie). Rozwiązanie zadania W1 Zadanie W1: Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane: W1. Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno Doskonale widać że zachodzi tożsamość zdań: W1 = A1’: P~~>~CH = P*~CH =0 Zatem zdanie W1 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P||=>CH cnd … a jeśli jutro nie będzie padało (~P)? Prawo Kubusia: A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH To samo w zapisie formalnym: A1: p=>q = A2: ~p~>~q Idziemy do kolumny A2B2. A2B2: Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)? Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2: A2: ~P~>~CH =1 - brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH) B2: ~P=>~CH =0 - brak opadów (~P) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => braku chmur (~CH) A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) = 1*~(0)=1*1=1 Całość czytamy: Implikacja odwrotna ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak opadów jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (A1: ~P~>~CH=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by nie było pochmurno (B2: ~P=>~CH)=0) A2B2: Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)? Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2: A2 Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH) ~P~>~CH =1 To samo w zapisie formalnym: ~p~>~q =1 Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => jest pochmurno (CH) Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło: A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH =1 To samo w zapisie formalnym: A2: ~p~>~q = A1: p=>q lub B2'. Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno ~P~~>CH =~P*CH=1 To samo w zapisie formalnym: ~p~~>q = ~p*q =1 Dowód wprost: Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH) Dowód "nie wprost": Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~P=>~CH=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~P~~>CH=1 (i odwrotnie) Podsumowanie: Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna => po stronie P (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (zdania A2 i B2’) . Innymi słowy: 1. Jeśli jutro będzie padało (P) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH) - mówi o tym zdanie A1 2. Natomiast: Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’ Czyli: Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH) o czym mówi zdanie A2 albo może ~~> być pochmurno (CH) na mocy zdania B2' Zauważmy że: a) Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~CH to układ równań logicznych: A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może się wydarzyć jeśli nie będzie padało? A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli będzie padało Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1. b) Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia. Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 21:46, 08 Cze 2024, w całości zmieniany 6 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35635 Przeczytał: 16 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 8:22, 01 Kwi 2024    Temat postu: Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń 4.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zdarzeniach Spis treści 4.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zdarzeniach 1 4.1 Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q dla zdarzeń 3 4.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 4 4.2 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej CH|~>P 6 4.4.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 11 4.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zdarzeniach Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Definicja implikacji odwrotnej p|~>q: Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Czytamy: Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0) Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>. Kod: IO: Implikacja odwrotna p|~>q: A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q        A1B1:         A2B2:      |     A3B3:           A4B4: A:  1: p=>q  =0  = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p  =0  =  4:~q=>~p =0        ##             ##              ##              ## B:  1: p~>q  =1  = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p  =1  =  4:~q~>~p =1 Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia II Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx ## I Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax Gdzie: ## - różne na mocy definicji Zauważmy że: 1. Definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1: A1B1: Definicja implikacji odwrotnej p|~>q: Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Wniosek: Implikacja odwrotna A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p. 2. Definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2: A2B2: Definicja implikacji prostej ~p|=>~q): Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q Stąd: A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1 Wniosek: Implikacja prosta A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p. Z prawa Sowy wynika, że implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) wymusza implikację prostą ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie. Matematycznie zachodzi więc tożsamość logiczna [=]: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) Gdzie: p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia [=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej Definicja tożsamości logicznej [=]: Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony 4.1 Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q dla zdarzeń Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>: p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) Uwagi: 1. Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx' 2. Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Ax'. A1B1: Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach: Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>. Kod: IO: Implikacja odwrotna p|~>q: A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q        A1B1:         A2B2:      |     A3B3:           A4B4: A:  1: p=>q  =0  = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p  =0  =  4:~q=>~p =0 A': 1: p~~>~q=1                [=]                 4:~q~~>p =1        ##             ##              ##              ## B:  1: p~>q  =1  = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p  =1  =  4:~q~>~p =1 B':                2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0    Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Prawa Sowy: Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań 4.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q: Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2) Kolumna A1B1: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p? Kolumna A2B2: A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p? A1B1: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p? Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1: A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Prawą stronę czytamy: Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=0) A1B1: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p? Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A1B1: B1. Jeśli zajdzie p to może ~> zajść zajdzie q p~>q =1 Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q Innymi słowy: Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło: B1: p~>q = B2: ~p=>~q lub A1'. Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q p~~>~q=p*~q =1 Zdarzenia: Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i ~q Dowód „nie wprost”: Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie) .. a jeśli zajdzie ~p? Prawo Kubusia: B1: p~>q = B2: ~p=>~q Idziemy do kolumny A2B2. A2B2: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p? Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2: A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1 Prawą stronę czytamy: Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=0). A2B2: Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p? Odpowiedź w zdaniach warunkowych odczytujemy z kolumny A2B2: B2. Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q ~p=>~q =1 Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q Zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => Innymi słowy: Zawsze gdy zajdzie ~p, zajdzie ~q B2' Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q ~p~~>q = ~p*q =0 Zdarzenia: Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> ~p i q Dowód „nie wprost”: Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego => B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=0 (i odwrotnie) Podsumowanie: Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2) Zauważmy że: a) Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych: A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p? A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p? Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1. b) Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia. 4.2 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej CH|~>P Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego. Algorytm Puchacza: 1. W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe. Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p. Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1) 2. Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q Definicja dziedziny D dla p: p+~p =D =1 p*~p=[] =0 Definicja tej samej dziedziny D dla q: q+~q =D =1 q*~q =[] =0 3. Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2) 4. Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe. 5. Prawo Puchacza: Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza. Rozłączne operatory implikacyjne to: a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1) b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1) c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1) d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1) e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1) 6. Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p: A1: p=>q =? 7. Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p: B1: p~>q =? W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia. Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie. Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza. Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi. Zadanie W1: Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane: W1. Jeśli jutro będzie nie będzie pochmurno to może padać Rozwiązanie: Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktu 4 w algorytmie Puchacza. 1. Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to: p=CH (chmury) q=P (pada) Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p. 2. Istnieje związek między chmurami a padaniem, zatem wspólna dziedzina dla p i q jest spełniona. Dziedzina matematyczna Dm to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń rozłącznych bez analizy prawdziwości/fałszywości tych zdarzeń. Dm=|CH*P| + |CH*~P| + |~CH*~P| + |~CH*P| Gdzie: |x| - wartość bezwzględna (bez analizy prawdziwości/fałszywości Dziedzina fizyczna D to zbiór zdarzeń fizycznie możliwych, jakie jutro mogą zajść. Dziedzina fizyczna D wyskoczy nam w czasie analizy matematycznej zdania wypowiedzianego W1 3. Zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zdarzeniach pustych. p= CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "są chmury" (CH) q= P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "pada" (P) ~p= ~CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie ma chmur" (~CH) ~q= ~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie "nie pada" (~P) 4. Wniosek: Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza): Prawo Słonia dla zdarzeń (pkt 2.8): W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć: A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1) bo prawo Tygryska: B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q Gdzie: [=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej <=> - wtedy o tylko wtedy ## - różne na mocy definicji p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia Definicja tożsamości logicznej [=]: Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów Nasze zdanie: W1. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać p=CH (chmury) q=P (pada) 7. Badamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1. B1. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) B1: CH~>P =1 To samo w zapisie formalnym: B1: p~>q =1 Dowód wprost: Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania bo padać może wyłącznie z chmury. To jest dowód na poziomie 5-cio latka. 6. Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie W1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax. Wybieramy zdanie A1 bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej. A1. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P) A1: CH=>P =0 To samo w zapisie formalnym: A1: p=>q =0 Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada. Podsumowanie: Prawdziwość warunku koniecznego B1: CH~>P=1 i fałszywość warunku wystarczającego A1: CH=>P=0 wymusza definicję implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P A1B1: Definicja implikacji odwrotnej p|~>q: Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Stąd mamy: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1 Nasz przykład: A1B1: Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P: Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, bo nie zawsze gdy pada, są chmury B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo pada wyłącznie z chmury Stąd mamy: A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1 Gdzie: p=CH(chmury) q=P(pada) W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P uzupełnioną definicją kontrprzykładu ~~> działającą wyłącznie w warunkach wystarczających => Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) Kod: IO. Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym: A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego: p=CH (chmury) q=P (pada) Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład): A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania B1: CH~>P=1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q        A1B1:         A2B2:       |     A3B3:        A4B4: Zapis formalny: A:  1: p=>q   =0  = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p   =0 =  4:~q=>~p =0 A': 1: p~~>~q =1                [=]                 4:~q~~>p =1 Zapis aktualny (nasz przykład) p=CH, q=P A:  1: CH=>P  =0  = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH  =0 =  4:~P=>~CH=0 A': 1: CH~~>~P=1                [=]                 4:~P~~>CH=1        ##              ##               ##            ## Zapis formalny: B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p   =1 =  4:~q~>~p =1 B':                 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0 Zapis aktualny (nasz przykład) p=CH, q=P B:  1: CH~>P =1   = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH  =1 =  4:~P~>~CH=1 B':                 2:~CH~~>P=0 [=] 3: P~~>~CH=0 Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q: Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii A Innymi słowy: Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO. Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia: Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu. 4.4.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zapisie aktualnym (nasz przykład): Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o chmury (CH) i brak chmur (~CH) Kolumna A1B1: A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)? Kolumna A2B2: A2B2: ~CH=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) - co może być jeśli nie będzie pochmurno (~CH)? A1B1: Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)? Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1: A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P) B1: CH~>P =1 - chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P) Stąd: A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1 Prawą stronę czytamy: Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (B1: CH~>P=1), ale nie są (=0) wystarczające => dla padania (A1: CH=>P=0) A1B1: Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)? Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1: B1. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) CH~>P =1 To samo w zapisie formalnym: p~>q =1 Dowód wprost: Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało (P), bo padać może wyłącznie z chmury Dowód "nie wprost": Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P) Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło: B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P to samo w zapisie formalnym: B1: p~>q = B2: ~p=>~q lub A1' Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P) CH~~>~P = CH*~P =1 to samo w zapisie formalnym: p~~>~q=p*~q =1 Dowód wprost: Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: jest pochmurno (CH) i nie pada (~P) Dowód "nie wprost": Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywy warunek wystarczający A1: CH=>P=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1': CH~~>~P=1 (i odwrotnie) … a jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)? Prawo Kubusia: B1: CH~>P =B2:~CH=>~P To samo w zapisie formalnym: B1: p~>q = B2:~p=>~q Idziemy do kolumny A2B2. A2B2: Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)? Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2: A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur (~CH) nie jest (=0) konieczny ~> dla nie padania (~P) B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur (~CH) jest (=1) wystarczający => dla nie padania (~P) A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1=1*1=1 Całość czytamy:: Implikacja prosta ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak chmur ~CH jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania ~P (zdanie B2), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania ~P (zdanie A2) A2B2: Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)? Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2: B2. Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P) ~CH=>~P =1 to samo w zapisie formalnym: ~p=>~q =1 Dowód wprost: Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by nie padało (~P) bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P) Zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => Dowód "nie wprost" to skorzystanie z prawa kontrapozycji: B2: ~p=>~q = B3: q=>p Nasz przykład: B2: ~CH=>~P = B3: P=>CH Stąd: B3. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH) P=>CH =1 To samo w zapisie formalnym: q=>p =1 Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury Na mocy prawa kontrapozycji prawdziwość B3 wymusza prawdziwość B2 (i odwrotnie). B2' Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P) ~CH~~>P = ~CH*P =0 to samo w zapisie formalnym: ~p~~>q = ~p*q =0 Dowód wprost: Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH) i pada (P) Dowód "nie wprost": Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający B2: ~CH=>~P=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2': ~CH~~>P=0 (i odwrotnie) Rozwiązanie zadania W1 Zadanie W1: Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane: W1. Jeśli jutro będzie nie będzie pochmurno to może padać Doskonale widać, że zachodzi tożsamość zdań: W1=B2’: ~CH~~>P = ~CH*P =0 Zatem zdanie W1 wchodzi w skład implikacji odwrotnej CH|\~>P cnd Podsumowanie: Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~CH (zdanie B2) Innymi słowy: 1. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła". Czyli: Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) o czym mówi zdanie B1, albo może ~~> nie padać (~P) o czym mówi zdanie A1' 2. Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P) - mówi o tym zdanie B2. Zauważmy że: a) Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji prostej ~CH||=>~P to układ równań logicznych: A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) - co może się zdarzyć jeśli nie będzie pochmurno? A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się zdarzyć jeśli będzie pochmurno? Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1. b) Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia. Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 21:47, 08 Cze 2024, w całości zmieniany 5 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35635 Przeczytał: 16 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 8:24, 01 Kwi 2024    Temat postu: Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń 5.0 Implikacja prosta P|=>CH vs implikacja odwrotna CH|~>P Spis treści 5.0 Implikacja prosta P|=>CH vs implikacja odwrotna CH|~>P 1 5.1 Przykład implikacji prostej P|=>CH 1 5.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P 3 5.3 Prawo Kłapouchego w obronie jednoznaczności logiki matematycznej 5 5.4 Matematyczny raj 5-cio latka 6 5.4.1 Istota pudełka z kotem Schrödingera 9 5.4.2 Kot Schrödingera w logice matematycznej 14 5.0 Implikacja prosta P|=>CH vs implikacja odwrotna CH|~>P Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia 5.1 Przykład implikacji prostej P|=>CH Definicja implikacji prostej p|=>q: Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1 Prawo Kłapouchego: Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”: W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń. Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2). Wypowiedzmy przykładowe zdanie A1 ze spełnionym warunkiem wystarczającym =>: A1. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH) P=>CH =1 To samo w zapisie formalnym (ogólnym): p=>q =1 Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to: p = P (pada) q = CH (chmury) Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>CH bo warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami jest fałszem. Dowód: B1. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH) P~>CH =0 To samo w zapisie formalnym: p~>q =0 Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć. Prawo Kameleona: Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame. Przykład to zdania A1 i B1 wyżej: Warunek wystarczający A1: p=>q = ~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q = p+~q Gdzie: ## - różne na mocy definicji Różność matematyczną ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań. Stąd w zapisie aktualnym mamy: Definicja implikacji prostej P|=>CH: Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego: p=P (pada) q=CH (chmury) A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur Stąd: A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(P~>CH)=1*~(0)=1*1=1 To samo w zapisie formalnym: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1 Podstawmy parametry formalne {p, q} i aktualne {P, CH} do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla implikacji prostej P|=>CH Kod: IP: Implikacja prosta p|=>q: Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1 Nasz przykład: A1: Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH) Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego: p=P(pada) q=CH(chmury) A1: P=>CH=1 -padanie(P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur(CH) B1: P~>CH=0 - padanie(P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur(CH) A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q        A1B1:         A2B2:       |     A3B3:          A4B4: A:  1: p=>q =1  = 2:~p~>~q =1   [=] 3: q~>p =1  =  4:~q=>~p =1 Nasz przykład: A:  1: P=>CH=1  = 2:~P~>~CH=1   [=] 3: CH~>P=1  =  4:~CH=>~P=1        ##            ##                ##             ## B:  1: p~>q =0  = 2:~p=>~q =0   [=] 3: q=>p =0  =  4:~q~>~p =0 Nasz przykład: B:  1: P~>CH=0  = 2:~P=>~CH=0   [=] 3: CH=>P=0  =  4:~CH~>~P=0 ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia 5.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P Definicja implikacji odwrotnej p|~>q: Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Prawo Kłapouchego: Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”: W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń. Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2). Wypowiedzmy zdanie B1 ze spełnionym warunkiem koniecznym ~>: B1. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) CH~>P =1 To samo w zapisie formalnym: p~>q =1 Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to: p = CH (chmury) q = P (pada) Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki. Dowód nie wprost: Prawo Kubusia: B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P B2. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało ~CH=>~P =1 Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada. Na mocy prawa Kubusia, prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~CH=>~P=1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego B1: CH~>P=1 (i odwrotnie) Zdanie B1 jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q bo warunek wystarczający => między tymi samymi punktami jest fałszem. Dowód: A1. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padać (P) CH=>P =0 Chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P) bo nie zawsze gdy są chmury, pada Stąd w zapisie aktualnym mamy: Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P: Punkt odniesienia: p=CH (chmury) q=P (pada) A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania W równaniu logicznym: A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1 To samo w zapisie formalnym: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Podstawmy parametry formalne {p, q} i aktualne {CH, P} do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej CH|~>P Kod: IO: Implikacja odwrotna p|~>q: Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Nasz przykład. B1: Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego: p=CH(chmury) q=P(pada) A1: CH=>P=0 -chmury(CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania(P) B1: CH~>P=1 -chmury(CH) są (=1) konieczne ~> dla padania(P) A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q        A1B1:        A2B2:      |     A3B3:           A4B4: A:  1: p=>q =0  = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0  =  4:~q=>~p =0 Nasz przykład: A:  1: CH=>P=0  = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH=0  =  4:~P=>~CH=0        ##            ##              ##             ## B:  1: p~>q =1  = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1  =  4:~q~>~p =1 Nasz przykład: B:  1: CH~>P=1  = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH=1  =  4:~P~>~CH=1 ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia 5.3 Prawo Kłapouchego w obronie jednoznaczności logiki matematycznej Zauważmy, że bez prawa Kłapouchego zdania prawdziwe w implikacji prostej P|=>CH i implikacji odwrotnej CH|=>P będą identyczne. Dowód: Usuńmy prawo Kłapouchego oraz wszelkie odnośniki do parametrów formalnych p i q z tabel prawdy IP i IO: Kod: IP: Implikacja prosta P|=>CH: Nasz przykład: A1: P=>CH=1 -padanie(P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur(CH) B1: P~>CH=0 - padanie(P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur(CH) A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej P|=>CH        A1B1:         A2B2:       |     A3B3:          A4B4: Nasz przykład: A:  1: P=>CH=1  = 2:~P~>~CH=1   [=] 3: CH~>P=1  =  4:~CH=>~P=1        ##            ##                ##             ## Nasz przykład: B:  1: P~>CH=0  = 2:~P=>~CH=0   [=] 3: CH=>P=0  =  4:~CH~>~P=0 ## Kod: IO: Implikacja odwrotna CH|~>P: A1: CH=>P=0 -chmury(CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania(P) B1: CH~>P=1 -chmury(CH) są (=1) konieczne ~> dla padania(P) A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej CH|~>P        A1B1:        A2B2:      |     A3B3:           A4B4: Nasz przykład: A:  1: CH=>P=0  = 2:~CH~>~P=0 [=] 3: P~>CH=0  =  4:~P=>~CH=0        ##            ##              ##             ## Nasz przykład: B:  1: CH~>P=1  = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH=1  =  4:~P~>~CH=1 Gdzie: ## - implikacja proste P|=>CH jest różna na mocy definicji ## od implikacji odwrotnej CH|~>P Tożsamość logiczna jest przemienna z czego wynika, że seria zdań prawdziwych z linii Ax w implikacji prostej P|=>CH będzie tożsama [=] z serią zdań prawdziwych w linii Bx w implikacji odwrotnej CH|~>P. Dowód: Wytnijmy wszystko zostawiając wyłącznie linie prawdziwe w IP i IO w zapisach aktualnych (nasz przykład): Kod: IP: Implikacja prosta P|=>CH: Nasz przykład:        A1B1:         A2B2:       |     A3B3:          A4B4: Nasz przykład: A:  1: P=>CH=1  = 2:~P~>~CH=1   [=] 3: CH~>P=1  =  4:~CH=>~P=1 [=] Kod: IO: Implikacja odwrotna CH|~>P: Nasz przykład: B:  1: CH~>P=1  = 2:~CH=>~P=1 [=] 3: P=>CH=1  =  4:~P~>~CH=1 Gdzie: [=] - tożsamość czterech zdań prawdziwych Jak widzimy, w tym momencie nie do odróżnienia jest, czy przykładowe zdanie prawdziwe: x = (P=>CH) Należy do implikacji prostej P|=>CH: A1: P=>CH =1 czy też do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej CH|~>P: B3: P=>CH =1 Podsumowując: Bez prawa Kłapouchego i zapisów formalnych {p, q} dostaniemy fałszywą logikę matematyczną, gdzie implikacja prosta P|=>CH będzie tym samym co implikacja odwrotna CH|~>P 5.4 Matematyczny raj 5-cio latka Oczywistym jest, że 5-cio latek nie ma pojęcia o jakiejkolwiek formalnej logice matematycznej, a mimo wszystko jest jej naturalnym ekspertem Dowód: Wyobraźmy sobie, że mamy pudełko z czterema zdaniami prawdziwymi: Kod: Matematyczny raj 5-cio latka: A: 1: P=>CH=1  [=] 2:~P~>~CH=1  [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1 Gdzie: [=] - znak tożsamości logicznej Definicja ogólna tożsamości logicznej [=]: Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy stosować zamiennie w zależności od potrzeb: „=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy) Dlaczego to jest matematyczny raj 5-cio latka? Oczywistym jest, że 5-cio latek nie zna teorii algebry Kubusia którą tu poznajemy, jednak doskonale posługuje się w praktyce wszystkimi prawami logiki matematycznej rodem z algebry Kubusia. Prawo Maleństwa: Prawa logiki matematycznej w raju 5-cio latka zna w praktyce każdy przedszkolak I. Prawo Kubusia dla A1: A1: P=>CH = A2:~P~>~CH [=] II. Prawo Kubusia dla A3: A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P [=] III. Prawo Tygryska dla A1: A1: P=>CH = A3: CH~>P [=] IV. Prawo Tygryska dla A2: A2: ~P~>~CH = A4: ~CH=>~P [=] V. Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego => (A1): A1: P=>CH = A4: ~CH=>~P [=] VI. Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~> (A3): A3: CH~>P = A2: ~P~>~CH Gdzie: [=] - znak tożsamości logicznej [=]. Zarówno treść zdań w raju 5-cio latka, jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi. Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola Ad I. Prawo Kubusia dla A1: A1: P=>CH = A2:~P~>~CH Pani: Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno? Jaś: A1. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH) A1: P=>CH =1 Pani: Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH) Jaś: Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury Pani: Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało? Jaś: Prawo Kubusia: A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH A2. Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH) A2: ~P~>~CH =1 Pani: Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)? Jaś: Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH) A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że jako 5-cio latek nie jest tego świadom. Ad II. Prawo Kubusia dla A3: A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P Pani: A3. Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P) A3: CH~>P =1 Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało? Jaś (lat 5): Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki Innymi słowy: Zabieram chmurki i znika mi możliwość padania O, mam jeszcze jedną odpowiedź: Chmury (CH) są konieczne ~> dla padania (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P). A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że jako 5-cio latek nie jest tego świadom. Pani: Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może nie padać? Jaś: Prawo Kubusia: A3: CH~>P = A4:~CH=>~P Jaś: A4: Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P) A4: ~CH=>~P =1 Pani: Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)? Jaś: Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada etc 5.4.1 Istota pudełka z kotem Schrödingera Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Zapiszmy jeszcze raz matematyczny raj 5-cio latka: Kod: Matematyczny raj 5-cio latka: A: 1: P=>CH=1  [=] 2:~P~>~CH=1  [=] 3: CH~>P=1 [=] 4:~CH=>~P=1 Gdzie: [=] - znak tożsamości logicznej Rozważmy przykładowy warunek wystarczający: x= (P=>CH) x. Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno P=>CH Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury cnd Zauważmy, że ten sam warunek wystarczający x: P=>CH może należeć do implikacji prostej: p|=>q albo do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej: p|~>q Dowód: IP Implikacja prosta p|=>q: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) A1. Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno A1: P=>CH =1 To samo w zapisie formalnym: A1: p=>q =1 Padanie jest (=1) wystarczające dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, sąchmury Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego: p=P (pada) q=CH (chmury) ## ### IO Implikacja odwrotna p|~>q A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) B1. Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać CH~>P =1 To samo w zapisie formalnym: p~>q =1 Chmury są konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego: p=CH (chmury) q=P (pada) Dla B1 skorzystajmy z prawa Tygryska: B1: CH~>P = B3: P=>CH =1 B1: p~>q = B3: q=>p =1 Prawo Tygryska jest dowodem, że warunek wystarczający X: P=>CH występujący w implikacji prostej p|=>q występuje również w implikacji odwrotnej p|~>q Gdzie: ## - różne na mocy definicji dla zapisów formalnych {p, q} ### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia dla zapisów aktualnych {P, CH} Nietrywialny błąd podstawienia ### mamy zdefiniowany w punkcie 2.12. Takie niuanse 5-cio latka zupełnie nie interesują, nie są mu do niczego potrzebne i w niczym nie ograniczają jego biegłego posługiwania się prawami logiki matematycznej. Inaczej jest z matematykiem, znającym teorię algebry Kubusia którą tu omawiamy. Matematyka nie może być niejednoznaczna tzn. Matematyk A mówi, że warunek wystarczający x: P=>CH należy do implikacji prostej: A1B1: p|=>q Ma rację bo: IP Implikacja prosta p|=>q: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) A1. Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno A1: P=>CH =1 To samo w zapisie formalnym: A1: p=>q =1 Padanie jest (=1) wystarczające dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, sąchmury Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego: p=P (pada) q=CH (chmury) ## ### ZAŚ Matematyk B twierdzi, że ten sam warunek wystarczający x: P=>CH należy do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej: A1B1: p|~>q Też ma rację bo: IO Implikacja odwrotna p|~>q A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) B1. Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać CH~>P =1 To samo w zapisie formalnym: p~>q =1 Chmury są konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego: p=CH (chmury) q=P (pada) Dla B1 skorzystajmy z prawa Tygryska: B1: CH~>P = B3: P=>CH =1 B1: p~>q = B3: q=>p =1 Gdzie: ## - różne na mocy definicji dla zapisów formalnych {p, q} ### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia dla zapisów aktualnych {P, CH} Nietrywialny błąd podstawienia ### mamy zdefiniowany w punkcie 2.12. Jednoznaczność matematyki dla wszystkich ludzi uzyskamy wprowadzając do logiki matematycznej prawo Kłapouchego. Prawo Kłapouchego: Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”: W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń. Wniosek: Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich ludziach identyczny punkt odniesienia i poprzez analogię jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera. Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2). Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka. Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka: W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań. Innymi słowy: Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni. Zachodzi matematyczna tożsamość: Prawo Kłapouchego = otwarcie drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera. Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera Innymi słowy: x. Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH) x: P=>CH =1 Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury cnd Istota pudełka z kotem Schrödingera: Przed zastosowaniem prawa Kłapouchego jeśli spytamy dowolnego matematyka czy zdanie x: P=>CH wchodzi w skład implikacji prostej IP: IP: A1B1: P|=>CH, (A1: P=>CH) to samo w zapisie formalnym: IP: A1B1: p|=>q, (A1: p=>q) Gdzie: p=P (pada) q=CH (chmury) ; czy też w skład różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej IO: ; IO: A1B1: CH|~>P, (B3: P=>CH) to samo w zapisie formalnym: IO: A1B1: p|~>q, (B3: q=>p) Gdzie: p=CH(chmury) q=P(pada) ; matematyk ów musi odpowiedzieć: NIE WIEM! .. dopóki nie zastosuje prawa Kłapouchego. Uwaga: Nie wolno nam twierdzić, że zdanie x: P=>CH może kiedykolwiek należeć (stan drzwiczek jest tu nieistotny) równocześnie do implikacji prostej: IP: A1B1: P|=>CH, (A1: P=>CH) to samo w zapisie formalnym: IP: A1B1: p|=>q, (A1: p=>q) Punkt odniesienia: p=P (pada) q=CH (chmury) i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej: IO: A1B1: CH|~>P, (B3: P=>CH) to samo w zapisie formalnym: IO: A1B1: p|~>q, (B3: q=>p) Punkt odniesienia p=CH (chmury) q=P (pada) bo to jest matematycznie i fizycznie niemożliwe. Dowodem jest tu prawo Puchacza (pkt. 2.6.1) Prawo Puchacza: Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego. Innymi słowy: Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć równocześnie do dwóch spójników implikacyjnych Kot Schrödingera nie może być równocześnie żywy i martwy (pkt. 5.4.1) Analogicznie w stosunku do pudełka z kotem Schrödingera nie wolno nam twierdzić, że dopóki nie otworzymy drzwiczek to kot jest jednocześnie żywy i martwy - to jest matematyczny i fizyczny fałsz, co udowadnia przykład z logiki matematycznej wyżej opisany. [link widoczny dla zalogowanych] Kot Schrödingera napisał: Jeden z najsłynniejszych eksperymentów świata. Prawie każdy coś słyszał o „Kocie Schrödingera”, ale już nie każdy pojął, o co w tym wszystkim chodziło. Co ma kot do fizyki? Czemu go zabili, a może go jednak nie zabili? „Koci” eksperyment został opisany w 1935 roku przez znakomitego austriackiego fizyka Erwina Schrödingera. Specjalnie piszemy, że eksperyment został opisany a nie przeprowadzony, ponieważ był to eksperyment myślowy. Oznacza to, że żaden kot w jego trakcie nie ucierpiał. Eksperyment ten jest próbą wyjaśnienia zasad mechaniki kwantowej na przykładzie obiektów w skali makro. Opisane w nim zjawisko nazwane jest superpozycją. Polega to na tym, że obiekt przyjmuje wszystkie możliwe stany w tym samym momencie. W eksperymencie Schrödingera w tym samym momencie kot jest żywy i martwy. Ale uwaga – sytuacja ta ma miejsce w pod warunkiem, że pudełko jest zamknięte i nie widzimy, co się dzieje z kotem w środku. Dopiero w momencie obserwacji obiektu (w tym przypadku kota) przyjmuję on tylko jeden z możliwych stanów. Po otwarciu pudełka zastaniemy kota martwego lub żywego. Następuję załamanie funkcji falowej. [link widoczny dla zalogowanych] 5.4.2 Kot Schrödingera w logice matematycznej Zauważmy, że w logice matematycznej kot Schrödingera pojawia się w wielu miejscach. Inne przypadki kota Schrödingera to prawo Kameleona (pkt. 2.10.1), czy też prawo Kłapouchego (pkt. 2.7) Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 6:47, 08 Cze 2024, w całości zmieniany 4 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35635 Przeczytał: 16 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 8:30, 01 Kwi 2024    Temat postu: Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń 6.0 Obietnice i groźby w zapisach ogólnych Spis treści 6.0 Obietnice i groźby w zapisach ogólnych 1 6.1 Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E|=>K 2 6.1.1 Operator implikacji prostej E||=>K 4 6.1.2 Prawo transformacji w obietnicy 7 6.1.3 Prawo Kłapouchego w obietnicy 12 6.2 Wyjaśnienie definicji "wolnej woli" istot żywych 12 6.3 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony W|=>Z 14 6.3.1 Operator implikacji prostej W||=>Z 16 6.3.2 Kluczowe dialogi Chrystusa z człowiekiem 19 6.3.3 Algebra Kubusia = Biblia 20 6.4 Kto uwierzy i przyjmie chrzest będzie zbawiony (W*CH)|=>Z 21 6.4.1 Analiza operatora implikacji prostej (W*CH)||=>Z 22 6.0 Obietnice i groźby w zapisach ogólnych Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia I. Najbardziej spektakularnym zastosowaniem definicji implikacji prostej p|=>q w świecie żywym jest definicja obietnicy. Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek W to nagroda N W=>N =1 Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N. Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę N. W poprzedniku musi być jasno sprecyzowany warunek otrzymania nagrody W. Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q. Definicja implikacji prostej p|=>q: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1 Czytamy: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0) ## II. Najbardziej spektakularnym zastosowaniem definicji implikacji odwrotnej p|~>q w świecie żywym jest definicja groźby. Definicja groźby: Jeśli dowolny warunek W to kara K W~>K =1 Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę K. W poprzedniku musimy mieć jasno sprecyzowany warunek wykonania kary W. Definicja implikacji odwrotnej p|~>q: Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Czytamy: Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0) Gdzie: ## - różne na mocy definicji 6.1 Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E|=>K Sztandarowy przykład obietnicy: A1. Jeśli zdasz egzamin (E) to dostaniesz komputer (K) E=>K =1 Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to: p=E(egzamin) q=K(komputer) Stąd w zapisach formalnych mamy: p=>q =1 Dostanie komputera to nagroda, zatem warunek wystarczający A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. Warunek otrzymania nagrody precyzuje poprzednik p=E (zdasz egzamin) W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać. Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K: Implikacja prosta E|=>K to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1. Zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera (K=1) A1: E=>K =1 To samo w zapisach formalnych: A1: p=>q =~p+q =1 ## Zdeterminowany definicją obietnicy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami jest fałszem: B1. Zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera (K=1) B1: E~>K =0 to samo w zapisach formalnych: B1: p~>q =p+~q =0 Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Stąd definicja implikacji prostej E|=>K w równaniu logicznym: A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) =1*~(0)=1*1=1 To samo w zapisach formalnych: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>. Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) Kod: IP. Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}: Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1 Nasz przykład: A1. Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer E=>K=1 Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to: p=E (egzamin) q=K (komputer) A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu jest wystarczające => dla dostania komputera B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) konieczne dla dostania komputera A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(E~>K)=1*~(0)=1*1=1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q        A1B1:         A2B2:       |     A3B3:        A4B4: Zapis formalny: A:  1: p=>q   =1  = 2:~p~>~q=1  [=] 3: q~>p  =1  =  4:~q=>~p=1 A': 1: p~~>~q =0                [=]                 4:~q~~>p=0 Zapis aktualny (nasz przykład) p=E, q=K A:  1: E=>K  =1   = 2:~E~>~K=1  [=] 3: K~>E  =1  =  4:~K=>~E=1 A': 1: E~~>~K=0                 [=]                 4:~K~~>E=0        ##              ##              ##             ## Zapis formalny: B:  1: p~>q  =0   = 2:~p=>~q=0  [=] 3: q=>p  =0 =  4:~q~>~p =1 B':                 2:~p~~>q=1  [=] 3: q~~>~p=1 Zapis aktualny (nasz przykład) p=E, q=K B:  1: E~>K =0    = 2:~E=>~K=0  [=] 3: K=>E  =0 =  4:~K~>~E =0 B':                 2:~E~~>K=1  [=] 3: K~~>~E=1 Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia 6.1.1 Operator implikacji prostej E||=>K Operator implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo K) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o zdany egzamin E (A1B1) i nie zdany egzamin ~E (A2B2) Kolumna A1B1: A1B1: E|=>K =(A1: K=>K)* ~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)? Kolumna A2B2: A2B2: ~E|~>~K =(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)? A1B1. Co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1: A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) wystarczające => dla dostania komputera (K=1) B1: E~>K =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla dostania komputera (K=1) A1B1: E|=>K =(A1: E=>K)* ~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)? Prawą stronę czytamy: Zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera (A1: E=>K=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera (B1: E~>K=0) Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1: A1. Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1) E=>K =1 to samo w zapisie formalnym: p=>q =1 Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera z powodu zdanego egzaminu. Zdanie egzaminu daje nam gwarancje matematyczną => dostania komputera z powodu zdanego egzaminu Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania komputera z dowolnego innego powodu. Dostanie komputera z innego powodu będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1: E=>K, tzn. nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A1: E=>K. Matematycznie: Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% => etc Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie) A1’. Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1) E~~>~K = E*~K=0 to samo w zapisach formalnych: p~~>~q = p*~q =0 Nie może się zdarzyć (=0), że zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1). W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać. W świecie żywym, mającym „wolną wolę”, ojciec może kłamać do woli, czyli syn może zdać egzamin a ojciec z premedytacją może nie dać mu komputera. W tym przypadku ojciec jest kłamcą o czym wszyscy wiedzą, od 5-cio latka poczynając. Tylko tyle i aż tyle rozstrzyga w obietnicy matematyka ścisła, algebra Kubusia. … a jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)? Prawo Kubusia: A1: E=>K = A2: ~E~>~K To samo w zapisie formalnym: A1: p=>q = A2: ~p~>~q Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2 A2B2. Co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2: A2: ~E~>~K =1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> nie dostania komputera B2: ~E=>~K =0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania komputera A2B2: ~E|~>~K =(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)? Prawą stronę czytamy: Nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera (A2: ~E~>~K=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania komputera (B2: ~E=>~K=0) Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2: A2. Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1) ~E~>~K =1 to samo w zapisie formalnym: ~p~>~q =1 Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera (~K=1) bo jak zdam egzamin (E=1) to na 100% => dostanę komputer (K=1) Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło: A2: ~E~>~K = A1: E=>K Zauważmy, że zdanie A2 ojciec może wypowiedzieć w dowolnie ostry sposób, jednak na mocy definicji obietnicy A1: E=>K będącej częścią implikacji prostej E|=>K zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością wręczenia komputera nawet gdy syn nie zda egzaminu , o czym mówi zdanie B2’. LUB Fałszywy warunek wystarczający => B2: ~E=>~K=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie): B2’. Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~~> dostać komputer (K=1) ~E~~>K = ~E*K =1 to samo w zapisie formalnym: ~p~~>q = ~p*q =1 Może się zdarzyć (=1), że nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1) Zdanie B2’ to piękny "akt miłości" w stosunku do obietnicy A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że syn nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu) Zdanie B2’ to także piękny „akt łaski” w stosunku do groźby A2: ~E~>~K=1, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy. Chrystus: Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43) Podsumowanie: Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej E||=>K jest gwarancja matematyczna => po stronie E (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~E (zdania A2 i B2’) . Zauważmy że: a) Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji odwrotnej ~E||~>~K to układ równań logicznych: A2B2:~E|~>~K=(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1) A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1) Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~E||~>~K w logice ujemnej (bo ~K) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo K) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1. b) Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia. Komentarz do zdania A2: A2. Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1) A2: ~E~>~K =1 Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1) Zdanie tożsame: A21. Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~> nie dostać komputera (~K=1) A21: ~E~>~K =1 Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1) Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą, zaś wszelkie groźby na mocy definicji musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’. Dlaczego zachodzi tożsamość zdań? A2: ~E~>~K = A21: ~E~>~K? Wynika to z definicji obietnicy A1: E=>K zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do "aktu miłości" względem obietnicy A1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona. Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób. Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może zmienić zdania i zapowiedzianą karę wykonać. 6.1.2 Prawo transformacji w obietnicy Prawo transformacji w obietnicy: W obietnicach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego. Wyprowadzenie prawa transformacji w obietnicy Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek W to nagroda N W=>N =1 Spełnienie warunku otrzymania nagrody W jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania tej nagrody N Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N. Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę N. W poprzedniku musimy mieć warunek otrzymania nagrody W. Definicja obietnicy w zapisach formalnych: Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q p=>q =1 Spełnienie przyczyny p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia skutku q Dowolna obietnica to warunek wystarczający p=>q wchodzący w skład implikacji prostej p|=>q. Weźmy tabelę prawdy naszej obietnicy: A1. Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer E=>K =1 Zdanie egzaminu (E) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera (K) Kod: IP - diagram obietnicy p=>q Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}: Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1 Nasz przykład: A1. Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer E=>K=1 Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to: p=E (egzamin) q=K (komputer) A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu jest wystarczające => dla dostania komputera B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) konieczne dla dostania komputera A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(E~>K)=1*~(0)=1*1=1 Prawo transformacji w obietnicy: Po zamianie przyczyny p i skutku q przyszłość A1: p=>q transformuje się do przeszłości A3”: q~>p A1:  p=>q =1 - przyszłość        | A3”: q~>p =1 - przeszłość A1”: p=>q =1 - przeszłość        | Nasz przykład: A1:  E=>K =1 - przyszłość        | A3”: K~>E =1 - przeszłość A1”: E=>K =1 - przeszłość        A1B1:         A2B2:       |     A3B3:        A4B4: Zapis formalny: A:  1: p=>q   =1  = 2:~p~>~q=1  [=] 3: q~>p  =1  =  4:~q=>~p=1 A': 1: p~~>~q =0                [=]                 4:~q~~>p=0 Zapis aktualny (nasz przykład) p=E, q=K A:  1: E=>K  =1   = 2:~E~>~K=1  [=] 3: K~>E  =1  =  4:~K=>~E=1 A': 1: E~~>~K=0                 [=]                 4:~K~~>E=0        ##              ##              ##             ## B3””: q=>p =0 - zakaz zamiany przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym Nasz przykład: B3””: K=>E =0 - zakaz zamiany przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym Zapis formalny: B:  1: p~>q  =0   = 2:~p=>~q=0  [=] 3: q=>p  =0 =  4:~q~>~p =1 B':                 2:~p~~>q=1  [=] 3: q~~>~p=1 Zapis aktualny (nasz przykład) p=E, q=K B:  1: E~>K =0    = 2:~E=>~K=0  [=] 3: K=>E  =0 =  4:~K~>~E =0 B':                 2:~E~~>K=1  [=] 3: K~~>~E=1 Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Prawo transformacji w obietnicy: W obietnicach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego. Zauważmy, że o obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego. Definicja świata żywego: Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej. Definicja „wolnej woli” istot żywych: „Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę). Definicja obietnicy w zapisach formalnych: Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q p=>q =1 Spełnienie przyczyny p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia skutku q Dowolna obietnica to warunek wystarczający p=>q wchodzący w skład implikacji prostej p|=>q. Dowolna obietnica to matematyczny opis przyszłości: A1. Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q p=>q =1 Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q Czas nie może biec wstecz z czego wynika, że niedozwolona jest tu zamiana przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym. B3””. Jeśli zajdzie skutek q to zajdzie przyczyna p q=>p =0 Zajście skutku q nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia przyczyny p Zauważmy, że dozwolona jest zamiana przyczyny p ze skutkiem q w czasie przeszłym, gdzie wszystko jest zdeterminowane: A3”. Jeśli zaszedł skutek q to mogła ~> zajść przyczyna p q~>p =1 Zajście skutku q było warunkiem koniecznym ~> dla zajścia przyczyny p To jest najprostsze uzasadnienie formalne (ogólne) prawa transformacji w obietnicy. Uwaga na standard w algebrze Kubusia w obietnicach i groźbach: Znaczek (””) oznacza zabronioną zamianę przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym Znaczek (”) oznacza dozwoloną zamianę przyczyny p ze skutkiem q w czasie przeszłym Nasz przykład: Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy A1: E=>K musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę K=(komputer) W poprzedniku musi być warunek otrzymania tej nagrody, E=(egzamin) Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej E|=>K. Zobaczmy jak działa prawo transformacji w obietnicy na przykładzie. Nasz przykład: A1. Jeśli zdasz egzamin (E) to dostaniesz komputer (K) E=>K =1 Na mocy prawa Kłapouchego mamy: p=E (egzamin) q=K (komputer) To samo w zapisie formalnym: p=>q =1 Zdanie egzaminu (E) jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera (K) Następnik q jest tu ewidentną nagrodą, zatem zdanie A1 musimy kodować zgodnie z definicją obietnicy warunkiem wystarczającym A1: E=>K wchodzącym w skład implikacji prostej A1B1: E|=>K. Spełniony warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ A1’. Jeśli zdasz egzamin (E) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K) E~~>~K = E*~K =0 To samo w zapisie formalnym: p~~>~q=p*~q =0 Nie może się zdarzyć (=0), że zdam egzamin (E) i nie dostanę komputera (~K) Uwaga: W świecie żywym mającym „wolną wolę” może się zdarzyć że zdam egzamin (E=1) a ojciec z premedytacją nie da mi komputera (~K=1). W tym przypadku ojciec będzie kłamcą o czym wie każdy 5-cio latek. Prawo transformacji w obietnicy: W obietnicach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego. Na mocy prawa transformacji zdanie A4” w czasie przeszłym przyjmuje postać. A4”. Jeśli nie dostałeś komputera (~K=1) to na 100% => nie zdałeś egzaminu (~E=1) ~K=>~E =1 To samo w zapisach formalnych: ~q=>~p =1 Ojciec miał prawo nie kupić komputera jeśli syn nie zdał egzaminu i z tego prawa tu skorzystał. Zauważmy, że jeśli syn zdał egzamin to na 100% => dostał komputer. Możemy też powiedzieć tak: A4" Jeśli nie dostałeś komputera, to z tego faktu wnioskuję, iż na 100% => nie zdałeś egzaminu, bo gdybyś zdał egzamin to na 100% => miałbyś komputer. Prawo kontrapozycji w czasie przeszłym samo nam tu wyskoczyło: A4”: ~K=>~E = A1”: E=>K Zdanie A1” w czasie przeszłym przyjmuje brzmienie: A1”. Jeśli zdałeś egzamin (E=1) to na 100% => dostałeś komputer (K=1) E=>K =1 Komentarz: 1. Wypowiedzmy zdanie A4 z powyższej tabeli prawdy w czasie przyszłym: A4. Jeśli nie dostaniesz komputera (~K) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E) ~K=>~E=1 To samo w zapisie formalnym: A4: ~q=>~p=1 Zauważmy, że mamy tu kwadraturę koła: Matematycznie zdanie A4 zmusza ojca do dania komputera przed egzaminem, bo jak tego nie zrobi to syn na 100% => nie zda egzaminu, czyli mamy bzdurę. Opisane wyżej prawo transformacji w obietnicy ratuje nam logikę matematyczną, czyniąc ją sensowną. 2. Dosadny przykład konieczności stosowania prawa transformacji we wszelkich obietnicach: A1. Jeśli jutro będzie padało to otworzę parasol P=>OP =1 To samo w zapisach formalnych: p=>q =1 Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla otwarcia parasola Prawo kontrapozycji: A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P A1: p=>q = A4: ~q=>~p stąd w czasie przyszłym mamy "logikę" z której śmiać się będzie każdy 5-cio latek. A4. Jeśli jutro nie otworzę parasola to na 100% => nie będzie padało ~OP=>~P =1 To samo w zapisach formalnych: A4: ~q=>~p =1 Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => braku deszczu. Jak widzimy logika matematyczna bez prawa transformacji w obietnicy "leży i kwiczy", czyli ma zerowy związek z rzeczywistością. Zauważmy, że po zastosowaniu prawa transformacji zdanie A4” w czasie przeszłym brzmi: A4”. Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało ~OP=>~P =1 To samo w zapisach formalnych: A4”: ~q=>~p =1 Brak otwarcia parasola (~OP) w dniu wczorajszym => jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania iż wczoraj nie padało (~P), bo jeśli padało (P) to na 100% => otworzyłem parasol (OP) Prawo Kubusia w czasie przeszłym samo nam tu wyskoczyło: A4”: ~OP=>~P [=] A1”: P=>OP To samo w zapisach formalnych: A4”: ~q=>~p [=] A1”: p=>q Zdanie A1” w czasie przeszłym brzmi: A1”. Jeśli wczoraj padało to na 100% => otworzyłem parasol P=>OP =1 Padanie było (=1) warunkiem wystarczającym => dla otwarcia parasola Podsumowując: Tylko i wyłącznie dzięki prawu transformacji w obietnicy w logice matematycznej nie dochodzi do paradoksu wyżej opisanego 6.1.3 Prawo Kłapouchego w obietnicy Prawo Kłapouchego: Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”: W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń. Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2). Dowolna obietnica to z definicji czas przyszły. A1. Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer E=>K =1 W zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego: p=>q Zdanie egzaminu (p=przyczyna) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostanie komputera (q=skutek) Prawo Kłapouchego zabrania nam zamiany przyczyny ze skutkiem w czasie przyszłym. Nie możemy powiedzieć: B3"”. Jeśli dostaniesz komputer to zdasz egzamin K=>E=0 Na mocy prawa Kłapouchego mamy: p=K (komputer) - przyczyna q=E (egzamin) - skutek Na mocy prawa Kłapouchego to zdanie w czasie przyszłym jest fałszem bo dostanie komputera nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zdania egzaminu Uwaga na standard w algebrze Kubusia: W obietnicach i groźbach znaczek (””) oznacza zabronienie zamiany przyczyny ze skutkiem w czasie przyszłym. Nasz przykład: W obietnicy A1 poprawny jest tylko i wyłącznie jeden punkt odniesienia: p=E(egzamin) - przyczyna q=K(komputer) - skutek 6.2 Wyjaśnienie definicji "wolnej woli" istot żywych Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek W to nagroda N W=>N =1 Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N. Porównanie operatora implikacji prostej P||=>CH ze świata martwego (punkt 3.2.1) i operatora implikacji prostej E||=>K ze świata żywego (punkt 6.1.1) w kwestii możliwości ustawienia jedynki w kluczowym w obu przypadkach zdaniu A1'. I. Świat martwy: Jedynym zdaniem fałszywym w całej analizie operatora implikacji prostej P||=>CH (punkt 3.2.1) w świecie martwym jest zdanie A1' A1' Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH) P~~>~CH = P*~CH =0 Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH) Innymi słowy: Fałszem jest (=0), że możliwe jest zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH) Zauważmy, że świat martwy nie jest w stanie zgwałcić logiki matematycznej pod którą sam podlega i ustawić w zdaniu A1' jedynki Natomiast świat żywy bez problemu w zdaniu A1' ustawi jedynkę. II. Świat żywy: Jedynym zdaniem fałszywym w całej analizie operatora implikacji prostej E||=>K (punkt 6.1.1) w świecie żywym jest zdanie A1' A1’. Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1) E~~>~K = E*~K=0 Czytamy: Nie może się zdarzyć (=0), że zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1). Innymi słowy: Fałszem jest (=0), że możliwe jest zdarzenie: zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1) W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać. W świecie żywym, mającym „wolną wolę”, ojciec może kłamać do woli ustawiając jedynkę w zdaniu A1', czyli syn może zdać egzamin a ojciec z premedytacją może nie dać mu komputera. W tym przypadku ojciec jest kłamcą o czym wszyscy wiedzą od 5-cio latka poczynając. Tylko tyle i aż tyle rozstrzyga w obietnicy matematyka ścisła, algebra Kubusia. Dowód iż w zdaniu A1' wyłącznie świat żywy może ustawić logiczną jedynkę: A1’. Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1) E~~>~K = E*~K=1 Czytamy: Prawdą jest (=1), że możliwe jest zdarzenie: zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1). Mam nadzieję, że w tym momencie wszyscy rozumiemy poniższą definicję "wolnej woli" dotyczącą wyłącznie świata żywego (w tym człowieka) Definicja świata żywego: W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy do czynienia ze światem żywym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość/fałszywość poprzednika p lub następnika q zależy od „wolnej woli” istoty żywej. Stąd mamy: Definicja "wolnej woli" istot żywych: "Wolna wola" to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę) Oczywiście definicja „wolnej woli” dotyczy wyłącznie istot żywych. Świat martwy (w tym matematyka) nie jest w stanie zgwałcić logiki matematycznej (algebry Kubusia) którą sam wyznacza i pod którą sam podlega. 6.3 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony W|=>Z Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek W to nagroda N W=>N =1 Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N. W poprzedniku musi być jasno sprecyzowany warunek otrzymania nagrody W. Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę. W poprzedniku p musimy mieć zdefiniowany warunek otrzymania nagrody. Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q. Zajmijmy się teraz kluczową obietnicą Chrystusa dzięki której już 18 lat temu zrozumiałem algebrę Kubusia. Oczywiście droga do poprawnego rozszyfrowania kompletnej algebry Kubusia była jeszcze bardzo daleka, wymagała 18 lat zaciętych dyskusji na różnych forach. Chrystus: A1. Kto wierzy we mnie będzie zbawiony W=>Z=1 Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia Zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => Zdanie A1 to ewidentna obietnica, bowiem w następniku mamy tu nagrodę, musimy ją zatem kodować warunkiem wystarczającym A1: W=>Z wchodzącym w skład implikacji prostej W|=>Z. Dlaczego ta obietnica była dla mnie kluczowa w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia? Odpowiedź jest prosta: W naszym Wszechświecie Chrystus, w przeciwieństwie do człowieka, nie ma prawa do kłamstwa, czyli nie może wierzącego w niego człowieka posłać do piekła. Natomiast człowiek w obietnicy może kłamać do woli, to woda na młyn wszelkiej maści oszustów np. wyłudzanie pieniędzy od emerytów metodą na wnuczka. Przykład super oszusta doskonale znającego algebrę Kubusia, potrafiącego tak kłamać, by oszukać najbogatszych mamy w tym linku: [link widoczny dla zalogowanych] @Piramida finansowa Madoffa Fundusz miał charakter elitarny i należały do niego również osoby ze świata biznesu, polityki, kultury - można było do niego przystąpić wyłącznie mając rekomendację, a minimalna kwota inwestycji wynosiła 10 mln dolarów. Wśród oszukanych inwestorów znaleźli się m.in. przedsiębiorca budowlany Larry Silverstein, aktorzy John Malkovich i Kevin Bacon, żona Bacona Kyra Sedgwick, fundacja należąca do Stevena Spielberga, bejsbolista Sandy Koufax, senator Frank Lautenberg. Co najmniej dziesięciu inwestorów straciło po ponad miliard dolarów, a wszyscy inwestorzy łącznie stracili ok. 35 mld dolarów 29 czerwca 2009 Bernard Madoff, mimo przyznania się do winy oraz wyrażenia skruchy, został skazany na 150 lat więzienia Definicja podstawowa implikacji prostej W|=>Z: A1. Kto wierzy we mnie będzie => zbawiony A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia To samo w zapisach formalnych: A1: p=>q = ~p+q =1 ## B1. Kto wierzy we mnie będzie ~> zbawiony B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zbawienia To samo w zapisach formalnych: B1: p~>q = p+~q =0 Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego p=>q i koniecznego p~>q Stąd: A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1 Prawo Kłapouchego: Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”: W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń. Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2). Dowolna obietnica to z definicji czas przyszły, stąd w zapisie formalnym {p, q} mamy: p=W(wierzy) q=Z(zbawiony) Podstawmy obietnicę Chrystusa do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q Kod: IP Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W,Z}: A1: Kto wierzy we mnie będzie zbawiony Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to: p=W (wierzy) q=Z (zbawiony) A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym =>              dla zbawienia B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>              dla zbawienia Stąd: A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1        A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4: A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1 A’: 1: p~~>~q=0                                    4:~q~~>p =0 Obietnica Chrystusa:                    A:  1: W=>Z  =1 = 2:~W~>~Z=1     [=] 3: Z~>W  =1 = 4:~Z=>~W =1 A’: 1: W~~>~Z=0                                    4:~Z~~>W =0                           ##            ##           |     ##            ## B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0 B’:               2:~p~~>q=1         3: q~~>~p=1 Obietnica Chrystusa: B:  1: W~>Z  =0 = 2:~W=>~Z=0     [=] 3: Z=>W  =0 = 4:~Z~>~W =0 B’:               2:~W~~>Z=1         3: Z~~>~W=1 Gdzie: p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia 6.3.1 Operator implikacji prostej W||=>Z Definicja operatora implikacji prostej W||=>Z: Operator implikacji prostej W||=>Z w logice dodatniej (bo Z) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o wierzących (W) i niewierzących (~W): A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) - co się stanie z wierzącym (W=1)? A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)? A1B1. Co może spotkać człowieka wierzącego (W=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1: A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zbawienia Stąd: A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1 - co się stanie z wierzącym (W)? Stąd: Jeśli wierzę w Boga (W=1) to mam gwarancję matematyczną => zbawienia (Z) - mówi o tym zdanie A1 Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1: A1. Kto wierzy (W) we mnie będzie zbawiony (Z) W=>Z=1 to samo w zapisie formalnym: p=>q =1 Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia Zachodzi tożsamość pojęć: Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie. A1’. Kto wierzy we mnie (W) ten może ~~> nie zostać zbawiony (~Z) W~~>~Z = W*~Z=0 to samo w zapisach formalnych: p~~>~q = p*~q =0 Nie może się zdarzyć (=0), że wierzę w Chrystusa i nie zostanę zbawiony. To jedyne miejsce w całej analizie obietnicy A1 gdzie Chrystus mógłby skłamać, czyli posłać wierzącego w niego człowieka do piekła. Oczywistym jest, że w naszym Wszechświecie Chrystus z definicji nie ma prawa do kłamstwa, bo wtedy wiara w niego nie miałaby sensu. A2B2. Co może spotkać człowieka niewierzącego (~W=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2: A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary w Boga (~W) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z) B2: ~W=>~Z =0 - brak wiary w Boga nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie zbawienia A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)? Stąd: W przypadku niewierzących (~W=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’ Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2: A2. Kto nie wierzy we mnie (~W) nie zostanie zbawiony (~Z) ~W~>~Z =1 to samo w zapisie formalnym: ~p~>~q =1 Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1) bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1) Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło: A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z Zauważmy, ze Chrystus, podobnie jak człowiek może groźbę A2 wypowiedzieć w dowolnie ostrej formie, jednak na mocy definicji obietnicy A1: W=>Z będącej częścią implikacji prostej W|=>Z zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością zbawienia, o czym mówi zdanie B2’ LUB Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie: B2’. Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~~> zostać zbawiony (~Z) ~W~~>Z = ~W*Z =1 to samo w zapisie formalnym: ~p~~>q = ~p*q =1 Może się zdarzyć (=1), że nie wierzę w Chrystusa (~W) i zostanę zbawiony (Z) Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do zdania A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu zbawienie) mimo że człowiek nie spełnił warunku nagrody (tu nie wierzył) Zdanie B2’ to także piękny „akt łaski” w stosunku do groźby A2, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy. Chrystus: Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43) Zauważmy, że na mocy zdania B2’ Chrystus może umieścić w niebie wszystkich ludzi (z Hitlerem włącznie) i nie zostanie kłamcą. Oczywiście „może zbawić" nie oznacza że „musi zbawić”. Wynika z tego, że zanana filozofom idea powszechnego zbawienia, zwana także ideą pustego piekła (Apokatastaza) matematycznie jest możliwa. Podsumowanie: Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej W||=>Z jest gwarancja matematyczna => po stronie W (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~W (zdania A2 i B2’) . Zauważmy że: a) Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy: Operator implikacji odwrotnej ~W||~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z) to układ równań logicznych: A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)? A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) - co się stanie z wierzącym (W)? Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~W||~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej W||=>Z w logice dodatniej (bo Z) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1. b) Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia. Komentarz do zdania A2: A21. Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten na 100% ~> nie zostanie zbawiony (~Z=1) A21: ~W~>~Z =1 Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1) Zdanie tożsame: A22. Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~> nie zostać zbawiony (~Z=1) A22: ~W~>~Z =1 Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1) Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą, zaś wszelkie groźby na mocy definicji musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’. Dlaczego zachodzi matematyczna tożsamość zdań? A2: ~W~>~Z = A21: ~W~>~Z = A22: ~W~>~Z Wynika to z definicji obietnicy zgodnie z którą zdanie A2=A21=A22 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu miłości względem zdania A1: W=>Z=1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21=A22 będzie wypowiedziana. Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób. Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika, iż finalnie nadawca nie może zmienić zdania i zapowiedzianą karę wykonać. Wniosek: Z punktu widzenia logiki matematycznej, najostrzejszą groźbę Chrystusa, grzech przeciwko Duchowi Św. musimy uznać za blef Chrystusa. Ewangelia Mateusza: Dlatego powiadam wam: Każdy grzech i bluźnierstwo będą odpuszczone ludziom, ale bluźnierstwo przeciwko Duchowi nie będzie odpuszczone. (Mt 12,31) Zauważmy, że gdyby Chrystus nie miał prawa do darowania dowolnego grzechu, w tym grzechu przeciwko Duchowi Św. to jego wolna wola, prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego, ległaby w gruzach. Dowodów, iż Chrystus ma prawo darować dowolny grzech jest w Biblii mnóstwo np. Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43) 6.3.2 Kluczowe dialogi Chrystusa z człowiekiem Chrystus: A1. Kto wierzy we mnie (W), będzie zbawiony (Z) A1: W=>Z =1 Wiara w Chrystusa (W) jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z) Człowiek: … a jeśli kto nie wierzy, Panie? Chrystus: Prawo Kubusia: A1: E=>K = A2: ~E~>~K stąd: A2. Kto nie wierzy we mnie (~W), nie będzie zbawiony (~Z) ~W~>~Z =1 Brak wiary w Chrystusa (~W) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z) Człowiek: Panie, czy możesz powtórzyć co się stanie z wierzącymi (W), oraz co się stanie z niewierzącymi (~W)? Chrystus: Bardzo proszę: A1A2: Kto wierzy we mnie (W) zostanie zbawiony (Z) (zdanie A1) a kto nie wierzy we mnie (~W) nie zostanie zbawiony (~Z) (zdanie A2) A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)=1*1=1 Jak widzimy, Chrystus ma prawo wypowiedzieć zdania A1 i A2 w jednym zdaniu, gdyby nie mógł tego zrobić to logika matematyczna, algebra Kubusia, której sam jest autorem, ległaby w gruzach. Zdanie A1A2 znajdziemy w Biblii: A1A2: Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony, a kto nie uwierzy, będzie potępiony Św. Marek, Mk 16 Wiara w Chrystusa zawiera w sobie obowiązek Chrztu, zatem poprzednik możemy zredukować do słowa „uwierzy”. Zachodzi także tożsamość matematyczna pojęć: potępiony = nie zbawiony Stąd zdanie tożsame Chrystusa przyjmuje postać: A1A2: Kto uwierzy, będzie zbawiony, a kto nie uwierzy, nie będzie zbawiony A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)=1*1=1 cnd Prawo Kubusia: A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z Podstawiając do A1A2 mamy: A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)=(A1: W=>Z)*(A1: W=>Z) = A1: W=>Z bo prawo algebry Boole'a: a*a=a Gdzie: a=(A1: W=>Z) Stąd zdanie tożsame Chrystusa do A1A2 w wersji minimalnej przybierze postać: A1. Kto uwierzy, będzie zbawiony W=>Z =1 Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia 6.3.3 Algebra Kubusia = Biblia A1. Kto uwierzy, będzie zbawiony W=>Z =1 Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia Kluczowymi pojęciami w Biblii są obietnice i groźby wypowiadane przez Chrystusa. Algebra Kubusia udziela nam odpowiedzi na pytanie kiedy Chrystus będzie tu kłamcą, a kiedy nie będzie. Obietnica: Chrystus będzie kłamcą jeśli wierzącego w niego człowieka pośle do piekła. W każdym innym przypadku na mocy definicji implikacji prostej W|=>Z Chrystus nie będzie kłamcą. Innymi słowy: 1. Chrystus nie będzie kłamcą gdy absolutnie wszystkich w niego niewierzących pośle do piekła - piekło będzie tu maksymalnie pełne 2. Chrystus nie będzie kłamcą gdy zbawi absolutnie wszystkich ludzi z Hitlerem włącznie - idea pustego piekła (Apokatastaza) 3. Między skrajnościami 1 i 2 może być nieskończenie wiele stanów pośrednich - tu również Chrystus nie będzie kłamcą To wszystko co w temacie obietnic i gróźb ma do powiedzenia matematyka ścisła, algebra Kubusia Pojęcie „wiary w Chrystusa” oznacza tu przejście przez życie w zgodzie z 10 przykazaniami. Chrystus doskonale wie, że to fizycznie niemożliwe, czego dowód znajdujemy w mnóstwie miejsc w Biblii. Chrystus i cudzołożnica: Kto z was jest bez grzechu, niech pierwszy rzuci w nią kamieniem. (J 8,8-11) Zauważmy że: Gdyby Chrystus był katem i za najmniejszy grzech karałby piekłem, to wtedy niebo byłoby puste, bo nawet najwięksi święci w czasie swego żywota, jakiś tam grzech popełnili. Chrystus do apostoła Piotra: Zaprawdę, zaprawdę powiadam ci, za- nim kur zapieje, trzykroć się mnie zaprzesz (J 13, 38) 6.4 Kto uwierzy i przyjmie chrzest będzie zbawiony (W*CH)|=>Z Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek W to nagroda N W=>N Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N Weźmy złożoną obietnicę Chrystusa (MK16): A1. Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony. (W*CH)=>Z =1 To samo w zapisach formalnych: A1: p=>q =1 Gdzie: p=(W*CH) - wierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) q= Z (zbawienie) Wiara w Boga (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z) Rozstrzygnięcie: W następniku mamy tu nagrodę „zbawienie”, gdzie warunek otrzymania tej nagrody jest precyzyjnie określony, zatem na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający (W*CH)=>Z wchodzący w skład implikacji prostej (W*CH)|=>Z. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane tzn. nic więcej nie musimy udowadniać. Zdanie A1: (W*CH)=>Z to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej A1B1: (W*CH)|=>Z. IP Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q): Kolumna A1B1: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1 Nasz przykład: A1: (W*CH)=>Z =1 - wiara (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) wystarczająca => dla zbawienia (Z) B1: (W*CH)~>Z =0 - wiara (W) i przyjęcie chrztu (CH) nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawienia (Z) Stąd: A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1 Podstawmy nasze parametry aktualne do kolumn A1B1 i A2B2 Kod: IP Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}: A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W*CH,Z}: A1B1: Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony. W*CH=>Z =1 Przyjmijmy punkt odniesienia: p=W*CH - wierzy i przyjmie chrzest q=Z    - zostanie zbawiony A1: (W*CH)=>Z=1 - wiara i przyjęcie chrztu jest wystarczająca dla zbawienia B1: (W*CH)~>Z=0 - wiara i przyjęcie chrztu nie jest konieczna dla zbawienia Stąd: A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1        A1B1:               A2B2: A:  1: p   => q  =1 =  2: ~p ~>  ~q   =1 A:  1: W* CH=> Z =1 =  2: ~W+~CH ~>~Z =1 A’: 1: p ~~>~q   =0 = A’: 1: W* CH~~>~Z=0 =         ##                  ## B:  1: p   ~> q  =0 =  2: ~p   => ~q  =0 B:  1: W* CH ~> Z=0 =  2: ~W+~CH=>~Z  =0 B’:                    2: ~p   ~~> q  =1 B’:                    2: ~W+~CH~~> Z =1 Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Prawo Sowy: Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości/fałszywości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP Innymi słowy: Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP. W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą A1B1: (W*CH)|=>Z na mocy definicji obietnicy. 6.4.1 Analiza operatora implikacji prostej (W*CH)||=>Z Operator implikacji prostej p||=>q do układ równań A1B1: p|=>q i A2B2: ~p|~>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p Kolumna A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o p, czyli: Co może się wydarzyć, jeśli uwierzę (W) i przyjmę chrzest (CH)? A1B1: Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony. W*CH=>Z =1 Punkt odniesienia: p=W*CH - wierzy i przyjmie chrzest q=Z - zostanie zbawiony A1: (W*CH)=>Z=1 - wiara i przyjęcie chrztu jest (=1) wystarczająca => dla zbawienia B1: (W*CH)~>Z=0 - wiara i przyjęcie chrztu nie (=0) jest konieczna ~> dla zbawienia Stąd: A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1 A1. Kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH), będzie zbawiony (Z) Ya = (W*CH)=>Z =1 To samo w zapisie formalnym: Ya = p=>q =1 Wiara w Boga (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z) Czytamy: Chrystus dotrzyma słowa (Ya=1) gdy człowieka który w niego wierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1), zbawi (Z=1) Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie) A1’ Kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) może ~~> nie zostać zbawiony (~Z) Yb = (W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =0 To samo w zapisie formalnym: Yb = p~~>~q = p*~q =1*1 =0 Zapis matematycznie tożsamy to: (Yb=0) <=> p=1*~q=1 Czytamy: Chrystus nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy człowiek który uwierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1) nie zostanie zbawiony (~Z=1) Innymi słowy: Zakaz karania kogokolwiek kto spełnił w 100% warunek otrzymania nagrody w zdaniu A1. Uwaga: W całej niniejszej analizie Chrystus może zostać kłamcą tylko i wyłącznie w opisanym wyżej fałszywym kontrprzykładzie A1’, czyli gdyby kogokolwiek kto uwierzył (W) i przyjął chrzest (CH) nie zbawił (posłał do piekła). Sęk w tym, że nie może tego zrobić, bo wówczas wiara w niego straciłaby sens. Człowiek może bez problemu nie dotrzymać dowolnej obietnicy (fundament działania oszustów), ale Bóg nie ma do tego prawa i w tym sensie wolna wola Chrystusa jest mniejsza od wolnej woli człowieka. Prawo Prosiaczka: (Yb=0)=(~Yb=1) Stąd: Zapis w naturalnej logice matematycznej człowieka, gdzie domyślnie mamy do czynienia wyłącznie z logicznymi jedynkami ~Yb=(W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1 Czytamy: Chrystus nie dotrzymałby słowa (~Yb=1) gdyby człowieka który uwierzył (W=1) i przyjął chrzest (CH=1), nie zbawił (~Z=1) ~Yb=(W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1 … a jeśli nie spełnię warunku nagrody? Prawo Kubusia: A1: p=>q = A2: ~p~>~q Skrócony algorytm przejścia do logiki ujemnej (bo ~q): W równaniu A1 negujemy zmienne i zamieniamy wszystkie znaczki na przeciwne: (*) na (+) oraz warunek wystarczający => na warunek konieczny ~>. Mamy zdanie A1: A1: (W*CH) => Z To samo w zapisie formalnym: A1: p=>q stąd po negacji zmiennych i wymianie spójników na przeciwne mamy: A2: (~W+~CH)~>~Z To samo w zapisie formalnym: A2: ~p~>~q Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~> bo w następniku mamy tu czystą karę: ~Z - nie zostanie zbawiony (pójdzie do piekła) Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć: Nie zbawiony (~Z) = idzie do piekła (P) ~Z=P Idzie do piekła (P) = nie zbawiony (~Z) P = ~Z Stąd mamy: Kolumna A2B2: Odpowiedź na pytanie o ~p, czyli: Co może się wydarzyć, jeśli nie uwierzę (~W) lub nie przyjmę chrztu (~CH)? A2B2: Kto nie uwierzy lub nie przyjmie chrztu, ten nie będzie zbawiony. (~W+~CH)~>~Z =1 To samo w zapisie formalnym: ~p~>~q =1 Gdzie: ~p = (~W+~CH) - nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (~CH) ~q=~Z - nie zostanie zbawiony (~Z) A2: (~W+~CH) ~>~Z =1 - zajście (~W+~CH) jest (=1) konieczne ~> dla nie zbawienia (~Z) B2: (~W+~CH) =>~Z =0 - zajście (~W+~CH) nie jest (=0) wystarczające => dla nie zbawienia (~Z) Stąd: A2B2: (~W+~CH)|~>~Z = (A2: (~W+~CH)~>~Z)*~(B2: (~W+~CH)=>~Z)=1*~(0)=1*1=1 Analiza kolumny A2B2 w zdaniach warunkowych: A2. Kto nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (~CH), ten ~> nie zostanie zbawiony (~Z) A2: Yc = (~W+~CH) ~>~Z =1 To samo w zapisie formalnym: A2: Yc = ~p~>~q =1 Brak wiary (~W) lub nie przyjęcie chrztu (~CH) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z), bo jak kto wierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) to na 100% => zostanie zbawiony (Z). Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło: A2: (~W+~CH)~>~Z = A1: (W*CH) =>Z To samo w zapisie formalnym: A2: ~p~>~q = A1: p=>q Przyjrzyjmy się bliżej grupom ludzi które Chrystus ma prawo nie zbawić (~Z) na mocy warunku koniecznego ~> A2 i matematycznym kłamcą nie będzie. A2: Yc = (~W+~CH) ~>~Z =1 Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach rozłącznych: p+q = p*q + p*~q + ~p*q Podstawmy: p=~W (nie uwierzy) q=~CH (nie przyjmie chrztu) Stąd mamy: ~W+~CH = (~W)*(~CH) + (~W)*~(~CH) + ~(~W)*(~CH) = ~W*~CH + ~W*CH + W*~CH Stąd w przełożeniu na nasz przykład mamy poprzednik w zdarzeniach rozłącznych: ~W+~CH = 1: W*~CH + 2: ~W*~CH + 3: ~W*CH Po rozwinięciu poprzednika w zbiorach rozłącznych mamy: A2: Yc = (1: W*~CH + 2: ~W*~CH + 3: ~W*CH) ~>~Z =1 Gdzie: Rozłączne grupy ludzi opisane w poprzedniku zdania A2 to: 1: W*~CH =1*1 =1 - uwierzy (W=1) ale nie przyjmie Chrztu (~CH=1) lub 2: ~W*~CH=1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) i nie przyjmie Chrztu (~CH=1) lub 3: ~W*CH =1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) ale przyjmie Chrzest (CH=1) Człowieka należącego do dowolnej z powyższych grup Chrystus ma prawo nie zbawić (posłać do piekła) i matematycznym kłamcą nie będzie LUB Fałszywy warunek wystarczający B2: (~W+~CH)=>~Z=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie) B2’ Kto nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (CH), ten może ~~> zostać zbawiony (Z) B2’: Yd = (~W+~CH) ~~>Z = (~W+~CH)*Z =1 To samo w zapisie formalnym: B2’: Yd = ~p~~>q =~p*q =1 Jest taka możliwość (=1) na mocy definicji obietnicy A1: (W*CH)=>Z W zdaniu B2’ w poprzedniku mamy dokładnie te same grupy ludzi co w groźbie A2 z tym, że tu Chrystus może zbawić wszystkich 1+2+3 lub tylko dowolnie wybranych szczęśliwców, ma tu 100% wolnej woli. Rozłączne grupy ludzi opisane w poprzedniku zdania B2’ to: 1: W*~CH =1*1 =1 - uwierzy (W=1) ale nie przyjmie Chrztu (~CH=1) lub 2: ~W*~CH=1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) i nie przyjmie Chrztu (~CH=1) lub 3: ~W*CH =1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) ale przyjmie Chrzest (CH=1) Człowieka należącego do dowolnej z powyższych grup Chrystus ma prawo zbawić (posłać do nieba) i matematycznym kłamcą nie będzie Czytamy: Jeśli człowiek należy do dowolnej z grup ludzi opisanych w poprzedniku zdania B2’ to na mocy zdania prawdziwego B2’ Chrystus może ~~> mimo wszystko zbawić takiego człowieka, co ma potwierdzenie w setkach przypadków w Biblii. Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do obietnicy A1: (W*CH)=>Z=1, czyli wręczenie nagrody (Z=zbawienie) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (W*CH)=0 Zdanie B2’ to także piękny akt łaski w stosunku do groźby A2: A2: (~W+~CH) ~>~Z =1 czyli odstąpienie od wykonania kary (~Z=brak zbawienia) mimo że odbiorca spełnił warunek kary o czym mówi zdanie B2’: (~W+~CH) ~~>Z=1 Oba te akty, „akt miłości” i „akt łaski” są doskonale znane w świeci żywym (nie tylko w świecie człowieka). Nie jest tu istotne co sobie myślimy o ludziach z grupy B2’. Na mocy zdania prawdziwego B2’ Chrystus może zbawić absolutnie wszystkich ludzi z grupy B2’ (z Hitlerem na czele) i matematycznym kłamcą nie będzie. Oczywiście „może zbawić” nie oznacza że „musi zbawić” Twarda skrajność z drugiej strony to posłanie do piekła absolutnie wszystkich ludzi z grupy B2’ na mocy zdania A2. Ten przypadek nie może zajść bowiem w Biblii roi się aktów łaski wypowiedzianych przez Chrystusa (zdanie B2’) np. Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43) Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 6:59, 22 Maj 2024, w całości zmieniany 8 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35635 Przeczytał: 16 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Pon 8:32, 01 Kwi 2024    Temat postu: Algebra Kubusia - Elementarz teorii zdarzeń 7.0 Groźby i obietnice w zapisach ogólnych Spis treści 7.0 Groźby i obietnice w zapisach ogólnych 1 7.1 Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B|~>L 2 7.1.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L 4 7.1.2 Prawo transformacji w groźbie 8 7.2 Wyjaśnienie definicji "wolnej woli" istot żywych 12 7.3 Interpretacja groźby wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 13 7.0 Groźby i obietnice w zapisach ogólnych Kod: T0 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:       A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4: A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q       ##        ##           ##        ##            ## B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>: A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>: A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p Gdzie: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia I. Najbardziej spektakularnym zastosowaniem definicji implikacji prostej p|=>q w świecie żywym jest definicja obietnicy. Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek W to nagroda N W=>N =1 Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N. Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę N. W poprzedniku musi być jasno sprecyzowany warunek otrzymania nagrody W. Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q. Definicja implikacji prostej p|=>q: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1 Czytamy: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0) ## II. Najbardziej spektakularnym zastosowaniem definicji implikacji odwrotnej p|~>q w świecie żywym jest definicja groźby. Definicja groźby: Jeśli dowolny warunek W to kara K W~>K =1 Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę K. W poprzedniku musimy mieć jasno sprecyzowany warunek wykonania kary W. Definicja implikacji odwrotnej p|~>q: Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku. A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q Stąd: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1 Czytamy: Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0) Gdzie: ## - różne na mocy definicji 7.1 Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B|~>L Weźmy sztandarową groźbę: B1. Jeśli ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L) B~>L =1 Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to: p=B(brudne spodnie) q=L(lanie) Stąd w zapisach formalnych mamy: p~>q =1 Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W poprzedniku mamy warunek wykonania kary p=B (brudne spodnie) W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać. Definicja podstawowa implikacji odwrotnej B|~>L: Implikacja odwrotna B|~>L to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (L=1) To samo w zapisach formalnych: A1: p=>q =~p+q =0 ## B1: B~>L =1 - brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1) To samo w zapisach formalnych: B1: p~>q = p+~q =1 Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Stąd definicja implikacji odwrotnej B|~>q w równaniu logicznym: A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(0)*1 =1*1=1 To samo w zapisach formalnych: A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1 Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>. Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach: Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q Rozstrzygnięcia: Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie) Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie) Kod: IO Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}: Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 Nasz przykład: B1: Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie B~>L=1 Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to: p=B (brudne spodnie) q=L (lanie) A1: B=>L=0 - brudne spodnie nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania B1: B~>L=1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)*(B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q        A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4: Zapis formalny: A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0 A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1 Zapis aktualny (nasz przykład): p=B, q=L                  A:  1: B=>L  =0 = 2:~B~>~L=0     [=] 3: L~>B  =0 = 4:~L=>~B =0 A’: 1: B~~>~L=1 =                [=]             = 4:~L~~>B =1                           ##            ##           |     ##            ## Zapis formalny: B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1 B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 Zapis aktualny (nasz przykład): p=B, q=L B:  1: B~>L  =1 = 2:~B=>~L=1     [=] 3: L=>B  =1 = 4:~L~>~B =1 B’:             = 2:~B~~>L=0     [=] 3: L~~>~B=0 Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia 7.1.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L Operator implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o brudne spodnie B (A1B1) i czyste spodnie ~B (A2B2). Kolumna A1B1: A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)? Kolumna A2B2: A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1) Zachodzi tożsamość pojęć: Czyste (C) = nie brudne (~B) A1B1. Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)? Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1: A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania (L=1) B1: B~>L =1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L=1) A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1 Prawą stronę czytamy: Przyjście w brudnych spodniach jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (B1: B~>L=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (A1: B=>L=0) Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1: B1. Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to dostaniesz lanie (L=1) B~>L =1 to samo w zapisie formalnym: p~>q =1 Czytamy: Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1) bo jak przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostanę lania (~L=1) Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło: B1: B~>L = B2: ~B=>~L To samo w zapisie formalnym: B1: p~>q = B2:~p=>~q Zachodzi tożsamość pojęć: C (czyste spodnie) = ~B (nie brudne spodnie) Komentarz: Zdania tożsame do B1 to: B11. Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L=1) B~>L =1 Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1) B12. Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to możesz ~> dostać lanie (L=1) B~>L =1 Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1) Uwaga: Na mocy definicji groźby zdanie B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary na mocy prawdziwego kontrprzykładu A1’. Ostrość wypowiedzianej groźby nie ma tu znaczenia, czyli zachodzi tożsamość matematyczna zdań: B1 = B11 = B12 W groźbach nadawca z reguły nie wypowiada spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę (B12) bowiem marzeniem nadawcy jest, by odbiorca nie spełnił warunku groźby, zatem im ostrzej wypowiedziana groźba, tym teoretycznie lepiej. Zauważmy, że algebra Kubusia pozwala nadawcy na blefowanie tzn. nadawca może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostrej formie (np. B11) nie mając zamiaru wykonać kary w niej zawartej. Z faktu, że nadawca w chwili wypowiadania groźby blefuje (o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie zawartej w groźbie kary nie może wykonać. Innymi słowy: Finalnie nadawca może wykonać karę w groźbie która w chwili wypowiedzenia groźby była jego blefem. LUB Fałszywy warunek wystarczający A1: B=>L=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’: B~~>~L=1 (i odwrotnie): A1’. Jeśli przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1) to możesz ~~> nie dostać lania (~L=1) B~~>~L = B*~L =1 To samo w zapisie formalnym: p~~>~q = p*~q =1 Na mocy definicji groźby możliwe jest (=1) zdarzenie: Przyjdę w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanę lania (~L=1) Zdanie A1’ to powszechny w świecie żywym (nie tylko u człowieka) akt łaski, czyli możliwość darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy, mimo że odbiorca spełnił warunek kary. Chrystus: Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43) … a jeśli nie ubrudzę spodni (~B=1)? Prawo Kubusia: B1: B~>L = B2:~B=>~L To samo w zapisie formalnym: B1: p~>q = B2: ~p=>~q Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2 A2B2. Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)? Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć: Czyste spodnie (C=1) = nie brudne spodnie (~B=1) Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2: A2: ~B~>~L =0 - czyste spodnie (~B=1) nie są (=0) konieczne ~> dla nie dostania lania (~L=1) B2: ~B=>~L =1 - czyste spodnie (~B=1) są (=1) wystarczające => dla nie dostania lania (~L=1) A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L)=~(0*1=1*1=1 Stąd: Jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to mam gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego => Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2: B2. Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1) ~B=>~L =1 to samo w zapisie formalnym: ~p=>~q =1 Przyjście w czystych spodniach (~B=1) daje mi gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Lanie z innego powodu jest oczywiście możliwe, ale takie lanie będzie miało zerowy związek z wypowiedzianą groźbą B1. Zauważmy, że zdanie B2 jest ewidentną obietnicą bo w następniku mamy nagrodę „brak lania” zaś w poprzedniku warunek otrzymania tej nagrody. Wszelkie obietnice na mocy definicji musimy kodować warunkiem wystarczającym =>. Matematycznie zachodzą tożsamości: Nagroda (N) = brak kary (~K) N=~K Kara (K) = brak nagrody (~N) K=~N Prawdziwy warunek wystarczający B2: ~B=>~L=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~B~~>L=0 (i odwrotnie): B2’. Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to możesz ~~> dostać lanie (L=1) ~B~~>L = ~B*L =0 To samo w zapisie formalnym: ~p~~>q = ~p*q =0 Nie może się zdarzyć (=0), że przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1) … z powodu czystych spodni (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja groźby B1. Zauważmy, że gwarancja B2: ~B=>~L=1 braku lania w groźbie B1 jest niesłychanie silna. Aby ją złamać ojciec musi powiedzieć słowo w słowo: Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) dostajesz lanie (L=1) bo przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) = z powodu czystych spodni (~B=1). ~B~~>L = ~B*L =1 W tym momencie mama synka dzwoni po pogotowie - ojciec zwariował i należy go umieścić w szpitalu psychiatrycznym. Zauważmy, że ojciec-sadysta, jeśli musi walić bez trudu znajdzie sobie pretekst do walenia bez powoływania się na czyste spodnie. Ojciec-sadysta może powiedzieć tak: Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo masz brudne buty (BB=1). … i sadysta już może walić, bez narażania się na umieszczenie w szpitalu psychiatrycznym. Zauważmy że: W świecie martwym (i matematyce) zdanie B2’ to twardy fałsz (=0) którego świat martwy nie jest w stanie zamienić na jedynkę (=1) Przykład: B2’. Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1) ~CH~~>P = ~CH*P =0 Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1) To co nie jest możliwe w świecie martwym jest możliwe w świecie żywym, mającym „wolną wolę” co widzimy wyżej w groźbie w zdaniu B2'. B2’. Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to możesz ~~> dostać lanie (L=1) ~B~~>L = ~B*L =1 Możliwe jest (=1) zdarzenie: przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1) z powodu czystych spodni (~B=1) Definicja „wolnej woli” w świecie żywym: Wolna wola to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę). Na mocy definicji pojęcie „wolnej woli” dotyczy wyłącznie świata żywego. Definicja świata żywego: W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy do czynienia ze światem żywym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość/fałszywość poprzednika p lub następnika q zależy od „wolnej woli” istoty żywej. Podsumowanie: Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej B||~>L jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie brudnych spodni (B=1) (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie czystych spodni (~B=1) (zdanie B2). Zauważmy że: a) Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą: Operator implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) to układ równań logicznych: A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)? A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)? Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1. b) Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia. 7.1.2 Prawo transformacji w groźbie Prawo transformacji w groźbie: W groźbach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego. Wyprowadzenie prawa transformacji w groźbie. Definicja groźby: Jeśli dowolny warunek W to kara K W~>K =1 Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę. W poprzedniku musimy mieć warunek wykonania kary. Definicja groźby w zapisach formalnych: Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q p~>q =1 Spełnienie przyczyny p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia skutku q Dowolna groźba to warunek konieczny p~>q wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q. Weźmy tabelę prawdy naszej groźby: B1. Jeśli jutro ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie B~>L=1 Brudne spodnie (B) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dostania lania (L) Kod: IO - diagram groźby p~>q Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}: Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 Nasz przykład: B1: Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie B~>L=1 Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to: p=B (brudne spodnie) q=L (lanie) A1: B=>L=0 - brudne spodnie nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania B1: B~>L=1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)*(B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1 A3””: q~>p =0 - zakaz zamiany przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym Nasz przykład: A3””: L~>B =0 - zakaz zamiany przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym        A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4: Zapis formalny: A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0 A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1 Zapis aktualny (nasz przykład): p=B, q=L                  A:  1: B=>L  =0 = 2:~B~>~L=0     [=] 3: L~>B  =0 = 4:~L=>~B =0 A’: 1: B~~>~L=1 =                [=]             = 4:~L~~>B =1                           ##            ##           |     ##            ## Prawo transformacji w groźbie: Po zamianie przyczyny p i skutku q przyszłość B1: p~>q transformuje się do przeszłości B3”: q=>p B1:  p~>q =1 - przyszłość         | B3”: q=>p =1 - przeszłość B1”: p~>q =1 - przeszłość         | Nasz przykład: B1:  B~>L =1 - przyszłość         | B3”: L=>B =1 - przeszłość B1”: B~>L =1 - przeszłość Zapis formalny: B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1 B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 Zapis aktualny (nasz przykład): p=B, q=L B:  1: B~>L  =1 = 2:~B=>~L=1     [=] 3: L=>B  =1 = 4:~L~>~B =1 B’:             = 2:~B~~>L=0     [=] 3: L~~>~B=0 Gdzie: ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia Prawo transformacji w groźbie: W groźbach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego. Zauważmy, że o groźbach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego. Definicja świata żywego: Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej. Definicja „wolnej woli” istot żywych: „Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę). Definicja groźby w zapisach formalnych: Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q p~>q =1 Spełnienie przyczyny p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia skutku q Dowolna groźba to warunek konieczny p~>q wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q. Dowolna groźba to matematyczny opis przyszłości: B1. Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q p~>q =1 Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q Czas nie może biec wstecz z czego wynika, że niedozwolona jest tu zamiana przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym. A3””. Jeśli zajdzie skutek q to zajdzie przyczyna p q~>p =0 Zajście skutku q nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia przyczyny p Zauważmy, że dozwolona jest zamiana przyczyny p ze skutkiem q w czasie przeszłym, gdzie wszystko jest zdeterminowane: B3”. Jeśli zaszedł skutek q to na 100% => zaszła przyczyna p q=>p =1 Zajście skutku q było warunkiem wystarczającym => dla zajścia przyczyny p To jest najprostsze uzasadnienie formalne (ogólne) prawa transformacji w groźbie. Uwaga na standard w algebrze Kubusia w groźbach i obietnicach: Znaczek (””) oznacza zabronioną zamianę przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym Znaczek (”) oznacza dozwoloną zamianę przyczyny p ze skutkiem q w czasie przeszłym Nasz przykład: Zauważmy, że na mocy definicji groźby B1: B~>L musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę, q=L(lanie) W poprzedniku p musi być warunek wykonania kary, p=B(brudne spodnie). Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej B|~>L. Zobaczmy jak działa prawo transformacji w groźbie na przykładzie. Nasz przykład: B1. Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L) B~>L =1 Na mocy prawa Kłapouchego mamy: p=B (brudne spodnie) q=L (lanie) To samo w zapisie formalnym: p=>q =1 Brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1) Następnik q jest tu ewidentną groźbą, zatem zdanie B1 musimy kodować zgodnie z definicją groźby warunkiem konicznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej B|~>L, bez względu na ostrość wypowiedzenia groźby B1. Fałszywy warunek wystarczający A1: B=>L=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’: A1’ Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to możesz ~~> nie dostać lania (~L) B~~>~L = B*~L=1 To samo w zapisie formalnym: p~~>~q = p*~q =1 Może się zdarzyć (=1), że przyjdę w brudnych spodniach (B) i nie dostanę lania (~L). W tym przypadku ojciec zastosuje znany powszechnie w świecie żywym akt łaski, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy. Chrystus: Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43) Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia: B1: B~>L = B2: ~B=>~L stąd mamy: B2. Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1) ~B=>~L =1 To samo w zapisie formalnym: ~p=>~q =1 Przyjście w czystych spodniach (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) … z powodu przyjścia w czystych spodniach (~B=1) Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie będzie ono dotyczyło wypowiedzianej groźby B1. Zauważmy, że zdanie B2 spełnia klasyczną definicję obietnicy, bowiem w następniku jest mowa o „nie dostaniu lania” które dla dziecka jest nagrodą. Matematycznie zachodzą tożsamości: Kara to brak nagrody K=~N Nagroda to brak kary N=~K Prawo transformacji w groźbie: W groźbach „Jeśli p to q” z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli q to p” ulega transformacji do czasu przeszłego. Na mocy prawa transformacji zdanie B3” opisuje przeszłość: B3”. Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1) L=>B =1 to samo w zapisie formalnym: q=>p =1 Z faktu, iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy, iż na 100% => ubrudziło spodnie (B=1) Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy. Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak: B3”. Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to będzie to oznaczało, że wcześniej ubrudziłeś spodnie (B=1) L=>B =1 to samo w zapisie formalnym: q=>p =1 Komentarz: Odczytajmy zdanie A3”” z powyższej tabeli prawdy w czasie przyszłym A3””. Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1) L=>B =0 To samo w zapisie formalnym: q=>L=0 Zauważmy, że w czasie przyszłym zdanie A3”” traci sens bowiem mówi ono że jeśli dzieciak dostanie lanie (przyczyna) to na 100% => ubrudzi spodnie (skutek) … czyli na złość mamie ugryzę się w język. Poza tym zdanie A3”” nie spełnia definicji obietnicy którą kodujemy warunkiem wystarczającym => bowiem następnik brzmi tu: (B=1) - przyjdę w brudnych spodniach Brudne spodnie nie są dla dziecka ani karą, ani też nagrodą, to tylko stwierdzenie stopnia zabrudzenia jego spodni. Zdanie A3”” nabierze sensu jeśli wypowiemy je w czasie przeszłym. B3”. Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1) L=>B =1 to samo w zapisie formalnym: q=>p =1 Z faktu, iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy, iż na 100% => ubrudziło spodnie (B=1) Podsumowując: Tylko i wyłącznie dzięki prawu transformacji w groźbie w logice matematycznej nie dochodzi do paradoksu opisanego w zdaniu A3”” 7.2 Wyjaśnienie definicji "wolnej woli" istot żywych Definicja groźby: Jeśli dowolny warunek W to kara K W~>K =1 Dowolna groźba to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K Porównanie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P świata martwego (punkt 4.2.1) i operatora implikacji odwrotnej B||~>L ze świata żywego (punkt 7.1.1) w kwestii możliwości ustawienia jedynki w kluczowym w obu przypadkach zdaniu B2'. I. Świat martwy: Jedynym zdaniem fałszywym w całej analizie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P (punkt 4.2.1) w świecie martwym jest zdanie B2' B2' Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P) ~CH~~>P = ~CH*P =0 Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH) i pada (P) Doskonale widać, że świat martwy nie jest w stanie zgwałcić logiki matematycznej pod którą sam podlega i ustawić w zdaniu B2' jedynki Natomiast świat żywy bez problemu w zdaniu B2' ustawi jedynkę. II. Świat żywy: Jedynym zdaniem fałszywym w całej analizie operatora implikacji odwrotnej B||~>L (punkt 7.1.1) w świecie żywym jest zdanie B2' B2’. Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to możesz ~~> dostać lanie (L=1) ~B~~>L = ~B*L =0 Nie może się zdarzyć (=0), że przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1) … z powodu czystych spodni (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja groźby B1. W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład B2’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać. W świecie żywym, mającym „wolną wolę”, ojciec może kłamać do woli ustawiając jedynkę w zdaniu B2', czyli syn może przyjść w czystych spodniach (~B=1) a ojciec z premedytacją może skłamać mówiąc. B2’. Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) dlatego, że przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) ~B~~>L = ~B*L =1 Dokładnie tak wypowiedziane zdanie, z uzasadnieniem zależnym identycznym jak poprzednik, będzie dowodem kłamstwa ojca. Lanie z innego powodu niż czyste spodnie (~B=1) jest oczywiście możliwe, ale takie lanie będzie miało zero wspólnego z oryginalną groźbą B1: B~>L ojca. Oczywiście wszyscy zdrowi na umyśle słysząc zdanie B2’ zaczną podejrzewać, że ojciec zwariował, niemniej jednak ojciec może to zdanie wypowiedzieć. Definicja świata żywego: W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy do czynienia ze światem żywym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość/fałszywość poprzednika p lub następnika q zależy od „wolnej woli” istoty żywej. Stąd mamy: Definicja "wolnej woli" istot żywych: "Wolna wola" to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę) Oczywiście definicja "wolnej woli" dotyczy wyłącznie istot żywych. Świat martwy (w tym matematyka) nie jest w stanie zgwałcić logiki matematycznej (algebry Kubusia) którą sam wyznacza i pod którą sam podlega. 7.3 Interpretacja groźby wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) Definicja groźby: Jeśli dowolny warunek W to kara K W~>K =1 Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę. W poprzedniku musi być warunek wykonania kary. Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q. Możliwych, różnych na mocy definicji ## gróźb jest nieskończenie wiele, o czym każdy 5-cio latek wie, ale wszystkie mają identyczne znaczenie funkcji logicznej Y Znaczenie funkcji Y w groźbie jest następujące: Y=1 - prawdą jest (=1), że nadawca groźby dotrzyma słowa (Y) Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek: Y - nadawca groźby dotrzyma słowa Y Przykład: B1. Jeśli ubrudzisz spodnie (B) dostaniesz lanie (L) B~>L =1 Lanie jest tu ewidentną karą, jasno jest sprecyzowany warunek wykonania kary (brudne spodnie) zatem zdanie B1 podlega pod definicję groźby. Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dostania lania, ale na mocy definicji implikacji odwrotnej B|~>L nie jest to warunek wystarczający =>. Definicja warunku koniecznego ~> wchodzącego w skład implikacji odwrotnej p|~>q: p~>q = p+~q Nasz przykład: B~>L = B+~L Czyli: G1. Przyjdziesz w brudnych (B=1) spodniach lub nie dostaniesz lania (~L=1) Y = B+~L co w logice jedynek oznacza: Y=1 <=> B=1 lub ~L=1 Czytamy: Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w brudnych spodniach (B=1) lub nie dostanę lania (~L=1) Zauważmy, że groźba B1 jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka, zaś pseudo-groźby G1 żaden normalny człowiek nie zrozumie, bo zabity został warunek konieczny ~>. Zdanie G1 będzie zrozumiałe dla 5-cio latka po jego rozpisce w zdarzeniach rozłącznych. Dowód: Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych: p+q = p*q + p*~q + ~p*q Dla: p=B i q=~L mamy: G1”. Y = B*~L + B*L + ~B*~L Suma logiczna jest przemienna stąd: Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L co w logice jedynek oznacza: Y=1 <=> A: B=1 i L=1 + B: B=1 i ~L=1 + C: ~B=1 i ~L=1 Czytamy: Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy: A: Ya=B*L =1*1=1 – przyjdę w brudnych spodniach (B=1) i dostanę lanie (L=1) lub B: Yb=B*~L=1*1=1 – przyjdę w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanę lania (~L=1) lub C: Yc=~B*~L=1*1=1 – przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i nie dostanę lania (~L=1) Wszystkie możliwe i rozłączne przypadki w których ojciec dotrzyma słowa (Y) to suma logiczna funkcji cząstkowych: ABC: Y = Ya+Yb+Yc Zdanie B to powszechnie znany w świecie żywym (dotyczy także zwierząt) akt łaski, czyli możliwość darowania kary (~L=1), mimo że odbiorca spełnił warunek wykonania kary (B=1 – przyszedł w brudnych spodniach). … a kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)? Negujemy dwustronnie równanie G1: G2. D: ~Y = ~B*L co w logice jedynek oznacza: ~Yd=1 <=> ~B=1 i L=1 Czytamy: Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1) … oczywiście z powodu, że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1). Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie dotyczy naszej groźby B1: B~>L. Znaczenie funkcji Y jest następujące: Y=1 - prawdą jest (=1), że ojciec dotrzyma słowa (Y) ~Y=1 - prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek: Y - ojciec dotrzyma słowa Y ~Y - ojciec nie dotrzyma słowa ~Y Prawo Prosiaczka: (~Y=1) = (Y=0) Lewą stronę czytamy: Prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) Prawą stronę czytamy: Fałszem jest (=0) że ojciec dotrzyma słowa (Y) Jak widzimy, prawo Prosiaczka rozumie każdy 5-cio latek Zauważmy, że zdarzenie D: ~Y=~B*L Jest negacją # zdarzenia ABC: Y=B+~L Zdarzenie: "ojciec dotrzyma słowa" (Y) # "ojciec nie dotrzyma słowa" (~Y) Gdzie: # - dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony Trzeciej możliwości brak zatem pojęcia Y i ~Y spełniają definicję spójnika "albo"($). Sprawdzenie: Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) - poznamy niebawem: p$q = p*~q + ~p*q Podstawmy: p=Y q=~Y stąd mamy: Y$~Y = Y*~(~Y) + ~(Y)*~Y = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1 cnd Równie łatwo udowodnić iż pojęcia Y i ~Y nie są tożsame. Dowód: Prawo Irbisa (poznamy w niedalekiej przyszłości): Dwa zdarzenia/pojęcia p i q są matematycznie tożsame "=" wtedy i tylko wtedy znajdują się w relacji równoważności p<=>q p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q Definicja warunku wystarczającego =>: p=>q = ~p+q Stąd mamy: p<=>q = (~p+q)*(~q+p) = ~p*~q + ~p*p + q*~q + q*p Prawa algebry Boole'a: x*~x=0 x+0=x Po minimalizacji mamy: p<=>q = p*q+~p*~q Podstawmy: p=Y q=~Y stąd mamy: Y<=>~Y = Y*~Y + ~(Y)*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0 Oznacza to, że wykluczona jest tożsamość matematyczna pojęć "ojciec dotrzyma słowa" (Y) i "ojciec nie dotrzyma słowa" (~Y) cnd Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:00, 22 Maj 2024, w całości zmieniany 8 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35635 Przeczytał: 16 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 22:01, 15 Maj 2024    Temat postu: ... Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 21:26, 15 Sie 2024, w całości zmieniany 2 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35635 Przeczytał: 16 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Sob 17:23, 08 Cze 2024    Temat postu: .. Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 21:27, 15 Sie 2024, w całości zmieniany 1 raz Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35635 Przeczytał: 16 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Sob 17:27, 08 Cze 2024    Temat postu: 2. Powrót do góry Wyświetl posty z ostatnich: Wszystkie Posty1 Dzień7 Dni2 Tygodnie1 Miesiąc3 Miesiące6 Miesięcy1 Rok Najpierw StarszeNajpierw Nowsze         Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa) Strona 1 z 1   Skocz do: Wybierz forum Biuro----------------RegulaminFAQSamoocena - jak śfinie widzą ŚfinięPubliczne testowanie skryptówTest skryptu do KretowiskaKosmosZgłoszenia naruszeń RegulaminuJak zakończyć wojnę CDLM? Komentarze do artykułów----------------ArtykułyNotatkiFelietonyFilipikiKomentarze: Otwarte Referarium Filozoficzne (ORF)Komentarze: Anty(k)wariat WujauserDummyBlog: Biuro KretowiskagetblogKomentarze: Kretowisko (blogosfera)Blog: wujzbojBlog: Michał DyszyńskiBlog: Mirosław GalczakBlog: luzikBlog: KoriBlog: malaaviBlog: hushekBlog: IroBBlog: skrobipiórekBlog: v2Blog: SemeleBlog: bronmus45Blog: JanelleLBlog: Piotr RokubungiBlog: MimozaBlog: MMMEmulacja Działu Regulaminowego - niczego tu nie przenosimy!Blog: jesterPogaduchy luźne u MMMŻURNAL JanelleLNotatnik szkolny 18 JanelleLBlog: evaj23Blog: ApoloniaBlog: towarzyski.pelikanBlog: NetlisBlog: Kruchy04Blog: chryzjanBlog: Czytanki starożytneBlog: AnboBlog: Andy72 Światopogląd----------------FilozofiaRozbieranie irracjonalizmuApologia kontra krytyka teizmuŚwięte KsięgiKatolicyzmReligie i wyznaniaGenesisNauka a światopoglądSztuka a światopogląd Nauka----------------Świat nieożywionyŚwiat ożywionyŚwiat skomputeryzowanyMetodologiaNauki społeczne3: Sprawy ostateczne2: Genesis1: Wiara a wiedzaSprawy techniczneForum Kubusia Sztuka----------------WydarzeniaGaleria twórczościSeriale - utwory w odcinkach Towarzystwo----------------PowitaniaKretowiskoKawiarniaAktualnościLinkowniaGwiezdne WojnyWięzienieKrzyknikŚmietnikMagiel więzienny Stopka----------------Statystyka strony głównej - zliczenia od 1 lutego 2006Zaprzyjaźnione portale  Nie możesz pisać nowych tematów Nie możesz odpowiadać w tematach Nie możesz zmieniać swoich postów Nie możesz usuwać swoich postów Nie możesz głosować w ankietach fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group Regulamin Na skróty:BiuroKomentarze do artykułówŚwiatopoglądNaukaSztukaTowarzystwoStopkaFilozofiaWięzienieKretowiskoKawiarniaApologia kontra krytyka teizmuMetodologiaForum KubusiaRozbieranie irracjonalizmuBlog: hushekKatolicyzmGwiezdne WojnyNauki społeczneBlog: Michał DyszyńskiReligie i wyznaniaŚwięte KsięgiBlog: IroBKosmosGenesisBlog: MMMPowitaniaNauka a światopoglądŚmietnikRegulamin