ŚFiNiA

rafal3006

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów

2024-04-16 Premiera

Linki do wszystkich części algebry Kubusia w pdf:
1.
Premiera wersji końcowej: 2024-05-30
"Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego" (Stron: 1363):
[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
1.0 Nowa algebra Boole'a

Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 1
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 2
1.1.1 Definicja negacji 2
1.1.2 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych 3
1.2 Prawa Prosiaczka 4
1.2.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 5
1.3 Fundamenty algebry Boole'a 6
1.3.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 6
1.3.2 Prawa De Morgana 8
1.4 Definicja funkcji logicznej Y=f(x) definiowanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 9
1.4.1 Definicja operatora Y|=f(x) definiowanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 9
1.5 Definicja spójnika „lub”(+) Y=K+T 10
1.5.1 Definicja operatora „lub”(|+) Y|=K+T 10
1.6 Definicja spójnika „i”(*) Y=K*T 11
1.6.1 Definicja operatora „i”(|*) Y|=K*T 11

1.0 Nowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.10.2. 1.12)

1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a

1 = prawda
0 = fałsz

Gdzie:
1##0
Prawda (1) jest różna na mocy definicji ## od fałszu (0)

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Innymi słowy:
Prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
Fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Pani w przedszkolu:
Pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe
Pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y - stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

1.1.1 Definicja negacji

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.

rafal3006

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Spis treści
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
2.1 Definicje elementarne Kubusiowej teorii zbiorów 1
2.2 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
2.2.1 Suma logiczna zbiorów 2
2.2.2 Iloczyn logiczny zbiorów 2
2.2.3 Różnica (-) zbiorów 3
2.3 Kluczowe definicje Kubusiowej Teorii Zbiorów 3
2.3.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 3
2.3.2 Definicja podzbioru => 3
2.3.3 Definicja nadzbioru ~> 3
2.3.4 Prawo Słonia dla zbiorów 4

2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

W algebrze Kubusia dla 5-cio latków operować będziemy wyłącznie czterema pluszowymi zwierzaczkami - to wystarczy, by pokazać wszelkie niuanse logiki matematycznej w zbiorach.
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
S – Słoń

2.1 Definicje elementarne Kubusiowej teorii zbiorów

Minimalna teoria zbiorów dla potrzeb obsługi zdań warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Zbiory, podobnie jak pojęcia, mają wartości logiczne:
[x]=1 - zbiór niepusty, zawierający pojęcia zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

Podstawowy zapis zbioru:
p=[zbiór wszystkich ssaków, pies, miłość, krasnoludek ..]
Gdzie:
p - nazwa zbioru
W nawiasach mamy wyszczególnione elementy zbioru rozdzielane przecinkiem

2.2 Elementarne działania logiczne na zbiorach

Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów

2.2.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,P]

2.2.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego

2.2.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Przykład 1
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Przykład 2
Y=q-p =[K]-[K,T]=[] =0 - bo po usunięciu ze zbioru q=[K] elementu [K] zbiór q będzie zbiorem pustym.
W tym przypadku zachodzi tożsamość:
Zbiór wynikowy Y = zbiór q po wykonaniu odejmowania elementów

2.3 Kluczowe definicje Kubusiowej Teorii Zbiorów

W algebrze Kubusia Istnieją zaledwie trzy kluczowe definicje, będące fundamentem matematycznej obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w teorii zbiorów

2.3.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementy wspólnego ~~> zbiorów:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
p~~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q =0 - zbiór pusty, brak elementu wspólnego zbiorów

2.3.2 Definicja podzbioru =>

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

2.3.3 Definicja nadzbioru ~>

Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

2.3.4 Prawo Słonia dla zbiorów

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu w prawie Słonia [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu w prawi Słonia [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.

Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu w prawie Słonia gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu w prawie Słonia gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów

Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy należą do zbioru q

Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

W logice matematycznej zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
W logice matematycznej rozstrzygamy o zachodzącej lub nie zachodzącej relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~>.

Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

##

Rozstrzygnięcia logiki matematycznej w relacji nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~>

rafal3006

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
3.0 Kompendium algebry Kubusia w zbiorach

Spis treści
3.0 Kompendium algebry Kubusia w zbiorach 1
3.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach 1
3.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
3.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 2
3.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 4
3.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 5
3.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ### 6
3.2 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
3.2.1 Definicje znaczków # i ## 11
3.3 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego 11
3.4 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia 13
3.4.1 Prawa Sowy 13
3.4.2 Definicja tożsamości logicznej 14
3.4.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia 14
3.4.4 Prawa Prosiaczka 14
3.4.5 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej 14
3.4.6 Prawo Słonia dla zbiorów 15
3.4.7 Prawo Irbisa dla zbiorów 15
3.4.8 Definicja spójnika implikacyjnego p?q 15
3.4.9 Definicja operatora implikacyjnego p|?q 16
3.5 Podstawowe spójniki implikacyjne 16
3.5.1 Prawo Puchacza 18

3.0 Kompendium algebry Kubusia w zbiorach

W logice matematycznej zawodowców operujemy warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
W przedszkolu, na mocy prawa Słonia, najczęściej będziemy mówić o relacjach podzbioru => i nadzbioru ~> łatwych do wizualizacji przy pomocy pluszowych zabawek.

3.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

Matematycznie na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>

3.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Przykłady:
Elementy zbiorów:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek]
1.
Przykład pozytywny:
Niech będą dane dwa zbiory umieszczone w pudełkach p i q:
p=[K]
q=[K,P]
stąd mamy:
p~~>q = [K]~~>[K,P] =1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q, to K (Kubuś)
Uwaga:
Dla celów dydaktycznych operujemy tu zbiorami prawie minimalnymi.
W ogólnym przypadku zarówno pudełko p jak i pudełko q może zawierać dowolne dużo pluszowych zwierzaków.
Definicja elementu wspólnego ~~> wspólnego zbiorów p i q będzie spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q będą miały co najmniej jeden element wspólny.

2.
Przykład negatywny:
Niech będą dane dwa zbiory:
p=[K]
q=[P]
stąd mamy:
p~~>q = [K]~~>[P] =0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Uwaga:
W ogólnym przypadku pudełka p i q mogą zawierać dowolnie dużo zwierzaków.

3.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Matematycznie na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykłady:
Elementy zbiorów:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek]

1.
Przykład pozytywny:
Niech będą dane dwa zbiory w pudełkach p i q:
p=[K]
q=[K,P]
stąd mamy:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =[K]=>[K,P] =1 - bo zbiór [K] jest (=1) podzbiorem => zbioru [K,P]
Innymi słowy na mocy prawa Słonia:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K,P].
Uwaga:
W ogólnym przypadku w pudełkach p i q może być dowolnie dużo pluszowych zwierzaków.
Definicja relacji podzbioru => będzie spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zwierzątka ze zbioru p znajdują się w zbiorze q
p=>q =1
Inaczej:
p=>q =0 - definicja relacji podzbioru nie jest (=0) spełniona.

2.
Przykład negatywny:
Niech będą dane dwa zbiory w pudełkach p i q:
p=[K,P]
q=[K]
Stąd mamy:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q = [K,P]=>[K] =0 - bo zbiór p=[K,P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru [K]
Innymi słowy na mocy prawa Słonia:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K,P] nie jest (=0) jest podzbiorem => zbioru q=[K].

3.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Matematycznie na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykłady:
Elementy zbiorów:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek]

1.
Przykład pozytywny:
Niech będą dane dwa zbiory w pudełkach p i q:
p=[K,P]
q=[K]
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do zbioru q
p~>q = [K, P]~>[K] =1 - bo zbiór p=[K, P] zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q=[K]
Innymi słowy na mocy prawa Słonia:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla jego przynależności do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K,P] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q=[K]

2.
Przykład negatywny:
p=[K]
q=[K,P]
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do zbioru q
p~>q = [K]~>[K, P] =0 - zbiór p=[K] nie jest nadzbiorem ~> zbioru q=[K,P]
Innymi słowy na mocy prawa Słonia:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p=[K] nie jest (=0) konieczna ~> by ten element należał do zbioru q=[K,T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K,P]

W ogólnym przypadku elementów w pudełkach p i q może być dużo.
Wtedy najprościej jest skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Na mocy prawa Tygryska, zamiast sprawdzać prawdziwość relacji nadzbioru p~>q możemy sprawdzić prostszą relację podzbioru q=>p w odwrotną stronę (twierdzenie odwrotne)
Dla naszego przykładu mamy:
B3: q=>p = [K,P] => [K] =0 - nie wszystkie (=0) elementy zbioru q=[K,P] należą => do zbioru p=[K]
Stąd:
B1: p~>q = [K] ~>[K,P] =0
Na mocy prawa Tygryska zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K,P]
W logice matematycznej taki dowód nosi nazwę dowodu „nie wprost” - tu za pomocą prawa Tygryska.
W naszym przykładzie elementów jest tyle co kot napłakał i tu brak relacji nadzbioru ~>:
B1: p~>q=[K]~>[K,P]=0
widać gołym okiem, ale w ogólnym przypadku elementów w pudełkach p i q może być dowolnie dużo i tu skorzystanie z prawa Tygryska jest w praktyce obowiązkowe.

3.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Przykład:
Elementy zbiorów:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek]
T (Tygrysek)

Przykład:
Przyjmijmy zbiory:
p=[K]
q=[K,P]
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q = [K]=>[K,P] =1 - bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K,P]
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K,P]
Jak widzimy, warunek wystarczający => jest tu spełniony (=1).

Na mocy definicji kontrprzykładu musi istnieć niepusty zbiór ~p.
Wynika z tego, że minimalna dziedzina dla warunku wystarczającego A1: p=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
Obliczamy:
p+q = [K]+[K,P] = [K,P]
Do sumy zbiorów p+q musimy dołożyć co najmniej jedno zwierzątko.
Niech to będzie:
T (Tygrysek)
Stąd nasza dziedzina D minimalna to:
D=[K,P,T]
Dla potrzeb kontrprzykładu dla warunku wystarczającego A1: p=>q obliczamy przeczenie zbioru q (~q) definiowanej jako uzupełnienie zbioru q do dziedziny D
~q = [D-q] = [[K,P,T]-[K,P]] = [T] =1 - bo zbiór niepusty

Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego A1: p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
Sprawdzenie:
A1’: p~~>~q = [K]~~>[T] =[]=0 - bo zbiory p=[K] i ~q=[T] nie mają (=0) elementu wspólnego
cnd

Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’

3.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ###

Piętą Achillesową logiki matematycznej ziemian jest nieodróżnianie w rachunku zero-jedynkowym definicji warunku wystarczającego p=>q od definicji warunku koniecznego p~>q.
Fatalny sutek powyższego, to brak zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego p~>q w logice matematycznej ziemian.

Geneza tego błędu jest następująca:
I.
Weźmy przykład ilustrujący warunek wystarczający p=>q w logice matematycznej:

Niech będą dane dwa elementy zbiorów:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
Przyjmijmy zbiory:
p=[K]
q=[K,P]
stąd mamy:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q = [K]=>[K,P] =1
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem wystarczającym => by należał on do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem zbioru q=[K,T]
Relacja podzbioru => jest tu spełniona (=1).

Podsumowując:

rafal3006

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
4.0 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu

Spis treści
4.0 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu 1
4.1 Definicja implikacji prostej p|=>q 1
4.1.1 Diagram implikacji prostej p|=>q 2
4.2 Przykład implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych 4
4.2.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych 7
4.3 Laboratorium algebry Kubusia - implikacja prosta p|=>q 10
4.3.1 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie implikacji prostej p|=>q 12

4.0 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>.

rafal3006

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu

Spis treści
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu 1
5.1 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 1
5.1.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q 2
5.2 Przykład implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych 4
5.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach minimalnych 6
5.3 Laboratorium algebry Kubusia - implikacja odwrotna p|~>q 9
5.3.1 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie implikacji odwrotnej p|~>q 11

5.0 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>.

rafal3006

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
6.0 Równoważność p<=>q w przedszkolu

Spis treści
6.0 Równoważność p<=>q w przedszkolu 1
6.1 Definicja równoważności p<=>q 1
6.2 Prawa Słonia dla zbiorów 2
6.3 Prawo Irbisa dla zbiorów 4
6.4 Diagram równoważność p<=>q 7
6.5 Równoważność p<=>q w zbiorach minimalnych 11
6.5.1 Operator równoważności p|<=>q w zbiorach minimalnych 14
6.6 Laboratorium algebry Kubusia - równoważność p<=>q 17
6.6.1 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie równoważności p<=>q 19

6.0 Równoważność p<=>q w przedszkolu

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>.

rafal3006

Algebra Kubusia - Elementarz teorii zbiorów
7.0 Chaos p|~~>q

Spis treści
7.0 Chaos p|~~>q 1
7.1 Spójnik chaosu p|~~>q w zbiorach minimalnych 5
7.1.1 Operator chaosu p||~~>q w zbiorach minimalnych 8
7.1.2 Ćwiczenie laboratoryjne w temacie chaosu p|~~>q 10

7.0 Chaos p|~~>q

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe:

Fundamentem algebry Kubusia w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" są zaledwie trzy znaczki: ~~>, => i ~>:

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> lub zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury

rafal3006